（计算数学专业论文）抛物型方程组的数值方法和分析.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：l 鱼走焦日期：兰丝盛翅幽 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：蛊去焦导师签名摇左日 期：拨! ：! ： 厂 山东大学博士学位论文 抛物型方程组的数值方法和分析 高夫征 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 抛物型方程组在化学，生物学等许多数学物理镊域有着广泛的应用，具有深刻的物 理背景诸如油水两相渗流驱动问题，核废料污染问题，半导体器件瞬态问题，生物种 群互相作用的演化问题等模型均是由掂物型方程组来描述的，因而得到广大数学工作者 以及工程技术人员的普遍关注和重视无论从理论上还是从数值分析上，都有必要全面 而深入地研究关于抛物型方程组解的存在唯一性，正则性及其解的一些其他性质已有 许多成果，这方面以a s k 妇h n i k o v ，周毓麟，沈隆均，袁光伟，吴卓群，王明新等为 代表进行了一系列的研究工作【1 1 0 对于其有限元方法分析和差分方法分析也有许多 优秀的结果，这方面以j d o u d a s ，j r 和t d u p o n t ，r e e 硒n g ，t f 。融璐e ，m f 。 w h e e l e r ，袁益让等人为代表作出了一系列基础性研究工作，提出了著名的特征有限差分 方法和特征有限元、特征混合元等方法，并做了理论分析和数值实验，奠定了坚实的理 论和实验基础1 1 1 2 0 】进入9 0 年代以后，这些数值方法和理论进一步得到长足的发展 本文报告作者在袁益让教授和羊丹平教授的精心指导下，就具有广泛应用背景的抛 物型方程组及对流扩散方程数学模型问题综合利用有限元和有限体积( 广义差分) 法离散 技巧，构造了具有良好计算效果的有限元格式和有限体积元( 广义差分法) 格式并进行了 理论分析，且作了数值试验以验证计算格式的有效性，拓广了前人的工作，不具有重复 性本文创新点有以下几个方面： ( 1 ) 针对线性和完全非线性抛物型方程组分别提出交替方向多步格式和迎风有限体 积元预估校正格式；对两者均得到最优阶口模收敛阶误差估计，并给出了数值试验；且 对于后者，同时得到最优阶能量模误差估计 ( 2 ) 针对二维含非线性对流项的扩散问题，基于三角形剖分和四边形剖分两种基本的 区域剖分及相应的对偶剖分分别得到了迎风有限体积元格式，该格式计算量小，保持质 量守恒对两者分另0 得到了最优阶l 2 模和日1 模误差估计，且对后者就矩形同情形给出 了格式满足离散极值原理的结论并给出数值试验支撑理论分析结果 ( 3 ) 针对三维非线性对流扩散问题，基于直三棱柱剖分和长方体剖分两种区域荆分 及相应的对偶剖分提出了结合质量集中算子的迎风有限体积元格式，该格式计算量小， 保持质量守恒对两者分别得到了最优阶驴和日1 模误差估计，且后者满足离散极值原 理并给出数值试验，说观方法的实用性 山东大学博士学位论文 = ：= = ：= = ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 全文共分五章 在第一、二、三章，针对抛物型方程组，我们分别提出了交替方向多步法、变网格法 和迎风有限体积璜估校正格式在第四、五两章，针对一类含非线性对流项的扩散同 题展开了讨论，我们提出了迎风体积元类格式第四章就二维问题提出了基于三角形剖 分和四边形剖分及其对偶剖分的两类迎风体积元类格式，丽在第五章则就三维问题提出 了基于直三棱柱谢分和长方体制分及其对偶静i 分的两类迎风体积元类格式，我们均给出 严谨的理论分析 自从有限差分方法首次引入交替方向法，交替方向隐格式已被证明是求解含有多个 空间变量的抛物型和双曲型初边值问题的非常有价值的技术 2 2 - s 5 1 交替方向法通过将 高维问题化为一系列一维问题，减少计算量，提高了计算效率，而受到广泛关注 j d o u g l a sj r 和t d u p o n t 于1 9 7 1 年针对非线性抛物型方程和二阶线性双曲型阊题基 于矩形区域上规则网格情况将交替方向离散技巧引入到g a l e r k i n 有限元方法中提出了 g s l e r k i n 交替方向有限元程序嘲，并进行了严谨的理论分析得到了最优阶皤模误差估 计利用g a l e r k i n 交替方向有限元程序可成功地将大登高维问题化为一系列小型的一维 问题。在求解进展过程中而得的相应的离散方程组的系数矩阵不依赖于时间，只需要一 次分解这些矩阵的存储是和一维问题相关的而非与多维问题相关，从而存储要求相当 低g a l e r k i n 交替方向法尤其在求解大型三维非线性问题受到欢迎j e d e n d y 3 1 j 就j d o u g l a sj r 和t d u p o n t 针对抛物问题提出的几类交替方向格式得到了最优阶工2 模误 差估计，并且就j d o u g l a sj r 和t d u p o n t 针对线性二阶双曲问题提出的交替方向格 式加以推广至非线性二阶双曲问题同时得到了最优阶工2 模误差估计g f a i r w e a t h e r 3 4 】 针对一类线性抛物问题提出了g a l e r k i n 交替方向法，m d r y j a 【3 3 】则就一类一阶双曲型 方程组和抛物双曲型耦合方程组讨论了g a l e r k i n 交替方向法 针对实际问题计算区域的复杂性，后来，又有众多学者对g a l e r k i n 交替方向法作了计 算区域上的推广其中有j e d e n d y 和g f a i r w e a t h e r 3 2 1 及h j e l - z o r k a n y 和r b a l a s u b r a m a n i a n 3 5 将计算区域推广到矩形多边形区域还有l j h a y e s 2 4 矧将g a l e r k i n 交替 方向法计算区域推广到更般的非矩形区域和曲边区域等为了进一步提高时间精度， 以便在实际计算中采用大时间步长，提高计算效率，j h b r a m b l e ，r e e w i n g ，和l i c - a n 觯将g a l e r k i n 交替方向法与多步时间法相结合，提出了求解含单个方程的抛物问 题的交替方向多步法，并得蓟了最优阶铲模误差估计 在第一章中，我们则是基于j h b r a m b l e , r e e w i n g ，和l ig a n g 在文献【3 5 】提 出的离散思想，针对类线性抛物型方程组，通过添加扰动项提出并分析了利用预处理 迭代的g a l e r k i n 交替方向多步法数值试验表明该方法是具有高效性的本章结构为： 在1 1 引言中，首先对g a l e r k i n 交替方向多步法作了简单回顾，然后提出了将要讨论的 问题模型1 2 含有1 2 1 和1 2 2 两小节在5 1 2 1 中引入了一些注记，假定条件及 预备工作在1 2 2 中提出了求解问题的交替方向多步法利用变分技巧，先验误差估 山东大学博士学位论文 计，预处理迭代误差结果，在1 1 3 中给出最优阶l 2 模误差估计最后，在1 4 就一类 含有两个代求函数的线性抛物型方程组利用本章所提方法进行了数值试验数值试验结 果表明所提方法具有高效的特性 在第二章中，我们针对一类完全非线性抛物型方程组提出并分析了变网格有限元方 法( m f e m ) 变网格有限元法( m f e m ) 已经在众多物理和工程领域，诸如固体和流体力 学，燃烧。热传导，材料科学等，有了重要应用在上述领域中，往往会产生这样一种物 理现象，即在某些局部区域出现奇异性或近乎奇异性的解，如激波，边界层，爆破波等 对于含有这样的奇异性现象的物理问题。其数值方法要求在不同的空间区域采用不同的 网格，在解的变化剧烈的区域配置细网格，而在其他区域则配置相对较粗的网格，同时 考虑到解的奇异性将随时间移动，因此网格配置还要随时间而变化 剩用变网格有限元法求解同题，可以极大的改进数值近似的精度并且有效的减少计 算耗时在过去的三十几年，关于求解偏微分方程的m f e m 有了巨大进展r b o n n e r o t 和p j a m e t i a s l 于1 9 7 4 年首次提出时空有限元在1 9 8 1 年k m i l l e r 和r n ，m i l l e r 3 9 ，删 刚针对含有大r e y n o l d s 数的一维b u r g e r s 方程提出并分析了m f e m 梁国平4 2 ，4 3 1 针 对线性抛物型方程提出了m f e m 并得到了最优阶驴模收敛率袁益让则分别就一类退 化的抛物型方程组、油水两相驱动问题及一类对流扩散方程的m f e m 此外，还有关于 其他类型方程的此类方法的成果c 4 r , 4 s ，等等 第二章的结构安排如下z2 1 是引言，在引言中我们首先简单回顾了m f e m s ，给 出了问题模型和相应的假定条件。基于变甄格有限元的离散技巧，在2 2 中提出了一类 高效的变网格有限元在2 3 中，注意到近似解和真解之间的误差主要由有限元插值误 差、对时间轴的差分误差和网格变动带来的误差，我们分别讨论它们，最后得到了最优 阶铲模和髓量模误差估计 在接下来的三章中，我们将要对有限体积元方法( f v e m ) 展开讨论f v e m 是集 f e m 和f d m 的优点而产生的处理偏微分方程的一种新型离散技巧，尤其对于处理包含 质量、动量、能量等物理守恒率问题已受到广泛关注这类方法在国内又称为广义差分 法，最早由李荣华和他的合作者于二十世纪八十年代初提出，至今已有了长足发展，参 看文献 8 8 1 以了解详纽情况f v e m 通常采尾数值积分公式及差分离散近似的办法离 散积分守恒方程有限体积元方法广泛用于计算流体力学和热传导问题却- 5 2 ，州由于局 部保持原问题的物理守恒率的至关紧要的性质，f v e m 在捕获激波或研究其它物理现 象极其有效 在第三章中，我们针对一类完全非线性的抛物型方程组，提出并分析了有限体积元 预估校正法( f v e p c m ) 作为偏微分方程，尤其计算流体力学，一种有效的离散技巧， 由于保持原问题的守恒性质，f v e m 已得到广泛应用近几年，f v e m 已经被广泛用于 求解单个偏微分方程f 4 9 j 一，但很少用于求解抛物型方程组羊丹平盯2 i 仅提及用f v e m 求解一维抛物型方程组，但并没有给出收敛餐e 分析在1 3 7 1 j d o u g l a sk 帮t d u p o n 1 1 1 山东大学博士学位论文 针对抛物型方程提出预估校正算法并得到了最优阶日1 模估计 m f w h e e l e r 在文献 f 7 3 1 中就二阶非线性抛物型边值问题分别讨论了半离散和几类全离散g a l e r k i n 有限元方 法，得到了最优阶岛模误差估计 在本章，基于文献 3 7 和 4 9 一( 7 3 ，我们建立了求解一类完全非线性的抛物型方程 组的f v e p c m 本章结构如下：在5 3 1 引言中，首先简单回顾了背景方法，然后提出了 所要考虑的问题模型，最后，就问题模型提出假定条件在3 2 中，将有限体积元离散 技巧和预估校正思想相结合提出了f v e p c m 有助于收敛性分析的几个辅助引理和最优 阶l 2 模误差估计分别在3 3 和5 3 4 中给出，在此时间阶比相应的f v e m 中时间阶高 出妻阶在3 ，5 中进行的数值试验表明f v e p c m 在求解非线性的抛物型方程组是有效 的，且数值结果与理论分析相容 在第四章和第五章中，我们将研究对流扩散问题对流占优扩散问题具有很强的双 曲特性，因此单纯使用标准方法( 有限差分或g a l e r k i n 方法) ，如中一5 - 差分方法尽管具有 二阶精度，在被用于求解对流占优扩散问题时，会产生过多数值弥散和非物理振荡，使 得数值方法失败这样一种现象在用有限元方法和有限体积元方法求解对流占优扩散问 题时同样会出现对于二维可压缩两相驱动问题，在周期性假定条件下，j d o u g l a s ，j r 和t f r u s s e l l 7 4 】提出了可用特征差分方法和特征有限元方法求解对流占优扩散问题以 克服非物理振荡和在传统方法中出现的缺陷从1 9 7 7 年起，t a b a t a 等人就对对流扩散 方程进行了一系列工作研究三角形网格上的迎风格式 7 5 - - 7 9 】袁益让从实际探测和油气 资源发展问题出发，针对两相三维可压缩驱动问题【8 6 】提出了迎风分数步长方法 关于已有的f e v m 成果多是针对一维和二维线性偏微分方程 5 0 - 5 2 , 6 3 - ? 1 】近十几 年，胡健伟，m f e i s t a u e r 8 1 - 8 5 】等通过引入质量集中算子，构造并分析了一类基于三角 形网格的质量集中型的部分迎风有限元方法处理线性和非线性对流扩散问题在第四章 中，我们则针对含有非线性对流项的二维扩散问题为模型，建立了基于三角形网格剖分 和四边形网格剖分两种基本剖分及其对偶剖分的迎风有限体积元格式，取试探函数空间 分别为三角形网上分片线性元空间和四边形网上的等参双线性元空间，检验函数空间为 对偶剖分上的分片常数空间，采用有限体积元法去离散扩散项，用迎风差分格式去离散 对流项这一思想对于三角形网上的迎风有限体积元得到了最优的工2 模误差估计；对于 四边形网上的迎风有限体积元则就矩形网情形对格式建立了离散极大值原理，同时给出 了最优的日1 模误差估计 第四章结构安排为：在4 1 引言中给出了待研究的数学模型，回顾了相关方法背 景 5 4 2 中对于问题( 4 1 1 ) 基于任意三角形副分和对偶剖分提出并分析了迎风有限体 积元在5 4 2 1 中引入了对于问题( 4 1 1 ) 的假定条件，构造了三角形剖分及对偶剖分并 建立了相应于剖分的试探函数空间和检验函数空间，提出了格式利用有限元先验误差 估计，变分技巧等，在5 4 2 2 中得到了最优的己2 模误差估计；在4 2 3 中针对一类具有 大梯度对流扩散问题进行了数值试验，证实该方法在克服数值扩散和非物理振荡方面是 i v 山东大学博士学位论文 很有效的43 中对于问题( 4 1 1 ) 基于任意四边形剖分和对偶剖分提出并分析了迎风 有限体积元在5 4 3 1 中构造了四边形剖分及对偶剖分并建立了相应于剖分的试探函数 空间和检验函数空间，提出了格式基于矩形网情形，在弘3 2 中证明了格式满足离散 的极值原理融33 得到了最优的日1 模误差估计；在5 4 3 4 中对一类对流扩散问题进 行了数值试验 因为采忍有限元方法计算三维问题时花费较大，我们通常利用有限差分方法去近似 求解 8 6 j 基于f 、e m 可以降低计算量且又不损失计算精度同时还具有有限差分法编程 简单的特性，在第五章我们尝试利用迎风f v e m 去解决三维非线性对流占优扩散方程 在本章我们仍然对计算区域进行两种剖分：直三棱柱剖分和长方体剖分基于计算二维 问题的经验，在此我们引入质量集中算子以进一步降低计算量 在第五章，我们考虑三维对流扩散问题与f v e m 和对漉扩散问题相关的内容在骑，1 引言中提到基于直三棱柱剖分及对偶剖分，在5 5 2 中我们提出并分析了迎风有限体积 元方法在52 1 中，我们引入了有关注记，给出了直三棱柱剖分及对偶剖分，建立了相 应鹄试探函数空间鹣检验函数空阀在本章钓试探函数空阊酌函数关于变量 z ，v ) 和变量 z 分片双线性几个有助于收敛性分析的引理和最优阶口- 模误差估计在5 5 2 2 和5 ，2 3 中分别给出在盼24 中，数值试验表明所提方法在数值扩散和非物理振荡方面非常有 效，且计算耗费较低在j3 我们提出并分析基于长方体翻分的新型半隐式迎风有限体积 元格式5 5 ，3 1 节是引言在弓i 言中，我们对计算区域进行了长方体剖分及对偶剖分，建 立了分片三线性试探函数空问及分片常数检验函数空间，利用变分原理及积分技巧提出 了格式在孵3 2 中主要就格式的离散极值原理进行了证明借助于先验误差估计、变分 技巧、算子交换及积分技巧，在5 3 3 中得到了最优的日1 模误差估计，在5 j3 4 中，就一 类三维具有大梯度解的菲线性对流占优扩散问题迷行了试算，数值结果与理论分析一致 关键词：抛物型方程组，对流一扩散，非线性，迎风，收敛性分析，数 值试验， v 山东大学博士学位论文 n u m e r i c a lm e t h o d sa n da n a l y s i sf o rn o n l i n e a r p a r a b o l i cs y s t e m g a of u z h e n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t a l a r g en u m b e ro fp h y s i c a lp r o b l e m so fs i g n i f i c a n ti n t e r e s ta r em o d e l l e db yt h es y s t e r n so fp a r a b o l i ce q u a t i o n s e x a m p l e si n c l u d et h es i m u l a t i o no fm u l t i p h a s ea n dm u l t i c o m p o n e n t f l o w si np o r o u sm e d i ac o m i n gf r o mp e t r o l e u ma n de n v i r o n m e n t a le n g i n e e r i n g ， o fc e r t a i ns e m i c o n d u c t o rd e v i c e s ，o fn u c l e a rw a s t e d i s p o s a lc o n t a m i n a t i o np r o b l e m s ，o f t h ed y n a m i c so fc o m p e t i n gb i o l o g i c a ls p e c i e s ，a n do fv a r i o u sa t m o s p h e r i ca n df l u i df l o w s t h ei n v e s t i g a t i o no ft h es y s t e m so ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n sh a sb e e nt h eo b j e c to fa n i n c r e a s i n gi n t e r e s to fan u m b e ro fs p e c i a l i s t s ，e n g i n e e r sa sw e l la sm a t h e m a t i c i a n s t h e r e a r eag r e a td e a lo fl i t e r a t u r e so na n a l y t i c a lr e s u l t sa b o u tt h es y s t e m s ，e g ，e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n 1 - w 弱w e l la so nn u m e r i c a lr e s u l t s ，e g ，c o n v e r g e n c ea n d e r r o r e s t i m a t eo ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ( f e m s ) a n dt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ( f d m s ) t h et h e o r ya n dt h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h es y s t e m so fp a r a b o l i ce q u a t i o n s a r ei n t e r e s t i n gf r o mam a t h e m a t i c a lp o i n to fv i e w 船w e l la sf r o mab i o l o g i c a l ，c h e m i c a l ， p h y s i c a lp o i n to fv i e w k a l a s h n i k o va 。sz h o uy u l i n ，s h e nl o n g j u n ，y u a ng u a n g w e i ，w hz h u o q u n ，e ta 1 p a i ds p e c i a la t t e n t i o np a r t i c u l a r l yt op u r et h e o r ya n a l y s i so nt h ep r o p e r t i e so ft h es o l u - t i o nt ot h es y s t e mo fp a r a b o l i ce q u a t i o n s w h i l ej d o u g l a sj r ，d u p o n t ，r e e w i n g ， t f r u s s e l l ，m f w h e e l e ra n dy u a ny i r a n g ，e ta 1 1 1 2 叭，c o m p l e t e das e r i e so ff u n d m e n t a lr e s e a r c ho nn u m e r i c a la n a l y s i sf o ra p p r o x i m a t es o l u t i o nt ot h es y s t e mo fp a r a b o l i c e q u a t i o n s t h e yp u tf o r w a r dm a n yf a m o u sn u m e r i c a lm e t h o d s ，s u c ha st h ec h a r a c t e r i s t i c f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，t h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i cm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o de t c i nt h ep e r i o do f1 9 9 0 s ，t h en u m e r i c a lm e t h o d s a n dt h e o r i e s d e v e l o p e dm o r ea d e q u a t e l y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e rs y s t e mo f p a r a b o l i ce q u a t i o n sa n dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o n p r o b l e m s ，b yc o m p r e h e n s i v e l ye m p l o y i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) a n df i n i t ev o l u m e e l e m e n tm e t h o d ( f e v m ) t h et w od i s c r e t i z i n gt e c h n i q u e s ，a n dp u tf o r w a r dc o r r e s p o n d i n g s c h e m e s w eg i v er i g o r o u sc o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n de x p e r i m e n t sw h i c hv e r i f yt h et h e o - r e t i c a lr e s u l t sa n di n d i c a t et h ee f f i d e n c ya n dv a l i d i t yo ft h e s es c h e m e s s o m en e ww o r k s v l 山东大学博士学位论文 w ed oi nt h e s i sa r ea sf o o i o w s ： ( 1 ) w ep u tf o r w a r da l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm u l t i s t e pm e t h o d ( a d i m s m ) a n df i n i t ev 0 1 u m ee l e m e n tp r e d i c t o r c o r r e c t o rm e t h o d ( f v e p c m ) f o rl i n e a ra n dn o n l i n e a rs y s t e m so f p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y ；d e r i v e do p t i m a ll 2 _ n 0 1 t l le r r o re s t i m a t e sa n dg a v ee x - p e r i m e n t sf o rb o t hs c h e m e s ；m e a n w h i l ed e r i v e de n e r g yn o r me r r o re s t i m a t ef o rt h el a t t e r s c h e m e ( 2 ) b a s e do nt r i a n g u l a t i o na n da r b i t r a r yq u a d r i l a t e r a lm e s hp a r t i t i o na n dt h e i rd u a l p a r t i t i o n ，w ep u tf o r w a r du p w i n df i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sf o r2 - dd i t f u s i o np r o b l e m s w i t hn o n h n e a rc o n v e c t i o nt e r m s t h es c h e m e sp o s s e s sc h a r a c t e r so fm a s 8c o n s e r v a t i o n a n ds m a l lc o m p u t a t i o n a lc o s t w ed e r i v e do p t i m a ll 2 - n o r ma n d 日i - n o r me r r o re s t i m a t e s r e s p e c t i v e l y , a n dg a v ee x p e r i m e n t sw h i c hs u p p o r tt h e o r ya n a l y s i sf o rh o t hs c h e m e s w e p o i n t e do u tt h a tt h el a t t e rs c h e m es a t i s f i e sd i s c r e t em a x i m u mp r i n c i p l e ( 3 ) b a s e do ns t r a i g h tt r i a n g u l a rp r i s mp a r t i t i o na n dc u b o i dm e s hp a r t i t i o na n dt h e i r d u a lp a r t i t i o n s ，w ep u tf o r w a r du p w i n df i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sw h i c hc o m b i n e d w i t hl u m p e dm a s s e so p e r a t o rf o r3 - dn o n l i n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e m s t h e s c h e m e sp o s s e s sc h a r a c t e r so fm a s sc o n s e r v a t i o na n ds m a l lc o m p u t a t i o n a lc o s t w ed e r i v e do p t i m a ll 2 一n o r ma n dh l - n o r me r r o re s t i m a t e s ，r e s p e c t i v e l y , a n dg a v ee x p e r i m e n t s w h i c hs h o wt h es c h e m e sa r ef e a s i b l e w ep o i n t e do u tt h a tt h el a t t e rs c h e m es a t i s f i e s d i s c r e t em a x i m u mp r i n c i p l e t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tt h r e ec h a p t e r sw ec o n s i d e rl i n e a ra n dn o n l i n e a rs y s t e m so fp a r a b o l i c e q u a t i o n s ，a n dp u tf o r w a r da d i m s m ，m o v i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( m o v i n gf e m ) a n d f v e p c m i nt h el a s tt w oc h a p t e r sw es t u d y2 - da n d 3 - dd i f f u s i o np r o b l e m sw i t hn o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r m s ，a n dc o n s t r u tu p w i n df i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sb a s e do nf o u r k i n d ss p a i t i a lp a r t i t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rac l a s so fl i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m ，p u tf o r w a r d a n da n a l y z ea d i m s m d os o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sw h i c hs h o wt h a tt h em e t h o d i sh i g he f f i c i e n t s i n c et h e i ri n t r o d u c t i o ni naf i n i t ed i f f e r e n c ec o n t e x t ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ( a d i ) m e t h o d sh a v ep r o v e dt ob ev a l u a b l et e c h n i q u e sf o rt h ee f f i c i e n t s o l u t i o no fp a r a b o l i ca n dh y p e r b o l i ci n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si ns e v e r a ls p a c e v a r i a b l e s 2 2 - 3 5 j i n1 9 7 1 ，d o u g l a sa n dd u p o n tf o r m u l a t e dg a l e r k i na l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n p r o c e d u r e sf o rn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sa n dl i n e a rs e c o n d o r d e rh y p e r b o l i cp r o b l e m s p o s e do nar e c t a n g u l a rr e g i o nw i t hau n i f o r mg r i d 2 s ! a n dd e r i v e do p t i m a l 硪一e l l o r 铮 t i m a t e sf o re a c hm e t h o d t h e s ea l t e r n a t i n g - d i r e c t i o np r o c e d u r e sa r eo fi n t e r e s tb e c a u s e b yt h e kr i s eo n ec a ns o l v el a r g em u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e m sa sas e r i e so fs m a l l e ro i l e 一 、r l l 山东大学博士学位论文 d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，a n dt h em a t r i c e sw h i c hm u s tb ei n v e r t e da te a c ht i m es t e po ft h e s o l u t i o np r o c e s sa r ei n d e p e n d e n to ft i m ea n dr e q u k eo n l yo n ed e c o m p o s i t i o n t h es t o r - a g er e q u i r e m e n t sf o rt h e s em a t r i c e sa r ea s s o c i a t e dw i t ho n e d i m e n s i o n a lp r o b l e m sr a t h e r t h a nt h ef u l lm u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e m ，s ot h es t o r a g er e q u i r m e n t sc a nb eq u i t el o w t h eg a l e r k i na l t e r n a t i n g - d i r e c t i o nm e t h o d sa r ep a r t i c u l a r l ya t t r a c t i v ef o rs o l v i n gl a r g e t h r e e - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rp r o b l e m s d e n d y 3 1 】d e r i v e do p t i m a ll 2 一e r r o re s t i m a t e sf o r s e v e r a la d is c h e m e sp r o p o s e db yd o u g l a sa n dd u p o n tf o rp a r b o l i cp r o b l e m s ，a n da l s of o r s c h e m e sf o rn o n l i n e a rs e c o n d - o r d e rh y p e r b o l i cp r o b l e m sw h i c ha r ee x t e n s i o n so fm e t h o d s o fd o u g l a sa n dd u p o n t f a i r w e a t h e r 3 4 】p r e s e n t e da l la d ig a l e r k i nm e t h o df o ral i n e a r f o u r t h o r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m ，w h i l ed r y i a i s 3 ld i s c u s s e ds u c hm e t h o d sf o ral i n e a rs y s t e m o ff i r s t o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n sa n das y s t e mo fp a r a b o l i c - h y o e r b o l i ce q u a t i o n s a d ig a l e r k i nm e t h o d sw e r ee x t e n d e dt or e c t a n g u l a rp o l y g o n sd o m a i nb yd e n d y a n df a i r w e a t h e r 3 2 ，a n de 1 z o r k a n ya n db a l a s u b r a m a n i a n a s g e n e r a l i z a t i o n so fa d i g a l e r k i nm e t h o d st op a r a b o l i cp r o b l e m so nn o n r e c t a n g u l a r ，c u r v e dr e g i o n sd o m a i nw e r e p r e s e n t e db yh a y e s 2 4 , 2 s j h b r a m b l e ，r e e w i n g ，a n dl ig a n g 3 6 】c o m b i n e da d lw i t h m u l t i - s t e pm e t h o da n dp r e s e n t e da d im u l t i s t e pm e t h o df o ras c a l a rp a r a b o l i cp r o b l e m a n dd e r i v e do p t i m a ll 2 - e r r o re s t i m a t e s t h ep u r p o s eo f t h i sc h a p t e ri st of o r m u l a t ea n da n a l y z ean e wa d ig a l e r k i nm u l t i s t e p m e t h o df o rs y s t e mo fl i n e a rp a r a b o