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特征根法求数列的通项公式胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913）类型一、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p，q均为非零常数）.先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根.1） 如果，则，成等比，很容易求通项公式.2） 如果，则成等比.公比为， 所以，转化成： ，( I )又如果，则等差，公差为，所以，即： 可以整理成通式： ( Ii)如果，则令，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得： .小结：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程.若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）.例1. 已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，解得，令，由，得， .例2.已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，解得，令，由，得， .类型二、 如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有， （其中p、q、r、h均为常数，且），那么，其特征方程为，变形为 若方程有二异根、，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值. 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得. 若方程有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值. 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得.例3. 已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，.例4.已知数列满足，求数列的通项.解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， .例5（2005，重庆,文,22）数列记（）求的值；（）求数列
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