（计算数学专业论文）多边s面片和四边bézier曲面的光滑拼接.pdf

摘要 三边和四边面片经常被用来做自由形式的设计，现在三边和四边b 6 z i e r 面片在计 算机辅助几何设计的逼近理论中是最基本的工具，但是有些自由形式的曲面在拓扑结构 上既非三边也非四边，有些三边和四边面片拼接以后经常会在参数域留下一个多边形， 多边面片如何与周围的面片光滑拼接仍然是一个重要的研究领域 本文立足于多边曲面的拼接问题提出了一个简单的光滑拼接条件，并且给出了一种 新的算法，可以使任意边的s 一面片和任意阶四边b 包i e r 面片进行光滑拼接在文章的 结尾，我们给出了例子作为实际的应用 关键词：b e r i l s t e i n 多项式，多边s - 面片，四边b 6 z i e r 曲面，重心坐标，g 1 连续 a b s t r a c t t a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a rp a t c h e sa r et y p i c a l l yu 5 e df o r 矗e e f o r md e 8 i g n t b d a y ， t r i a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a rb 6 z i e rp a t d l e s 盯e 缸n d a m e n t a lt o o l si na p p r o x i m a t i o nt h e _ o r ya n dc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g nh o w e v e rs o m es u r f a c e st o p o l o g i c a l l ya r e n e i t h e rt h r e es i d e dn o rf o u rs i d e d ，a n da s m b l yo ft h e s eh n d so fp a t c h e sn e c e s s a r i l y 1 e a e sn s i d e dh o l e s ， t h i sp a p e rp r e s e n t sas c h e m es u c ht h a tm u l t i s i d e ds p a t c h e sc a ns m o o t h l yc o n n e c t e d w i t hr e c t a n g u l a rb 6 z i e rp a t c l l e so fa n yd e g r e e s a t1 8 s t ，w eg i v ep r a c t i c a le x a m p l ea si t s u s e k e y w o r d s ：b e r 璐t e i nf u n c t i o n ，m u l t i s i d e ds p a t c h ，r e c t a n g u l a rb 6 z i e rp a t c h ，b a r y c e n t r i cc o o r d i n a t e s ，g e o m e t r i c a lc o n t i n t l i t y 1 1 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明 学位论文作者：马刺敝 z d 咕年年月踟日 一引言 2 0 世纪9 0 年代以来，几何造型技术的研究，已经从面向工业造型转到数字娱乐 ( d i g i t a le n t e r t a i n m e n t ) ，科学计算可视化和医学手术模拟上，它在现代科学研究领域中 发挥着越来越重要的作用其中将不同的几何图形用一些基本简单图素表示，诸如机械 零部件，卡通原画，建筑立体面等等，常常表达成一组图形或若干个图组构成的图形， 如何将这些曲面光滑拼接是一个重要的研究课题在计算机辅助几何设计中，我们经常 用三边面片和四边b 6 z i e r 曲面来设计自由形式的曲面，但在有些自由形式的曲面的设 计拓扑结构上非三边和四边，有些三边和四边面片拼接以后经常会在参数域留下一个多 边形，在这个时候传统的三边面片和四边面片就不够用了，我们需要考虑多边面片，因 此，多边面片在现代计算机辅助几何设计中仍然是一个非常重要的研究领域如何拼接 多边曲面和其它曲面图素，使其光滑连接具有实际意义。这个时候就用到了g 1 连续和 g - 连续的概念，其中g 1 连续即几何连续性更有实际的应用价值，这是因为几何连续性 在视觉上是光滑的，它在c a d c a m 、几何造型和逆向工程中发挥了非常重要的作用 b 6 z i e r 曲线是法国雷诺( r e n a i l l t ) 汽车公司的在1 9 7 1 年发表的一种由控制多边形定 义曲线的方法，b 包i e r 方法的c a g d 学科中占有很重要的位置，b 6 z i e r 曲线曲面在自由 眭甘线曲面的设计中，一直保持着不可替代的重要作用，它广为人们接受，它为c a g d 学 科的发展及c a d c a m 技术的发展奠定了坚实的基础，在实践中表现出强大的生命力 这种以控制多边形定义曲线曲面的方法具有自然和直观的特点，用这种方法进行曲线曲 面设计时，能够以直观交互使人对设计对象的控制达到直接的几何化程度已知一个由 四边b 6 z i e r 曲面围成的空洞，如何用一个曲面填补该漏洞并且使该曲面与周围的四边面 片光滑拼接一个非常有用的问题，为此我们参阅了一些文献，文献【8 】，【9 和 2 提出的 方法适合n = 3 ，5 ，6 的多边形与四边的b 6 z i e r 面片的光滑拼接，s a b i n 和h 0 8 a k a _ k i m u r a 曲面片的边界分别是2 和3 阶的b 6 z i e r 曲线 1 0 】定义的曲面给出了当n = 3 ，5 ，6 时， 其边界睦线可以是任意阶的在这些文章中，控制点的列阵针对于不同的多边形的边数 n 是不同的，当n 7 时没有相同的结论【5 提出了一个光滑拼接的条件，可以填补任 意边的由任意个任意阶的四边b 6 z i e r 曲面围成的漏洞但是由于求解的复杂性，没有给 出实际的例子本文通过对【5 】的光滑拼接条件的研究，提出了一个更简单的的光滑拼 接条件，并在此光滑拼接条件的基础上，提出了具体的算法在文章的结尾，我们给出 了两个具体的例子作为这种算法的应用 2 二多边s 面片与四边b 6 z i e r 曲面的光滑拼接 1 多边s 一面片及其在边界上的切平面 假设d 是一个r 2 中的凸n 边形域如下，k ，k 表示其顶点 n 五， i j 图1 重心坐标的定义 我们可以定义凸n 边形域d 的重心坐标= ( t ，t 2 ，k ) 为 n q + 厶h - 心，”) 害塑生一= 害塑生一 n t q w + -工“+ - ( u ，u ) = lf j l ， = lf j 一1 ，j 其中q + 。表示q m + ，的面积，而厶，l + 1 ( “， ) 表示这个凸n 边形域d 的边，且 在u = ( ，) 和+ l = ( “l 十1 ，q + 1 ) 的假定条件下，l j ，j + l ( u ， ) 有下列表达 l f ，“1 ( 让， ) = 一( 础+ 1 一地) ( “一u f ) + ( u h l 一u 1 ) 扣一嘶) ( 1 2 ) 参照图1 我们可以很容易地得到t = ( t - ，2 ，t 。) 具有如下的性质 1t 1 + 亡2 + + t 。= 1 ， 2 在凸n 边形域d 中满足，o ，2 = 1 ，n ， 3 3 在边厶，f _ 1 ( ，u ) 上有赴+ t f + l 一1 ，岛= 0 ，i z ，j + 1 。 s + 面片是第一个真正被提出用来构造任意边任意阶的多边曲面的，s 一面片控制点 的点阵序列与m i n k o w s l 【i 和相联系，以下我们给出m i n k o w s k i 和的定义 假设，和t ，是两个n 元组，那么m i n k o w s k i 和，o j 有如下定义： 更进一步地，我们定义 ，曰bj = l + j i i t j 以 j m = ，o o ，= ，”一2 0 ， 、_ _ _ _ _ 。，。- _ _ _ 一一 m 整数m 称为索引列集的深度，显然，多边曲面深度的定义和标准b 6 z i e r 曲面的阶 数是一致的 为了便于理解，我们给出如下的例子，若 ? = ( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( o ，1 ) ) 贝归每f 礼= ( i ，j l i o ，j o ，t + j m ) ， 同理，若 r = ( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 1 ，1 ) ，( o ，1 ) ) 则有r = 0 ，b o ，女m ) 基于m i n k o w s k i 和的定义，对任意的n 边曲面，我们可以用若干个n 元组作为它 控制点的索引，形如，= ( i 1 ， 2 ， 。) ，其中i l ，i 2 ， 。均是非负的整数进一步地，我 们定义它的模f ， = f 1 + i 2 + + 如，显然深度为m 的的索引列集有 ， = m 。综上，任 意的n 边深度为m 的曲面的控制点索引可以表示如下 ，= ( i 1 ，i 2 ，如) ，其中i 满足i ，i = m 为了便于理解，如图2 ，我们给出了深度为2 的五边曲面的索引 4 p u o 图2 深度为2 的五边形的控制点的索 很自然地，由重心坐标的定义和m i n k o w s k i 和的知识，我们可以定义在n 边形域d 上深度为m 的s - 面片，它具有如下的形式 p 俐= b p ( t ) b( 13 ) l 川= m 在等式( 1 3 ) 中，印( t ) 是n 个变量岛的b e 璐t e i n 多项式，有 l 厄刀却，帕“怯) 4 = 1 ，霹= 焘坪咎舒 ( 1 4 ) l j = m 1 根据上面的等式，s 一面片的b e i l s t e i n 多项式的和为1 ，正定性，插值边界等一些重 要的性质可以很容易地得到s 一面片的b e n s t e i n 多项式的和为1 可以很容易地得出s 面片具有几何不变性，即和坐标的选取无关的性质，这是非常好的性质 根据等式( 1 1 ) 我们可以得到在边厶抖l ( “，”) 上的重心坐标满足 屯= 0 d z ，z + 1 ) f l5 ) 由此，很容易得出由( 1 3 ) 定义的深度为m 的多边b z i e r 衄面在边界上是m 阶的b 6 z i e r 曲线，其控制点如下： p ( 。一女) m ，( = o ，1 ，m ) 5 由此可见只要s 面片的控制点和四边b 6 z i ”曲面在边界上相应的控制点一致，则这个 s 一面片一定过四边b 6 z i e r 曲面的边界曲线故可以直接构造出满足其边界曲线为任意 给定的b 6 z i e r 曲线的n 边孓面片但是这个曲面在和四边b 6 z i e r 曲面的交线上不一定 光滑，因此我们需要对光滑拼接的条件进行讨论而光滑性是和切平面紧密联系的，故 我们需要先研究两个曲面的边界上的法向量 我们先研究s - 面片在边界上的法向量由前面章节的定义，我们有如下结论： 引理j 在边厶f + 1 ( “， ) 上 况 曲 ( 乱l 斗1 一u 1 ) l 。斗l ( 珏，口) 雄1 。 j = ls j l ，j f o r f ，2 + 1 f 一1 ，i3 l 一1 ，l j 三”+ 1 ( ，口) n 三 + 1 ( “，u ) ! 型= ! ：! = ! ! 型二! i r 。1 2 | l 卅，( ) l + f o r = z 一婺一f 挚 f o r ：f + 1 踟，知l 踟 。一 6 ( 1 6 ) ” 卧k 伊。崩 在( 1 3 ) 中定义的深度为m 的多边b z i e r 面片在边三f ，l + 1 ( u ，口) 上的切向量与咒+ ，( “，”) 成正比，其中 码十1 ( u ，”) = 薹，轰。而= i 嚣；f 可甲“t 甜筹【p ( m 叫时c h 小勺一p ( m 一埘时蛔+ - ( 1 7 ) 证明； 由前两节的定义，我们用p ( t ) 表示前面定义的多边形域d 上深度为m 的s 一面片，i 是 它的索引，有，= ( n ，t 2 ，靠，i l + l ，l 。) ，满足i 引= 巧= m ，且0 赴+ i j + 1 m ， 根据面+ 自+ 1 = m ，m 一1 ，和m 一2 ，我们可以进一步将它表达为： m p ( t ) = b ( 。一k ) 日+ 。( t ) 敛m 一) e l + k l k = 0 + 研( t ) 辟 i 川= m ，旬+ t i + 1 s m 一2 b ，i + 1 ( ) + 焉 女= 1j f ，l + 1 ，n ! ) ! ( 七一1 ) + 口p 0 ) 日 其中b 1 - l ( f ) 代表沿边厶h 1 ( u ，u ) 上的边界曲线。 7 f 1 8 ) 托m 日 一 m m + 显然，表达式第一部分与第一层控制点有关，表达式第二部分与第= 层控制点有关 表达式第三部分与第三层及其以内的控制点有关 而在边界厶，f + l ( u ，”) 上，有 a p ( t ) i a l m ， ) i so n 自1 + 1 ( u ， ) a r ，( t ) 踟 + 嘉( 嚣- 舀乱而= 蠢苦面t p “t 射岛 + 卵b 1 l j i = m ，“+ 由+ l m 一2 a 尸j ，l + 1 ( t ) 疣l 疣z 踟 + j f ，f + 1 + a b ，f + l ( ) 鹄 踟 蚤，磊。面 a b f + 1 ( t ) 侥l 况， 跏 m ! ) ! 限一1 ) 1 ( m 一七) ! ( 自一1 ) 矿。t 甜筹陆啦船帆+ 勺 氅掣豢+ 臻小”) 况， 踟“、7 t m - t 甜鬻能。柏卅嘶小r 啡m + 。 8 ( 19 ) 一 m + 它是多边s 一面片在边“f + 1 ( u ，”) 上的一个切向量，而掣也是多边s 一面片在边 l j n 。( u ， ) 上的一个切向量，从而，在边界馥线上的法向量可以表达如下； 掣掣l 脚岫。小m = 岩( 产筹+ 矾”，) 埘 = 拶矾( 刚) 从这个等式我们可以得到，强+ ，( 。，。) 和望! ! ；型一起构成边l “+ 。( u ，”) 上的法向量 u l ， 故一个和码+ ，( “，”) 成正比的式子可以代表边厶h ，( u ，：) 上一个切向量注意到前面 引理( 1 ) 中关于等的结论，可知矾( u ，渊分母为蚤。器，t ( 为了圣勺去 强+ 。( “，”) 的分母，我们用薹。县，j l ，+ t 沁”) 和它相乘 下面证明，如果域d 是正多边形域，并且和m + 1 的坐标满足( u ，耽) = ( o ，o ) ，( 柚+ 1 j ” + 1 ) ( 1 ，0 ) ，则 n 巧+ 。( “，o ) nl ”+ t ( 牡，o ) j = 15 j 一1 ，j = 薹，聂，f 蒜面) ( 1 严_ 1 ) 三。，。+ 1 ( u ，o ) 【p ( 。一k ) 目+ ( k 1 ) q + 。+ 勺一p ( m k ) 日+ q 十。】 。圳“。 ( 1 1 1 ) 证明 9 u + l8卧k 舻。趟 +臻 j 夕j j ? 蓑 期五 h ：p i ! 图3 ( m ，研) = ( 0 ，0 ) ，( “f + l ，q + 1 ) = ( 1 ，o ) 时的切向量多项式 如图3 所示，( 珏“研) = ( 0 ，o ) ，( “f + 1 ，钆+ 1 ) = ( 1 ，0 ) ，因此，在边l l ，m ( u ， ) 上有u = 0 ， 如果这个凸多边形域是正多边形，则有“l + 2 = l 一“，“ o ，由 ( 1 2 ) 可知 证明 在l ? ( u ， ) 上有 厶一l ，j ( 让， ) = 耽一1 “一珏l 一1 可= 砷一l 札 厶“1 ( u ，”) = 口= o l f + 1 ，h 2 ( 让，可) = 一q l ( 珏一1 ) 一钍l l u 一饥一1 ( 1 一u ) ( 1 1 2 ) 州刚，：黑：彘糕一 自( “，”) = 辜坚l = f 了羔掣等= u ( 1 1 3 ) nl 蛐+ 1 ( 刚) 卅以八“叫仙h 1 h 乱u 叫 故z ，f + 1 时有“= 0 ，且= “，2 l + l = 1 一“注意到( 1 6 ) 中女z ，z + l 时沿边 薹。昱k 刚( “，”) 等= ( 虮，一“。，卫 ：k 州( “，”) _ 。，卫 ，k 一( 刚) 1 0 且在边厶，( u ，u ) 上有u = o ，故在边l f f + 1 ( “， ) 上 它是“的( n + m 一4 ) 阶多项式这个式子它可以看作是前面e q ( 1 3 ) 定义的深度为m 的n 边孓面片在边厶f + ，( “，口) 上的一个切向量，为了以后引用的方便，我们定义； r b ( 札) = 巧+ 1 ( “，o ) l 。+ - ( u ，o )( 11 4 ) ，= 1 $ 一1 ，j 到这里就得到了多边形域d 上深度为m 的n 边s - 面片p ( u ， ) 在边厶h 1 ( u ，0 ) 上的一个切向量b ( “) ，它和p ( ，口) 沿“方向的导数r ( “，o ) 一起表示该曲面沿其边界 上的切平面 下 2 四边b 6 z i e r 曲面及其在边界上的切平面 为了以后的讨论，先介绍一下四边b 6 z i e r 监面，如果给定b 包i e r 曲面的控制点如 6 0 o6 0 1 6 1 o6 1 1 o6 m 1 则用张量积公式表达四边b 6 z i e r 曲面，公式如下 6 0 n 6 1 n 6 。 ( 2 1 5 ) | r “( u ，口) = 晚，j b ? ( u ) 曰( )( 2 1 6 ) 2 = o j = 0 其中吼，表示b 6 z i e r 曲面的控制顶点，而彰”( “) 和曰( ) 均是b e r l l s t e i n 多项式，有如 下表达： h 即( t ) 2i 一1 一) 。 凡 删2 i ，严“r 1 0 心 卧k 铲。闻 u +臻 i | 件t 纠。触 +臻 b 6 z i e r 曲面有如下性质： 1 b 自i e r 网格的四个角点正好是b 包i e r 曲面的四个角点，即r ( o ，0 ) = 6 0 ，o ，r ( 1 ，o ) = k ，o ，r ( o ，1 ) = 6 0 ，。，r ( 1 ，1 ) = k ，。 2 b 6 z i e ri ；田格最外一圈顶点定义b 包i e r 曲面的四条边界；b 6 z i e r 曲面的跨界切矢只与 定义该边界的顶点及相邻一排顶点相关；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及 相邻两排顶点有关； 3 几何不变性 4 对称性。 5 凸包性质 6 移动一个顶点6 i ，j ，将对曲面上参数为u = t m ， = j 加那点p ( t m ，j n ) 处的影 响最大。 我们用r l ( u ， ) 和风( u ，”) 分别来表示u 方向和 方向的切向量，它们一起构成 兄( u ，”) 在点( u ，”) 的切平面 3参数曲面的几何连续及s - 面片与四边b 6 z i e r 曲砸的光滑拼接条件 在计算机辅助几何设计中我们一般用参数形式来表示曲线曲面，前面所定义的曲面 也是参数曲面人们从经验赢觉中就发现，两曲线段相连接。只要在连接点有相同的切 线方向就认为是光滑的而按照参数连续性来度量光滑度，还必须有相同的切矢模长才 是e 1 的可见用参数连续性度量正则参数曲线的连接光滑度有些苛刻而相同地，若 要两曲面光滑拼接也只需要在连接点处处有相同的法线方向即可 两参数曲面的g 1 连续性又称为切平面连续性，其定义为：两曲面沿它们的公共连 接线具有g 1 连续性，当且仅当他们沿公共连接线处处具有公共的切平面或公共的曲面 法线。 设两曲面为p ( s ，t ) 与q ( u ，u ) ，有公共的连接线p ( 7 ) = q ( 1 ) 。该公共连接线不是衄 1 2 面的等参数线时，则沿公共连接线上每一点处有不相重合的四个切矢只( ，y ) ，只( 7 ) ，q 。( 7 ) 与仉( 7 ) 根据公共切平面的要求，这四个切矢应共面。共面条件在数学上可表示为 ( 只( 7 ) 只( 7 ) ) ( q 。( 7 ) xq 。( r ) ) = 0 特殊地，当公共连接线为两曲面的等参数线p ( s ，t o ) = q ( “，”o ) ，u = u ( s ) 时，在公 共等参数线上任一点处只与q 。平行，于是公共切平面要求就成为只，吼，吼三矢共 面条件，数学上表示为三矢混合积为零 ( 只，q 。，仇) = 0 由此我们提出s 一面片与四边b 6 z i e r 曲面的光滑拼接条件若要在点( “，0 ) 处满足 几何连续，则有r ( u ，o ) 和r ( u ，o ) 的叉积与民( u ，0 ) 和风( u ，o ) 的叉积成比例，而在 边界l ；“1 ( “，o ) 上有r ( ，o ) = 凡( ，o ) ，故在边界l f “l ( u ，o ) 上的几何连续的条件可 以化简为如下形式； b ( u ) ( 兄( u ，o ) 玛( u ，o ) ) = o( 3 1 7 ) 其中由前面的讨论可知b ( ) 是个伽+ m 一4 ) 阶多项式，又吼( u ，o ) 和j r t j ( u ，o ) 分别是u 的m 一1 阶和m 阶多项式，因此b ( u ) ( 足( “，o ) 风( u ，o ) ) 是一个( n + m 一 4 ) + ( m 一1 ) + m 阶的多项式。要使这个多项式等于零，只要各项系数等于零，故一个 边确定( n + 3 m 一4 ) 个等式又有n 个边，所以共有n m + 3 m 一4 ) 个等式 下面我们来考察可以影响b ( u ) 的控制点的数量，这些控制点满足的条件为挨着的 两位和为m 一1 ，这样的组合共有佗m 协一2 ) 个，这些组合中有重合的情况，我们要去 掉这些重合的情况： 1 中间的一位取m 一3 ，两边的各取l ，这种情况有n 个 2 一位取m 一2 ，其它位任意选择，这种情况共有n 一1 ) 个 因此共有n ( m n 一2 m n ) 个未知的影响b ( “) 的控制点这些点都是空间中的点，它们 的自由度为三，故未知量有3 n ( m 札一2 m n ) 个，而共有n ( n + 3 m 一5 ) 个方程，只需 要满足3 礼( m n 一2 m n ) n 扣+ 3 m 一5 ) ，这个方程一定是有解的。即一定存在满足光 滑拼接条件的s - 面片。 1 3 4 相容性条件 是不是只要满足3 n ( m n 一2 m 一礼) n ( n + 3 m 一5 ) ，就一定存在一个深度为m 的 多边s 一面片p ( u ，口) 可以光滑地填补由最高阶为m 的四边b z i e r 曲面围成的漏洞? 考察两个相邻的四边曲面，不妨设它们的控制点分别为 0 0 0 咖1 0 1 0n 1 1 0 2 o0 2 1 0 3 o0 3 1 口o 2n 03 口1 2n 1 ，3 口2 ，2口2 3 口3 。20 3 ，3 6 0 ，o6 0 1 h ob 1 1 6 2 ，o6 2 ，1 6 3 ，o6 3 1 6 0 26 0 3 6 1 ，26 1 3 6 2 26 2 3 b 26 3 3 有两种情况：一种是他们只有一个公共顶点，另一种是他们有一条公共边，其中后 者两个四边曲面之间满足几何连续的条件为： 6 0 1 6 0 o 6 1 1 6 1 o 6 2 1 6 2 0 6 3 1 6 3 o n 0 3 一口o 2 n l ，3 一0 1 2 0 2 ，3 0 2 ，2 0 3 3 一啦2 + 口 0 1 3 0 0 3 ( 3 一n 1 ，3 ) ；( 0 3 ，3 一啦，3 ) o + 叫 0 o l ，3 0 0 3 n 2 3 一n 1 3 0 3 3 一0 2 3 ( 4 1 8 ) 无论哪种情况，两相邻四边曲面必有一个顶点相交，即有n 0 3 = k - 0 考虑这两个四 边曲面的公共顶点。叩= 6 0 0 ，它应该在两个曲面上的法线具有共同的方向，否则必有 在顶点处有两个法向量，不管如何选取控制顶点，都不能使s 一面片分别和两个四边曲 面在顶点处光滑拼接由此我们提出相容性条件： 假定两个曲面在点( u ，”) 处在u ，v 方向上的的方向导数分别为r 。- ( u ，”) ，风。( ，口) 和 风2 ( u ，”) ，风2 ( u ，u ) ，若要有光滑填补漏洞的多边曲面存在，则必有相邻两两曲面满足： 叉积风1 凰- 和风2 见2 在两曲面交点的值成比例，如图所示： 1 4 图4 相容性条件 下面就两个四边曲面的控制顶点具体考虑相容性条件，由b 6 z i e r 曲面的性质在 8 0 3 = 6 0 o 处 风l = ( 知2 一知，3 ) ，r t j l = ( 0 1 ，3 一o o ，3 ) r u 2 = ( 6 0 ，1 6 0 ，o ) ，r 。2 ：( 6 l ，o 一6 0 ，o ) 又由微分几何知识，可知相容性条件为 ( n 1 ，3 一咖，3 ) ( n o 2 一知，3 ) = 【( 6 1 ，o 一6 0 ，o ) ( 6 0 ，l 一6 0 ，o ) 】( 4 1 9 ) 其中f 是大于零的常数 综上所述，相容性条件是存在曲砥可以光滑填补由四边曲面围成的漏洞的必要条 件。 5具体算法的提出 由前面推导出的结论，我们提出了以下可以几何连续地填补由n 个满足相容性条件 的四边曲面围成的漏洞的方法，我们把具体步骤列出如下： 1 5 1 如果给定的n 个四边曲面具有不同的阶数，找出n 个四边瞌面中阶数最高的曲面。 把它的阶数m 作为b 6 z i e r 曲面p ( t ) 的深度，同时对其它的四边曲面进行升阶，使 它们有共同的阶数m 为了使它们有共同的阶，我们运用升阶公式对它们进行升阶，升阶公式如下： 妒= 如0 1 球。f n 1 ( 5 。) j - 1 6 ；1 k 矗幻一，+ ( 1 一矗) 螗；j = o ，n + 1 ( 5 2 ) 其中1 表示进行了一次升阶，这样就可以得到升阶过以后的新的控制顶点更一般 的，若要进行r 次升阶，可以利用如下的升阶公式； ：妻吣f 托1 卢o j ( 5 3 ) 2 由前面的知识，我们可以根据( 1 3 ) 定义一个正n 边形域上多边s _ 面片p ( t ) ，并且 它在边界上的b 6 z i e r 控制点和相应的四边曲面的b 6 z i e r 控制点一致为了便于理 解，我们给出如下例子； 假定6 边s 一曲面p ( t ) 深度为3 ，四边b 6 z i e r 曲面的阶数为3 ，则在边三l ，2 ( u ，u ) 上 p 3 0 0 0 0 0 = 8 0 o ，p 2 1 0 0 0 0 = 0 0 1 p 1 2 0 0 0 0 = 。o 2 ，p 0 3 0 0 0 0 = n o3 在这一步骤，我们得到了深度为m 的多边s 一曲面p ( t ) 的满足目+ 旬+ 1 = m 的控 制点，它们是边上的控制点。 1 6 3 利用( 3 1 7 ) 的条件，我们循环地在每条边l l ，j + 1 ( u ，u ) 上都运用这个条件，由前面的 论述，我们可以建立一个方程组，选择适当的满足这个方程组的s 面片p ( t ) 的控 制点，使实现光滑拼接这一步骤，我们可以得到深度为m 的多边& 曲面p ( t ) 的 满足旬+ e = m 一1 的控制点： 七= 0 ，l ，一，m ，j f ，z + 1 4 最后，适当选择其它的控制点，例如我们可以根据控制点的拓扑结构确定z 和坐 标的值，其z 坐标的值可取前面所得的控制点的z 坐标的均值则所得的多边s 面 片p ( t ) 可以光滑地填补由n 个四边曲面围成的漏洞 前面几节的推导过程当中，在计算多边s 一面片在边界的切向量b ( u ) 时，不同的边 界采用的是不同的局部坐标，这些不同的局部坐标均在参数空间中如果参数域d 是 正n 边形，可以循环地计算这些切向量，这些切向量是用来建立方程组的，解方程组所 得到的多边s - 面片的控制顶点的坐标是在几何空间中的全局坐标 6 具体的例子 为了计算的简便，不防设给定四边b 缸i e r 曲面均为3 阶，共有六个这样的曲面，它 们围成一个六边的漏洞这些四边b 商e r 曲面的控制点数据在文章末尾的附录1 中给 出其中每四行为一组，一组数据为一个四边3 阶的b 6 z i e r 曲面的所有控制点为了引 用方便，用r 自幻表示第k 个曲面的脚码为( i ，j ) 的控制点 下面我们给出在其中一条边上求b ( t ) ，见( “，o ) 和见( u ，0 ) 的具体步骤，在其它边 上的算法类同 考察边界l 1 ，2 ( u ，o ) ，它是多边s 一面片和四边b 包i e r 曲面的公共边界，这个四边 b 包i e r 曲面的控制顶点为： 1 7 第一个b 6 z i e r 曲面的控制点 ( 0 ，o ，5 o ) ( 1 0 ，o ，5 o )( 2 5 ，2 ，7 o )( 3 0 ，o ，7 0 ) ( o ，一1 0 ，4 3 1 5 )( 1 0 ，一1 0 ，6 o ) ( 2 0 ，一1 0 ，6 0 )( 3 0 ，一1 0 ，7 0 ) ( 0 ，一2 0 ，38 )( 1 0 ，一2 0 ，2 o )( 2 0 ，一1 8 ，4 5 )( 3 0 ，一2 0 ，5 1 ) ( o ，一3 0 ，2 4 ) ( 1 0 ，一3 0 ，1 o ) ( 2 0 ，一3 0 ，4 2 ) ( 2 0 ，一3 0 ，4 2 ) 由此我们可以利用( 2 1 6 ) 得到这个四边b 6 z i e r 曲面的表达式r ( ， ) ，进一步求出 凰( u ，u ) 和风( u ， ) ，把”= o 代入这两个式子可得 r 。( “，o ) = ( 4 5 u 3 4 5 u 2 ，1 8 u 3 1 8 u 2 3 0 ，2 44 钍3 4 6 2 u 2 + 2 8 2 u 一6 4 ) 风( ，o ) = ( 一4 5 u 2 + 3 0 “+ 3 0 ，一1 8 “2 + 1 2 札，一1 2 u 2 + 1 2 “) 为了求b ( u ) ，我们要利用( 1 1 1 ) 式，由表达式知需要先求出厶h l ( u ，0 ) ，( f = l ，2 ，6 ) 考虑正六边形，其两顶点坐标分别k = ( o ，o ) ，k = ( 1 ，o ) ，因为是正的 六边形，k ，k ，k 的坐标可以很容易地计算得到如下； k = ( ；阜k _ ( 1 ，铜 k _ ( o ，斗；，孚) 由于各顶点坐标以知，利用平面几何知识可以很容易地计算出各边的参数方程，我们得 出它们的表达式如下t 1 8 l 1 ，2 ( “， ) = l 。，。( 刚) ：一娑( 酬u ，垆一雩( l 4 ，5 ( u ，”) = 怕一口 酬”，：孚+ 掣 划叩) ：雩( ；刊一 雩叫 把 = o 代入这些参数方程，可以得到 l l ，2 ( “，o ) = o l 2 3 ( “，o ) = 酬则) = _ 雩( 一；刊+ ；雩 l 蛐( “，o ) = 怕 酬则) ：孚+ 雩 酬则) ：雩( ；刊+ 雩) ( 6 1 ) ( 6 2 ) 一 面丁 一2 l 一2 卜 + 妨 卜 + l 3 2 利用这个结果，我们可以求出口( 札) 的表达式如下 b ( “) =3 ”2 ( f 1 0 0 0 p 2 1 0 0 0 0 ) 二4 ，5 ( 仳，o ) l 5 ，6 ( 让，o ) l 6 ，1 ( “，o ) + ( p 2 0 0 1 0 0 一p 2 1 0 0 0 0 ) 三5 ，6 ( “，o ) l 6 ，1 ( u ，o ) l 2 ，3 ( 钍，o ) + ( p 2 0 0 0 l o 一岛1 0 0 0 0 ) l 6 ，l ( 札，o ) l 2 ，3 ( u ，o ) - l 3 ，4 ( 札，o ) + ( ，| 0 0 0 0 1 一恳1 0 0 0 0 ) 二2 ，3 ( “，o ) 上3 ，4 ( “，o ) 厶，5 ( “，o ) j + ( 一6 钍2 + 6 u ) 【( p 1 l l o o o 只2 0 0 0 0 ) 厶，5 ( 让，o ) l 5 ，6 ( “，o ) l 6 ，1 ( u ，o ) + ( 0 0 一p 1 2 0 0 0 0 ) ( “，o ) ( “，o ) ( 乱，o ) ( 6 3 ) + ( 只1 0 0 1 0 p 1 2 0 0 0 0 ) 三6 ，1 ( 钍，o ) l 2 ，3 ( u ，o ) l 3 ，4 ( u ，o ) + ( p 1 1 0 0 0 1 一p 1 2 0 0 0 0 ) 三2 ，3 ( 牡，o ) l 3 ，4 ( 让，o ) l 4 ，5 ( u ，0 ) + ( 3 u 2 6 t 正+ 3 ) f ( f ：如l d 0 0 一f 如0 0 0 0 ) 三4 ，5 ( 钍，o ) l 5 ，6 ( u ，o ) l 6 ，1 ( ，o ) + ( 岛2 0 1 0 0 一最喀0 0 0 0 ) 三5 ，6 ( t 正，0 ) l 6 ，1 ( u ，0 ) l 2 ，3 ( “，o ) + ( p 0 0 1 0 一f b 0 0 0 0 ) 三6 ，l ( 钍，o ) l 2 ，3 ( u ，o ) l 3 ，4 ( 乱，o ) + ( p 0 2 0 0 0 1 一f 0 0 0 0 ) l 2 ，3 ( 牡，o ) - l 3 ，4 ( u ，0 ) l 4 ，5 ( u ，0 ) 】 其中p 2 1 0 0 0 0 ，p 1 2 0 0 0 0 ，缸m o 均是已知量，它们和相应四边b 包i e r 曲面的控制点是一致 的，有 p 2 1 0 0 0 0 = r l l 2 = ( 1 0 ，o ，5 o ) ，p 1 2 0 0 0 0 = m 1 ，3 ( 2 5 ，2 ，7o ) ，p 0 3 0 0 0 0 = r 1 1 4 ( 3 0 ，o ，7 o ) 马0 0 0 0 1 ，r 2 1 0 0 0 也是已知量，有 岛0 0 0 0 l = r 6 1 3 = ( 一1 0 ，1 5 ，4 1 5 ) ，r 2 l o o o = r 2 1 ，2 = ( 4 0 ，1 5 ，7 ) 而 f 如1 0 0 0 ，p 猢1 0 0 ，p 2 0 0 0 l o ，p 1 1 1 0 0 0 ，p 1 1 0 1 0 0 p 1 1 0 0 1 0 ，p 1 1 0 0 0 1 ，p 0 2 0 1 0 0 ，j f 如0 0 1 0 ，f 如0 0 0 1 是我们要求的未知量 由表达式可见b ( u ) 是一个“的5 次多项式，它表示多边s 一面片在边界l l ，2 ( “，o ) 上的切向量，由几何连续拼接的条件( 3 1 7 ) ，我们可以求出b ( ) ( 吼( “，o ) 风( 札，0 ) ) 的表达式，它是“的1 0 次多项式。若使这个多项式为0 ，必有各项系数为o ，这样可以 建立1 1 个等式，循环地在各个边界上重复上述的过程，可以建立一个含有6 6 个方程的 方程组，同时又有1 0 8 个未知量，由线性代数知识知道这个齐次线性方程组一定是有解 的 我们用数学软件解这个方程组，因为有1 0 8 6 6 = 4 2 个自由度，需要加上4 2 个限 制条件，可以通过对一些未知量在空间中的。和可的坐标值的限制来实现在实际计算 过程中发现若在边界三f ，f + 1 ( “，o ) 上的切向量日( “) 和风( “，o ) 在风( “，o ) 的同侧的话， 在这个边上会出现尖点，这种情况虽然也满足光滑拼接的条件，但它并不能真正的实现 光滑拼接，所以一定要使b ( u ) 和( u ，o ) 的方向在风( ，0 ) 所确立的方向的两边 具体分析影响每一条边上b ( u ) 值的控制点，以影响l l ，2 ( “，0 ) 上的控制点为倒，我 们通过对b ( “) 的值的研究发现，p 2 0 1 0 0 0 ，岛o o - 0 0 ，b 0 0 0 l o ，b 0 0 0 0 1 ( 已知) 的值不但可以 影响l ，2 ( “，o ) 上b ( u ) 的值，还可以影响厶，1 ( u ，o ) 上b ( ) 的值，相同地，p 0 2 1 o ( 巳 知) ，岛2 0 ，0 0 ，岛2 0 0 1 0 ，p 0 2 0 0 0 l 的值也可以影响l 2 ，3 ( “，0 ) 上b ( u ) 的值更一般地，形如 只。( 其中i 与j 不相邻) 的控制点可以两条边上的切向量b ( u ) 由此我们考虑到若是 对这些点的坐标值可以很有效地避免在边界上出现尖点的情况使z 和g 的取值限定 在要填补的漏洞在z 9 平面上投影以内就可以避免在边界上出现尖点为了使画出的图 形看起来好看一些，尽量参照前面介绍的m i n k o w 8 k i 和与s 一面片的知识，根据他们拓 扑结构来选取z 和g 的值由此我们给出了3 6 个限制条件，还剩下6 个自由度，我们 可以利用这6 个自由度对控制点进行调整，以期得到效果好一些的拼接图形这样我们 就可以得到合适的满足光滑拼接条件的控制点 七= o ，l ，2 ，3 ，j f ，f + 1 进一步给出其它控制点的值我们可以用前面提到的方法，根据控制点的拓扑结构 确定z 和坐标的值，其z 坐标的值取前面所得的控制点的z 坐标的均值。这些点值 2 l 的选取并不影响边界切向量的取值，故可以把这些点的选取当做调整s 一面片的很好的 工具，若上凸得过高，可以把它们的z 坐标值选取地小一些，若所求的s - 面片下凸得厉 害，则可以把它们的z 坐标值选取地小一些 到此得到了s 一面片的所有控制点可以根据( 1 3 ) 得出多边s 一面片的表达式和这 些控制点的值可以构造出一个曲面，这个曲面可以光滑填补前面所给出的由六个四边 b 6 z i e r 曲面围成的漏洞 这个曲面是在底边坐标满足= ( o ，o ) ，= ( 1 ，o ) 的正六边形参数域上的图形，为 了画图实现它，需要做一个变换以实现图形的显示 ， 潭 忙：。”。胸沌胡。m ，。 z ( 1 ，3 2 ) 可( o ， 3 ) 蓦伪由卅。m ，。 z ( 一1 2 ，o ) v ( o ，、3 ) 这样把三角形定义域转化为四边形定义域，这样就可以用m a t h e m a t i c s 的绘制参数 图5 未填充过的图形 图6 填充过的图形 上述所取的漏洞是由6 个四边b 6 z i e r 曲面围成的，且任意两相邻曲面只有一个公 共点，若要存在s 一面片可以光滑填补这个漏洞，所给的数据必须满足相容性条件，因此 若想构造光滑填补漏洞的s 面片必须先检验所给的数据是否满足相容性条件，若不满 足，无法得出我们要的结论对于任意两相邻曲面都有一条公共边，并且边边都光滑拼 接的情况，由b 6 z i e r 曲面的知识可知它必然满足相容性条件，对于这种情况我们不需要 验证所给数据就可以直接利用前面所述的方法构造s 面片对于给定的满足相邻边边 光滑拼接的数据点为附录2 中所给的数据点，由这些数据点构成的曲面所围成的漏洞 如下，我们重复利用上一个例子的步骤，可以对这个漏洞进行光滑填补，所得结果如下 图： 图7 未填充过的图形 图8 填充过的图形 7 编程环境 本文的计算以及绘图都是在m a t h e m a t i c 8 软件环境中实现的，通过编程实现未知 控制点的计算和曲面的绘制，为了方便应用，我们介绍一下实现本文所用到的命令和函 数 1 在m a t h e m a t i c a 中用 t 1 ，i 2 ，- ，i 。) 表示数组，例如我们用0 1 ，i 2 ，t 3 ) 来表示三维空 间中的一个点，各个分量代表x ，y ，z 的坐标值这样我们实现了数据的输入 2 在求四边b 6 z i e r 曲面的切向量的过程中。调用了b i n o m i a l 【n ，目函数，这个函数用 来计算从n 个量中取出i 个的组合数其它诸如求偏导数和n 项和可以直接用面板 上的工具输入同样的s 面片的切向量的计算也可以很容易地实现 3 计算出b ( u ) ，r e ( “，o ) 风( u ，o ) 的值后，要建立方程组首先用c o e 伍c i e n t q ，u n 】 函数可以求出关于u 的多项式q 的次数为n 的项的系数，所有