（理论物理专业论文）rtt意义下的一种量子代数的研究.pdf

摘要 f l 以杨一巴克斯特方程为中心的有关理论，是比较系统的处理某 些非线性模型的成功理论r t t 关系是一个概括了许多已知对易关系 的，具有更广泛的形式的对易关系，它是一种限制完全可积系统的理论 框架当杨一巴克斯特方程的解r ( u ) 给定时，由r t t 关系即可建立 量子群理论，它包括y a n g i a n 和量子代数其中，y a n g i a n 是袁( u ) 为 有理解时由r t t 关系所给出的代数关系，而量子代数是矗( 扎) 为三角 解时由r t t 关系所给出的代数关系因为在极限的情况下三角解 毪退 化成有理解，因而量子代数在极限的情况下将退化成y a n g i a n y 本文的研究过程足将t ( z ) 用z 展开并强加了截断条件，即在 t ( x ) 的展开式中存在有关z 的最高次幂通过r t t 关系求出矩阵元 l b ( n ，b = 1 ，2 ) 问的对易关系在本论文中将t ( x ) 取成护t ( 2 + 丁( o ) + x - 2 t ( - 2 ) 的形式并根据经验将t ( 2 ) 和t ( _ 2 ) 取成形如简单量子代数 中三( z ) = z l ( 1 ) + z 一1 上( 一1 ) 中的工( 1 ) 和三( _ 1 ) 的形式进一步根据经验 和理论计算猜出t ( o ) 的形式，从而得出了区别于简单量子代数的新型 代数在本论文中将其定名为k ( s f ( 2 ) ) 代数k ( s f ( 2 ) ) 的正确性可由 两个粒子的x x z 模型得到验证与我们预先设定的结果一致，这种新 型的代数在极限的情况下将退化成y a n g i a n 由此得到结论：y a n g i a n 是l i e 代数的扩展，l i e 代数是y a n g i a n 的子代数；k ( s f ( 2 ) ) 代数是简单量子代数的扩展，筒单量子代数 是k ( s f ( 2 ) ) 代数的子代数简单量子代数在极限的情况下退化为l i e 代数，即简单量子代数是g 变形的l i e 代数；k ( s f ( 2 ) ) 代数在极限的 情况下退化成y a n g i a n ，即k ( s 2 ( 2 ) ) 代数是q 变形的y a n g i a n 同y a n g i a n 一样，l ；( s 2 ( 2 ) ) 代数严格描述了非线性完全量子可积 模型所特有的新型对称性，并且k ( s f ( 2 ) ) 代数也可以构造两个不同量 子态之间的跃迁算子 关键词 量子垡多哆贼 r 、t t 磊x 岁型 a b s t r a c t t h et h e o r i e sc e n t e r i n ga b o u t y a u g - b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) a r es y s t e m a t i ca n ds u c c e s s f u lt h e o r i e sw h e nt h e ya r eu s e dt od e a lw i t hs o m e n o n l i n e a rm o d e l r t tr e l a t i o ng e n e r a l i a z e sal o to fc o m m r t a t i o na n di t i sat h e o r e t i cf r a m ew h i c hl i m i t sc o m p l e t e i n t e g r a b l es y s t e m g i v i n gr ( u ) a sy b e ss o l r t i o n ，t h e o r i e sa b o u tq u a n t u mg r o u p sw h i c hi n c l u d ey a n g i a na n dq u a n t u ma l g e b r a sc a nb ed e r i v e df r o mr t t r e l a t i o n t h e r e w h e ny b e ss o l u t i o ni sar e t i o n a l s o l u t i o n ，y a n g i a n c a nb eo b t a i n e d f r o mr t t r e l a t i o n ，w h i l eq u a t n t u ma l g e b r a sc a nb eg i v e nb yr t tr e l a - t i o nw h e ny b e s o l u t i o n i sa t r i g o n o m e t r i cs o l u t i o n u n d e ri n f i n i t ec o n d i t i o nb e c a u s et r i g o n o m e t r i cs o l u t i o nw i l ld e g e n e r a t e i n t or e t i o n a ls o l u t i o n q u a n t u ma l g e b r a sw i l lc h a n g ei n t oy a n g i a n t h e p r o c e s so ft h i sp a p e ri st h a tt ( x ) i se x t e n d e db yxa n dt h a r w e i m p o s ei n t e r r u p t e dc o n d i t i o no n 丁( 茹) ，t h a ti st os a yt h a tt ( z ) h a s t h e m a x i m u m p o w e ro f 茁w ec a no b t a i nc o m m u t a t i o nr e l a t i o n sb e t w e e n t h ee l e m e m e n t st b ( a ，b = 1 ，2 ) o ft w om a t r i xf r o mr t tr e l a t i o n i n t h i sp a p e r ，t ( x ) r e a d s0 2 丁( 2 + t ( o + z 一2 丁( 一2 1 t h ef o r mo f 丁( 2 a n d 丁( 一2 ) r e a dt h es a m ea s 己( 1 ) a n dl ( 一1 ) i nt h ef o r m m u l al ( x ) = x l ( 1 ) + x 一。“一“b ye x p e r i e n c e g o i n ys t e pf u r t h e rb ye x p e r i e n c ea n dt h e o r e t i c c a l c u l a t i o n w eg u a s st h ef o r m so fe l e m e n t so fr ( o ) a n do b t i o nt h e n e w a l g e b r a sw h i c h a r ed i f f e r e n tf r o ms i m p l eq u a n t u m a l g e b r a s h e r ew e n a m et h e n ( “( 2 ) ) a l g e b r a s k ( “( 2 ) ) a l g e b r a s c o r r e c t i t u d em a yb e e x a m m i n e db yt h ex x zm o d e lo ft w ol a t t i c e s j u s ta st h ec o n s e q u e n c e o ft h ei n f e r e n c e ，t h i sn e wa l g e b r a sw i l l c h a n g ei n t oy a n g i a nu n d e e r i n f i n i t ec o n d i t i o n w eo b t i o nc o n c l u s i o n ：y a n g i a ni sl i ea l g e b r a s e x t e n s i o na n dl i e a l g e b r a sa r et h es u b a l g e b r a so fy a n g i a n ；k ( s ( 2 ) ) a l g e b r a s a r es i m p l e q u a n t u ma l g e b r a s e x t e n s i o na n ds i m p i eq u a n t u ma l g e b r a sa r ek ( s 2 ( 2 ) ) a l g e b r a s s u b a l g e b r a ss i m p l eq u a n t u ma l g e b r a s w i l lc h a n g ei n t ol i ea l g e b r a su n d e ri n f i n i t ec o n d i t i o n ，t h a ti st os a yt h a ts i m p l eq u a n t u ma l g e b r a s a r eq d e f o r m e dl i ea l g e b r a s ；k ( s f ( 2 ) ) a l g e b r a sw i l lc h a n g ei n t oy a n g i a nu n d e ri n f i n i t ec o n d i t i o n ，t h a t i st os a yl ( s t ( 2 ) ) a l g e b r a sa r eq d e f o r m e dy a n g i a n k ( 3 ( 2 ) ) a l g e b r a s d e s c r i b et h en e w s y m m e t r y ，a s i sy a n g i a n w h i c h n o n l i n e a rc o m p l e t eq u a n t u mi n t e g r a b l em o d e lh a v e ，a n dk ( s f ( 2 ) ) a l g e b r a sc a na l s oc o n s t r u c ts h i f to p e r a t o rb e t w e e nt h et w od i f f e r e n tq u a n t u m s t a t e s k e y w o r d s ： q u a n t u ma l g e b r a s ，y a n g i a na l g e b r a s ，r t tr e l a t i o n ，x x zm o d e l i n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：重l 孟缢日期：! ；垒互国 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即；东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 剿拢文f 馓名：露墨x 遮指 捌臌： 日 烬t ；杯日舰 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 堂丝 妒o f 第一章绪论 1 1引言 杨振宁一巴克斯特方程( y a n g b a x t e re q u a t i o n ，简称y b e ) 有着 极其丰富的物理背景我们会解量子力学中的许多单体问题当存在非 线性相互作用时，常可以使用微扰方法来求出修正部分然而，当相互 作用比较强时，不可避免地要寻求问题的严格解这不但是求解的技术 问题，更重要的是由于严格解的性质与微扰论各阶叠加的结果常常有本 质的不同对此，在经典物理中早已了解清楚，许多拓扑性孤子解就提 供了这方面的例证【1 卜吼这里值得强调的是，长期以来由于人们没有 合适的，系统的办法去求解非线性问题，只好用处理线性问题的方法去 近似求解非线性问题，如此的求解方法所得到的结论，有些是近似合理 的，有些会出现较大的偏差，甚至是错误的而以杨一巴克斯特方程 为中心的有关理论，是比较系统的处理非线性可积模型的成功理论 量子杨一巴克斯特方程( q u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o n ，缩写为 q y b e ) 的建立起源于两个方面的物理研究：一是一维量子多体问题； 二是统计力学中的二维精确可解闻题一维量子多体问题方面： 1 9 6 7 年，杨振宁5 】在对具有6 函数势相互作用的一维量子多体问题的研 究中，为了保证多体散射各种交换结果的自恰，作为自恰条件首先给出 了量子杨一巴克斯特方程的原始形式( 瓒培尹= l 警瓒壤) 在这 个模型中，哈密顿量为 其中x - ，z 2 ，z 为n 个粒子的坐标，排在一条线上系统的波函数 为砂( z 1 ，x 2 ，z ) 满足 h e = e 砂 一石 “ 鸵+ 竺嘲 汹 一 | h 其中e 为能量这里，妒只代表空间波函数，对费米子，还应乘以自旋 波函数x ( s t ，s 2 ，踟) ，其中s 。为第i 个粒子的自旋交换后应当是 全对称的，因而，在置换群作用下，如果妒是反对称的，x 必然为对称 的根据置换群表示理论，推广这个概念，杨振宁建立了该多粒子体系可 解的条件一量子杨一巴克斯特方程的原始形式，从而严格求解了该问 题统计力学中的精确可解问题方面：统计力学中求解精确可解模型的 基本思想是将求解系统的配分函数转化为对矩阵的迹的运算，然后解决 该矩阵的对角化问题1 9 7 2 年，澳大利亚学者巴克斯特( r j b a x t e r ) 1 6 】 在研究统计力学中的二维精确可解模型- k 顶角模型时，将求解配分函 数z 转化为对y 矩阵的对角化，设对角化后的矩阵为y ，并设e v 的矩阵元分别为u ，u 在数学中，矩阵对角化的方法是做相似变换， 在此设相似变换矩阵为 彳，其矩阵元为u ”为了保证配分函数的唯 一性，则要求1 7 l “= v v ，从而建立了u ，u ，u “所满足的关系式： “，( p ，o i ，y ，p ”) u ( u ，y l 卢， ) u ”( p “，肛”i p 7 ，肛) 1 ， = 0 2 ( # i v ，芦”) u ( p ”，q h ，肛) u ( ”，7 i p ，) 1 ， 其中括号中的竖线“l ”前为行指标，竖线“i ”后为列指标上面这个关 系式即为巴克斯特所建立的星一角关系( s t a r t r i a n g l er e l a t i o n ) ，它实 际上是量子杨一巴克斯特方程的另一种写法在当年，杨振宁的自恰条 件和巴克斯特的星一角关系未能很好的联系起来，后来在以法捷列夫 ( l d f a d d e e r ) 为首的前苏联列宁格勒学派进一步发展了量子逆散射方 法【7 卜( 9 1 以后，发现杨振宁的自恰条件和巴克斯特的星一角关系( 经参 数化后形式为以十l ( u ) 以( u + t l ”) 以+ l ( u “) = 以+ 1 ( u ”) 以( 让+ “) 以+ 1 ( u ) ) 可以写成一般形式： 矗1 2 ( u ) 壳2 3 ( 札+ 口) 袁1 2 扣) = 袁2 3 ( u ) 袁1 2 ( u + ) 袁2 3 ( u ) ( 1 ) 因此命名为量子杨一巴克斯特方程随着各方面研究成果的积累，量 子杨一巴克斯特方程被发现普遍存在于量子可积模型，尤其对一大类 低维量子可积模型有巨大用途有关这方面的发展过程，可参阅有关文 2 献【7 1 - 【1 l 】如今，q y b e 已成为数学物理中的一个蓬勃发展的分支 法捷也夫在发展二次量子化逆散方法的同时，也建立了r t t 关 系在此根据文献f 8 _ 【1 5 】，简单介绍一下r 阿关系的来源量子力学中 有两个最基本的东西，一是哈密顿量，二是基本算符间的对量关系( 当 然还有海森堡方程) 例如在初等量子力学中，基本对易关系是坐标与 动量间的对易关系它们与给定的哈密顿量一起，决定了系统的动力学 性质另外，如果系统的所有运动积分( 守恒量) 能够给出，我们就说它 是完全可积的( 可积即解确定，不可积即无解，如混沌) 显然，完全可积 性给系统一种限制，最理想的情况是构造一个理论框架一r t t 关系即 可充当此理论框架从它出发，原则上可以同时提供哈密顿量与对易关 系利用这些原则表达形式，就可以进一步用物理算符实现这些关系，从 而可以将哈密顿量具体化在量子力学中，我们非常熟悉一维坐标x 与 相应动量中的海森堡对易关系：k m 】= i h ；而另一组基本对易关系是 角动量类型的对易关系： k ，如】= i h e 。所l ，其中血，p ，7 = 1 ，2 ，3 对每一项，相重指标代表求和，5 1 2 3 = 一5 2 1 3 = 5 3 1 2 一= 1 ，即e 。口1 中任意两个指标对调后要反号而按1 ，2 ，3 顺序排列时为1 观察 k m 】= i h 与f l o ，l 口】= t 艇。所l ，它们在形式上相差很大此外，量 子力学及其相关分支中还有更复杂的对易关系而r t t 关系是一个概 括了许多已知对易关系的，具有更广泛的形式的对易关系，它有利于从 更一般的角度讨论算子间的对易关系并且，r t t 关系原则上也提供 了哈密顿量及其它守衡量的形式，从而可以建立整个动力学系统 我们知道，对易关系的核心，在于算符的先后次序不能随便颠倒 例如，如果注意到次序的重要性，并将诸如动量、角动量等多种算符放 在一起考虑( 角动量自己就有三个分量) ，最好的办法是将这些算子排 列成一个矩阵为此引入一个m m 矩阵l ，它包含了m 2 个矩阵 元，每个矩阵元都是量子力学算符为了区别两个矩阵排列的顺序，应 当引入一个参数“，v ，使得l ( u ) 与l ( v ) 能有所区分，为了包含不同分 量的对易关系，应取矩阵l ( u ) 与l ( v ) 的直积l ( u ) 0l ( ) 由于矩阵 3 l ( 札) 的每个矩阵元l 。b ( u ) 都是依赖于参数乱的算子( a ，b = 1 ，2 ) ，因而 称m m 矩阵l 所张空间为辅助空间，在l ( u ) o l o , ) 中l ( u ) 和i ( v ) 所张的两个辅助空间是完全无关的矩阵的每个元素l 。“则是量子力学 的算子，作用在希尔伯特空间从矩阵的运算规则可知，l ( u ) ol ( ”) 可得到m 2 m 2 矩阵在此必须注意：因为l ( 札) 与l ( v ) 矩阵的矩 阵元均为算子，所以在直积中，左边矩阵的矩阵元必须在左边，而右边 矩阵的矩阵元必须在右边显然，比较工( u ) 0l ( v ) 与l ( v ) ol ( “) 的 差别，则引起了对易关系为了决定对易关系，需直积中的矩阵元出现 次序颠倒，因而引入了置换算子在4 4 矩阵表示中，它有如下表示 形式： p _ ( 10 1 。) 袁，= ，+ u p = ( 11 。，) + u ( 10 ，。1 ，) c z ， 点的体系此时在每个格点处可以定义量子算子对于玻色型，不同格 点处的算子可以对易，但这并不意味着不同格点处的矩阵l i ( u ) 对易 因为在任意格点处l ( 钍) 仍是辅助空间的矩阵( 只不过它的元素是算 子) ，矩阵间一般是不对易的对于多格点体系，我们定义量子整体转 丁( 札) = i il d u ) = l n ( u ) l n 一1 ( “) l 2 ( u ) l 1 ( ) 4 其中下标l ，2 ，表示格点，由此可得到r t t 关系： r ( u 一”) ( t ( u ) o t ( ”) ) = ( w ( v ) o t ( u ) ) 袁( u 一”)( 3 ) 上式的正确性可由归纳法证明对任意n 成立而得到上式的矩阵元形 式为兄一v ) 2 。r ( “) ? 丁( ) r = t ( v ) j t ( u ) ：r ( u u ) 舻其中矗( “) 是 g 一数矩阵，它与辅助矩阵空间是完全独立的，丁( 仳) 与t ( v ) 分别是两 个不同的相邻空间，而兄则作用在这两个相邻的空间上。由此可见袁 的意义在于描述了一大类相互作用的粒子体系仍有推广的“置换”对称 性，即给定某个e 一数r 矩阵，则由r t t 关系确定了量子整体转移矩 阵r ( u ) 与t ( v ) 的矩阵元之间的对易关系当兄= i 或r = p 时将导 致矩阵元之间的完全对易当定义7 - ( 让) = t r t ( u ) = u “7 - ( “) ；对( 3 ) 式两边取迹，并利用t r ( a p b ) = t r a t r b ，则可得f r ( ，7 - f “) 卜0 ， 其中下( “) 是守恒量而t r t ( u ) 对钍展开后得到所有的f ( ，从而给出 了所有守恒量r ( “) 的集合，它们之间彼此对易从r t t 关系看，满足 ( 3 ) 式的系统必定量子完全可积，这是非常简单的事实，但具体实现起 来并不是一件简单的事然而，作为一个理论，用如此简洁的形式不但 规定了量子算子的对易关系，同时给出了守恒量集合，而且判定该系统 量子可积，这不能不说是一个非常漂亮的理论 杨一巴克斯特方程有三种类型的解：i ) 有理解( r e t i o n a ls o u t i o n ) ，它是无周期的，对应于y a n g i a n ；i i ) 三角解，( t r i g e n o m e i t r i c s o l u t i o n ) ，它是单周期的，对三角函数对应于实轴上的单周期函数，对 双曲函数则对应于虚轴上的单周期函数，三角解对应于量子代数；i i i ) 椭圆解( e l i p t i cs o l u t i o n ) ，它是双周期的此三者脱胎于经典理论在 此只对有理解及三角解情况作简单的介绍 量子力学中，在处理相互作用系统时，从微扰论的观点，必须用 原始对称性算符作无穷展开，造成无穷项修正项，这是因为没有找到 反映整个相互作用的严格对称性，因而不能严格处理非线性问题而 y a n g i a n 代数可以克服以上做法的不足，正是一种描述严格对称性的 代数1 9 8 5 年，德林菲尔德( v g d r i n f e l d ) 在杨一巴克斯特方程的 5 基础上，建立了量子群理论它包括y a n g i a n 和q u a n t u ma l g e b r a ( 所谓量子群是t 中元素所组成的集合，但它不满足群的性质，因而 量子群不是群【1 9 】一【2 3 j ) 对于有理解形式的袁( “) 一矩阵，将矗( u ) 一 矩阵取成4 维形式，而此时丁( 让) 相应地是2 2 矩阵，将t ( “) 以 u 作展开t ( u ) = 曼? 2 - - n t ( “( l 6 ( ) = 曼让一n 曩：) ，并将此展开式 和有理解r = u p + ，代入( 3 ) 式，即代入r t t 关系中，可得( 让一 ) 死。( 乱) ，咒6 ( ) 】+ 五( u ) t b d ( v ) 一瓦。( 口) t b d ( u ) = 0 比较关于谱参数u ，v 得同次幂项，并取t ( o ) 为对角数矩阵，同时要求d e t t ( o ) 0 ，由此得 到关于砭? ( n 1 ，o ，b = l ，2 ) 间的一系列对易关系在数学上，德林 菲尔德已经证明【1 7 】【1 8 】，对于任何有理解形式的直( u ) 一矩阵，只有u _ 1 与t 厂2 阶的算符tc 1 ) 与丁( 2 ) 是独立的，而高于礼 2 的t ( ，原则上 可以由它们决定出来t ( 1 ) 具有单李代数结构，但由丁( 1 ) 与t ( 2 ) 形成 的代数并不是李代数，而是李代数的扩展；因为这种代数常常是不封闭 的，形成无穷维代数，但由有限个生成元生成，因而t ( 1 ) 与丁( 2 ) 中的 独立生成元构成的集合及其所满足的对易关系称为y a n g i a n ( 杨振宁代 数或杨氏代数) 其代数关系为： 【厶，丘】= i e x p ，l ； ( 4 ) 【厶，丘】= l e a p ，山；( a ，p ，j = 1 ，2 ，3 ) ( 5 ) rh 2 j ，上， ，3 一厶 _ ；( l 厶一j 3 i ) i t。 l 以，止】= ( 4 j 一一 i 一) ，3 其中，( 4 ) 式是李代数，( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 是y a n g i a n 显然李代数是 y a n g i a n 的一部分，因此李代数是y a n g i a n 的子代数，y a n g i a n 是李代 数的扩展y a n g i a n 这个命名是1 9 8 5 年，德林菲尔德为了纪念杨振宁 教授在有关杨一巴克斯特方程研究中的开创性贡献而提出的y a n g i a n 在代数上属于霍普夫代数( h o p f a l g e b r a ) 1 1 9 一1 2 4 1 ，是比较抽象的代数结 果从物理角度看，它以其具有超出李代数作用范围的一种无穷维代数 的结构特点。描述了完全量子可积问题中一类非线性相互作用模型( 如 6 氢原子 2 4 1 ，一维h u b b a r d 模型【2 5 ，x x z 模型【2 6 】，长程相互作用 【2 7 】等) 所特有的新型而严格的对称性，它的引入大大简化了这种新型 对称性的描述 对于三角形式的兄( “) 一矩阵，由r t t 关系所导出的代数关系为 量子代数，它是与y a n g i a n 相应的q 变形的k ( s f ( 2 ) ) 代数，在极限的 情况下它将退化为y a n g i a n 。有关这方面的内容将在下面两章中详细 介绍和讨论 1 2 选题背景与选题意义 量子力学中，我们会解单体问题，对多体问题，其集体效应常导 致非线性，当非线性相互作用很小时，我们常可利用量子力学中的微扰 方法来求出其修正部分但当非线性相互作用很强时，用量子力学中 的通常求解方法无法得到严格解而y b e ，r t t 关系，y a n g i a n ， q u a n t u ma l g e b r a 等一系列理论可以严格描述某些非线性系统 给定y b e 的一个解r ( u ) ，由r t t 关系将给出一定描述系统对 称性的代数关系当y b e 的解r ( u ) 一矩阵为有理解时，由r t t 关系 给出的代数关系是y a n g i a n 当y b e 的解r ( 钍) 一矩阵为三角解时， 由r t t 关系给出的代数关系是量子代数 y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点， 严格描述了非线性完全量子可积模型所特有的新型对称性，它的引入使 这种新型对称性的描述得到大大简化除量子可积模型对称性的描述 外，y a n g i a n 还可描述不同量子态之间的跃迁，即其生成元可以构造出 不同量子态之间的跃迁算子 当袁( “) 一矩阵为三角解时，求解r t t 关系常须将丁( z ) 一矩阵展 开，当t ( x ) 以z 展开的幂次有限，即存在z 的最高幂次项，并且仅包 含z 与z _ 1 的幂次项时，此时所生成的代数为简单量子代数，它相应于 单粒子情况简单量子代数在极限的情况下将退化成李代数，而李代数 7 是y a n g i a n 的子代数，y a n g i a n 是李代数的推广由此让我们想到，是 否存在另外一种代数，它是t ( x ) 当以z 展开的幂次项，却包含比z 与 z - 1 更高的幂次项时，由r t t 关系导出的一种不同于简单量子代数的 新型代数它相应于多粒子的情况，而且这种新型代数是简单量子代数 的推广，它在极限的情况下将退化成y a n g i a n 通过理论计算表明，这 种新型的代数确实存在这就是本论文所构造的k ( s f ( 2 ) ) 代数 在极限的情况下，简单量子代数退化成李代数，而本论文所构造 的k ( s f ( 2 ) ) 代数将退化成y a n g i a n ，因而我们可以说简单量子代数是 q 变形的李代数，而k ( s f ( 2 ) ) 代数是q 变形的y a n g i a n 从物理角度来 说，所谓k ( “( 2 ) ) 代数实际上是：如果一类模型没有相互作用时已存 在y a n g i a n 对称性，有了相互作用，尤其是某种非线性相互作用后，这 种模型仍有推广的y a n g i a n 对称型而构成这种推广的y a n g i a n 对称 性的方式很简单：只须将原来的对称性作q 一变形，其中q 体现了这种 相互作用的某种效应q 变形实质上是：由于生成元中包含了参数q ， 或交换次序时出现q ，使得独立基失( 生成元) 的选择发生了变化，从 而使整个对易关系也发生了q 变形q 这个参数通常与物理问题中的 具体量有关同y a n g i a n 一样，k ( “( 2 ) ) 代数是严格描述非线性完全 量子可积模型所特有的新型对称性的一种代数。并且k ( “( 2 ) ) 代数也 可以描述量子态之间的跃迁 1 3 本文的研究内容 以杨一巴克斯特有关的理论，推动了量子完全可积模型的研究 r t t 关系对一大类非线性量子完全可积模型具有普遍性，它给出了非 线性量子完全可积系统的对易关系量子群( y a n g i a n 和量子代数) 为 物理中非线性量子完全可积模型的对称性提供了强有力的数学工具 杨一巴克斯特方程的有理解对应y a n g i a n ，而三角解对应量子代数 简单量子代数在极限的情况下退化成李代数s t ( 2 ) y a n g i a n 是李代数 8 的扩展，李代数是y a n g i a n 的子代数本文研究得出的代数暂时定名为 l ；【s f ( 2 ) ) ，它是简单量子代数的扩展而简单量子代数是k ( “( 2 ) ) 代 数的子代数】；( “( 2 ) ) 代数在极限的情况下退化成y a n g i a n 本文的具体研究内容是通过计算，合理地猜出了丁( o ) 一矩阵的形 式，从而计算得到了k ( s f ( 2 ) ) 代数，并通过x x z 模型验证了k ( “( 2 ) ) 代数的正确性最后在极限的情况下将k ( s f ( 2 ) ) 代数退化到y a n g i a n 代数 9 第二章截断t ( x ) 所产生的代数 当r 是有理解时，由r t t 关系引进了y a n g i a n 对称性，它是霍 普夫代数的一种实现当应一矩阵是三角解时，则通过r t t 关系得 到的由丁( 就) 。b 所建立的霍普夫代数就是本文所要研究的量子代数在 物理上，从量子逆散射方法出发去讨论对称性，基本出发点不是代数 结构本身，而是先给定兄一矩阵，求解转移矩阵的矩阵元r ( u ) 。6 所满 足的对易关系，再建立物理模型和产生新型代数结构，即从物理角度， r 一是出发点，霍普夫代数是衍生物这种处理模式为f r t ( f a d d e e v r e s h e t i k h i n t a k h t a j a n ) 方案【1 5 j 当给定杨一巴克斯特方程的某个三角解时，即r 可以用z 的多 项式表示时，满足r t t 关系的t ( u ) 矩阵可展开为： o o t ( z ) = x - n t ( ，t ( “) = f f 砭跏 n = 一o o 一般来说，如果不考虑仿射代数，用辫子群表示( b r a i dg r o u pr e p r e s e n t a t i o n 缩写为b g r ) 经过杨一巴克斯特化【2 8 】( y a n gb a x t e r i z a t i o n ， 缩写为y b 化) 得到r 时。含z 的幂次并不高，甚至只是茁的线性函数 ( 如s u ( n ) n 2 的基本表示) ，但t ( x ) 却含无穷次幂( 而y a n g i a n 只含u 的负幂次，谱参数为u ) 现在z = e “或z = e 在本章，我 们将考察当t ( x ) 含有有限次幂时，由r t t 关系所引进的代数 2 1 简单量子代数 在t ( x ) 中包含一个子集，它大体相当于r ( x ) 展开的幂次在 y a n g i a n 中含有一个子集，就是经典李代数，而在t ( z ) 中的子集就是 q 变形的李代数r ( x ) - 矩阵依赖于表示，但t 。b ( z ) 的子集中每个元 素皆为量子空间的算符，而这些算符的对易关系却是与表示无关的在 1 0 此，为了方便，从詹( z ) 矩阵的简单的表示出发，以f r t 方案简单介 绍一下q 变形的李代数的产生 因为袁( z ) 一矩阵的三角解一般可以写成谱参数的多项式，则可利 用将t ( x ) 展开成z 幂次形式来求解砌旧关系当考虑一个格点的情 况时，如将r 取成4 维形式，则有 其中 s = f 9 0 ，。一1 。一。 扈( z ) = z 雪+ x - 1 雪一1( 7 ) 此时为了区别，用l ( x ) 代替t ( x ) ，并令 l ( x ) = x l ( 1 + x - i l ( - 1 )( 9 ) 将应( 。- 1 ) 的表达式( 7 ) 式和l ( x ) 及l ( y ) 的表达式( 9 ) 式代入r t t 关系( 其中已令z = e “，y = e ”即x y _ 1 = e ”) 袁( z g 一1 ) ( l ( z ) 圆l ( v ) ) = ( l ( y ) ql ( x ) ) e t ( x y 一1 ) 则可得到独立的关系式： s ( l ( ol ( 2 ) ) = ( l ( 2 10l ) s( i = 1 ，- i ) s ( l ( 1 三( 一1 ) = ( l ( 一1 ol ( 1 ) s 将s 一矩阵( 8 ) 及。l 曲c i ) 、n 。= 1 ，一1 ，n ，b = 1 ，2 ) 代入以上两式，经 过化简后得到一系列独立的式子： l 憎l 翔= 0 l ( o ，l 鲁】_ 0 一l n ( o n r ( o 。= g + ( ) ( n ) 。r l ( 0 2 。r n ( o 。 l 垃l 击1 = q - ( ) ( 。) l 妄1 l 蝗 1 1 8 、，( g l 0 、j l g 一1 g ，【 一 l 一 叮 ，_l-_ll = l s ， 、，g 瞄，喀1 _ ( 口一q - 1 ) ( l 妄1 础一l o ) t ( - 1 ) 其中i = 1 ，一1 ，a ，b = 1 ，2 ，( 1 ) = 一1 ，( 2 ) = + l ，分析以上这些 式子，并记l ( 1 ) 为( 令q = q _ 1 ) ： 肚( 吾旧一纠q - 1 ”) ，= ( - ( q 譬。旷品) ( 1 0 ) 从而可将以上这系列独立的式子化简为； fx + k 一1 = q 士1 x + 卜+ ，= 等筹 o u 这个对易关系是通常s l ( 2 ) 的推广，是与s t ( 2 ) 相应的量子代数 即，当选x + ，x 一与k 作为基底时，则原有的s l ( 2 ) 对易关系就变成 为“q 变形”的形式( 1 1 ) ，k = q p 意味着，3 的q 变形为k 对 x + ，k 用2 x2 的矩阵表示，变形与不变形没有差别，但对s t ( 2 ) 的一 般表示，上式与s l ( 2 ) 有本质的差别，它仅当q - - 41 时才回到s t ( 2 ) 代 数从这个意义上说，量子代数是g 变形的李代数 2 2k ( s l ( 2 ) ) 代数 对有理解的情况，我们知道，一个格点( 单粒子) 情况仅与李代数 有关，只有多个格点( 多粒子) 情况才与y a n g i a n 发生关系那么，对 三角解的情况，简单量子代数在极限的情况下退化成李代数，因而简单 量子代数自然与单个格点有关，而多个格点的情况，与什么代数有关， 这正是本论文所要讨论的核心点 在上节中，我们仅考察了l ( x ) 仅含z 和z - 1 次幂时的情况，注 意在t l i j d 我们考察的是局域l ( 。) ( 或单个格点) 情况，而对多个格点的 整体t ( x ) = l ( z ) l 2 ( x ) l l ( x ) 情况又如何呢? 现在我们就来考察 两个格点的整体情况，两个格点的整体转移矩阵为 t ( x ) = l 2 ( x ) l i ( x ) 1 2 = ( x l ( 1 + x - 1 l ( 一1 ) ( z l ( 1 + x - 1 l ( 一1 ) = t 2 l ( 1 ) l ( 1 ) + x , 0 ( l ( 1 ) l ( 一1 ) + l ( 一1 ) l ( 1 ) 1 + z 一2 l ( 一1 ) l ( 一1 ) 与上式中的z 的幂次相对应，我们记t ( x ) 为 t ( z ) = x 2 丁( 2 ) + 丁| ( o + x - 2 丁( 一2 ( 1 2 ) 这个整体转移矩阵t ( x ) 的记法不仅包含了可分解为两个局域转 移矩阵的情况，即t ( x ) = l 。( x ) l 1 ( z ) ，还包含了不能表示成相应阶 l 。( z ) 连乘的情况，将( 1 1 ) 式所表示的t ( z ) 代入r t t 关系中所得到 的代数关系，我们暂时将其命名为k ( “( 2 ) ) 代数 现在我们就来考察在t ( x ) 中包含的一个比q 变形的李代数更大 ( 同时也包含q 变形的李代数) 的子集t ( z ) 具有( 1 2 ) 式的形式时所 产生的k ( “( 2 ) ) 代数在此，我们仍可仿照上一节的步骤来求解r t t 关系 袁( x y - 1 ) 手( z ) 手( ) ：手( ) 手( z ) 袁( z y ) 与上节相似，f t ( x y 一1 ) 可取如下形式： k ( z y 。1 ) = x y s x - 1 y s 。1( 1 3 ) s = ( 90 ，。三一。) ；s 一1 = ( 9 1 一( 9 j 9 1 ) 。1 。一，) ( 8 ) t ( x ) = t ( 2 ) 2 + t ( o ) + t ( 一2 ) 茁一2 = ( 薯；窭) 冉( 簿蒌) + ( 客寻害；) z 一。 = ( 嘴霉) 冉( 霉；荔；) + ( 要：嗡砷) z 一。 将( 1 3 ) 式和( 1 2 ) 式代入r t t 关系( 3 ) 式的左边可得： 、 k ( x y 一1 ) 手( 。) 手( ) 2 ( s x y 一x - - 1 y s 。) ( 。) 孑( ) = x a y s t ( 2 ) t ( 2 ) + x a y 1 s 丁( 2 ) r ( o ) + z 3 y - a s t ( 2 ) t ( 2 ) + x y s t ( o ) t ( 2 ) + x y 一1 s t ( o ) t ( o ) + z 冒一3 s t ( o ) t ( 2 ) 十z 一1 y s t ( - 2 ) f ( 2 卜十x - z y s t ( 一2 j ，( 2 ) + x - 1 y 一1 s t ( 2 ) 丁( 。) + x - l y - 3 s 丁( 一2 ) 丁( 一2 ) x y 3 s 一1 删t ( 2 ) 一x y s 一1 t ( 2 神) 一z 一1 s 一1 t ( 2 ) t ( 2 ) z 一1 可3 s 1 t ( o ) t ( 2 j z 一1 y s 一1 丁( o ) t ( o ) 一z 一1 一1 s - 1 t ( o ) 丁( 一2 ) z 一3 y s s 1 r ( 2 ) ? ( 2 ) 一z 一3 y s 一1 丁( 一2 ) 丁( 。) 一z 一3 矿一1 s - * t ( 一2 ) 丁卜2 ) 将( 1 3 1 式和( 1 2 ) 式代入r t t 关系( 3 ) 式得右边可得： t ( y ) 于( z ) 袁( z 剪一1 ) 2 t ( y ) t ( 。) ( z s ，一1 s y - i y s 一1 1 = z 3 可r ( 2 ) t ( 2 ) s + x a y 1 t ( o ) t ( 2 ) s + 。3 掣一a t ( 一2 ) t ( 2 ) s + x y t ( 2 t (