（应用数学专业论文）两类算子及其交换子的有界性.pdf

摘要 本文主要讨论了两类奇异积分算子及其交换子的有界性问题 第一章主要介绍了这两类算子及其交换子的一些背景知识和本文的技术路 线 第二章主要研究了满足一定条件的秒一型c a l d e r o 刀一z y g m u n d 奇异积分算子 交换子【6 ，t 】的有界性，当1 p g ，a l ( r ”) ，b el p 肌( r ”) ，o 1 ， 1 q = l p p nf t 满足秒( ，y i l o g t l d t o o 时，【6 ，t 】是从r ( ) 到口( 卜9 ) 的有 界算予 第三章主要研究了b o c h n e r - r i e s z 极大算子及极大交换子在m o r r e y 型空 间上的有界性，当1 ( n - 1 ) 2 ，l i p , 一1 见= l l q l - l l q 2 = p on ，l p i q l 属，b a 扁，0 屁 l 时，磅，。是从m 盖( r ”) 至：l jm ，q ：( r ”) 中的有界算子 第四章主要研究了b o c h n e r r i e s z 算子极大交换子在h e r z 型空间上的弱 型估计，当b b m o ( r ”) ，0 ps1 ，1 q o o 时，磋，。是从且霹1 1 q x p ( r ”) 到 形霹卜l g ) p ( r ”) 中的有界算子；当b 入卢，0 p 1 ，l g l ，q 2 一1 ) 2h0 m i n ( 6 一一1 ) 2 ，1 ) 时，磋，。是从月= 懿1 。m p ( r ”) 到 形程1 。班，( r ”) 中的有界算子 关键词：秒一型c a l d e r 0 7 刀一z y g m u n d 奇异积分算子；b o c h n e r r i e s z 算子； 交换子；m o r r e y 空间；h e r z 型h a r d y 空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ft w ot y p e so p e r a t o r sa n d t h e i rc o m m u t a t o r s c h a p t e r1i n t r o d o u c e st h eb a c k g r o u n d so ft h et w ot y p e so p e r a t o r sa n dt h e i r c o m m u t a t o r sa n dt h et e c h n i q u e so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w e s t u d yt h eb o u n d e d n e s so fp t y p ec a l d e r o n - z y g m u n ds i n g u l a r i n t e g r a lc o m m u t a t o rs a t i s f y i n gc e r t a i nc o n d i t i o n w h e n 1 p q ， 4fr 一1 ， b 三魏，( 月”) ，0 f l l ，1 q = l p 一疗a n d g s ( t ) t i l o g t d t o o ，【6 ，丁】i s b o u n d e df r o m r ( ) i n t o l q ( 1 。9 ) i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s so fm a x i m a lb o c h n e r - r i e s z o p e r a t o ra n d m a x i m a lc o m m u t a t o ro nm o r r e y t y p es p a c e s w h e n l ( 刀一1 ) 2 ，l p , - 1 p 2 = 1 q i 一1 q 2 = p o n ，1 a q l 形屁，6 人岛a n d0 p o 1 ，磋，i sb o u n d e df r o m m 三( r ”) i n t o m q ( r ”) i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s ht h ew e a kt y p ee s t i m a t e sf o rm a x i m a lc o n u n u t a t o r so f t h eb o c h n e r - r i e s zo p e r a t o ro nh e r z t y p es p a c e s w h e n b b m o ( r 一) ，0 p 1 ， 1 q o o ，b 。b ，。 i sb o u n d e df r o m 剧宅( 1 叫n ，( 尺”) i n t o 畹1 - l 叮) - p ( r ”) ： w h e nb 人，o p 1 ，1 q l ，q 2 ( ，2 1 ) 2 ，a n d0 m i n ( 万一( 刀一1 ) 2 ，1 ) ，磋，。i sb o u n d e df r o m h l 0 吼 ( 1 一抛m ，( 尺”) i n t o 嘲1 一m ，p ( 灭一) k e yw o r d s ：秒一t y p ec a l d e r o n - z y g m u n d s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r ；b o c h n e r r i e s z o p e r a t o r ；c o m m u t a t o r ；m o r r e ys p a c e s ；h e r z t y p eh a r d ys p a c e i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年 月 日 两类算子及其交换子的有界性 第1 章引言 1 1 c - z 奇异积分算子及其交换子 c a l d e r 0 7 n z y g m u n d 奇异积分算子，自2 0 世纪5 0 年代由a p c a l d e r o n 和 a z y g m u n d 提出以来( 见 2 ) ，便成了近代调和分析理论中最为活跃的课题之一， 由此形成并发展起来的许多方法和技巧，已被广泛应用于算子有界性的研究自 5 0 年代至今，奇异积分算子的发展已经历了三代( 见 2 5 ) ，第一代是主值卷积型， 第二代是经典伪微分算子，第三代是8 0 年代以后，受l i p 曲线上的c a u c h y 积分算 予等影响而产生的 交换子是一类与奇异积分算子相关联的重要算子，由于它与偏微分方程， c a u c h y 型积分等问题有着密切的联系，而且又是调和分析中的第一个非卷积型 的c - z 算子所以对这类算子的研究是近代调和分析的热点问题之一，关于这一 课题的早期的著名文献有 4 7 和 1 5 等 以丁表示c z 奇异积分算子，即 可( 茗) = p u l 。k ( x y ) f ( y ) d y 其中核函数k ( z ) 满足 ( 1 ) 当x y 时，l k ( x - y ) l c b y r ； ( 2 ) 当2 l y - z i i x - - z l 时， i 七( x y ) 一七( x z ) l - c l y z r l x z r + 占，v0 8 1 我们可以把t 与函数b 生成的交换子分成两种类型： 第一类可以如下来定义： p 7 叫- v l k ( x - y ) l 竿半卜) a y 它的直接背景来自于对沿l i p s c h i t z 曲线的c a u c h y 积分的研究( 参见文献 6 ， 5 ， 2 8 等) 由于a p c a l d e r 0 7 刀在这方面作出的突出贡献( 参见文献 3 ， 4 ， 5 ， 6 等) ，我们把它称为c a l d e r o n 型交换子 第二类被称为c o i f m a n - r o c h b e r g - w e i s s 型交换子( 参见文献 1 0 ) ，它是如 下定义的： 江西师范大学硕十学位论文 t k “b f ( x ) = p 1 ，上。k ( x - y ) 【6 ( x ) 一6 ( y ) 】”f ( y ) d y 1 9 7 6 年，借助于这种交换子，r r c o i f m a n ，r r o c h b e r g 和g w e i s s 把 单位圆盘上的h a r d y 空间的分解定理推广到了高维h a r d y 空间( 见 1 0 ) ，他们同 时给出了h a r d y 空间的对偶( b m o 空间) 的一种新刻划与c a l d e r o 刀一z y g m u n d 奇 异积分算子有界性的结果相比较，人们已不满足于仅仅研究光滑核的情形，进一 步减少对核函数的限制，改进已有的结论，这一目标成了近年来研究交换子的主 要动力之一涌现出了许多著名结果，见( 6 ， 1 5 ， 2 3 ) 等 自6 0 年代以来，r ”上的c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子及各种推广得到 了广泛的研究1 9 8 5 年，y a b u t a 在文 3 0 和 9 中研究c o lf m a n 和m e y e r 的某些 拟微分算子时，为了推广具有标准核的c a l d e r o 刀一z y g m u n d 奇异积分算子，引入 了如下的0 一型c a l d e r o 刀一z y g m u n d 奇异积分算子 定义1 1 1 l 删 设0 是( o ，) 上的非不减函数且口( ，y 一1 d t o o ，称定义在 r ”xr ” ( z ，x ) ：x r “ 上的可测函数七( x ，少) 是一个p 一型核，如果尼( x ，y ) 满足 ( i ) 当x y 时，i k ( x ，y ) l - c l x - y i 一； ( i i ) 当2 1 y - z l i x - - z i 时， y ) - k ( 五z ) l + i k ( y , x ) - k ( z , x ) l - c l 一- n0 l 目】 定义1 1 2 设t ：缈( ) 寸缈( r ”) 为连续线性算子，称t 为p 一型 c a l d e r 0 7 刀一z y g m u n d 奇异积分算子，如果算子z 满足下列条件 ( i ) i i 刎l f ( ) - c i v i l , , ( 胪) ，可g ( f ) ； ( i i ) 存在9 一型核七( x ，j ，) ，使得对任意的厂c 孑( 掣) ，在s u p p f 上j l 习z 处处成立 1 9 9 5 年胡和古在 12 研究了c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子交换子的加 权估计，得到如下结果： 定理a 设丁是一个c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子若4 ( r ”) ， 1 q = l p - f l n ，0 1 且l p q 当b e l i p a 时，则交换子【6 ，t 】是从 r ( ) 到口( 卜q ) 的有界算子 只要取日( f ) = f 艿，0 一型核就是一个c - z 奇异积分核则0 一型c z 奇异积分 算子是更一般的c - z 奇异积分算子一个自然的问题当定理a 中c z 奇异积分算 子改为0 一型c - z 奇异积分算子，上述定理仍否成立? 本文的第二章对此问题给 2 两类算子及其交换子的有界性 出了肯定的回答此部分内容已经发表在江话师范大学学报( 自然科学版) 第3 2 卷第5 期结论如下： 定理2 2 3 设6 l i p p ，( r ”) ，其中4 ( r ”) ，0 1 ，l 9 = l p - p 且1 p q o d ，t 是秒一型c a l d e r o 一z y g m u n d 奇异积分算子且满足 矽( ，y l l o g t l d t 0 b o c h n e r r i e s z 算子极大交换子定义为 磋，。( 厂) ( x ) = s u pi ( 厂) ( z ) i ， 同时，我们定义 彤( ) ( x ) = s u p l 鄙( ) ( x ) i 为b o c h n e r r i e s z 极大算子 1 9 9 6 年，陆和胡 1 3 得到了b o c h n e r r i e s z 算子极大交换子的p ( 尺“) 有界 性，其中b b m o ( r ”) 1 9 9 7 年，陆和杨 2 3 研究了b o c h n e r - r i e s z 交换子在h e r z 型空间上的连续性2 0 0 3 年，陆和刘 1 7 研究了b o c h n e r - r i e s z 算子极大交换子 江西师范大学硕士学位论文 的l ( l o g l ) 型端点估计和加权弱估计2 0 0 4 年，刘 1 8 研究了b o c h n e r r i e s z 算子极大交换子在t r i e b e l l i z o r k i n 空间上的有界性2 0 0 6 年，刘 2 0 得到了 b o c h n e r - r i e s z 算子极大多线性交换子在h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间的有 界性 定义1 2 型1 6 j 设丁：s 专s 的一个有界线性算子我们称丁是一个强奇异c z 算子，如果它满足 ( 1 ) r 能扩张成从r ( r ”) 到其本身的连续算子； ( 2 ) 存在冗”r ” ( x ，x ) xer 斗 上的连续函数k ( x ，y ) ，对任意的0 万1 ， 0 口 l ，如果满足2 1 y z l 。i x - - z l ，则有 i k ( x ，y ) - k ( x ，z ) l + l k y ，x ) - k ( z , x ) l - c y - z r i x - z l ”+ 5 7 口， 且满足( 可，g ) = l k ( x ，y ) f ( y ) g ( x ) d y d x ，其中厂，g s 且厂和g 的支集不相交； ( 3 ) 对任意的n ( t 一, z ) 2 叫2 ，t 和它的共轭算子r 能扩张成从m ( r ”) 到 r ( 尺”) 的连续算子，其中l ge - - 1 2 + p i n 2 0 0 7 年林在 1 6 中研究了强奇异c - z 算子及其交换子在m o r r e y 型空间上的 有界性，得到了如下定理： 定理b 设t 是一个强奇异c - z 算子且口，万满足定义1 1 ( 见 1 6 ) 如果( n o - a ) + 2 f 1 ) 2 8 p g o o ，则z 是m ；( 尺”) 上的有界算子 定理c 设t 是一个强奇异c - z 算子且c t ，万满足定义1 1 ( 见 1 6 ) 如果6 入岛，o 8 0 1 ，则交换子 b ，t 是从m 盖( 彤) 至j j m ，q 。 ( r ”) 的有界算子， 其中1 p l 一1 仍= 1 q ，- 1 q 2 = p o 刀，( n ( 1 - a ) + 2 8 ) 2 8 朋仍 形风 定理d 设t 是一个强奇异c - z 算子且口，万满足定义l - l ( 见 1 6 ) 够是r ”xr + 上的正函数假设存在0 c o 2 4 满足( 3 1 ) 式( 见 1 6 ) 如果 ( ”( 1 一口) + 2 8 ) 2 8 p o o ，则t 是p 上的有界算子 定理e 设t 是一个强奇异c z 算子且口，万满足定义1 1 ( 见 1 6 ) 仍是尺4 r + 上的正函数，如果b 入磊，0 屁 1 ，( 刀( 1 一a ) + 2 8 ) 2 , 8 p l 形成，1 p 2 = 1 a 一形成且彬 = 州a 假设存在0 c i ( t - - i ) 2 ，l p g ( n - 1 ) 2 ，1 1 ) , 一1 仍= 1 q , - 1 q 2 = p o 加，1 a q l - 屈， 彰是极大b o c h n e r r i e s z 算子如果b 入尻，0 p o ( 刀一1 ) 2 ，l p o o ，矽是r ”x r + 上的正函数假设存在 0 c o ( n - 1 ) 2 ，l a 形p o ，i p 2 = 1 p , 一p o 加，彬办= 州 ，仍 是足”尺+ 上的正函数假设存在0 c l 2 聃p 2 满足( 2 1 ) 式，则b o c h n e r - r i e s z 算子极大交换子群。是从p 椭到胪施的有界算子 注：尽管定理3 2 6 ，3 2 7 ，3 2 8 ，3 2 9 与定理b ，c ，d ，e 相类似，但我 们的结论计算更复杂，证明需要新的方法 2 0 0 7 年张和蓝在 3 1 中研究了m a r c i n k i e w i c z 积分交换子在h e r z 型空间上 的弱型估计，得到了如下定理： 定理f 设b b m o ( r ”) ，q ( x ) l p , ( s ”1 ) ，( 0 7 1 ) 是定义在尺”上的零 次齐次函数且满足bq ( x ) a o - ( x ) = 0 如果0 p 1 ，1 g o o ，则心。是从 h e r z 型h a r d y 空间磷1 _ i 叮x p ( r ”) 到弱h e r z 空间形霹1 - 怕x ，( 尺”) 中的有界算子 因为奇异积分算子及其交换子为线性算子，b o c h n e r - r ie s z 极大算子及其极 大交换子是非线性算子，如果把m a r c i n k i e w i c z 积分算子改为极大的 b o c h n e r - r i e s z 算子，结论仍否成立? 本文的第四章对此问题给出了肯定的回答 此部分内容已经发表在江西师范大学学报( 自然科学版) 第3 3 卷第l 期结论如 下： 定理4 2 6 设0 p l ，l g o o 若b b m o ( r ”) ，则磅。是从h e r z 型 h a r d y 空间h 霹。一l g 妇( 尺”) 到弱h e r z 空间肜露。一咖妇( 彤) 中的有界算子 2 0 0 2 年陆、吴和杨在 2 4 中研究了c - z 奇异积分算子交换子在h e r z 型空间 上的弱型估计，得到了如下定理： 定理g 设0 p l ，l q l ，q 2 o o ，l q 2 = 1 g i p 如果b 入口( r ”) ，0 1 ，则c z 奇异积分算子交换子陂t 】是从破卜m p ( r ”) 到形程1 - 恂m ，p ( 尺”) 中的有界算子 因为奇异积分算子及其交换子为线性算子，b o c h n e r - r i e s z 极大算子及其极 5 江西师范大学硕士学位论文 大交换子是非线性算子，如果把c - z 奇异积分算子改为极大的b o c h n e r - r i e s z 算 子，结论仍否成立? 本文的第四章对此问题给出了肯定的回答此部分内容已经 发表在江西师范大学学报( 自然科学版) 第3 3 卷第1 期结论如下： 定理4 2 7 设0 p l ，l g l ，9 2 ( n - 1 ) 2 且 0 m i n ( 6 一仰一1 ) 2 ，1 ) 若b 入口，则磋，是从h e r z 型h a r d y 空间 藤：卜卜晟p ( 尺“) 到弱h e r z 空间形程卜i q l 卜，p ( 尺”) 中的有界算子 注：尽管定理4 2 6 ，4 2 7 与定理f ，g 相类似，但我们的结论计算更复杂， 证明需要新的方法 6 两类算子及其交换子的有界性 第2 章满足一定条件的口一型c a l d e r 0 7 甩一z y g m u n d 奇异 积分算子交换子的有界性 2 1 定义及相关概念 定义2 1 1 b l i p a ，。( 尺”) ，0 7 1 ，k ( x ，y ) 是一个秒一型核，t 为0 一型 c a l d e r o 刀一z y g m u n d 奇异积分算子，则 【6 ，丁】厂( x ) - - p 让 6 ( x ) 一6 ( y ) 弦( x ，y ) f ( y ) d y 2 2 主要结论及其证明 引理2 2 1 【冽设o p ，6 0 ，使得 l m 万厂( x ) p ( x ) 出嚣 川厂( x ) p ( x ) 出 其中不等式对所有使上式左端有限的任意光滑函数厂旨成立 引理2 2 2 设a i ( r ”) ，b 驴肌( r ”) ，其中0 1 ，o 8 1 ， n p ， 1 g = 1 p p ，t 是一个秒一型c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子且满足 f 9 ( ，y 11 1 0 9 t l d t 0 ，使得 m ；( 【6 ，r l s ) ( x ) 印( x ) l l b l l 饥，( 一形) ( x ) + w ( 硝x ) ) 对于任何光滑函数和a e x r ”都成立，其中 m p , u , , f ( x ) 2 矍p ( i i 五；= 万百i 厂( y ) i ，( y ) 咖j 引理2 2 2 的证明对任意的常数五，有 【6 ，r 】厂( x ) = ( 6 ( x ) 一旯) 形( x ) 一丁( ( 6 一兄) 厂) ( x ) v x e r ”，记z l = s l ( x ，厂) 分解厂= z + 厶，其中z = 厂始，唇= b ( x ，2 ，) ，由于 0 艿 1 ，有 ( 洲1 h 彬( 圳万捌i i 陟j 7 江西师范人学硕十学位论文 ( 南i 【6 ，丁】厂( y ) 一c i 占方) “占 油聃y ) 叫贴) 叫( ) 硝小c i ， 占 c ( 高l ( 6 ( y ) 一兄) 矿( y ) i 万咖) 占 + c ( 南l 丁( ( 6 一五) z ) ( y ) i 芦砂) j + c ( 南i 丁( ( 6 一五) 五) ( y ) 一c i 艿咖厂：= ，+ 口+ 脚 其中常数允，c 待定 首先对，取a = ，其中毛2 雨i 如陟，则对于髓l 咒洧 ，c 网1 l ( 6 ( 少) 一) 可( 圳咖 c ( 南1 6 ( y ) 一r ( 少) - d y ) ，( 南j i l 可( y ) l ，( y ) 咖) “7 c 眢f | 6 眨姊 ( 咧x ) 其中三+ _ i ：1 ，厂 其次对口，我们利用砌唧加v 不等式( 见【2 7 】) ，则 口c 两1 胎一) 舶) 陟 c 阿1 胍y ) 一w ( j ，) 1 - c ( 帅k ，( 似x ) 最后，对仍，取c = ( 7 1 ( ( 6 一) 石) ) 丑，即丁( ( 6 一) 五) 在曰上的平均，则有 8 两类算子及其交换子的有界性 历c 南l 丁( ( 6 一) 厶) ( y ) 一( 丁( ( 6 一) 左) ) 口陟 斋川躺i m ) 舴诽6 ( 彩) 一) 他) 卜姗 斋喜l + i b 2 j b 0 ( 吲 皆姗 c 芸口( 2 。) 南k i ) 也“b i l i ( 缈) + c z 薹o ( 2 一，) l 一l 南k 如 “z 川o ( 2 7 乒( 帅k i r ( 硝x ) + c ( 帅u 吼，( 似x ) 荟户( 2 。) c ( x ) l l b l l 埤以，( 蹦x ) 注意此处我们用到了 l 毛一6 2 i - c s ( x ) ( b ( 啦川训6 8 锄。， 和 z o ( 2 ) - - z s o ( 2 吖) f p ( ，y i i o g t l d t o o j = l j 薯i 综上所述，引理2 2 2 得证 定理2 2 3 设6 l i p a 一( r ”) ，其中4 ( r ”) ，o p 1 ，l g = l i p p 1 ， 1 p g 0 0 ，丁是秒一! g jc a l d e r o ，l z y g m u n d 奇异积分算子且满足 秒( f y l l o g t l a t o o ， 则交换子【6 ，r 】从r ( ) 到口( 卜9 ) 的有界算子 定理2 2 3 的证明由t - u 4 ( r “) ，则1 。4 a q ( r ”) ( 见【11 】) ，再根据引 理2 2 1 和引理2 2 2 ，由于0 万 1 ，- p ，得到 | i 6 ，r l f ( 吡( 州忱( 【6 ，r l f ) l l p 矿 h 9 驴 i”j) 7 1i一 丁6 ，_-l ，j 一一 撑艿 膨 i i i i 一 江两师范大学硕士学位论文 故定理2 2 3 得证 c 魄，( k ( 驴) k ，+ k ( 硝巩) - c t l b l l , ，l i ：1 1 ，。p ， 1 0 两类算子及其交换子的有界性 第3 章b o c h n e r - r ie s z 极大算子及极大交换子 在m o r r e y 型空间上的有界性 3 1 定义及相关概念 定义3 1 1 设函数厂玩( r “) ，称函数f 属于经典的m o r r e y 空i 司肘；( 尺“) ， 1 p q c o ，如果它满足 邶旷嚣l 卅i 狮m 出) 枷 注：当1 p o d 时，m ；( r ”) = l p ( r ”) 因此，m o r r e y 空间是l e b e s g u e 空 间的推广 定义3 1 2 当o p l ，称函数厂入口俾”) ，如果函数厂满足 h，=，。su。p，。，。1芈a。 定义3 1 3n ：o a 玎，1 j ， 分部极大算子收定义为 m = t f ( x ) = s 棚u p ( 赤k c y ) l ，咖r 定义3 1 4 设l p 0 0 ，缈是r ”r + 上的正函数，一般的m o r r e y 空间 f 妒( r ”) 定义为 f 伊( 足”) = 髟p 卯( r ”) ：i l i i i 矿， + ) ， 其中 矿，嚣( 志k 抄舳ir 注：由伊( x ，r ) = ，i ”1 一p 7 ，得到口p ( r ”) = 彬( 尺”) ，l p q o o 因此，一般 的m o r r e y 空间是经典的m o r r e y 空阳l 的推广 3 2 主要结论及其证明 引理3 2 1 【2 l l 设髟厂( x ) = ，1 上。厂( y 归j ( 羔) 砂，则召j 满足下面不等式 江西师范大学硕士学位论文 i b 5 ( x ) i + i v 召占( z ) l i 和。 引理3 2 2 8 1 设1 p g ，m 是h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子，则存在与厂 和m 无关的常数c ，使得 9 蟛， - c l l s l l 咄州 由不等式 。( 够) p r o c 工。( 厂。) p 彩， 其中彩a p ， 1 p o o 类似引理2 2 的证明( 见【8 】) ，得到 胪，- c l l ， 引理3 2 3 【1 6 1 i 受o a 订，1 t , , 一l 仍= l q i 一1 q 2 = 叫疗，l ， 届q j 0 ，使得 k 儿聊- c l l s l , ， 引理3 2 4 【1 9 1 设伊是r ”xr + 上的正函数，如果存在0 c o 0 ，有 伊( 五2 r ) c o 缈( x ，) ， ( 2 1 ) 则对任意的1 p o o ，存在与厂无关的常数c ，使得 l i m f l l 胪，- c l l s l l 扩，i l 够b - c l l 4 b 引理3 2 箩1 6 1 设仍是尺”xr + 上的正函数，o a r 刀，i ， a n a ， 1 p 2 = 1 p , 一o t n 且硝见= n 假设存在0 c i 2 呐亿使得仍和q 满足( 2 1 ) 式，则存在与厂无关的常数c ，使得 l 收，厂0 俨搬- ( n - 1 ) 2 ，1 p q o o ，彤是极大的b o c h n e r - r i e s z 算子， 则彰是彬( 足”) 上的有界算子 定理3 2 6 的证明首先我们证明对任意的1 s o o ，存在个正常数c ，使 得下面不等式成立 ( 彬厂) ( x ) c m ( i f l 5 ) v 5 ( x ) ， 口p 工r “ ( 3 1 ) 对任意的球b = b ( x o ，) cr ”，有 1 2 两类算子及其交换子的有界性 高量l 肜( 门( x ) 一霹( 五：盯) ( 而) k 两1 群( “z 口，) ( 工胁+ 丽1 i 彰( “：砂) ( x ) 一b 占, ( f z t ：b 广) ( ) b 两1 劈( 几z 曰，) o 胁+ 上18 1 哿i 群( 心：口) c ) ( x ) 一群( 取：b r ) ( ) i 出 ：2 l z + 1 2 对，由h 6 l d e r 不等式和的f 有界性，得到 1 玎( 霹( ：一( x ) ) 出i s sc ( 高占i m ) 1 5 出厂跚( i m 吖5 ( 址 对厶，考虑以下两种情况 ( 1 ) 当0 ，时，取瓦，使得印一1 ) 2 a o 。u p l i ：盯厂( y ) ( 牟。一y ) 一群( 一y ) ) 咖i 出 - - 生c fs u p 圳- - n m 孚) ( 孚咖l 撇 1 3 江西师范大学硕十学位论文 高哿。巾枷卜枷旷y 州2 伽) l 蛐 !；(了s，u，。p(-；)“”+172一岛，(昂一(”+1)2)，喜王“b、：。8静 c 耖川) 2 - 钔南k 陟嘶( 班叫川5 ) 咖( 址 因此，得到 ( 肜门4 ( 训 c s u p 州鳟南i ( x ) 一口陋c m ( i f l 5 ) 班( 而) ， 所以( 3 1 ) 式得证 注意到1 p 9 o o ，存在一个j ，满足1 s ( n - 1 ) 2 ，l p , 一l 仍= 1 q i - 1 q 2 = 属i n ，1 p l 吼 形p o 若6 入岛，o p o l ，则磋。是从m 言俾”) 到m 宝( r ”) 中的有界算子 定理3 2 7 的证明首先证明对任意的l s 0 ，使得下 面不等式成立 ( 群，厂) 8 ) c l l b l l a 愚( 蚝，( 霹厂) ( x ) + 咏。，( 肌x ) ) ，伽x r 8 ( 3 2 ) 对任意的球b = a ( x o ，) cr “，有 丽1 i 磁，( ) ( x ) 一彤( ( 6 一b b ) f z ( ：盯) ( 而) b 丽i 胍x ) 一i 彤m 边+ 丽1 硝( ( 6 一b s ) f x 2 b ) ( x 皿 + 高哿i 群( ( 6 一b s ) f z ( ：占r ) ( 炉咖6 一b b ) f z ( ：彬) ( x o ) i d x 1 4 两类算子及其交换子的有界性 ：2 i 、+ 1 2 + 1 3 对，由h 6 1 d e r 不等式，有 氍i i 圳岛m ( ( 瑚x 州帕 = c i i 【南( ( 彰似) ) 叫c i j 6 i i h 一( b ：s ) o o 、l l 对l ，由h 6 l d e r 不等式和彰的f 有界性，得到 l 1 玎e i 彰( ( 6 一) 筋8 ) ( x ) 1 5 出) 班 c ( 面1 肛i 吼i 出卜1 1 6 v ( 批i m ) i 出厂 c i i ( 两互且i ( x ) 吲l s c 删a 内m ( 址 、 对厶，考虑以下两种情况 ( 1 ) 当o f ，时，注意到i x y | i x o - y l ，其中x e b ，y ( 2 口) ，由引理3 2 1 和m i n k o w s k i 不等式，有 厶函1 i s u p i ：砂l 群。一y ) 一群( 一y ) 陋( y ) 一i l 厂( y ) l a y a ，时，取瓯，使得( n - 1 ) 2 磊 m i n ( d ，伽+ 1 ) 2 ) ，由引理3 2 1 ， m i n k o w s k i 不等式以及中值定理，得到 厶两1l 埘i s 啪u p ：b 广l 牟( x y ) 一群( 而一y ) 1 1 6 ( 少) 一b 1 l i ( y ) i 触 i l b l l 俩1 工s u 。pf t - ( - + 1 ) ( 叫掣厂伽+ 1 班i y 甜i i m 枷 c060a愚，-(磊一(月一1)2)，鼍兰f(手)“。+”。而主k=l互。口、妒b祭 蚓川k 酽o o 川) 2 训( 饼l m ，叫 至。+占l。厂c，15咖v5：；(了uzjua，。-。垄么，c厂，c义o， ( 磅，门4 ( 而) sc su，pa(x 赠高l磋，。厂(x)一口bor ) c r ， “i d i - cl b l l k ( 声( 彤础) + 蚝，( ) ( ) ) ， 所以( 3 i ) 式得证 注意到1 a 绑 4 a ，存在- - + s ，满足l s p 1 由( 3 2 ) 式，引理3 2 3 和定理3 2 6 ，得到 0 磋，厂l l m 暑0 m ( 磋，) 乙嚣c ( 磋，厂) 4 l l 2 定理3 2 7 得证 c i i ( i l - 届，。( 劈州b 陬儿2 ) c i i ( 粉州m 嚣制c i l 6 i i 心m 1 6 鬲 ，一旷一p ，jf。一 阿 a姚 到 刚 得 ( y l - - 1 ) 2 ，1 p o o ，缈是r “r + 上的正函数1 砹设存在 o c o 2 ”满足( 2 1 ) 式，则极大的b o c h n e r r i e s z 算子硝是口矿上的有界算 子 注：当伊( x ，厂) = 厂“1 一p q ，1 p g ，缈的条件是满足定理3 2 6 的因此， 定理3 , 2 8 是定理3 2 6 的推广 定理3 2 8 的证明注意到1 p ，存在一个s 满足1 s p 由( 3 1 ) 和引 理3 2 4 ，得到 1 1 彰：1 1 - ( 聆一1 ) 2 ，1 岛 属，1 仍= 1 a 一属刀，彰戌= 纠m ，仍 是r ”r + 上的正函数假设存在o q 2 啊协满足( 2 1 ) 式，则b o c h n e r r i e s z 算子极大交换子磅。是从p 婀到口2 镌上的有界算子 注：当仍( 毛，) = r n ( i - i 吨q l ，l a 一1 易= l q , - v q 2 = 属”，1 a q i 属， 仍的条件是满足定理3 2 7 的因此，定理3 2 9 是定理3 2 7 的推广 定理3 2 9 的证明注意到1 a 叫屁，存在一个s 满足l s p 1 由( 3 2 ) 式， 引理3 2 4 ，引理3 2 5 和定理3 2 8 ，得到 陬：1 1 艘晚i i m ( 磁硎庐魄c l l ( 磋，硝0 胙以 - c l l b l l a 愚( 8 吆。( 彤州l 胪以+ 0 ，( 州l 脾瘢) - - c l l b l l a 内( 1 1 b ：1 1 口棚+ l l s l l 朋一) - c l i b l l 愚i i s l l 驴 定弹3 2 9 得证 1 7 江两师范大学硕士学位论文 第4 章b o c h n e r - rie s z 算子极大交换子在 h e r z 型空间上的弱型估计 4 1 定义及相关概念 ：定s l 4 1 1 【1 4 1 令b = x r ”：l x l 2 ，而厄= 钝表示集合g = 反晟一，的 特征函数，k z 设口r ，0 p o o ，o q o o ( 1 ) 齐次h e r z 空间霹，( 尺”) 定义为 k q w ( r ”) = f l l ( r ” o ) ) ：| i 州硼旷， o o ， 其中 即，2 t 荟2 妇pl l ：z , l l ：, c ， 当p = o o 或q - 0 0 时，上式将作常规修改 ( 2 ) 齐次弱h e r z 空问朋霹p ( 月”) 定义为 彤霹( 尺”) 2