（光学专业论文）自旋链系统的量子信息理论研究.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 摘要 量子力学的发现和信息理论的产生无疑是二十世纪极其重要的两个事件，这两者结合 的产物是量子信息科学，量子信息科学呈现出与经典信息科学截然不同的崭新面貌，在很 多方面表现出明显的优势。比如，利用量子态的相干叠加性，人们提出了量子并行算法， 用以解决诸如大数因式分解等经典计算无法解决的问题。又如，量子不可克隆定理使得量 子信息不能像经典信息那样可以被任意复制，这使得人们能够建立起绝对安全的量子密码 系统。再如，量子纠缠可以起到连接不同空间点的量子信道的作用，从而实现量子隐形传 态。量子信息科学为信息论打开了新的大门，有着许多经典信息论无法比拟的优势，如信 息安全，运行速度快，信息容量大等。总之，量子信息科学的诞生， 为未来的信息科学和 技术注入了新的活力。 现在，量子理论被广泛地应用在物理学的各个分支以及其它学科中，这也促进了信息科 学和技术的快速发展。近年来，物理学家加入到这个研究行列，他们一方面提出许多令人 耳目一新的概念、原理和方法：另外一方面，他们在寻找，在尝试各种适合量子计算的 系统，如腔q e d ，量子点，核磁共振等等来实现量子计算。每个系统都有各自的优点和 一些自身的缺陷。量子自旋链系统，是基于固态系统中的相互作用，可以实现量子计算的 系统。这种系统，对量子纠缠态的生成，量子态的传输，克隆，量子逻辑门的构造等方 面都有一些新的特色和优点，所以引起了人们的注意。这里，我们对基于自旋链系统中的 量子态的特性，量子态的传送和量子克隆等相关内容进行研究，主要研究成果为： ( 1 ) 研究了自旋链中的热纠缠和混度。在量子信息处理，特别是量子计算的物理实现 中，固体系统，由于其具有可扩展和易集成性，是最有希望进行大规模量子计算的物理系 统。大量的文献表明，固体中的自旋链是实现量子计算和量子通讯的物理系统之一。在众 多的实现方案中，往往需要量子纠缠这种物理资源及其控制纠缠的方法等。另外，对自旋 链这类多体系统纠缠的研究有助于解释和发现新的物理现象。一个量子态可用纠缠度和混 度这两个自由度来描述。在现实中，一个微观物理系统容易和周围的环境耦台，这样就导 致该物理系统从一个纯态系统演化到一个混态系统，因此有必要考虑自旋链的混度。基于 以上原因，我们研究了三个量子比特的自旋链热纠缠和混度，详细讨沦了各种参数，例如 温度，各向异性和外界磁场等对它们的影响，发现了一些规律，例如，混度随着温度的增 加而单调地增大，而纠缠则不这样。在零温时，要完全区分基态，必须同时考虑纠缠度 1 1 1 中国科学技术大学博士学位论文 和混度。在混合态中，人们比较感兴趣的是最大纠缠混态。在我们考虑的系统中，我们发 现，给定混度，通过改变参数，可以得到一个纠缠的上限，这个上限的一部分与最大纠缠 混态给定的上限重合。这表明，在该系统中可以得到最大纠缠混态，我们给出了系统处 于基态时，所得到的最大纠缠混态的形式。这些结果为制备最大纠缠混态提供了另一种途 径。 ( 2 ) 我们研究自旋压缩和两体纠缠的关系。近年来自旋压缩在量子信息的过程中引起了 人们的很大兴趣。自旋压缩是存在纠缠的充分条件，因此有人提议利用自旋压缩作为多体 量子态纠缠的判断标准。前人的研究总有关于对称自旋态中， 自旋压缩意昧着两体纠缠的 结论。这里，我们通过对对称三比特自旋量子态研究发现，这两者之间不存在必然的相互 依存的关系。在有些情况下，如果存在自旋压缩，则存在两体纠缠，但是有些情况下， 只是存在这两者中的个。从这一点上可见，对于三比特的量子态，可以存在三体纠缠在 一起，但其中任何两个却是退纠缠的情况，也可以存在任何两个比特是纠缠的，但是三个 比特组成的整体却不是一个纠缠的系统的情况。 ( 3 ) 我们研究自旋系统中的量子传态和量子克隆。在所考虑的系统中，只有一个发送 者，但是有两个接受者。另外这里我们还研究各种参数对输出输入态之间保真度的影响。 在少数输入，多数输出的传态克隆过程中，存在一个最佳的保真度，这个最佳保真度与输 入输出的数目有关。由于量子不可克隆定理，最佳保真度不町能达到1 。这里，我们研 究保真度和系统纠缠的变化特性，这两者之间的关系，还有各种参数的影响。发现最大保 真度可以达到一个比较高的值，在取最大值的时候，外部磁场和温度可以有较大的变化范 围。纠缠尽管是量子传态的必要资源，但是通过研究两体纠缠和保真度之间的关系发现， 纠缠大，并不一定保真度就高。 l v 中国科学技术大学博士学位论文 a b s tr a c t i t sn od o u b l et h a tt h ed i s c o v e r yo fq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a r i o nw e r et h ee p o c h m a k i n ge v e n t si n2 0 t h ac o m b i n a t i o no ft h et w oe v e n sy i e l d san e w s u b j e c t ：q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，w h i c hs h o w san o t a b l ef e a t u r ed i f f e r e n tw i t ht h ec l a s s i c a li n f o r m a t i o no n e t h ef r e s hs c i e n c eh a sm u c hp r e d o m i n a n c er b e y o n dt h ec l a s s i c a lo n s u c ha st h eq u a n t u mp a r a l l e la l g o r i t h mb a s e do nt h ec o h e r e n c eo fq u a n t u m s t a t e ，w h i c hh a s s o l v e ds o m eu n s o l v a b l ep r o b l e m sb yt h ec l a s s i c a lw a y so ft h ef a c t o r i z a t i o n so fl a r g en u m b e r s ； s u c ha st h ee s t a b l i s h m e n to ft h es a f ea b s o l u t eq u a n t u mc o d es y s t e m jb a s e do nt h eq u a r t t u r nn o c l o n i n gt h e o r e mw h i c hf o r b i d st h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nb ec o p i e da st h ec l a s s i c a l i n f o r m a t i o n s u c ha st h eq u a n t u mt e l e p o r a t i o nd u et oq u a n t u me n t a n g l e m e n t 】w h i c ha c t s a sq u a n t u mc h a n n e lt oj o i nd i f f e r e n ts p a c es i t e s q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c eo p e nan e w d o o rf o rt h ei n f o r m a t i o ns c i e n c e ，a n dh a ss o m ea s c e n d a n c y , s u c ha ss a f e t y ，f a s t ，l a g e rc a p a b i l i t y i naw o r d , t h eb i r t ho fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c eb r i n g sn e wa c t i v i t yi n t ot h ef u t u r e i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y n o w ，t h et h e o r yo fq u a n t u mi n f o r m a t i o nh a sb e e nw i d e l yu s e st oe v e r yb r a n c ho fp h y s i c a n ds o m ea ss c i e n c e ，w h i c hh a sa c c e l e r a t e dt h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o ns e c i e n ca n dt e c h n o l o g y r e c e n t l y , p h y s i c a lr e s e a r c hm e nh a sj o i n e dt h ei n s t i t u t i o ni no n eh a n d ，t h e yp o s e d s o m en o t a b l ec o n c e p t s ) f u n d a m e n t a l s ，m e t h o d s ，o nt h eo t h e rh a n d ，m e ni ss e a r c h i n gs y s t e m s s u i t a b l ef o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，s u c ha s c a v i t yq e d ，q u a n t u md o t s ，n u c l e a rm a g n e t i c r e s o n a n c e ，a n ds oo n b u te v e r ys y s t e mh a si t so w nm e r i ta n dd e f e c t t h es p i nc h a i ns y s t e m ， b a s e do nt h ei n t e r a c t i o no fs o l i ds t a t es y s t e m ，i sas y s t e mc a ni m p l e m e n tq u a n t u mc o m p u t a t i o no n e ，a n dh a ss o m en e wf e a t u r ea nm e r i ti nt h eg e n e r a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e ds t a t e s ， t e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u mc l o n e d u et ot h i sf a c t s ，t h es p i nc h a i ns y s t e mh a sc a u s e dm u c h i n t e r e s t i n gr e c e n t l y h e r e ，w es t u d yt h ec h a r a c t e ro fq u a n t u ms t a t e ，t e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u m c l o n eb a s eo ns p i nc h a i ns y s t e m ，a n dt h em a i nr e s u l t si n c l u d e ： ( 1 ) w es t u d yt h et h e r m a le n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r ei nas p i ns y s t e m s o l i ds t a t es y s t e m s ， d u et ot h ee a s yi n t e g r a t i o n ，a r et h ep r o m i s i n g c a n d i d a t e sf o rr e a l i z i n gq u a n t u mc o m p u t a t i o n v a s tl i t e r a t u r e ss h o wt h a ts p i nc h a i ni so n eo ft h es y s t e m su s e df o rq u a n t u mc o m p u t a t i o n a n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n i ti sh e l p f u lt oe x p l a i na n df i n dn e wp h e n o m e n at os t u d yt h e v 中国科学技术大学博士学位论文 m a n y b o d ys y s t e m s 】s u c ha ss p i nc h a i n as a t ec a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h et w of r e e d o m d e g r e e so fe n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r e i nf a c t ，i ti sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h em i x e do ft h e s p i nc h a i n ，b e c a u s et h em i c r o c o s m i cs y s t e m st e n dt ob ec o u p l e dw i t ht h ee n v i r o n m e n t a l ， w h i c hc h a n g et h es y s t e mf r o mp u r es t a t et om i x e do n e b a s e do nt h er e a s o n sa b o v e ，w e s t u d yt h ee n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r eo ft w os p i n si nat h r e e q u b i tc h a i n ，a n dd i s c u s st h e e f f e c t so ft e m p e r a t u r e ，a n i s o t r o p ya n dm a g n e t i cf i e l d b yd o i n gt h i s ，w eh a v ef i n dt h a tt h e m i x t u r ei n c r e a s e sw i t ht h et e m p e r a t u r e ，h o w e v e r ，t h ee n t a n g l e m e n td o e sn o ta c ta st h i s a t t h ez e r ot e m p e r a t u r e ，i ti s n e c e s s a r yt ot a k ea c c o u n tb o t ht h ee n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r et o d i s t i n g u i s ht h eg r o u n ds t a t e f r o mt h ep o i n to fv i e wo fe n t a n g l e m e n te x p l o i t a t i o n ，o n es h o u l d t h e nb ei n t e r e s t e di nm a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e sw ef i n dt h a ta l lt h et h e r m a ls t a t e s p r o v i d ea nu p p e rb o u n do nt h ee n t a n g l e m e n tf o rf i x e dm i x t u r e ，a n dp a r to ft h eb o u n d a r y r e a c h e st h eo n ep r o v i d e db ym a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e sa n da l l o w e db yp h y s i c s o u r r e s u l t sw o u l dp r o v i d et h em e a n st oc o n t r o le n t a n g l e m e n tf o ra g i v e nm i x t u r ea n dg e n e r a t e m a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e s ： ( 2 ) w es t u d yt h er e l a t i o no fs p i ns q u e e z i n ga n dp a i r w i s ee n t a n g l e m e n t s p i ns q u e e z i n gh a s c a u s e di n t e r e s t i n gr e c e n t l yd u r i n gt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e d u r e i ti sf o u n dt h a ts p i n s q u e e z i n gi st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o re n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n t u ms y s t e m ，a n ds o m e o n e h a ss u g g e s t e dt h a tu s es p i ns q u e e z i n ga st h em e a s u r e m e n to fm u l t i - q u b i ts t a t e s t h ep r e v i o u s s t u d yh a ss h o w st h a ts p i ns q u e e z i n gm e a n sp a i r w i s ee n t a n g l e m e n ti ns y m m e t r ys t a t e ，b u t h e r e ，o u rs t u d yo ft h r e eq u b i ts y m m e t r ys t a t es h o w st h a tt h e r ei sn o tac o r r e l a t i o nd e p e n d e n c e b e t w e e ns p i ns q u e e z i n ga n dp a i r w i s ee n t a n g l e m e n t i ns o m ec a s e ，i ft h e r ei ss p i ns q u e e z i n g 】 t h e r em u s tb ep a i r w i s ee n t a n g l e m e n t i ns o m ec a s e t h e r ei s o n l yo n eo ft h e m f r o mt h i s p o i n t ，w ec a ns e et h a tf o rt h r e eq u b i t ss t a t e ，m a y b et h a tt h et h r e es p i n sa r ee n t a n g l e d ，b u t a n yt w oa r ed i s e n t a n g l e d ，m a y b ea n yt w oa r ee n t a n g l e d ，b u tt h ew h o l es y s t e mm a d eo ft h e t h r e es p i n si sn o ta ne n t a n g l e do n e ( 3 ) w es t u d yt e l c l o n e ，w h i c hc o n t a i n sq u a n t u mt e l e p o r a t i o na n dc l o n e ，i nt h es p i ns y s t e m h e r e ，t h e r ei so n l yo n es e n d e r ，b u te x i s t st w or e c e i v e r s i na d d i t i o n ，w es t u d yt h ee f f e c to f t h ea l lp a r a m e t e r so nt h ef i d e l i t yb e t w e e nt h eo u t p u t sa n dt h ei n i t i a li n p u t t h e r ee x i s t sa n o p t i m af i d e h t yi nt h ep r o c e d u r eo ff e wi n p u t sb u tm o r eo u t p u t ，w h i c he f f e c t sb yt h en u m b e r s o fi n p u ta n do u t p u t d u et ot h en o c l o n i n gt h e o r e m ，t h eo p t i m af i d e l i t yc a nn o tr e a c ht o1 h e r e lw es t u d yt h ec h a r a c t e r so ff i d e l i t ya n de n t a n g l e m e n t ，a n dt h ee f f e c to fs o m ep a r a z n e t e r s o n et h e m t h em a x i m a lf i d e l i t yc a nr e a c hah i g hv a l u e ，a n dt h ev a r i a t i o nr a n g e so ft h e m a g n e t i cf i e l da n dt e m p e r a t u r ei sw i d e e n t a n g l e m e n ti st h en e c e s s a r yr e s o u r c e ，b u th e r e ，b y t h es t u d yo ft h er e l a t i o n s h i po ff i d e l i t ya n dp a i r w i s ee n t a n g l e m e n t ，w ef i n dt h a tl a r g ep a i r w i s e v l 中国科学技术大学博士学位论文 e n t a n g l e m e n td on o ta l w a y sb r i n gh i g hf i d e l i t yi ns o l u t ec a s e v 1 1 中国科学技术大学博士学位论文 第1 章固态系统中的自旋链 量子力学的发展促进了一门新兴科学的诞生一量子信息和量子计算理论。量子 力学中态的叠加原理，量子不可克隆， 以及测量破坏相干性等等这些特有的性质， 既给量子信息理论带来了挑战，也给带来了更广阔的应用前景。 自旋链是固态系统中的重要系统，在量子信息理论中已有广泛的研究。在量子 计算中， 自旋链系统可以作为数据线 1 和量子处理器f 2 ，可以把编码在自旋系统 中的信息，通过少数的空间和动力学控制，从一端传送到空间中的另外一端。 在这一章里，主要从自旋链模型， 自旋链系统制备量子态，传输量子态，实现 逻辑门几个方面介绍固态系统中的自旋链。 1 1几个典型的自旋链模型 量子自旋链的模型是多种多样的，从不同的角度，自旋链的分类也不尽相同： 从维数上看，有一维，二维，甚至高维自旋链；从形状上看，有线型，环型，星 型，环型和星型的结合，梯形模型等等：从相互作用力程上看，有相邻粒子相互 作用，次临近相互作用等等，从相互作用在不同方向上的特性上看，有x y ，x x ， x x z ，i s i n g 等等多种模型。有些模型的性质已被广泛研究，如自旋链中的纠缠，关 联函数，量子相变等等。下面简单的介绍几个比较常见的模型。 1 ，x y 模型 x y 模型的哈密顿可以描述为 _ v 巩y = 一 ( 半哼咯。+ 字嘏。+ b 丐) ，( i - i ) 7 度量。，的各相异性，b 是沿z 方向的外加横向磁场。在周期条件下，如果，y = 0 ， 则为x x 模型，如果7 = l ，则变蔓) i s i n g 模型。各种各项异性的链o ，处于自旋链一端，a 1 i c e 处的自旋s 上。系统初始 处于l 皿( o ) ) = c o s2 i o ) + e i s i n ；i s ) 。由于 凰，墨。4 1 = 0 ，所以演化过程中所包含 的量子态，都只有一个自旋向上。 叩) ) 一s 扣+ e i 。s i n ：塞蚓e 一哪) ， m 1 6 ) 接收者b o b 处自旋r 的态演化为混态 p o 。t ( t ) = p ( t ) l 妒。t ( t ) ) ( 妒。c ( t ) l + 1 一p ( t ) l o ( o i ， ( 1 - 1 7 ) 其中i 仉。：( t ) ) = c o s ；i o ) + e k es i n2 n ，( t ) 1 1 ) ，p ( t ) = c o s 2 ：+ s i n 2 ；l 碟( t ) 1 2 ，蝶( t ) = t ie x p 一i h a t l s ) 。t o 时刻，如果b o b 接受输入态，对所n b l o c h 球面态求平 均 1 4 z r ，( 讥。l p o u 。( 如) m 。) d a ，所得的平均保真度为 f ： 茄( t o ) lc o s 7 + l 竖剑一! 3 62 ( 1 1 8 ) 8 中国科学技术大学博士学位论文 通过选择磁场b 。使得，y 为2 7 r 的整数倍，可得平均保真度的最大值。 当自旋总数：2 ，4 时，可以完全传输，f = 1 ，当v = 8 时，可以近似完全传 输，f = 0 9 9 4 ，当= 7 ，1 0 ，1 1 ，1 3 ，1 4 时，f 0 9 ，ns8 0 时，最高的平均保真度 仍然高于经典极限2 3 。下图1 6 反映最大平均保真度随自旋链中自旋数目变化情 况。 图1 - 6 ：在b , j - 间e o ，4 0 0 0 y 内，最大保真度( 竖棒) 和最大可得的纠缠( 曲线) 随自旋总 数f 2 ，8 0 的变化。直线表示经典极限2 3 。 在自旋链中传输量子态，保真度不但与链的长短有关，还与所要传送的量子态 矢有关。图1 7 描述一个x y 模型自旋链传输态。) = 口i o ) + 6 1 1 ) 的情形，从图上可 见，如果输入态矢。) 中o - 0 ，则量子态可以近乎完全的传输。 在自旋数目比较大的情况下，自旋链仍然可以以较高的保真度传送量子态，所 以自旋链是一个比较好的传输系统，在量子计算中可以作为导线使用。 1 4自旋链量子计算 几何量子计算，由于比较稳定，可以避免一些错误，所以引起了人们的关 注2 0 3 1 1 。关于几何量子计算，前人己有提出了一些方案 2 7 - 2 9 ，3 2 3 4 ，并且有 些方案在实验上已经实现 3 3 。 几何量子计算中，如果随时间变化的哈密顿日( r ( t ) ) 存在一个维的，本征 值为e o 的，由简并的瞬时本征态矢 l ( t ) ) ，1 2 ( t ) ) 1 ( t ) ) 张成，简并的子空间( t ) ， 则当点r ( t ) 在参数空间绕动一圈后回到初始状态，则态i 讥) 获得一个整体 相位，变为i 咖( t ) ) iu ( t ) l o ) = e 。口。r l 讥) ，e 。口( 。) ：= e - i 露e 。列是动力学相， 9 中国科学技术大学博士学位论文 0 , 4 0 。c ，。“。+ 一。，。 , 0 0 0 7 50 1 5 0 0 。2 50 0 0 口 a ) f ，2 图1 7 ：左图表示总自旋数目为3 0 时，位于j = n + 1 处自旋，处于自旋向上量子态的 概率弓= 1 ( j i w ( t ) ) 1 2 随输入态咖。t = a l o ) + b 1 1 ) 中。的变化。从图上可见，当。= o 时，即 传输态为自旋向上态时，j = n + l 处自旋自旋向上的概率可以达到l ，即可以实现完全 的传输过程。右上图图表示口= 0 0 1 ，总自旋数目2 0 0 时，自旋0 ，自旋n + 1 ，和其他 中间所有自旋nef 1 ，1 9 8 总概率的时间演化情况。从图上可见，随时间的演化，0 自 旋量子态几乎完全的被传送到末端自旋n 十1 。 右下图总数目为n = 2 0 1 的变化情况。t = 2 2 0 0 。 r ：= p ( e 船a ( r ) d r ) = t ( e 站a ( t ) d t ) 是非阿贝尔几何相，岛( t ) 是子空间k 的瞬时 本征值。 任何幺正门都可通过一些列的普适门操作，以任意精度地构造出来。对于普适 门组，有多种选择，可以选择集合 h ，尸( 咖) ，g ( 7 r ) ，其q b h , , 黾h a d a r m a r d i - ，p 是相 位门，g ( 咖) 是受控相位门。如果把这组普适的门操作在可扩展系统的任何单比特或 者两比特上，那么在可扩展系统上可以构建几何量子门。 这里考虑一个维自旋链，把两个邻近的两个自旋编码为希尔贝特空间中的计算 比特，通过在邻近的自旋之间移动路径，可以实现单比特和两比特的量子逻辑门。 这种门操作，依赖于路径的动力学相和几何相。对每一个门操作，都是通过单比 特或者是相邻的双比特中频率的选择，或作相关的操作，如诸如绕轴的旋转等操作 实现。一般情况下，几何相是比较难从编时积分中得到的，如果几何相与时间积 分的顺序无关，即r = e 胛，( t 是路径所需的总时间) ，那么问题就容易解决。 1 0 中国科学技术大学博士学位论文 ，i j i ：。- e ，一蔓i ) e ， 123 4 图l 一8 ：自旋链中的几何量子计算，块与块之间不存在相互作用，同一个块内的两个自旋 编码为逻辑比特。 o 时刻，哈密顿三b 有由简并态矢1 1 ) ，1 2 ) ，1 ) 张成，简并子空间 时刻哈密顿可以写为 h o l i ) = e o hi = 1 k 日( t ) ：= c x t h o e “。 ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) x 是反厄米算符，且x 向简并空间投影等于a ，a 三x 1 o 。从( 1 - 2 0 ) 可见，在任何时 间o ，瞬时本征态有下面的形式 i ( t ) ) = e x t 吼h ( t ) l i (