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贵州大学硕士学位论文 集值映射平衡点集的稳定性 摘要 本文主要从通有稳定性和本质连通区的角度系统地讨论了集值映射平衡点 集的稳定性。作为推广，研究了图像拓扑下集值映射平衡点集的通有稳定性。作 为应用，导出了不动点集和重合点集的本质连通区的存在性。最后探讨了微分包 含问题和线性模型中最大似然估计问题解的稳定性，得到了微分包含解集和最大 似然估计解集都至少存在一个本质连通区。 全文共分三章： 第一章：简要介绍在本文中将用到的基础知识。主要包括拓扑空间中的紧性 和连通性、度量空间的完备性和h a u s d o r f f 距离、b a i r c 空间和通有性、凸集与凸 函数、集值映射及其半连续性等有关概念和性质。 第二章：系统地研究了集值映射平衡点集的稳定性。首先给出了一致度量拓 扑下集值映射平衡点集的通有稳定性，并在图像拓扑意义下作出了推广。然后用 俞建等2 0 0 4 年给出的一个统一的本质连通区的存在性条件重新推导出了集值映 射平衡点集至少存在一个本质连通区。最后给出两个应用，由集值映射平衡点集 至少存在一个本质连通区导出了集值映射不动点集至少存在一个本质连通区和 集值映射重合点集至少存在一个本质连通区。 第三章：两类特殊问题解集的本质连通区。迸一步研究了微分包含问题和线 性模型中最大似然估计问题解的稳定性，得到了微分包含解集和最大似然估计解 集都至少存在一个本质连通区。 关键词：謇值映射；通有稳定性；本质连通区；图像拓扑；，傲分包含；最大 似然估计 贵州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h eg e n e r i cs t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a l c o n n e c t e dc o m p o n e n t st oe q u i l i b r i u mp o i n t so fs e t - v a l u e dm a p p i n g s a sa g e n e r a l i z a t i o n ， w es t u d yt h eg e n e r i cs t a b i l i t yo fe q u i l i b d u mp o i n t so fs e t - v a l u e dm a p p i n g su n d e rg r a p h t o p o l o g y a sa p p l i c a t i o n s ，w eo b t a i nt h a ta n ys e t - v a l u e dm a p p i n g f i x e dp o i n ts e ta sw e l la s a n yc o i n d d e n c ep o i n ts e t e x i s t sa tl e a s to n ee s s e n t i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n t f i n a l l y , w e s t u d yt h ee x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o n n e c t e dc 0 豳p o n e n t so ft h es e to fs o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a li n c l u s i o np r o b l e m sa n dt h a to ft h es e to fm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e si n l i n e a rm o d e l sb yt h eu n i f i e da p p r o a c hi ny ue ta l ( 2 0 0 4 ) i tc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cn o t i o n sa n dr e s u l t si n c l u d i n gc o m p a c t s e t s ， c o n n e c t e ds e t s tc o m p l e t e dd i s t a n c es p a c e ，h a u s d o r f fd i s t a n c e ，b a i r es p a c e ，g e n e r i c s t a b i l i t y , c o n v e xs e t s ，c o n v e xf u n c t i o n sa n ds e m i c o n t i n u i t yo fs e t - v a l u e dm a p p i n g s i nc h a p t e rt w o 。w es t u d yt h es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u mp o i n t so fs e t v a l u e dm a p p i n g s w ef i r s t l yi n t r o d u c et h eg e n e d cs t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u mp o i n t so fs e t - v a l u e dm a p p i n g s u n d e ru n i f o r md i s t a n c et o p o l o g y a sa g e n e r a l i z a t i o n ，w es t u d yt h eg e n e r i cs t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u mp o i n t so fs e t - v a l u e dm a p p i n g su n d e rg r a p ht o p o l o g y t h e nw er e d e d u c et h e e x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n t so ft h es e to ft h ee q u i l i b d u mp o i n t so f s e t - v a l u e dm a p p i n gb yt h eu n i f i e da p p r o a c hi ny ue ta 1 ( 2 0 0 4 ) f i n a l l y , a sa p p l i c a t i o n s ， w eo b t a i nt h a ta n ys e t - v a l u e dm a p p i n gf i x e dp o i n ts e ta sw e l la sa n yc o i n c i d e n c ep o i n ts e t e x i s t sa tl e a s to n ee s s e n t i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n t i nc h a p t e rt h r e e ，w ef u r t h e rs t u d yt h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n p r o b l e m s a n dt h a to fm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e si nl i n e a rm o d e l s w ep r o v e t h a tb o t h t h es e to fs o l u t i o n so fe v e i = yd i f f e r e n t i a li n c l u s i o np r o b l e ma n dt h es e to fm a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t e si n e v e r yl i n e a rm o d e le x i s ta tl e a s to n ee s s e n t i a lc o n n e c t e d c o m p o n e n t k e yw o r k s ：s e t v a l u e dm a p p i n g ；g e n e r i cs t a b i l i t y ；e s s e n t i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n t ； g r a p ht o p o l o g y ；d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n ；m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e 2 贵州大学硕士学位论文 前言 近年来，非线性数学问题的研究已成为数学研究的热点之一。非线性分析 作为数学的一个重要分支，在控制论、对策论、数理经济学、生物数学、物理学、 微分方程、非光滑分析等众多领域中有着广泛的应用。它的思想方法也已渗透到 许多社会科学、自然科学以及工程技术领域的研究之中。因此非线性分析的研究 对象和应用表明非线性分析的地位日益重要。 非线性问题研究的两个重要方面是解的存在性和稳定性。我们建立的数学 模型是对实际问题的抽象描述，因此我们首先要考虑的是模型是否有解，这就是 解的存在性问题。关于非线性问题解的存在性问题，数学家们已做了大量的研究， 得到了诸多非线性问题解的存在性条件。非线性问题的另一个重要方面是解的稳 定性。通常情况下非线性问题的解不是唯一的，即解构成一个集合。这时我们面 临一个问题是：哪些解是我们需要的? 从实际应用的角度，我们往往需要的解应 该具有稳定性，即解对问题的参数的连续依赖性。也就是说当问题的参数发生微 小变化时，解也仅发生微小的变化。本文中我们主要从解集的通有稳定性和本质 连通区的角度来研究稳定性，所谓通有稳定性是指在某类问题构成的空间中，大 多数问题的解( 在b a i r e 分类的意义下) 是稳定的。但在这个空间中仍有很多问 题的解是不稳定的，因此我们转而考虑解集是否存在一个稳定的子集，即本质集 或本质连通区的存在性的问题。 集值映射作为建立非线性问题数学模型、解决非线性问题的数学理论和工 具显得特别重要。本文主要围绕集值映射平衡点集的稳定性展开一系列研究。首 先把j i a n y u 和h u i y a n g 在一致度量拓扑下讨论的稳定性结果推广到图像拓扑意 义下。然后采用俞建等2 0 0 4 年给出的统一的本质连通区的存在性条件重新推导 出集值映射平衡点集至少存在一个本质连通区并给出两个应用。最后探讨了微分 包含问题和线性模型中最大似然估计问题，得到了微分包含解集和最大似然估计 解集都至少存在一个本质连通区。 贵州大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 空间的有关概念与性质 1 1 拓扑空间的紧性与连通性 拓扑空间是现代数学的重要概念，特别是拓扑空间的紧性、连通性理论在不动点理论和 对策平衡点理论、k 脚定理系列以及变分不等式中发挥着巨大的作用，而且其中有关的证明 思想方法更是直接应用到后面的研究中，因此澄清一些概念并把它们的基本性质研究是非常 必要的下面内容可见于 7 2 8 定义1 1 1 设( z ，f ) 是拓扑空间，若z = u g ：，其中对任意口i ，是指标集，g ： 艇， 是开集，r p g ：f ，则称 g 口 。是盖的一个开覆盖：如果在x 的任意开覆盖中都存在有限 n 予覆盖，即存在，吒，使得= u g l ，则称空间z 是紧的 k = l 引理1 1 1紧空间中任一闭子集是紧的 引理1 1 2h a u s d o r f f 空间中每一个紧子集是闭的 引理1 1 3 由任意有限个紧空间所作的乘积空间是紧的 引理1 1 4 紧空间在连续映射下的象是紧的 引理1 1 5 紧空间上的连续函数必有最大值和最小值 连通性是拓扑空间中的重要概念，在后面本质连通区的应用中作用也是非常明显的 定义1 1 2 设4 和b 是拓扑空间x 的两个子集如果( z n 百) u ( b n j ) = g ，则称 子集4 和b 是隔离的 定义1 1 3 设x 是拓扑空间如果z 中有两个非空的隔离子集z 和口使得 x = a u b ，则称x 是一不连通空间；否则称x 是一个连通空间 引理1 1 6 设z 是一个拓扑空间则下列条件等价： ( 1 ) x 是一不连通空间； ( 2 ) x 中存在着两个非空的闭子集4 和b 使得4 n b = 彩和4 u b = x 成立； ( 3 ) x 中存在着两个非空的开子集爿和b 使得4 n b = o 和4 u b = x 成立； ( 4 ) x 中存在着一个既开又闭的非空真子集 定义1 1 4 设y 是拓扑空间z 的一个子集，如果y 作为彳的子空间是个连通空间，则 称y 是z 的一个连通子集否则称】，是x 的一个不连通子集 引理1 1 7 设y 是拓扑空间x 的一个连通子集，如果y 中有隔离子集爿和b 使得 y c a u b ，则或者y c a ，或者y c b 定义1 1 5 设是一个拓扑空间，x ，y x 如果x 中有一个连通子集同时包含 贵州大学硕士学位论文 x 和y ，就称点x 和y 是连通的 定义1 1 6设x 是一个拓扑空间对于z 中的点的连通关系而言的每一个等价类称 为拓扑空间x 的一个连通分支 注i ：拓扑空间x 彩的每个连通分支都不是空集：x 中的不同连通分支无交： x 的所有连通分支之并便是z 本身此外，z ，) ，z 属于z 的同一个连通分支当且仅当z 和) ，是连通的 引理i i 8 设z 是一个拓扑空间c 是拓扑空间x 的一个连通分支，则 ( 1 ) 如果y 是z 的一个连通子集，并g y n c _ 彩，则y c c ； ( 2 ) c 是一个连通子集； ( 3 ) c 是一个闭集 注2 ： 由( 1 x ：糊可知拓扑空间x 的每一个连通分支都是z 的一个最大的连通闭子 集 1 2 度量空间的完备性与h a u s d o r f f 距离 度量空间作为拓扑空间的一个特例，往往满足一些非常好的性质诸如分离性、完各性， 而这些性质是一般拓扑空间所没有的下面介绍有关度量空间的一些重要概念和性质以下 内容见 2 5 2 9 定义i 1 7 设( x ，d ) 为度量空间x 中的一个序列仁；l ，如果对于任意给定的 实数p o ，存在整数n 0 ，使得当f ，j n 时有p o l ，z ，) 任意多个凸集的交为凸集； ( 2 ) 若4 ，a 2 是凸集，则4 + 爿2 是凸集，其中a l + 爿2 = 如1 + 口2 ：口1e a l ，a 2e a 2 ) ( 3 ) 若t2 0 ，a 是凸集，则“也是凸集，其中t a ； t a ：a 爿 ( 4 ) 若爿是凸集，v x l ，z ：，。爿，v ，a 2 ，。九o 且三d = 1 ，则x ；- 。 z 。4 ( 5 ) 若x ，y 是线性空间，t ：x y 是线性映射，则r 将x 中的凸集k 映成y 中的凸 集r ( k ) 定义1 2 2 设x 是线性空间，kcx ， 令( 华 妻辑凰骞 ua 0 , i = 1 , 2 - , ，称( 斛为k 的盹 引理1 2 2 凸包的性质如下： ( 1 ) 设k 是线性空间z 的任一集合，则c o ( k ) 是包含k 的最小凸集 ( 2 ) 设a ，b 是z 中的任两个集，口，卢是任意实数，则 c o ( 口a + , a b ) 。口c d ( 4 ) + 卢c d ( 丑) 注1 ：闭集的凸包可能不是闭集 例1 2 1 在r 2 中，c 一 ( o ，1 ) ) u ( 爵，o ) 慨r 】c 是闭集，但 c o ( c ) 一 ( 最，邑) 慨r ，o s 邑t 1 ) u ( o ，1 ) ) 这是一个缺上边界但包含点( n 1 ) 的带 形集，因而不是闭集 1 2 2 凸泛函 定义1 2 3 设c 为线性空间z 中的凸集，：c r 为实值泛函 r 1 ，z 2 c ，v a 【0 朋，如果，( a x l + ( 1 一a ) z 2 ) s 可( h ) + ( 1 一a ) ，g 2 ) ，则称，为c 上 的凸泛函；如果，( x 。+ ( 1 一a ) z ：) 皂可 。) + 0 一a ) ，o ：) ，则称，为c 上的凹泛函 定义1 2 4 设c 为线性空间x 中的凸集，：c r ，v x l ，x 2 c ，v a 【0 ，1 】，( 1 ) 如果 ，( 触，+ ( 1 一a 弦2 ) sm a x f 1 ) ，f ( x ：) ) ，则称f 为拟凸泛函；( 2 ) 如果 f ( l x 。+ ( 1 一a 皿2 ) 2 m i n f ，) ，fx ：) ) ，则称f 为拟凹泛函 5 贵州大学硕士学位论文 注2 ：厂为凸( 凹) 泛函，则，必是拟凸( 凹) 泛函，但不可逆；例如y = x 3 工【一l 1 】， 该函数是拟凸的且是拟凹的该函数既不是凸的也不是凹的 引理1 2 3 ( 可参看【2 9 】) f 为定义在凸集c 上的实值泛函，则 ( 1 ) f 在c 上拟凸v r e r ，集合工，= 缸e c ：， ) sr ) 是凸集 ( 2 ) ，在c 上拟凸，v x l , - , x e c ，v ，九苫o ，三d = 1 ，则有 ，( ：。 ) sm 强 ，瓴) ，瓴) ) 成立 引理1 2 够见 2 9 1 ) ，为定义在凸集c 上的实值泛函 ( 1 ) ，拟凹 d r r ，集合工，一缸c ：，o ) 苫r ) 是凸集； ( 2 ) ，拟凹，【- ，x n c ，v ，九皂o ，三d 一1 ，则有 ，( 三d 鼍) 苫m i n f “) ，纯) ) 成立 注3 ：，g 都是拟凹( 凸) 泛函不能推出，+ g 为拟凹( 凸) 泛函 例1 2 2 ：y l = x 3 ，x 卜1 ，2 】，y 2 = + 1 工卜1 ，2 】，显然) ，】，y 2 都是拟凹的，但是 y = y l + ) ，2 = ，一x + l 就不是拟凹的了 【- 1 , o u 1 , 2 ，它显然不是凸集，从而y 不拟凹 呢? 因为解 z l y = x 3 - x + l 苫1 ) 得到的解集 我们知道一个函数的上方图形确定了一个函数本身，那么凸泛函的上方图形有什么性质 定义1 2 5 设厂b ) 是从线性空间x 到r 的实值泛函，集合 印f ，皇 ( z ，r ) 卜z ，r e r ，z ，( 石) ) 称为，b ) 的上方图形 引理1 2 5 ，扛) 是x 上凸泛函等价于肇矿垒 ( z ，) 恤z ，r e r ，( z ) ) 是 石r 上凸集 1 3 集值映射的半连续性 集值分析是二十世纪四十年代后蓬勃发展起来的一个现代数学分支作为建立非线性问 题的数学模型，解决非线性问题的数学理论和有力工具，它己成为非线性分析的重要组成部分 在控匍论、微分对策、数理经济学、决策论、非线性最优化、拓扑学、泛函分析、变分学、 6 贵州大学硕士学位论文 逼近论、凸分析与非光滑分析、微分方程与微分包含、连续选取等众多邻域内有着广泛的应 用其思想方法也己渗透到许多社会科学，自然科学以及技术邻域的研究中现在关于集值 分析理论和应用的研究方兴未艾，生机勃勃，国内外关于集值分析及其应用方面的专著和含有 相关内容介绍的著作已相继出现，如文献【1 】【1 1 1 6 2 7 【2 9 】【3 0 】【3 1 】【3 4 】【3 5 】【4 0 】 集值映射是本论文的基本研究工具之一，本节主要介绍集值映射的连续性 1 3 1 单值映射的半连续性 以下定义可见【1 6 】【2 9 】 定义1 3 1i 2 x 为拓扑空间，：z + r ，厂是空间x 到实数空间r 的泛函，x e x ( 1 ) 如果v s 0 ，存在x 的一个邻域o ) ，使当比。 ) 时，f ( x ) f o ) + s ，则称 ，在z 上半连续： ( 2 ) 如果v 0 ，存在z 的一个邻域o ) ，使当耽o ) 时，0 ) f ( x ) 一8 ，则称 ，在z 下半连续； ( 3 ) 如果，在x 既上半连续又下半连续，则称，在x 连续，即v s 0 ，存在z 的邻域 o ) ，使当1 0 ) 时，0 ) 一tf ( x ) t ，o ) + s ( 4 ) 卿果，在z 中的任点上半连续( 下半连续) ( 连续) ，则赘f 在z 上半连续( 下 半连续) ( 连续) 引理1 3 1 ( 1 ) ，在x 上是上半连续的充要条件为v r e r ，集合 一缸石：，o ) 苫，) 是z 中的闭集 ( 2 ) ，在工上是下半连续的充要条件为v 厂月，集合t ；仁z ：，董，) 是j 中 的闭集； ( 3 ) f 在x 上是上半连续的等价于一，在x 上下半连续； ( 4 ) ，在z 上是连续的等价于v r 尺，集合l ，= 仁z ：，0 ) 2 r ) 和集合 l ，= x x ：f ( x ) sr ) 都是x 中的闭集 ( 5 ) ，在x 上是下半连续等价于v r r ，e p 矿- - t ( z ，r ) 卜x ，r 尺，( x ) sr 1 为 x r 中闭集 贵州大学硕士学位论文 半连续函数还具有下述性质： 引理1 3 2 设石是紧集， ( 1 ) 如果f ：x r 下半连续，则，在x 上有下界并达到下确界； ( 2 ) 如果f ：x r 上半连续，则，在x 上有上界并达到上确界； ( 3 ) 如果f ：x r 上连续，则，在z 上有界并可达上确界和下确界 1 3 2 集值映射 本节介绍集值映射的有关概念，并指出它们之间的联系和区别可参见【1 1 1 【1 6 】【2 9 】 4 0 1 定义1 3 2 设z ，y 为两个h a u s d o r f f ，2 7 表示l ，中所有非空子集构成的族映 射f ：x 一2 7 使得魄x ，f o ) 是y 中的一个非空子集，则称，为点到集的映射或从z 到l ，的一个集值映射 集值映射实际上是单值映射在概念上的推广，将单值映射的半连续的概念推广到集值映 射有下面的定义 定义1 3 3 设x ，y 为两个拓扑空间，f ：x 一2 7 是集值映射，工x ( 1 ) 如果对y 中任何一个开集g ，g f ( 功，存在x 的一个邻域o ) ，使溉e n ( x ) 有 f ( x ) c g 成立，贝0 称f 在工处是上半连续的 ( 2 ) 如果对y 中任何一个开集g ，g n f ( 砷- 乃，存在x 的一个邻域o ) ，使魄e n ( x ) 有f 仅) n 6 ，彩成立，则称f 在x 处是下半连续的 ( 3 ) 如果f 在x 处既上半连续又下半连续，则称f 在x 处连续 ( 4 ) 如果f + 在x 中的任一点都连续，则称f 在z 上连续 例1 3 1 ( 见【1 6 】) 设x y - 【- l 1 ， 目。臂q 等卧) 2 譬q 篙 则曩，f 2 是两个从x 到y 的集值映射且曩在z = 0 处上半连续但不下半连续，而e 在 x ；0 处下半连续但不上半连续 引理1 3 3 ( 3 3 】 3 4 】) 设x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，y 是度量空间，f ：x 一2 7 是紧值的 8 贵州大学硕士学位论文 集值映射，x z ，则 ( 1 ) f 在x 处上半连续等价于v 0 ，存在x 的邻域 ) 使o ) ， f o ) c u ( f 0 ) ，s ) = y y ：a f y ，f ) ) 0 ，存在邻域 ) 使o ) ，f 0 ) c u ( f 0 ) ，s ) 和f ) c u 口o ) ，s ) 同时成立，即日印0 ) ，f g ) ) t s 定义1 3 4 集值映射f 的图定义为g r a p h ( f ) 一 0 ，) ，) x x y ：y e f ) ( 1 )果g r a p h 但) 为x x y 中的闭集，则称f 为闭映射 ( 2 ) 如果g r a p h 但) = 0 ，) ，) z x y ：y f o ) 是z x y 中的凸集，则称f 为凸映 射 ( 3 ) 如果f b ) ，慨石是y 中闭( 凸) 集，则称集值映射f 是闭( 凸) 值的 注1 ：f 为闭映射和f 是闭值映射是两个不同的概念由f 为闭映射可以推出f 是闭 值映射，其逆不真 例1 3 2 设x - y r f ：x r f ( 工) 2 【 邮o , 1 1 】墨笔肭有理炼则f 是闭值燃g 础( 肿是瞧从而f 不为 闭映射 但是加上一些条件吾就有如下结果： 引理1 3 4 ( 可参见【2 1 】【4 0 】) 设y 为正则空间，若映射f ：x 一2 r 上半连续且闭值映射， 则f 是闭映射 引理1 3 5 ( 可参见【1 1 】【1 6 】) 如果集值映射f ：工一2 7 是闭映射，则vt x ， v y 。f ( ) ，y 。呻y ，有y f ( x ) 关于闭映射与上半连续映射的关系有下述著名引理： 引理1 3 6 ( 可参见【2 1 f 4 0 ) 如果映射，：z 一2 7 是闭映射，且空间y 是紧的，则f 在 贵州大学硕士学位论文 五上是上半连续的 注2 ：引理1 3 5 提供了一个证明集值映射是上半连续映射的有用的工具，但空间y 是紧 的是不可少，一般的空间未必成立 例1 3 3f ：r - ) 2 8 2 v 亭r ，f ( 宇) = b ，) ) ：) ，= 缸) 则f 是闭映射但它不是上 半连续的 事实上，对 ( 量，z 一) 】c g m 砷f = ( 芋，z ) ：z f ( 亭) ) ，设量一岛，乙- - - z o 因为 乙f ( ) ，设* ( ，儿) ，则y ；由z 一；( x o ，y 。) 知k 一，y 。一y 。，则 y o ；孝函，( x o ，y 。) f ( 磊) ，从而( 磊，z o ) g r a p h f ，这表明f 是闭映射 下证f 在岛一0 点不是上半连续的 取f ( 岛) ； b ，_ ) ，) ：y = o x 一 ( z ，。) ) ( 即 z 轴 )的邻域 ( f ( 磊) ) = ( 石，y ) ：一mc z t + m ，一1 c y t l ) ， 对 的任何邻域 ( 一6 ，+ a ) ，勤，昙( 一a ，+ 6 ) ，但是f ( 丢) 2 ( x ，y ) ：y5 i 1 工 征( f ( 岛) ) 故f 在 岛= 0 点不是上半连续的 定义1 3 5 如果f 在z 上上半连续且是紧值的，称集值映射f 称为u s c o 映射 集值映射的上半连续与下半连续是两个不同的概念，但下面著名的f o r t 定理指出了它 们之间的某种联系 引理1 3 7 ( p 4 d 设x 是一个h a u s d o r f f 拓扑空间，l ，是一个度量空间，f ：z 一2 7 是一 个u s c o 映射，则存在z 中一个剩余集q ，使得协c q ，f 在x 下半连续，从而连续 引理1 3 8 ( p 4 】) 设z 是一个h a u s d o r f f 拓扑空间，y 是一个度量空间，f ：j 一2 7 是一 个下半连续紧值映射，则存在x 中一个剩余集q ，使得v x q ，f 在z 上半连续，从而连续 根据定义1 1 1 1 知，如果f 在z 的一个剩余集上连续，则称f 在z 上是通有连续的；根 据引理1 1 1 7 如果xb a i r e 空间，则剩余集q 是x 的稠密子集，从而是第二纲的，于是可 以说f 在x 的大多数点都连续( 在b a i r e 分类意义下) 1 0 贵州大学硕士学位论文 第二章集值映射平衡点集的本质连通区 2 1 引言 近年来，非线性数学问题的研究已成为数学界研究的热点之一非线性分析作为数学的 一个重要分支，在控制论、对策论、数理经济学、生物数学、物理学、微分方程、非光滑分 析等众多领域中有着广泛的应用如泛函分析中的非线性算子，微分方程中的非线性方程， 拓扑学中的集值映射等都是非线性分析的研究对象 非线性数学问题研究的两个重要方面是解的存在性和稳定性我们建立的数学模型是对 实际问题的抽象描述，而我们首先要考虑的是模型是否有解，这就是解的存在性问题关于 非线性问题解的存在性问题，数学家们已做了大量的研究，得到了诸多非线性问题解的存在 性条件非线性问题的另一个重要方面是解的稳定性通常情况下非线性问题的解不是唯一 的即解构成一个集合这时我们面临一个问题是：哪些解是我们需要的? 从实际应用的角度 我们往往需要的解应该具有稳定性，即解对问题的参数的连续依赖性也就是说当问题的参 数发生微小变化时解也仅发生微小的变化本文中我们主要从通有稳定性和本质连通区的角 度来研究解集的稳定性所谓解集的通有稳定性是指在某类问题构成的空间中，大多数问题 的解( 在b a i r e 分类的意义下) 是稳定的但在这个空间中仍有很多问题的解是不稳定的， 因此我们转而考虑解集是否存在一个稳定的子集，即本质集或本质连通区的存在性的问题 1 9 5 0 年f o r d 3 3 1 为研究连续映射不动点的稳定性，引入了本质不动点的概念，因为不是 所有连续映射都至少存在一个本质不动点1 9 5 2 年k i n o s h i t a ”1 引入了不动点集本质连通 区的概念，并证明了对于任意将h i l b e r t 方体映入自身的连续映射，其不动点集至少存在一 个本质连通区1 9 6 2 年吴文俊和江嘉禾【州对有限n 人非合作对策首先引入了本质n a s h 平 衡点的概念1 9 6 3 年江嘉禾刎更对有限n 人非合作对策首先引入了n a s h 平衡点集至少存 在一个本质连通区【3 7 1 【4 4 】的结果是我国学者在6 0 年代发表的，结果是非常深刻的 上世纪末，俞建教授及其领导的研究小组成员向淑文教授、罗群教授、杨辉教授、林志 教授、周永辉副教授等应用非线性分析的方法深入研究了一般n 人非合作对策的n a s h 平衡 点集的本质连通区，并将这种方法广泛应用于各种非线性问题的研究取得了丰硕的成果 【9 1 4 1 8 2 4 1 1 3 8 1 1 4 1 - - 4 3 1 1 4 5 5 2 1 2 0 0 4 年俞建等又给出了一个统一的本质连通区的存在性条 件，意义非常深刻应用这个定理很容易导出不动点集和n a s h 平衡点集本质连通区的存在 性定理 贵州大学硕士学位论文 本章我们主要研究集值映射平衡点集的通有稳定性和本质连通区的存在性，并给出它的 两个应用 2 2 集值映射平衡点集的通有稳定性 设x 是线性赋范空间e 中的非空凸紧集，集值映射f ：x 一2 5 的平衡点问题是：求x 使得0 f ) ，x 称为f 的平衡点有很多问题可以归结为集值映射的平衡点问题，如集 值映射的重合点、动态经济模型的平衡点、集值映射不动点等关于集值映射的平衡点的存 在性 2 9 】中定理n 已有结果，一个自然的问题是稳定性的研究我们首先研究通有稳定性问 题 引理2 2 1e 为线性赋范空间，x 是e 中非空凸紧集f ：工一2 5 ，f 满足 ( 1 ) v x z ，f b ) 是一个非空凸紧集； ( 2 ) v x 工f 在x 处上半连续； ( 3 ) q x e e x ，f b ) n & 扛) 一g 则存在x x 使得o f ( z ) 注h 引理z - z - t 中矗扛) 是在x 点对于z 的切锥，乃b ) = c d 。u ，。! 。( 工一x ) ) ，其 中c l 表示闭包如果z 是闭凸集，则 ) 也是闭凸集 现在定义k 忙) 表示e 中所有非空紧集的全体记 m ，一f ：z k 陋) p 极上是上半连续的) ，对任意的五，e m 定义距离为 p ( 墨，e ) f f is u p h ( f 。( x ) ，f a x ) ) ，这里h 是x 上的h a i l s d o 堪距离由 4 3 中引理3 1 ( m 。，p ) 是完备度量空间 再定义m = ( f l f 满足引理2 2 1 中条件的( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ) ，mi - 的距离定义为 p ( 互，e ) = s u p 矗( 墨o ) ，e ) ) ，这里h 是xi - i 拘h a u s d o r f f 距离，这样，( 吖，p ) 就构成 了一个( m ，p ) 的子空间 定理2 2 i ( m ，p ) 是完备度量空间 贵州大学硕士学位论文 证明：由于( m 。，p ) 是完各度量空间，故只须证m 是m 1 的闭子集设 只m ，n ；1 2 ”p ( e ，f ) 一0 ，我们来证明：对任意的x x ( 1 ) f b ) 是非空的，闭 的，凸的( 2 ) v x e x ，f ( x ) n 巧( 工) 一彩 ( 1 ) 显然对任意的x e xf ( x ) 是非空的，闭的，下证f b ) 是凸的任取 t ，石：f 扛) ，a 【o ，1 】，则由p ( 只，f ) - - , o ，存在斗，0 只扛) 使得 毫“一_ ，工9 屯因e 扛) 是凸集，有a “+ ( 1 一a ) 工 只扛) 若 a 鼍+ ( 1 一a ) 圣fb ) ，则存在开集【，和y ，u n v ；彩，使桃+ ( 1 一a ) x z u ， f ( x ) c v 因 ( 只扛) ，f 0 ) ) 一0 ，存在n 使当n ，时，e ( x ) c v ，所以 硝4 + ( 1 一a ) 毋y 从而与缸f “) + ( 1 一a ) 鸢) 一弛+ ( 1 一a ) 艺矛盾所以 挑+ ( 1 一a ) 工：f ( z ) ，故f g ) 是凸的 ( 2 ) 因只( x ) n r x ( z ) 一彩，存在矗只b ) n 0 ( z ) 因p ( e ，f ) 一o 有 j i l ( e b ) ，f 扛) ) 一o 由引理1 1 1 2 ，有子列一工f ( z ) 又因为巧( x ) 且 巧( z ) 是闭集，所以x + 已o ) ，& v x x ，f b ) n 最( 工) 一g 综上知，m 是蝇的闭子集从而( 膨，p ) 是完备度量空间 对任意f m ，由引理2 2 1 知存在x 。x 使得o f ( x 1 ，定义 z ( f ) 一b 石i o f ( 工) ) ，即z ( v ) 是f 在x 中平衡点全体所成之集对任意 f m ，z 恒) - 0 ，这样z 就定义7 一个扶m 到x 的集值映射 定理2 ，2 2 集值映射z ： f _ 2 x 是一个u s c o 映射 证明：因x 是紧集，由引理1 3 6 要i t t 集值映射z 是上半连续的，只须证z 为闭映射， g f l 证g r a p h f = ( ，x ) m x x i f e m ，工z ( ，) ) 是闭集 对任意 ( 只，m ：?g r a p h z ，( e ，x n ) 一( ，x ) e mx x 下证 ( f ，x ) g r a p h z 塞型奎堂堡主兰竺兰羔 记l = s u p h ( f ( 工) ，f 扛) ) ，由只山f 得一o 又由j i l ( e ( ) ，( ) ) s6 n 且 = r 只( ) ，f ( 。) ，紧i 集，故有只( ) c u ( 厶，f ( ) ) 因f 在z 处上半连续及一x ， 则对v 0 ，存在 0 ，当n n 时，有f ( k ) c u ( f b ) ，) 对上述n 及s 当n n 时， f i n t s 得只( ) c u ( ，f ( x ) ) c u ( 2 e ，o ) ) ，由毛z ( e ) 得o 只( _ ) ， 故o u ( 2 9 ，f ( 石) ) 因f ( z ) 为紧集，且由s 的任意性得o f ( x ) ，从而，x z ( f ) 即 ( f ，x ) e g r a p h z 证毕 定义2 2 1 ( 1 ) 设，肘，x e z ( f ) ，如果对x 在z 中的任意邻域o ，存在6 o ， 使对任意f m ，当p ( f ，f ) o ，存在6 0 ，当p ( f ，f 1 6 时，有 _ i l ( z ( f ) ，z ( f ) ) ce ，于是集值映射f 的平衡点集是稳定的，同时该结果也是通有的 定理2 2 4 如果z ( f ) = x 为单点集，则f 是本质的 证明：f 是本质的只须证明z 在f 处是下半连续的即可故对x 中的任意开集g ， gr i z ( f ) g ，因z ( f ) = x 得g z ( f ) ，由定理2 2 2 知z 是上半连续的，从而， 存在6 ，o ，当p ( f ，f ) c 5 时，g d z ( f ) ，当然有z ( f ) n g g 即z 在f 处是 下半连续的，从而是本质的 例2 2 1 1 5 设e = r ，x _ 【o ，1 】，f ：【o ，1 】+ 2 5 ，定义f ( x ) ；o , v x e x ，则 f e m ，f 的平衡点集为x 考虑集值映射序列 f 。z ：i 如下：e ( 工) = 一言z ，v x e x ，显然 有p ( 只，f ) 一0 ，f l 是上半连续的由切锥的定义，已( 0 ) = 【o ，+ o 。) ，巧( 1 ) = ( 一o o ，o 】，当 贵州大学硕士学位论文 工( o ，1 ) 时t x 扛) e r 所以只( z ) n & 扛) o ，v x e x 所以e m 只的平衡点集是 o ) 所以除 o ) 外，的平衡点都不是本质平衡点如果令e 扛) = 一砉扛一1 ) ，协工，则 只m 以的平衡点集是 吣，所以石= o 也不是f 的本质平衡点所以f 的所有平衡点都 不是本质的 此例表明q m ，因此我们将在2 2 5 节研究集值映射平衡点集的本质连通区 2 3 图象拓扑与集值映射平衡点集的通有稳定性 j i a aj u , h u iy a n g 在一致度量拓扑下讨论了平衡点集的稳定性【3 8 1 。其定义如下：m 一 ( f l ，满足定理1 1 中条件的( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ) ，m 上的距离定义为 p ( e ，e ) - s u p h ( f 1 ( x ) ，e o ) ) ，这里h 是xf 的h a u s d o r f f 距离，这样，( 肼，p ) 就构成 8 了一个度量空间受向、杨【9 】和周【1 8 】的启发，注意到这种集值映射的图象拓扑严格弱于一 致度量拓扑的收敛 9 还给出了一个例子表明这种关系设x = 卜1 1 】， ：x 一2 。定 - 1 ，l s t x s m 一 2 z 【一1