范数最优控制理论在植树挖坑机钻头主轴纵向振动系统中的应用.pdf

1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 范数最优控制理论在植树挖坑机钻头 主轴纵向振动系统中的应用 3 孟庆华1 ,2,于建国1 (1. 东北林业大学 机电工程学院,黑龙江 哈尔滨 150040 ;2.天津体育学院 教育科学系,天津 300381) 摘要:首先利用弹性动力学理论和Hamilton变分原理建立了植树挖坑机钻头主轴及钻尖在进给过程中钻尖与土壤 互相作用而产生纵向振动的动力学模型,同时给出边界条件和初始条件。其次通过把系统阻尼函数当作控制变量,利用 算子半群理论和Banach空间几何方法,以 “范数最小” 来证明系统最优控制的存在性和唯一性,为有效地预测和控制钻 头的运动规律,改善钻头主轴的动力学特性,提高钻头工作效率及改进设计方法提供了新的理论依据。 关键词:挖坑机;钻头主轴;纵向振动;范数最小;最优控制 中图分类号:O175 ;TG52 文献标识码:A 文章编号:1001 - 2354(2006)09 - 0025 - 03 我国现有林地面积13 370万hm2,森林蓄积量10 137亿 m3,人均占有森林面积和蓄积量分别只有世界人均水平16 % 和12 % ,森林覆盖率仅有16. 55 % ,远低于世界平均水平,而且 土地日趋沙漠化。因此,提高森林覆盖率,保护生态环境,防风 固沙,必须从植树造林开始。利用机械化加速植树造林,早日 实现绿化祖国的 “21世纪中国亚马逊工程” 有重大的现实意义。 植树挖坑机是一种方便、 实用的挖坑、 整地机械,对提高整地质 量,减轻劳动强度,提高生产效率,减低成本等均发挥很大作 用,在林业与园林作业中被广泛使用1。 多年来,科技工作者对挖坑机的生产效率、 工作部件的结 构参数做过大量研究,尤其是对主要工作部件钻头的几何尺 寸、 螺旋升角等问题研究得更为深入,形成了整套理论和公 式25。而整机的振动特性,特别是钻头主轴的振动特性对机 器的寿命和工作品质影响较大,但由于问题的复杂性和价值成 本等原因,致使国内外专家很少研究,近年来虽有对挖坑机振 动特征进行动力学分析6,但用数学理论对挖坑机钻头主轴振 动系统建模与控制,在国内外研究中尚未见报道。由于问题的 复杂性,难以用一个确定函数关系表示其运动规律。为了便于 研究,在对钻头主轴进行振动分析时,可将其分解为横向振动、 纵向振动和扭转振动3个系统分别进行研究。 文中将通过把系统阻尼系数当作控制变量,以 “范数最小” 来衡量其最优性,并证明了挖坑机钻头主轴纵向振动系统最优 控制的存在性和唯一性,为提高钻头工作效率及改进设计方法 提供了新的理论依据。找出系统的最优控制元,这意味着要以 最小 “消耗” 来实现挖坑机在给定状态下工作的目的。 1 钻头主轴纵向振动模型的建立 1. 1 基本假设 (1)钻头主轴为均质弹性直杆。 (2)坑轴线与钻头主轴轴线重合,忽略钻头主轴的弯曲变 形和与坑壁的摩擦作用。 (3)钻头主轴顶部与连接处及挖坑机支架简化为刚度为K 的弹簧。 (4)振源来自钻尖与土壤互相作用,使钻尖在坑底上下运 动产生的相对位移。 1.2 力学模型的建立7 在以上假设的基础上参照图1,利用弹性杆理论与空间运 动学及Hamilton变分原理,可推导出钻头主轴的纵向振动的方 程。 图1 挖坑机钻头主轴结构及截面坐标系简图 设钻头主轴的质量为m,截面抗拉刚度为EA ( x) , E为弹 性模量, A ( x)为横截面积,( x)为钻头主轴在x点处的系统阻 尼系数, l为钻头主轴长度,( x)c0, l为讨论的控制变量。 假设钻头主轴的横截面在纵向振动过程中始终保持平面, 其弯曲变形忽略不计,即同一横截面上各点仅在纵向x轴作相 等位移,以u( x , t)表示在t时刻钻头主轴在x点处纵向位移。 根据牛顿运动定理可得: 第23卷第9期 2 0 0 6年9月 机 械 设 计 JOURNAL OF MACHINE DESIGN Vol. 23 No. 9 Sep. 2006 3收稿日期:2006 - 04 - 27 ;修订日期:2006 - 06 - 24 基金项目:教育部博士点基金项目(20040225005) 作者简介:孟庆华(1975 - ) ,女,黑龙江人,东北林业大学机电工程学院博士生,天津体育学院教育科学系讲师,研究方向:系统建模与系统仿 真。 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 92u( x ,t) 9t2 - EA ( x) m 9 2u( x ,t) 9x2 +( x) 9u( x ,t) 9t = g 令: EA ( x) m = q( x) 方程可化为: 92u( x ,t) 9t2 +( x) 9u( x ,t) 9t - q( x)9 2u( x ,t) 9x2 = g 假设初始条件:u( x ,0 ) = 0 ( x) ; 9u( x ,0) 9t =1( x) 假设边界条件:u(0,t) =0; u(l,t) =0 由此可得钻头主轴纵向振动模型: 92u( x ,t) 9t2 +( x) 9u( x ,t) 9t - q( x)9 2u( x ,t) 9x2 = g u(0,t) =0, u(l,t) =0 u( x ,0 ) = 0 ( x) , 9u( x ,0) 9t =1( x) (1) 2 钻头主轴纵向振动模型的最优控制 2.1 状态空间 取状态空间L20, l ,令H1=span1, x , H2为H1的直交 补子空间,那么L20, l = H1?H2。 设P1为空间L20, l到H1上的投影算子,则I -P1= P2 为L20, l到H2上的投影算子,在H1上,方程(1)化为: 92u( x ,t) 9t2 = g u(0,t) =0, u(l,t) =0 u( x ,0) = P10, 9u( x ,0) 9t = P10 (2) 容易求出方程(2)的解为: u( x ,t) = a1+ a2x + a3t + a4xt 其中系数a1, a2, a3, a4,都由P10, P21唯一确定。 在H2 上,方程(1)化为: 92u( x ,t) 9t2 +( x) 9u( x ,t) 9t - q( x) 92u( x ,t) 9x2 = g u(0,t) =0, u(l,t) =0 u( x ,0) = P20, 9u( x ,0) 9t = P21 (3) 设方程(3)的解为u2( x , t) ,则有: 定理1:如果u1( x ,t)是方程(2)的解,则u( x , t)是方程(1) 的解的充分必要条件是u( x , t) - u1( x , t)是方程(3)的解。 在H2上定义算子A2 8 : A2f = ( - q( x)9 2 f ( x) 9x2 ) D(A2) = fH2| A2fH2 则方程(3)可写成下面算子方程形式: u(t) +( x)?u(t) + A2u(t) = g u( 0) = P20,? u( 0) = P21 (4) 为了将算子方程(4)转化为一阶发展方程,引入Hilbert空 间H = H1H2对 x = ( x1, x2) T , y = ( y1, y2) T H ,定义 内积和范数如下: ( x , y) = ( x1, y1) + ( x2, y2 ) , x=( x , x) 其中 :( ,)为L20, l中内积,令: y = ( y1, y2) T, y1 = A1/2 2 u, y2= du dt , B2= 0A1/2 2 - A1/2 2 - ,c2= 0 g 那么方程(4)化为: dy dt = B2y + c2 y( 0) = ( y1(0 ) , y 2(0) ) T = (A1/2 2 P20, P21) T (5) 引理18:算子B2生成c0一个半群T2(t)。 引理28: T2(t)为解析半群,并且存在常数M1,0, 使得:T2(t) Ml -t 。 由引理1、 引理2和定理1可知方程(1)的解为: u = u1+ A-1/2 2 y1(6) 其中:A -1/2 2 是有界线性算子。 2.2 主要结果 设N 0,记系统阻尼系数控制集为: U = c0, l |0 N , x0, l ,对U中元素, 取L20, l范数,不难验证U是L 20, l 中的闭凸子集。 设 3 为可达目标函数,记: Uad= U |使得u是方程(1)的解,且u- u1=3 , 则称Uad为系统阻尼系数允许控制集,钻头主轴纵向振动系统 的控制问题就是寻求0Uad,使得: 0L20, l=min L20, l|Uad 式中:0称最优系统阻尼系数控制元。 定理2:钻头主轴纵向振动系统在Uad中存在唯一的最优 系统阻尼系数控制元。 证明:易知Uad非空,以下只需证明Uad是L 20, l 中闭凸 子集9。 已知U是L 20, l 中闭凸集,先证Uad凸性,设1,2 Uad,01,由Uad的定义及定理2知,存在方程(1)的解 u 1 , u 2 ,使得ui- u1满足方程(4 ) , 则有: d2 ( u i- u1) dt2 + i ( x) d ( u i- u1) dt + A2 ( u i- u1) = g,i =1,2, ui(0) - u1(0) = P20, d ( u i- u1) dt |t =0= P21,i =1,2, ui- u1=3,i =1,2, (7) 令:= 1 + ( 1+)2, u=u 1 + ( 1- ) u 2,则有: d2 ( u - u1) dt2 +( x) d ( u - u1) dt + A2 ( u - u1) = g u(0) - u1(0) = P20,d ( u - u1) dt |t =0= P21 u- u1=3 (8) 由此,根据U的凸性及Uad定义可推出Uad,凸性证毕。 再证Uad闭性, 设 nUad, n =1,2,在L20, l中n 强收敛于0,由Uad定义及定理1知,存在方程(1)的解u n , n = 1,2,使得: d2 ( u n- u1) dt2 +i( x) d ( u n- u1) dt + A2 ( u n- u1) = g, i =1,2, un(0) - u1(0) = P20, d ( u n- u1) dt |t =0= P21, n =1,2, un- u1=3, n =1,2, (9) 62 机 械 设 计第23卷第9期 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 由式(5) , (6)可知: yn= A1/2 2 ( u n- u1 ) , d ( u n- u1) dt T n =1,2,(10) 满足方程: dyn dt = B2 n yn+ C2 n yn(0) = (A1/2 2 P20, P21) T n =1,2,(11) 这里:B2 n = 0A1/2 2 - A1/2 2 -n , C2 n = C2 设T2 n (t) , n =1,2,是由B2n生成的解析C0 -半群,则 方程(1)得: yn= T2 n (t) y 0(12) 这里,y0= yn(0 ) ,B 2 0 = 0A1/2 2 - A1/2 2 -0 , C2 0 = C2, T2 0 (t) 是由B2 n 生成的解析C0-半群,则由lim n n=0,可得lim nB2n = B2 0 ,lim nT2n (t) = T2 0 (t) , 记y0= T2 0 (t) y 0是方程: dy dt = B2 0 y + C2 0 y( 0) = y0 (13) 的解,且由式(12) , (13)可得lim ny n= y0,由A -1/2 2 为界线性算 子得: lim nu n= u1+ A- 1/2 2 yn= u1+ A-1/2 2 y 0 = u 0 (14) 由定理1可知:u 0 是方程(1)中将( x)替换为0( x)所得 方程的解。 由式(14)知:u 0 - u1=3,再由U的闭性及Uad定义得: 0Uad。 由L20, l是自反严格凸Banach空间,Uad是L 20, l的闭 凸子集,闭性证毕。 于是存在唯一的0Uad,使得: 0L20, l=min L20, l|Uad 0即为所谓的最优系统阻尼系数控制元,定理证毕。 定理3:如果0Uad是挖坑机钻头纵向振动系统的最优 阻尼系数控制元,那么在Uad中一定存在序列n ,使它在 L2(0 , l) 中强收敛于0。 证明:略,可以仿照文献10中定理2的方法证明。 3 结束语 建立了挖坑机钻头主轴纵向振动系统数学模型,并通过把 系统阻尼函数当作控制变量,证明了此纵向振动系统最优控制 存在性和唯一性,为有效地预测和控制钻头的运动规律,改善 钻头主轴的动力学特性,提高钻头工作效率及改进设计方法提 供了新的理论依据。 对林业与园林机械理论研究有一定指导意 义和应用价值,但是由于影响挖坑机钻头动力学特性因素十分 复杂,目前还难以掌握。 因此,在分析中仍然是在假设条件基础 上进行的,还需进一步研究。 在今后工作中还将对钻头主轴振 动系统中的横向振动和扭转振动也分别建模求解,并将其各子 系统综合进行有效控制。 参考文献 1 潘天丽,王蓝.在退耕还林中应大力发展林业机械J .陕西林业 科技,2000 ,4 :59 - 64. 2 茅也冰,王乃康,刘会敏.挖坑机动态力学参数测试试验装置的研 制J .北京林业大学学报, 2004 ,26(1) :79 - 82. 3 Muthukrishna S V , Sujatha C. Twist drill deformation and opti2 mum drill geometryJ . Computers 2. De2 partment of Educational Science , Tianjin Physical Culture Insti2 tute , Tianjin 300381 , China) Abstract : Utilizing the theory of elastic dynamics and Hamilton variation principle , the dynamics model was firstly established for the longitudinal vibration produced by mutual action between drill tip and soil during the feeding course of drill2bit main shaft and drill tip of the pit digger for tree plant2 ing , and at the same time the boundary conditions and prelimi2 nary conditions were pre