高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社6.ppt

9.连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,定理1：,设f(x),g(x)在点x0处连续，则,(1)f(x)g(x)在点x0处也连续；,(2)f(x)g(x)在点x0处也连续；,在点x0处也连续。,例：,讨论(1)y=xn,(2)y=tanx的连续性。,(1),y=x在其定义域(-,+)连续，,y=xn=xxx(有限个x的乘积)在(-,+)也连续。,(2),y=sinx,y=cosx在其定义域(-,+)连续,幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的。,二、反函数与复合函数的连续性,定理2：,单值且单调的连续函数的反函数必存在，,且也单值、单调且连续。,例：,单值、单调且连续，,也单值、单调且连续。,反三角函数在其定义域上都是连续函数。,定理3：,复合函数的极限存在性,定理4：,a;,复合函数的连续性,而y=f(u)在u=a连续，,而y=f(u)在u=u0连续，,连续函数的复合仍为连续函数。,例1：,解：,例2：,讨论y=ax,y=logax(a0,a1)，,y=x(为一切实数)的连续性。,均在其定义域连续，,其反函数y=logax也在其定义域连续。,均在其定义域连续，,y=x(为一切实数)也在其定义域连续。,解：,三、初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内都是连续的。,一切初等函数在其定义区间内都是连续的。,定义区间：,指包含在定义域内的区间。,1.,初等函数在其定义区间内任何一点的极限值就是函数在该点的函数值。,2.,初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。,例题讨论,例1：,解：,连续区间为：,例2：,试选择a,使f(x)为连续函数。,解：,x1时,f(x)连续；,所以只要f(x)在x=1连续，就能使得,f(x)为连续函数。,例2：,试选择a,使f(x)为连续函数。,例3：,解：,课外作业,习题19(A),2，3(5,8,10,11,12),习题19(B),1(2,3)，3(4,7,8)，4,设f(x)在区间I上有定义，,最大值和最小值的概念,则称,是函数f(x)在区间I上的最大值,（最小值）。,10.闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理,（有界性与最大值最小值定理）,定理1：,在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且一定能取到最大值和最小值。,即若f(x)在a,b上连续，则必存在两点,m=,=M,(最小值),(最大值),a,b,说明：,闭区间，连续函数，缺一不可。,若不是闭区间，,如：y=x在(a,b)内连续，,a,b,。,。,无最小值,无最大值,若f(x)不连续，如：,1,1,2,。,。,.,也无最大最小值。,定理中两条件：,二、零点定理与介值定理,定理3：,(零点定理),且f(a)与f(b)异号，(即f(a)f(b)0),则至少存在一点,设f(x)在a,b上连续，,a,b,f(a),f(b),.,结论又可表示为：,方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。,定理4(介值定理),设f(x)在a,b上连续，且,f(a)=A,f(b)=B,AB,则对于A、B之间,的任一数C，至少存在一点,使f()=C.,证：,则在a,b上连续，,因为C在A、B之间，所以(a)(b)0,由零点定理，,至少存在一点,a,b,C.,A,B,C.,推论：,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。,例题讨论,例1：,证明,证：,设f(x)=excosx,由零点定理，,至少存在一点,例2：,证明方程,证：,由零点定理，,至少存在一点,得证。,例3：,设f(x)在0,2a上连续,f(0)=f(2a),证：,则F(x)在0,a上连续，,且F(0)=f(0)f(a),F(a)=f(a)f(2a),=f(a)f(0),若f(0)f(a)=0,命题得证。,例3：,设f(x)在0,2a上连续,f(0)=f(2a),证：,且F(0)=f(0)f(a),F(a)=f(a)f(0),若f(0)f(a)0,命题得证。,则F(0)与F(a)异号，,由零点定理知，,函数的定义,反函数,隐函数,反函数与直接函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性,双曲函数与反双曲函数,左右极限,两个重要极限,求极限的常用方法,无穷小的性质,极限存在的充要条件,判定极限存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函数极限,等价无穷小及其性质,唯一性,两者的关系,无穷大,左右连续,在区间a,b上连续,连续函数的性质,初等