（计算数学专业论文）多进小波理论与基于模型的多进小波.pdf

摘要 多进小波的性质较2 一进小波有较大差别，一方面，多进小波的 类别更丰富，另一方面，多进小波的性质也更复杂。许多描述2 一进 小波的概念似乎不太适合描述多进小波，基于这些现象，本文选择 多进小波作为研究对象。 本文的主要工作有两点，第一，较系统研究和总结了多进小波的 各种形式。第二，建立了一个优化数学模型来求解最优小波，这个 模型避开了消失矩，正则性等这些不确定因素，直接以应用需求作 为目标函数，通过最优化方法得到最优解。本文就垂进对称正交小 波滤波器长度为8 的情形给出了最优解。 关键词：垂进小波，正交性，滤波器，线性相位，优化模型，图像压缩 a b s t r a c t c o m p a r e dw i t h2 - b a n kw a v e l e t s ，t h em u l t i - b a n kw a v e l e t sh a v em a n yd i f - f e r e n c e s t h em u l t i b a n kw a v e l e t si sn o to n l ym o r ep r o f o u n dr e l a t i v e l y ，b u t a l s om o r ec o m p l e xi nc h a r a c t e r s s o m ec o n c e p t sa r es u i tf o rd e s c r i b i n g2 - b a n k w a v e l e t sb u tn o tf o rm u l t i - b a n kw a v e l e t s t h em a i ni n n o v a t i o no ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w ：f i r s t s u m m a ， r i z ea l lk i n d so fm u l t i b a n kw a v e l e t s s p e c i e sa n dp u tf o r w a r dt h em e t h o d s c o n s t r u c t i n gm u l t i - b a n kw a v e l e t s s e c o n d ，e s t a b l i s ham a t h e m a t i c a lm o d e lt o o b t a i no p t i m a lw a v e l e t s t h i sm e t h o da v o i dd i s c u s s i n gv a n i s h i n gm o m e n ta n d o b t a i nt h eo p t i m a lw a v e l e t sb a s e do nt a r g e t e df u n c t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o nw e h a v es e tae x a m p l ef o rt h em o d e li nt h ec a s eo fl e n g t h8a g a i n s t4 - b a n km u l t i w a v e l e t s k e y w o r d s ：m u l t i - b a n kw a v e l e t ，o r t h o g o n a l i t y , f i l t e rb a n k ，l i n e a rp h a s e ，o p t i - m a lm o d e l ，i m a g ec o m p r e s s i o n i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：芷殳殳叉 纱f 口年6 月 f 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密田 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名：芷奴，叉 矽l 。年 6 月 导师签名： 弘孑 k 月 7 日 日 多进小波理论与基于模型的多进小波 1 1 小波发展简史 1 绪论 小波分析作为一门新型的数学分支，系统的研究开始于2 0 世纪 8 0 年代初期，它的形成是数学家、物理学家以及信息工程专家集体 智慧的结晶。经过二十多年的发展，小波分析已经形成了较完备的 理论基础和广泛的应用。小波分析是一种时频分析方法，它在时频 两域都具有表征信号局部特征的能力，所以拥有数学显微镜的美誉。 由于具有多分辨分析的能力，可以对信号在不同尺度上进行分解，在 图像压缩方面( j p e g 2 0 0 0 ) 已经得到很好的应用。小波分析这一特点 在地球物理勘探，机械故障诊断、生物医学等许多领域也有应用，是 一门应用广泛的学科。 1 9 8 2 年，法国工程师j e a n m o r l e t 1 - 2 】在为石油公司处理地震信号 时，为了在时域和频域取得更好的平衡，提出了小波分析的概念，他 的工作被人们称为m o r l e t 小波。后来这个概念被认为是h a r t ( 1 9 1 0 ) 和 g a b o r ( 1 9 4 6 ) 工作的一般化与此同时，类似的研究在数学上也在独 立地进行。r c o i f m a n 和g w e i s s 所创立的原子分解理论也已经勾画 出了小波的轮廓，最后数学家和工程师在小波理论上殊途同归。很 快小波理论的框架由y m e y e r ( 1 9 8 5 ) 3 ，s m a t l a t ( 1 9 8 7 ) 4 - 5 1 和比利时女数 学家d a u b e c h i e s ( 1 9 8 8 ) 1 6 9 】所确定。d a u b e s c h i e s 提出了构造具有紧支撑 的光滑的正交小波基的有效方法。上世纪9 0 年代是小波理论和应 用发展的黄金时代，1 9 9 2 年c o h e n ，d a u b e s h i e s 和f e a u v e a u 系统的研究 了双正交小波的概念，并构造了一系列的双正交小波族，从而推动 了小波分析的理论和应用的研究。1 9 9 5 年，为了进一步提高小波计 算速度，简化小波变换实现难度，s w e l d e n s 2 4 等人系统地提出了用提 升方法来构造小波，给出整数可逆的提升框架，使得小波变换更趋实 用。在2 0 0 0 年推出的静态图像压缩国际标准j p e g 2 0 0 0 中，小波变换 ( d w t ) 取代了离散余弦变换( d c t ) 成为标准的变换编码方法，其中 的小波变换就是采用提升算法实现的王国秋教授 2 7 - 2 9 】提出了“离 散超小波变换”的概念，并成功地用矩阵方法构造了带有一定自由 硕士学位论文 度的参数小波族，开创了小波理论代数构造的先河，并成功地用于 视频编解码芯片设计，研究出我国第一块自主产权小波视频编解码 芯片目前，小波变换理论已经由一维发展到多维，由二进发展到 多进。多进小波发展到现在，其理论和应用成果相对而言还不丰富， 在该领域的研究中，c u i 和l i a n 、h a n 、彭立中、王国秋矧和黄达 人【矧等人做出了贡献。其中彭立中教授在文例中给出了一个构造 2 竹带优美小波系统的一般方法，并对四进小波滤波器总结了一个优 美小波结构形式，王国秋教授首次利用对称低通滤波器系数的自相 关正交性，成功地构造了具有灵活结构的紧支撑四进小波。随后，王 国秋教授的研究生郑果在完成毕业论文时利用对称低通滤波器系数 的自相关正交性，成功地构造了一类新的形式的正交小波系统 当然，多进小波的研究还不是很深入，其理论和应用成果还比 较零散，这主要是因为随着小波进制的增加，小波出现了新的特点， 且随着进制的增加，小波构造的难度也在极大地增加。并且我们发 现，在2 - 进小波里能较好描述小波性能的一些概念在多进小波里较 难描述小波的性质 1 2 本文研究的主要目的和结果 虽然小波分析已经取得了巨大的成功，但其理论和方法还正处 于发展之中，尤其多进小波理论中还有很多难题，远没有二进小波 成熟，相关的应用研究还处于探索之中我们在欣赏小波分析优良 的应用性能的同时，也要看到它的一些不足：二进小波的分解和重 构要反复迭代多次，这使得小波变换的结构较为复杂，尤其芯片设 计时要占用宝贵的内存资源，小波变换的主频也要受限于这些复杂 结构。理论上，二进小波里正交性和线性相位性的矛盾是难以调和 的与二进小波相比，多进小波至少存在以下优点：高频端具有更细 的频带划分，能量更集中，正交小波的选取具有更大的自由度，正 交小波的紧支撑和线性相位是相容的。这些因素促使本文对多进小 波理论及应用的研究 本文的主要工作是较全面描述了多进小波的多样性和复杂性。正 是这种复杂性使我们很难想象2 - 进那样用比较精确地消失矩、正则 2 多进小波理论与基于模型的多进小波 性等概念来刻画多进小波的性质。例如消失矩问题，2 一进小波与多 进小波就有很大的区别。一个事实是；在同样的滤波器长度下，多 进小波高通滤波器的平均消失矩阶数不如2 进的高，且这些消失矩 分布在哪些滤波器上小波的性能最好也不为我们所知。这样我们必 须对多进小波的设计提出新的方法和思路。所以，本文在导师的指 导下，针对具体应用的特点，尝试建立最优化模型，用优化模型来 求解多进小波。我们将看到，基于优化模型的小波确实具有可能性， 所得到的小波也不再受一些固有概念的约束。但是随着进制的增加 和滤波器长度的加长，小波优化模型的求解的计算量是个海量，普 通的p c 机恐难胜任求解工作，这也为求解小波提出了新的问题。 3 硕士学位论文 多进小波理论基础 2 1 多进小波的多分辨分析 由m a l l a t 定义的多分辨分析是小波分析的重要基础对二进小 波的多分辨分析的定义做一个小的改动就得到了多进小波多分辨分 析的定义。 定义2 1 空间j 乙2 ( r ) 中一列闭子空间 k ) f z ，称为l 2 ( 冗) 的一个r 一 进多分辨分析( m r a ) ，如果该序列满足下列条件： ( 1 ) 一致单调性：cy j 一1c 巧c 巧+ 1c ； ( 2 ) 渐进逼近性：n z = o , u 托z y j = l 2 ( r ) j ( 3 ) 伸缩规贝l l 性：，( 。) v j = 争，( r 茗) y j + 1 ，j z ，7 z + ，r 2 ； ( 4 ) 平移不变性：，( z ) y o 净，( z k ) v o ，k z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在妒( z ) l 2 ( r ) ，使得 妒0 一七) ) 七z 构成的 r e i s z 基，即存在正常数a 与b ，0 a b 0 0 ，使得 a i i “1 1 2 l l c 七妒( r - k ) 1 1 2 b i i 吼j 1 2 ，v 【c 七) 1 2 k e zk e zk e z 定义函数 ，七( z ) = r 盖妒( 一z 一南) ，j ，k z ， ( 2 1 ) 由条件( 3 ) 和( 4 ) 知( n ，如 七z 构成空间，j z 的r i e s z 基，称妒( z ) 为尺度函数 若 妒扛一七) ) z 是v o 的标准正交基，即厂妒( z ) 妒( z 1 ) d x = 而，l 则 称 v a 地为r 一进正交多分辨分析，妒( z ) 为r 一进多分辨分析的尺度函 数 由于c + 1 记为巧在巧+ - 的正交补，即k + - = 嵋o 定义函数 蠼七( z ) = r 盖妒n ( 一z 一七) ，1 礼r 一1 , j ，k z ( 2 2 ) 若 螺。 葛是嵋的标准正交基，称妒( 1 n r 一1 ) 为r 一进正交小 波函数 4 多进小波理论与基于模型的多进小波 上述定义中妒( z ) 和妒”分别满足 i 妒( z ) = h 舻( r x k ) l 妒”( z ) = 、厅夕嚣妒( r z 一七) ，1 n ，- 一1 、 k 知 ( 2 3 ) 称为r 一进正交小波的双尺度方程，其中 七】和一r ! n t k n l - j ”n = 1 l 为有限 支撑实系数序列，分别称为r 一进正交小波的低通滤波器和高通滤波 器组，称 南) ， 9 ；) ) 为r 一进正交小波滤波器组。 由此可以看出，多进小波的与2 进小波都只有一支低通滤波器， 而多进小波有多支高通滤波器，2 一进小波只有一支高通滤波器。从 卜进正交多分辨分析的定义，推导给出r - 进正交小波滤波器组时域 上的正交性条件。 从r - 进正交尺度函数的正交性知 ，妒( z ) 妒( z 1 ) d x = f 、彳h 即( r x 一) ，b 妒( z 一，z j ) d x = 知，bf 妒( z 一七) 妒( z 一7 _ f j ) d x 七j = 如以，z 钾 知j = h k h k 驯， 而，妒( z ) 妒 一1 ) d x = 如。l ，所以h k h 知+ “= 南，l k 类似地，由尺度函数与小波函数相互之间的正交性得 七+ r 2 鲧= 0 奄 和9 i 刊靠= 文，j 品l 从而有如下性质： 七 若 奄) 儿y _ 七n ，l 。r - ：1 ，分别是r 进正交小波的低通滤波器和高通滤波器，则 它们之间具有下列关系： h k h k + r l = 南j k 9 ：反州= 魂，j 而，l 膏 5 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 硕士学位论文 称( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 为r 进正交小波的正交性条件 由双尺度方程( 2 3 ) ， fi ，o ( x ) d x = f h k 眵( r x k ) d x 七 = 击 k 厂妒( z ) 如 k 由于j r 妒( z ) 0 ，实际上j r 够( z ) = 1 ，所以h k = 万 同理，由小波函数的定义，可得鳄= 0 从而得到如下性质：卜进正交小波滤波器系数【k 】、y _ 知n ，l r n - ：i 。满足下 列关系 l h k = 1 圭鳄：o 。 ( 2 7 ) 七 2 2 多进小波的性质 2 2 1 消失矩 消失矩性质是小波理论中一个非常重要的概念，它不但在小波 构造中起到了非常重要的作用，而且它还在图像信号压缩中具有举 足轻重的地位 定义2 2 若小波函数妒( z ) 满足f x 妒( z ) d x = o , i = 0 ，1 ，r 一1 且 f x 妒( x ) d x 0 ，则称妒( z ) 有r 阶消失矩。 对于有限支撑小波函数妒( z ) = 鲸妒( r z 一七) ，它有r 阶消失 k 矩，等价于 夕= o ，江0 i l 1 ，r 一1 ( 2 8 ) 老 2 2 对称性与线性相位性 定义2 3 如果定义一序列_ 【n ( n ) 若满足a ( n ) = a ( n 一1 一n ) ，则称为 对称的，若满足a ( n ) = a ( n 1 f , ) 则称为反对称的 6 多进小波理论与基于模型的多进小波 在图像压缩编码应用中，非对称滤波器与对称滤波器相比，人眼对 于非对称滤波器引入的误差比对称滤波器引入的误差要敏感，而且 非对称滤波器并不利于图像处理边界，也不利于节省计算资源，因 此，在实际应用中应尽可能地要求滤波器系数满足一定的对称性 定义2 4 设f l 2 ，如果，的f o u r i e r 变换满足 氕) = i 灭u ) 妙( 埘) 其中妒) = k w + b ( 七，b 是实常数) ，则称，具有线性相位，妒0 ) 称为 ，的相位函数。 线性相位在工程中应用上也是一个比较重要的概念，因为信号经过 线性相位滤波以后，在相差一定延迟的条件下总可以准确重构，即 可以避免相位失真。在数字图像处理的应用领域，相位失真常会对 相位失真带来一定的负面影响，尤其可以引起重构图像在边界的失 真问题。因此，线性相位也是我们考虑的条件之一然而，在二进 小波中，线性相位性于正交性存在着不可调和的矛盾( h a r r 小波除 外) ，在后面介绍的多进小波中小波的正交性与线性相位之间的矛盾 已不复存在! 对于小波高通滤波器来说，当其系数为对称时，该支滤波器具有 偶数阶消失矩；当其系数是反对称时，该支滤波器具有奇数阶消失 矩。消失矩性质主要表现为相应的小波函数和尺度函数的光滑程度 及衰减程度。在实际应用中，我们常常希望高通滤波器具有较高阶 的消失矩 2 2 3 紧支撑性 定理2 1 若r 一进正交小波的尺度函数妒( z ) 具有紧支集，则其紧支撑 区间为f 0 ，嵩】，是下标的最大值。 证明：设尺度函数妒( z ) 的紧支撑区间为i a ，6 】，由双尺度方程 妒( z ) = h k 妒( r x - 七) ， 七 7 硕士学位论文 知其函数妒( r z k ) 的紧支撑区间为【学，学】，当低通滤波器h 知下标 从0 变到时，双尺度方程右端支撑区间为【；，半】，【n ，b 】- 【；，半】， 由此得到a = 0 ，b = 卫r 在实际应用中，信- - 1 号的能量一般集中在有限的区间内，利用非紧 支撑小波必然需作截断处理，因而给信号的分解与重构带来不可避 免的误差，难以实现精确重构所以往往要求滤波器系数个数是有 限的，即具有紧支撑性 2 2 4 尺度函数的k 阶正则性 定义2 5 若r 进正交小波的低通滤波器的z 变换h ( z ) 可以表示成 如下的形式? h ( z ) ：【生生竺笪竺( z ) ( 2 9 ) 其中q ( z ) 是关于z 的多项式，则称h ( z ) 为k 阶尺度滤波器令 z = e “，则偿砂与下面方程组等价 可d k h ( w ) i 嘲竹r = 0 ，七= 0 ，1 ，k l ；竹= 1 ，2 ，, r - 1 ( 2 1 0 ) 一般说来，尺度函数的正则阶数k 越高，其函数的图像光滑性 越好因此，正则性是我们选择好的小波基的考虑的因素之一 2 3 多进正交小波m a l l a t 算法 因为在本文建模过程中要运用循环矩阵【筠】这个工具，所以先把 循环矩阵的定义和相关结论概括一下。 定义2 6 假设 z 七) ：，忙和t 是整数，e 0 ， 第三支高通滤波器为：【甄，一g n _ 1 ，g n _ 2 ，一驰，h i ) 我们可以根据正交性条件并对其高通滤波器施加不同的消失矩条件 得到各种非线性相位的4 - 进小波 由于非线性相位的乒进正交小波构造的复杂，在此只讨论长度 分别为6 ，7 ，8 的情况：长度为6 的可设它的四支滤波器分别如下： 通过正交性条件，并对其施加1 - 2 3 阶消失矩条件，可以解得： 1 一、亏，3 一狐，4 ，4 ，3 + 循，1 + v l 8 ； 一1 一怕，3 + 罐，一4 ，4 ，一3 + 锯，1 一镛) 8 ； 【一1 + 锯，一3 + 怕，2 ( 一1 一怕) ，2 ( 1 一向，3 + 怕，1 + 镛 8 ； 1 + 狐，一3 一锸，2 ( i 一狐) ，2 ( 1 + 怕) ，一3 + 锯，1 一v l 8 长度为7 ，并对其施加1 - 2 2 阶消失矩条件可以解得： - o 1 5 4 5 0 8 4 9 7 1 8 7 4 7 3 6 7 ，0 2 5 ，0 0 9 5 4 9 1 5 0 2 8 1 2 5 2 6 3 3 ，0 5 ， 0 6 5 4 5 0 8 4 9 7 1 8 7 4 7 3 7 ，0 2 5 ，0 4 0 4 5 0 8 4 9 7 1 8 7 4 7 3 6 7 ； - o 4 7 5 5 2 8 2 5 8 1 4 7 5 7 7 0 4 , - 0 0 8 1 2 2 9 9 2 4 0 5 8 2 2 6 7 5 ，0 8 1 9 6 2 3 7 3 8 2 6 5 3 7 0 7 ， 0 1 6 2 4 5 9 8 4 8 1 1 6 4 5 3 5 , - 0 2 1 2 6 6 2 7 0 2 0 8 8 0 1 0 2 ，一0 0 8 1 2 2 9 9 2 4 0 5 8 2 2 6 7 5 ， 0 1 3 1 4 3 2 7 7 8 0 2 9 7 8 3 4 3 ； 0 4 0 4 5 0 8 4 9 7 1 8 7 4 7 3 6 7 ，0 2 5 ，0 6 5 4 5 0 8 4 9 7 1 8 7 4 7 3 7 ，一0 5 ， 0 0 9 5 4 9 1 5 0 2 8 1 2 5 2 6 3 3 ，0 2 5 ，0 1 5 4 5 0 8 4 9 7 1 8 7 4 7 3 6 7 ， - o 1 3 1 4 3 2 7 7 8 0 2 9 7 8 3 4 3 ，0 0 8 1 2 2 9 9 2 4 0 5 8 2 2 6 7 5 ，0 2 1 2 6 6 2 7 0 2 0 8 8 0 1 0 2 ， k 山舶1k 船鲍 3 3k 也啦咄 b h 鲰乳 5 5k 吨眈咄 h k 仇蜘 多进小波理论与基于模型的多进小波 - 0 1 6 2 4 5 9 8 4 8 1 1 6 4 5 3 5 ，0 8 1 9 6 2 3 7 3 8 2 6 5 3 7 0 7 ，o 0 8 1 2 2 9 9 2 4 0 5 8 2 2 6 7 5 ， 一o 4 7 5 5 2 8 2 5 8 1 4 7 5 7 7 0 4 ) ； 长度为8 ，并对其施加1 3 4 阶消失矩条件可以解得： 0 0 2 4 9 0 8 7 4 9 8 6 8 4 4 1 8 8 2 ，0 0 6 0 4 1 6 1 0 4 1 5 5 1 9 8 1 ，0 0 7 0 5 5 8 4 5 7 9 1 5 7 2 1 8 5 ， 0 2 6 4 7 6 6 3 9 6 1 0 7 9 1 8 1 3 ，0 4 7 5 0 9 1 2 5 0 1 3 1 5 5 8 1 ，0 5 6 0 4 1 6 1 0 4 1 5 5 1 9 8 ， 0 5 7 0 5 5 8 4 5 7 9 1 5 7 2 1 9 ，o 2 3 5 2 3 3 6 0 3 8 9 2 0 8 1 8 7 ， 一0 2 3 5 2 3 3 6 0 3 8 9 2 0 8 1 8 7 ，0 5 7 0 5 5 8 4 5 7 9 1 5 7 2 1 9 ，一0 5 6 0 4 1 6 1 0 4 1 5 5 1 9 8 ， 0 4 7 5 0 9 1 2 5 0 1 3 1 5 5 8 1 ，o 2 6 4 7 6 6 3 9 6 1 0 7 9 1 8 1 3 ，0 0 7 0 5 5 8 4 5 7 9 1 5 7 2 1 8 5 ， 0 0 6 0 4 1 6 1 0 4 1 5 5 1 9 8 1 ，0 0 2 4 9 0 8 7 4 9 8 6 8 4 4 1 8 8 2 ， 0 0 2 4 9 0 8 7 4 9 8 6 8 4 4 1 8 8 2 ，一0 0 6 0 4 1 6 1 0 4 1 5 5 1 9 8 1 ，一0 1 2 0 3 7 5 9 5 7 6 5 2 6 0 5 5 6 ， 0 3 8 5 5 9 8 6 0 4 4 1 8 3 1 4 4 ，0 6 6 6 0 2 5 6 6 5 6 9 9 8 8 5 5 ，0 0 8 9 9 4 8 8 9 6 3 7 1 0 3 4 4 3 ， 一0 。5 7 0 5 5 8 4 5 7 9 1 5 7 2 1 9 ，一o 。2 3 5 2 3 3 6 0 3 8 9 2 0 8 1 8 7 ， - 0 2 3 5 2 3 3 6 0 3 8 9 2 0 8 1 8 7 ，0 5 7 0 5 5 8 4 5 7 9 1 5 7 2 1 9 ，0 0 8 9 9 4 8 8 9 6 3 7 1 0 3 4 4 3 ， 一0 6 6 6 0 2 5 6 6 5 6 9 9 8 8 5 5 ，o 3 8 5 5 9 8 6 0 4 4 1 8 3 1 4 4 ，0 1 2 0 3 7 5 9 5 7 6 5 2 6 0 5 5 6 ， 一0 0 6 0 4 1 6 1 0 4 1 5 5 1 9 8 l ，一0 0 2 4 9 0 8 7 4 9 8 6 8 4 4 1 8 8 2 其尺度函数和小波函数的图像分别如下： 图3 1 ：长度为6 的非线性相位尺度和小波函数 硕士学位论文 图3 2 ：长度为7 的非线性相位尺度和小波函数 图3 3 ：长度为8 的非线性相位尺度和小波函数 对于非线性相位正交小波，它的研究在多进小波里较少但我们 发现非线性相位正交小波也有许多特点。它的奇数长度滤波器已经 存在。在相同长度滤波器下，它的消失矩高于“优美小波“的。 1 6 多进小波理论与基于模型的多进小波 3 3 线性相位4 - 进双正交小波 双正交小波的地位且p 使在多进小波里或许也是不可取代的本 文中不打算过多研究双正交多进小波，只是在此给出一个例子分 解端滤波器如下： 趣) = h i ，h 2 ，h a ，h 4 ，h 5 ，h 6 ，h t ， 【9 1 ) = 9 i ，建，羹，夕5 ，建，羹1 1 ，g ( 7 1 ) ) ， 羹2 ) = 夕i 2 ，轷，毋，轷，9 2 】， 碰3 ) = 9 3 ，轷，轷，夕5 3 ，9 孑 重构端滤波器如下： 赢) = 一夕i ，建，一毋，9 擎，一羹2 ， 彭1 】= 一夕i 3 ，9 ，一毋) ，9 ：3 ，一夕f ) ， 巅2 = 1 ，一h 2 ，h 3 ，一h 4 ，h 5 ，一h 6 ，h 7 ) ， 互：3 ) = g i ，一羹，炙，一毋，9 ，一夕5 n ，夕；1 ) 对称的4 - 进双正交低通滤波器满足双正交条件，正规化条件和 对称条件 如果在高通滤波器分别施加1 - 2 3 阶消失矩条件可得： 分解端滤波器如下： - 1 ，2 ，5 ，4 ，5 ，2 ，- 1 8 ， - 1 ，2 ，7 ，0 ，- 7 ，- 2 ，1 8 ， - 1 ，2 ，- 2 ，2 ，- 1 4 ， - 1 ，2 ，0 ，- - 2 ，1 4 重构端滤波器如下： 1 ，2 ，2 ，2 ，1 4 ， 1 ，2 ，0 ，- 2 ，- 1 4 ， 1 7 硕士学位论文 - i ，- 2 ，5 ，- 4 ，5 ，- 2 ，- 1 8 ， - 1 ，- 2 ，7 ，0 ，- 7 ，2 ，1 8 图3 4 ：分解端 图3 5 ：重构端 1 8 多进小波理论与基于模型的多进小波 3 4 各类小波性能比较 本章围绕紧支撑4 - 进小波的构造展开的，以上只简单介绍垂进 小波的几种类型，给出了几个例子 不难看出，多进小波类型十分丰富，有正交线性相位的，有正交 非线性相位的，还有双正交的。滤波器的长度既有奇数的，也有偶 数的许多参数性能无法比较，但我们可以比较各类小波的消失矩 参数。通过对长度为6 的非线性相位正交小波，长度为8 的线性相 位优美小波和高通长度为7 ，5 和5 的双正交线性相位小波的消失矩 进行比较，发现最优的消失矩参数为双正交小波的这个例子似乎 也说明，尽管在多进小波里正交小波有了线性相位，双正交小波依 旧有它独特的地位和优势或许正交非线性相位小波也有某种吸引 人的性质，优良的计算性能也是双正交小波的优势。 1 9 硕士学位论文 4 基于模型的4 进小波 4 1 线性相位乒进正交小波的多样性 从上一节的研究可以看出，我们研究的多进小波的类型很多，线 性相位型。非线性相位型，线性相位双正交型等，每种类型又可以 构造出不同的形式的小波以长度为8 的线性相位4 - 进正交小波为 例，其”优美形式“有如下四种： 形式1 。 h = ta ，b ，c ，d ，d ，c ，b ，a ) ， g i = - a ，b ，一c ，d ，- d ，c ，- b ，a ) ， g 2 - - b ，a ，- d ，一c ，c ，d ，一a ，- b ， g 3 = b 。一a 。一d 。c 。c 。一d 。一a b ) 形式2 ： h = ta ， b ，c ，d ，d ，c ，b ，a ) ， g 1 - - a ，b ，c ，d ，一d ，一c ，- b ，一a ) ， g 2 = b ，- a ，一d ，c ，一c ，d ，a ，- b ， g 3 = 【b ，- a ，- d ，c ，c ，- d ，- a ，b ) 形式3 ： h = a g i = - a ， g 2 - - c ， g 3 - - t c ， 形式4 ： h = a ，b ，c ，d ，d ，c ，b ，a ) ， g i = _ a ，b ，c ，d ，- d ，- c ，- b ，一酊， g 2 - - c ，- d ，- a ，b ，b ，- a ，- d ，c ) ， g 3 = 一c ，d ，a ，- b ，b ，一a ，- d ，c 、j r一，、，rj， a a c c ， ， ， ， b b d d 一 一 ， ， ， ， c c a a 一 一 ， ， ， ， d d b b 一 一 ， ， ， ， d d b b ， ， ， ， c c a a 一 一 ， ， ， ， b b d d 一 一 多进小波理论与基于模型的多进小波 这些小波的消失矩的分布可以是1 1 4 型的，也可以是1 - 2 3 型 的，对滤波器长度更长者，消失矩分布类型更多，什么类型的小波 是应用所需的，到目前还没有有效的判别准则和指标，这是与2 进 小波的最大区别。为此，我们可以结合具体应用，用数学优化模型 的方法来求解小波 4 2 基本模型 由于4 进小波形式的多样性，在图像压缩应用方面要判断各类 小波的性能是一件比较困难的事。我们可以结合具体应用设计一个 数学模型来判断小波的性能。 我们先讨论一维信号的小波变换。如果一维的离散信号为x = z 。，x ：，x 3 ，x n ? ，根据定义( 2 1 7 ) ，如果一个小波变换的矩阵为彤， 则它是维垂循环矩阵。经过变换y = w x 后的信号序列为y = 芗l ，y 2 ，y 3 ，拟 r ，因为矩阵w 是正交的，从而有 3 ，；= 2 l ( 4 1 ) 设y + 鲳+ + y 刍4 = t 2 ，这里y l ，y 2 ，可4 n 是低频分量。 r 2 + 费= 甄2 ( 4 2 ) i 4 + 1 t 我们知道，缸进小波变换把信号的主要能量都集中到了前4 个低 频分量上了，在应用中我们就是要选出一个小波变换的矩阵w 使得 高频分量玑( i 4 + 1 ) 的值尽可能的小这一点对图像压缩是好 理解的：绝对值越小，编码所需的比特数就越少如果要控制使得 玑( i 4 + 1 ) 的值都是最小的，便是一个多目标的问题，将会非常 的复杂我们可以考虑用不同的小波变换矩阵彤，使得y 的 t 4 + l 值最小，即高频系数的绝对值的和最小 二维信号( 比如图像) 是一维信号模型的简单推广 假设用矩阵? ( 最常用的是5 1 2 5 1 2 的方阵) 表示一张图片，如 果小波变换的矩阵是w ，对于垂进小波而言就是一个5 1 2 5 1 2 的 2 1 硕士学位论文 4 一循环正交矩阵二维变换为： b = ，缈r ( 4 3 ) 表示对图片，做了一次4 一进小波分解 如果用表示b 的第i 行j 列的元素。根据以上对一维情况的 分析，我们可以采用这样的一个数学模型来优化小波分解图像的性 能： m w i n 蚓 ( 4 4 ) z 一 、 高频 通过对数学规划模型( 4 4 ) 求解，就得到了”最优“的小波解 4 3 模型的最优解 由于( 4 4 ) 的目标函数是有下界的，所以( 4 4 ) 的最优解存在但 在求解( 4 4 ) 时，有两个问题我们需要考虑：一是( 4 3 ) 中的，即什 么样的图像源在图像压缩编码测试中，有一些几乎全球的研究者 均认可的”标准“测试图，这些图片具有较典型的信号分布，具有一 般的代表性，所以我们也可以用这些图片于优化模型中二是对一 般的w 进行模型求解时，我们还缺乏有效地算法。所以，我们考虑 在整数网格上进行优化模型求解 我们在正交性条件上放松h = 1 这一条件，而是让h 。取遍整 数，设扁= 毪，则 忘 完全满足低通滤波器的所有条件，由它能生 成优美垂进小波。当h 。取遍( 一o 。，+ 。o ) 间的整数时，理论上可得到 足够精确地最优解，但实际上，这种搜索是不可能的而只能让h 有一个上界h l ，这样，我们可以在