（光学专业论文）有克尔介质时相位耗散腔内jaynescummings模型的纠缠动力学研究.pdf

硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 摘要 j - c 模型是量子光学中描述光场与原子相互作用最简单和最典型的模型，是用来 描述单个二能级原子与单模辐射光场的相互作用。本文主要是从考虑腔耗散和加 k e r r 介质来研究j c 模型。把j c m 模型同时扩展到腔耗散和加克尔介质的情况，到目 前为止，仅有一篇文章做了类似工作。但是他们在讨论耗散或克尔介质对原子与光 场之间纠缠的影响时，用的是线性熵理论。光场的线性熵( 原子线性熵) 描述的是 光场( 原子) 与原子( 光场) 和环境组成系统之间的纠缠，它不能描述原子与场之 间的纠缠。所以用线性熵描述原子与光场之间的纠缠是不完美的。 当一个系统由三个元素组成( 比如a ，b 和c ) ，o l a y a - c a s t r o 等人用下面的式子来 描述原子与光场的内秉纠缠( i n t r i n s i ce n t e n g l m e n t ) ，鸠。b = 邑+ & 一以，b ，m a ，口 可以非常好地来描述了a ，b 之间的纠缠。本文用o l a y a - c a s t r o 等人理论研究 力h k e r r 介质耗散腔中标准j c 模型和非线性j c 模型，k e r r 介质对原子、光场之间内秉纠缠 的影响。结果表明随着k e r r 介质的增强其内秉纠缠随时间演化周期变小。 本文将标准j - c 模型和依赖强度耦合j c 模型在考虑相位耗散的情况下放入克 尔介质中，来讨论克尔介质对两种j c 模型线性熵及内秉纠缠演化的影响。在旋波 近似下得到系统的有效哈密顿量，通过解矩阵元得到原子和光场的约化密度算符， 从而获得原子、光场和系统的线性熵及内秉纠缠。然后比较在没有克尔介质和有克 尔介质的情况下线性熵的变化，再观察随着克尔效应的增大，线性熵及内秉纠缠呈 现出的变化。 关键词：克尔介质；j - c 模型：依赖强度耦合j c 模型；内秉纠缠；相位耗散；线 性熵 a b s t r a c t j a y n e s c u m m m i n g sm o d e li sas i n g l et w o l e v e la t o mi n t e r a c t s 埘t l las i n g l em o d e o ft h ee l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o nf i e l d e x p e r i m e n t a la c h i e v e m e n t s 、析t hr y d b e r ga t o m s e x p l a i nt h er e v i v a lo fi n t e r e s t si nt h ej c m a n di t sv a r i o u sg e n e r a l i z a t i o n s t w oo ft h e i m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n sa l et h ej c m w i t hc a v i t yc a m p i n ga n dj c mw i t hk e r rm e d i u m i ti so fi n t e r e s tt og e n e r a l i z ej c mw i t hb o mc a v i t yd a m p i n ga n dk e r rm e d i u m t oo u r k n o w l e d g e ，t h e r ei so n l yo n es u c hg e n e r a l i z a t i o n si nl i t e r a t u r e t h ep u r p o s eo ft h e p r e s e n tp a p e ri st os t u d yt h ed y n a m i c so ft h ec a v i t y - d a m p e dj a y n e s c u m m i n g sm o d e l w i t hk e r rm e d i u m f o ra s y s t e mw i t ht h r e ec o m p o n e n t s ，a ，ba n dc ( f o ro u rc a s e ，ai saa t o m ，bi sa f i e l da n dci se n v i r o n m e n t ( o rd i s s i p a t i v ec a v i t y ) ，o l a y a - c a s t r oe t a ls h o w e dt h a tt h e i n t r i n s i c e n t a n g l e m e n t , m a1 b = s + s8 一s 毒母i s a g o o dq u a n t i t y t od e s c r i b et h e e n t a n g l e m e n tb e t w e e na a n db ，w h e r es a ，s b a n ds a b a r et h el i n e a re n t r o p i e sf o rt h e c o m p o n e n ta ，ba n ds u b s y s t e maa n db ，r e s p e c t i v e l y i nt h i s p a p e r , i n s t e a do fu s i n g l i n e a re n t r o p yo fa t o m e l d ) ，w ew i l lu s et h ei n t r i n s i ce n t a n g l e m e n to fa t o ma n df i e l dt o d e s c r i b et h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nf i e l da n da t o m t h i st h e s i ss t u d yt h ei n t r i n s i c e n t a n g l e m e n tb e t w e e n t h ea t o ma n dt h ef i e l do ft h es t a n d a r dj c ma n dt h e i n t e n s i t y - d e p e n d e n tc o u p l i n gj c m t h er e s u l ts h o w sk e r rm e d i u ma f f e c t st h ep e r i o do f t h ei n t r i n s i ce n t a n g l e m e n t t h en o n l i n e a ro fk e r r - m e d i u l ni sf r o mt h er e f r a c t i v ei n d e xc h a n g i n gw i t ht h el i g h t i n t e n s i t y k e r r - m e d i u mh a st h en o n l i n e a re f f e c tb e c a u s eo fi t sd i f f e r e n tr e f r a c t i v ei n d e x c u r r e n t l y , p e o p l ew i d e l yf o c u so ns t u d y i n gt h a ti n f l u e n c e so fl i n e a re n t r o p i e se v o l u t i o n i nt h ej - cm o d e lw i t hk e r rm e d i u mi n s i d eap h a s ed a m p i n g c a v i t y w eh a v ed i s c u s s e dt h a tt h es t a n d a r dj - cm o d e la n dt h ei n t e n s i t y - d e p e n d e n tc o u p l i n g j - cm o d e la l ei nk e r r - m e d i u mi n s i d eap h a s ed a m p i n gc a v i t y , a n dk e r r - m e d i u m i n f l u e n c e st h el i n e a re n t r o p i e sa n dt h ei n t r i n s i ce n t a n g l e m e n te v o l u t i o no ft h et w oj - c m o d e l t h e 爱t n l ew a y , i nt h er o t a t i n g - w a v ea p p r o x i m a t i o n , w ec a l lg e tt h ee f f e c t i v e h a m i l t o n i a no ft h es y s t e m b ys o l u t i o nd e n s i t yo ft h em a t r i xe l e m e n tw ec a l lg e tt h e r e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o ro fa t o ma n df i e l d s ow eh a v et h el i n e a re n t r o p i e sa n dt h e i n t r i 掷i ce n t a n g l e m e n to fa t o ma n df i e l d k e y w o r d ：k e r rm e d i u m ；j a y n e s - c u m m i n g sm o d e l ；i n t e n s i t y - d e p e n d e n tc o u p l i n gj - c m o d e l ；i n t r i n s i ce n t a n g l e m e n t ；p h a s ed a m p i n g ；l i n e a re n t r o p 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 杨洒锄 吼砰乡肛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：釉洵杓 日期期年易月衫日 导师签名：云冶 日期：p 9 年6 月乙禺 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l l 规定享受相关权益。 中的 导师叛棚导师签名：勿v ，为 日期：b9 年6b 乙胃魏 蝴铆1 料 中 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 在量子光学中人们最感兴趣的是量子光场中原子的相互作用 1 】。这类问题的原 型就是普通j a y n e s c u m m i n g ( j c ) 模型【2 】，j c 模型是量子光学中描述光场与原子相 互作用最简单和最典型的模型，可以用来描述单个二能级原子与单模辐射光场的相 互作用，这个模型可以在旋波近似( r w a ) t 得到精确求解，并且可以获得系统动力 学的纯量子特性，例如拉比振荡的崩溃与回复【3 ，4 】、压缩光场【5 】和光子数准泊松统 计 6 】等。更多的研究j c m 是因为它的预言很容易被实验所证实【7 ，8 】，从而使这个 单纯的理论有了实验和应用价值。实验上把激光冷却【9 】的囚禁粒子与q e d 腔的相 互作用来模拟原子与场的有效相互作用，粒子做谐振运动【1 0 】。在这种情况下离子 的谐振运动假定被场模所代替。例如，通过q e d 腔实验观测到原子激发态的回复 【l l 】，为离散光子提供了直接的证据。里德堡原子的实验结果可以解释j c m 中的原 子回复现象和进行一些j c m 的推广研究。 里德堡原子的实验研究取得突破性进展，重新激发了人们对j c 模型研究的兴 趣，对j - c 模型再次做了大量扩展。其中两个重要的推广就是耗散腔中的j c m 和有克 尔介质时的j c m 。 在过去的二十年中，人们研究的焦点在于该模型加入耗散以后的变化 1 2 2 1 1 。 实验上制备的高激发态里德堡原子使扩展j - c 模型的一些预言得到证实。除了实验 的驱动，理论上的耗散机制也引起了人们对j - c 模型研究的兴趣。j c m 的耗散效应 是由于系统与外界环境的能量交换产生的，其中的一些方面已经得到了解析解 【1 2 1 8 和数值解 1 9 2 1 的证实。可以肯定的是，纠缠是量子理论最根本的问题【2 2 】， 对纠缠的研究可以更好的解释一些基本的量子现象，如量子密钥分配【2 3 】，量子隐 形传递【2 4 】，超密编码【2 5 】和量子计算 2 6 】。许多文章对标准j - c 模型纠缠的性质做 了详细的研究 2 7 3 4 ，纠缠可以通过解主方程m 伍) 即计算有效哈密顿量的对角元 【3 5 - 4 0 和有相位耗散腔的标准j c m 4 0 来解决。此外人们还研究了由相干光场而产 生的纠缠和熵的增j j i l 4 1 。 克尔介质可以用来讨论量子态的应用、量子光学通讯和多模压缩理论【4 2 】，因 此研究有克尔介质时原子和光场的相互作用是用重要意义的，克尔介质的潜在应用 也被w e m e r 和r i s k e n 所揭示 4 3 ，他们认为在克尔介质中腔耗散和热场对场的压 缩效应的影响微乎其微。b u z e k 和j e x 】推广的j c m 包含二能级原子和周围的类 克尔介质，称为b j 模型，他们主要研究了这个模型的动力学特征，结果表明克尔 硕士学位论文 m a s t e r s1 m e s i s 介质的存在使原子的粒子数反转更具有规律性 4 5 ，并且克尔介质削弱了场的准泊 松分布 4 6 和场熵 4 7 。b u z e k 和j e x 还考虑了附加克尔介质的高q 腔中，光场与 二能级原子的单光子过程( 即不考虑腔体的单光子损耗) ，分别研究了克尔介质对 原子动力学行为和对光场性质的影响 4 8 j 。j o s h i 和l a w a n d e 4 9 研究发现腔场和克 尔介质的非线性耦合导致j c m 的荧光光谱急剧变化。j o s h i 等人【5 0 】还研究将上述 模型的单光子过程推广为简并的双光子过程。自从三能级原子表现出一些重要性质 以后，如激光的无粒子数反转，电磁场透明诱导和光子反冲下的激光冷却 5 1 - 5 4 等，b j 模型还扩展到研究三能级原子 5 5 5 8 3 。l a i 等人 5 6 研究了非共振条件下 一个三能级原子和双模相干场相互作用，发现克尔介质导致原子跃迁发生移位，被 称为绝热散射移位，他们还通过改变非线性克尔介质三阶极化率的来研究这类问 题，事实上这个理论在实验上不容易实现。在文献 5 8 中讨论了单模光场的情况， 但是并没有在原子的初始态得到绝热散射移位。 在这个方面已有的研究中，我们感兴趣的是j c m 中既有耗散腔又有克尔介质。 除了m j w e m e r 和h r i s k e n 研究了克尔介质对相位耗散腔中j c 模型准概率分布的 影响外【5 9 】，几乎没有人把有腔的损耗和克尔介质同时存在时，两者对光场一原子系 统行为的影响来做研究，因此把克尔介质对相位耗散腔中j c 模型线性熵演化的影 响作为论文的选题是很有意义的。 p e i x o t od ef a r i a 等人利用j c m 研究色散近似，耗散腔在零度条件下原子和场纠 缠和退相干情况 6 0 】。周等人讨论了二能级原子在s t a r k 移位情况下与耗散腔中的双 光子耦合的动力学特性【6 l 】。张立辉等人研究了光场，原子和光场一原子耦合系统的 线性熵，这个系统是在相位耗散腔内是由一个二能级原子和一个相干光场在大失谐 的情况下组成的 6 2 。为了研究原子和场之间的纠缠，他们用原子和场的线性熵来 表示，系统的线性熵是用来描述系统( 原子一光场) 和环境( 色散腔) 的纠缠，而 且光场( 原子) 的线性熵是用来描述场( 原子) 和原子( 场) 加环境的纠缠。因此 单纯用光场( 原子) 线性熵来描述光场( 原子) 和原子( 场) 的纠缠是不完善的。 如果一个系统由a ，b 和c 三个子系统组成( 对我们而言a 是原子，b 是光 场，c 是环境或者是色散腔) ，为了更好的描述其中两个子系统a 和b 的纠缠，我 们定义内秉纠缠( i n t r i n s i ce n t a n g l e m e n t ) 。 m l b = s + s b s 气。bq 专门描述子系统a 和b 之间的纠缠。其中s 。和分别表示a 和b 的线性熵。 既然m r 反映的是a ，b 之间的纠缠情况，那么它就应该满足： 1 m 。日满足线性熵满足一些不等关系。特别当系统由两个子系统构成时， 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 也，丑心+ ；当系统由三个子系统构成时，r 8 c + 鸠j + c 2 它是半经典的，岛。口o ，取等号的时候表示a ，b 是相互分离的两个态； 3 帆j ( f ) 随时间演化是一个连续函数； 4 帆j 在局部幺正变换下保持不变等。 本文研究的主要内容： 在第二章中，我们将介绍本文主要的理论知识。首先介绍j c 模型，接着介绍 克尔介质和克尔效应。 在第三章中，我们复述了张利辉等人在没有克尔介质而存在相位损耗的j c 模 型中线性熵的演化。通过对二能级原子与单模光场相互作用系统考虑相位损耗时的 密度算符所满足的方程进行运算，得到原子、光场、原子光场系统的线性熵，从而 得到在考虑能量损耗的条件下，衰变常数与线性熵的关系 6 0 6 2 。 在第四章中，我们在已经讨论存在损耗的j c 模型中线性熵的基础上，使我们 模型处在克尔介质中。然后写出在相互作用绘景中系统有效哈密顿量，同样是对二 能级原子与单模光场相互作用系统考虑相位损耗时的密度算符所满足的方程进行 运算，得到原子、光场、原子光场系统的线性熵和内秉纠缠，从而得到克尔介质对 线性熵和内秉纠缠的影响。 在第五章中，我们将讨论在耗散腔中依赖强度耦合j - c 模型( 非线性j c 模型) 【6 2 线性熵的演化，同样模型仍处在克尔介质中。采用与第四章相同的方法，对二 能级原子与单模光场相互作用系统的密度算符所满足的方程进行运算，得到原子、 光场、原子光场系统的线性熵和内秉纠缠，从而得到克尔介质对线性熵和内秉纠缠 的影响。 第六章是对本文的总结和展望。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章本文的理论基础知识介绍 2 1 h ( j a y n e s - c u m m in g s ) 模型 j c 模型是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器时提出的，由单个二能级 原子( 或分子) 与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理想模型。它是描述 原子与光场相互作用的一种理想模型。由于对它只需作旋波近似就可以精确求解， 因此不仅在量子光学中，而且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常 被采用。 j - c 模型在旋波近似下的哈密顿量为 h - - g _ o o s z + ( o c t + a + 6 ( t 2 + 奠+ 啦) ( 2 1 ) 这里口+ ，口分别为频率为国的单模光场的产生算符和湮灭算符，芝和墨是描述本 征跃迁频率为的二能级原子行为的赝自旋算符，占为原子一光场耦合常数，它反 映原子与光场相互作用的强度。显然，上式右边的第一项对应裸原子的能量，第二 项对应光场的能量，第三项表征光场与原子的相互作用能y ： y = 。占( 口+ 蔓+ 仍叉) ( 2 2 ) 这种相互作用过程体现为在原子跃迁时伴随发射和吸收光子的过程，把( 2 1 ) 式分 解为 日= 风+ y ( 2 3 ) 其中风为裸原子与光场无耦合情况的能量算符： 风= 逆+ 绷+ a ( 2 4 ) 由( 2 2 ) 和( 2 4 ) 可以看出，风和矿之间满足 【风，y 】= o ( 2 5 ) 因此风和y 之间可以随意交换顺序。 ( 2 1 ) 式满足含时间的s c h r o d i n g c r 方程： 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 掣= e l 删 ( 2 6 ) 若光场初态处于f o c k 态l ，1 ) ，原子初始处于激发态l e ) ，则( 2 6 ) 式的解可设为： i ( f ) ) = 唧h 国+ 导) h 小一哪 - 和邶国一邻酬烈川，) q j ) 将式( 2 1 ) 、( 2 7 ) 代入式( 2 6 ) ，可得满足初始条件的解为： q 一e 即( 雠c o s ( 半) 一z 百as m ( 剀 晓8 ) 啪，= 警唧( ，筹) s i n ( 譬) 晓9 ) 其中，= q 一国为失谐量，q 万= 0 i 百再百i f 为r a b i 振荡频率。此时，原子的 粒子数布居差为：s = l c l 。1 2 一i c 2 。( f ) 1 2 = 可a 2 + c 0 s ( q 力( 1 _ 篙 。可见s ( t ) 随时间 做周期性振荡，即原子与光场周期性的交换能量。当n = 0 时，光场为真空态，系统 呈现出真空r a b i 振荡的纯量子特征。当光场处初始处于与静电场最接近的相干态 l 口) ：壹gi 刀) ，z ：e x p ( 一h 2 ) 丢时，系统会呈现出更为复杂的量子效应。如图l j l = o7 、，以! 所示( 设原子初态为l p ) ) ，布居的振荡由一系列不同频率的r a b i 撮荡以不同的权重 晷，l 而晚导皲骨子崩塌一同每硼爱 图2 1相干态光场作用下的原子布居演化 在标准j c 模型的量子态演化过程中，光场的力学量也呈现出非经典效应。例 如反聚束效应。在标准j c 模型中，即使光场初始处于最接近经典的相干态，光场 在演化过程中也会出现正交相位分量压缩等量子效应。人们运用量子熵理论研究了 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 标准j c 模型的纠缠，并研究了其保真度，为量子通信、量子算法、量子计算和 全光量子计算机的开发与研制提供了理论依据。 2 2 克尔( k e r r ) 介质和克尔效应 2 2 1 经典的克尔效应 1 8 7 5 年j k e r r 发现某些各向同性透明介质在外加电场下具有双折射性质。设 nl 和刀工分别为介质在外加电场后平行和垂直电场方向的折射率，折射率差 6 n = r 一，那么a n = 凡翘2 ( 2 0 是光在真空中的波长，e 是外加电场强度，七是 克尔常数) ，因此a n 不是与e 成正比而是与e 2 成正比，所以克尔效应是一种非线 性效应，常将其称为平方电光效应。当光通过这种加上调制电场的透明介质时，介 质中平行和垂直电场方向的光在经过一定长度后发生相位差，所以克尔效应起可变 波片的作用，其特点是响应快，可达1 0 1 0 h z ，因此可作高速摄影中的快门，对光强 进行调制。 2 1 2 克尔介质的非线性过程 近年来，非线性克尔介质对光场性质的影响越来越引起人们的注意。研究发现 克尔介质对光场与原子相互作用系统的量子特性有重要影响。 当两束光同时入射到克尔介质时，由于克尔效应的存在，两束光将发生相互作 用【6 3 ，6 4 。相互作用的哈密顿量可以写为 h 吐= h k n 口r 1 6 = h k a + a b + b( 2 1 0 ) 其中k 代表耦合系数，反映了克尔效应的强度，与分别是两个相互作用光场 模式a 和b 的光子数算符，口+ ( 口) 为a 模的产生( 湮灭) 算符，6 + ( 6 ) 为b 模的产生( 湮 灭) 算符。 与上述哈密顿量对应的时间演化算符为 ； u ( t ) = e x p ( - z h o d ) = e x p ( - i n o n b x t ) ( 2 1 1 ) i i 考虑两束入射光分别为光子数态和相干态的情形，则两束光在介质中传播时间t 后 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的光场态演变为 v ( t ) ir l 口l 口 6 = lr l 口i 蹴一袖 6 ( 2 1 2 ) 其中处于f o c k 态的模a 的状态不发生变化，而处于相干态的模b 的相位改变了 n z ( z = k o 。特别是当入射光场a 处于单光子态i1 。时，光场b 的末态为i 伽一7 6 ， 相位改变量f = 缸由克尔效应耦合系数和相互作用时间共同决定。 i 珏 l 口 交叉克尔 非线性介质 打 一i 椭 图2 2f o c k 态光场与相干场在交叉克尔介质中相互作用 7 硕士学位论文 m a s t e r st 1 4 e s i s 第三章相位耗散腔中j - c 模型熵的演化 本章是张立辉、李高翔和彭金生等人在考虑相位损耗的情形下，研究了大失谐 下二能级原子与相干态场相互作用系统中熵的演化，讨论了不同的原子初始状态和 光场平均光子数对光场线性熵、原子线性熵和光场一原子系统线性熵的影响。 3 1 密度算符和线性熵 在旋波近似下，j - c 模型中描述单个二能级原子与一单模辐射场相互作用的哈 密顿量可以写为 6 5 ( 7 l = 1 ) h = h o + 珥( 3 1 ) 其中： 吼= 疋+ 国口+ 口 ( 3 2 ) - h j = s ( a + s + 啦) ( 3 3 ) 式中a + ，口分别为频率为国的单模光场的产生算符和湮灭算符，最和瓯是描述本 征跃迁频率为的二能级原子的反转和跃迁算符，占为原子光场耦合常数。我们 定义单光子失谐量为万= 一c o ，在大失谐( 万占( 门+ 1 ) v 2 ) 的条件下，在相互作 用绘景中，系统的有效哈密顿量可写为 + 垆= q ( 口+ 口+ 1 ) l e ) ( e i - a + a i g 1 即学殄4 ”1 ) 1 ) ， 则可得到矧 2 z n 即为大失谐的条件。 在大失谐的条件下，( 4 7 ) 式可以近似写为 盈打国c 聆+ 争+ z 刀2 粤高c 刀+ t ， 当万 0 时， 虬十c 刀+ 争+ 争朋2 + 譬，旧 则可以得蛰i 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 皿+ = 国( 口+ 口+ 三) + 害+ 和+ 绷+ 口+ 等( 口? 口+ 1 ) ( 4 8 ) 同理可知 - i 川) 卜+ 争害坳2 一了6 2 ( 川) 卜) 可以得到 儿= 嘶+ 口- 丢) 一吾+ z ( a + a - 1 ) ( a + a - 1 ) 一了s 2 ( 九) ( 4 9 ) 可得到整个j - c 模型的有效哈密顿量为 h 凳= i t o + h 譬 = 加+ a + c o o s ：+ ( 4 1 0 ) 0 ，式中 厶p ( f ) = 名( 2 口+ a p ( t ) a + g - a + a a + a p ( t ) 一p ( t ) a + a a + 口) 如果t = o ，式中 厶p ( f ) = a ( 2 a p ( t ) a + 一a + a p ( t ) 一p ( t ) a + 口) 4 2 求解矩阵元主方程 我们将密度算符写成矩阵的形式 删= 踹矧 则( 4 1 2 ) 式可以写为： 万d 户撑= 一f 【q 口+ 口+ z 口+ 绷+ 口，p 韶】+ l c p 贸 1 4 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 a ) 硕士学位论文 m a 8 t e r st h e s i s 盖2 一珏q 口+ 口+ z ( 口+ 口一1 ) ( a + a - 1 ) ，】+ t ( 4 1 4 b ) 丢如= 一f q ( 口+ 口+ 1 ) + 和+ 口口+ 口) 一如 一鼢+ 口+ z ( 口+ 口一1 ) ( 口+ 口一1 ) ) + 厶如 。 ( 4 1 4 c ) 罢靠= 一f 卜q ( 矿口) + z ( 矿口一1 ) ( a + a - 1 ) p g , 一如 q ( 口+ 口+ 1 ) + 和+ 伽+ 口) + 丘艮 ( 4 1 4 d ) 我们假设在t = - o 时，原子处在基态和激发态的相干叠加态 i 伊( o ) ) 。= i p ) + ，g l g ) ( 4 1 5 ) 这里匕和名分别代表原子处在i e ) 和i g ) 态的概率幅。光场处在相干态 ，= 炉掣军秘 于是在初始时刻系统的密度算符 竺攘测m l + a l e 讹m l + b a * 1 9 二) ( p ，m l + b b 1 9 一( g m l = 口二l p ，刀) ( p ，而( g ， ，刀) ( p ，刀) ( g ， r 7 e h ( 4 1 4 ) t f l l ( 4 1 7 ) 式可以得到密度矩阵元的解为 化妒i 2e - _ i a f 荟篙e x p i _ 槲刀刊吲! 1 2 - - m 2 肛砌训2 蚋( 聊| ( 4 1 8 a ) = k 1 2 9 斯善篙e x p 一堰一2 力拧+ ( q + 2 力斫+ z ( n 2 。m 2 冲一旯( 拧一荔) 2 f i 刀) ( 朋i ( 4 1 8 b ) ( 力= 咖村劬坳荟弓黯e x p q q 仰+ 砷+ z 。2 _ m 2 + 2 m ) p 一五伽一朋) 2 f ) i 刀) ( 埘l ( 4 1 8 c ) 如( f ) = r z y # + n 却善与黯e x p 一疽q 伽+ 朋) + z 伽2 _ m 2 + 2 n ) 】f 一名。一所) 2 f i 刀) ( 朋l ( 4 1 8 d ) 利用( 4 1 3 ) 式我们可以得到原子和光场的约化密度算符分别为 以( f ) = 吩p o ) = p p ( f ) l ，) = 洲+ 乞一一协e x p 时p 一棚 ( g i ( 4 1 9 ) + 乞p 新+ 州c x p 呐2e x p i 2 n + z l f l g ) ( p l + 啪g ) ( g l 1 5 和 乃( f ) 2 吃加) = 几+ = i r 1 2 z 。州( 口历 ) - - - - - ：e x p 一椭一所) + z ( n 2 _ m 2 ) y 一力( 刀一坍) 2 f ) l 以) ( 历1 w p 埘善篙唧- f 2 - 2 z ( q m 腑z ( n 2 _ m 2 肛砌一叫愀朋l ( 4 2 0 ) 4 3 线性熵 4 3 1 原子的线性熵 凼为 ( dp o ( o l e = l r , 1 2 ( g i 成( f ) i g ) = 埘 ( 机( f ) i g ) ：o w 劬+ 协e x p 一 口1 2e 冲讲 ( g l p o ( o t p ) ：o - t 4 砌一协e x p 一a e 忡训 所以利用( 4 2 1 ) 式可以得到 ( e i p 0 ( t ) l e ) = ( e i p o ( t ) l e ( e p o ( t ) l e ) + ( e i p o ( t ) g ) ( g p o ( t ) l e ) = 阿+ ”吲2e 州e x p ( 2 1 a 1 2c o s 2 ( q + z ) ， ) ( g l p 0 ( t ) l g ) = ( g l p o ( t ) l e ) ( e l p o ( t ) l g ) + ( g l p o ( t ) l g ) ( g l p o ( t ) l g ) = 蚵+ 川名1 2p 制e x p ( 2 wc o s 2 ( q + z ) ， ) 利用( 4 1 9 ) 和( 4 2 2 ) 式可以得到原子的线性熵为 。 疋= l - t r p ；( t ) = l - ( j f 废( ，) i j f ) = 1 一( p i 虏( f ) i p ) 一( g l p 2 ( t ) l g ) = 2 k 1 2l ，；1 21 一e x p ( - 4 a 2s i n 2 ( q + z ) f ) ) ( 4 2 1 a ) ( 4 2 l b ) ( 4 2 l c ) ( 4 2 l d ) 4 3 2 光场的线性熵 由( 4 1 8 ) 式可知 ( t l p , , i k ) = l 1 2p 材善与黯e x p 卜【q 仰一哟+ z ( n 2 _ m 2 ) 】f 一旯伽一枘2 r ) ( 州刀) ( 聊1 i 磅 1 6 ( 4 2 2 a ) ( 4 2 2 b ) ( 4 2 3 ) 埘e 村善篙唧愀) + z ( n 2 - m 2 ) t - a ( n - m ) 2 t 8 h 8 , , e , 似2 4 曲 = k 2e - 恤t 2 等e x p 陋m 酽搿肛妒州 。 ( j | 帅) 埘g 耕筹e x p h _ d 坝肛n p 一兄 却) ( 4 2 4 b ) 埘e 材篙唧- f 2 - 2 z 卅( 9 m 灿州2 搿肛妒妒f d = i r 1 2 鬻e x p - q - 2 z 肚( f 2 + 2 z 灿肿2 - j 2 肛刖厅) 吁d 军( 引ti ，) 亏丢( 引几i 七) ( 七l 几l ，) = i 1 4 e 砷丢号署e 冲 之允u 一后) 2 ，) ( 4 2 5 a ) 军( 引露l ，) = 丢( 引i 后) ( 七i 艮i ，) = i 1 4 e - 2 1 a l 丢辱e x p - 2 允u 一七) 2 ， ( 4 2 5 b ) z ，q l p p 露l * = 善( 珥以i 七) ( 后i l n ， 划m 刊2 丢嵴e 州2 ( 趣刊m ( 毗) ， t - 2 2 ( 1 - k ) 2 t h _ 5 。 z ，( 1 1 p 嚣p 1 1 ) = e 舷q l & l k ) ( k l p 1 1 ) ：川丢唔e 晰2 ( 酬m ( q + 为后 t - 2 2 ( 1 - k ) 2 t 2 5 由 因此光场的线性熵为 墨= l t r p 多( t ) = - 一 莩( 引t + 军( ，i t + 莩( ，i p p 露l ，) + 军( ，i p 嚣p i 四 2 d 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 将( 4 2 5 ) 式的结果带入( 4 2 6 ) 式中可以得到 s f - 一- 2 讦丢学e x p m 叫：卅4 讹i1 2 s i n 2 黔z ) ，+ ( - o - z 蚓 m 乃 4 3 3 系统的线性熵 l t i ( 4 1 8 ) 瓦口j 知 i ( 7 k i ，) 。；( ，k i 七) ( 后l i ，) 乞p 暂劬坳璺! ；：窖e x p 卜f 【q o + 牌) + z ( n 2 - m 2 + 2 朋) 】卜旯一朋) z f ) ( 川刀) ( 聊i l k ) fmv r l ! m ! 。 管名p w 劬瑚丢丐黯e x p _ 玎q ( n + m ) + x ( n 2 - 石2 + 2 刀净一名一朋) 2 ，；仁i i 刀) ( 历 = i r , 1 21 名1 2p 刊2 丢号订e x p _ 2 力u d 2 ，) 显而易见 军( 7 k 如l ，) 2 军( ，k 如i ，) 由此我们可得 s = 1 - t r p 2 0 ) = l _ 2 i 讹一荟学唧陬z ， 埘e 喇2 戮l a l 2 。t t + ：k ) e x p - 2 妒砰忡p 丢辱唧u 卅r 经过计算可以得到 蹦一荟辱唧- 2 弛砰f 4 4 结果分析 4 4 1 线性熵的结果分析 根据( 4 2 3 ) 式、( 4 2 7 ) 式和( 4 2 8 ) 式，选择三种不同的初始原子分布【即1 ) 基态： 名2 l 2 。：2 ) 激发态：，g = 。，匕= 1 ；3 ) 基态与激发态的叠加态：匕= ，g = 击】 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 来讨论光场、原子以及光场原子系统的线性熵的时间演化。当原子初始处于基态或 激发态时，由( 4 2 3 ) 、( 4 2 7 ) 和( 4 2 8 ) 式可以得到，光场、原子以及光场一原子系统的 线性熵在这两种原子初态下，其线性熵的演化规律完全相同，原子的线性熵始终为 零，而且克尔介质对其无任何影响，原因是在考虑大失谐的情况下，原子不存在激 发态与基态之间的跃迁过程，原子将始终处于初始纯态，克尔介质不会影响到其初 始纯态。如图4 1 所示。 图4 1 当= l ，吒= 0 或r g = o ，匕= 1 ，h 2 = l ，兄= o 1 q 时，线性熵疋，曲，s 的演化 1 当原子初始处于基态与激发态的等概率相干叠加态，即r e = 厂g = 去时，系统 、二 的线性熵随时间的演化与原子初态为基态获激发态时完全相同，表明系统的线性熵 随时间的演化与原子初始状态无关。在克尔系数z = 0 的情况下，原子线性熵的时 间演化具有较完美的周期性，光场的线性熵随时间的演化呈现周期性但振幅减小的 振荡。 如图4 2 所示： 图4 2t u n e e v o l u t i o n o f 疋，s f o r 口| 2 = 1 ，兄= 。1 q ，g = 匕= 万1 ，z = 。 但是，当克尔系数z 不为零的时候，系统的线性熵随时间的演化没有任何变化， 而具有完美周期性的原子线性熵和具有周期性且振幅减小的光场线性熵的周期都 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 受到了克尔效应的影响，如图4 3 所示。 宣 毒 耋 詈 g l j ( a ) z = 0 1s 釜 暑 葛 詈 j c o ) 冈5 占 ( c ) 舻占( d ) 护5g 图4 3 t u n ee v o l u t i o no fs o ，s f o r l a 2 = l ，五= d 1 q ，r g = 匕= 去 7 二 从图4 2 和图4 3 中原子熵、场熵和原子光场系统熵的演化图像可以得出如下 结论； ( 1 ) 原子光场系统的熵没有受到克尔介质非线性相互作用的影响。原因是系统 的线性熵反映的是系统与外界环境的相互作用，而加入克尔介质只是影响了系统内 部的耦合。 ( 2 ) 克尔介质非线性相互作用影响了场熵和原子熵的周期性。在图4 2 中z = 0 无 克尔介质非线性相互作用，即为标准的j - c 模型的场熵和原子熵演化。从图4 3 ( a ) 到 图4 3 ( d ) ，随着z 的增大，场熵和原子熵的振荡频率加快，可以看出场熵和原子熵 敏感于克尔介质的非线性相互作用，克尔介质直接影响其熵演化的周期性。所以克 尔介质可以起到调节场熵和原子熵的作用。 4 4 2 原子与光场纠缠的结果分析 存在相位耗散的j - c 模型中，为了获得二能级原子与单模光场之间的纠缠，我 h叠暑_矗蓉g一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 们利用( i ) 式，去掉耗散腔对它们之间纠缠的影响，可以得到 m = s 4 + s 广s = 2 i 1 2 1 名1 21 一e x p ( - 4 口ls i n 2 ( q + z ) f ) + 卜衍丢学唧陋) 2 r 1 _ 4 i 矸1 名1 2s 证2 ( q 训州n 二阁f ) i 一卜讲丢辱唧 - 2 2 ( 1 - k ) 2 t ) ( 4 2 9 ) 根据( 4 2 9 ) 式，当h 2 = l ，2 = 0 1 q ，r g = 乞= 百1 ，讨论克尔介质对原子与光场纠缠 的影响。如图4 4 所示。 q t r a d ( a ) z = 0 2 1 项士学位论文 m a s t e r st h e s i