（概率论与数理统计专业论文）带单位根的季节模型的特点.pdf

摘要 如今，对单位根过程的研究已经成为当今计量经济学的主要课题之一对单位根的 检验问题已经得到了很有效的解决方法，那么当在某个频率上存在单位根时模型会有怎 样的特点呢? 本文从季节单位根模型系数出发，从三种不同的情况分析了各个频率上存 在单位根时模型的特点，包括其周期、如何消除其非平稳性等，并通过对模拟数据的作图 验证了结论同时给出了如何对参数用最小二乘方法进行估计，并构造统计量进行检验 本文还给出了参数置信椭球的求法，最后考虑到数据可能包含多个滞后项，按照b i c 准 则。给出了如何确定滞后阶的值 关键词：季节单位根；最小二乘；置信椭球；滞后阶 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h e u n i tr o o t p r o c e s s o f e c o n o m e t r i c s h a s b e c o m e o n e o f t h e m a i n t o p i c s i n s p e c t i o n o ft h eu n i tr o o tp r o b l e mh a sb e e nav e r ye f f e c t i v es o l u t i o n s ow h e nt h e r ei su n i tr o o t sa t c e r t a i nf r e q u e n c y ，w h a ta r et h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h em o d e l ? f r o ms e a s o n a lu n i tr o o tm o d e l c o e f f i c i e n t s ，t h r e ed i f f e r e n tc i r c sf r o mt h ea n a l y s i so ft h ev a r i o u sf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c so ft h e m o d e la r eg i v e nt h e r e i n c l u d i n gi t sc y c l e ，h o wt ob e c o m es m o o t h l ya n ds oo n t h e nt h r o u g h t h ep i c t u r eo ft h es i m u l a t i o nd a t a ，w ec o n f i r mt h ec o n c l u s i o n t h ep a p e ra l s og i v e soh o wt o u s et h el e a s t - s q u a r e sm e t h o d st oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r sa n dc o n s t r u c ts t a t i s t i c st ot e s t t h e p a p e ra l s og i v e sa nc o n f i d e n c ee l l i p s o i do ft h ep a r a m e t e r s f i n a l l y , c o n s i d e r i n gt h ef a c tt h a t d a t a sm a yh a v ei n c l u d e dan u m b e ro fi t e m sb a c k w a r d ，a c c o r d i n gt ob i cc r i t e r i o n ，w eg i v e sh o w t od e t e r m i n et h el a go r d e r k e y w o r d s ： s e a s o n a lu n i tr o o t s ；l e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n ；c o n f i d e n c ee l l i p s o i d ；l a g o r d e r i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：画盈 指导教师签名： 日期：瑚；二_ 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 丝2 乙。1 。l 。 电话： 邮编； 引言 经济学中许多时间序列都具有非平稳的特征，单位根过程是最常见的非平稳过程之 一由于单位根过程在现代金融学宏观经济学的理论和实践中具有广泛的应用。因此， 对它的研究成为当今计量经济学的主要课题之一 另一方面，在许多实际问题中，数据都具有明显的周期性变化规律，一般情况下，周 期性是由于季节变化或其它的物理因素所致数据序列的周期性变化规律是由于季节变 化而导致的我们称之为季节性序列许多经济指标的数据都表现出季节规律性，如国际 航空公司每季度总客运数、建筑施工活动在冬季的月份中减少等利用季节性序列建立 的模型称之为季节性模型，在季节性模型中，一个变量同它上一年同一季度的值的关系 可能比它同前一季度的值的相关性更为密切季节性是金融时间序列的重要特征之一 这样，综合以上两个因素，考虑季节单位根过程是十分必要的尤其自上世纪8 0 年 代以来，随着d i c k e y 等人对普通的一阶单位根检验理论的完备，季节单位根的研究受到 人们更为广泛的关注 首先给出单位根过程的定义； 定义1 1 】设 m ，t = 1 ，2 ，) 为平稳过程，对于模型t 轨= p 轨一l + m ；t = 1 ，2 ， 如果满足：p = 1 ，则称随机过程m ，t = 1 ，2 ， 是一单位根过程 用“”表示一阶差分，则上述单位根过程为： a y t 。m 所以单位根过程是刻画时间序列增量的过程在单位根过程中，时间序列的增量是平稳 的 单位根检验的方法很多，大部分是以非平稳为零假设，如d f 检验，a d f 检验，p p 检验等；也包括以平稳为零假设的检验，如k p s s 检验下面以不含常数和趋势项的回归 模型为例。说明几种常见的检验方法 ( 一) d i c k e y - f t t u e r 检验( 简称d f 检验) d f 检验是d i c k e y 和f 、i l l e r 于1 9 7 9 年提出的。是最常用的检验方法之一 对于模型： 机= p 玑一l + ， 其中一n ( o ，6 - 2 ) ，是独立同分布序列用o l s 法来估计参数n 得 y t y t l p = - 9 l - = 2 考虑假设检验t 1 - 1 0 ：p 2 1 s h l ：p 1 ， p = 1 表示数据生成过程是单位根过程；p 1 表示数据生成过程是平稳a r ( 1 ) 过程。 估计出p 和它的标准差，构造如下统计量进行假设检验： 丁：掣 d 已经证明，这个统计量的极限分布是标准的w i e n e r 过程的泛函，用m o n t ec a r l o 方法可 以模拟统计量的经验分位数，从而进行假设检验临界值表见f u l l e r ( 1 9 7 6 ) 第3 7 3 页 ( 二) a d f 检验 在d f 检验中，有一个问题无法解决，即数据可能包括不止一个滞后项，如果实际 数据生成过程是a r ( p ) 模型，或者误差项存在相关性时，用d f 检验估计出的p 及其标 准差是不准确的，为解决此问题，d i c k e y 和f u l l e r 又提出了扩展的d f 检验( a u g m e n t e d d i c k e y - f u l l e r 检验) 在一个a r ( p ) 过程中检验是否存在单位根算子1 - l ，即a d f 检验 假设数据服从a r ( p ) 过程，检验是否具有单位根，对立假设是平稳过程 y t = l p l 鞔一i + + 怖y t p + e t ， ( 1 一妒1 三一唧l 9 ) 挑= 乱， 变换成差分形式如下s 魄= 懒一l + j 3 a y , 一i + i = 1 在此模型中做如下检验- h o ：- y 20 口8 h 1 ：1 0 统计量和d f 检验相同：t 2 云 ( 三) p h i u i p s - p e r r o n 检验( 简称p p 检验，于1 9 8 8 年提出) 当模型中的误差项存在自相关性时，a d f 检验是通过附加被检验序列的差分滞后变 量完善检验p p 检验是通过附加一个修正因子完善单位根检验 模型为t 2 a y t = 恤一1 + b h o ：1 ；0v 8 嚣l ：1 0 用修正后的t 统计量z f 作为统计量， 高打一 ；( 矿以1 ) 一 y o ) l 州坍 聊厮) ， 其中，矿( 1 ) 。加+ 2 薹是残差自协方差函数的和；睇。高若解是残差方差的 估计量 ( 四) 季节单位根的检验 有些时间序列具有明显的季节性特点，又没有经过季节调整，对这样的数据可以使 用下面的检验方法t y t = o z o + o q d u + a 2 d 2 t + n 3 d 3 t + a 4 d 4 t + 氨， 巍= 诹一1 + 琏蟊一件l + f t 凰：7 = o 单位根过程 s 矾：7 o 平稳过程 其中，功。是季节开关变量，当时间t 落入第j 季时，它为1 ，否则为0 即。 驴 ：江褂裳1 2 4 这里的d 表示一年中可观测的季节的数目，对于季度数据就有d = 4 ，对于月份数据 就有d ：1 2 因为是季度数据。故有4 个开关变量检验方法同a d f 检验( 见参考文献 1 1 6 1 ) ( h e g y ( h e l l e b e r g - e n g l e - g r a n g e r y o o ) 检验( 1 9 9 0 ) ) h e l l e b e r g 等人1 9 9 0 年提出的检验方法依赖于季节单位根算子l 一工4 的分解( 考虑了 d = 4 的情况) ，从谱分析的角度考虑不同的频率上是否具有单位根；s m i t h 和t a y l o r ( t 9 9 8 ) 抱以上检验方法推广到任意周期d 上；p e t e r 和t a y l o r ( 2 0 0 1 ) 研究了在一个高阶自回归过 程中检验季节单位根；以上检验方法中统计量的临界值都是通过m o n t ec a r l o 模拟得到 的，h a r v e y 等( 2 0 0 5 ) 用响应面回归提出了一种可以简单应用的方法，来获得任意显著水 平下统计量的临界值，这个结果使我们不用借助于m o n t ec a r l o 模拟就可以得到适当的临 界值 通过以上方法，我们可以检验出模型中是否含有单位根那么当原假设成立即有单 位根时，模型又有怎样的特点呢? 本文主要研究在季节模型中各个频率上存在单位根时 模型的特点，并说明如何消除季节时间序列中的非平稳性 3 本文共分为四个部分，第一部分给出本文用到的重要定理第二部分从三种情况讨 论了模型各自的特点。以及如何消除模型的非平稳性，并通过计算机模拟数据作图加以 验证，之后对参数用最t b - - - 乘法进行估计，构造统计量进行检验第三部分研究了参数置 信椭球的求法以及模型包含多个滞后项时，如何用b i c 准则确定滞后阶k 的值第四部 分得出结论及今后改进的方向 4 第一章预备知识 1 1 理论基础 本文主要考虑如下季节模型t d ( ) 姚= 缸， ( 1 1 ) 其中，a ( l ) = 1 一啦是关于l 的四次多项式；缸是独立同分布序列，白一( o ，一) = 1 为了在此模型下检验单位根是否存在，霉要应用下面的命题对自回归多项式进行变 形： 命题1 2 】设多项式妒( b ) ；1 一啦分( n 可以取有限值也可以为无穷大) 口l ，为一 歹u 非零的致，且互不相等，且以鲫 m ，则妒旧) 可以分解成如下形式， _ p ( b ) = a k ( b ) 6 k ( b ) + ( b ) 妒“( b ) ， ( 1 2 ) k = l 其中h 是常数；妒“是个多项式；以( 日) z1 一去b ；( b ) 2 里以( 聊 证明见参考文献f 1 6 】 将命题中的形式继续变形，( 1 2 ) 式可化为 妒( b ) = i k ac b ) 1 6 k ( b ) + a ( b ) v “( b ) 4 - ( b ) - a ( b ) k = 乏：k ( 口) ( 1 6 k ( b ) ) 6 k ( b ) + ( 口) 妒( b )( 1 3 ) 其中矿( b ) = 妒“( b ) + 儿 将( 1 3 ) 式应用于模型( 1 1 ) 中的多项式( l ) 中，碍t n ( l ) = a l 工( 1 + l ) o + 工2 ) + a 2 ( 一l ) ( 1 一工) ( 1 + 工2 ) + 抽( l ) ( 1 一工) ( 1 + l ) o i l ) + a 4 ( i l ) o 一工) ( 1 + 助( 1 + i 工) + ( 1 一上4 ) a ( l ) 为实系数多项式，士i 为共轭复根。因此a 3 沁成对出现 令f i ；一a l ，砣= a 2 ，2 a 3 = 一霄3 + i 川，2 h = 一”3 一t ”4 ，代入上式。得： o ( l ) = ( 1 一l 4 ) 一，r l l ( 1 + l + l 2 + 工3 ) 一霄2 ( 一l ) ( 1 一l + 工2 一驴) 一( 霄4 + 7 r 3 l ) ( 一l ) o l 2 ) 5 = ( 1 一l 4 ) 一丌i l ( 1 + l + l 2 + l 3 ) + 7 r 2 工( 1 一l + l 2 一工3 ) + 丌3 l 2 ( 1 一l 2 ) + 7 r 4 l ( 1 一l 2 ) 代入( 1 , 1 ) 式，模型变为： a 4 y t = 霄l 掣l ，t 一1 + 丌驰t 一1 + 7 r 3 y 3 t 一2 + _ r 4 y 3 ，t 一1 + 矗， 其中4 为一阶季节差分算子，a 4 y $ ；( 1 一l 4 ) 驰= 矾一y t - 4 iy x ，f = ( 1 + l + l 2 + l 3 ) 玑 y 2 ，= 一( 1 一l + l 2 一l 3 ) 轨 1y 3 ，=- ( 1 一l 2 ) 叭 1 一l 4 = ( 1 一l ) ( 1 + l ) ( 1 一i l ) ( 1 + i l ) 在士1 ，土t 上有零根 由( 1 3 ) 式，若l p ( 口) 在以上有解，当且仅当相应的h = 0 因此，检验模型是否存 在单位根等价于检验参数k 是否为0 。即以是否为0 1 2k 阶线性差分方程的解 本文在已有的单位根过程的假设检验基础上，着重从模型特征方程通解的形式分析 当某个几= 0 ，即某个频率上存在单位根时模型的特点，因此在本节中我们给出一般k 阶 线性差分方程的解 对于一般方程： o ) h = 0 ，( 1 , 4 ) 差分算子a ( l ) 可以写为， ， o ( l ) = ( 1 一再1 工) “， ；= l 其中矗( i = 1 ，2 ，j ) ，是o t ( z ) 的相异零点；r l 是6 的重数；t n f 是差分方程( 1 4 ) 的 k 个解( n = 0 ，1 ，n 一1 ；i = 1 ，j ) 事实上， a ( 己) 矿f 。= n ( 1 一f f l b ) 一( 1 一f 1 口) 一护_ = o o 士t 可以证明，这些解是线性无关的因此，( 1 4 ) 式的通解是； jr | - 1 h t = q 。t “ ( 1 5 ) t = 0n = 0 为使通解是实的，则相应于一对共轭复根的系数本身必须是复共轭的特别地，如果 6 ( 白，再) 是o ( ：) 的一对共轭复根，且白= d e 印( 呜) 。则相应于( 1 5 ) 式中的各项为 q 。p f + 矿f ， n = 0n 穹0 即t r t - 1 2 【r e ( 龟n ) ( 以t ) 4 - i m ( c x n ) s i n ( o i t ) t ”d 一， n = o 等价于： t ”d 。c o s ( o | t + ) ， n = o 其中，可由初始条件确定 7 第二章模型参数的意义、估计及检验 本章主要考虑模型： a 4 y t = r l y l t 一1 + 7 r 2 y 2 ，t 一1 + ，r 3 9 3 ，t 一2 + i r 4 y 3 t 一1 + # ， 其中4 为一阶季节差分算子，a 4 y t ；( 1 一l 4 ) y t = y t y t 一4 1 暂1 t =( 1 + l + 2 + l 3 ) 讥 抛，t = 一( 1 一l + l 2 一l 3 ) 佻 iy 3 ，t = 一( 1 一l 2 ) 肌 以下分三种情况讨论模型的特点，参数的估计与检验t 情况一 ”l = 丌2 = 7 f 3 = 霄4 = 0 ( 见2 1 节) ； 情况二：”2 一l r 3 7 r 4 0 ( 见2 2 节) ； 情况三他= 丌4 = 0 ( 见2 3 节) 2 1 情况一时模型的特点、参数的估计与检验 ( 一) ，模型的特点 当口1 = 他一7 3 l r 40 时，模型变为： a 4 y t 2e t ； 即， 龇= y t 一4 + 缸 即作用一阶季节差分算子1 一l 4 后，序列妣) 平稳。恤) 为季节单位根过程，数据呈现 出季节性，季节周期为4 可以把y t 分解为来自不同的季节的观测值令y t = 玑( n - 1 ) s = 1 ，2 ，3 4 它表示第 n 年第s 季的观测值这里4 i “与前期值“m l 无关，而与其前一年该季节值y 4 ( i _ 1 ) 有关 对数据协 作图如下t 8 从图中可看出，序列非平稳，数据恤 呈现出季节性，周期为4 第t 时刻的观测值 班与它前期观测值y t 一1 无关，面与挑一4 有关 令； 对数据f k ) 作图如下 m = 4 执= 玑一轨一4 9 从图中看出，序列 k ) 平稳，即作用一阶季节差分算子后，序列 a 4 y t 平稳，与前 面分析一致 ( 二) 、参数的估计与检验( 估计m ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 并检验) 模型为： 4 挑= r l y l 一1 + 丌2 抛一1 + 7 r 3 y 3 。t 一24 - 7 r 4 y 3 t 一1 + 矗 即， y = x 卢+ e ， ，4 y l 、 ，：i ，t 抛i ， 卢： k 。j弘阱 x = ( x 1 ，配，x 3 ，x 4 ) 其中x 1 = ( y l ，o ，y l 。l ，y 1 9 9 ) 7 = ( 0 ，”1 1 ，口1 ，) 。 x 2 = ( y 2 o ，2 1 ，耽，) = ( 0 ，抛1 ，抛，) 7 ， x s = ( y s 一l ，蛐o ，驰9 8 ) = ( 0 ，0 ，y s 1 ，始9 8 ) 7 ， 1 0 p = ( 萎) = c x 7 x ，一1 x 7 y = ( ；i 薹) 2 2 情况二时模型的特点、参数的估计与检验 ( 一) 、模型的特点： 当qr2一if3。if4 0 时，模型变为t a 4 y t 。”l 1 t 一1 + 矗， ( 1 一l 4 ) 批= 丌l ( 1 + l + l 2 + l 3 ) 玑+ e t ， 讥一耽一4 = 丌l ( y t 一1 + y t 一2 + y t 一3 + y t 一4 ) + 缸 其特征方程为： 卫4 1 一丌l 卫3 一霄1 一一7 r 1 卫一仃l ；0 ， ( z 2 + 1 ) 0 + 1 ) 扛一口1 1 ) = 0 ， 有三个单位根：x l ；一1 ；。2 = ；。3 = 一i ，另一甲稳解：z = 1 + 1 ， 解得一1 口1 0 因此，( 1 + l + l 2 + ) 肌= 0 的通解为； y t = c l ( 一1 ) 一。+ c 2 c o s ( 巩t + 6 ) ， 。= 。8 i + 28 m i = 2 - 因此轨= c l ( 一1 ) 一。+ 也c o s ( ；+ 6 ) ， a 4 y t 2 y t y t 一4 - c i ( 一1 ) 一。+ c a c o s ( i ”t + b ) - c i ( 一1 ) 卅4 一qc o s ( ；+ 2 1 r + b ) = 0 y t 墨y t - 4 乳一l = c i ( 一1 ) 一。+ 1 + 固c o s ；( 亡一1 ) + 6 1 = 一c l ( 一1 ) 一。+ c 2s i n ( ；t + 6 ) ， 驰一2 ；c 1 ( 一1 ) 一件2 + 啦c o b 【；( t 一2 ) + h i = c l ( 一1 ) 一晚c o s ( ；+ 6 ) ， 执一3 = c 1 ( 一1 ) 一”3 + c 2 。【；o 一3 ) + b l - - c 1 ( 一1 ) 一。8 i n ( ；f + 6 ) ， 舭- c l ( 一1 ) 州+ c 2 c 0 8 一4 ) + b l - c l ( 一1 ) 一+ c 2e o s ( ”i t + b ) 可以看出，周期t = 4 e l ，c 2 、b 可由初始条件确定， 1 l 作图如下， 6 6 6嘲目瞄 晚睨晚 + 一 一 q 吨 q ，、l 由图可见，协) 非平稳，具有周期性，周期为4 ，其特点与通解的图像特点类似，只 是加了一个扰动项 令： 施= ( 1 + l + l 2 + l 3 ) 挑= 虮+ y 一l + y t 一2 + y t 一3 对数据 作图如下； 1 4 由图可见， ) 是平稳的，即对y t 作了个滑动平均后，序列变得平稳，亦即 ( 1 + l + l 2 + 工3 ) y d 是平稳的 ( 二) 、参数的估计与检验( 估计几( i = 2 ，3 ，4 ) 并检验) 思路与2 1 节相同 模拟过程： 1 模拟产生数据： 从n ( 0 ，1 ) 中随机抽取1 0 0 个数l ，e 1 0 0 ；从( - 1 。0 ) 均匀分布中随机抽取一个数作 为 i ，根据5 1 ，e l o o ， l 的值计算出y l ，y l o o ，得到伽) 的1 0 0 个观测值 2 参数的估计t 按照2 1 节中的方法，估计出参数卢的值： 3 检验 d = ，一0 1 0 4 0 、 = ( x x ) - i x y - - _ 嚣1 o 0 2 5 1 h o ：? r 2 = 丌3 = 以= 0 8 匝：m 0 ，j 2 ，3 ，4 ) = v a r c 自= c 硒1 = ( 薹薹薹茎) 取的后三行三列构成矩阵e t ，z = ( 蒌薹圣) ， 如憎 乃= c 赴，亓3 ，乱，i 1 ( 篓) = t 。t s 2 3 情况三时模型的特点、参数的估计与检验 ( - - ) 、模型的特点。 l r 3 = 丌4 = 0 时，模型变为： 、4 y t = 丌1 妒l ，t 一1 + 丌2 抛t 一1 + 岛， ( 1 一工4 ) 矶= 丌l ( 1 + l4 - l 24 - l s ) y t 一砣( 1 一l4 - l 2 一工3 ) 玑一1 + 矗， 舭一玑一4 = 丌1 ( 轨一1 + 轨一2 + 玑一3 + 轨一4 ) 一心( 轨一1 一玑一2 + 撕一3 1 6 一y t 一4 ) + 旬 其特征方程为： 一一1 7 1 1 一一 r l 妒一丌l 。一丌l + 丌2 2 3 一丌2 一+ 丌2 z 一他= 0 ， 一一1 一( 丌l 一霄2 ) 护一( 仃1 + 丌2 ) 霉。一( i 1 一t r 2 ) z 一( 霄+ 霄2 ) = 0 ， ( + 1 ) 酽一( 几一北净一( 百1 + 砚+ 1 ) j = o 方程有两个单位根士f ，t ；e 碍 通解为 挑：口c o s ( 要t + 6 ) 其中o ，b 可由初始条件确定： f ncos6=0 i n s i n b = y l 解得： jb = l 。= 咖。 挑= 一9 l c 0 8 i + i 7 1 】= l8 i n ；， 肌一l = 口1b i n 【；o 一1 ) 】= 一l “i 7 1 t ， 帅= 讥咖印一2 ) 】= 咄s i n 争， 肌一3 = lc m 【；o 一3 ) 】= 1 “i 7 r t ， = 讥s m 争一4 ) 】- m 8 i n 由解的形式可知， ( 1 ) 周期t = 4 ， ( 2 ) 时间阊隔为1 时，解的值互为相反数； ( 3 ) 解的函数图像成正弦形式； ( 4 ) t 为偶数时。y t 在0 点上下波动 将通解形式作图如下， 1 7 对数据协 作图如下 由图可见，恤) 非平稳，具有周期性。周期为4 ，其特点与通解的图像特点类似。只 是加了一个扰动项 1 8 令； 对数据t 帆) 作图如下 r n t = ( 1q - l 2 ) u t 2 轨+ y t 一2 由图可见， m t ) 是平稳的，即对玑每隔一项作一个滑动平均后，序列变得平稳，亦 即 ( 1 + 工2 m ) 是平稳的 母= -o2731 t e = w c 声，= c x 一l = u l l 口1 2 a 1 3g 1 4 1 ， 。= ( a 咖4 3 ：) ， 跏v a r ( 耄) 乃地蝴i 1 ( 耄) 一s ， 第三章置信椭球的求法和模型滞后阶的确定 3 1 置信椭球的求法 y 卢博 卢= ( 萎 e 一 卢一 _ ，e ) e = v ”( 卢) = v w 【( x 7 x ) 一1 x 7 y i = ( x x ) ， ( 声一卢) e 一1 ( 声一芦) 一x 2 ( 4 ) ， p ( ( 西一p ) e 一1 ( 声一卢) x 2 ( 4 ) ) = 1 一o l 因此。d = 舻：( 声一卢) 7 e 一1 ( 声一卢) s x 2 ( 4 ) 是一个中心在卢的置信系数为1 一a 的 置信椭球 ( 二) ，e 一( 0 ，口2 j ) ； 若e 一啊；( o ，口2 ，) ，则声一 r 4 ( 卢，( x 7 x ) 一1 ) 从而： ( 声一卢) ( x x ) 一1 ( 声一序) 一0 2 x 2 ( 4 ) 2 1 o 一 以 掘诋|；。羔 。 o o 舰她 跏 。 2 q 札札一m = x 对萨的l s 估计t 号。：妞二缅： 其中r = r ) 从而： 掣x 2 ( n 一，) 并且与声独立 于是： 垒型笺堕塑。f ( 4 ，n - r ) 4 0 o 故对v0 a 1 ，有 p ( 照塑篓幽f 4 ，( 。) ) ；1 、402 、。 因此d = 卢：( 口p ) 7 x 7 x ( 扫一口) s4 b 2f 4 ，( o ) 是口的置信系数为1 一a 的置信 椭球 3 2 模型滞后阶的确定 有时，数据可能包含多个滞后项假设数据生成过程恤 服从含单位根的k 阶自 回归过程，我们需要确定正确的滞后长度k 常用信息准则来确定模型的滞后阶，包括 a i c ，b i c 等 a i c 准则从提取出观测数据序列中的最大信息量出发，适用于a r m a 模型的检验 先框定模型阶数的最大取值范围m ( n ) ，在该范围内求t a i c ( k 0 1 = m i n k m ( n ) a i c ( k ) ， a i c ( k ) ：l o g 4 - 娑 b i c 准则是对a i c 准则的改进，a i c 准则与样本量n 有密切的关系，1 1 太大或太小 都会影响到模型的准确性，而改进后的b i c 准则就试图克服了这个缺点，使得n 在b i c 判别计算式中起到平滑作用b i c 准则函数的定义如下t b i c ( k ) = l o g 口。2 + 了k l o g n 本文考虑用b i c 准则判断模型的滞后阶 假设数据服从a r ( p ) 过程t y t = a t y , 一1 + a 2 挑一2 + a 3 轨一3 + 劬y t 4 + 岛 其中 = a l y t 一1 + 十。扣一l y t p + 1 + n 争批一p 一唧矾一p + 4 + a 引虹一升4 一 郇一1 轨一卅5 + q p - l 弘计5 一唧一2 挑呻+ 6 + 唧一2 饥一p 十6 一唧一咖呻+ 7 + o 蕾一3 舭一p + 7 + 旬 = o l 玑一l + 十( n 蕾一7 + q 卜3 ) 舭一p + 7 + ( a 事一6 + o 和一2 ) 肌一p + 6 + ( 唧一5 + 唧一1 ) 饥一p + 5 + ( 唧一4 + 唧) 挑一p + 4 一娜一3 a 4 y t p + 3 一o l p 一2 a 4 y t 一叶2 一唧一i a 4 y t p + 1 一唧4 弘口+ 岛 = a l 玑一1 + + ( q p 一1 1 + 口p 一7 + o 爷一3 ) 执一p + 1 1 + ( q p i o + a p b + o 事一2 ) 皱一舛1 8 + ( o 一9 + o 争一5 + 凸多一o 玑一，+ 9 + ( o p 一8 + 嘶卜4 + 8 p ) y t p + 8 一( 唧一7 + 唧一3 ) a 4 y t 一舛7 一( 唧一b + 吩一2 ) a 4 1 j t 一舛6 一 ( 郇一5 + 唧一i ) a 4 y t 一升5 一( 唧一4 + 唧) 4 轨一一4 一唧一3 4 y t p + 3 一o p 一2 4 纨一p + 2 一唧一t 4 y t p + l a p a 4 y t p + 缸 依次类推，得 4 矾= 丌1 1 t i + 匏抛，f 一1 + ，r 3 y 3 ，t 一2 + ，t 4 y 3 , z i p - 4 + 协4 _ t + 魂 = 1 记= p 一4 ，模型变为 ( a 1 + n 2 + 口3 + 0 4 一l p l 一忱一l p 3 一似一1 ) 4 ( d 2 一0 1 + 0 4 一蜘+ l p l l p 2 + 仇一似一t ) 4 ( n 4 一。咯+ ，2 一粗一1 ) 2 ( n 3 一f l l + 妒1 一妒z ) 2 q + q + 4 + + 8 + + 甚p 1 口j + 4 n 1 ) 4 玑= 7 r i i ，t l + 丌2 弛，t 一1 + 舶暑1 3 ，t 一2 + 霄1 螂，t 一1 k + 协4 玑。+ 岛， j = l 确定模型滞后阶只需确k 的值 首先给出一个较长的滞后长度b ，足以包括真正的滞后阶因为是季节性数据，取 = 8 为了简便起见，不妨令7 1 - i = 砘= 砧= 7 f 4 = 0 从n ( 0 ，1 ) 中随机产生1 0 0 个数1 ，5 i o o ；从l ，1 ) 均匀分布中随机产生8 个数作为 1 ，h = = = = = 仇他部们似 记轨= 0 ，0 o ) 这样我们就可以得到 纨) 的1 0 0 个观测值y t ，y l o o 8 a a y t = o j a a y t j 4 - e t 。 卜拈眨 b i c ( 8 ) = l o g + ( 8 4 4 y s a 4 y g s = ( x 7 x ) 一1 x 7 y ， b i c ( 7 ) ，依次类推，这八个模型的b i c 值列出如下 7 ，重复以上步骤，得到 !i ! ! ! b i cj 一3 2 5 9 3 3 5 4 3 5 5 1 3 5 6 8 3 4 9 2 - 3 4 5 5 3 3 4 2 3 3 2 6 从表中可以看出，当k = 4 时，b i c 值最小，根据b i c 准则，选择的模型滞后阶k 应 为4 模型为 a a y t = 0 0 1 8 6 a a y t 一1 + 0 0 2 2 3 1 a 4 y t 一2 + 0 1 2 5 8 a a y t 一3 0 0 4 5 9 a 4 y t 一4 - 4 - 鼠 经检验，模型显著 竺彬 的?。咖 ，ji_iil_ili-il 、， n忱；啪吼忱；懈 ，l，f，i、 = = p 卢 功 令 m 再西直 。似岭 啦 个赫 = w 砖 唱 结论 本文在已有的单位根假设检验基础上，通过推导模型特征方程通解的形式，分三种 情况( 四个参数为o 、三个参数为0 、两个参数为o ) 分析了带单位根的季节模型的特点 三种情况下，模型的周期均为4 在如何消除非平稳性上有所不同； ( 1 ) 当”1 = 丌2 = 丌3 = - n - 4 = 0 时，对数据进行一次季节差分即可得到平稳序列，即 轨一挑一4 平稳； ( 2 ) 当, n - 2 = 7 1 3 = 丌4 = 0 时，对数据作一次滑动平均即可得到平稳序列，即伽+ 9 t l + 挑一2 + 虮一3 ) 平稳； ( 3 ) 当 k 3 = , r 4 ；0 时，每隔个数据作一次滑动平均即可得到平稳序列，即 虮+ 矾一2 ) 平稳 同时通过对计算机模拟数据的作图验证了上面结论，并对参数用最d - - - - 乘法进行了 估计和检验 在求参数的置信椭球时，我们发现，误差项e 的方差不同，得到的置信椭球也不同t ( 1 ) 当e 一( o ，) 时，参数的置信椭球为t d = 卢：( 声一卢) 7 x 7 x ( 声一卢) 兰x 2 ( 4 ) ) ( 2 ) 当e i v ( o ，矿j ) 时，参数的置信椭球为t d = 口：( p 一卢) x 7 x ( 西一p ) 4 a 2 五m 一，( 口) 在完成本论文的过程中。有一些想法未能及时进行试验或尝试，以后可以继续进行 如下的工作和研究t ( 1 ) 考虑在模型在加入常数项和季节趋势项后，模型的特点又发生了怎样的变化 ( 2 ) 研究该问题在金融时间序列等领域中的应用 参考文献 1l 期p e t e r ，j b r o c k w e l la n dr i c h a r d ，a d o 们8 著，田铮译( 2 s o t ) ，时间序列的理论与方法北京t 高 等教育出版社；海德堡；施普秫格出版社 f 2 j 茆诗松等著( 1 9 9 8 ，7 ) ，高等敷理统计北京：高等教育出版社；海德堡：旌普林格出版社 3 】壬松桂等编著( 2 0 0 4 ) ，线性模型引论北京：科学出版社 4 】r u e y , st s a r 著，潘家柱译金融时间序列分析 f 5 j 5 李东风编著统计软件教程h t t p ：w w w m a t hp k u e d u c n t e a c h e r s l i d f i n d e x h t r n l f 6 】王耀东等编著( 1 9 9 6 ) ，经济时间序列分析上海：上海财经大学出版社 【7 1 【美l 汉米尔顿等著( 1 9 6 5 ) ，时间序列分析 【8 】潘红字编著( 2 0 0 5 ) ，时间序列分析北京；对外经济贸易大学出版社 9 l 张晓峒编著( 2 0 0 1 ，1 ) ，计量经济学基础天津：南开大学出版社 f 1 0 i 肖燕婷、田铮著( 2 0 0 6 ，3 ) ，周期异方差时间序列的季节单位根检验西北工业大学硕士学位论文 【1 i 】何书无编著( 2 0 0 3 ，9 ) ，应用时间序列分析北京：北京大学出版社 1 2 1 ( 2 0 0 3 ，9 ) 时间序列分析在经济中的应用 ( 1 3 】s 陕 g c o r g e ，e p a n db o x 等著，顾岚主译( 1 9 9 7 ，9 ) ，时闻序列分析t 预测与控制北京：中国统 计出版社 1 1 4 l 吴怀宇编著( 2 0 0 4 ，1 2 ) ，时间序列分序与综合武汉；武汉大学出版杜 【1 5 】d a v i d ，i ，h a r v e ya n dd i c k ，v a n ，d j i k ( 2 0 0 6 ) ，s a m p l es i z e ，l a gd r d e ra n dc r i t i c a lv a l u e so f s e a s o r t a lu n i t r o o tt e s t sc o m p u t a t i o n a ls t a t i s t i c s d a t aa n a l y s i s5 0 ( 2 0 0 6 12 7 3 4 2 7 5 1 【1 6 jh e l l e b e r g ，e n g l er e ，g r a n g e r c w j ，y o o b s ( 1 9 9 0 ) ，s e a s o n a _ f i n t e g r a t i o na n de o i n t e g r a t i o nj x a a l o fe c o n o m e t r i c s ，4 4 ( 1 9 9 0 ) 2 1 52 3 8 【1 7 1d i c k e y , h a s z a a n d f u l l e r ( 1 9 8 4 ) ，t e s t i n g 如r u n i t r o o t s 讯s e o $ o n a l t i m es e r e s j o u r n a l o f t h e a m e r - i e a ns t a t i s t i c a la s s o c i a t i o n ，7 9 ( 1 0 8 4 ) 3 5 5 - 3 0 7 f 1 8 1j a m e s ，gm a c k i n n o na n da l f r e d a h a u ga n dl e o ，m i c h e l i s ( 1 9 9 9 ) ，n u m e r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o r 撕 d ，l i k e l i h o o dr a t i ot e s t af o rc o i n t e g r a t i o nj o u r n a lo fa p p l i e de c o n o m e t r i c s ，1 4 ( 1 9 9 9 ) 5 6 3 - 5 7 7 f 1 9 1k u m t ，r m ( 1 9 9 7 ) ，t e s i n g 。研c y c l i c a l n o n s t a t i o n a r i 坷i na u t o r e g r s i v e g m c e s s j o u r n a l o f t i m e s e r i e sa n a l y s i s ，1 8 ( 1 9 9 7 ) 1 2 3 - 1 3 5 2 0 1c h a l l ，n ha n dc z w e i ( 1 9 8 8 ) ，l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n so ，l e a s ts q u a r e e s t i m a t e so ，u n s t a b l ea u t o r g - g r e s s i v ep 1 c c ，a n n a l so fs t a t i s t i c s1 6 ，3 6 7 - 4 0 1 【2 1 】d i e k e y , d a a n dw a f u l l e r ( 1 9 7 9 ) ，d i s t r i b u t i o n0 ，t h ee s t i m a t o r s ，o ra u t o r e g m s s i v et i m es e r i e sw i t h au n i tr o o t ，j o u r n a lo ft h ea m e r i c a ns t