（发展与教育心理学专业论文）解决高中代数应用问题的类比思维策略及训练研究.pdf

解决高中代数应用问题的类比思维策略及其训练研究 简洪权 ( 西南师范大学心理学系，重庆，4 0 0 7 15 ) 摘要 本研究设计了两个实验，探讨了解决高中代数应用问题中的类比思维策略 及对高三年级学生进行类比思维策略训练的效果。f 研究1 采用专家与新手对比 分析的方法，对4 名优生和2 名中等生、2 名差生进行个别测试，并对其解题的 类比思维过程，进行对比分析。探讨解决高中代数应用问题的类比思维策略。 结果表明，( 1 ) 优生在解决高中代数应用问题的每一阶段上能使用一些不同的类 比思维策略，中差生因没有运用这些思维策略而不能成功地解决问题；( 2 ) 优生 所使用的成功策略主要有：精读问题句、细读条件句、判断靶问题的类型、在 靶问题所属类型中检索与靶问题结构相似的源问题、分析源问题的解决方法、 比较源问题与靶问题的区别和联系。研究2 采用对比实验的方法，探讨对学生 进行类比思维策略训练的效果。首先，根据研究1 的结果编写出高中代数应用 问题前测题、难度大于前测题的后测题、类比思维策略教程、类比思维策略训 练效果的调查问卷。其次，用前测题对成都第十二中学高三年级六个班的学生 进行测试，根据测验成绩选出各方面条件相近的两个班作为实验组和对比组， 并按前测成绩将实验组和对比组分别划分为优、中、差三种不同层次的学生。 然后，先利用两个星期共8 个课时的时问，用类比推理思维策略训练教程对实 验组讲授解决高中代数应用问题的类比思维策略，同时，用传统的教学方法对 对比组讲授相同的例题和习题；再利用半个月的时间，要求实验组每天按照教 程中的思维流程图和自我调控单的要求完成训练题中的两个练习题，并要求对 比组完成相同的练习题。最后，用前测题和后测题对实验组和对比组同时进行 、一一一 测试，测试后用调查问卷对实验组进行调查。采用s p s s 9 0 进行统计分析j 结果 j 表明，对学生进行解决高中代数应用问题的类比思维策略训练能显著提高学生 解决高中代数应用问题的能力：优生和中等生的训练效果显著( p q ，且p r = 2 ( p q ) 要使容器内溶 | 液的浓度不小于口，问至少要进行多少次上述操作( 1 9 2 = 0 3 0 1 0 ) ? 我是怎样藿解是意的? 1 9 读完意后我想列的蠢问：嚣是- 我是怎样想到这个瑟问意的? 5 汽车在行使中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停 住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素在一 个限速4 0 千米小时以内的湾道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同 时刹车，但还是相碰了，事发后，现场测得甲车的刹车距离略超过12 米，乙车的刹 车距离略超过1 0 米，又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( 米) 与车速z ( 千米小 时) 之i 目- j 分别有如下关系：s _ = 0 1 x + o 0 1 x 2 ，s ，= o 0 5 x + o 0 0 5 x 2 ，问应负主要 责任的是谁? 我是怎样基解是意的? 读完是后我想到的源问惠是： 我是怎样想到这个濠问题的? 6 a 地生产汽油，曰地需要汽油，若直接用汽车从a 地往b 地运油，则汽车 往返的耗油量正好等于其满载汽油的吨数因次需在a b 之间的c 处设一中转油 库，记a c = d ，先由往返于a 、c 之间的汽车x 辆把汽油运至c 地，然后由往返 于c 、b 之间的汽车y 辆把汽油运至b 地，根据运输经济原则，每辆汽车都要满 载，且使c 站运进与运出的汽油吨数相等问d 等于多少时，运油率最大? 此时x 与y 的比值是多少? ( 提示：运油率等于b 地收到的汽油量与a 地运出的汽油量的 比值) 我是怎样理解是意的? 读完是后我想到的漂问题是： 我是怎样想到这个熏问题的? 7 汽车从刹车到停车所通过的距离称为刹车距离，用三来表示已经知道刹 车距离是汽车时速v 及汽车总重量m 的函数，三= b 2 m ( t 为常数) 汽车满载 时的载重量是汽车自身的4 倍，现有一辆空车以6 0 千米小时的速度行驶时，从 刹车到停车共走了2 0 米汽车满载行驶时，要求在突然发现前方3 5 米处有障碍 物时，能在3 0 米内把车刹住已知司机从发现前方障碍物到作出刹车反应需0 6 秒，问汽车满载时允许的最大时速是多少? 我是怎样理解是意的? 读完是后我想到的羹问是是： 我是怎样想到这个源问是的? 8 一轮船每小时的燃料费与其速度的立方成正比，已知速度为l o ( 千米小 时) 时，燃料费为( 2 0 元小时) ，其余费用( 不随时间变化) 为3 2 0 ( 元d , 时) ，则当 轮船的速度为每小时多少千米时，航行每千米的费用总和最少? 最少为多少元? 我是怎样理解意意的? 读完题后我想到的源问题是： 我是怎样想到这个深问题的7 9 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距s ( 千米) ，水速为常量 p ( 千米时) ，船在静水中的最大速度为g ( 千米时) ( q p ) ，已知船每小时的燃 料费用( 以元为单位) 与船在静水中速度( 千米时) 的平方成正比，比例系数为t 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少? 寂是怎样理解囊意的? 读完是后我想到的瑟问是是： 我是怎样担到这个蠢问是的? 1 0 如图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输 入，经过各对轧辊逐步减薄后输出 ( i ) 输入带钢的厚度为a ，输出带 钢的厚度为口，若每对轧辊的减薄 弼一聍 率不超过r o ，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? 注：一对轧辊的减薄率= 捡这放啦堂铟厘廑= 丛这殖捡出曲鲎铟厘廑 输入该对的带钢厚度 ( i i ) 已知一台冷轧机共有4 对减薄率为2 0 的轧辊，所有轧辊周长均为1 6 0 0 m m 若第七对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢 上，疵点的间距为t 为了便于检修，请计算厶、三：、厶并填入下表( 轧钢过程 中，带钢宽度不变，且不考虑损耗) 轧辊序号 1234 l 疵点问距厶( 蚴) 1 6 0 0 我是怎样理解是意的? 读完是后我想到的濠问题是： 袁是怎样想到这个熏问题的? 附录二 高三数学代数应用是前测是 说明：本试卷共1 0 个小意。满分1 0 0 分。测试时同1 2 0 分钟请将解答过程写在答 是纸上 1 某种鸟类的幼鸟当年内就可v j , 繁殖，假设一只雌鸟每次只繁殖一只雌鸟， 若每只雌鸟每年繁殖一次，1 7 一只雌鸟经过几年后的种群数量可以达到l0 0 0 只? 2 有甲、乙两种农产品，经营销售这两种农产品所能获得的利润依次为m 1 一 与n ( 万元) ，它i f 与投入资金x ( 万元) 的关系分别为m = 一1 五n = 三x ，今有 2 01 0 资金a 万元投入经营这两种农产品，问对甲、乙两种农产品各投入多少资金时， 能获得最大的利润? 最大利润是多少? 3 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等 如果用两台抽水机抽水，4 0 分钟可抽完；如果用4 台抽水机抽水，1 6 分钟可抽完 如果要在1 0 分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机? 4 为了保护环境，实现城市绿化 某房地产公司要在长方形拆迁地 a b c d ( 如图) 上规划出一块长 方形地面建造住宅小区公园( 公园 的一边落在c d 上) ，但不能越过文 物保护区a a e f 的线e f aeb 问如何设计才能使公园占地面积最大? 并求出最大面积( 己知 a b = c d = 2 0 0 m ，b c = a d = 1 6 0 m ，a e = 6 0 m ，a f = 4 0 m ) 5 1 9 9 8 年，某地在抗洪抢险中接到预报，2 4 小时后有一个超历史最高水位的 洪峰到达，为保万无一失，指挥部决定在2 4 小时内筑起一道堤坝作为第二防线 经计算，除动用现有的军民连续奋战外，还需要2 0 台大型翻斗车同时作业2 4 小 时；但是，除了第1 辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各地紧急抽调，每隔 2 0 分钟有一辆车到达投入作业已知指挥部最多能组织到2 5 辆车，问2 4 小时内 能否完成第二道防线工程? 说明理由 6 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如 果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内 全部按全票价的6 折优惠”( 即按全票价的6 0 收费) 已知金票价为2 4 0 元，问 到哪家旅行社买票更划算? 7 某公司生产a 种型号的家庭电脑，1 9 9 5 年平均每台电脑的生产成本为 5 0 0 0 元，并以纯利润2 0 标定出厂价，1 9 9 6 年开始，公司更新设备，大力推广技术 革新，并加强企业内部管理，从而生产成本逐年降低，1 9 9 9 年平均每台a 种型号 的家庭电脑尽管出厂价仅是1 9 9 5 年出厂价的8 0 ，但却实现了纯利润5 0 的高效 益求从1 9 9 5 至1 9 9 9 年生产成本平均每年降低的百分数( 精确到0 0 1 ) 注：必要 时，可参考以下数字： 压：2 2 3 6 ，压：1 4 1 4 ，以：1 7 3 2 ，厢：2 4 4 9 ，丽= 0 8 9 4 ， 0 4 - 6 丽9 s ：0 9 9 ，30 j 函6 4 ：0 8 6 2 8 某工厂生产的商品为a ，若每件定价为8 0 元，则每年可销售8 0 万件，政 府税务部门对市场销售的商品4 要征收附加税，为增加国家收入叉有利于生产发 展，必须合理确立税率根据市场调查，若政府对商品a 征收附加税率为p ( 即 销售1 0 0 元时应征收p 元) 时，每年销售额将减少1 0 p 万件问：( 1 ) 若税务部门 对商品a 每年征收的税金不少于9 6 万元，求p 的取值范围( 2 ) 若税务部门仅仅 考虑每年所获得税金最高，求此时p 的值 9 某公司在爿，口两仓库各有某种机器1 2 台和6 台，现调运到甲地1 0 台，乙 地8 台己知从彳仓库调运到甲、乙两地的运费分别为4 0 0 元台、8 0 0 元台， 从b 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为3 0 0 元台、5 0 0 元台( 1 ) 设从b 仓 库调往甲地x 台，求总运费y 关于工的函数关系式( 2 ) 若要求总运费不超过9 0 0 0 元，问共有哪几种调运方案? 并指出运费最少的是哪种方案 10 某医院用1 0 0 万元购进一台医疗仪器，该仪器第n 年的保养、维修费为 口。= 1 4 + o 2 ( n 1 ) 万元，n n 又第 年管理人员、操作人员的工资费用为 b 。= 5 ( 1 + 5 ) “万元，疗n 若平均每年有1 0 0 0 人次病员用该仪器作检查，要使 2 0 年收回全部投资( 含购机、维修、工资等j ，问每个病员检查一次至少应收费 多少7 y 元( 精确到元) ? ( 注：当o x o 0 5 时，可用近似公式( 1 + x ) ”* l + 埘+ n ( f n - 1 ) j 2 计算) 高三数学代数应用是后测是 1 据市场调查，某商品在最近的4 0 天内的价格厂( ，) - 9 时间f 满足关系 f ( t ) ： j + 1 1 ( o 1 2 ，得x 3 0 ，故甲车的行驶速度略超过3 0 千米 小时由0 0 5 x + o 0 0 5 x 2 1 0 ，得x 4 0 ，故已车的行驶速度略超过4 0 千米小时 通过比较，知乙车超过限速，应负主要责任 例2 如图，铁路上彳b 段长l o o 公l ，；r - t c 到铁路的距离c a 为2 0 公里，现在 要在爿占段上某一点d 处，向c 修一条公路，已知铁路每吨公里和公路每吨公里 的运费之比为3 ：5 ，为了使原料从供应站b 运到x - t c 的运费最省，d 点应选在 何处? 么c bda 精读问是句：为了使原料从供应站b 运到工厂c 的运费最省，d 点应选在 何处? ( 即是求当a d 或b d 或- 4 c d 或- 4 d c 等于多少时，运费最少? ) 细读条件句：已知铁路每吨公里和公路每吨公里的运费之比为3 ：5 ， a b 段长1 0 0 公里，c 到铁路的距离c a 为2 0 公里 由此，不难找到一个我们以前已成功地解决了的问题：求最大、最小值的 问题分析这一问题的解决方法：将所求最大、最小值的量表示为另外一个或几 个量的表达式，然后求表达式的最大、最小值 迁移方法解决该问题：设a d c = 口，铁路每吨公里的运费为3 ( 元) ， 则公路每吨公里的运费为5 ( 元) ，此时原料从供应站曰运到工厂c 的运费为 y ( 元) 由题意，y ：5 _ 2 0 + 3 0 0 0 一2 0 c 增口) ：2 0 ( 王罂) + 3 0 0 令喀詈= f ，则 y = 2 。兰! ! ! ：半t 3 0 0 = 2 0 x ( + 4 ，) + 3 。2 。4 + 3 。 当且仅当! t = 4 r ，即f = 互1 ，此时咖口= 导，c 增口= 言，得爿d = 1 5 故当d 点取在距a1 5 公里处时运费最省 练习1 一轮船的燃料费与其速度的立方成正比，已知速度为1 0 千米小时的 时候，燃料费为每小时2 0 元，其余费用( 不随时间变化) 为每小时3 2 0 元，则当轮 船的速度为每小时多少千米小时时，航行每千米的费用总和最小? 最小值是多少 元? 精读： 细读： 练习2 某种商品每个进价8 0 元，零售价为每个1 0 0 元原来每天售a 个，现 为了促进销售，采用每卖一个这种商品赠送一个小礼物的办法进行销售实验表 明，礼品价值为每个1 元时，每天销售量增加1 0 ，且在一定范围内，礼品价值每 增加1 元，销售量也增加1 0 为获的最大利润，礼品价值应定为多少元? 精读： 细读： 练习3 某农民攒钱供女儿上大学，从女儿上初中起，每年省下一笔固定t t t l 存入村, ；d - - a - 业，按年利率x i 计患这样，到第7 年至1 0 年，他就可以每年从村办 企业取出一笔存款，加上当年省下的固定数额共3 0 0 0 元作为女儿当年上大学的 费用若该农民第1 0 年正好将存款本息取完，试将他每年省下的固定数额y ( 元) 表示成x 的函数关系式 糟读： 细读： 第二课检索蕙问惠 在准确地理解题意之后，要顺利地解决高中代数应用问题，还需用一定的数 学知识一般说来，所用的知识有方程、不等式、函数、数列，在解决某一个高中 代数应用题时，究竟用哪些知识? 这是在解答问题之前应该解决的不少的研究表 明，与所要解决的新问题( 称为靶问题) 的结构和策略类似的问题( 称为源问题) 对 解决靶问题起着重要的作用，人们常常要通过靶问题与源问题的类比而找到解决 靶问题的方法h o l y o a k 等人进一步指出，类比迁移过程有两个主要环节，第一是 类比源的选取，即搜索记忆中可供参考的解决方法或可资利用的例子，以确定靶 问题应该用哪个原理去解决，称为问题的类比；第二是关系的匹配或一一映射，即 把靶问题与源问题的各个部分进行匹配，根据匹配产生解决靶问题的方法，这是 原理的运用那么，怎样检索源问题呢? 策略3 判断靶问起的类型 策略4 在靶问起所属类型中检索与靶问题结构相似的瑟问题 例3 爿地生产汽油，曰地需要汽油，若直接用汽车从一地往b 地运油，则汽 车往返的耗油量正好等于其满载汽油的吨数因次需在4 b 之问的c 处设一中转 油库，记a c = d ，先由往返于彳、c 之间的汽车x 辆把汽油运至c 地，然后由往 返于c 、b 之间的汽车y 辆把汽油运至占地，根据运输经济原则，每辆汽车都要 满载，且使c 站运进与运出的汽油吨数相等问d 等于多少时，运油率最大? 此时 x 与y 的比值是多少? ( 提示：运油率等于b 地收到的汽油量与彳地运出的汽油量 的比值) 精读问是句：问d 等于多少时，运油率最大? 此时x 与y 的比值是多少? 即是 求运油率的最大值 细读条件句：若直接用汽车从一地往b 地运油，则汽车往返的耗油量正好等 于其满载汽油的吨数，在, 4 b 之间的c 处设一中转油库，记, 4 c = d ，先由往返于 爿、c 之间的汽车x 辆把汽油运至c 地，然后由往返于c 、b 之问的汽车j ，辆把 汽油运至b 地，每辆汽车都要满载，且使c 站运进与运出的汽油吨数相等 判断靶问是的类型：由于本题是问当变量d 取何值时，变量运油率的最大值 因此它应是函数类型的题 在靶问是所类型中检索与靶问题结构相似的豫问是：已知两个变量之间的 关系，求其中一个变量取何值时，另一个变量取得最大或最小值 迁移豫问题的解决方法解央靶问题：设4 c = d 时，运油率为p ，且设4 b = s ， 每辆汽车满载时的汽油量为口吨则c 站能运出的汽油数为： 甜一兰似= 生础吨，b 地能收到的汽油数为缈一生署a p = 兰缈吨，由运 输经 济原则 知 s d 1 “2 叫 d 妄=型小警-一d妄d(sr-d)1ssss ( 型2 ) 2 _ 三4 当且仅当x甜x 2 2 、，i d = s d 即d = 詈时取等号此时x ：_ y = 2 ：1 故当c 设在4 b 的中点，且 x ：y = 2 ：1 时，运油率最大为 4 例i ：图1 为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输 入，经过各对轧辊逐步减薄后输出 ( i ) 输入带钢的厚度为口，输出带 钢的厚度为p ，若每对轧辊的减薄珊一肛 率不超过r o ，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? 注：一对轧辊的减薄率= 捡这殖鳗鲎铜厘廑= 丛这盘捡出煎堂鲴厘廑 输入该对的带钢厚度 ( i i ) 已知一台冷轧机共有4 对减薄率为2 0 的轧辊，所有轧辊周长均为16 0 0 m m 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢 上，疵点的间距为l k 为了便于检修，请计算l ，、l ：、l ，并填入下表( 轧钢过程 中，带钢宽度不变，且不考虑损耗) ， l轧辊序号k l234 i 疵点间距l 。( m m ) 1 6 0 0 精读问是句：( i ) 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? 即至少需要安装多少 对轧辊，才能使输出的带钢厚度为? ( i i ) 计算疵点的间距为厶、：、l ，即是 当第1 对轧辊有缺陷时，求疵点的间的距离厶；当第2 对轧辊有缺陷时，求疵点问 的距离l ：；当第3 对轧辊有缺陷时，求疵点问的距离l 3 细读条件句：( i ) 输入带钢的厚度为口，输出带钢的厚度为，若每对轧辊 的减薄率不超过“，注：一对轧辊的减薄率= 捡厶这殖鲍堂铟星廑二丛这盘捡出煎鲎细厘廑 输入该对的带钢厚度 ( i i ) 已知一台冷轧机共有4 对减薄率为2 0 的轧辊，所有轧辊周长均为1 6 0 0 m m 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢 上，疵点的间距为l 。( e l 钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗) 判断靶问惠的类型：( i ) 由于靶问题是求轧辊对数允许的最小值，也即是求 轧辊的取值范围，因此它属不等式类型，( i i ) 由于靶问题是求疵点问的距离，因 此它属方程类型 在靶问是所类型中检索与靶问意结构相似的潭问题：( i ) 已知一个量满 足一定的条件，求这个量的取值范围( i i ) 已知一个量满足一定的条件，求这个 量的值 迁移豫问是的解决方法解决靶问是：( i ) 法一：( 1 ) 安装n 对轧辊能使输出 的带钢厚度为卢，且设第n 对轧辊的减薄率为，( 2 ) 则0 ( r o ，且厚度为口的 带钢经过n 对轧辊后的厚度是口( 1 一，1 ) ( 1 一屹) ( 1 一) ，由题意可知 a u 一) ( 1 一) ( 1 一) = ， ( 3 ) 。口( 1 一，1 ) ( 1 一，2 ) ( 1 一) 口( 1 一) ”，口( 1 一) ”，解得”揣 ( 4 ) 故至少安装不小于锗的整数对轧辊 法二：( 1 ) 安装n 对轧辊能使输出的带钢厚度为，且设第 对轧辊的减薄率 为_ ，( 2 ) 则0 s ：，故方案1 较优 例6 在一容器内装有浓度为r 的溶液口升，注入浓度为p 的溶液去口升， 搅匀再倒出溶液三口升，这叫作一次操作设p g r ，且p - r = 2 ( p g ) 要使容 器内溶液的浓度不小于口，问至少要进行多少次上述操作( 1 9 2 = 0 3 0 1 0 ) ? 精读问题句：要使容器内溶液的浓度不小于g ，问至少要进行多少次上述 操作即是求经过多少次操作能使溶液的浓度大于或等于4 细读条件句：容器内装有浓度为，的溶液口升，注入浓度为p 的溶液 1 a ，p q ，且p r = 2 ( p g ) ，1 9 2 = o 3 0 1 0 判断靶问题的类型：靶问题属不等式和数列的综合题 在靶闫意所类型中检索与靶闫起结杓相似曲奠阎意：已知一个量满足一定 的条件，求这个量的取值范围 分析豫问是的解决方法：先求建立关于这个量的不等式，然后解不等式( 设未知量，建立关于未知量的不等式( 组) ，解不等式( 组) ，得结论) 比较蠢闫意与靶问是的区别和联舂：源问题中建立不等式一般比较容易，靶 问题中建立不等式时比较困难 解：设经过n 次操作能使溶液的浓度不小于g ，且设经过n 次操作后溶液的 ，ap a 一j 浓度为，由题意：口。= 半= 上1 0 0 ( 兰5r + ；p ) ，且 4 口p ! ：! ：至：巫( 。 2 1 ， 口+ 旦 5 4 a 。4 p o 石 ，扣一孟m 一一志， 令6 。2 一而p ，则 “2 盱而p = 而1 了4 ，+ ；p ) 一而p = 而4 ( ，一p ) ， 且言。= a 。一- ，。b 。n 一= 詈 数列 瓦) 是以丽4p p ) 为首项，以詈为公比的等比数列 = 而4 ( ，- 办( 争 鸭= 志( 一办夸“+ 志= p l o 石一而1 了4 九p 叫 由题意有旦1 0 0 一而1 ( 邓4p r ) 而q ， p r = 2 ( p g ) ，而p 一可14 ) ”2 ( p g ) 而q ， t 箭而1 ( 尹4 ”2 ( p 刊，( 争 2 坚：旦：! ：型! 。3 1 0 3 l 垡5 一】乜41 3 】9 21 3 0 3 0 1 0 故要使容器内溶液的浓度不小于g ，至少要进行4 次操作 注：本题也可用观察、归纳、猜想、数学归纳法证明的方法 练习7 ：下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素 、b 的含量及成本 申 乙丙 维生素a ( 单位千克) 4 0 06 0 04 0 0 维生素b ( 单位千克) 8 0 02 0 04 0 0 成本( 元千克) 765 营养师想购这三种食物共1 0 千克，使之所含维生素a 不少于4 4 0 0 单位，维生素 b 不少于4 8 0 0 单位 ( 1 ) 试用所购甲、l - 种食物的量表示成本； ( 2 ) 三种食物各购多少时，成本最低，最低成本是多少? 精读问题句： 细读条件句： 判断靶问是的类型： 在靶问题所属类型中检索与靶问题结构相似的瑟问意： 分析源问是的解决方法： 比较翼问题与靶问题的区别和联系： 解： 练习8 ：某企业进行技术改造，提出两种方案甲方案是：一次性投资8 0 万元， 引进一条先进生产线，每年可增加收入2 0 万元；乙方案是：一次性投资6 0 万元， 改进现有设备，每年均可减少成本开支1 8 万元( 减少成本开支相当于增加收入) 资金往来都经过银行结算，银行进出款的年利率都是5 如果甲乙两种方案同时 开始实施，实施的期限都是1 0 年，问实施哪种方案所获得的净收益较高? 注：甲方案实施一年后见效益，乙方案一开始实施就见效益： 净收益= 累计增加的总收入( 或累计减少的成本开支) 减去原投资金额 ( 均须计利息) ； 必要时可参考下列数据：1 0 5 9a1 5 5 ，1 0 5 ”z1 6 3 ，1 0 5 “* 1 7 1 精读问题句： 细读条件句： 判薪靶问题的类型： 在靶问意所属类型中检索与靶问是结构相似的漂问t l ： 分析源问是的解央方法： 比较源问题与靶同意的区尉和联系： 解： 练习9 ：在一容器内装有浓度为，的溶液口升，倒出溶液去口后再注入浓 度为p 的溶液去口升( p ，) 搅匀如此反复操作，求第n 次操作后溶液的浓度 为 精读问题句： 细读条件句： 判断靶问是的类型： 在靶同意所类型中检索与靶同意结杓相似的熏问惠： 分析蠢问题曲解决方法i 比较蠢问题与靶问是的区捌和联系： 解： 第四课总结 前面三课学习了解决应用问题的思维策略，若能在解决应用问题的过程中有 意识的使用这些策略，就可以解决各种复杂的问题同时在解决其它复杂的数学 问题时，若能使用这些策略使问题得以解决但为了提高学习效益，对一些熟悉而 简单的问题，没有必要按部就班譬如：源问题的解决方法应该在平时的学习中逐 步积累，在解决问题的过程中就可以直接运用一般说来， ( 1 ) 方程类型题的解题步骤是：设未知数，建立方程( 组) ，解方程( 组) ， 得结论 ( 2 ) 不等式类型题的解题步骤是：设未知数，建立不等式( 组) ，解不等 式( 组) ，得结论 ( 3 ) 函数类型题的解题步骤是：设自变量和因变量，建立函数关系式， 利用函数知识解决问题( 一般是求最大、最小值) ，得结论 ( 4 ) 数列类型提她的解题步骤是：设数列的项，建立数列相邻几项之间的 关系式，利用数列知识解决问题，得结论 练习1 0 ：从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机收割一片小麦，若这 些收割机同时到达，则2 4 小时可收割完毕但由于它们距离不同，是每隔一段相 同的时间依次投入工作的如果第一台收割机的总工作时间恰好是最后一台的总 工作时间的5 倍，问这种收割方式在这片麦地上工作了多长时间? 练习1 1 某工厂投资5 万元生产甲、乙两种产品，一年生产甲、乙产品的利 1 ，2 润分别为p 和q ，它们与投资x ( 万元) 的函数关系式分别为e ( x ) = 等一笔与 )z u 1 q ( x ) = 之x ，( 1 ) 问甲、乙两产品的投资分别为多少时，一年所获利润最大? ( 2 ) 要 4 u 使一年的利润不少于0 7 5 万元，至少投资甲产品多少万元? 练习1 2 预计某地区明年从年初开始的前x 月内，对某种商品的需求总量 1 f ( x ) ( 万件) 与月份x 的近似关系为f ( x ) = 熹x 0 + 1 ) ( 3 5 2 x ) ( x n ，且 i ) u x 1 2 ) ( 1 ) 写出明年第x 个月的需求量g ( x ) ( 万件) 与月份x 的函数关系式，并求 出哪个月份的需求量超过1 4 万件；( 2 ) 如果将该商品每月都投放市场p 万件，要 保证每月都满足供应，p 应为多少? 练习1 3 某种商品，原来定价为每件p 元，每月将卖出”件假若定价上涨x 成( 这里x 成即二1 a ，0 x 1 00 ，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 l u 1 z 倍( 1 ) 设y = 甜，其中a 是满足三a o ) ( 空闲率：为空闲量与最 大养殖量的比值) ( 1 ) 写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； ( 2 ) 求鱼群中增长量的最大值； 【3 ) 当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围 5 某商场采取降价促销的办法改善经营已知某种商品的定价减少x 成( 1 成即为1 0 ) ，其日销售量便相应增加昙z 成按规定，税金是从销售金额中按一 定百分率( 即税率) 缴纳的设减价前，这种商品的定价为a 元件，日销售量为 b 件，减价后税率为p ( 1 ) 减价后日销售金额中扣除税金后所余余额是x 的函数厂( x ) ，求，0 ) 的表达 式； ( 2 ) 当1 x 3 时，要使f ( x ) 都不小于减价前的日销售金额，那么税率p ( 0 p 1 ) 不 得超过多大的值? ( 精确到0 1 ) 注：销售金额= 销售量定价，税金= 销售金 额税率】 6 。汽车从刹车到停车所通过的距离称为刹车距离，用上来表示已经知道刹车 距离是汽车时速v 及汽车总重量m 的函数，= j h ，2 m ( 七为常数) 汽车满载时 的载重量是汽车自身的4 倍，现有一辆空车以6 0 千米b 时行驶时，从刹车到停 车共走了2 0 米汽车满载行驶时，要求在突然发现前方3 5 米处有障碍物时，能在 3 0 米内把车刹住已知司机从发现前方障碍物到作出刹车反应需0 6 秒，问汽车 满载时允许的最大时速是多少? 7 某电器公司生产a 种型号的家电，1 9 9 4 年平均每台生产成本为15 0 0 元并 以纯利润2 0 _ l 标定出厂价1 9 9 5 年开始，公司更新设备，大力推广技术革新，从而 生产成本逐年降低1 9 9 7 年平均每台a 种型号的家电尽管出厂价仅为1 9 9 4 年出 厂价的6 0 ，但却实现了利润2 5 的高收益 求：( 1 ) 1 9 9 7 年a 种型号家电的生产成本；( 2 ) 以1 9 9 4 年生产成本为基数，1 9 9 4 年至1 9 9 7 年生产成本平均每年降低的百分数( 精确到0 0 1 ，注v 3 = 1 4 4 或 i 塑：0 8 3 ) v 1 5 0 0 8 某商店经销一种货物，年进货量为5 万件，分若干次等量进货( 不妨设每 次进货x 件) ，每进一次货需运费5 0 元，且可保证售完时能立即进货，现以年平 均委件货物储存在仓库里，库存费用以每件2 0 元计算，欲使一年内运费和库存费 之和最省，则每次进货量x 应为多少件才好? 9 某城市1 9 9 0 年底的人口为1 0 0 万，人均住房面积为6 m 2 已知该城市人口 每年平均递增1 且每年要平均拆除危旧房1 万m 2 ，为使该城市到2 0 0 0 年底人均 住房面积达到8 m 2 ，那么每年应新建住房面积多少万m 2 ( 精确到1 万肌2 ) ? 1 0 如图今有甲、乙两地生产相同的矿石，甲、乙每天分别产生1 0 万吨，a 、 b 两地分别需要矿石6 万吨和1 2 万吨，已知甲、乙和a 、b 的距离如图所示，问 怎样调运才能使总运输的吨公里最小 4 1 田 b 1 1 为了正确估价一件旧耐用商品的价值，人们引入“折旧”的概念，并用折 旧率来表示设k