（发展与教育心理学专业论文）算法引入方式与数学观形成的关系.pdf

上海师范大学硕士学位论文摘要 论文题目：算法引入方式与数学观形成的关系 学科专业：发展与教育心理学 学位申请人：沈艳平 指导老师：卢盛华 摘要 数学观的形成是数学教育的核心所在，数学观决定了数学方法论，也决定了 数学教与学的方式。研究学生的数学观不仅有助于人们丰富并深化对建构性学习 过程及其自我调节的研究，而且对教师课堂教学的改进、学生自主学习的促进具 有重要的实践意义。本文以小学生为研究对象，以解方程中的移项为具体研究内 容，首先通过访谈了解学生数学观形成状况，并同时寻找有效的干预方案，然后 在此基础上设置了三种情境模式进行对比实验研究。结果表明： 1 当前小学生将数学理解为一套解决问题的有效的规则和算法，在学习数学 中倾向于掌握数学的算法和规则。 2 当前例题讲解式的数学教学不利于学生形成恰当数学观。 3 让学生主动探索的教学方式有利于学生理解算理并形成恰当的数学观 关键词：数学观算法引入方式算法算理 摘要 上海师范大学硕士学位论文 t i t l e ：m a t h e m a t i c a lv i e sa n dt h ew a yo fi n t r o d u c i n ga r i t h m e t i c m a j o r ：d e v e l o p m e n t a la n de d u c a t i o n a lp s y c h o l o g y a p p l i c a n t ：s h e ny a n p i n g t u t o r ：l us h e n g h u a a b s t r a c t ： t h ef o r m a t i o no ft h em a t h e m a t i c a iv i e w si st h ef o c u so ft h em a t h e m a t i c e d u c a t i o nw h i c ha l s od e c i d e st h ew a yo fm a t h e m a t i ct e a c h i n ga n dl e a r n i n g t h er e s e a r c ho ft h es t u d e n t s m a t h e m a t i c a lv i e wn o to n l ym a k e sc o n t r i b u t i o nt o e n r i c ha n dd e e p e nt h ek n o w l e d g ea b o u to fs e l fr e g u l a t i o na n dt h ec o u r s eo ft h e c o n s t r u c t i v el e a r n i n gb u ta l s oh a sag r e a tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ef o rt h e i m p r o v e m e n to ft h et e a c h e r s c l a s s r o o mt e a c h i n ga n ds t u d e n t s s e l fl e a r n i n g t h ep u p i l sa r er e s e a r c h e di nt h i sp a p e ra n dt h ec o n c r e t er e s e a r c hc o n t e x ti s t r a n s p o s ew h i c hm e a n st om o v e ( at e r n l ) f r o mo n es i d eo fa na l g e b r a i c e q u a t i o nt ot h eo t h e rs i d ea n dr e v e r s ei t ss i g nt om a i n t a i ne q u a l i t y a tt h e b e g i n n i n go ft h er e s e a r c h ，t h ec o n d i t i o no ft h ef o r m a t i o no ft h em a t h e m a t i c a l v i e w si sk n o w nb yt h ei n t e r v i e wa n dt h ee f f e c t i v ei n t e r v e n t i o np r o g r a m sa r e l o o k e df o ra tt h es a m et i m e s a n dt h e n ，t h r e ec o n d i t i o n sa r es e tt oc a r r yo na c o m p a r i s o ne x p e r i m e n t t h er e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 i nn o w d a y s 。m a t h e m a t i ci sr e g a r d e da sas e n e so fr u l e sa n da r i t h m e t i c w h i c hc a ns o l v ep r o b l e m se f f e c t i v e l yb yt h ep u p i l sw h oa r em o r el i k e l y t om a s t e rt h em a t h e m a t i c a la r i t h m e t i ca n dr u l e sd u r i n gt h ec o u r s eo ft h e m a t h e m a t i cl e a r n i n g 2 t h ew a yo fe x p o s i t i v em a t h e m a t i c a lt e a c h i n gi su n f a v o r a b l et ot h e f o r m a t i o no ft h ep r o p e rm a t h e m a t i c a lv i e w s 3 t h ew a yo fm a t h e m a t i ct e a c h i n go fi n i t i a t i v ee x p l o r i n gm a k e sf o rt h e p u p i l st ou n d e r s t a n dt h er a t i o n a l ea n df o r m at h ep r o p e rm a t h e m a t i c a l v i e w s k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lv i e w st h ew a yo fi n t r o d u c i n ga r i t h m e t i c a r i t h m e t i c r a t i o n a l e 上海师范大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究 成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表 示了谢意。 论文作者签名：矽杉千日期：p 年岁月巾 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它- y - 段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 论文作者签名方纠彤彳同期：如9 年厂月汐同 翩虢卢蝌嗍瓣厂月猡 上海师范大学硕士学位论文1 引言 1 1 问题背景 1 引言 数学观是对数学知识与数学学习过程的信念，它在先期的数学学习过程中形 成，同时也决定着后继的数学学习行为。有什么样的数学观，就会有什么样的数 学学习行为。这里我们先来分析一个数学问题的解答过程。 假设有白酒与红酒各一杯，两者份量相同。现在从白酒中舀一勺白酒放入红酒杯后，调 匀后，舀回一勺放入白酒中。现问白酒杯中含红酒是否少于红酒杯中的白酒。 面对以上问题，一般的解法有两种：一是设酒杯容量为a ，勺的容量为b ， 并列方程求解；二是通过思考发现两个杯子最终所含液体分量相同，如果将每杯 中的红酒与白酒分离，则盛白酒杯中之红酒是红酒杯中之所失，红酒杯中所失之 分量是由白酒代替，从而得出白酒杯中之红酒与红酒杯中之白酒份量相同。 这里出现了两种不同的解法。不同的解法体现了不同的数学观，即对数学本 质的认识。这正是本文所要研究的问题。 1 1 1 问题的现实背景 数学教育一直处于改革之中。早在2 0 世纪初，德国数学家、数学教育家克 莱因( f k l e i n ) 和英国数学家、数学教育家贝利( j p e r r y ) 就发起了数学改革 历史上的克莱因贝利运动。该运动提出改革数学教育应该运用近代数学的观 点改造中学数学课程的教学内容，通过运用教育学、心理学的观点来指导教学内 容，同时教材内容应以函数概念为中心。该运动受各种因素影响没有取得明显的 效果，但是运动中提出的主张对于数学教育的发展具有积极的指导作用。2 0 世 纪五六十年代，“发现学习 的思想开始兴起，其中美国心理学家和教育家布鲁 纳( j e r o m es e y m o u rb r u n e r ) 尤为提倡，提出数学教学在教学方法上应该让 儿童在教师的启发引导下按自己观察事物的特殊方式去表现学科。布鲁纳强调 说：发现教学所包含的，与其说是引导学生发现“那里发生”的事情的过程，不 如说是他们发现他们自己头脑里想法的过程。随后，席卷世界的数学教育改革运 动新数运动兴起了。新数运动对传统数学课程开展了大刀阔斧的改革，目标 1 1 引言 上海师范大学硕士学位论文 是通过现代数学思想对传统的数学教育进行改造，从而实现数学教育的现代化。 但因其严重脱离儿童的认识实际和常规的学校生活而陷入困境。进入八十年代， 以学生自己学习数学为立场的数学教育改革开始兴起，新的数学教育改革关注课 程内容、教师培养和教学研究、课堂情境之间的相互影响。在此期间，“问题解 决 教学成为数学教育的主流及中心任务。美国数学家波利亚提出的“怎样解题 表、a s c h o e n f e l d 提出的问题解决过程都显示了当时问题教学的流行。2 0 0 8 年4 月，美国“国家数学咨询委员会 公布成功需要基础重申基础的重要性， 提倡“阶梯式进步的理念( 章建跃，2 0 0 2 ) 。 翻开中国数学教育的历史记录，可以看出关于数学思想方法教育的目标发生 多次变化。1 9 0 3 年的癸卯学制到1 9 2 3 年的中学新学制数学课程标准都 要求学生学会“数学的方法 ，但在1 9 2 9 年到1 9 3 3 年颁布的课程标准中就 没有这个要求；而后在初中数学课程标准( 1 9 4 1 ) 和中学数学教学大纲 ( 1 9 5 2 ) 重新提出这个要求，并改为学会“数学的思想”；而到了1 9 5 6 年、1 9 6 0 年、1 9 6 3 年的三个数学教学大纲中再次取消了数学思想方法教育的要求。 到了1 9 9 2 年，在国家教育委员会指定颁布的九年义务教育全日制初级中学教 学大纲( 试用) 中，“教学目的”明确规定：初中数学的基础知识主要是初中代 数、集合中的概念、法则、性质、共识、公理、定理以及由其内容所反映出来的 数学思想和方法。 1 9 9 5 年5 月的第二版九年义务教育全日制初级中学数学教 学大纲( 试用) 中第一次提出“数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文 化的重要组成部分 的观点，并明确指出“要注意充分发挥联系的作用，加强对 解题的正确指导，应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。”2 0 0 1 年 7 月颁布的全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 提出数学教育应使学生 能获得“适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识( 包括数学事实、 数学活动的经验) 以及基本的数学思想方法和必要的应用技能 。2 0 0 3 年4 月颁 布的普通高中数学课程标准( 实验稿) 提出要把数学基础知识和数学基本技 能“所蕴含的数学思想方法 作为数学教学的课程目标。我国对数学教育目标的 认识从注重外在的社会应用到关注人的学习能力的发展，教育目标的一次次改变 都体现出了数学观的改变。 我国对数学教育的重视和对数学进行不断改革使得数学教育得到发展，但在 2 上海师范大学硕士学位论文1 引言 发展的同时，依然存在着很多问题。 我国数学教育忽视学习的长期目标。数学教学每一堂课都有一个十分明确的 目标，目标主要集中于各个具体的数学知识和技能。整个课程围绕着明确的目标 进行组织。我国数学课堂教学中的“复习、“引入 、“讲授 、“练习”、“总结 五个环节都是围绕目标教学的明显表现。这样做虽然可以更快地引入主题，帮助 学生明确地掌握知识，提高教学效率，但同时也忽视数学学习的长期目标：即对 学生的学习能力、情感和态度的培养。 我国数学教育给学生的自由创造留下的空间太少。我们历来强调“没有规矩， 不成方圆。正因为此，我国的数学教师在教学活动中处于主导的地位，并且数 学教学活动的主要方式是讲授，这样留给学生自主创造的空间就很少。近年来， 多数老师都知道数学教学中启发和学生积极参与的重要性，也在课堂中加入了学 生参与的部分。但教师的最终目的还是要根据课前定好的目标进行教学，完成预 定的教学任务，这就需要学生按照教师的思路进行思考，而同时教师还希望学生 能够掌握数学思维方法。总的来说这样的学生参与只是一种“大框架下的小自 由”，不能给学生足够的空间去思考和发现，而又缺乏足够自觉性，就可能出现 教学处于教师的绝对支配下、学生的主动性和创造性受到严重压制的局面。 我国数学教育对数学的应用重视程度不够。我国的数学教育历来重视记忆和 练习，强调基本技能的发展，本意是通过记忆和练习来加深理解，通过反复的练 习来不断深化认识，并试图达到真正的理解。因此，我国的学生在掌握教学内容 的过程中多是通过熟记公式和多做题，但由于教学任务和考试的存在，反复的解 题练习并没有使学生真正理解解题技巧背后所蕴含的算理，这使得许多学生在做 书本上的应用题时显得信心十足，而遇到实际的问题时则显得手足无措；使得中 国学生在国际数学大赛上屡获佳绩，却很少产生数学大家( 郑毓信，2 0 0 8 ) 。 数学教育存在的种种问题使得我们需要对学生数学观进行研究，数学观决定 了数学方法论，树立适当的数学观才能进行行之有效的数学学习。 1 1 2 问题的理论背景 了解上述问题后，我们发现关于数学教育问题中的教育目标、教学方法以及 学生学习数学时的种种问题都涉及到“数学是什么 的问题。对“数学是什么 的认识决定了数学的教学目标、数学的学习方法。因此探讨“数学是什么 ，也 3 1 引言 上海师范大学硕士学位论文 就是探讨数学观问题成为这些问题的核心。 关于数学观的研究自数学产生之日起就没有停止过，关于“数学是什么 的 解释也层出不穷。早在古希腊，关于数学对象是什么的问题就产生实在论和反实 在论的对立，即讨论数学对象是否是客观存在的( 罗素，2 0 0 7 ) 。到了1 6 - 1 8 世 纪，关于数学的研究又开始了唯理论和经验论的争论，争论数学是真理的集合还 是人类实践经验的结果。再往后，就出现了对数学发展影响较大的数学的绝对主 义、拉卡托斯的拟经验主义和欧内斯特的社会建构主义。我们可以看到，在数学 发展史上这些关于数学观的解释和争论主要围绕着数学的实在性( 本体论问题) 和数学的真理性( 认识论问题) 两部分进行的( 郑毓信，2 0 0 1 ) 。随着对数学认 识的不断深入，国际上对数学认识也趋于成熟，现在人们普遍认识到：数学学习 不仅仅是知识的接受，而且也是一种观点、信念和态度的形成过程。学生对数学 与数学学习的看法，直接或间接地影响着学生学习教学的方式、态度、行为以及 学业成绩。 数学观问题过于抽象，人们对数学观的认识大多是数学的一种静态性的认 识。而关于人t f , b 中的数学观他们是如何形成的，数学观的形成受什么影响这些 问题则研究较少。只有从根本上了解如何形成适当的数学观，才能在数学教学中 帮助学生形成适当的数学观，并让学生学会适合他们今后发展的学习方法。 因此，数学是什么的问题以及学生是怎样形成数学观的问题是数学教育中的 基本问题。这正是本文所要探讨的。 1 2 问题提出与研究内容 1 2 1 问题的提出 基于以上分析，学生在数学学习中出现的“题海战术 、“死记硬背公理 等 现象都是不恰当的数学观的体现；而关于数学观的研究，国内外的研究多停留在 对数学观是什么的静态研究上，对数学观如何形成方面的研究则很少，为此我们 有必要对数学观的形成进行研究。 本文试图对算法引入方式和数学观形成之间的关系进行研究，算法引入方式 即教学过程中让学生如何掌握算法的教学方式。当学生能够熟练地解决一个数学 问题时，我们可以认为他学会了其中的算法，而当学生能够说出算法背后的算理 4 上海师范大学硕士学位论文1 引言 时，我们认为他理解了算理。本研究试图弄清何种算法引入方式更加有利于形成 适当的数学观。 1 2 2 研究内容 本研究的内容包括如下几方面 1 2 2 1 小学生数学观现状的访谈 本文选取小学生作为研究对象。作为数学教育的最初阶段，小学数学对学生 今后韵学习起着重要的作用。为此了解小学生的数学观有着基础性的作用。 要研究数学观，首先要了解学生数学观的现状。本研究首先通过访谈了解小 学生数学观的现状。 1 2 2 2 不同算法引入方式的对比实验 为了弄清算法引入方式与数学观形成之间的关系，本研究进行了不同算法引 入方式的对比实验。对不同算法引入方式下的学生进行访谈，了解在不同算法引 入方式下学生的数学观形成状态。 1 3 研究意义 1 3 1 理论意义 数学观是数学学习、数学教育中的核心问题。对于数学观的研究，国内外都 进行了许多研究，这些研究多集中于问卷调查的方式来调查数学观，关心的是学 生心中“数学是什么的 的问题，对数学观的研究多停留在一个静态的层面上， 而对数学观形成过程这个动态的因素则关注得很少。本文从数学观形成的因素这 个方面入手，通过访谈、干预的方式来探讨不同算法引入方式和数学观的形成之 间的关系，从而在数学观的形成这一动态维度上丰富数学观的研究。 1 3 2 实践意义 数学观是人们对“数学是什么的 根本看法和认识，它决定着学生数学学习 行为。有什么样的数学观，就有什么样的数学学习行为。 小学生处于学习数学的最初阶段，此时形成的数学观对将来以后的学习更是 有着深远的影响。本文从小学生入手，从数学观形成过程出发，通过对研究算法 引入方式和教学观形成之间的关系，为数学教育者在实际教学活动中帮助小学生 5 1 引言上海师范大学硕士学位论文 形成正确数学观提供了实践基础；同时对于学生而言，帮助他们加深对数学内部 必然性的理解，从而使他们在今后的数学学习中掌握正确的学习方法。 6 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 2 研究综述 2 1 数学观阐释的历史回顾 2 1 1 哲学层面上的数学观 数学观问题是数学哲学和数学教育哲学的一个基本问题，数学研究者对何为 数学观作了如下的几种界定： 数学观是人们对数学的本质、数学思想以及数学与周围世界联系的根本看法 和认识( s c h o n e f e l d ，1 9 8 3 ) 。 数学观是学生对自己或他人数学行为理解和感知的观念建构( s c h o n e n f e l d ， 1 9 8 3 ) ( 白乳利，2 0 0 2 ) 。 数学观是人们关于“什么是数学? ”问题的认识。( 郑毓信，1 9 9 2 ) 数学观是人们对数学的总的看法和认识，其内容主要涉及数学的研究对象、 数学的特点、数学的地位和作用。( 张国杰，1 9 9 5 ) 从上述界定中，我们可以发现他们都是围绕“数学观是人们对数学的根本看 法 这一笼统乔定而进行的解释和发展。因此我们可以得出这样的界定：数学观 是人们对“数学是什么”的根本看法和认识。 在上述界定中，数学观是个体对“数学是什么”的一个总的看法，而“数学 是什么这个问题也是一个明显的哲学问题。数学自其产生到发展成- - 1 7 体系庞 大分支众多的学科经过了一个很漫长的过程，历史上不同时期的人们对数学有着 不同的认识和理解，即不同的数学观。历史上数学观的发展，经历了绝对主义、 经验主义、建构主义的发展过程。 2 1 1 1 绝对主义的数学观 在中世纪以后，随着宗教神学和经院哲学的崩溃，人们对前人遗留下来的文 化知识都普遍持有怀疑的态度，而对数学则例外，认为数学是由确定无异议的真 理构成，是一种而且也许是唯一的一种确定的、不容置疑的客观认识领域，即认 为数学由绝对真理构成( 郑毓信，王宪昌，蔡仲，1 9 9 9 ) 。当时主要有两个数学 学派支持数学绝对主义观点：柏拉图主义和基础主义。柏拉图主义认为感性知识 是不可靠的，而强调数学是研究抽象问题、发展假设演绎方法，这进一步促使 7 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 他去探求可靠知识，寻找永恒不变的实在的知识对象，并认为数学研究的应该是 可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关 系。基础主义则认为数学必定存在一个可靠的、稳定的、绝对的基础。 随着数学的发展，至2 0 世纪初，数学中的集合论和函数论出现了一些悖论 和矛盾，这些悖论和矛盾使得绝对主义的数学观受到了挑战，而与此同时，为解 释数学本质并重建数学的可靠性，以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表 的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义三大学派就开始兴起。其中逻辑主义 认为所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念，所有数学真理都可以单凭公理和 逻辑推演规则得到证明，从而重新确定数学的绝对可靠性；直觉主义认为数学是 “人类悟性的自由创造物 ，它的来源是直觉，数学知识的最基础的砖石就是从 l 开始的自然数，数学需要研究的就是人的直觉由此逐步构造出的一切数学对 象；形式主义则认为一切数学对象都是无意义的符号或符号串，不需要也没有必 要做出任何解释，人们从事的数学活动只是按照指定的法则对这些符号进行纯形 式的组合和变形，认为做数学和下棋一样，不应被看成具有任何现实的意义。( 杨 光伟，2 0 0 9 ) 逻辑主义、直觉主义以及形式主义的数学观在解决数学危机的过程中得到广 泛传播，三大学派的数学家们虽然企图为数学建立一个一劳永逸的可靠的基础， 但因为三大学派均过于依赖演绎推理，而逻辑证明所得到的结论充其量只相当于 最弱的前提条件，从而相继失败。 2 1 1 2 拟经验主义的数学观 拉卡托斯的拟经验主义是在数学经验主义的基础上进一步发展的，主要讨论 数学知识的性质及其产生过程。在数学产生之后，数学一直被认为是永恒真理的 积累，是可靠性和真理的典范，是人类所知的最可靠知识的源泉。但随着数学的 发展，一些悖论和矛盾的出现使得数学的绝对真理性受到了极大的挑战。在这样 的背景下，拉卡托斯提出了“数学是拟经验的 观点。拉卡托斯这样解释“经验： 我们通过非形式的数学理论追溯问题的转换时，即将达到经验论，以致数学最后 将变成一种间接的经验理论( il a k a t o s ，1 9 7 8 ) 。 拟经验主义认为：“数学是处理数学问题时人与人之间的对话，数学是可误 的，决不可认为数学结果( 包括概念和证明) 是最终的或完善的，它们可以随着 8 上海师范大学硕士学位论文2 。研究综述 严密性的标准的变化或随着新的挑战、意义的产生，而需要重新商榷。由于数学 是人类的活动，因此我们就不能把它与它的历史以及在科学或其他领域中的应用 割裂开来”。同时，拟经验主义认为数学知识的产生来源于实践( p a u le e n e s t ， 1 9 9 7 ) 。 拉卡托斯的“拟经验主义”不仅停留在哲学理论层面上的叙述，而且也辅以 具体的数学案例分析，从而使数学哲学开始与实际教学紧密结合。尽管拉卡托斯 的“拟经验主义 还不太完善，但它使数学摆脱了数学绝对主义的束缚，不再认 为数学是永恒的绝对的真理，鼓励人们重新思考数学的本质，从而进一步推动了 数学的发展。 2 1 1 3 社会建构主义的数学观 欧内斯特在拉卡托斯的拟经验主义的基础上围绕客观知识、主观知识及其之 间的相互关系，构建起社会建构主义的理论框架。社会建构主义认为数学知识包 括客观知识和主观知识，客观知识指数学公理、定理、猜想以及获得社会承认的 逻辑约定和规则，而主观知识则是个人对数学客观知识的创造过程中获得的认 识。“整个数学知识是由证明予以保证的，其基础和可靠性则依赖于语言知识和 规则。”社会建构主义的核心是数学本质的生成。而对于数学本质的生成，社会 建构主义则是采纳了建构主义心理学的观点，强调个体在数学知识增长的过程中 能发挥重要的作用，认为数学知识是从个体通过个人创造开始，通过发表得到社 会认可承认而形成客观知识，而在数学学习过程中客观知识被个体内化和再建 构，从而形成个体新的主观认识。因此数学知识就是在主观知识和客观知识的不 断循环中变化和发展的( 王幼军，2 0 0 8 ) 。 欧内斯特提出的社会建构理论不仅关注数学知识的本质、起源，更加注重数 学知识的产生，强调社会、文化对数学知识产生的影响。为此，社会建构主义提 出数学教育不仅在于传授静态的、确定性的知识，更在于培养有判断能力、有责 任心的公民。另外，社会建构理论通过对数学学习、数学知识的传播予以明确的 关注，从而促使数学家更容易进行创造性的研究。 以上是关于哲学层面的数学观，接下来我们讨论个体发生层面的数学观，主 要包括亚历山大洛夫的数学观、波利亚的解题数学观、弗赖登塔尔的再创造数学 观和皮亚杰的发生认识数学观。 9 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 2 1 2 个体发生视野中的数学观 2 1 2 1 亚历山大洛夫的数学观 苏联数学家亚历山大洛夫从唯物主义辩证法出发认为数学是反映现实世界 的，它产生于人们的实际需要，它的初始概念和原理的建立是以经验为基础的长 期历史发展的结果。数学是以确定的完全现实的材料作为自己的对象，但在考察 这些对象时完全舍弃其具体内容和质的特点。数学研究的不仅是直接从现实世界 抽象出来的量的关系和空间形式，而且还研究那些在数学内部，以已形成的数学 概念和理论为基础，定义出来的关系和形式。亚历山大洛夫还认为数学具有抽象 性、精确性和应用广泛性，并总结了数学的发展规律。 亚历山大洛夫认为数学不是任何一个历史时代、任何一个民族的产物，它是 好几个时代的产物，许多世纪的人们工作的产物，强调社会实践对数学产生的影 响，认为社会实践能够向数学提出新的问题，刺激数学的发展，并且能够验证数 学结论的正确性。同时，在数学对象上，数学是以现实世界的形式和关系作为自 己的对象，但为了在纯粹形态上来研究这些形式和关系，必须把它们同它们的内 容完全割裂开来，但是数学的形式和关系不能绝对地同内容无关( 亚历山大洛夫， 2 0 0 1 ) 。 亚历山大洛夫在数学它的内容、方法和意义中为人们论述了数学的 内容、方法和意义，并揭示数学的本质。他提出的数学的抽象性、精确性和应用 广泛性三大特点更是得到广泛认同。 2 1 2 2 波利亚的数学观 美籍匈牙利裔数学家乔治波利亚在其怎样解题、数学与猜想、数学 的发现对解题的理解、研究和讲授等著作中提出自己关于数学解题及数学 猜想发现的数学思想。波利亚认为教育的根本宗旨是教会年轻人如何去思考，认 为“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识 。波利 亚认为数学学科中的能力是“解决问题的才智我们所指的问题，不仅仅是寻 常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神 ， 并认为“解题 是培养学生数学才能和让学生学会思考的一种手段和途径。为此， 波利亚通过认真分析人们解决数学问题的思维过程总结出具有一般指导意义的 解题思维程序表，即著名的“怎样解题表 ( 波利亚，2 0 0 2 ) 。 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 波利亚非常重视解题，说“中学数学的首要任务就是加强解题的训练”，通 过研究解题方法从而看到“处于发现过程中的数学”。但相反的，波利亚并不赞 同“题海战术 ，他主张学生通过解答一个有意义但又不是很复杂的题目来深入 发掘这个题目的各个方面。因此，波利亚同时强调数学离不开猜想，认为“在数 学的数学中必须有猜想的地位，教学必须为发明作准备，或至少给一点发明的尝 试 。为此，波利亚提出合情推理，即包括观察、归纳、类比、实验、联想、猜 测、矫正与调控等方法的推理模式( 波利亚，1 9 8 4 ) 。 波利亚关于数学的教学方法方面提出了教学十戒，反对教师照本宣科式的讲 授方法，他希望数学教学能通过具有启发性的问旬、提示，开启和推动思维的发 展，从而展示解法的想出和发现过程。而在数学学习方面，波利亚则提出了学习 三原则，指出学生应该在给定的条件下尽量多的自己去发现要学习的材料，并 要对所学的材料能产生兴趣和在学习活动中找到兴趣，从而循序渐进的展开学 习。 2 1 2 3 弗赖登塔尔的数学观 荷兰籍数学家和数学教育家弗莱登塔尔通过长期地指导儿童学习和考察儿 童的学习和认识过程从而提出自己的数学教学思想。弗莱登塔尔在其作为教育 任务的数学和数学教育再探在中国的讲学两书中认为数学最主要的特 征是其必然性，也就是一个人所确信的东西。弗赖登塔尔认为作为教育任务的数 学是来源于普通常识。1 + 1 = 2 ，正方形的面积等于边长的平方这些是普通常识， 感觉铁比木冷，大球比小球落得快，这些也是普通常识。而数学则是系统化和组 织化的普通常识。有些普通常识如1 + 1 = 2 是必然的，是可靠的，而有些普通常识 如感觉铁比木冷则会使人迷惑。因此，普通常识因为会受到自然法则等因素影响 因而并不是基本的必然性，不是必然性最充分和最可靠的根源。普通常识要成为 数学需要通过提炼、组织而结合成规律( 如加法的交换律) 。这些规律在高一层 次里又再一次成为常识，然后再一次被提炼、组织成新规律，新的规律又成为新 的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷，从而形成数学的等级体系( 弗赖登 塔尔，1 9 9 5 ) 。 在数学学习方面，弗赖登塔尔强调学习数学的唯一正确方法是实行“再创 造，也就是由学生本人把要学的东西自己发现和创造出来，只有通过自己的再 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 创造所获得的知识才能够真正被自己掌握。在数学教学方面，弗赖登塔尔同样反 对教师照本宣科式的向学生灌输现成的知识，认为教师的任务是引导和帮助学生 对所学的东西进行再创造。弗赖登塔尔说“与其说让学生学习公理体系，不如让 学生学习形式化。一句话，与其说让学生学习数学，不如让学生学习数学化。 ( 弗赖登塔尔，1 9 9 9 ) 2 1 2 4 皮亚杰的建构主义数学观 瑞士心理学家皮亚杰从发展的角度研究认识的获得，并创立了著名的发生认 识论。传统认识论只顾及到作为结果的高级水平即成人水平的认识，忽视认识从 儿童到成人的发生与发展，与传统认识论相比，发生认识论则强调通过科学概念 的个体发生、发展来研究人的认识的可变性( 这里所指的科学概念包含两大类型： 逻辑数学的概念和对现实世界规律性的认识) 。关于知识的来源，发生认识论不 同于传统的经验论，传统的经验论认为一切知识都来源于感觉经验，是对感觉经 验进行归纳的结果；发生认识论则强调知识的来源是主客体间的相互作用，即主 体的动作或活动。皮亚杰将经验分为物理经验和逻辑一数理经验：主体通过单个 的动作如触、掷、推等获得客体的物理经验；主体通过对客体的系列的动作如排 列、交叉获得逻辑一数理经验。同时，皮亚杰又提出两种抽象：简单抽象和反省 抽象，前者是对感知获得的物理经验的抽象，后者是对逻辑一数理经验的抽象。 皮亚杰在其发生认识论中区分了两种经验和两种抽象，同时认为数学知识既 不是从客体本身抽取的自身的内容，也不是先验地形成于主体自身之中，而是对 加在客体上动作进行的协调与抽象，也就是上文所说的反省抽象。也就是说，数 学知识是对动作的进行不断反省抽象和内部协调的方式进行内化建构的产物。 ( 皮亚杰，1 9 9 7 ) 皮亚杰由此提出：全部数学都可以按照结构的建构来考虑，这种建构始终是 完全开放的。数学实质上是在认识过程中主体建构起来以容纳内容的形式的东 西，或者是主体的认知结构。用皮亚杰的一段话来概括数学的性质就是：“数学 实体已不是从我们内部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有 本体论的意义；当数学实体从一个水平转移到另一个水平是，它们的功能会不断 地改变；对这类、实体7 进行运演，反过来又成为理论研究的对象。( 皮亚杰， 1 9 9 7 ) 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 皮亚杰在其发生认识论中强调知识是在主客体的相互作用中经过不断建构 而获得的，获得知识的过程也是主体不断建构的过程；“逻辑和数学的创造者的 主体也是，并且同时是其他物质客体中的一个物质客体，它是一个物体的客体， 不仅就其机体而言，也同样就他所施加于物体的物理动作( 归类、排列次序等等) 而言。因此当他构成逻辑数学运算时，他是在扩展他作为一个物理机体进行的物 理动作。 ( 皮亚杰，1 9 8 2 ) 主体获得数学知识的过程就是一个不断建构的过程， 是一个在心理上上建构相应数学图式的过程。 为此，皮亚杰指出：“教育的最高要求应该( 使学生) 具有逻辑推理能力以 及掌握复杂抽象概念的能力 ，“智慧训练的目的是形成智慧而不是贮存记忆，是 培养出智慧的探索者，而不仅仅是博学之才。”( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 在众多数学教育者的眼中，数学普遍被看成是一种做出来的数学，重视数学 知识的获得过程，强调实践、活动在数学学习过程中的作用。为此，数学并不是 对已存数学知识的发现，而是一个发明数学知识的过程。同时，主体学习数学不 是学习已经存在的算法、规则，而是主体自己探索数学知识的一个过程。只有主 体通过自主探索，才能切身体会到作为“做出来的数学 的一个发展过程。 2 2 数学中的算法数学和思辨数学 回到文中最初的题目，对同一题目的不同解法体现出不同的数学观。解法一 体现了数学中的算法数学思想，解法二则体现了数学中的思辨数学思想。 2 2 1 数学中的算法数学 2 2 1 1 算法的定义 算法( a l g o r i t h m ) 在英文字典中的解释是：ap r o c e d u r ef o rs o l v i n ga m a t h e m a t i c a lp r o b l e m ( a so ff i n d i n gt h eg r e a t e s tc o m m o nd i v i s o r ) i na f i n i t en u m b e ro fs t e p st h a tf r e q u e n t l yi n v o l v e sr e p e t i t i o no fa no p e r a t i o n b r o a d l y ：as t e p b y s t e pp r o c e d u r ef o rs o l v i n gap r o b l e mo ra c c o m p li s h i n g s o m ee n de s p e c i a l l yb yac o m p u t e r 而我国现行大学数据库结构教材中关于 算法的描述是：“一个算法是规则的有穷集合，这些规则为解决某一特定类型问 题规定了一个运算系列。 1 3 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 另外算法有广义和狭义之分，广义的算法是指解决某一特定问题或一类同质 同型问题循序渐进的方法步骤，尤指一种为在有限步骤内解决问题而建立的可重 复应用的计算方法步骤。狭义的算法即数学领域中的算法，即利用数学工具解决 问题的算法，而且这种算法能够通过设计程序由计算机实现。 综上，算法核心思想是用于机械性地解决问题的确定程序或步骤，用算法解 决问题不需要任何“智慧”，只要照着做就可以。 2 2 1 2 算法的特性 算法具有确定性、有效性、有限性等特性。其中确定性是指算法每一步应执 行的步骤必须明确而具体，或者由规则和上一步的结果确定，而不需要计算者临 时动脑筋，给出的数值也必须是确定，不能出现一些无法确定数值的表达方式。 而有效性是指算法应有明确的步骤引导计算一步一步地进行，即每一步对于利用 算法解决问题的人或计算机来说都是可读的、可执行的，并且能够得到最终结果。 有限性是指算法应该由有限步骤组成，在有限的步骤内结束，或者是在执行了有 穷步的计算后终止，并给出计算结果。也就是说，算法的处理必须可以明确地分 解成有限多个不能再分解的步骤，算法过程仅由这些有限多个步骤组成。 算法同样具有通用性的特点。一个算法可以适用一类问题中的所有个体，而 不是只用来解决某一个具体问题( 邵光华，2 0 0 9 ) 。 2 2 1 3 算法数学思想 数学自其产生以来就形成一种清晰的形式表达，因而数学总是作为一个现成 的产品被分析。算法所展示的就是这种现成的数学。算法数学思想就是认为数学 是一个装着公式和巧妙方法的篮子，认为数学只是一套处理问题的规则。同样的， 学习数学只要掌握各种算法、规则就可以了。 在数学学习中，掌握算法是具有重要意义的，代数、微积分、概率中都有算 法，当前数学的强烈趋势就是盛行算法化。算法能使我们长时间机械地操作，避 免干扰或延缓了有洞察力的想法的干扰。算法的掌握在学习数学的过程中在多数 时候也是很有效的，他能帮助一个平庸的数学工作者用机械方法解决出那些曾经 只有像阿基米德那样的天才才能解决的问题。而且算法是可以很简单地掌握或被 教会，只要给学生可以效仿的示例就可以让他们学会算法。算法的这种有效性和 能被简单掌握的特性很容易使人们沉迷于算法学习，而忘却算法背后的本质，就 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 好比开灯关灯，人们并不需要知道开关是如何工作的，开关坏了可以由懂得原理 的人来修理。 2 2 2 数学中的思辨数学 2 2 2 1 算理的定义 与算法相对的是算理，算理是算法背后的道理，算理保证了算法的有效性， 是算法运行的依据，体现了算法背后的必然性。 2 2 2 2 算理的特性 算理作为算法背后必然性的体现，是对基本概念相互关系的规定，而这些基 本概念应该是最原始、最简单的思想规定，是无法使用其他概念去定义的概念， 同时也应是对实体的高度抽象。算理具有相容性、独立性、完备性等特性。算理 的相容性是指各个算理之间不能互相矛盾。算理的独立性是指每个算理都不能由 另外的算理通过逻辑推导的，一个算理如果可以被推导出来，就没有成为算理的 必要了。算理的完备性是指算理在自己所在的学科分支中可以推导出足够的命 题。 2 2 2 3 思辨数学思想 与算法数学相对的是思辨数学，算法数学强调对算法的掌握，思辨数学则强 调理解数学背后的必然性，也就是数学的算理，注重的是数学的公理化。所谓的 公理化是指在建构一门学科理论体系时，从尽可能少的原始概念( 不加定义的概 念，又称原名) 和一组公理出发，遵循逻辑规则，定义其他概念，演绎和推理其 他命题，从而把这门理论建成演绎系统的方法。 多数数学家都持这样的观点，数学除了作为一种现成的数学展现在人们面前 还存在一种与之相对的作为活动的数学。虽然掌握数学中的算法在很多时候是有 效的，就如房间的电灯开关、开门的钥匙一样，但当遇到更复杂的问题时，仅仅 依靠这些精简的算法是无法解决问题的。每个数学的发明的人都能很容易的接受 作为活动的数学的观点。数学的发明者通过探讨、思索、验证等一系列的活动创 造出各种算法、定理等。但他们在出版自己的创造结果时仅仅是出版他们创造的 算法、定理而很少会写到自己创造的过程。以皮亚诺创造的自然数公理体系为例， 数学归纳法在皮亚诺创造自然数公理体系的过程中占有重要地位，而多数教科书 则是颠倒过来，以皮亚诺自然数公理体系为起点，然后再把归纳法应用到具体的 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 问题上。现代数学与古代数学的不同之处就在于强调数学中思辨的因素。 2 2 3 算法数学与思辨数学的关系 在数学发展的历史上，算法曾经发挥了很大的作用。韦达的代数，笛卡尔的 解析几何，莱布尼茨的微积分等算法都在数学的发展历史中发挥着极大的推动作 用。数学的发展的历史也长期沉溺于算法之中。掌握算法能够很容易的增加人们 的自信与能力，但过度的沉迷于算法，则会使人们的思想受到束缚，只有跳出算 法的限制进行概念的革新，思维的组织，从而才能形成新的理论结构。 算法数学方便有效并容易被教会也容易掌握，但远离数学背后的必然性。思 辨数学则强调“正本清源，刨根问底 ，强调对数学背后必然性的理解。但算法 数学和思辨数学并不是对立的关系，而是一个相对的、辨证的关系。算法数学中 “算法意味着巩固，意味着由一个平台向更高点的跳跃 ，算法为更深的发掘提 高技巧。思辨可以冲破算法的僵化创造出新的产物，而“任何思辨的新生事物都 在其自身包含这算法萌芽”( 弗赖登塔尔，1 9 9 5 ) 。因此在数学教育中，数学教育 者要在算法数学和思辨数学两方面都给予学生足够的训练和培养。 2 3 对数学观的实证研究 我国数学家华罗庚曾这样描述数学应用的普遍性：“宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学 ；数学 家高斯也称数学为科学之王，正因为此，关于“数学是什么 的问题就一直是中 外研究者研究的焦点。 2 3 1 国外对数学观的研究 国外对数学观的研究由来已久，自数学产生后就一直没有停止对“数学是什 么 进行的讨论。上文提到的绝对主义、拟经验主义、社会建构主义都是对数学 观进行的研究。但由于数学观的抽象复杂性，对于数学观的测量没有一个很好的 公认的测量方式。 e r n e s t 在综合前人对数学观的研究的基础上提出了三类不同的数学观：问题 解决观、柏拉图主义观、工具主义观。问题解决观是将数学作为一个由问题推动 发展的学科，其核心不是强调数学知识而是强调十分一般