（光学专业论文）克尔非线性黑体中光谱能量密度研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 在克尔非线性黑体中，光子黑体场处于压缩的热辐射态，有相反波矢量和螺旋 量的裸光子结合成光子对，不成对的裸光子将转换成一种新的准粒子非极化激 元。非极化激元是虚非极性声子的凝聚体，一个裸光子充当了凝聚核。非极化激元 的传播速度是温度的单调增加函数。在克尔非线性黑体中非极化激元系统包含了自 由的热辐射。我们从普朗克辐射公式出发，推导出克尔非线性黑体的光谱能量密度 公式，并给出直观的图形。通过和普通黑体比较发现，克尔非线性黑体的光谱能量 密度和辐射压强都要比普通黑体大，非线性黑体中的热辐射光谱能量密度和辐射压 强随着温度和频率的改变有着规律的变化。 关键词：克尔非线性黑体，非极化激元，光谱能量密度 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract in a kerr nonlinear blackbody, a photon blackbody field is a squeezed thermal radiation state. in the blackbody, bare photons with opposite wave vectors and helicities are bound into pairs and unpaired photons are transformed into a different kind of quasiparticle, the nonpolariton. a nonpolariton is a condensate of virtual nonpolar photons, with a bare photon acting as the nucleus of condensation. the propagation velocity of nonpolaritons is a monotonically increasing function of temperature. the nonpolariton system constitutes free thermal radiation in the kerr nonlinear blackbody. according to the plank formula, we could derive the spectral energy density and radiation pressure of the thermal radiation in the kerr nonlinear blackbody, and compare their figures with those of normal blackbody. it has been found that the spectral energy density and radiation pressure of a kerr nonlinear blackbody are larger than those of a normal blackbody, and there is a regular variety of the spectral energy density and radiation pressure in a kerr nonlinear blackbody with the change of temperature and frequency. key words: kerr nonlinear blackbody, nonpolariton, spectral energy density 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。近我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不 包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：徐洪涛 日期：2005 年 4 月 27 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 保密，在_年解密后适用本授权数。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名：徐洪涛 指导教师签名：成泽 日期：2005 年 4 月 27 日 日期：2005 年 4 月 27 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 综综 述述 1.1 量子非线性理论的新进展量子非线性理论的新进展 近年来，量子非线性理论已经非常广泛的应用到科学研究和实验技术中去。在 非线性区域中，半导体微腔结构中的激子极化激元的量子统计性质已经被计算出来， 并且和实验的结果完全符合1。 由于电磁脉冲和辐射背景之间的量子电动力学效应所 引起的非线性相互作用正在被研究，所使用的方法是将辐射流体力学与关于光子 光子散射的量子电动力学理论结合起来2。 基于麦克斯韦方程和相对论量子动力学 方程的自洽结合，采用弱相对论的高密度电子束和一个强泵浦激光场，在非线性区 域中的 x 射线相干辐射产生机制正在被研究3。在量子场论框架下我们已经证明了， 克尔非线性黑体中的光子系统处于压缩的热辐射态4 ，5。 1.2 黑体与黑体辐射黑体与黑体辐射 20 世纪初，量子论起源于通过对黑体辐射光谱的实验结果分析来解释电磁辐射 的双重特性。我们知道，黑体把指向它的热辐射 100%的吸收掉。可以将黑体做以下 近似，在一个固体腔内有一个稳定的温度t，腔壁上有一个小孔，我们称这个系统 为普通黑体，黑体的体积为v。黑体内的电磁场处于热平衡态6。我们将处于热平衡 的电磁场称作为黑体辐射，或者热辐射。它的特性由先前定义的温度t决定。普通 黑体辐射内的光子处于热辐射态，它以光在真空中的速度传播，我们称这种状态为 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 普通态。 现在我们考虑一种黑体，它的内部充满一种克尔非线性晶体。这种晶体由克尔 非线性介质构成，晶体内的电磁场处于热平衡。我们将晶体和热平衡组成的系统称 作为克尔非线性黑体。可以把克尔非线性黑体看作是一个立方晶体，晶体壁由完全 导热的材料做成，这样可以使其保持一个稳定的温度t。在一个壁上留一个小孔用 来通过热辐射，如图 1.1 所示。 图 1.1 克尔非线性黑体：立方晶体的壁由完全导热的材料做成，使其保持一个稳定的温度；在一 个壁上有一个小孔用来通过热辐射。 1.3 量子非线性效应量子非线性效应 在线性和非线性媒质中的所有经典的光学效应都可以用麦克斯韦方程来解释。 然而，对于在非线性媒质中的一些量子光学效应，麦克斯韦方程是不适用的。量子 光学效应是由于光与物质的非线性相互作用产生的，这在光的多体问题中显得尤为 重要。在这里，我们把量子场论应用到量子非线性光学效应中来给予解释。我们知 o x y z 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 道，量子光学效应显示出了很多种特性，比如亚泊松分布、反聚束效应、广义压缩 态。 近年来，非线性媒质中光子系统的量子效应是研究的热门话题。首先，在非线 性光纤中光传播的量子效应正在被广泛的研究7 ，8。光纤孤子理论已经被建立，它遵 从非线性薛定谔方程9，其量子统计可用量子非线性薛定谔方程来描述。光纤孤子在 传播中没有衍射和色散，它的量子噪声呈现一种压缩态。量子力学预言了聚合的亮 孤子可能存在于相互束缚的多光子态。关于这种束缚的多光子态的描述有两种：一 种是光纤中量子非线性薛定谔方程 betheansatz 解的形式1012；另一种量子孤子 效应的描述与非线性极性媒质中的光超导态的描述相一致，这种媒质中的热散射主 要由孤子的损耗和噪声引起，通过两者的抵消后发现热散射被抑制了13。另外，非 线性光学晶体中带隙孤子的量子效应已经被解释14。量子带隙孤子伴随着光学多激 子的叠加而产生，由于带隙能谱是离散的，它是透射光子数的函数，从而验证了量 子带隙孤子的存在。 1.4 本人的工作 处于热平衡态的电磁场可以看作是黑体辐射（热辐射） 。其中裸光子在和虚非极 性声子的交换中存在着有效的吸引相互作用，这种相互作用将导致一种压缩的热辐 射态。在这种压缩的热辐射态下具有相反波矢和螺旋量的裸光子将结合成对，不成 对的裸光子将转换成一种新的准粒子非极化激元。动量空间中，在转变温度以 下的非极化激元是虚非极性声子的凝聚体，它通过非线性光子声子相互作用而 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 产生，一个裸光子充当了凝聚核。非极化激元空间是一个凝聚体，它由光子对和由 这种凝聚体激发的单个非极化激元组成。压缩的热辐射态有以下几个特殊的性质。 第一，克尔非线性黑体的光谱能量密度和辐射压强要大于普通黑体。第二，克尔非 线性黑体的光谱能量密度和辐射压强是克尔非线性系数的单调递减函数。第三，在 从普通态到压缩的热辐射态的转变中，相位的对称性自然而然的被打破。这些性质 在不久以后的实验中将被验证。 首先，我们描述了普通黑体的一些性质，然后推导出克尔非线性黑体的哈密顿 量。进而把普通黑体的处理方法应用到克尔非线性黑体中，得到其光谱能量密度和 辐射压强。最后，我们将这些属性用直观的图形表示出来，并和普通黑体作比较， 对其进行一些较为深入的讨论。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 2 普普 通通 黑黑 体体 2.1 普通黑体中热辐射的量子统计诠释普通黑体中热辐射的量子统计诠释 根据粒子论观点，可以把黑体内的辐射场看作光子气体。由粒子运动状态的量 子描述可知， 具有一定的波矢k和圆频率的单色平面波与具有一定动量p和能量 的光子相对应。动量p与波矢k，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系p =?k， = ?。考虑到c= k，可以得到cp=，这就是光子的能量动量关系。 光子是玻色子，在平衡态遵从玻色分布。由于黑体内不断发射和吸收光子，光 子气体中光子数是不守恒的。 在导出玻色分布时， 系统总能量e是常数而光子数n不 是常数，引进一个拉氏乘子，这样光子气体的统计分布为： exp() 1 i i i n = ， （1） 这就是适用于光子系统的玻色爱因斯坦分布律。因为t= k，所以0=意 味着在平衡状态下光子气体的化学势为零。 光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向的投影可取?两个可能值，相当于左、 右圆偏振。考虑到光子自旋有两个投影，可知在体积为v的空腔内，在p到pdp+的 动量范围内，光子的量子态数为 2 3 8 v p dp h 。 （2） 将光子的能量动量关系带入到上式可得，在体积为v的空腔内，在到d+的圆 频率范围内，光子的量子态数为 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 2 23 v d c ， （3） 平均光子数为 2 23 1 t vd c e ?k 。 （4） 则辐射场的内能为 3 23 ( , ) 1 n t v ut dd c e = ? ? k 。 （5） 这就是plank黑体辐射公式，( , ) n ut表示普通黑体辐射的能量。 2.2 量子化过程量子化过程 在普通黑体中，电磁场由相互激发的电场e ? 和磁场b ? 构成。它是一个横场，在 真空中以光速c传播，并且满足麦克斯韦方程。由于在普通黑体中不存在自由电荷， 我们可以令电磁场的标势为零。因此，电磁场的特性可由一个单一的矢势a ? 来表示， 它满足库仑规范0a= ? i。由此，上面定义的电场和磁场可由下式给出 , a eba t = = ? ? ， （6） 可以推导电磁场的哈密顿量为 22 0 0 1 22 em hebdr =+ ? ? ， （7） 这里 0 和 0 分别表示真空中的介电常数和磁导率，满足 2 00 c =。 现在我们需要将电磁场量子化。因为平面波模由完全标准正交集组成，所以在 任意几何形状上可把电磁场进行展开。黑体的体积为v，令有波矢量 ? k和螺旋量 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 1= 的圆偏振光子的产生和湮灭算符分别为 a ? k 和a ? k ，可以把电磁场的矢势展开 为 1 2 ( , )( )( ) irir a r tar e eat e e =+ ? ? ? ? ? ? ? kk kkkk k0 k 2v ， （8） 这里?是plank常数，c= ? ? k k 是光子的角频率， , 1 e ? ? k 是垂直于波矢量 ? k的两个正交 的圆偏振矢量。光子算符遵从玻色等时对易关系： , ( ),( ), ( ),( )0 at at at at = = ? ? ? kkk k kk 。 （9） 它们有时间依赖性：( )(0),( )(0) itit taeatae + = ? ? kk kkkk a。将方程（6）和（8）代 入到方程（7）中，则电磁场的哈密顿量被量子化为 em ha a = ? ? ? kkk k ， （10） 这里系统的零点能被忽略了，方程（10）表示无相互作用光子系统的哈密顿量。 众所周知，系统的光子数算符为 na a = ? kkk ，它的本征值为0,1,2,.n = ? k 。因 为光子数算符和哈密顿量 em h是对易的，所以光子数在每一个模式 ? k上是时间的常 数。这个数算符形成一个完全对易集合，这个集合的本征态由下式给出 () 1 0 ! n na n = ? ? ? ? k kk k k ， （11） 这里0是电磁场的真空态。方程（6）表示的态矢量在任意两个产生算符的相互交 换下是对称的，它和玻色爱因斯坦统计是相容的。由于光子数是可变的，所以 光子系统的化学势是没有意义的。因此， em h表示巨正则哈密顿量。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 2.3 热辐射态热辐射态 方程（6）表示了光子的多模数态，它是一个纯态，因此是远离热平衡位置的。 然而，黑体中的电磁场是处于热平衡态的15，这个平衡态由物质中的光子通过吸收 和发射来确定。处于热平衡态的电磁场叫做黑体辐射，它的特性由确切的温度t来 确定。在黑体辐射状态下的光子处于热平衡态，我们称其为普通态。为了描述热辐 射态的性质，我们需要构建一个光子的巨正则系综。这个系综的某些相同系统很可 能就是方程（10）中哈密顿量 em h的一个本征态。系综对于这个本征态的分布状态可 由热辐射态的密度算符来描述 em em ht ht e tre = b b k k ， （12） 其中， b k 表示玻尔兹曼常数。在这个求迹中，基态就是哈密顿量 em h的本征态，它 由方程（11）给出。普通黑体中，主要的热力学量就是总能量 n e（或者是能量密度 nn e v=） ，即是相应的微观量的系综平均， n en = ? ? ? kk k 。 （13） 这里，我们应用了符号()ntrn = ? kk 。 容易发现，在一定的模式 ? k下，光子数算符的系综平均满足玻色爱因斯坦 分布 1 1 t n e = ? ? ? b k k k 。 （14） 将上式代入到方程（13）中，把求和变成积分，可以得到 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 0 ( , ) nn evt d = ， （15） 3 23 ( , ) 1 n t t c e = ? ? b k 。 （16） 方程（16）表示黑体的光谱能量密度，也就是plank公式。可知在一定的频率 m 下， 方程（16）的光谱能量密度有一个极大值。将方程（16）对频率求导可得 30 1 x x xe e = ， （17） 这里， mb xt=?k。则方程（17）的数值解为 2.82144 m t=? b k。 （18） 现在，将新的积分变量 mb xt=?k引入到方程（15） ，则积分项等于 4 15， 因此方程（15）变为 4 4 n evtc=， （19） 这里， 22 c=? 43 b k60是斯忒藩玻尔兹曼常数。可以看出，黑体辐射的总能量 和温度的四次方成正比，这就是斯忒藩玻尔兹曼定律。从而可以得到普通黑体 热辐射的能量密度为 4 ( )4 n u ttc=。 （20） 进而普通黑体的辐射压强为 1 ( )( ) 3 nn p tu t=。 （21） 2.4 晶格动力学晶格动力学 体积为v的晶体由n个初基胞周期排列而成，每个原胞由r个基原子组成。一 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 个原子由一个离子以及离子周围和其成键的价电子组成，在原子与原子之间价电子 参与化学键的成键。在绝热（玻恩奥本海默）近似下，我们可以将离子和电子 的运动分离开来。现在我们只考虑离子运动而忽略电子的运动。在第n个原胞中第l 个基离子距离平衡位置的瞬时位移可以由矢量 nl s ? 来标记。原胞指标n的范围是1到 n，基原子的指标l的范围是1到r，因此晶格的自由度为3nr。在谐波近似下，离 子系统的哈密顿量有如下形式 2 11 22 n l i ionlnlinlinlin l i nlinli n l i hm ss s =+ ?， （22） 其中，指数i()1,2,3=是用来区分三个正交分量，上面的圆点表示对时间的求导， l m 是第l个基原子的质量， n l i nli 是原子力常数。 晶格的平移对称性要求 n l i nli 不取决于原胞指标n和n，而仅仅依赖于二者间的 差nnn=，即() n l il i nlili n = 。在布里渊区，我们引入一个波矢量q ? ，它有n个值。 晶格的每个振动频率( )q ? 表示一个简正模式，它由两个指标q ? 和来标记，是简 正模式的分支指标， 它的范围是1到3r。 现在我们用一个直接晶格矢量 n r ? 来定位第n 个原胞，并引入一个简正坐标集合( )q q ? ： () 1 ()( ) n i qr nlili q l se qq q e nm = ? ? ? ? ， （23） 其中() li e q ? 是晶格振动的标准正交本征矢，共轭正则动量是( )( )p qq q = ? ? 。如果引入 一个归约化的动态矩阵 () 1 ( )() n i qr l il i lili n ll dqn e m m = ? ? ? ， （24） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 其中 nnn rrr = ? ，由此可得到一个久期方程 2( ) ()( )() l i lilil i l i q e qdq eq = ? 。 （25） 这个简正模由3个声学支和()31r 个光学支组成，其中只有光学声子参与了拉曼散 射。晶体的光学振动分成两个不同的模式：极性模和非极性模。极性模可以携带电 偶极矩，因此在红外吸收中是能激活的，而非极性模不携带电偶极矩，所以在红外 区是不能激活的。在下文中，我们把极性模中的声子称为极性声子，把非极性模中 的声子称为非极性声子。 现在我们用二次量子化理论来描述晶格振动。如果令 ( ) ( ) () () 1 2 , 1 2 1 , 2 ( ) ( ) 2 qq qq qqbb q q p qibb + =+ = ? ? ? ? ? ? ， （26） 则晶格振动就被二次量子化了，其中 q b ?和 q b ?分别表示有波矢量q ? 的第个分量声子 的产生和湮灭算符，它们遵从玻色等时对易关系。由此可推出晶格振动的二次量子 化哈密顿量为 ( ) ionqq q hq b b = ? ? ? ?， （27） 当然，这里的零点能也被忽略了。方程（27）就是非相互作用声子系统的哈密顿量。 将方程（23）和（26）合并，我们可以得到第nl个离子的位移矢量 () () () 1 2 , ( ) 2( ) n i qr nllqq q l ste qbbe nmq =+ ? ? ? ? ? ? 。 （28） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 3 克尔非线性黑体克尔非线性黑体 克尔非线性黑体的模型在第一章中已经给出，我们所讨论的晶体是共价的。共 价晶体的光学振动模都是非极性模，不能输运电偶极矩，因此它们表现为红外不活 跃。通常，晶体被看作是立方对称的，所以是光学各向同性的。克尔非线性黑体必 须是中心对称的。我们所考虑的非线性就意味着晶体是一级拉曼散射的。在中心对 称晶体中的非极性模是偶宇称的，存在拉曼散射16。在立方系统中，一般的共价晶 体都是中心对称的，拉曼散射都是以金刚石结构存在。据此，我们可以将晶体的研 究确定为一种有着金刚石结构的特殊晶体，比如碳c。在金刚石结构的晶体中，初 基胞包含两个相同的原子。在零波矢时，这两个原子表现出一种三重简并的非极性 模式，这就是拉曼散射。由于拉曼散射模的作用，初基胞中的两个原子将反相运动。 因为下面的考虑对于声学模没有关系，所以晶体的振动模式仅限于拉曼散射模式， 它的零波矢频率用 r 来表示。 3.1 电磁场和晶格的相互作用电磁场和晶格的相互作用 当辐射和晶体所组成的系统处于热平衡状态下，晶体和辐射之间已经不存在固 有的吸收。然而，辐射会受到晶体固有的散射 。这种散射将使辐射和晶体逐渐趋于 热平衡。现在，我们使用一个指标jnl=来标记一个离子，用矢量 j r ? 来表示第j个离 子的平衡位置。在电偶极矩近似下，这种散射可以用电磁场和晶体的相互作用哈密 顿量来描述： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 , 1 ( ) () () 2 ijjjj j j hse r e r = ? ? ? ? 。 （29） 这里 jj 是拉曼极化率，它由电磁场中价电子的虚交换产生。拉曼极化率jj 表明了 通过价电子的作用，原子j和 j 的成键。方程（29）中求和上的撇号意味着我们仅 考虑原子jnl=和离其最近邻原子jnl=的成键。也就是说，我们仅考虑的是同一原 胞内原子之间的成键。 如果用s ? 表示所有离子的位移集合， 拉曼极化率取决于离子位 移s ? 。方程（29）中离子位置上的局部电场可以用宏观电场来替代。 在离子的平衡位置附近，拉曼极化率 jj 可以展开为 () 11 1 ( )(0) jjlljj jj j sbs =+ ? ? 。 （30） 这里，(0) ll 是晶格在平衡组态时的拉曼极化率，它与电极化率之间的关系由下式 给出 0 (0) llll ll l = ， （31） 其中是原胞的体积， ll l 是本地场的修正因子 17。晶体的介电常数由下式给出 1= +。忽略吸收损耗，则介电常数是一个实数，因此可引入一个实的折射指数 n=。在此我们忽略折射指数n对频率的色散。我们展开系数 1 jj j b ? 是一个矢量，在 离子的平衡位置被计算求解。因为平移对称性，展开系数 1 1 ,nl nl n l b ? 仅是原胞相对指数 21 nnn=的函数，则 1 11 ,2 () nl nl n lll l bbn = ? 。因此，方程（29）中相互作用哈密顿量包含 两项：第一项是包含(0) ll 的项，它可以合并到电磁场的哈密顿量中去。所以，方程 （29）变成为 () 11 1 , 1 () () 2 ijj jjjj j jj hbse r e r = ? ? ? ? 。 （31） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 现在，我们将相互作用的哈密顿量二次量子化。根据电偶极矩近似，我们可以 将方程（31）中电场e ? 的自变量由直接晶格矢量 n r ? 替代。晶体内的宏观电磁场的电 场可由下式给出 () ()() 1 2 ii n e ra e ea e e = + ? ? ? ? ? ? ? nn krkr k kkkk k0 i 2v ， （32） 其中，c= ? ? k k n。当我们将方程（28）展开，然后把 j s ? 和() n e r ? ? 代入到方程（31） 中，则相互作用哈密顿量被量子化为 () () , iqq q hmqaabb + =+ ? ? ? ? ? kk+q,k k ， （33） 其中耦合系数()mq ? ? k 由下式给出 () 2 11 2 1 1 1 2 0 () 2 ()( ) 2 1 ( )()( ) n i qr ll ll lln l l n mqo qee v o qbn e qe m = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k+qk kk+q,k r 2 ， （34） 其 中 21 nnn rrr= ? ，( )o q ? 是 和 晶 体 特 性 有 关 的 拉 曼 系 数 。 可 以 发 现 ()() 1 1cos 2 ee =+ ? ? kk ，这里是波矢 ? k和 ? k之间的夹角。 以上的光子算符和声子算符遵从等时对易关系： ( ),( )( ),( )0 qq at b tat b t = ? kk 。 （35） 光子系统和声子系统可以通过方程（33）的相互作用哈密顿量耦合，则耦合系统的 巨正则哈密顿量为 emioni hhhh=+， 这里 em h和 ion h分别由方程 （10） 和方程 （27） 给出。这个哈密顿量将是以后研究中的出发点。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 3.2 电磁场的有效哈密顿量电磁场的有效哈密顿量 在上节中，方程（33）的哈密顿量 i h导致了声子对光子的拉曼散射，这种散射 会使辐射和晶体之间处于一个热平衡态。为了确定光子系统的哈密顿量 i h的二阶效 应，做一个酉变换： isis t hehe =，其中s是厄米的18。这个表达式中的指数函数可 以被展开，在 , emioni i hhsh+= 条件下酉变换可以在一阶中消去方程（33）中的 i h项， 。用这种方法，s可以得到如下式形式： ()() () qq rr aa baa b sq + =+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? k+q,kk+q,k k k,q k+qkk+qk im。 （36） 对于s中的第二项，变换后的哈密顿量为 1 , 2 temioni hhhhs=+， （37） 这里， t h包含一个附加项。 在平衡位置处的声子密度算符为 ion ion ht ht e tre = b b k k ， （38） 我们用它来对附加项求平均，可以得到光子之间相互作用的哈密顿量为 1 , 2 ii hihs = () 2 2 2 2 (,)( ,) r r mqmq aaaa + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 21 1 kk k-q,k +q,kk k,k ,q kk-q 。 （39） 相互作用的矩阵元由上式给出，它们可能是相互吸引的，也可能是相互排斥的。如 果态 ? k和 ? ? k-q被一个小于 r ?的能量分离，则表现为相互吸引，而系统会调整到这 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 样的状态。这种吸引的物理模型可以由如下的描述：光子和声子之间的耦合被忽略 时，散射光子之间是相干的。由于在一定的温度下，热辐射声子系统的能量是守恒 的，所以相干光子系统的能量必须减少。而这种系统的能量的减少就导致了光子 光子有效相互作用。因此，为了保持系统的能量的守恒，在晶体中需要有足够的 虚非极性声子来弥补能量的损失。 由于光子声子的相互作用，我们在推导方程（39）的相互作用哈密顿量时， 我们发现单光子系统的能量减少了。我们对晶体的介电常数进行了重定义，则这种 能量的减少可以被合并到电磁场的哈密顿量中。现在，电磁场的哈密顿量就是 ememi hhh=+。在此，我们为以后的研究做一个说明：由于黑体的线动量和角动量 之和为零，所以有相反波矢量和螺旋量的光子总是同时出现的。 3.3 非极化激元的产生非极化激元的产生 在以前的研究中，我们知道由于光子声子的相互作用能导致光子之间存在 一个有效的吸引相互作用。这种有效的吸引相互作用将使单个裸光子结合成光子对。 这个光子对的物理背景可以这样解释：一个光子可以发射或吸收一个虚非极性声子。 光子发射或吸收虚非极性声子可以理解为一个裸光子被虚非极性声子云所包围。如 果这个虚非极性声子云附近有其它的裸光子，它将受到吸引力的作用。在驻波构型 下，只有当结合成光子对的光子有相反的波矢量和螺旋量的时候，光子对才是稳定 的。因此，在方程（39）中，可以首先令 2 , = = ? 1 k = -k,，然后把求和指标 q ? 改成 ? ? k = k-q，可以发现( ,)(,)mqmq = ? ? k,-k ，因此光子系统的配对哈密顿 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 量为 () 1 2 em ha aaaaaaa + = + ? ? ? kkkk,-k,-k,kkk ,-k,-k kk,k v。 （40） 其中，光子的对势v ? k ,k 有如下形式 () () 2 2 2 r r m v = ? ? ? ? ? k k ,k kk k -k, ， （41） 这里，v ? k ,k 是一个实常数，它具有对称性：,vvvv = ? k ,kk,-;-k ,-k,kk,k 。我们 假设有一个无色散的折射率n，因此光子频率可以有这样的形式：c= ? ? k k n。 光子系统中，单个的不成对的裸光子转换成一种新的准粒子非极化激元。 动量空间中非极化激元是虚非极化声子的凝聚体，一个裸光子充当了凝聚核。根据 玻戈留玻夫变换，配对哈密顿量的对角线化变换后的结果为 coshsinh coshsinh cua uaa cua uaa + + = = ? ? kkkkk,-k kkkkk,-k 。 （42） 这里，我们假设参数 ? k 是个实数，而且有球对称性： = ? k,-k ， c ? k 和c ? k 分别是 光子系统中非极化激元的产生和湮灭算符，它们也遵从玻色等时对易关系。裸光子 算符到非极化激元的转换可以通过一个酉变换来实现： 1 () 2 aaaa ue + = ? ? kk-k,-k,-k k ， （43） 众所周知，酉变换不会改变光子系统的能量谱。光子系统中光子对的正规态矢量可 以构建为0gu=，由此可得0cg = ? k 。所以可以很自然的定义非极化激元的数 算符为： nc c = ? kkk ，它的本征值为0,1,2.n = ? k ，其本征态由下式给出 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 () 1 ! n ncg n = ? ? ? ? k kk k k 。 （44） 方程（42）可以很容易的转化成 coshsinh coshsinh acc acc + + =+ =+ ? ? kkk-k,-k kkk-k,-k 。 （45） 将方程（45）代入到方程（40） ，经过整理并忽略掉4阶非对角线项，则配对哈密顿 量变成为 , 111 cosh2sinh2sinh21 222 emp hevnn = + ? ? ? kkkkkkk-k ,- kk () nn + ? k-k,- () , 1 sinh2cosh2sinh21 2 nn + ? ? ? kkkkkkk-k ,- kk v () c ccc + + ? k-k,-k,-k ， （46） 这里， p e表示光子对系统的能量，它有如下形式 2 , 1 sinhsinh2sinh2 4 p e =+ ? ? ? kkkkkk kk v。 （47） 非极化激元的激发能为( )t? k ，它是温度t的函数。为了定义这个激发能，我 们令 em h和n ? k 分别表示在一定温度下哈密顿量 em h 和数算符n ? k 的热平均。用 来构建这种热平均的基态就是数算符n ? k 的本征值，它由方程（44）给出。所以，我 们定义激发能( ) em thn = ? ? kk 。 在平均场理论的框架下， 我们可以近似得到 数算符产生的平均为 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19 ()nnnn ? kkkk ， （48） 因此可以推出 ( )cosh2t = ? ? kkk () sinh2sinh21nn + ? ? kk,kkkk ,- k v。 （49） 同时，我们令 ( ) 1 1 tt n e = ? ? ? b k k k ， （50） 这就是众所周知的玻色爱因斯坦分布。这个分布函数有两个特性：一是它仅和 波矢 ? k有关；二是由于非极化激元数不守恒，所以它的化学势为零。 在方程（46）的二阶非对角线项中可以用热平均来替代数算符，二阶非线性项 可以消去的条件是 () sinh2cosh2sinh210nn += ? ? ? kkkk,kkkk,- k v。 （51） 联立方程（49）（51）即可求解，同时也可以确定参数 ? k 。为了使求解方程更 简便，我们引入一个与温度相关的量( )t? k ，它有如下形式 ( )sinh2coth( ) 2tvtt = ? ? ? b kk,kkk k k。 （52） 将上式代入到方程（51）中，即可得到 ( ) tanh2 t = ? ? ? ? k k k 。 （53） 由于双曲正切函数是个实数， ，因此必须满足( )t ? ? kk 。参数 ? k 也可以由下面的 关系来确定 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 20 1 2 1 2 cosh2 ( ) ( ) sinh2 ( ) t t t = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k 222 kk k k 222 kk 。 （54） 现在将上式和方程（52）代入到方程（49）中，可以解出非极化激元的激发能有如 下形式 1 2 2 ( )( )tt= ? ? 22 kkk ， （55） 这里激发光谱( )t?k无带隙，( )t? k 是光子对的有序参数。( )t?k表示非极化激元的 频率，它是温度的函数。 可以看出， 只有当对势v ? k ,k 是负值时， 方程 （40） 的配对哈密顿量才能被求解。 将方程（54）和（55）代入到方程（52）中，则有序参数可以自洽的确定为 1 2 2 1 2 2 ( )( ) ( )coth 2 ( ) tt tv t t = ? ? ? ? ? ? ? 22 kk k kk,k 22 kb kk k ， （56） 在任意温度下，上式都是适合的。在平均场近似下，光子系统的配对哈密顿量被对 角化成如下形式： ( ) emp het c c = + ? ? ? kkk k 。 （57） 我们知道，平均场理论引入到外斯铁磁性理论可以用来处理相变19。他的思想是： 这种单个非极化激元在平均场中独立运动，这个平均值是由所有其他光子造成的， 其中也包含了一部分光子光子相互作用。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 21 3.4 光子系统的基态光子系统的基态 在一定的温度以下，方程（56）有成对态的解，也就是说，对所有的波矢量 ? k， 有( )0t ? k 。因为非极化激元的频率( )t?k和波