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摘要 投资组合理论的产生使得数理化方法真正进入到投资领域， 使得数理金融学 作为金融学的一个独立的分支迅速发展起来。 但围绕投资组合理论， 过去的一系 列研究存在许多不足。如:均值一 方差投资组合理论单纯地考虑一个确定的投资 时域， 并且考虑的市场环境比较简单; 投资消费理论考虑的是一类单一的消费品， 投资对象仅限于无风险证券和风险证券。 而目前市场上消费品与投资对象日益丰 富，原来的投资理论的一些结论不能满足实际的需求。为此，本文围绕均值 方 差投资组合理论与投资消费理论开展了如下几个方面内容的研究。 ( 1 )确定时域的m - v 最优投资组合选择。 分别建立了股票价格服从跳跃扩 散过程、考虑固定消费、市场系数为随机过程这三种情形下的均值一 方差模型。 运用动态规划原理与轶方法求解模型， 得到了这三种情形下的最优投资策略与有 效前沿的解析解。与经典连续时间均值一 方差模型进行了比 较并通过实例分析了 消 费 对 投资 的 影 响 。 结 果 表 明 : ( i ) 本 文 的 模型 拓 广了z h o u 与l i 2 0 9 1 的 经 典 模 型， 与实际更加符合;( i i ) 消费的存在影响投资者对投资策略的 选择。 在期望收益固 定的情况下，消费越多， 投资也越多。消费的增加 ( 减少) 会引起有效前沿向下 ( 上)平移。从而揭示了固定消费与投资的内在联系。 ( 2 )随机时域的m - v 最优投资组合选择. 建立了离散时间、连续时间与跳 跃扩散过程三种市场状态下随机时域的均值一 方差模型， 定义了相应的有效前沿。 对前两种情形考虑退出时间 是个随机变量， 对最后一种情形考虑退出 时间 是个随 机过程。 分别得到了这三种情形下的层优投资策略与有效前沿的解析表达式。 通 过算例以 及与确定时域对应情形的比 较， 发现: 最优投资策略与随机退出时间的 分布有关.确定时域的结论只是本文的一种特殊情形。 ( 3 )特殊消费的最优投资消费决策。 与经典的投资消费问题考虑的消费不 同， 这里研究的是两类特殊的消费: 固定的消费模式、 消费对象为可存与非可存 消费品的组合。建立了这两类特殊消费情形下的投资消费模型.分别得到了 h a r a效用函数与可分离、等弹性效用函数情形下的最优投资消费策略的显式 解。分析了固定消费、可存消费品对投资的影响。得到了 如下结论: ( 固定消 费不会影响投资选择这一直觉并不正确，事实上，消费量越多， 投资量会越少。 这 种 影响 程度决 定 于 市 场 风 险 价 格与 无 风险 利 率; ( ii ) 最 优策 略中 ， 对 可 存 品 的 消费与非可存品的消费决策不一样。 因此， 在进行投资消费决策时， 有必要将消 费品中的可存品与非可存品分开来考虑。 ( 4 ) 含 期 权 的 最 优 投 资 消 费 决 策 。随 着 期 权 等 一 系 列 衍 生 证 券 进 入 金 融 市 场， 期权己经日 益成为投资者注目 的投资对象。 为适应实际需要， 把一个欧式看 涨期权作为一个投资对象， 结合期权定价理论， 建立了投资消费模型. 本文考虑 了三种情形: 第一种是期权的买卖价格相同、 市场系数为常值且风险证券是期权 的标的物; 第二种是期权的买卖价格相同、 风险证券服从跳跃扩散过程而且风险 证券是期权的标的物; 第三种情形是期权买卖价格不同、 市场系数为常值而且风 险证券不一定是期权的标的物. 分别得到了以 上各种情形对应的最优投资消费策 略的解析表达式。 对第一种情形， 还得到了对冲投资消费策略。 通过对最优投资 消费策略与对冲投资消费 策略的分析， 得到了 如下结论: ( i ) 当 风险证券为期权 的标的物时， 最优策略不唯一; 当风险证券不是期权的标的物时， 最优策略才叮 能 唯一: ( i i ) 对冲策略一般不是 最优策略。 关键词: m 一模型 h j b方程h a r a 投资消费最优投资策略固定消费随机时域 函数期权 abs tract t h e e m e r g e n c e o f p o r t f o l i o t h e o ry r e a l l y m a k e s m a t h e m a t i c a l m e t h o d s e n te r t h e i n v e s t m e n t f ie l d . t h u s , m a t h e m a t i c a l f i n a n c e a s a n i n d e p e n d e n t b r a n c h o f t h e f i n a n c e t h e o r y d e v e l o p s q u i c k l y . b u t t h e r e s t i l l e x i s t s h o r t c o m i n g s i n p r e v i o u s s t u d y o f p o rt f o l io t h e o ry , s u c h a s t h e m e a n - v a r i a n c e p o rt f o l i o t h e o ry i s o n l y i n v o l v e d w i t h th e d e t e r m i n i s t i c t im e h o r i z o n a n d i t s m a r k e t i s v e ry s i m p l e ; t h e i n v e s t m e n t c o n s u m p t i o n t h e o ry i s o n l y i n v o l v e d w i t h a s i n g l e c o n s u m p t i o n g o o d a n d t h e in v e s t m e n t o b j e c t s a r e o n l y a b o n d a n d s o m e r i s k y s t o c k s . h o w e v e r , t h e c o n s u m p t i o n g o o d a n d i n v e s t m e n t o b j e c t a r e b e c o m i n g m o r e v a r i o u s . s o t h e p re v i o u s s o m e c o n c l u s i o n s o f i n v e s t m e n t t h e o ry c a n n o t s a t i s f y t h e r e q u i r e m e n t o f r e a l s it u a t i o n s . t h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o s t u d y m e a n v a ri a n c e p o r t f o l i o t h e o ry a n d p o r t f o l i o c o n s u m p t i o n t h e o ry f u rt h e r t o f i t b e tt e r r e a l s i t u a t i o n s . t h e ma i n r e s u l t s a re l i s t e d a s f o l l o ws ( 1 ) m- v p o r t f o l i o s e l e c t i o n o f d e t e r m i n i s t i c t i m e h o r i z o n . t h e m e a n v a r i a n c e m o d e l s a r e f o r m u l a t e d r e s p e c t i v e ly i n t h r e e m a r k e t c a s e s : ( i ) t h e s t o c k p r i c e s f o l l o w j u m p d i ff u s i o n p r o c e s s ; ( i i) f i x e d c o n s u m p t i o n i s c o n s i d e r e d ; ( i i i ) t h e m a r k e t c o e ff i c i e n t s a r e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . b y u s i n g s t o c h a s t i c d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r i n c i p l e a n d m a rt i n g a l e a p p r o a c h t o s o l v e t h e s e m o d e l s , t h e o p t i m a l i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s a n d t h e e f f i c i e n t fr o n t i e r a r e p r e s e n t e d e x p l i c it l y . b y c o m p a r i n g t h e m w i t h c o n c l u s i o n s o f t h e c l a s s ic a l c o n t i n u o u s t i m e m o d e l a n d a n a l y z i n g t h e i n f l u e n c e o f t h e f ix e d c o n s u m p t io n o n in v e s t m e n t , t h e m a i n r e s u lt s a r e d e r i v e d a s f o l l o w s : ( i ) t h e m o d e ls d i s c u s s e d h e r e e x te n d th e c l a s s ic a l m o d e l d i s c u s s e d b y z h o u a n d l i 12 1 a n d c a n b e b e tt e r a p p l i e d t o t h e r e a l s i t u a t i o n s ; ( i i ) t h e s e l e c t i o n o f o p t i m a l in v e s t m e n t s t r a t e g i e s is a ff e c t e d b y t h e f ix e d c o n s u m p t i o n . w h e n t h e f i n a l e x p e c t e d r e t u rn i s f ix e d , i n v e s t m e n t o n s t o c k s g r o w s w i t h t h e c o n s u m p t i o n . t h e e f f i c i e n t fr o n t i e r m o v e s d o w n w a r d ( u p w a r d ) i f c o n s u m p t i o n i n c r e a s e ( d e c r e a s e ) . t h u s , w e c h a r a c t e r i z e t h e i n t e rn a l r e l a t i o n s b e t w e e n i n v e s t m e n t a n d c o n s u m p t i o n ( 2 ) m - v p o r t f o l i o s e l e c t i o n o f r a n d o m t i m e h o r i z o n . t h e r a n d o m t i m e h o r i z o n m e a n v a r i a n c e m o d e l s c o r r e s p o n d i n g t o t h r e e m a r k e t s i t u a t i o n s : d i s c r e t e t i m e , c o n t i n u o u s t i m e a n d j u m p d i ff u s i o n p r o c e s s a r e f o r m u l a t e d r e s p e c t i v e ly a n d t h e r e l e v a n t e ff i c i e n t f r o n t i e r i s d e f i n e d . i n t h e f o r m e r t w o s i t u a t i o n s , t h e e x i t t i m e i s a s s u me d t o b e a r a n d o m v a r i a b l e a n d i n t h e l a s t s i t u a t i o n t h e e x i t t i me i s a s s u me d t o b e a s to c h a s t ic p r o c e s s . b y s o l v in g t h e t h r e e m o d e ls re s p e c t iv e ly , t h e e x p l ic i t e x p r e s s i o n s o f t h e i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s a n d t h e e f f i c i e n t fr o n t i e r s a r e p r e s e n t e d . b y n u m b e r e x a m p l e a n d b y c o m p a r i n g t h e c o n s t a n t t i m e h o r i z o n w i t h t h e r a n d o m t i m e h o r i z o n w e f in d t h a t t h e p o r t f o l i o d e c i s i o n s a r e a ff e c t e d b y d i s tr i b u t i o n o f t h e e x i t t i me a n d t h e r a n d o m t i me h o r i z o n mo d e l e x t e n d s t h e c o n s t a n t h o r i z o n m o d e l a s a s p e c i a l c a s e . ( 3 ) p o rt f o l i o c o n s u m p t i o n d e c is i o n w i t h s p e c i a l c o n s u m p t i o n . b e i n g d i f f e r e n t f r o m c l a s s i c a l p o rt f o l i o c o n s u m p t i o n p r o b l e m , h e r e t w o s p e c i a l p o r tf o l i o c o n s u m p t i o n p r o b l e m s w h o s e c o n s u m p t i o n a r e f i x e d c o n s u m p t i o n s t y l e a n d a c o m b i n a t i o n o f a p e r i s h a b l e w it h a d u r a b l e c o n s u m p t i o n g o o d r e s p e c t i v e l y a r e c o n s i d e r e d . t h e m o d e l s m a x i m iz i n g u t i l it y o f c o n s u m p t i o n o r f i n a l w e a l t h c o rr e s p o n d i n g t o t h e a b o v e t w o c a s e s a r e f o r m u l a t e d . f o r t h e h a r a u t i l i t y f u n c t i o n a n d s e p a r a b l e i s o e l a s t i c u t i l i t y f u n c t i o n , t h e o p t i m a l p o r t f o l i o a n d c o n s u m p t i o n r u l e s a r e d e r i v e d e x p l i c i t l y . b y a n a l y z i n g t h e i n fl u e n c e s o f f i x e d c o n s u m p t i o n s t y le a n d d u r a b l e c o n s u m p t i o n g o o d o n i n v e s t m e n t d e c i s i o n s , t h e f o l l o w i n g r e s u lt s a r e p r e s e n t e d . ( i ) t h e i n t u i t i o n t h a t t h e p o r tf o l i o s e l e c t i o n d e c i s i o n i s n o t a ff e c t e d b y t h e f i x e d c o n s u m p t i o n s t y l e i s n o t t r u e . a s a f a c t , i n v e s t m e n t v a r i e s w i t h c o n s u m p t i o n c o n t r a r i l y . t h e d e g r e e o f s u c h i n fl u e n c e i s d e c i d e d b y m a r k e t r i s k p r i c e a n d r i s k l e s s r a t e . ( i i ) t h e i n fl u e n c e o f d u r a b l e c o n s u mp t i o n g o o d o n i n v e s t m e n t c o n s u m p t io n d e c i s i o n s i s d i ff e r e n t f r o m t h a t o f p e r i s h a b l e c o n s u m p t i o n g o o d . s o i t i s n e c e s s a ry t o c o n s i d e r t h e m s e p a r a t e l y w h e n o n e i n v e s t s a n d c o n s u me s . ( 4 ) p o r t f o l i o c o n s u m p t i o n d e c is i o n c o n c l u d i n g o p t i o n . wit h o p t i o n a n d o t h e r d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s e n t e r i n g f in a n c i a l m a r k e t , o p t i o n d a i l y b e c o m e s a n i n v e s t m e n t o b j e c t i n t e r e s t i n g in v e s t o r s . i n t h i s p a p e r , a e u r o p e a n c a l l o p t i o n i s t a k e n a s o n e o f t h e i n v e s t m e n t o b j e c t s . b y c o m b i n i n g o p t i o n p r ic i n g t h e o r y , t h e g e n e r a l p o r t f o l i o c o n s u m p t i o n m o d e l s a r e f o r m u l a t e d . we c o n s i d e r t h r e e c a s e s : t h e f i r s t i s t h a t t h e b u y i n g a n d s e l l i n g p r i c e s o f o p t i o n a r e s i m i l a r , t h e m a r k e t c o e f f i c i e n t s a r e c o n s t a n t a n d t h e r i s k y s t o c k i s t h e s u b j e c t m a tt e r o f t h e o p t i o n ; t h e s e c o n d i s t h a t t h e b u y i n g a n d s e l l i n g p r i c e s o f o p t i o n a r e s i m i l a r , t h e r i s k y s t o c k i s t h e s u b j e c t m a t t e r o f t h e o p t i o n a n d p r i c e s o f s t o c k f o l l o w j u m p d i f f u s i o n p r o c e s s e s ; t h e t h i r d i s t h a t t h e b u y i n g p r i c e o f o p t i o n i s d i f f e r e n t f r o m i t s s e l l in g p r i c e , t h e m a r k e t c o e ff i c i e n t s a r e c o n s t a n t a n d t h e r i s k y s t o c k i s n o t t h e s u b j e c t m a t t e r o f t h e o p t i o n . t h e o p t i m a l i n v e s t m e n t c o n s u m p t i o n s t r a t e g i e s c o r r e s p o n d i n g t h e a b o v e e v e ry c a s e a r e g i v e n e x p l i c i t l y . i n a d d i t i o n , f o r t h e f i r s t c a s e t h e h e d g i n g i n v e s t m e n t c o n s u m p t i o n s t r a t e g i e s a r e p r e s e n t e d e x p l i c i t ly . b y a n a l y z i n g t h e e x p r e s s i o n s o f t h e o p t i m a l s t r a t e g i e s a n d t h e h e d g i n g s t r a t e g i e s , t h e f o l l o w i n g c o n c l u s i o n s c a n b e f o u n d . ( i ) i f t h e r i s k y s t o c k i s t h e s u b j e c t m a tt e r o f t h e o p t i o n , t h e o p t i m a l s t r a t e g i e s i s n o t u n i q u e . i f n o t , t h e o p t i m a l s t r a t e g i e s s t r a t e g i e s . c a n b e u n iq u e ; ( i i ) i n g e n e r a l , t h e h e d g i n g s t r a t e g i e s a r e n o t o p t i m a l k e y w o r d : m - v f i x e d c o n s u m p t i o n o p t i o n mo d e l c o n s u m p t i o no p t i m a l e q u a t i o n i nv e s t m e n t t i me h o r i z o nhj b hara s t r a t e g y f u n c t i o n 独创性声明 本文声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。 尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外， 论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果; 也不包含为获得西安电子科技大学 或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 本人签名曝 交_7 y 日期: 2 口 。 了 . 1 2; 口 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留 和使用学位论文的规定， 即: 学校 有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文; 学校可以公布论文的全部内 容或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论 文)在解密后遵守此规定) 本 人 签 名 : 名 生 立 y 0 弓、 1 2 . 7 0 期期 日日 r 0 ifi : 杂 月元 口 占 3 . i z . - o 记号和符号的说明 ，: 乡 生 欧氏空间 正实数集 样本空间 几上的 二 一代数 概率测度 滤波 b r o w n 运动 p o s s i o n 过程 期望算子 方差算子 。 一阶单位矩阵 分量全为 1的 二 一维列向量 表示转置 b a n a c h空间 s上的范数 定义为 刀 斤ro t 尸 : 。: 。 计 ( 动 八 厂 ( t ) e va r i n i 上标 “t” ii it s ix ilg?n l k ( o , t ; r ) 八 况 a x 几 (77 7 ! x 7 l c k c 0 ( 艺x z ) z ( x=( 二 1 , x 2 ， 二 ， x ) t ) f f ( t ) ie ( 牙ilf ( t ) ii条 d t ) 0 . 则称不允许卖 空情形. 对不允许卖空情形， 一般很难得到它的解析解， 在实际应用中， 可以 通过算法来实现， 这方面 的算法很多m a r k o w i t z 提出临界线算法6 1 1 ， 曾勇 与唐小我提出参数单纯形法(2 0 1 1 和树形算法1 1 s s 1 ， 杨德权、 杨德礼、 史克禄、 胡运权提出区间搜索法1 9 0 1 郭文族提出神经网络算法4 5 1 . 而李仲飞19 8 ) 在 假定资产互不相关， 即协方差矩阵n 是个对角矩阵时，得到了不允许卖空模 型的解析解. 对单阶段模型的改进性研究很多，s o 。 二 (6 2 1 ， 李仲飞19 8 1 ， 刘海龙、 樊治 平、 潘德惠( 1 0 0 ) 在模型中 考虑交易费; 陈收等11 4 1 0 5 1 ， 郭 文族与胡 奇英14 9 1 在模 型中 考虑资本结构; 郭文施、 周幼英与胡奇英(4 6 1 在模型中考虑初始风险证券 并用最大最小绝对离差作为风险测度;o u d e r r i 与s u l l ir a n 15 1 ，吕 锋与倪志红 1 1 1 ，o g r y c z a k 与r u s z y n s k 1 7 7 ， 张 喜彬、 来替代方差风险; 方差;c a i , t e o 、 k o n n o 与y a m a z a k i 5 7 荣喜民、 张世英2 0 4 提出e - s h 风险 s im a a n il s s 提出 平均 绝对离差 取代 y a n g 与z h o u l a o 提出最大最小化绝对离差作为风险测度 多阶段模型是单阶段模型很自然的推广， 但是在处理上两者不同. 单阶段 问题一般采用单目标、 多目 标规划方法来求解， 而多阶段问题需要应用动态规 划原理来求解，多阶段投资者的目 的与单阶段一样， 即在给定期终预期收益 第一章绪论 的条件下力求方差最小或在给定方差水平的条件下力求期末期望收益最大. 投资者对每个阶段都要构建一个投资组合， 所以他的投资策略是由每个阶段 的投资组合构成的投资组合组. 设r t ， i = 0 ， 1 , 2 , . . . , 。 为第 个资产在t 阶段的随机收益率， 毗 ， =1 , 2 , . - , n 表示投资者在艺 阶段的投资到第i 个资产的投资比例，wt 表示投资者在t 阶 段投资结束时的财富量， 投资者进行t个阶段的投资.令 : = 1( r e s 2t ， 一， r n ) tt。二 = ( x i + t i , x tn ) t , 则多阶段的一般模型表述如下 m i n v a r ( y v 7 ) (112j e ( i v t ) ? 1 7 , w t 一 wt _ 1 ! n 二 i tw t- 1 e x tr t ( ， 一 n i =1 t =1 . 2 . ， 二， t , 了1.1夕、.、 t 乐 其中“为给定的期终期望收益. 虽然多阶段模型产生已久( 见文 9 0 1 叫( 1 2 9 1 ) ， 但是很长时间， 不能象单阶 段那样得到模型的解析解和有效前沿的显式表达. 原因是多阶段的目 标函数中 含 有 动 态 规 划 意 义 下 的 不 可 分 离 项:( e w t ) 2 . 1 9 9 8 年l i , c h a n 与n 沙 5 一 ， 2 0 0 0 年l i 与n g 9 8 1 ， 李 仲 飞13 8 1 通 过引 进 一 个 近 似间 题 使 这一 难题 得到 解 决 对多阶 段的 拓展性研究目 前不多，l i 与n g 国研究了 安全第 一准则下的多阶 段模型， 李仲飞9 8 ) 研究了以财富倍数最大增长为目 标的多阶段模型， 宿洁、 刘家壮 1 5 8 1 研究了有交易费的多阶段模型. 连续时间模型是多阶段的进一步延伸. 它假定市场是一个随时间连续变化 的 体系， 一般用一个完备的概率滤波空间( q , 2 , l .c t ) t 7 0 , 尸 ) 来描 述， 在 这个空 间 上 有 一个。 一 维的b r o w n 运 动w ( t ) = ( w i ( t ) , w 2 ( t ) , 、 二w n ( t ) ) t , vf t o 是 w川的自 然滤波. 设市场上可供交易的资产为。 + 1 个， 其中一个为无风险资 产， 价格p o ( t ) 满足方程 p 。 ( 亡 ) =p o ( t ) r ( t ) d t , 以 幼为无风险利率， 机微分方程 即i ( t ) 其余。 个为风险资产， 第饭 个资产的价格p i ( t ) 满足下面随 一 p ; (t ) b ; ( t ) d t + 又a jj (t ) d l,v 3 ( t ) 1 i =1 , 2 ， 一 ， n , 4西安电 子科技大学博士论文: m - v最优组合投资选择与最优投资消费决策 其中b , ( t ) , o , ( t ) = ( q a i ( t ) , o , z ( t ) 一 g m ( t ) ) t , i =1 , 2 . 一 ， ， * 为第i 个资产的平均收 益率和发散率. 设 投资者的初始财富为x ， 假定投资者进入市场后在有限时域 0 州内连 续地进行交易，那么由i t o 公式，他的财富过程x ( t ) 满足如下随机微分方程 d x ( t ) x ( o ) =r ( t ) x ( t ) +艺( b c ( t ) 一 : ( t ) ) 二 ( t ) d t +e兄q ( t ) 二 : ( t ) d 琳( t ) , i -l , =1( 1 . 1 . 3 ) 二 x , 其中二 ; 川表示投资者在t 时刻在资产乞 上的投资量 令 二 ( t ) =( %t l ( i ) 二 ? ( t ) , ， ， 二 。 ( t ) ) , 称r ( .) 为一个投资组合， 而且( 7 r ( ) , x ( ) ) 满足( 1 . 1 .3 ) 若r , ( -) 关于 : 一 适应， 武 ) 任 l z ( 0 , t ) ; r ) ， 则称二 ()为 允许的 所有允许 投资组合的集合记为川 劝 投资者的目的是在集 州司中选择最优投资组合使得最终财富的期望最大与方 差最小之间实现合理的权衡. 一般连续时间m - v模型可建立为 m i n ( - e x 毛 t ) , v a s二 t ) ) s . t 二 ( e 八 ( x ) . ( 1 . 1 .4 ) 由多目 标最优化原理， ( 1 .1 .4 ) 等价于下面单目标模型. n u n ( - e x ( t ) 十。 v a r 二 ( t ) ) s . t .二 ( 今 a ( x ) . ( 1 . 1 . 5 ) 为处理之便， 本文后面涉及的连续时间m - v模型都是以( 1 . 1 . 5 ) 形式给出的. z h o u 与l i2 0 8 1 利用l i 与n g 9 6 的 求 解技 巧以 及二 次 线 性随 机 控制方 法解 决了 模型( 1 . 1 .5 ) 的 求解问题 得到了最优投资策略和有效前沿的解析形式. 对连续时间m - v模型的进一步研究有: l i 、z h o u 与l i m 9 7 1 应用近来发 展起来的粘解理论p 1 8 1 7 5 1 2 0 7 1 研究了模型 ( 1 . 1 .5 ) 不允许卖空的情形;l i m与 z h o u ll ， 郭文 族与胡奇英4 7 1 研究了 模型( 1 . 1 .5 ) 随 机 市场系 数的 情形， a k ia n 、 s e q u ie r 与s u le m 1 14 1 研究t 有 文易费 的 情形. 1 . 2投资消费理论 所谓投资消费间题， 确切地说就是投资者选择最优投资组合使自己的财富 增加， 并通过消费这些财富使自己的效用最大. 它是采用效用函数法将投资者 第一章绪论 的投资和消费行为结合起来考虑. 投资者的目的是追求消费效用与最终财富 的期望效用最大. 最早这方面的研究要归功于s a m u e l s o n 与f a m a , s a m u e ls o n 与f a m a ， 他们分别于在 ( 1 9 6 9 ) 年和 ( 1 9 7 0 ) 年中研究了离散时间的投资消费问 题. 随后，m e r t o n 对连续时间情形作了大量研究1 3 0 1 3 1 1 3 4 .m e r t o n 应用随 机动态规划原理来研究，提出了类似资本资产定价理论中的基金分离定理， 并证明了投资消费模型有解析解的充分必要条件是卜 效用函数为h a r a ( 双曲 线绝对风险厌恶) 函数.m e r t o n 一系列的工作为后续进一步的研究奠定了基 石，所以习惯于把连续时间的投资消费问题称为 m e r t o n 问题. 设投资者的消费率( 单位时间的消费量) 过程为。 ( t ) ， 这是一个非负函数， 二 ( t ) 为 投资组合， 财富过 程x ( t ) 满足( 1 . 1 .3 ) . 则对有限时域0 , t ， 连续时间 的 投资消费问题的一般模型可建立为 ln a x e ir,c 0 “ 一 ” u l (t, c (t )d t + e - 0 1 11 2 (x (t ) 如果是对无限时域，模型又可建立为 二 e j 0 e ou (t, c(t)d t ( 1 2月 ( 1 . 2 . ) 其中p 为折扣因子 在模型( 1 .2 . 1 ) 中， 若不考虑投资者的消费， 只考虑最终财 富x ( t ) 的 效用， 并 且取u 2 ( ) 为二次函 数， 则根据t o b i n 9 1 ， z h a o 与z i a m b a r2 0 1 的结论， 该模型等价于m - v模型， 因 此投资消费模型实际上就是m - v模型r j 推广. 对模型( 1 .2 . 1 ) 与( 1 .2 .2 ) 的求解， 根据m e r t o n 的结论， 如果效用函数取h a r a 函数， 可以根据随机动态规划原理将问题转化为 求解一个h j b 方程. 如果u l . u 2 为一般效用函数， 求解h j b 方程就会非常困 难， 一般只能通过数值方法来实现 6 .1 9 8 3 年l e h o c z k y 、s e t h i 与s h r e v e 8 ，1 9 8 5 年l e h o c z k y 、s e t h i 与s h r e v e (8 6 ) ，1 9 8 6 年k a r a t z a s 、l e h o c z k y 、s e t h i 与s h r e v e 16 7 1 ，1 9 8 7 年k a r a t z a s 、 l e h o c z k y 与s h r e v e (6 8 1 ，1 9 8 9 年c o x 与h a n g 17 8 1 应用 鞍 方法 求 解模型 得 到一 般 效用函数下的最优投资消费策略的解析表达. 运用效用函数方法研究投资问题的优点是: 一方面可以考虑跟实际更为接 近的复杂市场， 另一方面可使用的数学工具非常广泛. 因此， 关于投资消费问 题的研究很多:h 。 与p a g e s (5 1 1 ，k o o a 卜 !5 6 1 ，v ic e ir a 11 0 8 研究了有外来收人 流的 情形;e a s t h a m h as t i n g s (s o l ，z a r ip h o p o u l o u l 1 6 5 1 ，k s e n d a l 与s u l e m 18 1 ， 6西安电子科技大学博士论文: iv l - v最优组合投资选择与最优投资消费决策 a k ia n 、m e n a l d i 与s u l e m 1 1 1 ，a k i a n 与s u l e m 1 1 6 1 、f r a m s t a d 、d k s e u d a l 与 s u l e m 1 2 2 ，s h r e v e , s o n e r 与x u l 1 s s l，s h r e v e 与s o n e r l1 s 7 研究了有交易费 的 情形;c a d e n i l l a s 与s e t h i 13 1 ，p r e s m a l， 与s e t h i la l l ( 1 ，l e h o c z k y、s e t h i 与 s h r c v c 8 5 1 ，s e t h i 、t a k s a r 1 5 0 1 11 5 1 1 ，s e t h i 、t a k s a r 与p r e s m a n f 1 5 2 1 ，s , t h i 1 5 1 研 究了 考虑破 产的 情 形; c u o c 。 与l i u l 1 ， c r o s s m a n 与l o r o q u e l1 4 6 研究了 消 费品 为可存品的 情形; 郭文族、明宗峰与胡奇英 (4 8 1 研究了消费品为可存品与非可 存品 的 组 合的 情 形;h a u s o n 与w e s t m a n ; s = ，b a r d h a n 与c h a o 8 6 1 ，j e a n b l a n c e - p i c q u e 与p o n t ie r lu s ! ，f r a m s t a d 、f k s e n d a l 与s u le m :1 2 2 ，g o l l 与k a l ls e n l l s i 研究了风险资产价格过程为半鞍的情形; b e n t h , k a r l s o n