（应用数学专业论文）多种群矩阵博弈及其ess、nis和gis.pdf

学位论文版权使用授权书 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电 子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致，允许论文被 查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国学位论文全文数 据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社将本论文编入中 国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。论文的公布( 包括刊登) 授 权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密。 学位论文作者签名：考? 辛噜 1 年6 月_ 7 日 指导教师签名： 严妄 山年6 月八日 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s e s s 、n i sa n dg i sf o rm a t 砒xg a m e s i nm u t i ls p e c i e s 江苏大学硕士学位论文 摘要 古典博弈论的主要缺陷是对理性的要求太高，而演化博弈理论很好的解决 了这个缺陷。演化稳定策略( e s s ) 是演化博弈理。仑中最基本的概念。e s s 能 够成功抵御其他变异策略的入侵，而入侵策略是能够成功进入种群的策略。 本文的主要内容是多种群二人矩阵博弈的三个概念：演化稳定策略( e s s ) 、 局部入侵策略( n i s ) 与全局入侵策略( g i s ) ，以受e s s 、n i s 、g i s 的性质及 三者之间的关系。 本文针对多种群矩阵博弈模型，主要从两个角度来分析策略的演化稳定性： 从整个系统的角度和各个种群的角度。一方面从系统的角度分析多种群二人矩 阵博弈，给出三个相应的概念：多种群矩阵博弈的系统演化稳定策略( s y e s s ) 、 多种群矩阵博弈的系统局部入侵策略( s y n i s ) 、多种群矩阵博弈的系统全局入 侵策略( s y g i s ) ，并得出一个重要结论：s y n i s 一定是s y e s s 。另一方面从种 群的角度分析多种群二人矩阵博弈，也给出了三个概念：多种群矩阵博弈的种 群演化稳定策略( s p e s s ) 、多种群矩阵博弈的种群局部入侵策略( s p n i s ) 、多 种群矩阵博弈的种群全局入侵策略( s p g i s ) 。 本文得到关于这三组稳定性概念之间关系的重要结论：s y e s s 与s p e s s 、 s y n i s 与s p n i s 、s y g i s 与s p g i s 都相互等价。从而在多种群矩阵博弈中这三 组稳定概念可简称为演化稳定策略( e s s ) 、局部入侵策略( n i s ) 、全局入侵策 略( g i s ) 。并获得了相应的结论。它们之问的关系是：e s s 与n i s 是等价的： g i s 一定是e s s ；g i s 与e s s 不能共存，除非策略本身是e s s ；g i s 具有唯一 性；若存在多个e s s 则无g i s 。 最后给出了多种群博弈的复制动力系统，并讨论了复制动力系统中e s s 、 n i s 、g i s 的稳定性。 关键词：e s s ，n i s ，g i s ，矩阵博弈，复制动力：= 统 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ei m p o r t a n ts h o r t c o m i n go fc l a s s i c a ln o n - c o o p e r a t i v eg a m et h e o r yi st h e r a t i o n a l i s t i cf o u n d a t i o n ，a n dt h i sq u e s t i o nh a sb e e nw e l ls o l v e db ye v o l u t i o n a r yg a m e t h e o r y e v o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g y ( e s s ) i st h eb a s i cc o n c e p ti ne v o l u t i o n a r yg a m e t h e o r y a ne s s i sas t r a t e g yt h a tc a ns u c c e s s f u l l yr e s i s tt h ei n v a s i o no fo t h e rs t r a t e g y a ni n v a d e rs t r a t e g yi sas t r a t e g yt h a tc a ni n v a d ea l le s t a b l i s h e dc o m m u n i t i e s i n t h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ec o n c e p t so fe v o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g y ( e s s ) ， n e i g h b o r h o o d i n v a d e rs t r a t e g y ( n i s ) a n dg l o b a li n v a d e rs t r a t e g y ( g i s ) f o r t w o - p l a y e rg a m e i nm u l t is p e c i e sa n dr e l a t i o n s h i p sa m o n gt h e m i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s sm u t i ls p e c i e sm a t r i xg a m em o d e l s a n dw e a n g l i z et h ee v o l u t i o n a r ys t a b i l i t yo fs t r a t e g yo nt w ol e v e l s ：t h ew h o l es y s t e ml e v e l a n dt h es p e c i e sl e v e l f o rs y s t e ml e v e l ，w eg i v et h r e ec o n c e p t s ：s y s t e me v o l u t i o n a r y s t a b l es t r a t e g y ( s y e s s ) 、s y s t e mn e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y ( s y n i s ) 、s y s t e m g l o b a li n v a d e rs t r a t e g y ( s y g i s ) a n ds h o wt h a ts y n i sm u s tb es y e s s f o rs p e c i e s l e v e l ，w eg i v eo t h e rt h r e ec o n c e p t s ：s p e c i e se v o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g y ( s p e s s ) 、 s p e c i e sn e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y ( s p n i s ) 、s p e c i e sl o b a l i n v a d e rs t r a t e g y ( s p g i s ) w ea l s og e tt h a ts y e s sa n ds p e s s 、s y n i sa n ds p n i s 、s y g i sa n ds p g i sa r e e q u a lt oe a c ho t h e r w en o t et h e m ：e s s 、n i s 、g i sf o rs h o r t a n ds o m ec o n c l u s i o n s f o rt h e ma l s oh a v e b e e ng o t s u c ha sn i si se q u i v a l e n tt oe s s ；ag i si sa l w a y sa n e s s ；ag i sc a n n o tc o e x i s tw i t ha ne s s u n l e s si ti si t s e l fa ne s s ；i fag i se x i s t s ，t h e n i ti su n i q u e ；i ft h e r ei sm o r et h a no n ee s s ，t h e nt h e r ea g en og i s f i n a l l y , w ed i s c u s st h ed u p l i c a t o rd y n a m i cf o rm u t i ls p e c i sg a m ea n dt h e s t a b i l i t yf o re s s 、g i sa n dn i s i nt h ed u p l i c a t o rd y n a m i c k e y w o r d s ：e s s ，n i s ，g i s ，m a t r i xg a m e ，d u p l i c a t o rd y n a m i c s i i i 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 江苏大学硕士! 学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 演化博弈论的简介及研究意义1 1 1 1 演化博弈论的简介1 1 1 2 演化博弈论的研究意义3 1 2e s s 、n i s 、g i s 的研究进程3 1 3 本文研究的主要内容4 1 4 本文的创新点4 第二章博弈论的理论基础。6 2 1 博弈论的基本概念6 2 2n a s h 均衡7 2 2 1 纯策略n a s h 均衡。7 2 2 2 混合策略n a s h 均衡8 2 3 单种群矩阵博弈的基本概念及结论9 2 3 1 单种群矩阵博弈的基本概念9 2 3 2 单种群矩阵博弈的主要结论1 1 2 4 种群动力学介绍1 2 第三章n 种群博弈及其s y e s s 、s y n i s 、s v g i s 1 4 3 1n 种群博弈1 4 3 1 1刀种群博弈的矩阵描述1 4 3 1 2 胛种群博弈的s y e s s 、s y n i s 、s 。g i s 1 6 3 2 门种群博弈中s y e s s 、s v n i s 、s v g i s 的性质1 7 3 2 1 s y e s s 、s y n i s 、s y g i s 的等价条件1 7 3 2 2 关于s y e s s 、s y n i s 、s y g i s 的一些结论1 9 第四章n 种群博弈的s p e s s 、s p n i s 、s p g i s 2 3 4 1 胛种群博弈的s p e s s 、s ，n i s 、s ，g i s 2 3 4 2s ，e s s 、s p n i s 、s p g i s 的性质2 4 第五章s y e s s 、s y n i s 、s y g i s 及s p e s s 、s p n i s 、s p g i s 的关系2 8 5 1 s v e s s 与s p e s s 的等价性2 8 v 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 5 2 s y g i s 与s p g i s 的等价性、s v n i s 与s ，, n i s 的等价性3 0 5 3 s p n i s ( s y n i s ) 与s p e s s ( s v e s s ) 之间的关系。3 1 5 4 s p g i s ( s y g i s ) 与s p e s s ( s y e s s ) 之间的关系3 3 第六章n 种群博弈的e s s 、n i s 、g i s 3 5 6 1 玎种群博弈的e s s 、g i s 、n i s 及其关系3 5 6 2 刀种群博弈的复制动力系统3 6 第七章总结与展望4 0 参考文献4 1 j l l ：谢z 1 3 在读期间发表的论文4 4 v i 江 苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1演化博弈论的简介及研究意义 1 1 1演化博弈论的简介 博弈论是研究多人决策问题的理论，强调决策主体的行为发生直接相互作 用，这类问题在同常生活中经常发生。博弈论在它成为独立的知识体系之前就 已经被运用到政治、经济、法律、军事、外交等各个领域当中，如早在两千多年 前的田忌赛马中就己运用了博弈的思想，在经济学领域，最明显的案例有 b e r t r a n d 和c o u r n o t 模型。一直以来，研究博弈模型对社会的发展具有极其重 要的现实意义。 继经典博弈理论后，演化博弈理论得到迅速蓬勃发展。演化博弈理论它来 自达尔文的生物进化论，二十世纪六十年代l e w o n t i n t 3j 就已经运用了博弈理论 知识来解释生态现象。演化稳定策略概念是由英国生物学家约翰梅纳德史密 斯( j o h nm a y n a r ds m i t h ) 和g ：r 普里斯( g r p r i c e ) 在1 9 7 3 年提出的【4 】，从此演 化博弈理论逐渐被广泛地应用到生态学领域中。到八十年代，博弈论得到了f j i 所未有的发展，并逐渐成为主流经济学的一部分，甚至可以说成是微观经济学 的基础，许多经济学家把该理论应用于分析社会制度变迁，股票市场等，同时 对演化博弈理论的研究也由对称博弈向非对称博弈延伸。到了九十年代，演化 博弈理论的学术地位得到了正式的认可，e s s 概念的拓展和动态化构成了演化 博弈论发展的主要内容，从此对演化博弈理论的研究进入了一个崭新的阶段， 演化博弈理论也得到了迅速发展。 演化博弈理论从发展到现在受到社会学、经济学、生态学的普遍关注。特 别是该理论的基本均衡概念一演化稳定均衡提出以后，理论界已经从不同的方 面对它进行了拓展，并取得了令人瞩目的成果，使演化博弈理论体系在发展中 得到不断完善。 经典博弈理论有很大的缺陷，经典博弈理论自研究方法假设基础是参与人 具有完全理性，并且理性是共同知识。在该假设中，既要求参与博弈的行为主 体始终以实现自身利益最大化为目标，又要求参与人具有在确定和非确定性环 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 境中追求自身利益最大化的判断和决策能力，不会犯错误，而且还要求他们之 间对彼此的理性能力深信不疑，即有理性的共同知识。显然，这些假设是不太 合理的，事实上，人们在参与市场竞争，面对大多数不确定性，或者复杂的环 境下做决策时，很难按照完全理性假设的那样作出最优决策，同时也对竞争对 手的理性问题保持怀疑态度。所以，在这种环境下，竞争的结果将不可能达到 完全理性下的平衡，即使一开始实现这种平衡，也会因为行为主体的理性局限 而有偏离这种平衡的情况。因而，参与竞争的行为主体的理性是有局限性的， 完全理性的假设是不现实的。 基于经典博弈理论对理性的假设的局限性，博弈理论的发展需要新的理论 根据来弥补其局限性，随着演化博弈理论的发展，这一问题得到了很好的解决。 演化博弈理论在以下几个方面更贴近现实，更具有说服力【l j 。 ( 1 ) 演化博弈理论从有限理性的个体出发，以群体为研究对象，克服了经 典博弈理论中对完全理性的苛刻要求。“有限理性概念的主要提倡者是若贝尔 经济获得者s i m m o n 5 1 ，有限理性意味着行为主体只能知道世界状态的一部分而 不能知道世界的所有状态，参与人也不可能知道各种状态出现的客观概率及不 同状态对自己支付的意义，从一开始参与人往往不能做出最优决策，个体的决 策是基于某种常规而非理性的计算结果，这种常规来自博弈的历史，因为历史 已经包含了对手如何行动的相关信息，同时通过对历史的观察有助于参与人知 道什么是成功策略什么是不成功策略。 ( 2 ) 演化博弈理论以参与人种群为研究对象，假定各群体，个体之间的行 为相互影响，并且不同群体中的个体之间进行重复博弈，个体在给定信息下并 不一定选择最优化行为，而是在博弈过程中学习、模仿和突变等动态过程不断 寻找较好策略，其平衡的结果依赖于博弈的历史。达到平衡的过程影响到平衡 的结果，因而演化博弈理论只要利用动力学方法研究群体达到平衡的行为调整 过程，这种方法可以把从个体行为到集体行为的形成机制、组织和制度等因素 都纳入到模型中去，因此能更真实的反应主体行为的多样性和复杂性。 ( 3 ) 演化博弈理论的基本概念是演化稳定策略，它虽然是一个静态概念， 但它能描述动态系统的局部稳定性，应用它能预测参与人行为的稳定性，从而 更有效的对整个经济系统做出宏观调控。 2 江苏大学硕士学位论文 1 1 2 演化博弈论的研究意义 演化博弈论在理论和实践两方面都有非常重大的意义。在理论方面，演化 博弈论首先克服了理性博弈分析脱离实际的问题，使得其理论基础更加扎实， 实践性更强。因为演化博弈分析的结果总体上也是支持完全理性博弈分析的， 因此等于使整个博弈论的理论基础得到了加强。其次，演化博弈分析也是从一 个角度精炼和筛选n a s h 均衡的方法，因此在一定程度上解决了完全理性博弈分 析的均衡选择困难，扩展和加深了我们对以完全理性为基础的博弈分析的认识。 第三，演化博弈理论也加深和拓展了我们对人类理性和能力的局限性，以及这 种局限性对于经济问题和经济意义的认识。第四，演化博弈论是经济学与其他 科学相互影响、相互促进的良好典范。它一方面吸收、运用生物进化理论的思 想和研究方法，用于研究人类的社会经济行为，但是反过来它的理论成果又可 以用于研究生物进化演变规律，研究生物的行为特征和生物多样性等问题，使 两种学科都得到了重大进展。在实践方面，演化博弈理论更是有非常广泛的应 用范围，例如可以研究国际政治、军事中关于战争与和平的选择，研究世界政 治经济格局的形成和稳定性问题，研究不同军事策略的价值和意义，研究人类 社会制度、组织和规范的发展和演变规律，也可以研究股市中的投机者行为和 股市均衡，解释企业家选择的机制和企业文化的发展和演变等等哺1 。 1 2e s s 、n i $ 、g i s 的研究进程 m a y n a r ds m i t h 和p r i c e ( 1 9 7 3 ) 针对单个无限种群的对称博弈提出了最原始 的演化稳定策略( e s s ) 的概念【4 1 。此后也有文章涉及到关于e s s 定义的应用， 以及这个策略能否成功入侵该种群并在其中稳定存在【7 1 。这种可入侵概念一方 面是由f 8 - 9 1 首先提出的，且1 1 0 。1 】在某些特殊模型中也已经涉及到这方面。a p a l o o 给出了局部入侵策略m i s ) 的定义【1 2 。16 1 。在不同模型中讨论了策略的入侵性【7 1 3 1 6 】；d i n g 将此方面从n i s 中区分出来【1 7 - 1 8 1 ，给出了全局入侵策略( g i s ) i 拘定义， 也给出了单种群矩阵博弈中的e s s 、n i s 、g i s 的性质以及它们之间的关系。 3 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 1 3 本文研究的主要内容 演化博弈理论研究博弈群体的状态。群体的状态x 既表示群体使用纯策略 的参与人的人数的比例向量，也解释为群体中每个参与人都在使用同一个混合 策略。在这些研究工作中关于个体收益及种群平均收益都能够由其策略组合确 定。m a y n a r ds m i t h 和p r i c e ( 1 9 7 3 ) 针对单个无限种群的对称博弈最早提出了的 演化稳定策略( e s s ) 的概念【4 1 。演化稳定策略刻画了这种策略面对微小变异具 有稳定性，即它能够抵抗变异策略的微小入侵；而入侵( 全局或局部) 策略的 本质在于它能够成功入侵该种群。上述这些概念是由期望收益来刻画的。虽然 是静态概念，但能描述动态系统的稳定性。本文对多种群二人矩阵博弈的e s s 、 n i s 、g i s 进行了定义，并对讨论了这三者之间的关系。最后在多种群二人矩阵 博弈的动力系统中对e s s 、n i s 、g i s 的稳定性进行了探讨。 本文主要分为以下几个部分，具体结构如下： 第一章介绍了演化博弈理论的研究背景、现状及意义，主要从三个方面来 说明演化博弈理论比经典博弈理论更具有现实意义。 第二章给出博弈论的理论基础，并介绍了n a s h 均衡的基础知识，以及单 种群矩阵博弈的e s s 、n i s 、g i s 的定义和性质。 第三章本章主要给出多种群博弈的描述，给出多种群矩阵博弈的三个概念， o 口s y e s s 、s y n i s 、s y g i s 以及它们各自的等价条件和部分性质。 第四章在第三章的基础上给出多种群矩阵博弈的s p e s s 、s p n i s 、s p g i s 概念及一些性质。 第五章本章主要讨论s y e s s 、s y n i s 、s y g i s 以及s p e s s 、s p n i s 、s p g i s 之间的关系。 第六章本章将第三章，第四章以及第五章的概念和结论综合起来，给出多 种群博弈的e s s 、n i s 、g i s 的性质与关系，并给出了多种群博弈的复制动力系 统。 1 4 本文的创新点 本文主要从两个角度分析了多种群二人矩阵博弈，即系统的角度和种群的 角度。站在系统的角度给出了多种群矩阵博弈的系统演化稳定策略( s y e s s ) 、 4 江苏大学硕士学位论文 多种群矩阵博弈的系统局部入侵策略( s y n i sj 、多种群矩阵博弈的系统全：面入 侵策略( s y g i s ) 三个概念，而站在种群的凭度给出了另外三个概念：多砷群 矩阵博弈的种群演化稳定策略( s p e s s ) 、多种群矩阵博弈的种群局部入侵策略 ( s p n i s ) 、多种群矩阵博弈的种群全局入侵策略( s p g i s ) 。并得出s y e s s 与 s p e s s 、s y n i s 与s p n i s 、s y g i s 与s p g i s 是三组等价的概念，于是我们将它 们分别简记为：多种群矩阵博弈的演化稳定策略( e s s ) 、局部入侵策略( n i s ) 、 全局入侵策略( g i s ) 概念，并讨论了这三个概念的性质和关系。研究表明：在 多种群二人矩阵博弈中，n i s 与e s s 是等价的，g i s 一定是e s s ；g i s 、e s s 不 能共存，除非策略本身是e s s ；g i s 是唯一的；含多个e s s 的多种群博弈一定 没有g i s 。这些结论与单种群矩阵博弈比较是非常相似的，由此，我们得出不 管是单种群二人矩阵博弈还是多种群的二人矩阵博弈，都具有以上性质。 5 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 第二章博弈论的理论基础 本章考虑单种群博弈。首先主要介绍演化博弈的基本概念，然后介绍矩阵 描述下单种群博弈的演化稳定策略( e s s ) ，局部入侵策略( n i s ) 以及全局入 侵策略( g i s ) 的概念，并给出相关性质和这三者之间的关系。 2 1 博弈论的基本概念 本节主要介绍博弈论中的几个基本概念。 参与人参与人是博弈的主体，通常又称为局中人，它是指在博弈中做决策 的行为者。参与人参加博弈的目的是通过合理的选择自己的行为，以期取得最 大化自己的收益。参与人可以是自然人，也可以是群体或组织，如企业、国家 等，只要它们内部采取一致的行动与外界进行策略互动，就可以看成是一个参 与人。通常参与人用f 表示，i i 。 策略策略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定 参与者在什么时候该选择什么行动。在静态博弈中，一个策略是参与人的一个 给定的可能行动，指明了参与人在获知任何信息的情况下所选择的行动，从而， 策略选择就变成简单的行动选择。通常s 表示参与人f 的一个特定策略，大写 s = s ，) 表示参与人f 的所有可能的策略集合( 又称为参与人f 的策略空间) 。如 果个参与人每人选择一个策略，则称j = 瓴，s 2 ，跏) 为一个策略组合，其中墨 是参与人f 选择的策略。称s = 兀s i = ( 墨，曼，) be s i ，扛1 ，2 ， 为策略组 i = 1 合集合。 纯策略每一个参与者在博弈中选择采用的行动方案，每个参与者均有其可 供选择的多种策略。 混合策略参与者以一定的概率去选择某种策略。作为特殊情况，每一个混 合策略可能是一个给定的纯策略的确定性选择。一般地，假设参与者f 有k 个 纯策略s ，= s i l 墨：，s 拥) ，则参与者j 的一个混合策略是一个概率分布 6 江苏大学硕士学位论文 0 n ，p 加，p 抽) ，其中几表示参与者f 选择策略的概率 = l 2 ，k ) 。由概 率分布的条件，对所有k = l 2 ，k ，应有0 p 腑 且p n + p f 2 + + p = 1 。 概率分布不同就构成参与者的不同的混合策略。我们用p ，表示基于策略空间s ， 的任意一个混合策略，正如前面用量表示s ，中任意一个纯策略。 静态博弈如果所有的参与人都同时选择行动，更本质的，如果所有参与人 在选择行动时不知道对手选择了什么行动，则为静态博弈。 收益在博弈论中，收益是指在特定的战略组合下参与者得到的确定的效用 或期望效用。收益通常表现为博弈结果的输赢、得失、盈亏，是参与人真正关 心的问题。在特定的策略组合下参与人得到的确定的收益。如果结果是随机的， 那么收益通常用概率来加权平均，即期望收益( 预期支付) 。在博弈论中通常用 万f 表示参与人f 的收益，如果一个策略组合是( 墨，s 2 ，s n ) ，每个参与人f 的收 益可以用函数乃= 乃( 墨，是，趴) ，i = 1 , 2 ，n 表示，且其收益不仅与f 自己的 策略只有关，也与对手的策略组合有关。 理性如果一个参与人寻求以一种最大化自己支付的方式进行博弈，那么， 这个参与人就是理性的。 均衡是所有参与人的最优策略的组合，通常记为s = ( i ，i ，式) ，其 中暑是参与人j 在均衡状态下的最优策略，它是参与人j 所有的可能策略中使巧 最大化的策略，而参与人f 的最优策略又是依赖于其他参与人的策略选择。所以 说薯是在给定其他参与人的策略选择( 记为= ( i ，圣，文。，) ) 条件下， 参与人，的最优策略。即对墨，不等式 乃( s ：，毫。，i ，囊，) 巧( i ，采，暑，式。，s ；：) 恒成立【1 9 珈】。 2 2n a s h 均衡 2 2 1 纯策略n a s h 均衡 n a s h 均衡是博弈论中一个最基本的概念，是完全信息静态博弈的一个重要 7 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 均衡概念。下面我们先给出纯策略n a s h 均衡的概念，它是对非常广泛的博弈问 题给出更加严格的结果。 定义2 1 在策略式博弈g = s ，；乃， 中，如果对于每一个参与 季 人f = 1 ，2 ，n ，s 7 是给定其他参与人选择的策略组合为( i ，圣。，东，s ) 的 情况下的最优策略，即对每个参与人f ，有 ， 、1 、 死【墨，墨一l ，墨，墨+ l ，) 2 巧l 墨，墨一1 ，墨，墨+ l ，) 亦即s 是最优化问题 乃g ，) - m 1 叫a x n i ( s ：，幸，墨，文t ，s 二) ，f = 1 ，2 ， 的解，则策略组合s = ( i ，s + ，式) 称为该博弈的一个纯策略n a s h 均衡n 1 。 纯策略n a s h 均衡的意义在于：若其他参与人均采用均衡策略，则余下的这 一参与人只有采用均衡策略才能获得最好收益。 可以从另外一个角度来认识n a s h 均衡。考察一个策略组合 s = ( ，茹) ，如果s 7 不是g 的一个n a s h 均衡，就意味着存在若干参与 x i ，其策略s ；不是针对( 西，采。，采。，式) 的最优反应策略，即在q 中存在， 使得 互( ，- p ，式。，式) 乃( i ，书薯，囊1 一，式) 这就说明，如果策略组合( 每，式) 不是n a s h 均衡，那么至少有一个参与 人有动因偏离这个结果。 2 2 2 混合策略n a s h 均衡 混合策略是一种随机地选择自己的策略的方式。它指的是参与人以一定的 概率去选择某种策略。这类博弈虽然在一次操作中有输有赢，但是将这个博弈 多次重复进行，可以研究各个策略应赋予多大的概率，能获得最大的期望收益。 也就是说，参与人f 的一个混合策略是在其策略空间s 中策略s 的概率分布。 定义2 2 在策略式博弈g = 伐，s n ；巧， 中，假定参与人f 有肌；个纯 策略：s ，= 茧1 ，乞；】，那么，概率分布只= ( p n ，p 氓) 称为参与人f 的一个 r 江苏大学硕士学位论文 混合策略，其中，对于所有的= lo ，m ，p 盯= p ( s 玎) 是参与人f 选择的概率， o p “1 ，ae i ，= 1 。 由上述定义可知，纯策略可以看成是特殊的混合策略。概率分布不同就构 成参与人的不同的混合策略。混合策略是一个参与人对其他参与人行为的不确 定性的反应。虽然混合策略不像纯策略那样能直观地明确告诉我们一次博弈中 各参与人的具体选择和博弈的确定结果，但混合策略可告诉我们参与人决策的 具体方式以及平均意义上的收益( 期望收益或称为预期支付) 。 任取p = ( p l ，p 2 ，m ) 为博弈的一个混合策略组合。在此策略组合下，参 与人i 的支付为预期支付 m l ，hm n e i ( e ) = 死( ，) 易 p , v i 。 1 1 2 1 匕2 1 l 2 1 下面给出混合策略n a s h 均衡的一般定义。 定义2 3 在策略式博弈g = 住，；雹， 中，设p 为一混合策略组 合，如果 e ( a ，正f ) - e i + ) ，v p i e ， f = 1 ，2 ，n 成立，则称p 是一个混合策略n a s h 均衡嘲。 混合策略纳什均衡可以解释为一个随机稳定状态。参与人拥有过去行动被 采用频率的信息，每个参与人使用这些频率信息去形成他关于别的参与人行动 的信念，因此，可以系统的表达他的行动。在均衡中这些频率随时间保持不变 并且在这样的意义下是稳定的：给定稳定状态信念，由参与人用正概率选择的 任何行动是最优的。 2 3 单种群矩阵博弈的基本概念及结论 2 3 1单种群矩阵博弈的基本概念 对于单种群博弈问题，首先假设种群中的参与者的个数是有限的，并且种 群中的个体只有有限个纯策略选择，设纯策略为磊，色，厶，参与人既可以 9 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 使用纯策略，也可以使用混合策略，若个体选用纯策略轰，易，厶的概率分 别为：p lp ：，p ，则可以用集合s = tp = o 。，p ：，p ) ：p ，o ，e p n ，= 1 来 r 1 li = 1j 表示种群的混合策略空间，标准的单位向量q ( 其中第f 个分量为l ，其余分量 为0 ) 对应第f 个纯策略缶，因此，纯策略可以看成是特殊的混合策略。 假设种群中的个体只使用j + 和，两种策略( 其中一个为在位策略，另一个 为变异策略) ，并且使用这两种策略的比例分别为五和( 2 + p = 1 ) ，则该种群 的状态为姐+ 可以通过收益比较来定义演化稳定策略( e v o l u t i o n a r i l ys t a b l e s t r a t e g y ，e s s ) ，局部入侵策略( n e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y , n i s ) 以及全局 入侵策略( g l o b a li n v a d e rs t r a t e g y , g i s ) 。对于演化稳定策略( e s s ) ，是种群中 大部分参与者使用的策略，是一个微小比例，并且，+ 比，有更高的期望收益， 演化稳定策略j + 能够成功抵御其他变异策略的入侵。这样正常参与者将主宰这 个种群，突变者就会逐渐消亡。而对于局部入侵策略( n i s ) 或是全局入侵策略 ( g i s ) ，是一个入侵策略，由小部分参与者使用，是大部分参与者使用的 策略，这时五是微小比例，且入侵策略，比在位策略，由更高的收益【7 1 1 】【1 3 - 1 羽。 在单种群博弈中，e s s 、n i s 、g i s 的定义如下【7 吲【1 3 。1 8 】： 定义2 4 如果对所有不同于，+ 的策略，e s ，存在4 ( o 磊 1 ) ，使得当 0 s e ( i ，d + ( 1 - c ) x ) 则称策略，为一个演化稳定策略( e s s ) 。 定义2 5 如果存在一个，+ 的邻域( ，) ，使得对于任何一个不同于，的策 略，( ，( ，) ns ) ，存在4 ( o 磊 1 ) ，使得当o 占 ( ，d + + ( 1 一s ) ，) 1 0 江苏大学硕士学位论文 则称策略，为一个局部入侵策略( n i s ) 。 定义2 6 如果对于任何一个不同于，的策略，( ，s ) ，存在 4 ( o 万， 1 ) ，使得当0 u ( i ，。) 或者( b ) u u ，i ) = u ( i ，) ru ( f , ，) u ( 1 ，) 存在，的邻域n ( i ) ，v i ，r i 2 v ( 1 ) n i s 或者( a ) u u ，i ) u u ，i ) 或者( b ) u ( 厂，) = u ( i ，) 且u ( ，) u ( i ，) v i i g i s或者( a ) u ( 厂，i ) u ( i ，) 或者( b ) 【，( ，) = u ( ，i ) r u ( f , ，) u ( i ，+ ) 都有 性质2 1 二人矩阵博弈中，若，是g i s ，则对j 。，以及所有的占( 0 ，1 ) g ( e ) = ( ，c l + ( 1 - c ) i ) - e ( 1 ，占，+ 0 - c ) i ) 0 成立。 性质2 2 ，是e s s 的等价条件是，是局部优超的，也就是说，。( ，& ) 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 是e s s 的充要条件是存在i 的邻域n ( i ) ，使得对任意，( ，n ( i 。) ) 且 ，i 。，都有 8 e ( ，。，j ) e ( j ，j ) 定理2 1e s s 与n i s 是等价的。 定理2 2 如果，。是g i s ，则，+ 一定是e s s 。 定理2 3 如果，是e s s 且，是g i s ，则有i = j 。 定理2 4 若存在一个g i s ，则此g i s 是唯一的。 定理2 5 若存在多个e s s ，则种群中不存在g i s 。 定理2 6 如果，是g i s ，则在二人矩阵博弈的复制动力系统 毫= 毛但( 缶，功一e ( x ，x ) ) ，i = 1 ，n 中，z + 必在s n 的内集或者包含x + 的的面上的相对内集中全局渐近稳定。其 中z = “，h ) r 表示种群中纯策略的个体比例向量。 2 4 种群动力学介绍 进化博弈理论主要是利用动力学的方法研究群体中的个体选择策略( 或是 策略集) 的过程。 进化博弈理论用系统论的观点看待群体行为的调整过程，主要研究群体行 为演化系统的变化，如何描述系统的状态的变化时进化博弈理论的关键，对此， 博弈理论学家和经济学家进行了广泛而深入的研究，根据他们考虑问题的角度 不同而提出了不同的动力学模型 2 0 】。 到目前为止，应用最多的是复制动力学。复制动力学是选择过程的显性模 型，它说明种群是如何分配博弈中有联系的不同纯策略随时间而演化的。复制 动力学的数学公式是由t a y l o r 和j o n k e r 于1 9 7 8 年提出的。他们假定有随机配 对的个体所构成的一个大种群执行有限对策的两人博弈，个体仅仅采用纯策略。 种群状态是指在纯策略上的一个分布x ，这种状态在数学上与经典博弈论中的 混合策略是等价的。如果博弈中的收益表示成生物学的适应性，也就是后代的 数目，同时每一个后代继续其父母的策略，因此，采用纯策略e 的个体数目( 在 1 2 江苏大学硕士学位论文 大的种群中) 将以某一比率指数增长，于是等于对纯策略e 的预期收益“g ，石) ， 当执行着表示种群中当f j 策略分布的混合策略x 时，采用任何纯策略e 的种群 分布的增长率等于此策略的收益与种群中平均收益的差。后者，等同于混合策 略x 当与其自身博弈时的预期收益h g ，x ) 。一个单砷群的对称两人博弈的复制 动力学是固1 ： d 出x _ _ l = x ) 一“g ，z 煨，吼2 复制动力学可以推广到n 种群博弈的情形。 多种群矩阵博弈及其e s s 、n i s 和g i s 第三章n 种群博弈及其s y e s s 、s y n is 、s y gis 上一章给出了单种群博弈的e s s 、n i s 、g i s 的定义以及它们的性质和他们 之间的关系。本章将给出n 种群博弈的矩阵描述，并从整个系统的角度来分析n 种群博弈，并定义n 种群博弈的系统演化稳定策略( s y s t e me v o l u t i o n a r i l ys t a b l e s t r a t e g y ，s y e s s ) 、刀种群博弈的系统局部入侵策略( s y s t e mn e i g h b o r h o o di n v a d e r s t r a t e g y , s y n i s ) 、n 种群博弈的系统全局入侵策略( s y s t e mg l o b a li n v a d e rs t r a t e g y , s y g i s ) 概念，再给出这三者的等价条件和一些结论。 3 1玎种群博弈 3 1 1刀种群博弈的矩阵描述 对于多种群博弈，t a y l o r 2 3 1 给出了两种群博弈的e s s 概念，他给出的e s s 概念要求在位策略的平均收益总和要好于变异策略的平均收益；同时， c r e s s m a n l 2 4 1 也提出了两种群博弈的另一个e s s 概念，他提出的概念要求至少其 中一个种群的在位策略的平均收益总和要少于同一种群的变异策略的平均收 益。c r e s s m a n l 2 5 1 给出了聆种群e