（计算数学专业论文）非等谱发展方程族的类孤子解.pdf

摘要 本文利用反散射变换、h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧研究了非等谱发展方程族 和等谱方程的r 方程族的精确解以及解的性质第二章从l a xp a i r 出发，当谱参 数按一定的规律随时闻t 变化对得到k d v 系统的方稷族、m k d v 系统的方程族、 s i n e g o r d o n 系统静方稷族帮a k n s 系统静方程族，丽时由a k n s 系统的方程族约化 褥到m k d v 系统戆方稷族、s i n e - g o r d o n 系统弱方程簇、嚣线黢s c h r s d i n g e r 系统的 方稷族。相应的等谱方程族、非等谱方程族以及，方程族燕其特键第三章逶遘复 散射变换方法得到k d v 系统的方程族的n 孤子解的糖确表达式，逃丽约化得到等 谱k d v 方程族、稚等谱k d v 方程族以及r 方程族的n 一孤子解第四章通过反散射 变换的方法襻到a k n s 系统的方程族的n - 孤子解的精确表达式，进而约化得到了 k d v 系统方程族，m k d v 系统方程族、s i n e - g o r d o n 系统方程族、菲线性s c h r s d i n g e r 系统方爨族的n 弧予麟黪糖凑表达式+ 第美章剩餍h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 按巧， 获得非等谱s i n e - g o r d o n 方稷、j 等谱非线性s c h r s d i n g e r 方程、k d v 系统戆f 方 程、m k d v 系统的r 方程s i n e - g o r d o n 系统的r 方程、非线性s c h r s d i n g e r 系统鳇 r 方程的n 孤子解，并考察相应解的性质，得到与等谱方稷既有共同的特征又独有 的靛质第六章给出谱参数辩时间的导数是谱参数的线性溺数时非等谱a k n s 方程 族帮等谱方程族之闯静规范变换与转换算予。 关键词：非等谱方程、r 方獠，反散射变换、h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧、 精确解 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w eo b t m nt h es o l u t i o n sf o rn o n i s o s p e c t r a le v o l u t i o ne q u a t i o nh e i r a r 。 c h i c sa n dr 。s y s m e t r yh i e r a r c h i e sb yt h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r e m s f o r m ( i s t ) ，h i r o t am e t h o d a n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e ，w ea l s oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h e s es o l u t i o n s + i nc h a p t e r 2 u n d e rt h ec o n d i t i o nw h i c hs p e c t r a lp a r a m e t e r e v o l v e sa c c o r d i n gt ot i m e ，w ed e r i v e o u te q u a t i o nh i e r a r c h i e sf o rk d vs y s t e m ，m k d vs y s t e m ，s i n e - g o r d o ns y s t e ma n da k n s s y s t e m ，e q u a t i o nh i e r a r c h i e sf o rk d vs y s t e m ，m k d vs y s t e m ，s i n e - g o r d o ns y s t e ma n d n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e rs y s t e ma r er e d u c e df r o me q u a t i o nh i e r h a r c h yf o ra k n ss y s t e m s p e c i a l l y , i s o s p e c t r a lh i e r a r c h i e s ，n o n i s o s p e c t r a lh i e r a r c h i e sa n dr e l a t e dv - s y s m e t r yh i e r - a r c h i e sa r es p e c i a lc a s e so ft h e m i nc h a p t e r3 ，b yi s t ，w eo b t a i nn s o l i t o ns o l u t i o n t oe q u a t i o nh i e r a r c h yf o rk d vs y s t e m ，a n dr e d u c et on - s o l i t o ns o l u t i o nt oi s o s p e c t r a l k d vh i e r a r c h y , n o n i s o s p e c t r a lk d vh i e r a r c h ya n dp s y m e t r yh i e r a r c h y i nc h a p t e r4 ，b y i s t w eo b t a i nn - s o l i t o ns o l u t i o nt oe q u a t i o nh i e r a r c h yf o ra k n ss y s t e m ，a n dr e d u c et o n s e l i t o ns o l u t i o nt oe q u a t i o nh i e r a r c h i e sf o rk d vs y s t e m m k d vs y s t e m s i n e - g o r d o n s y s t e ma n dn o n l i h e a rs c h r s d i n g e rs y s t e m + i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t et h en o n i s o s p e c t r a l s i n e - g o d o r ne q u a t i o n ，n o n i s o s p e c t r a ln o n l i n e a rs c h r d d i n g e re q u a t i o nb yh i r o t am e t h o d a n dw r o s k i a nt e c h n i q u e m e a n t i m ew ea l s oc o n s i d e rr - s y m e t r ye q u a t i o nf o rk d v m k d v ， s i n e - g o r d o n ，n o n | i n 嫩s c h r s d i n g e rs y s t e m sb yh i r o t am e t h o d t h ep r o p e r t i e so ft h e s e s o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e x ，w eg i v eg a u g et r a n s f o r mb e t w e e nn o n l s o s p e c t r a l a k n sh i e r a r c h ya n di s o s p e c t r a la k n s h i e r a r c h y k e y w o r d s ：n o n i s o s p e c t r a te q u a t i o nh i e r a r c h y , re q u a t i o n s ，i n v e r s es c a t t e r i n g t r a n s f o r m a t o n ，h i r o t am e t h o d lw r o n s k i a nt e c h n i q u e ， x a c ts o l u t i o n i i 约定和 琶号 8 = 鑫是微分箕符，扩1 = f 是积分算蟹， 岛一蓦是微分算穹誓，露1 = 妒怒莰分算褥， o 一 “( 。) r ：( 1 + 净l “睁) l 如 表示h i l b e r t 空间的内积熙d x 一( ：；) ( ) t 表示( ) 的共稳。 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别 加以标注和致谢的搀方外，论文中不包括其他人已发表或撰写过的研究成果。参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：擎z 盈鲜导师签名：i 丝笙亟日期 7 加t 玉 第一章前言 l 。1 写l 言 在物理学的众多领域如流体、固体、基本粒子、等离子体、凝聚态、超导、激 光、非线性光学等的研究中，都出现了一些孤子方程，这些方程最典型例子是k d v 方獠、s i n e g o r d o n 方程、菲线性s c h r s d i n g e r 等方程，它们都具有孤子或类孤子解孤 立予在耱互碰攘过程中缳持鑫己静传播方淘释能慧不敬交豹特点，篌它其有类似于 崆- 予稳波动的谗多特征，大鬃懿磷突表粳孤子这一毒拷理象在鑫然爨共有藩遭往， 因磁存擞广阔的应用前景。对孤子方程的研究是数学物理领域的一个方必寒艾鲍课 题，也是非线性科学的前沿课题 1 2l a x 可积方程的求解 对予线性偏微分方程的求解融经有一套成熟的理论和方法，如d t a l e m b e r t 行 波法、分离变量法、球面影像法和f o u r i e r 分析法簿但对于非线性偏微分方程，叠 加淼理不再成立，求解变得十分困难在这一领域，人们进行了大量的工作，取得 了一鍪藏功的方法，饲如反散静交换( i s t ) 、b c k l u n d 变换、h i r o t a 双线性导数方 法、w r o k i 黼技巧、对称等一系魂方法，其中1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和 m i u r a 1 j ( g g k m ) 密求鳃k d v 方程的哿嚣耀题( c a u c h y ) 时爨采曩静爱数瓣变接方 法在非线性发展方程的求鳃中具有里獠碑的她位。我f f l 知邀，对于空气动力学瓣究 中掇出的b u r g e r s 方程 u t + u “# 一“z = 0 ( 1 1 ) 可通过c o l e - h o p f 变换 u ：一2 p 丝 o ( 1 2 ) 化为线性热传导方程也一v 如。= 0 ，从嚣褥到b u r g u e r s 方程黪糟礁鳃耄于k d v 方獠与b u r g e r s 方程外形相似，很多学者尝试寻找类似于c o l e h o p f 变换黝函数变 换，将k d v 方程“线性化”，从而达到研究k d v 方程的目的，然而这些努力都没 有我功 1 9 6 7 年m i u r a 2 等入发现m k d v 方程 ( 1 。3 】 2非簿谱发展方程漩鳓类孤予解 和k d v 方程 之愆务程m i u r a 变换 n = 一 2 一 z ，( 1 5 ) 如果将c o l e - h o p f 变换 ”= 警 ( 1 6 ) 代入m i u r a 变换l 。5 x 爨g 鲶出 也。+ 牲簪= 0 ， ( i ? ) 淀意蓟k d v 方程在g a l i l e a n 交换“_ “一a ，# 叶t ，z 砷+ 6 a t 下不变，这样线能 方程1 7 ) 就戚 庐z 。+ ( 乱 ) 一0 ( 1 8 ) 这一方程；燕量子力学勰中称努一维s c l u - 6 d i n g e r 方程，冀孛母薏波嚣数，* 是像 势， 是谱参数但是与屋子力学的s c h r s d i n g e r 方程不同的是，钍作为k d v 方稷 的解，应依赖予时阕是说程( 1 8 ) 中，必须恕时阕考惑为参数这撵一寒，零缎 假 及波函数毋也依赖予时同，因此可以假定波激数凌时间发展姣 钆= 庐十b 九， ( 1 9 ) 避取a = 乍+ “，b = 4 + 2 u ，戏审? 爨经慧常数对，寇墨一0 袈 譬下，1 痞耪攘懑钱 性问题( 1 8 ) 与( 1 9 ) 棚骞等价子性满足k d v 方程( 1 ，4 ) + 迭魏憋非线灶方程等徐于 对线经翘题瓣攘容搜条件嚣为8l a x 霹积”。 g g k m 求勰k d v 方橼c a u c h y 阕题 j “t + 6 “。+ 乱z 。端o i 粘，0 ) = ，( z ) 可归纳为两大步，第一步是正数射阍鼹，正数射闯题是绘定搜势“，琅线性秘戆 1 8 ) 麴离散漤k 、连续漤a 及蓑宅教秀重数据舞磷究姆程灏数豹缓覆 掇据豢子办学散射理沦，当位势n 纛荛穷远处旋。充分糗趋予零时，s c h r s d i n g e r 谶 黼题0 + 8 霄特征滠数平方蘑辍的有限个离散谱a s i 0 ，n 。1 ，2 ，n ，以及 黪征垂数露雾戆涟缕谱a 一一2 0 ，$ _ ，氐( ，t ) 一c n ( t ) e x p ( 一k 。$ ) 仁簇一， ( i ，l 驰年上海大学博士毕业论文 3 对于连续谱a = 一2 0 ) ( 1 1 6 ) 得到k ( x ，t ) ，则位势u ( z ，t ) 可以由下式恢复 u ( z ，t ) = 2 d k f ( x , x , t ) ， ( 1 1 7 ) ， 这种方法类似于解线性方程的f o u r i e r 变换方法，因此也被称为“非线性f o u r i e r 变 换”i s t 求解的步骤可以用下图来概括 1 9 6 8 年l “【5 将g g k m 上述思想放到更一般的框架上，为i s t 作为求解非线 性发展方程的一种方法铺平了道路即：对于任意非线性发展方程 啦= k ( u ) ，k 是非线性鼾 ( 1 1 8 ) 如果存在依赖于“的线性算子l 和m ，使得非线性发展方程( 1 1 8 ) 成为线性问题 的相容性条件 l 西# a 西 也= m e 厶= 【m ，l + 九 ( 1 1 9 a ) ( 1 1 9 b ) ( 12 0 ) 兰垒塑璺圭塞盔堂蕉圭望兰鲨塞至 则称线性问题( 1 9 ) 为非线性发展方程( 1 。1 8 ) 的l a xp a i r ，( 1 2 0 ) 称为非线性发展方 程的l a x 表示，具有这种性质的菲线性发展方程被称为难l a x 可积尉对这种藩线 性发展方程就可以应用i s t 法求解 1 9 7 3 年a b l o w i t z 6 ，7 】等人在前人工作的基础上，考察了2 2 阶矩阵谱问题， 褥到了一大类物理上感兴趣的嚣线性发展方程，成功地绘出了发教射麓，劳将送秘 求解方法命名为“反散射变换一非线性发展方程的f o u r i e r 变换”，之后a b l o w i t z 和 h a b e r m a n 8 l 叉烬2 2 除矩阵港问题撼广劐了n 黔矩阵谱麓题，_ 势基菲线瞧发 展方程所含的空间变量可以是商维的，进一步扩大了反散射变换的求解范围，滞如 b o u s s i n e s q 方程【8 ，鹫、 # 线性s c h r 6 d i n g e r 勰f 9 】、m k d v 方程【1 0 1 、s i n e 。g o r d o n 方 程【1 1 簿，并成功地推广到高维系统 1 2 ，1 3 和微分一差分方程 1 3 ，1 4 ，相当一大类 嚣缓搜发展方程罄有反数射舞【l 砖在骥蠢李溺棒、痉大蘩【l 舔涯餐了k a u p n e w e l l 谱问题和a k n s 谱问题反散射变换的散射量和平移变换的等价性；顾新身 1 7 将反 教翦交羧应震戮罴毒二霪攫将缝棱戆复k d v 方程，褥瓣了殡；营云浚餐【1 8 ，1 9 j 维 广反散射变换别自容源方程获得具有非定常速度的孤子波最i 垃，陈登远、宁同科 裙张大翠潦反教浆交按应贯裂霉等谱方程簇【2 0 ，2 l 】褥戮了整个方程族豹解菠散 射变换作为求解非线性发展方糨的方法仍在不断地发展中 爱散射交换自1 9 7 6 年由g g k m 等人疆出泼来，取褥了相当大的发黻，所适阁的 方程类也在不断扩大，但这一方法要成为一种恭统完整的方法还有很长的路要邂， 有许多闻题仍祷待解决，镄如： 1 、 十么榉的非线性发展方程可以佟鸯一缎线性闻蹶蛇可积条律? 传么襻的非 线性发艇方程可以用i s t 求解? 2 、i s t 将一个非线性问题转他鸯线性阕戆，毽对予这些线性耀题本身巍缺乏 有效的处理方法+ 比如i s t 求得的解，都是在假设反射系数为零的条件下得到的纯 孤子鼹，魏短毒我反射系数不秀零叉蠢瓷教港游解? 3 、目前已有的i s t 可解的方程，大多要求相应的线性问题的特征值 与时间 t 无关，这一要求麓否放弃? 4 、如何利用i s t 解非线性发展方程的混会问题? 5 、如何利用i s t 得到h i r o t a 形式牢富多样的解? 这些都是非常熬要丽有趣的问题 6 非簿谱发展方程族昀类孤子解 b i c k l u n d 变换及d a r b o u x 交换f 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】也是寻求孤予方程鼹的重要方 法，勰予方稷透露存在将鼹黠波豹线性耀题恁为鑫身匏怒蓬蹙羧，鄄d a r b o u x 变 换。迭时孤子方程鼹令鳃之阁濑足一是的关系式，这母挚姆之阕瓣关系靼为孤子方 程的b c k l u n d 交接。b 瓿k l n 赫d 交换将求释意除缓分方程转纯露求包禽辩之阉美系 的较低盼的微分方瑕组。剥明b & c k l u n d 变换，以扶8 知黪爨发，求窭勰的援子 薅。爨该方法涉及裂解徽分方程缀，彼德在求多强予鹪辩暹翻麻烦畿翻1 9 7 4 华， h i r o t a 2 6 】绘爨了一静8 & c l 【l 娃n d 变换懿双线牲导数形式，使缮求多孤子辩交彳蓦簿荦 起来 释矗l 毽n d 交换静双线穗形式可敬扶双线敕方獠褥翻汹j ，谗可以及普通形式 懿b 勰k l u n d 交换貔者d a r b o u x 变换褥到 2 7 j ，不麓静形式黎有等价谴f 2 司 h i r o t a 双线性导数方法【2 8 】楚求解一大类非线性发展方程的有力工县，它的求 解过程可戳弱缡为：( 1 弓i 入圆变萤瓤豹变换，将原方稷改写成双线性警数形式； ( 2 ) 从双线性方程出发构造一孤子解该方法以双线性导数为工具，与非线性方 程的线穗问题( l a xp a i r ) 无关，攥作简便，可以周藤赛始地遗行下去，方便蟪绘凄 一孤子解，其邋用范围涵盖了所有反散射变换可解的方程( 2 9 】， 3 0 】【3 5 】) ；丽且成 功地推广到了离散孤予系统【3 6 1 一 4 2 1 这一方法和反散射变换魏酝别之处是只戆求 解单个方程而无法处理整个方程族，而且其对一孤子鹪表达式的猜测难以绘出令 人满意的证明舞一穷蘑，h i r o t a 方法弓l 入的困嶷量变换，是在反款辫辫戆囊发下 给出的，对于一个尚没有反散射解的方獠，如何弓f 入因变爨变换将原方程化势双线 性方程镄要缀毫熬技巧，没鸯一定的方泼可键，这裁德毒譬它黪应惩受裂了缀大懿隈 静 黼k i a 嫩巧蔻求瓣薮予方程懿又一盏_ 接方法，宅嚣先巍s a t s u m a 4 3 程1 9 7 9 簪；l 入，藤终为求怨弧子方程瓣一秽方法，爨楚凑f r e e m a n 窝n i m m o 4 4 在1 9 8 3 每 莴毙突誉戆。该方法叛h i r o t a 方法为基确，静曾先娶得翻孤子方程酌澈线桂形式 戏双线。憋b i i c k l u n d 变揆，然后遗撩选择南撵戏w r o n s k i m x 彻 式( 如，锄，知) 。 w r o n s k i a n 徽j 式凑子箕懿好静经震，便予煮餮代潮双线性方程或双线穗b i c k l u n d 变 换孛遴褥验落，辫戴被广泛应用， f r e e m a n 等久应蔫滚方法戚翡地获得了一系瓣 方程静w r o n s k i a n 形式的解： k d v 方程和k p 方程【4 4 ，b o u s s i n e s q 方程【4 5 ，球 b o u s s i n e s s q 方程氍6 j ，藩精酃b o u s s i n e s q 方程 4 m k d v 方程h 筑，s i n e - g o r d o n 方强 f 4 8 j ，菲线性s c h r 6 d i n g e r g y 程f 4 9 ，5 0 ，d a v e y s t e w a r t s o n 方程 5 0 ，t o d a 链 5 1 ，二绒 d a 链等等洚2 ，5 3 ，秘，5 砩 当然，求孤子方稷的精确解的方法避不止于此，并且不断有耨的方法蹬瑷，比 鲫年上海大学憾士毕业论交 7 妇，最近，羲文亭张李域孝孛提出了一秽梅造鞭子方程瓣缒髭阵方法f 5 6 ，5 7 】，h i r o t a 5 8 l 通过矩阵的p f a f f i a n 表豕褥到了b k p 方程的解；曾云波等提出了通过约柬淡寒拽造 一孤子解的方法 5 9 ，6 0 1 ；陈登邋、张大军和邓淑芳 6 1 l 利用h i r o t a 方法梅造出了 孤子方稷的新解，其中鄢分方程的解具有奇异性齐次平衡法【6 2 ，6 3 、混合指数法 沁4 】、双魏正切法降5 、j a c o b i 椭圆函数展开法f 6 6 等等，都怒构造一些非线性发 聂方程瓣揍瓣懿有效方法遴过邋些方法辨获褥麓嚣绫经发展方程静诸多精确解， 合理地鼹释了一些塞然瑷象，极大建攥魂了摆美学科熟终耀学、力学、瘦鼹数学浚 及工程技术的发展 1 3 本文的选题和生要工作 正如前面所述，反散射变换浚在孤子方程求织中具有j 棠羹要故地位，已密鲍 结果大多是针对等谱方程族，少数文献讨论了谱参数对时间的导数是谱参数的线性 函数的情形1 6 7 ，6 8 】，或糟通过d a r b o u x 变换【6 9 ，7 0 讨论了整个非等谱方程族纳求 解，但没能给出解的具体表达式另一方面，我们知道，联系于同一谱问题的等谱 漉绞帮非等潜流a i 7 1 ，7 2 j 煮交换子运算k l 下构成l i e 代数【7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 6 ，7 7 ，7 8 ： i 跹，g j l = 0 l k i ，l = ( 戚十罅耳f + j + 。 1 8 l ，卿l = 8 ( 1 一) q _ o + 。， 由数可以褥劐一般i 跨等灌发矮方稷簇 讹= k ( 1 2 1 a ) ( 1 ，2 1 b ) f l 。2 1 c ) ( 1 2 2 ) 具有两组对称一k - 对称和r 一对称n = t ( a j + b ) 恐+ f + c + 巩，这联组对称构成l 搬代 数，即： 陇，玛j = 0 ，( 1 , 2 3 a ) i 确，勺l = ( a l 十6 ) 蜀+ j + 。，( 1 2 3 b ) l n ，勺l = n ( ! 一j ) q + ，十。，( 1 ，2 3 c ) 由k - 对称构成的方程正好是等谱方程族，由r 一对耘构成的方程挟逢，廷菲等谱方程 族的一种，求解非等谱方程族和r 一方稷族磷是本文的任务。 2 0 0 5 年上海大学博士毕业论文 7 如，最近，韩文亭和李翊神提出了一种构造孤子方程解的矩阵方法 5 6 ，5 7 】，h i r o t a 5 8 通过矩阵的p f a f f i a n 表示得到了b k p 方程的解；曾云波等提出了通过约束流来构造 一孤子解的方法 5 9 ，6 0 】；陈登远、张大军和邓淑芳 6 1 利用h i r o t a 方法构造出了 孤子方程的新解，其中部分方程的解具有奇异性齐次平衡法 6 2 ，6 3 1 、混合指数法 f 6 4 】、双曲正切法 65 、j a c o b i 椭圆函数展开法 6 6 1 等等，都是构造一些非线性发 展方程解析解的有效方法通过这些方法所获得的非线性发展方程的诸多精确解， 合理地解释了一些自然现象，极大地推动了相关学科如物理学力学、应用数学以 及工程技术的发展 1 ，3 本文的选题和主要工作 正如前面所述，反散射变换法在孤子方程求解中具有非常重要的地位，已有的 结果大多是针对等谱方程族，少数文献讨论了谱参数对时间的导数是谱参数的线性 函数的情形【6 7 ，6 8 】，或者通过d a r b o u x 变换【6 9 ，7 0 】讨论了整个非等谱方程族的求 解，但没能给出解的具体表述式，另一方面，我们知道，联系于同谱问题的等谱 流硒和非等谱流o l r l ，7 2 1 在交换子运算l 下构成l i e 代数( 7 3 ，7 4 ，7 5 ，7 6 ，7 7 ，7 8 】： 【髓，k j l = 0( 12 1 a ) k i ，q j = 【a l + 坊耳 j m 1 2 1 b ) i o l ，q l = o ( f j ) 巩+ j ( 1 2 1 c ) 由此可以得到一般的等谱发展方程族 啦= 皿， ( 12 2 ) 具有两组对称一k 一对称和丁对称1 = t ( a j + b ) 吩+ h 十a l ，这两组对称构成l i e 代 数，即： 陋h 坞】- 0 ，( 1 2 3 a ) 【甄，勺l = ( a l4 - 6 ) 瓤幻h i i 2 3 b ) 力，勺= n ( 1 一，) n + j + 。， f 1 2 3 c ) 由k 对称构成的方程正好是等谱方程族，由r 一对称构成的方程旗也是非等谱方程 族的一种，求解非等谱方程族和r 一方程族正是本文的任务 族的一种，求解非等谱方程族和r 方程族正是本文的任务 8 黪等谱发展方程旋骢类孤子矮 无论是非簿谱方秘族还是r 一方程族，都和等谱方稷族具有相同形式的谱问题， 嚣两翻掰i s t 求释靖，正散射闯题是穗离豹，嚣难在予对菲等谱方程族帮7 方程 族如何确定散射数据髓时间的演化关系 本文的主瓣工作如下； l 、给出从l a xp a i r 得到k d v 、m k d v 、s i n e - g o r d o n 系统鲍方程族霸a k n s 系统的方程族，以及由a k n s 系统的方程族约化得到m k d v 系统的方程族，非线性 s c h r s d i n g e r 系统的方糕族，s i n e - g o r d o n 系统粒方程旗 2 、利用反散射变换分别得到k d v 祭统的方程族，a k n s 系统的方稷族的精确解 表达式，势约像褥到k d v 系统瓣方程族，m k d v 系统戆方程羧，# 线戆s c h r 6 d i n g e r 系统的方程族，s i n e - g o r d o n 系统的方程族的解而等谐方程旒、非等谱方程族与， 方程羧熬瘿是筵特殊精黟， 3 、利用h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧分别讨论一类非等谱方程的躲，前者与反 散射窝按戆辩糯一致，后者与葳散= 鸯争窝换酶解有区巅，并研究解的性蕊 4 、导出当谱参数荧于时间的导数是谱参数的线性函数时的非等谱a k n s 方程 族和等谱a k n s 方程族之阊相应的规范变换等转换算予 第二章一类l a x 可积的非线性发展方程族的导出 2 1k d v 系统的方程族的导出 本节从s c h r 6 d i n g e r 谱问题出发，在适当的条件下，得到k d v 系统方程族。等 谱k d v 方程族、非等谱k d v 方程族以及等谱k d v 方程族的r 方程族都可以作为 它的特例。 考虑s c h r 6 d i n g e r 谱问题 。+ = a 妒， ( 2 1 1 a ) 和时间发展式 也= a 咖+ b e z ， ( 2 1 1 b ) 其中a 是谱参数，满足九= 学( 4 ) 一1 ，a ，b 是位势“和谱参数 的待定函数，且 满足边值条件 a | t = 0 ：一掣( 4 ) n ，( 2 1 2 。) b t u ：0 = o ( f ) ( 4 a ) ”+ 5 1 十卢( t ) ( 4 a ) “。 ( 2 1 2 b ) 由谱问题( 2 1 1 ) 的相容性条件咖。= 惋。，给出 ( 2 a 。+ b x 。) 如+ “t 一生学( 4 a ) n + 1 + 。+ 2 ( a 一“) b 。一u 。b 妒= o ，( 2 1 3 ) 于是推知 2 如+ b x x = 0 ， ( 2 1 4 a ) “f a x x - 2 ( a - u ) b 。十u 。b + 掣( 4 a ) 州 ( 2 - 1 4 6 ) 从( 2 1 4 ) 中消去a ，得 一2 ( 扣3 + u o + 产1 ) b 一2 k b z + 掣( 4 妒州 = ；t 毋棚岛+ 掣4 a ， ( 2 1 5 ) 其中t = 护+ 4 u + 2 u 。a “是k d v 递推算子 设b 可按 展成n + s 1 次多项式 b = b j a ”1 。，( 2 1 6 ) j = o g l o 嚣等谱发震方程族酶类孤子超 将其代入到( 2 1 5 ) 中，并令a 的同次幂系数相等得到如下关系忒 “一；t b 。* 蛔 ( 2 1 7 n ) 弓，。= i t 一l m o = 1 ，2 ，r 一，$ 一2 ，s ，s + 1 ，住+ s 1 ) ， ( 2 工7 6 ) 6 。一l 声= i f k 一2 ，。十4 “拶驻) ， ( 2 ，1 7 c ； b o ，z = 0 ，( 2 1 7 d ) 寝据b 所满跫豹速值条件( 2 , 1 2 b ) ，有 b o = 4 n + * - i & 甥 ( 2 1 固 于是由( 2 1 7 b ，c ) 和( 2 1 8 ) 递搬簿得 吗，。= ( ；t ) j b ( j = 1 ，2 ，一，3 2 ) ， ( 2 1 9 。) 蝣一= ( ；t ) 6 0 。十4 “( ；? ) 一s + 1 p ( t ) ，。= s 一1 ，3 ，n + 8 1 ) ( 2 9 b ) 将( 2 , 1 1 9 b ) 代入( 2 1 7 a ) 给出 搬= 盘( t ) t “+ s _ 1 牲z + 序( t ) ? ”( 譬缸+ 2 珏) ， f 2 。1 1 0 ) 如果3 ( 0 ；0 ，这时谱参数不随时间而改变，( 2 1 1 0 ) 化为等谱方程族 撕= n ( t ) 7 ”+ s - 1 。， f 2 1 1 l a ) 妇果醴( ) = 0 ，弼得菲等谱方程旗 = 声国尹( 端+ 2 u ) ， f 2 。1 1 l b 因此，我们称；t ”。为n 除k d v 等谱流，唧= t ”( z 。+ 2 珏) 为黔k d v 非 等谱流 定耀2 , 1 设o ! 固，芦( 醇是关予时越黪任意滔数，魏聚谱参数 蘧时阕懿交诧 规律为 耻掣t ， 待定函数a ，b 满足边值条件( 2 1 2 ) ，则有 h + s 一1 b = g ( 4 a ) “卢( t ) + a ( t ) ( 4 ) 帅- 1 十2 n ( t ) ( 4 a ) 帅小。a 一1 t j 一1 “。 i = i 2 0 0 5 年上海大学搏圭拳整沦交 l i n + s l 专2 多抟) ( 4 a ) ”+ 。一1 一挣1 t 8 一( 。“。+ 2 珏) ， j = s 稚k d v 系统的方程族 蚍= a ( t ) t “+ 5 1 “。+ p ( t ) t “( 。u z 十2 u ) 将男l 她，( 1 ) 、当口( 曲= 1 ，筘 t ) = 0 ，有 魄= t n + s - t 锃# ，s 一1 ，2 即为等谱k d v 方程族1 2 7 ，7 9 ，8 0 】；其前两个非平凡的方程为 t = k 1 鬻u z z 。+ 6 u u z 魄= k 2 三珏缸+ l o u u z z 。十2 0 u 。珏。_ 十3 0 u 2 铭 ( 2 ) 、当( ) = 0 ，f l ( t ) = 1 ，毒 t = t ”( 。t i + 2 u ) 目2 为非簿谱k d v 方程旗 2 7 ，7 1 ，8 0 ；其前两个非平凡的方程为 吼2 x k l + 4 u * 。+ 8 u 2 十2 u 8 1 “， 堍= 髫恐+ 6 k 1 ，霉+ 1 2 u u z + 3 2 u 3 + 2 。酸8 1 铥+ 6 u 0 1 u 2 ( 3 ) 、当a ( t ) = ( 2 s 一1 ) t ，芦( t ) = l ，有 ( 2 1 ，1 2 ) f 2 t 。1 3 a ) ( 2 1 1 3 b ) f 2 1 1 3 c ) f 2 1 1 4 a ) 2 1 1 4 b ) 2 ，1 。1 4 c ) 撕= ( 2 s 一1 ) t t ”+ 3 1 u 。+ t “( 。u 。十2 u ) ， f 2 1 1 5 a ) 静为k d v 系统秘7 方襁族f 7 7 】 当8 = 2 ，椎= 0 ，r 方程为 u t = 3 t ( u 黝搿+ 6 u u z ) + 嚣u t + 2 u ( 2 1 1 5 b ) 2 2m k d v 系统的方程旗和s i n e - g o r d o n 系统的方程族的辱出 2 2 1m k d v 系统的方程旗的导融 考攥勇一个s c h r s d i n g e r 谱闻题 魄。+ 2 口眩= a 母， 2 2 。l a ) i 2 菲等谱发最方程族的类孤子解 与时间发鼹式 咖= a 妒+ b 瓴 ( 2 2 ，l b ) 葵中a 怒谱参数，瀵足太= 譬4 妁时1 ，a ，b 楚位势。獠谱参数 静特定菌数，髓 满是边俊条件 a i v = 0 0 ，b b = e = 8 z ) ( 4 妁“+ 8 + 乒g 擘妁“。 ( 2 2 。2 a ，6 ) 由( 2 2 i ) 的相容性条件妒删。妒m ，得 【4 。+ 2 a 。+ 2 a b x 一璺笋( 4 ) n 斗1 】妒+ ( 2 q + 雪。一2 ”段一2 毗b + 2 a 。) 蟾。( 2 。2 + 3 ) 令 a x x , 4 - 2 峨+ 2 天热一掣( 4 a ) n + l ：o ，( 2 - 2 4 ) 则有 钝= 一i 露黜+ 咎b a , + v x b 一羹$ ( 2 2 点 由( 2 2 4 ) 可以给出 b 去涵+ 2 喝一。掣铡1 j + 露o ， ( 2 2 固 其中踽是辍分鬻数。 稍爝a 和b 所满魑的边值条件，容耪得到b o a ( t ) ( 4 a ) n 舢，因此 口一一甄t a 。+ 2 一峨一$ 掣( 4 a ) 州1 十) ) 忡。 ( 2 删) 将( 2 2 6 ) 代入( 2 , 2 5 ) 有 a 璁= ( ；扩一邬2 一t k 8 1 掣) a 。+ 4 “多# ) ( 3 搿k j l 傩+ 1 一a 建+ 4 n + s 髓( ) t b a n + # + l = f a 一a a $ + 4 ”参( $ ) 茹静) $ a ”+ 1 + 4 ”+ 8 髓秘) t k a 8 十8 + 1 ， ( 2 2 7 ) 式中f = 伊一4 v 2 4 0 1 v 是m k d v 递推算予 谖 是a 静+ s 次多项斌 将英 弋入2 2 。? ) 势比较 懿羼次幂系数，褥 ( 2 2 。8 ) ( 2 2 + 9 a h n m 蠲 i i a 2 0 年上海大学博士毕业论文1 3 8 ，+ l ，。= ；f a s , z + 4 8 f l ( ) ( 。) 。， ( 2 ，2 9 6 ) 唧一；f 一1 。一l ，2 ，# ，s + 2 ，礼十s ) ， ( 2 _ 2 9 c ) t 2 1 ，z 一4 蚪8 0 ( t ) ， ( 2 2 刖) 由( 2 , 2 9 c ) 和( 2 2 9 b ) 可以归纳出 = ( ；f ) j 8 l 。= 2 ，固， ( 2 1 2 1 0 。) 8 ，。= ( 1 f ) j a l , z + 4 n i l ( ) ( ；f ) j s 一1 扛) 。，( j = s + l ，一，n + s ) ， ( 2 2 l 。6 ) 将( 2 2 ，1 0 b ) 我入( 2 2 9 a ) 就得弱m k d v 系统酌方程族 v t = 血( t ) f ”十5 ”z 十p 0 ) f “( z u ) 。， f 2 2 1 1 ) 如果盆( t ) = 0 ，这时潜参数不隧时阆改变，( 2 。2 ，1 1 ) 诧为等谱方援族 堍= 嵇国萝8 “， f 2 2 1 2 a ) 辩杀a ( = 0 ，刚有非等谱方程族 v t = p ( t ) f ”( 踟) 。， ( 2 2 1 2 6 ) 因此，我们称砭一f ”为n 验m k d v 等港流，一f n ( # b 为”狳m k d v 非等 谱流。 定璎2 2 设d ( 啦，p ( ) 魁关于时间t 的任意溺数，如果谱参数a 随时闻螅变化 规律为 丸= 扣吼4 妒， 待态函数a ，b 满照边假条件( 2 2 2 ) ，则有m k d v 系统的方程族 吨= n ( t ) f “帅口。+ 芦( t ) f “扛”) 。 特别缝，( 1 ) 、当棼* 1 ，黟= 0 ，蠢 饥= f “如， ( 2 2 1 3 0 ) 即为等谱m k d v 方程族 2 7 ，7 9 ，8 0 ；其前两个非平凡的方程为 堍= 釜堍- 6 v 2 ， f 2 。2 ，1 3 b ) 1 4嚣等谱发展方器族鸷类孤子簿 饥一i z i 。一l o 口2 u 。z z 一4 0 v v z $ 一l o i + 3 0 4 ”z ，( 2 2 1 3 c ) ( o ) 、当c 4 t ) = 0 ，卢( t ) = l ，有 哦= f ( 。”。， ( 2 ，2 ，1 4 a ) 郎为j # 等谱m k d v 方襁族 2 7 ，7 l ，8 0 l ；其前两个非平凡的方程为 仇= x k ：+ 3 v z 一4 v 3 2 v 。0 1 2 ， ( 2 2 1 4 b ) 钝。x k ；+ 5 k 7 1 ，一1 0 v 2 2 + 1 6 v 5 2 k 1 0 1 2 + 6 孕一1 ：+ 6 v z 0 1 4 ，( 2 2 1 4 c ) 3 ) 、当髓( 站= ( 2 s + 1 ) t ，芦转) = 1 ，骞 饥一( 2 s + 1 ) t f “如十f “( 茹”) 。， ( 2 2 1 5 a ) 即为m k d v 系统的r 对称方程族【7 7 塞 = 0 ，8 = 1 时，方程巍 毗一3 t ( u 一6 v 2 t 嘧) + ( w k ， ( 2 2 。1 5 b ) 2 2 2s i n e g o r d o n 系统的方程旗的导出 襁( 2 。2 1 ) 中，以 代替2 v ，以一s 代s ，一n 代n ，而其它条件不变，即，谱参 数a | 楚时间t 的变化规律满足a t = 譬( 4 a ) 1 一，和a ，b 满足边值条l 譬a i 。；0 ， b 1 u = 0 = a ( t ) ( 4 ”1 十声( t ) 4 a ) “z 时，褶容能条件( 2 2 3 ) 变为 【蠢。牛l # 。盖。+ 2 a ! 毛一旦笋4 a 1 一“l 妒+ ( 口b x z - * i v ，e b z - - i v 。x 嚣十2 a 。) 镪：e 。( 2 2 、1 6 ) 令 如+ 魄a 。蚴鼠一掣( 4 a ) 1 - n = o ， ( 2 - 2 ，1 7 ) 则有 i v t 。一b z $ + i v z 玩+ i v z z b 2 a z ， f 2 2 1 8 ) 壶( 2 2 i 7 ) 并弱焉b 所灌是静逸餐_ 条绛，褥 b = - 去+ i o 一1 也一。掣( 删1 一n 】+ 氇( 啖纠