（应用数学专业论文）奇异二阶非线性微分方程边值问题的解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 奇异二阶非线性微分方程边值问题的解 摘要 本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等研究了几类微 分方程奇异边值问题解的情况，得到了一些新成果根据内容本文分为三章， 其中第一章已通过工程数学学报一审三章内容分别为： 第一章利用锥拉伸与压缩不动点定理讨论半无穷区间奇异二阶微分方程 i z = f ( t ，z ) ，t ( 0 ，) ， 【z ( o ) = z 7 ( ) = 0 ， 正解的存在性，其中f ( t ，。) c ( ( o ，0 0 ) x ( 0 ，) ，【0 ，+ o o ) ) ，f ( t ，1 ) 0 ，t ( 0 ，) 第二章利用不动点指数理论研究了超线性半正奇异三点边值问题 fu + f ( t ，u ( t ) ) + g ( t ) = 0 ，0 t 1 ， 【让( o ) = 0 ，u ( 1 ) = p u ( 刀) ， 正解的存在性其中f ：c ( o ，1 ) x 0 ，+ o 。) 寸 0 ，+ 。o ) 连续，在t = 0 ，1 处奇 异 第三章利用锥理论和不动点指数理论研究了奇异非线性s t u r m - l i o u v i u e 问题 l 一( 三妒) ( z ) = ( z ) ，( 妒( z ) ) ，0 $ l ， 【冗1 ( 妒) = 0 f l 妒( o ) + 卢l 妒( o ) = 0 ，r 2 ( 妒) = a 2 ( p ( 1 ) + 仍妒( 1 ) = 0 ， 的正解的存在性其中f ：( 0 ，+ ) _ 0 ，+ ) 连续，h ：【0 ，1 】_ 【0 ，+ ) 连续， 且h ( x ) 0 关键词：奇异；边值问题；正解；超线性；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 p o s i ti v eso l u ti o n so fs i n g u l a rs e c o n dor d e r n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a b s tr a c t t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y , a n d k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a rs y s t e m so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt o c o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gs i n g u l a rs u p e r l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s z = f ( t ，z ) ，t x ( o ) = z ( o o ) = 0 ， ( 0 ，) ， w h e r ef ( t ，z ) c ( ( o ，o o ) ( 0 ，o o ) ， 0 ，+ ) ) ，f ( t ，1 ) 0 ，t ( 0 ，) i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u + f ( t ，u ( 亡) ) + q ( t ) = 0 ，0 t 1 ， u ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 卢心( 叩) ， w h e r ef ：c ( 0 ，1 ) x 0 ，+ ) 一 0 ，+ ) i sc o n t i n o u sa n dfm a yb es i n g u l a ra t t = 0 1 i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m i 一( l 妒) ( z ) = ( z ) ，( 妒( z ) ) ，0 z 1 ， lr 1 ( 妒) = q 1 妒( o ) + p 1 妒( o ) = 0 ，r 2 ( 妒) = 0 f 2 妒( 1 ) - t - 侥妒( 1 ) = 0 ， w h e r e f ：( 0 ，+ ) 一 0 ，+ ) i sc o n t i n u o u s ，h ：【0 ，1 】o 0 ，+ o o ) i sa l s o c o n t i n u o u sa n dh ( x ) 0 曲阜师范大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：s i n g u l a r ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；s u p e r - l i n e a r ；c o n e 第一章半无穷区间奇异二阶微分方程边值问题 的正解的存在性 1 1 引言 半无穷区间边值问题经常出现在研究非线性椭圆微分方程对称径向解的 过程中现在，人们越来越关注半无穷区间边值问题正解的存在性，并取得了 许多优秀成果，参见文【1 ，2 ，3 ，4 ，5 】及相关文献在本文中，我们利用锥拉伸 与压缩不动点定理讨论半无穷区间奇异二阶微分方程 = ：吖o ，? 址i 0 , o o ) ， 1 1 1 1 ) lz ( o ) = z 1 0 0 ) = 0 ， 正解的存在性，其中f i t ，z ) c c ( o ，o o ) ( 0 ，o o ) ，i o ，+ o o ) ) ，f i t ，1 ) 0 ，t ( 0 ，o o ) 最近韦忠礼在文 4 】中，用上下解方法给出了问题( 1 1 1 ) 正解存在的 充要条件，文【4 】中一个关键性条件是， ( w ) 存在常数九p ( 一 a 0 p 1 ) 使得v t ( 0 ，c o ) ，z ( 0 ，) e u f ( t ，z ) f ( t ，c $ ) c x f ( t ，z ) ，0 c l ，( 1 1 2 ) e x f ( t ，z ) f i t ，篮) c “f ( t ，霉) ， c 1 ( 1 1 3 ) 由于a 0 p 1 ，所以( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) 刻划了，的次线性特征因此，个 自然的问题是，当f 具有超线性特征时，问题( 1 1 1 ) 是否有相应的结论? 进 步说，即假定，满足下述条件，能否建立相应结论? ( 历) 存在常数a ，p ( 1 a p ) 使得vt ( 0 ，) ，z ( o ，c o ) ， c “f ( t ，霉) f ( t ，凹) e x f ( t ，z ) ，0 c 1 ( 1 1 4 ) 注1 1 1 由( 1 1 4 ) 式可推出，当z ( 0 ，) ，t ( 0 ，0 0 ) 时，有 c ，( t ，髫) f ( t ，c z ) o u f ( t ，z ) ， c 1 ( 1 1 5 ) 第一章半无穷区间奇异二阶微分方程边值问题的正解的存在性 由于1 a p ，故( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 式刻划了，的超线性特征检查文【4 】4 的证法可知，文【4 】的方法不能用来解决这种问题 本文应用锥上不动点理论，建立了半无穷区间奇异边值问题( 1 1 1 ) 在假 设条件( 凰) 下的正解的存在性定理 1 2 预备知识 引理1 2 1 【6 】设p 是实b a n a c h 空间x 中的正锥，q l ，q 2 是x 中的有界开集，口q 1 ，豆lcq 2 ，a ：p n ( _ 2 q 1 ) - p 全连续如果满足 条件； ( i ) i | a zj l j i z l l ，z p n a q l ，0 a z 0 i i z l l ，z p n a q 2 ； 或 ( i i ) l i a z l l i z l l ，z p n 砌1 ，血i i l i x l l ，z p n 锄2 那么，a 在p n ( - 2 q 1 ) 中必有不动点 设 e = 。卯，毗卸s u 删p 雨i x ( o i c o 且吣s u p ，i ) ， 在e 上定义范数ozi i = m a x 硎zi i 。川一i i ，其中i i $ i i 。_ 。嚣岛譬署， | l zi i ：= s u p t 【o 一) i x ( t ) l ，由文 7 】知( e ，i i $ 1 1 1 ) 是b a n a c h 空间 令 g o ，s ) ； 岛 o 8 o o 0 s t s 引理1 2 2 1 5 对任意的常数0 口 6 o o ，都存在0 c 1 ， 使 鲁粤c竺粤，t【n】hs【0，)11 + t 一 + 77 2 曲阜师范大学硕士学位论文 证明由g ( ，8 ) 的定义知 掣乳v 如【0 删 于是当t o + ，卅时，有 和 掣1 t 妻 +一l 口 型： 1 + u 8 t ， t 8 ， 0 s u o 。， 0 t 8 ( 3 0 取c m i n i _ 岛，而1 ) 1 ，则结论成立 设 p = 似e ：) o 且r a i n 扩，帛c 篇，u 【o ) ) ， 则pce 是e 中的锥 本文总假定 ( 岛) t ( t ，t + 1 ) d r + o o ； ，1 ( 玩) ，( t ，t + 1 ) d r + o 。 由( 凰) 和( 凰) 可推出 注1 2 1 ，( t ，t + 1 ) d r + o o 一 0 ，当t t 时， 有i 善( t ) 一岳( o o ) i 毛v2 t 其中茹( o o ) = l i m * $ ( t ) 引理1 2 4 算子a ：p p 是连续的 证明首先证明： a ：p + p 由，的非负性知v z p ，( a z ) ( ) 2 。取c m 缸 l 。器) 1 1 x + ( 0 t 1 1 j ， 由( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 知 鲥。，馨( 掣) 1 巾川旷1 ( 。蹁裂) 1 ，( t 川， ( 1 2 2 ) 4 出 弦 + + 以 o 八 玎 玎 r r z + + + 出 如 出 l 1 l、 + + + 0 0 ， ， ， z z z = 一 一 出+ ， z 曲阜师范大学硕士学位论文 于是田【1 2 1j 技【1 2 2 j 知 可i c 缸) ( o i 2 仁掣m 州枷d s j o j 0 帅，z ( s ) ) 幽 ( 1 2 3 )、一， 旷1 z ”k s u p 。，裂) 1 m 川如 i ( a x ) ( 0 1 = 厂f ( s 州枷蜒厂。( 。蕊裂) 1 f ( 8 ，1 + s ) d s j o 1 - i ， = ，z ( s ) ) 如sc i 。i s u p 学邕l ，+， j t 、5 f 0 ，+ 0 0 1 15 由( 注1 2 1 ) 知坚笔掣 0 ，使得i l 血l l l 如所以a ( q ) 是一致有界的 其次证明；a ( n ) 在【0 ，+ o o ) 上是局部等度连续的 v t 0 ，若t 1 屯( o 刁，v 茁q ，则 f ( 山；) ( t ) 一( 加) 他) l i g ( t l ，8 ) 一g ( t 2 ，s ) l f ( s ，z ( s ) ) d s c p 一1 ! o ol g ( t z ，s ) 一g ( t z ，s ) i ( 。s 【o u ，+ p 。i z 。( s ) 。l 、i1 ，( s ，11 s ) d s 由g ( t ，8 ) 的连续性及注1 2 1 知，对vg 0 ，j ，7 0 ，当l t l 一t 2 i ，7 时， 有 i ( 加) ( t 1 ) 一( 血) 他) i 0 ，当t t 时，对比q ， 有i l a x i i - ；，于是有 加( t ) 一舭( o o ) i l a s ( t ) i + i 血( 。o ) i - i l 如ij l + 0a z1 1 1 亭， 即a ( d ) 中的任意函数在t = 处是等度收敛的于是由引理1 2 3 知， a ( n ) 是相对紧的 1 3 主要结果 定理1 3 1 假设( 风) ，( 岛) 成立，且有f c ( ( o ，0 0 ) ( 0 ，o o ) ，【0 ，o o ) ) 和，( 岛1 ) 0 ，t ( 0 ，o o ) ，则边值问题( 1 1 1 ) 有c o ，0 0 ) 正解 证明由假设f ( t ，1 ) 0 ，t ( 0 ，o o ) 取满足引理1 2 2 的常数 0 n + 0 ，f 圭 f o ( t ，s ) f ( 8 ，1 ) d s d 取r m a x 1 ，6 ，c 蔺a - j 两ad 两1 ，其中6 = 。群。1 筹= 即删 1 ，u ) o r m i n 1 ，f 由) ， 作q r = 髫p ：0 z i i r ) ，q ，= z p ：l i z i i c * l i i “x l - - - - l ) 掣= 警州桫】 故z ( t ) 芝6 r ，t 陋，6 】取c = ( 0 1 ) ，则掣2 警1 ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 t 扛 6 卜故由( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 式有 f ( t , x c o ) c i 徘，掣) 扩( 掣乒弛，1 ) ( 1 3 1 ) c i ( 譬) 1 ，( t ，1 ) = c i 以p r l f ( t ，1 ) ，t 【o 。，6 】 由( 1 2 1 ) 一( 1 2 4 ) 和( 1 3 1 ) 式，有 ，矿 ( a x ) ( t ) g ( t ，s ) f ( s ，岔( 8 ) ) d s j a * ，6 2c i 以5 x r x g ( t ，s ) f ( s ，1 ) d s c i i 以p r l d ，t 陋+ ，6 】， 故i i a 圳c i 一1 扩r x d ，由冗的选择，有c i 一1 d l j 矿d r 故0 a 叫i2 r = l _ 、 ( i i ) vz a q ，有i i 茁i i = r 由于r 1 ，有f ( t ，z ) i i z l l l f ( t ，1 ) ， t ( 0 ，o o ) ，故 ( 舭) ( t ) i l x l l l g ( t ，s ) f ( s ，1 ) d s 1 1 2 1 1 1 f = r 屯 即 i i a 圳一f r = 俐| 由引理1 2 1 知a 在_ 2 q l 中有不动点z ( t ) 由 ( 舡) ( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，z ( 3 ) ) 如 容易知道，一= f ( t ，z ) ，t ( 0 ，o o ) ，x ( o ) = 0 ，一( o o ) = 0 ，故$ ( t ) 是边值问题( 1 1 1 ) 的c o ，) 正解 9 第二章超线性半正奇异三点边值问题的正解 2 1 引言 本文受三点边值问题 “功“呱) = 以 吣kl ( 2 1 1 ) i t ( o ) = 0 ，t ( 1 ) = 触( ，7 ) 和超线性半正奇异狄利克莱边值问题 笳等0 翟咎0 0 吣k1 ( 2 m ) 【t ( o ) = ，u ( 1 ) = 、 的启发，考虑问题 “f ( t , u o ) ) + g o ) _ 0 ，吣k 1 ， ( 2 _ 1 3 ) 、i 1 uj i t ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 触( 叩) 正解的存在性，其中f ：c ( o ，1 ) 0 ，+ o 。) - + 【o ，+ o o ) 连续，q ( t ) ：( 0 ，1 ) - ( 一o o ，+ o o ) 勒贝格可积，在t = 0 ，1 处奇异，并且g 有有限多个奇点 应用严格集压缩场上的不动点理论，文献【1 4 】得到问题( 2 t 1 ) 在b a n a c h 空 间e 中至少有一个或两个解，其中0 是e 中的零元素，0 卢 1 ，0 1 ，使得 y t ( 0 ，1 ) ，t 【0 ，+ o o ) ， - f ( t ，u ) f ( t ，c ) ，( t ，“) ， v 0 c 1 ( 2 1 4 ) ( 飓) 志0 1 ( 1 叫“批= r 。，并且 ( 1 一t ) ，( t ，1 ) + “( t ) 】出 型剑竺坐掣些塑生坐监，( 2 1 6 ) 注2 1 1 对v e21 ，( t ，“) ( 0 ，1 ) x 【0 ，+ o 。) ，有 矿。f ( t ，“) sf ( t ，) 矿1f ( t ，u ) ( 2 1 7 ) 事实上，对v c 1 ，( t ，t ) ( 0 ，1 ) 【0 ，+ o o ) ，由( 2 1 4 ) 得到 巾= ，饥) ( ：) 沁巾川， 故一t ( t ，“) f ( t ，) ，同时可以得到f ( g ，删) 矿- ，( t ，t ) 故当c 1 时，有 一：f ( t ，u ) f ( t ，c t ) s 矿1 f ( t ，u ) 如果函数蛳( t ) c o ，1 】f i c 2 ( o ，1 ) ，, , o c t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，并且t o ( t ) 满足b v p ( 2 i 3 ) ，则函数“o ( t ) 称为b v p ( 2 1 3 ) 的c 0 ，1 】nc 2 ( o ，1 ) 正解 1 1 第二章超线性半正奇异三点边值问题的正解 2 2 预备知识 引理2 2 1 1 18 】设p 是实b a n a c h 空间x 中的锥，n 是x 中的有 界开集，0 q 1 ta ：p n 孬_ p 全连续那么 ( i ) 假设a u a u ，地o q n p , a 1 ，则不动点指数i ( a ，q n p ，p ) = 1 ( i i ) 假设a u 让，v u a n np 则不动点指数i ( a ，q np ，p ) = 0 引理2 2 2 1 1 5 】若，( t ，u ) 满足( 日1 ) ，则对v t ( 0 ，1 ) ，( t ，t ) 关于u 在【o ，+ o o ) 上是增函数，并且对v 陋，纠c ( 0 ，1 ) ，有 l i i nm i n 趔：+ u - + + 0 0 【口卅 ，- 逸掣 0 t 仉 叩t 1 显然，e ( t ) 在t 【0 ，1 】时是有界函数 目j 理2 2 3 1 1 9 】对y u q ，有t ( t ) 0ui ie ( t ) ，t 【0 ，l 】 令 g ( 屯s ) ： g “t o 。仉 ig 2 ( t ，s ) ，町t 1 ， 其中 a n ( t ，8 ) = g l ( ts ) = g 1 2 ( t ，8 ) = 0 s t ， t 8 ，7 ， 鲫= 矧， 旧 1 筮 曲阜师范大学硕士学位论文 即 令 吲铀引刚抽，：1 - 声, 7 + 藉( f l - 1 ) t ， g 加) = 矧 0 s 叩， 刀 8 t ， t s 1 雄) - - f o 。( m ( s ) 如一焉小叫“刚s + 高小叫“s ) d s ， 邢) = z 1 “( 彬s 引理2 2 4 工( ) 南8 0 , j o ( 1 - s ) q r 一( s ) d s ，v t 【o ，1 】 n l 证明( i ) 当t 【0 ，啊时，有 x(t)-厂(t刊口一(s)ds一尚厂1()g-(s)dsj0j 0 ) = 一( 一s ) 口一一丁= = ( 町一s ) g 一 1 一一， + 南o ( 卜s ) q 一( s ) 幽 南z ( 1 一s ) q 一( s ) 出 南8 0 ) j o ( 1 一s ) 口一( 8 ) 幽， 第二章超线性半正奇异三点边值问题的正解 ( i i ) 当t h ，1 1 时， 有 ) 一o ( ) g - ( s ) d s - 岛o ”( ) 口- d s + 南c ( 1 一s ) g 一( s ) d 8 r 兰历上( 1 8 ) g - ( s ) d s 帮万i i i ：i i o j o 1 ( 一s ) 。一( s ) d s - = 1 一卢叩卢7 7 ( 1 一7 ) r。川一p7 。 s 南8 ( 。) j c ( 1 一s ) g 一( s ) 如 故，z ( t ) 历币= 2 可e o , 0 1 ( 1 一s ) g 一( s ) d s ， 协【。，l 】由( 月j ) 知，对 v t 【0 ，1 】，x ( t ) o 【0 ， ( t ) 0 对v u p 取0 n 1 ，使口0ui i 1 ，则口【t ( t ) 一z ( t ) 1 a u ( t ) 口i iul i 1 ，于是由( 2 1 7 ) ，( 2 1 4 ) 和引理2 2 2 ，可以得到 ，( t ，m ( t ) 一z ( t ) r ) ( ：) h ，( t ，。阻o ) 一z ( t ) 1 ) ( a x 2 - 3 - 1 i iu 驴，( t ，1 ) ( 2 2 1 ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 由条件( h 2 ) ，( 2 2 1 ) 式和引理2 2 4 的证明知，对v t 【o l 】，有 ( s ) 一z ( s ) 】) + “( s ) 】d s ，1 ( 1 一s ) 【，0 ，m ( s ) 一。( s ) r ) + g + ( s ) 】d s j o l ( 1 一s ) 【口如以，i i 缸i i kf ( a ，1 ) + “( s ) 】如 扎 ，l ( n 如一1 ouij 抽+ 1 ) ( 1 一s ) 【，( s ，1 ) + g + ( s ) 】d s 定义算子r ：p - + p ，使得 ，i t u ( t ) = g ( z ，s ) 【，( s ，【u ( s ) 一z ( s ) 1 ) + q + ( s m s ， u p ，0 引理2 2 5 设( 日1 ) 和( 凰) 成立。则算子t 在c 【o ，1 】中有不动 点当且仅当初值问题 u ”+ ，。l u ( t ) 一z ( t ) 】) + 口+ 。) = o o 。 1 ( 2 2 2 ) it l ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 卢t ( 7 ) 有e 【o ，1 】n c 2 ( o ，1 ) 正解 即 一z ( s ) 】) + “( s ) 】如 【“( s ) 一z ( s ) 】) + q + ( s ) 】如 【t ( s ) 一z ( s ) 】) + “( s ) 】d 毛 u ( t ) = f o i g o ，s ) 【，( 毛阻( s ) 一( s ) 】) + g + ( s ) 】幽 以 “ “ “ 八 一协一们们 o一卜。一卜。一卜。 一， 一， 一，。、0 删。一一。一一一一 ，五一一一 0 ，使得0t li i sl ，v u d 阻( s ) 一z ( s ) r u ( s ) | iuf l l l + 1 ，v u d ，s f 0 ，1 】，由引理2 2 2 和 ( 2 1 7 ) ，有 f ( s ，【u ( s ) 一z ( s ) 】) - i - “( s ) ，0 l + 1 ) + “( 8 ) ( 2 2 3 ) ( l - i - 1 ) x z f ( s ，1 ) + “( s ) 【( l + 1 ) 1 1 + 1 】【，( s ，1 ) - i - 口+ ( s ) 】 由引理2 2 4 和( 2 2 3 ) 式得到 t u ( t ) i ，l = c ( t ，8 ) 【巾，【t ( 8 ) 一z ( s ) 】) + “( s ) 】d 8( 2 2 4 ) j 0 而2 印) 【( l + 1 ) 1 】z 1 ( 1 - s ) 【，( s 1 ) + “( s ) ， 由e ( t ) 在【o ，1 】上有界和( 2 1 4 ) 式知1 7 ( ) i + o o ，故t ( d ) 一致有 界 下证丁( 功在f o ，1 】上等度连续对y u d ，当t f 0 ，1 】对由( 2 2 3 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 积分并交换积分顺序，得到 ) 一z ( s ) 】) - i - “( s ) 】如 8 ) 1 f ( 8 ，【( s ) 一z ( s ) 】) + “( s ) 】幽 s ) 【，( s ，【u c s ) 一卫( 8 ) 】) + “( s ) 】d s i ( 加。 1 ) 垤( 8 ) 】d 8 2 删 s ) 【，( s ，1 ) + 口+ ( s ) 】d s s ) 【，( s ，1 ) + g + ( s ) 】d sl ， z ( oi f ( s 7 1 ) + g + 阱南o ”( ) 【，( s 1 ) 圳s ) 】d s + 而i 0 1 ( 1 一s ) 1 ) + “( s ) 】d s d r = z 1d s ，1 i f ( ) + 口+ ( s 凇+ 南n d s f 0 1 ( 帅 1 ) 州s ) 】d t + 南z 1 如小叫【，( s 1 1 ) + g + ( s ) 】出 = z 1 ( 1 一s ) 【，( 禹1 ) + “( s ) 】如+ i _ 兰历z 1 向一s ) 矿( 岛1 ) + “( 驯d 8 + r 历z 1 ( 1 一s ) 【，( s ，1 ) + “( s ) 1 d s = 2 - f l ? f 0 1 ( 1 一圳，( s ，1 ) + “( 圳出+ r 与两z ”一s ) 【，( s ，1 ) + “( s ) 】d s 砩小_ s ) 【，( s 1 ) + 口+ 阱南0 1 ( 1 - s ) 【，( s 1 ) + 巾) 】幽 = 搿2 - f l , 7 + z 1 ( 1 一s ) 【，( 毛1 ) + 口+ ( s ) 】d s + o o 1 7 他厂乍以产厂牛厶够里南南 第二章超线性半正奇异三点边值同题的正解 因此，对v “d ，由( 2 1 5 ) 式知 。 z 1i 丢丁缸( t ) i d ts 【( 工+ t ) h + 】掣0 1 ( 一s ) 【，( s ，1 ) + “( s ) 】d s ， 由( 2 1 5 ) 知。 z 1l 爰t u ( t ) i 出 0 ，使得0u 0i i l l ，i i i i 三l = 1 ，2 ，) 类似子 ( 2 2 3 ) 式，可以得到 f ( 8 ，心。( s ) 一z ( s ) 】) + g + 0 ) 【( 三十1 ) 知+ 1 1 1 ( , ，1 ) - 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