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塞兰堡塞! 查：堡耋堡三耋堡丝兰 不确定时滞关联系统的鲁棒稳定性研究 摘要 自七十年代以来，由于系统空问上的大型化和结构上的复杂化等因素， 在工程技术、社会经济和生态生物等领域中提出了规模庞大，结构复杂的大 系统模型。因此对含有不确定项的时滞关联大系统的鲁棒稳定性分析问题的 深入研究不仅能完善控制系统的理论基础，而且将极大地推动控制理论在实 际中的应用。 本文主要探讨了具有常时滞和变时滞的不确定关联大系统的鲁棒稳定性 条件。将关于时滞大系统稳定性分析的某些成果推广到含有不确定性的情况 之中；将m 矩阵和线性矩阵不等式( l m i ) 方法应用到不确定时滞关联大 系统的鲁棒稳定性研究中。具体包括以下三部分内容： 1 考虑常时滞的不确定关联大系统，针对具有强结构不确定性、非结构 不确定性和矩阵多胞型结构不确定性情形，利用l y a p u n o v 函数，结合拉什 密辛定理，和代数不等式技巧，分别给出了相应系统的时滞无关的鲁棒稳定 性判别条件。并给出部分算例验证了所得结果。 2 考虑常时滞的不确定关联大系统，针对具有强结构不确定性和非结构 不确定性不确定性情形，通过构造适当的l y a p u n o v 函数，并利用m 矩阵的 - 性质，给出了系统时滞无关的鲁棒稳定充分条件。 3 + 考虑变时滞的不确定关联大系统，针对具有强结构不确定性、矩阵多 胞型结构不确定性和范数有界不确定性的情形，利用l y a p u n o v 函数和l m i 方法，得出了系统鲁棒稳定的时滞无关的判别条件。 关键词不确定时滞大系统；鲁棒稳定性：l y a p u n o v 函数：m 矩阵；l m i ： 塞玺堡矍三奎兰竺兰竺；! 耋堡墼圣 r o b u s t s t a b i l i t ys t u d yf o ru n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e d s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y s a b s t r a c t s i n c e1 9 7 0 s ，l a r g e s c a l es y s t e mm o d e l sh a v eb e e na p p l i e dt ot h er e a l mo f e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y ，e c o n o m ya n de c o l o g ys i n c et h ee x t e n s i o no fs y s t e m s p a c ea n dt h ec o m p l i c a t i o no fs y s t e ms t r u c t u r e am o r ed e e pi n v e s t i g a t i o no nt h e r o b u s ts t a b i l i t yf o rl i n e a ru n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e dl a r g e s c a l es y s t e m sw i t ht i m e d e l a y sn o to n l yp e r f e c t st h ef o u n d a t i o no fc o n t r o lt h e o r y , b u ta l s op r o m o t e st h e i m p l e m e n t a t i o no f s u c ht h e o r yi np r a c t i c e t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h er o b u s t s t a b i l i t y f o rl i n e a ru n c e r t a i n i n t e r c o n n e c t e dl a r g e - s c a l es y s t e m sw i t hc o n s t a n tt i m e - d e l a y sa n dv a r y i n gt i m e d e l a y s s o m er e s u l t so fl a r g e s c a l es y s t e m sw i t ht i m e d e l a y sa r ee x t e n d e dt o i n t e r c o n n e c t e dl a r g e s c a l es y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t y ，a n dmm a t r i xa n di i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t ym e t h o da r ea p p l i e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h er o b u s ts t a b i l i t y f o rl i n e a ru n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e dl a r g e - s c a l es y s t e m s m a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i n c l u d et h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t yi ss t u d i e df o rt h eu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e d l a r g e - s c a l es y s t e m sw i t hc o n s t a n tt i m e d e l a y s u n d e rh i g hs t r u c t u r e du n c e r t a i n t y , u n s t r u c t u r e du n c e r t a i n t ya n dm a t r i xp o l y t o p es t r u c t u r e du n c e r t a i n t ya s s u m p t i o n s ， t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fr o b u s ts t a b i l i t ya r ed e r i v e db yu s i n gl y a p u n o v f u n c t i o na n dr a z u m i k h i nt h e o r e m s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h e m 2 t h er o b u s ts t a b i l i t yf o rt h eu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e dl a r g e s c a l es y s t e m s w i t hc o n s t a n tt i m e d e l a y si ss t u d i e d ，w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fr o b u s t s t a b i l i t yf o rh i g hs t r u c t u r e du n c e r t a i n t ya n du n s t r u c t u r e du n c e r t a i n t ya s s u m p t i o n s b a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o da n dt h ep r o p e r t i e so fmm a t r i x 3 t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t yi ss t u d i e df o rt h eu n c e r t a i ni n t e r c o n a e c t e d l a r g e - s c a l es y s t e m sw i t hv a r y i n gt i m e - d e l a y s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fr o b u s t s t a b i l i t ya r ed e r i v e du n d e rh i g hs t r u c t u r e du n c e r t a i n t y ，m a t r i xp o l y t o p es t r u c t u r e d u n c e r t a i n t ya n dn o l t nb o u n d e du n c e r t a i n t yb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o na n dl m i m e t h o d a l lt h ep r i n c i p l e sa r et i m e - d e l a yi n d e p e n d e n t 哈尔滨理【大学理学硕士学位论文 k e y w o r d s u n c e r t a i nl a r g e - s c a l es y s t e mw i t ht i m e - d e l a y s ；r o b u s ts t a b i l i t y ；l m i l y a p u n o vf u n c t i o n ；mm a t r i x 竺堡鋈矍三奎兰堡耋譬圭茎堡竺圣 1 1 课题背景 1 1 1 课题来源 第1 章绪论 本课题属于理论研究范畴，主要针对带有不确定参数的线性时滞关联大系统 进行鲁棒稳定性分析的理论研究工作。并给出相应算例作为理论成果的验证。 1 1 2 研究的目的及意义 鲁棒控制是6 0 年代兴起的目前仍然非常活跃的。个研究领域，具有非常 “泛的研究内容。鲁棒一词来自英文词“r o b u s t ”的音译。鲁棒控制即是一种使 受到不确定性作用的原有系统保持其原有能力的控制技术。鲁棒控制包含两部 分内容：控制系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器设计。 稳定性是对一个系统正常工作的起码要求，关于动态系统的稳定性研究在 上世纪就得到了，“泛应用。而鲁棒稳定性就是系统在受到干扰时仍保持其稳定 性的能力，这种扰动是不确切知道的但是有限的，也就是说在自由系统稳定的前 提下，只要不确定参数在允许的范围内，实际系统就仍然稳定。 在工业控制领域中，随着生产过程中工作条件环境变化，控制系统中元器 件老化或损坏，被控对象本身的特性也会随之发生变化，众多因素导致所建立 的数学模型和实际的被控对象之间不可避免地存在误差及不确定性。不确定因 素会对系统的稳定性产生影响。同时时滞现象也存在于许多系统中。实践证 明，时滞往往是系统失稳的重要因素之一。 而近3 0 年来，由于系统空间上的大型化和结构上的复杂化等因素，在工 程技术、社会经济和生态生物等领域中提出了规模庞大，结构复杂的大系统模 型。因此研究不确定时滞大系统的鲁棒稳定性具有重要意义。 本课题以不确定时滞关联大系统为研究对象，以系统的鲁棒稳定分析为研 究目标，在理论研究和实际应用上都有着重要意义。 塑玺篓矍三查耋墨兰丝；! 兰堡篁圣 1 2 线性时滞不确定系统的鲁棒稳定性发展概况 从6 0 年代以来，通过结合实际工程阳题和数学理论鲁棒控制理论取得了 令人瞩目的发展，并已逐步形成具有代表性的三个主要研究方面。即：研究系 统传递函数( 矩阵) 的频率域方法，研究系统特征多项式族的多项式代数方法 和研究系统状态方程矩阵族的时域( 状态空间) 方法。频域方法应用矩阵奇异 值分解来研究多项式代数方法以k h a r i t o n o v 定理为代表，给出了判别区间多 项式族鲁棒稳定性的顶点判据，它的基本思想是寻找多项式族的一个子集，使 得多项式族中所有多项式稳定性可由该子集中多项式的稳定性来保证。本世纪 5 0 年代后期，空问技术的发展和计算机技术的普及对控制理论的发展产生了深 刻的影响，这种影响促进控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变。以微 分方程描述为基础的时域方法是鲁棒控制理论研究中最活跃的一个分支，内容 _ 分丰富，本文主要采用时域方法。在时域鲁棒性分析中，l y a p u n o v 方法得到 了广泛应用。其一般思想是针对不确定状态空间对象，选择一个合适的 l y a p t l n o v 函数，然后基于范数的概念得到鲁棒稳定性界限。 在线性时滞不确定系统中的研究，有多种划分方法。按系统时滞是否与时 f 司有关，可以分为常时滞和变时滞系统：按时滞的多少，可分为单时滞和多时 滞系统；按系统中函数性质可分为线性系统和非线性系统。不确定性描述可分 为：非结构不确定性；强结构不确定性；矩阵多胞型结构不确定性和范数有界 不确定性。时滞系统的鲁棒稳定性判据，可分为时滞独立鲁棒稳定性判据和时 滞依赖鲁棒稳定性判据。前者，得出的稳定性判据与时滞无关，因而对于时滞 有很强的鲁棒性，但会带来一定的保守性，后者在判断系统的稳定性时，利用 了时滞因素，因而可以获得比较确切的稳定性结论保守性较小，但研究难度 较大，对时滞不确定系统稳定性分折，常用的研究方法有：l y a p u n o v 方法；复 l y a p u n o v 方法；矩阵测度法和特征值方法。 对于线性时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析有以下结果。c h i e n h u al e ee t a l f l 9 9 5 ) 1 】利用复l y a p u p u n o v 方法，给出线性时滞不确定系统渐近稳定和指数 稳定的充分条件。j i n h o o nk i m ( 1 9 9 6 ) 口 利用l y a p u n o v 函数方法，分别讨论了变 时滞系统，在线性非结构摄动和线性矩阵多胞型结构摄动下，给出系统时滞独立 渐近稳定的充分条件。e t i s s i re t 。a l ( 1 9 9 6 ) 1 3 】利用特征值方法讨论了线性时滞系 统的鲁棒稳定性，通过划定系统不稳定特征根的所在区域给出时滞系统时滞 独立稳定性条件。t e - j e n s u ( 1 9 9 2 ) 1 4 1 ，曹登庆( t 9 9 7 ) 5 1 刹甩著名的r a z u m i k h i n 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 型渐近稳定定理，导出了系统时滞依赖鲁棒稳定性条件。俞立( 1 9 9 9 ) 6 】基于 l y a p u n o v 稳定性理论。导出了具有滞后时变摄动的线性系统二次稳定的一个充 分必要条件，通过求解一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，得到保持 系统稳定的最大允许摄动界。陈东彦( 1 9 9 9 ) f 】讨论了带有矩阵多胞型结构不确 定性的线性时滞系统，利用l y a p u n o v 函数和矩阵的高斯分解，给出使其渐近 稳定的充分条件。 1 3 大系统的鲁棒稳定性发展概况 由于社会技术的目新月异，近3 0 年来，提出了规模庞大，结构复杂的大 系统模型，描述大系统的微分方程组，一般维数都很高，带来了实际解决稳定 性问题的困难。 处理大系统的稳定性问题总的指导思想是先把整个复合大系统适当地分解 成若干个孤立子系统和关联系统，利用低维孤立子系统的台适的l y a p u n o v 函 数和c h a u c h y 阵和关联项之间的某些代数关系和积分关系来判定整个复合大系 统的稳定性。这种化大为小，降高为低的方法称为分解集结方法。 近二十年来，大系统的理论也取得了很大的进展，具有时变时滞的线性大 系统具有广泛的工程背景，现今研究时滞系统稳定性闻题一种有效方法就是应 用l y a p u n o v 稳定性理论，随着系统阶数的提高，针对系统结构的特征将 l y a p u n o v 函数由标量函数扩展为向量函数，然后用来判断大系统的稳定性，这 是在2 0 世纪5 0 年代后才发展起来的。这种将一个大系统分解成一些子系统再 根据子系统构造合适的l y a p u n o v 函数，然后集成起来形成向量l y a p u n o v 函数 研究整个大系统的稳定性以及关联稳定性的方法，已经在包括电力系统和经济 系统中得广泛应用。 时域中研究参数不确定系统的鲁棒分析的主要理论基础仍是l y a p u n o v 稳 定性理论，早期的一种主要方法是r i c c a t i 方程处理方法。它是将鲁棒分析问 题转化成一个r i c c a t i 型矩阵方程的可解性问题，进而应用求解r i c c a t i 方程的 方法给出系统具有鲁棒稳定性的条件，尽管应用r i c c a t i 方程处理方法便于进 行一些理论分析，但在实施这一方法之前，往往需要我们事先确定一些待定参 数，这些参数的选择不仅影响到结论的好坏，而且还会影响到问题的可解性。 但在现有的r i c c a t i 方程处理方法中，还缺乏寻找这些参数最佳值的方法，参 数的这种人为确定方法给分析结果带来很大的保守性。另一方面r i c c a t i 型矩 阵方程本身的求解也还存在一定的问题。目前存在很多求解r i c c a t i 型矩阵方 堕玺堡竺三查兰矍兰2 圭兰堡篁塞 程的方法，但多为迭代方法，这些方法的收敛性并不能得到保证。 2 0 世纪9 0 年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等 式再一次受到关注，并被应用到系统的各个领域中。许多控制问题可以转化为 线性矩阵不等式系统的可行性问题。1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解线性矩阵 不等式问题的l m i 工具箱从而使人们能够更加方便和有效地来处理、求解 线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在控制领域中的应 用。 近十年来有许多文献对这类系统的稳定性进行了研究，其主要的方法有以 下两种：1 ) 利用l y a p u n o v 稳定性理论；2 ) 求解系统微分方程的一般解，通 过对解的估计来获得系统的稳定条件。 w a n g ( q 于1 9 9 1 年使用通用线性系统模型，通过求解l y a p u n o v 方程获得了 一些研究结果。这一方法的核心在于利用l y a p u n o v 矩阵代数方程建立系统稳 定陛与系统矩阵特征值之间的暮系，借助于事先指定的正定矩阵去求解 l y a p u n o v 矩阵代数方程。其缺点在于这一事先指定的正定矩阵的特征值与系统 矩阵特征值之间目前尚无直接可利用的关系，同时如何构造出较为台适的 l y a p u n o v 方程也是一大难点。在2 0 0 1 年，张志飞等人f 9 1 通过对系统微分方程 解的估计理论和比较原理讨论了类时滞为有界非负函数的时变线性大系统的 时滞相关和时滞无关的稳定条件。这一方法的有效性就在于对微分方程解结构 的处理，事实上这样的结果也可以应用到自由时滞系统中。同年周少武等人“ 研究了一类具有时变时滞的大系统，用矩阵的相似变换原理和矩阵指数的特 性通过估计微分方程的解给出了系统时滞无关的稳定性条件。这一结论仅需 时滞有正数界，这就克服了一些文献中对时滞的较苛刻的约束条件，且其方法 给出了系统稳定和每一个子系统矩阵的若当标准型之间的直接联系。1 9 9 8 年， 胥布工1 等人针对具有任意未知常时滞的线性大系统，利用l y a p u n o v 函数法， 建立了系统时滞无关的稳定性判别条件。1 9 9 9 年，胥布工【2 1 通过构造适当的 l y a p u o v 函数，并结合r a z u m i k h i n 定理，针对单一和复合多时变时滞系统， 分别建立了系统稳定性的充分条件。 以上都是针对不合不确定项的系统。而对含不确定项又有如下结果： 1 9 9 5 年，钟守铭1 等人考虑了由非线性扰动子系统组成的时滞大系统 s ：j 。( f ) = 4 一( r ) + 蜀工f ( f t ) + z ( x ( f ) ，玲+ g ，( z ( f f ，) t ) 的鲁棒稳定性问题。其中非线性扰动项是未知的但范数有界。他利用了 l y a p u n o v 稳定性准则，对角占优阵的方法和结合矩阵r i c c a t i 方程，获得了系 皇尘堡垒三奎耋矍耋堡圭耋堡丝兰 数指数稳定的充分判据。钟守铭 1 4 1 于1 9 9 6 年2 月研究了在非结构不确定项的 假设下，采用l y a p u r t o v 函数和不等式分析技巧相结合的方法，探讨了不确定 时滞微分大系统在不依赖时滞的分散反馈控制下的一种较有效的稳定充分条 件。之后不久，钟首铭，成孝予f 1 5 1 又对【1 3 进行了推广，在加入了控制项“( f ) 的前提下，采用l y a p u n o v 稳定性准则并结合矩阵r i c c a t i 方程的方法，针对每 一个子系统应用稳定的局部状态反馈，研究了由非线性扰动子系统组成的时滞 大系统，导出了系统稳定的条件，其中每个子系统不确定项由m 一矩阵给 出。1 9 9 9 年陆国平”6 1 等人研究了一类时滞线眭大系统，在非结构型不确定参数 无匹配条件并且相互作用矩阵a 。含有不确定参数鲋。的情况下，利用代数 r i c c a t i 方程的解以及l y a p u n o v 稳定性概念得到一种新的有效的结果。只是其 定理中的的上界仍是卜有待于进一步研究的问题。 1 。4 本文所做工作 本文主要研究带有参数不确定性的线性时滞关联大系统的鲁棒稳定性问 题。考虑的系统模型为： j ( f ) = ( 。+ 鲋) 工，( f ) + ( 一口十鲋p ) 工“f 矿) f - 0 ，= i x ，( t ) = 庐，( f ) ，t 卜r ，0 ，f = 1 , 2 ，- ， 其中x i ( f ) r “，n ，= n ，是系统的状态向量，a ，r ”“和a r 。”为常数矩 扣1 阵，叫，削，为系统的不确定矩阵，0 r ，j ，) o 0 u o 2 j 4 d 应 口 a ，f，t，、。，l 、l 、，、lll ， 2 】 r 工x工x 竺尘篓些；! 尘兰型兰竺! 兰些篁兰 口l 【o ) 口2 】( f ) a 3 ) ( t ) a 4 3 ( f ) 我们称式( 2 3 ) 为式( 2 2 ) 的孤立子系统。 改写式( 2 2 ) 为 其中 + o 0 o 口1 2 ( f ) a 2 2 ( f ) 0 0 0 o 口3 j ( f ) a 4 l ( f ) d 4 a ( ) a 3 2 ( f ) a 4 2 ( f ) + ( 墨) 0 0 a 4 ( ，) a 4 4 ( f ) a l3 ( f ) a 2 3 ( f ) 0 o + ，( t ，x 厶( f ， 工( f ，x ( f ，x 夼( ：舞：煅妊： = = a 3 3 ( 1 ；啪a 3 4 ( o 从l ( 七x 。3 ( a t3(。t，a4(t州)y忆x，1a+ ( 列l d2 3 ( f )2 。( r ) 八工2jl j ( a 3 j 。( 1 t a 端：) 十( 列 l d 。i ( )4 2 ( f ) 八x 。l ：lj 故式( 2 2 ) 可视为式( 2 ，3 ) 加上耦合而成的互联系统。 一般地，对大系统( 2 一i ) 可分解为r 个子系统组成的互联系统 ( 2 3 1 ( 2 4 ) ，、l， 2 3 4 z x x x v儿va) ) ) ) 0 o 0 幢 姐 “ 口 口 口 口 | j | | ，l、l， 2 3 4 x x x z ，l，；l 、，；，旧h 博 o 0 如 d ， d 口 ，。， | i 、， 也屯 j，l n叫j “缸如m 如良向m ， ， ， ， 比如如胁 ， ， ， 、lll， 知如如舢 v i i o o i o o o 八 0 n “o o 口 拉 0 i 、，似h = = q 呸 r，、，l 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 i 。= f ( f ，x ，) + g 心，x ) 式( 2 - 5 ) 对应的孤立子系统为 主。= e ( f ，x 。) ， 这里x r 为n 维列向量，即 x 。= ( x f “，一，x ：。) 7 ，( f = 1 ，2 ，一，) ，x = 0 lx 2 f i c z r “，r 1 - g 。c z r 4 ，r 】 g ，；( g f | ) ，g ”7 ( 2 5 1 ( 2 - 6 ) z ，) 7 r4 ，h = n ， ( f = 1 , 2 ，r ) ( 浮1 , 2 ，r ) ，= 五f r ) ，g = ( g ，g ：g ，) 7 打( f ，x ) ；x ，f ( f ，工。) sx ，g ，( f ，z ，) = x ，分别当且仪当石；o ，z = 0 时成立 2 3 关联大系统的稳定性 考虑下面线性定常大系统的稳定性 其中，爿= ( 口i ) ，x r 8。 i = a 将x 分解成为，个向鬣分量 将式( 2 7 ) 改写为 ( 2 - 7 1 窒垒量矍三查兰耋差璧圭兰堡篁兰 卦 一1 0 式( 2 墙) 对应的孤立子系统为 陲 a i ： o 罐 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 其中a , i x ，( f _ l ，2 ，r ) 表示系统的自互相作用；a 。x ，( j ，= 1 , 2 ，r ；i j ) 表示 子系统间的互相作用。 对于式( 2 7 ) 的稳定性研究，其思想是利用孤立子系统( 2 9 ) 的某些信息( 如构 造l y a p u n o v 函数) 和关联结构之间的关系来达到判定大系统的稳定性的目的。 对于大系统的稳定- 嗤：，常用的几种方法有加权和标量v 函数法、向量比较 原理与向量v 函数法和分块迭代估值法。用加权和标量v 函数法研究大系统的 稳定性，其优点是比较灵活，通过“权”的适当选择，可以充分利用耦合之间 的正负相消作用达到我们的目的。其缺点是要求所取的a 矿是定号或常号，这 不易实现，于是人们就将标量原理推广到向量比较原理。它的优点就是将高维 系统和一个低维系统进行比较克服了加权和标量矿函数法中的定号问题。对于 分块迭代估值法是利用非负矩阵的偏序和分块矩阵的度量，迭代收敛性质， 通过对孤立子系统的c a u c h y 矩阵与耦合矩阵的积分估计来得到稳定性的结 论。 下面介绍一下加权和标量v 函数法的一些结果。 定理2 1 5 1 1 若下列条件满足： ( 1 ) 存在函数v = c o l ( v , ( f ，x 【) ，v ( t ，x ，) ) c i 【i r “，r ：】及纪l ，红2 k r ， 吼3 k ，常向量口= c o l ( a 一，口，) 0 ，常数口d ( f ，= l ，2 ，r ) ，使得 妒，i ( 1 卜。1 1 ) s 吒( f ，x ，) 妒：( 1 l x 。1 1 ) 4 ；4，ol + 、l、 一吃； ，viiooo几 o 勘 k ；厂ui00u000以 o ：4 。 堕堑堡堡三查兰塞耋些耋兰堡丝圣 窆口，i d r , + 窆乜，( g 阳d ) r f ( 。) + 窆a ( g 懈d _ ) r g ，( f ，) b f “f i = ib i 墨芝a ，主a 。【洲) 】c 帆i i ) 1 ( 2 - 1 0 ) ( 2 ) 矩阵j = ( s 。) 负定( 半负定) ，其中 f ( 2 i c 7 f ， ( 扛- ，= 1 ，2 ，) s 。= 1 “ l 主( 盘t 日口+ a ，口一) ，( f ) ( 2 1 1 ) 则复合大系统( 2 一1 ) 的平凡解全局一致渐近稳定，所有解毕竟一致有界( 平凡解 一致稳定，所有解一致有界1 。 这里c d ，( x l ，x 2 ，x 。) = ( x 。x 2x 。y ，g r 蒯矿表示函数v 的梯度。 定理2 2 1 若下列条件满足： ( 1 ) 如果定理2 1 条件( 1 ) 中t 0 - 换成函数口。( ，j ) ，即 0 1 ， 7 a 。等+ 口( g r a d v j ) 7 f , o 成) 十a 。( 扩。d v ) 7 g ，( ) q n ，( r ，砒( 胪( 蚓舻 ( 2 1 2 ) ( 2 ) 矩阵s ( f ，x ) + 业负定或半负定忙 0 ) ，这里e 为r r 单位矩阵 f a i a o ( t ，z ) ， ( f = = l ，2 ，r ) s u u 石= 1 去( 口，口。( f ，x ) + a ，口，( f ，工) ) ， ( f ，) 2 - 1 3 则复合大系统( 2 - 1 ) 的平凡解全局一致渐近稳定，若定理2 2 的条件在 s ；= x 忙r o 上成立，则所有解毕竟一致有界。 定理2 3 5 1 1若下列条件满足： ( 1 ) 存在函数y ( f ，z ) = c o l ( v l ( t ，x ；) ，v ( t ，) ) c 1 ，r ”，只： 和常数 c ，2 c 0 ，( f ：1 ，2 ，) ，五 0 ， 向量a = c o l ( o r l ，口，) 0 ，常数a u ( f ，j = 1 , 2 ，r ) ，使得 c ，m “_ ( ，x 。) sc i 2 m 2 静百a r , + 新删咿”翮r 鲫蜊一砸棚 窆c l a , j i j 一体 ( 2 ) 矩阵s = ( 5 ) 负定( 半负定) ，这里 ( 2 一1 4 ) ( 2 1 5 ) 则复皇奎系系( 2 1 ) 堂平凡擘全局指数稳定 p ( b ) ，则称a 为非奇异m 一矩阵。 定义2 2 i ”1 若映射l ，：c 7 寸只1 满足 1 i l a n 0 ，v a c 为非零矩阵； 2 | | 训”= i 口a 忆v 口c 1 ； 3 1 i a + b i ， - t 名l ，+ i i b 忆，v a ，b c 1 ”； 则称映射j ，是矩阵范数。若还满足 4 f f a b 儿 o 和任意常数 矩阵t r ，有 2 “1 t v 豇1 1 t d 一t 7 “+ 占一1 v t d v 其中d r 是对称正定矩阵。 引理2 3 f ”对于两个矩阵彳，d r ，若a o ，( v s 0 ) 。如果存在连续函数v ：j 。r ” 寸r + ，使得 1 “( i i x l l ) 矿( f ，x ) v ( 1 i 石i i ) ，f j l ，z r “ 2 存在一个连续非减函数p ( s ) j ，( v s o ) ，对任意t o j 满足 v ( t + 护，x ( t + 口) ) p ( v ( t ，z ( f ) ) ) ，0 【- ，o ，t t o 的任意解z ( f ) 有 矿( f ，工( f ) ) 一口( | | z ) 则如下系统的解z = 0 是一致渐近稳定的。 i ( f ) = f ( t ，x ，) 式中f ：j c 。寸r “连续，且f ( t ，o ) z o ( v t l ，) 哈尔7 寰理工大学理学坝士学位沦文 第3 章不确定时滞大系统的鲁棒稳定性 本章主要研究带有参数不确定性的线性时滞关联大系统的鲁棒稳定性考虑 的系统模型为： n i 。( f ) = ( 爿，+ a a 。) x 。( f ) + ( 爿+ a a f ) x j ( 一f 口) t 0 ( 3 1 ) 卢l z 。( 1 ) = 峻( f ) ，v t 卜r ，o 】，i = 1 ，2 ，n 其中工。( f ) r 。是系统的状态向量，a ，a r ”。为系统矩阵，削，a a 。为系统 的相应维数的不确定矩阵，7 “e o ，f 为系统的滞后时间且7 f 为定常或时变 的。，是系统的初始值。 假设一。i = 1 , 2 ，n 是稳定的，则下列l y a p u n o v 方程： 只爿，+ 爿，只= 一2 q ， ( 3 - 2 ) 有唯，的n ，n 。维对称正定解f ，其中q 。为任意给定的n 。n ，维对称正定矩 阵。 在鲁棒控制中，不确定动态系统的概念是相当重要的。为了进行有效地控 制系统，一个复杂的动态系统必须用一个相对简单的模型来描述。线性不确定 时滞关联大系统( 3 1 ) 中的不确定矩阵鲋。，鲋。是未知的，但根据实际问题中的 具体信息可以对它们做出一些假设，称其为不确定性假设。 常见的不确定性假设有以下几种： ( i ) 非结构不确定性：即设 ，忙阻。i l 口， 其中d 。，口。为已知常数，i h | 为矩阵范数。 哈尔滨耻【大学理学础上学位论文 ( i i ) 矩阵多胞型结构不确定性：即设 削= k 。蛆u = r 。e t ； 其中e ，e ，为已知常值矩阵，k 与为未知但有界的不确定参数，即 吲 i ，川 i i ，i 均为已知常数。 ( i i i ) 强结构不确定性：即设 i 鲋，卜d f ，l 削。卜岛 其中d 。，d 。为已知非负矩阵( 元素均为非负数) ，l 削小 1 ( 3 6 ) 以及式( 3 - 5 ) 可推得 。 y 。o + 口) ) 。g j x j ( s + 口) 弓工。+ 日) g y ( x ( s ) ) 2 日善5 ，z ；( s ) 弓j o ) ( 3 - 7 ) 婚( f ) ) 墨挚_ 栩”x j 2 + 蝉m k ? 脓j 鼻 + 一t 龛工j 只x j + g ? 峨只薹峨弓t 蟛t 只+ 4 善工j 只? 峨只善峨弓1 蟛只+ 矿 s 薹z f t 吨q ；+ o ? 只2 + 幽j m ) + e ? 心薹 巧1 4 ；只 + 2 识+ ? 肥削# 巧1 鲋j 只k 。 s 一著r a 丸( s ；q 一时只2 + a i a g ( d q ) 】一s ? 嬲薹呜彳1 彳；只 一2 识一s 妻4 帅彳1 龇瑶肥n ) 2 ) 所以，如果式( 3 4 ) 成立，。茹必存在一个常数叮) 1 满足 p k 俩q j 一【；2 + ；d i a g ( d r d 。) 卜? 姆 彳1 _ ；# 一2 识一s ? 副圳例i | d 引m ，o 2 0 x 只 r v 一 譬e噼 。飞角 + 净 蛆鲋+ 甲p z q 巧 ， 孓钉 、l x 角 ，p ，p ， f ， x x ，孓岛，孓急 一 + + 渺 聃 巧 巧n 飞盘 山 叼 荟 篁垒篓型三查耋耋耋型圭兰竺篓塞 对所有的f ，有矿( x ( s ) ) 一。r a i n 。( “) 愀s ) n 证毕。 令式( 3 一1 ) 中的系统的滞后时间7 p = f ( r ) o ，h i ( 以后记 口( f ) = h ，) ，且 0 h ( f ) s h g ， # ( ，) d g 0 。使如