（理论物理专业论文）用超对称量子力学求解schrodinger方程.pdf

中文摘要 超对称量子力学自1 9 8 1 年由w i t t e n 首先提出以来，一直是人们关注的一个 热点问题。1 9 8 3 年g e n d e n s h t e i n 提出了形状不变势的概念，并且证明了，在非 相对论下，我们已知的势场都具有形状不变性，它们的束缚态能谱都可通过简单 的代数方法得到。这是超对称量子力学的一大突破。1 9 8 5 年s u k u m a rcv 提出 了构造哈密顿序列的思想，这是超对称量子力学的又一大进步。接着人们又从各 个角度讨论超对称量子力学的性质，如超对称量子力学中的近似，超对称的破缺 问题，形状不变势的分类等。 本文主要介绍了超对称量子力学的基础知识。然后应用它分析势场的性质。 首先，我们介绍了超对称伴的概念，哈密顿序列的思想，形状不变势的性质，形 状不变势的分类，并且给出了超对称量子力学的求解范围。然后我们应用形状不 变势的概念推导了哈密顿序列中超势所满足的关系，并用此关系式求解了一维 e c k a r t 势，然后应用两种方法研究了三维e c k a r t 势的性质。一种是超对称量子 力学与变分法相结合，构造波函数，从而求得近似能谱和波函数；另一种是当参 数满足一定关系时，应用库仑近似，得到势场的近似解。 最后我们介绍了s w k b 方法。首先介绍了s w k b 量子化条件的推导，并给 出了超对称破缺时的s w k b 量子化条件即b s w k b 量子化条件。然后从理论上 证明s w k b 量子化条件对于形状不变势的束缚态能谱是精确的。最后我们应用 s w k b 量子化条件求解了普遍的a b o 势。从正面证明了s w k b 量子化条件对 于形状不变势的精确性。 关键词： 超对称量子力学( s q m ) 超对称伴 超势形状不变势变分方法 s w k b 方法 a b s t r a c t s u p e r s y m m e t i cq u a n t u mm e c h a n i c s ( s q m ) w a sf i r s ti n t r o d u c e db yw i t c e ni n 1 9 8 1t oa n a l y z et h eb r o k e ns u p e r s y m m e r y f r o mt h e no n ，p e o p l eh a v ep a i dm u c h a t t e n t i o nt ot h i sf i e l d m a n yq u e s t i o n sw e r ed i s c u s s e da n dal o to fc o n c e p t i o n sw e r e p u tf o r w e r d i n l9 8 3 ，g e n d e n s h t e i na d v a n c e dt h ec o n c e p t i o no fs h a p e i n v a r i a n t p o t e n t i a l ，a n dp r o v e di nt h ec o n t e x to fn o n - r e l a t i v i t y , 0 1 2 1 g i v e np o t e n t i a l sa l ea l l s h a p e i n v a r i a n t t h e i rb o u n d - s t a t ee n e r g ys p e c t r ac a nb eo b t a i n e de a s i l y t h i si s a b r e a k t h r o u g h i n s u p e r s y n u n e t r yq u a n t u mm e c h a n i c s i n1 9 8 5 ，s u k u m a rcv i n t r o d e c e dt h ei d e at oc o m p o s eah i e r a r c h yo fh a m i l t o n i a n s ，w h i c hi sag r e a t a d v a n t a g ei nt h es u p e r s y m m e t r yh i s t o r ya g a i n t h e np e o p l es t u d i e dt h ep r o p e r t i e so f s q mf r o md i f f e r e n ta n g l e s s u c ha st h eb r o k e ns u p e r s y m m e t r y , t h ec l a s s i f i c a t i o no f s h a p e - i n v a r i a n tp o t e n t i a l s ，e t c i nt h ep a p e r , w em a i n l yi n 打o d u c et h eb a s i c sk n o w l e d g eo fs q m ，a n da p p l yi tt o a n a l i z et h ep r o p e r t i e so fp o t e n t i a lf i e l d f i r s to fa l l ，w ei n r o d u e et h ec o n c e p t i o no f s u p e r s y m m e t r i cp a r m e r s ，d e s c r i b et h ei d e ao fh i e r a r c h yo fh a m i l t o n i a n s ，a n ds t u d y t h ep r o p e r t yo fs h a p ei n v a r i e n tp o t e n t i a l a n dt h e nb a s e do ns q m ，w eo b t a i nt h e r e l a t i o n s h i pt h a ts u p p e r p o t e n t i a l si nah i e r a r c h yo fh a m i l t o n i a n ss a t i s f y a p p l y i n g t h e s et h e o r i e s ，w es o l v ee c k a r tp o t e n t i a l ：w h e na n g u l a rm o m e n t u mi sz e r o ，w e i l l u s t r a t ei t sb o u n d s t a t es p e c t r aa n de i g e n f u n c t i o s ；w h e na n g u l a rm o m e n t u mi sn o t z e r o ，w eu s et w oa p p r o x i m a t i o nm e t h o d st oa n a l i z ei t o n ei sr e l a t i n gv a r i a t i o n a l m e t h o dw i t hs q m w eo b t m ni t sa p p r o x i m a t ee n e r g ya n dw a v ef u n c t i o n s ；t h eo t h e ri s u s i n gc o u l o m ba p p r o x i m a t i o nf o rt h ep a r a m e t e r ss a t i s t ys o m ec o n d i t i o n s f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h es w k bm e t h o d a tf i r s t , w eo b t a i nt h es w k b q u a n t u mc o n d i t i o na n db s w k bq u a n t u mc o n d i t i o n ( f o rt h eb r o k e ns u p e r s y m m e t r y ) f r o mt h e r o t i c a la n g l e ，w ep r o v et h eb o u n ds t a t ee n e r g i e sa l ee x a c tf o rs h a p e i n v a r i e n t p o t e n t i a lb ys w k bm e t h o d a s a l le x a m p l eo fa p p l i n gs w k bm e t h o d w es o l v et h e g e n e r a la b op o t e n t i a la n dd i s c u s st h er e s u l tb r i e f l y k e y w o r d s ：s u p e r s y m m e t r yq u a n t u mm e c h a n i c s ( s q m )s u p e r p o t e n t i a l s h a p e - i n v a r i a n tp o t e n t i a l v a r i a n t i o n a lm e t h o ds w k bm e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁注盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：崔乡i 守签字日期：2 d 谚年7 月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫壅盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：崔j l i 宁 签字日期：2 5 年 1 月弓日 铆躲狮叻 签字日期：嬲年j 月弓日 前言 物理学家一直致力于对自然界的基本相互作用进行统一的描述。这些相互作 用包括强力，电磁力，弱力，引力。在过去的三十多年中，人们进行了许多大胆 的尝试，在这些统一的方法中，超对称是一个必要的成分。超对称是一种把具有 不同自旋和统计性质的粒子联系起来的对称，或者说是让费密予和波色子互相交 换的对称，而且它是把时空对称与内部对称结合在一起的新型对称。这个对称是 于1 9 7 1 年由g e l f a n d 和l i k t m a n 首先发现的。后来又被其他几个研究小组相继发 现。任何一种对称性都联系着一个连续或分离的变换群，而连续变换群的生成元 必须服从李代数。超对称所对应的代数是扩展的李代数，又称超李代数。 尽管统一的理论很美妙，但直到现在还没有发现超对称存在的证据。一个重 要的超对称破缺的理论假设是存在与夸克，轻子，对应的超夸克，超轻予( 相对 应的两者称为孪生子) 。它们对应的两者之间具有相同的质量。但至今未发现这 样的粒子。这就证明超对称是自发破缺的。接着又有许多方案试图解释孪生子质 量不同问题，及非微扰的超对称破缺问题。在这样的背景下，1 9 8 1 年w i t t e n 提 出了超对称量子力学的概念，用于研究超对称的破缺问题。于是超对称量子力学 诞生了。当人们把目光投向超对称量子力学的各个方面，发现它是很有趣的。很 快人们就认识到超对称量子力学洞悉了由i n f e l d 和h u l l 发展的因式分解方法， 这个第一个把分析可解势进行分类的方法。逐渐地超对称量子力学引发了一整套 技术用于理解可解势问题。 在应用超对很量子力学时，人们通常只是应用包括费米，波色算符的超对称 的代数，一旦理解了代数结构，我们就没有必要回到费米，波色对称了。本文主 要应用超对称量子力学求解s c h r 6 d i n g e r 方程。介绍了哈密顿序列思想，形状不 变性概念，推导了超势方程，给出了求解的例子，讨论了s w k b 近似方法等超 对称量子力学的应用。 第一章超对称量子力学 第一章超对称量子力学 在这一章中，我们主要介绍超对称量子力学的基础知识。我们首先介绍超对 称哈密顿伴的概念。这是w i t t e u 于1 9 8 1 年首先提出的。互为超对称伴的两哈密 顿具有相同的能谱( 除基态) ，且本征波函数可以通过相应的升降算符相联系。 基于这个概念，s u k u m a rcv 等提出了构造哈密顿序列的思想，这是超对称量子 力学的一大进步。在序列中的任意相邻两哈密顿，互为超对称伴，那么已知序列 底哈密顿的束缚态能谱，序列中其他哈密顿的束缚态能谱即可轻易得到；如果已 知序列中各哈密顿的基态本征值及本征波函数，那么底哈密顿的能谱和波函数也 可通过相应的关系式得到。1 9 8 3 年g e n d s e h i n e 提出了形状不变势的概念，这也 是超对称量子力学的一大突破。这个概念与哈密顿序列的思想相结合，只要应用 简单的代数方法就可以得到形状不变势的束缚态能谱。然后我们又对形状不变势 进行了分类，从而更全面的认识这些势场。最后我们讨论超对称破缺的问题，并 给出了超对称量子力学的求解范围。 1 1 超对称量子力学中超对称伴哈密顿 本小节主要介绍超对称伴哈密顿 1 】，以及它们的能量本征值及本征波函 数所满足的关系。我们将会看到互为超对称伴的两哈密顿h + 具有相同的束缚态 能谱( 除点l 的基态外) ，它们的本征波函数可以通过相应的升降算符相联系。并 且我们给出了超势的概念，为下一章进一步的讨论做准备。 在s e h r 6 d i n g e r 绘景下，一维势的s c h r 6 d i n g e r 方程( 我们设2 r e = h = 1 ) 可表 示为 日一妒( 一( x ) ：一旦：j ：；盟+ e ( z ) y t 一( x ) ：e ( 一( 膏) 。( 1 - 1 1 ) a x 对于基态，当本征值为0 时，方程可简化为 第一章超对称量子力学 第一章超对称量子力学 在这一章中，我们主要介绍超对称量子力学的基础知识。我们首先介绍超对 称哈密顿伴的概念。这是w i t t e n 于1 9 8 1 年首先提出的。互为超对称伴的两哈密 顿具有相同的能谱( 除基态) ，且本征波函数可以通过相应的升降算符相联系。 基于这个概念，s u k u m a r c v 等提出了构造哈密顿序列的思想，这是超对称量子 力学的一大进步。在序列中的任意相邻两哈密顿，互为超对称伴，那么己知序列 底哈密顿的束缚态能谱，序列中其他哈密顿的束缚态能谱即可轻易得到：如果己 知序列中各哈密顿的基态本征值及本征波函数，那么底哈密顿的能谱和波函数也 可通过相应的关系式得到。1 9 8 3 年g e n d s e h i n e 提出了形状不变势的概念，这也 是超对称量子力学的一大突破。这个概念与哈密顿序列的思想相结台，只要应用 简单的代数方法就可以得到形状不变势的束缚态能谱。然后我们又对形状不变势 进行了分类，从而更全面的认识这些势场。最后我们讨论超对称破缺的问题，并 给出了超对称量子力学的求解范围。 1 1 超对称量子力学中超对称伴哈密顿 本小节主要介绍超对称伴哈密顿 1 】，以及它们的能量本征值及本征波函 数所满足的关系。我们将会看到互为超对称伴的两啥密顿置+ 具有相同的束缚态 能谱( 除厦的基态外) ，它们的本征波函数可以通过相应的升降算符相联系。并 且我们给出了超势的概念，为下一章进一步的讨论做准备。 在s c h r 6 d i n g e r 绘景下，一维势的s c h r o d i n g c r 方程( 我们设2 m h = 1 ) 可表 示为 h p 一( 功= d 2 ( 一( x ) 矗。 + 正( z ) p 一( 工) = e v 叶( j ) 。( 1 - 1 1 ) 对于基态，当本征值为0 时，方程可简化为 对丁：基态，当本征值为0 时，方程可简化为 第一章超对称量子力学 由上式可得到 旦：字+ 矿( 砷y 5 _ ( x ) = 。 ( 1 1 2 ) ，= 鬻 受( 1 - 1 。3 ) 式启发，我们可以把哈密顿h 表示成升降算符的形式 h 一= a + a ， 其中a ：导+ 形( x ) ，a + ：一导+ r v ( x ) 。 嬲积 相应的 k ( x ) = 形2 ( x ) 一形( x ) 。 ( 1 - 1 - 3 ) ( 1 1 - 4 ) ( 1 1 - 5 ) 这是著名的r i c c a t i 方程。在超对称量子力学中，i v ( x ) 被称为超势，由( 1 - 1 3 ) ， ( 1 - 1 5 ) 两式。可得基态波函数与超势的关系式 忡卜鬻a ( 1 - l 巧) 同时我们看到彳5 一( 功= 0 ( 这是超对称未破缺的条件，我们将在( 1 - 4 ) 节讨论) a 方程h 一缈5 - ) = 4 + 一j c ，5 _ ) = 0 ，基态解为0 ，与假设一致。， 通过交换算符a ，a + 的位置，构造哈密顿士l h + = 以+ = 一万d 2 + _ ( x ) ，( 1 - 1 - 7 ) 其中一( x ) = 矿2 ( x ) + i v ( 砷。 下面我们讨论一下两个哈密顿算符上能量本征值及本征波函数的关系。 对于日一的本征态沙 1 有 第一章超对称量子力学 日一吵：一= a + 4 ：一= 鹾一以， 日+ ( 一y ：一) = a a + a y j 一= 鹾_ ( 4 ：。) 。 同样的对于h + 的本征态y 有 + y ：曲= a a + ：q = 毯q p ， h 一( 4 + p ：+ ) = 一+ a a + y ：+ = e + ( 4 + 缈：+ 1 ) 。 由以上四式及日一的基态本征值为0 这一条件，我们可以看到除h 的基态外，n 与一有相同的能量本征值，且它们的本征波函数可以通过一对共轭算符a ，a + 相 联系，即有 磷= e ：i ，e p = 0 ， 妒1 = ( e ： ) 一4 y ：；( x ) ，l f ，i = ( 层：+ ) 一爿+ y ：+ ( x ) ( n - - - - 0 ，l ，2 ) 。 ( 1 1 8 ) 这里注意如果王l 的本征波函数妒：j ( x ) 是归一化的，则上0 的本征波函数妒j ( x ) 就是归一化的，反之如果y ：( 茁) 是归一化的，p 矧( 也就是归一化的。 具有以上关系的两哈密顿算符。我们称之为互为超对称伴。互为超对称伴 的两哈密顿之间的关系，我们可以用下面的简图表示 第一章超对称量子力学 由上图不难看到如果知道互为超对称伴的两哈密顿中一个的能谱和波函数，那么 另一个哈密顿的能谱和波函数就可以轻易得到了( 除h 一的基态) 2 1 。 h + 与h 一能级简并的原因可以通过超对称代数的性质来理解。我们可以考虑 矩阵形式的超对称哈密顿 h = 瞄以0 o ( 1 - 1 - 9 ) 这个矩阵可以由满足对易与反对易关系的费米，波色算符得到，两对易算符为 q = 酬= 吲，( 1 - 1 - 1 0 ) ( q ，q + 可被解释为改变波色能级到费米能级的算符，反之亦然) 因此h = q + o 以上算符有如下关系 【日，q - 日，q + 】= 0 ( 1 1 1 1 ) q ，q + ) = h ， q ，o ) = q + ，q + ) = 0 q ，q + 与h 对易，则具有相同的能量本征态。这是三l ，h 一能级简并的原因。 1 2 哈密顿序列 从上面一节，我们可以看到互为超对称伴的两哈密顿日+ 具有相同的能谱( 除 日一的基态) ，且它们的波函数可以通过一对算符4 ，4 + 相联系。那么我们是否可 以用同样的方法构造一个哈密顿算符作为上，上的超对称伴，使它们具有相同的能 谱( 除l 的基态) ，且波函数通过一对算符联系。我们可以继续构造这个新哈密 顿的超对称伴依次做下去。这就是构造哈密顿序列的思想 3 ，4 ，5 】。构造哈密 顿序列日( “，日( ”，h ( “它们任意相邻两者之间互为超对称伴。每个哈密顿比前 面的少个束缚态能级，日( o 一共有多少个束缚态能级，哈密顿序列中就有多少 第一章超对称量子力学 个哈密顿。由此我们可以看到，假如已知哈密顿日( 0 的束缚态能谱和波函数，那 么序列中其他哈密顿的束缚态能谱和波函数就显而易见了。同时假如已知哈密顿 序列中每个哈密顿的基态本征值及本征波函数，那么h ( 的束缚态能谱和波函数 也是轻易可得的。下面我们具体介绍一下。 从上一节，我们看到当只一的基态本征值为0 时我们把它表示成a ，a + 乘积的 形式，当日( o 的基态本征值不为0 时，我们可以把它表示为 = 露a o + 目。) = 一万d 2 + v o ( 工) ， 其中a = _ d + 甄。埘。4 - = 一磊d + w o ( o _ x x ) ，甄= 一篆鬻。(弘“i工j 那么其超对称伴h ( 1 为 h o ) = a o a j 懈) = 一鲁根班 其中k ( 曲= 孵( 曲专哦( 功+ e 5 “= v o ( x ) + 2 哌( x ) = v o ( x ) 一2 箬h y 护。 毯州h 表示本征能级，m 表示第m 个哈密顿h m 。由此可得 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 后：譬= e 。o ) ，= ，f n ( o ) + l e p ) 一a 舯t o ) i 。 ( 1 2 3 ) 我们可以产生第三个哈密顿h ( 2 作为何1 的超对称伴 h o = 4 4 ；+ 尉= 爿i 4 i + 嗣”， ( 1 - 2 - 4 ) 其帆= 丢州n 钟一瓦d 州咖删一韶。 则日( 2 可表示为 = 4 群+ 印= 一万d 2 + v a z ) ，( 1 - 2 - 5 ) 第一章超对称量子力学 其中 k o ) = 彬2 ( x ) + 。( x ) + 目1 ) = z o ( x ) 一2 - t l n v 5 。) p 5 ”。 能量本征值，本征波函数满足 e ：2 = e 。( + o l = e 墨， ll “2 ) = ( 芝一耐o ) 一i ，k f n ( “+ 2 一磷o ) 一i a l a 。妒船。 ( 1 - 2 6 ) 依次类推，我们可以得到哈密顿系列中任意哈密顿日( “1 的本征值和本征波函数 ( 设h 共有p 个束缚态，且d m 印) 日( m ) = 群4 ，+ 掣= 一万d 2 + ( x ) ，( 1 - 2 - 7 ) 其中以= - d + 既( n 鬈一_ d a x a x + 既( ，既( - 镰等。 i7 l x ) 且 砭”= + r a ，- ”= 霹= ， ( 1 - 2 _ 8 ) 妒：m ) ：( e 一e 黠) 一( e 一尉。) 一一，+ 4 4 。y 黠。 ( 1 2 9 ) 这样我们已知日( o 的本征值和本征波函数，就可以通过上面的关系式得到其哈密 顿序列中任意哈密顿的本征值和本征波函数了。同样的已知序列中各哈密顿的基 态本征值及本征波函数，通过( 卜2 - 8 ) 式求得日的束缚态能谱，本征波函数 可通过如下关系式得到 ：。) ：( 耳n 一目。) 一( 目m e o ( 。) ? 一0 ：a n * _ 1 妒p 。 ( 1 2 1 0 ) 这里注意只有当日”的基态波函数缈5 ”( x ) 是可归一化的，即超对称未破缺时， 我们才可以应用上面的关系式。反之，则不能应用。这一点也可以通过等式 一，p 5 ”= o 来检验，如果等式不成立，超对称是破缺的，我们不能以应用( 1 - 2 9 ) 第一章超对称量子力学 与( 1 2 1 0 ) 两式。 1 3 形状不变势 1 9 8 3 年g e n d s c h i n e 提出了形状不变势这个概念 6 】，这是超对称历史上的一 大飞跃。我们首先介绍一下这个概念。如果一对超对称伴的势k ( x ) 形状相似， 它们的区别仅在于参数不同，则我们说k 0 ) 具有形状不变性。即满足条件 一( x ，a o ) = v ( x ，a 1 ) + r ( a 1 ) ， ( 1 - 3 1 ) 其中a 。是一系列参数，且有口1 = f ( a 。) ，r ( a ) 是与x 无关的参数，则称k ( 石) 是 形状不变势。表示成超势的形式为 降7 2 ( 工，a o ) + 矿( x ，a o ) = w 2 ( x ，a 1 ) 一w ( x ，口1 ) + r ( a 1 ) 。 ( 1 - 3 - 2 ) f 面，我们结合哈密顿序列的思想，求解具有形状不变性的势场【7 】。我们将会 看到在超对称未破缺时，其能谱可通过简单的代数方法得到。首先构造一个哈密 顿序列h = h ”，( “，日”。为了讨论的简便，我们先假设h 的基态本征值为 0 ，因为序列中相邻两啥密顿互为超对称伴，有 h ( o ) = h 一日( 1 ) _ h 一 胛= 一万d 2 + 圪( 石，) ， ( 1 3 3 ) c 班。 h o ) 出d 2 f + _ ( 石，口。) = 一参+ t ，q ) + 矗( q ) ， ( 1 - 3 4 ) 日( 。可表示为 胪) ：一鲁+ v ( x ，+ 壹脚山0 - 3 - 5 ) 出。篙。 7 其中a ，= ，。( ) = 九月f ( a 。) 】，厂函数运算s 次 - 8 - 第一章超对称量子力学 那么，日( ”1 为 旷+ 1 ) = 一万d 2 + 圪( 。+ 薹脚沪一万d 2 + 一( 圳小骞脚。) 由以上两式可以看出从日5 _ h “”，只是把 ，盯。) 一( z ，口。) ，其余项相同。 这证明了日“，日( “1 的对应的势具有形状不变性。那么其中的余项有什么意义 呢? 下面我们来考察一下。 比较( 1 - 3 3 ) 与( 1 - 3 4 ) 两式，因为h ( ”，日1 互为超对称伴，除日o 的最 低能级外，两者有相同的能谱，h o 的最低能级为r ( a ) ，则h o 的第一激发态 能级为r ( a ，) 。如此依次向上推，可看出h ( s 的最低能级( 如果存在束缚态) 为 g ( a 。) ，则的第j 激发态的能级为z r ( a i ) 。由此可以得到结论日0 的第 女；l t z l 行激发态的能量本征值为 e n = r ( a t ) ， ( 1 - 3 7 ) 如果h o 的基态本征值不为鹾o 0 ，则其第 激发态的能量本征值为 e = 鹾o + 月( 唧) 。 ( 1 - 3 8 ) i ；1 由以上可见，如果我们讨论的势具有形状不变性，那么其能谱便可通过 ( 1 - 3 8 ) 式轻易得到。下面我们讨论这些形状不变势的分类，这是一个非常重 要的问题。因为一旦存在分类，我们就可以发现新的形状不变势【8 】，对于这些 新的形状不变势，我们同样可以应用代数方法求解。这里主要有两种形式。一种 是参数口1 ，口：通过平移变换相联系即有口：= c 1 1 + 口。在非相对论量子力学中，我 们已知的分析可解势都属于这种情况 9 】。另一种是后来发现的参数q ，口：满足比 例关系吼= q a ，( o o ) ，( 1 - 3 1 3 ) 矿 ，a ，b ) = a t a n a 。c b c o t a x ( 气b 0 ) 。 ( 1 3 1 4 ) 其中0 兰x 鲁，并且有w ( x = o ) = p = 刍= 0 。( 1 - 3 1 3 ) 对应的势是 z 口 2 a p 6 s c h ! 一t e l l e ri 势，( 1 - 3 一1 4 ) 对应的势是p s s c h l t e l l e r l i 势。 当m = l 时，有许多超势的形式都满足形状不变性条件，对应的势包括三维谐振 子势，c o m l u n 势，m o r s e 势，e c k a r t 势等。 以( 1 - 3 - 1 4 ) 式表示的超势作为例子，我们展示下求解过程。相应的超对 称伴的势为 k ) = - ( a + 口) 2 + a ( a a ) s e e 2 似+ b ( 占一a ) c o s e c 2 僦， v 2 ( x ) = - ( a + 功2 + 彳( 一+ 1 2 ) s e c 2 麟+ b ( b + 0 0 c o s 8 c 2 麟。 ( 1 - 3 1 5 ) 以上两式满足如下关系 巧( 一，印= v d 石, a + 睇，四十口) + ( a + b + 2 a t ) 2 一( 彳十动2 。 ( 1 - 3 1 6 ) 巧( z ) 基态波函数由超势与波函数的关系式计算得到 y ，4 ，口) * ( c 。s a x ) 。s i ( 删2 。= ( 一十”嘭，丑= ( b + ”，( 1 3 1 8 ) 要求( a ，b o ) ，使得此波函数是平方可积的，并且保证了波函数满足条件 o 艇云时，矿q - 0 ) = 妒 = 云) 砒 应用表达式( 1 - 2 1 0 ) ，我们就可以得到势的第一级本征波函数了【1 1 】。 1 4 超对称量子力学求解范围和超对称的破缺 通常我们用超对称量子力学方法只能求解一维势或中心势( 其本质也是一 维的) 。那么是否可以用它来求解非中心势呢? 事实证明是可以的。只要每个坐 第一章超对称量子力学 标上分离得到的s c h r 6 d i n g e r 方程所含的都必须是形状不变势，我们就可以用代 数方法得到非中心势的解。作为例子，我们讨论在球极坐标下的分离势。 在球极坐标中，最普遍的势为 脚川r ) + 等+ 器， 4 _ 1 ) 其中矿( r ) ，矿( 日) ，矿( ) 是任意的方程。下面我们看一下为什么具有以上形式的 s c h r 6 d i n g c r 方程式可解的。设方程的波函数为妒( ，0 ，) ，方程是 一c 等+ 詈挚一1 ( 0 f 2 + c o t 0 0 d 妒f ) 一志鲁川川妒。( 1 - 4 - 2 ) 我们可以把波函数表示为 y ( 以) ：塑丝! 雩世( ) 。 ( 1 4 3 ) r ( s i n 们7 2 把上式代入s c h r 6 d i n g e r 方程，进行变量分解，我们可得到关- 于k ( q k ) ，1 1 ( o ) ，r ( r ) 的方程 一d 2 了k 万( r 一) + 矿( ) 世( ) ：聊2 置 ) ， 蒯2 一d 2 矿h ( o ) + 矿p ) + ( m 2 一 c o s e c 2 0 】日( 印；，2 h ( 口) ， 一等嘶，+ 孚堋m ( 1 - 4 。5 ) ( 1 - 4 7 ) 其中m 2 ) ，2 是分离常数。如果我们选择的矿( r ) ，矿( 口) ，矿( 庐) 具有形状不变性，则此 三个s c h r 6 d i n g e r 方程即可以应用超对称量子力学方法进行求解。那么相应的含 有非中心势的s c h r s d i n g e r 方程也就是可解的了。 第一章超对称量子力学 在场理论中，决定超对称是否破缺是很困难的。因此超对称量子力学是一 个试验场，寻找不同的方法理解无微扰的超对称破缺。在量子力学中，超对称的 破缺是与方程o o ) = o i o ) 是否存在归一化的波函数相联系的。如果方程 o l o ) = o l o ) 存在归一化的波函数，我们就说超对称是未破缺的，反之则是破缺的 【1 2 1 a 第二章用趣对称量子力学求解含e c k a r t 势的s c h r 6 d i n g e r 方程 第二章用超对称量子力学方法求解含e c k a r t 势的s c h r s d i n g e r 方程 在这一章中，我们主要应用超对称量子力学方法求解s c h r 6 d i n g e r 方程。我 们首先推导出当势具有形状不变性时，哈密顿序列中的超势所满足的递推关系。 应用这一递推关系求解具有形状不变性的一维e c k a r t 势的s c h r 6 d i n g e r 方程，我 们会发现这会给计算过程带来简便。然后我们应用两种方法讨论三维e c k a r t 势的 性质：一种是应用变分法与超对称方法相结合，用构造的超势得到试探波函数， 从而近似的得到三维e c k a r t 势能谱和波函数。最后当势参数满足一定关系时，我 们用库仑势近似代替，求得三维e e k a r t 势的解。 2 1 形状不变势的超势方程的推导 在( 1 2 ) 节中，我们介绍了哈密顿序列的思想，在序列中相邻两哈密顿互为超 对称伴。在( 1 3 ) 节中，我们介绍了形状不变势的概念，并与哈密顿序列的思 想相结合，展示了当势具有形状不变性时，束缚态能谱可以通过代数方法得到， 波函数也可以通过升降算符简便求出。那么与哈密顿序列对应超势序列满足什么 关系呢? 下面，我们严格推导在势场具有形状不变性时超势序列所满足的关系。 设h 具有形状不变性，构造哈密顿阶梯序列日= 日( ”，h ”，h ( 2 ) 日( o ) = 一参+ 孵( 砷一哦( 力+ 鹾= 一参+ 吩( 工，吼) 一吮也) + 磷”，f 出。 ( 1 ) = 一万d 2 + 2 0 ) 一彤g ) + 毋) ， 由超对称伴的性质有 日加) = 一参+ 孵g ) 一形g ) + 可。( 2 - 1 - 1 ) 第二章用超对称量子力学求解含e c k a r t 势的s c h r s d i n g e r 方程 2 ( z ) 一暇+ ( x ) + 磷1 = 盱( x ，a 。) + 哦0 ，) + 鹾”， ( 2 1 - 2 ) 应用形状不变性条件，超对称伴的超势所满足的关系 形2 ( x ，a ，一1 ) + + ( x ，4 。一1 ) = ，矿2 ( z ，口。) 一w ( x ，口) + r ( a ，) ， ( 2 1 - 3 ) 其中口，表示一组独立的参数，口。= f ( a 。) ，r ( a 。) 与x 无关。且 整理得 r ( a ，) = e e l ( f _ 1 , 2 ，3 月) ， ( 2 1 4 ) ( x ) + 阡：( x ，口1 ) 】【( x ) 一阡：( x ，口。) 】= ( z ) 一阡i ( x ，口1 ) 】 。( 2 - 1 5 ) 比较两边的z 的幂次可得 猜想呢( x ) = 矾( z ，日。) ， ( 功= ( x ，口1 ) 。 ( 2 - 1 6 ) 用数学归纳法证明：已知彤 ) = w o 口。) ， 设w 。一l ( x ) = w o ( 工，口。一1 ) ， 由超对称伴关系有 孵 ) 一彰( x ) + 瑶帕= 阡甚1 ( 工，a 。一1 ) + 吮一l ( 工，口。一1 ) + 尉”_ 1 ， ( 2 - 1 - 7 ) 由形状不变势性质有 经比较可得 结论得证。 阡翟( z ，a 。一1 ) 十阡：- 1 ( x ，a 。_ 1 ) = 降警( 五口。) 一阡：( x ，以) + g ( a 。) ，( 2 - 1 8 ) 呒( z ) = ( x ，a 。) 。 ( 2 - 1 9 ) 1 5 - 第二章用超对称量子力学求解含e c k a r t 势的s c h r 5 d i n g e r 方程 因此，在利用超对称量子力学方法求解过程中，如果相应的势具有形状不变 性，不但可以方便的得到能谱，而且通过( x ，a 。) 的表达式很容易得到( x ) 的 表达式，省去了烦冗的计算，相应的波函数表达式简化为 - ( x ) = 。a + ( x ，a o ) 一+ ( x ，盯1 ) a + ( x ，a 。- 1 ) 、壬0 帕( ， ( 2 1 1 0 ) 其中彳+ ( 工，d f ) = 一_ d4 - w ( x ，i t l i ) ，吲”( x ) = 5 ”) p f i 川4 ( 5 ，。为归一化常 m 数) 我们可以看到( 2 1 9 ) 与( 2 1 1 0 ) 两式与f r e dc o o p e r 等应用类比法得到 的结果是一致的 1 3 】。下面我们将会应用这一方法求解具有e c k a r t 势的 s c h r 6 d i n g e r 方程，大家将体会到它带来的简便。 2 2 一维e c k a r t 势场中量子系统的能谱和波函数 下面我们分析e c k a r t 势场的量子力学性质。首先我们应用超对称量子力学方 法求解其一维的情况及角动量l = o 时的解。然后应用两种方法研究其不为0 时的 性质。 在球坐标系下，形如v = ( 掌2 一心) e s c h 2 ( 甜) 一2 r c t h ( a r ) 的e c k a r t 势 1 4 】的径 向s c h r 6 d i n g e r 方程可化简为( 我们设h = 2 m = 1 ) 卜芸+竽+92一蟛)csc职甜)一2秘胁(ar)fe(r)dr= 删。 ( 2 - 2 - ，1 ) 。 ，。ol z z 一， ( 0 o ，口 o ，孝 口) 当，= 0 时，用超对称方法求解如下： 构造哈密顿序列日= h “，日( ”，。 根据势的形式设 矾( ，) = a c t h ( a r ) + b ， ( 2 - 2 - 2 ) 第二章用超对称量子力学求解含e e k a r t 势的s e h r s d i n g e r 方程 其中，b 是待定的参数。 根据哈密顿因式分解性质，得r i c c a t i 方程 ? ( ，) 一哌( r ) + e 5 町= ( 孝2 一a 毒) c s t h 2 ( 凹) 一2 r l c t h ( a r ) 。 ( 2 2 - 3 ) 比较e “对应项系数，得到参数口，b 的两组解 口l _ 芬耻； 旷和，6 2 一壶 ( 2 。2 4 ) 经检验，应用第二组解的波函数不能进行归一化，引起超对称的破缺，舍去。 1 第一组解在满足条件宇 o 。( 2 - 3 - 4 ) a cac 2 很容易得到c 的解，从而得到三维e e k a r t 势的能量本征值e 。，( 即为础) 。仿 照( 2 - 2 1 0 ) 式，求得相