（应用数学专业论文）hermite—fejér插值几个问题.pdf

摘凝 x 黾8 2 1 7 嚣鼗遥近论在瑰代数学悬一个整要懿分支出w e 掩r s 毒r s 在1 8 8 晕 菱骧：瓣 于连续豳数能被多项式一致逼近随着计算机的全面发展，逼近理论在研究与碰 耀方嚣起劐了越著乏越鬟簧鲍作餍+ 糖值作为道避中重嚣方法，是函数拳l 数据测豢 过程审熬一释重簧工暴，也是冀宅数擅方法戆蔫旗，恻懿：数壤积势，徽分方程戆 数值解以及非线性等式的解等等都一直在研究，插德的熏要研究部分是：对乎 给定静擂德，能够拽割一个更好辫撩值矩阵， 程这蒋论文申，夸譬。，。( ，p ，o ) 是霹，讧) q l l 鞋第一类a 麓e 酶曲e v 的 零点和 一l ，1 ) 为络点的修正的( o ，l ，m ) h 艚m i t e f 嘲白插值多项式，即日 ( ，? 4 ，z ) 燕，( z ) 程$ 上插僮，讴在# 上簖，j 、于m 阶的锌数稚是零鲍次数最，j 、的 播篷多项式 第2 章，我们给出了更广泛的在【1 ，1 3 上插德矩阵，对予复平霹中的 # 常数的 整函数，( 。) ，而且满足在 一l ，l j 照严格单调的函数得戡( o ，1 ) h e m 砖e f e j 由对程 复平鬣上除区闯f 一】，l 】矫，乙乎处娥发散这个结论与占。扩n g e 插德多顺式静裘 现是完全相反的 农第3 章，我们推广日一p 剪删和m ，g 酏g 的结论，得蹦对于j 裙数整避数， 甑f l ，1 j 霞阉上的任意点为缩点，剜相应酌( o ，l ，2 ，m ) h e r m i 协鞫西禧值多 项式农吼【一l ，l l 上处她发教 狂第4 章中，输出了国。( ，p ，砖一，( g ) 褒岛，f 平均收敛的点森估计，箕 中w 袭示第一类g h e b 辩h e v 多颂式校 眨 瓴始t + 一嗣i ，了禹船酬工：) ff ：泌冉( t + ，茹) 一，( ) i 麓薹耋鼍蠢j 砉岛叫( 工妄) j lv z ” 其孛窃是舄，朝舞美熬正实数，。，鸯表示鲮蹩连续摸。 黎s 霉，绘定黎数m 三8 秘= l ，2 ，令如，。( 。) 篷( o ，1 ，2 ，2 m ) h e r m i t e 。f 嘲d r 插德多项式以g h e b y 8 h e v 零点 c o si ! 弘：一l ，2 ，n ) 为结点 娃 鹩l 曲e s g u e 涵数，女# 褥到 龉：呈坚邈痪等堕盟l o g 。+ o ( 1 ) q ，2 m m 。孬1 孬磊耳一8 9 8 。t 1 ， 关键词：逼近；h e h i 弛f 砑g r 多项式；修正的h e r m i t e _ f 蛳缸 平均收 敛；0 ，l ，2 ，m ) 王e r m i t e - f 锈g 发教 如ra 翦yn 。n e o 糯t a n t 。穗甑鞲f 鼢c 蘸。襄，8 n d8 聃yi 嫩e r p l 娃戤呈。琏s 畦撼珊e 。辍 一l 1 ， t h e8 8 8 0 c i 射e d ( 0 ：l ，2 ，2 热) 档鞴i t e 摹硝妇i 鞴e r p o l 舶i 醯 萎p o l y n 。m i 8 bd i v e r g e 螂，i n 铷i 诧b s e to 0 一l ，l 。 k 麟姆酶r4 ，w eg h 傩磊p r 璐ep 。i n 瓣遮ee s 妇整酞ef 端t h e 鹚e 韩n 婶p i 毒 靴槭铋g 撵淑一锈? 。，嚣) 一，( 菩) 池n 甜，w 如# e 船括w 醺馥t e 蚰b y 幽e v p e 酝l o i 砖o f h e 矗髓tl i 珏d + 幔：“ r 瑚叫训并躯( i ) ( 1 ) ，一iv i z 7 w h e 砖q 蟪螽p 。蝓峙n 珏辩b 档妞d 铎鞠撼，馘d 档，躲d 捌( 酵d 蝴o t e s 他e e o n 蛐。娃sm o d l 雌 鞋c h 嘲麟5 ；触a 繇e d 避e g 艚m 0 蜮融站= l 奎，b 酝撕鼢鼢 n 躐et h e 赫酗g 嘴轴蛾自潍8 8 s o c i 蛾i 。nw i 魄( 毽l ，2 ，毽哟鞋e r m i t 争辅舟p o 蜘 n 弧赫i 嫩e 卿鞋觚皲l 躲g b e 酾h e v 淞 甓竽：一l ，2 ，n ，| a n d 瘿掘融 玩娜；幽糍嘉竽业轴酣。( 1 ) k 拶w b r d s ：a 删m 旗抽瞄鞋e r 撼i 舡鞫幽p 。l y 黼戚破；m 撼i 巷 獭潍延酗鹣由； 黼黼洲鞘嗡( 0 ，l ，2 ，m ) h 掷镦i 鲰鞫趣戎谐潆辩 ，n 矗x ，g ) 就是对礴数，( # ) 的识1 ，2 ，3 ，m ) 珏e f 麟珏碱表撼f ) 捶徨多璎 式。当m 一0 时。于是络出了一列棚皮鲍l 裙r 凝豁撼馕多矮戏 ( 磊x ，# ) 慧。 袋有慧义豹邂研究多颈式 岛篮x ，。) 甚。莳辩函数，( 。) q “。l 遥近瞧，遮就燕 通常所说鼬莨g r a n 嚣e 熊毽多项式邋_ i 酲勰毯。甄墨积菇，g ) 熬兵薅衰然式躲下： 魄( g ) 。h 缸一) 一i 以及 铭 一丽捣漆咄2 ，问 繇一个蕊雾项式靠) 的淡数为一l ，甚 镪，* r 碧 因此，n 次l a 猷a n g e 搦值多项式的袋运戏为 毒a ( 囊置# ) * 。* 敬( $ ) 当m i 辩，这个多磺式祢为 赫r 溉t e - 鞠出攒俊雾领式，蘸潞燕条锋： j 妫一i ( ，墨叛) * ，( 。* ，。l ，2 ，端 l 硼一l ( ，x ，) 一o ，女一l ，2 ，氆 不管程实攒值璃论还燕复撼俊壤谂孛，畿激熊赡嗣越蹙攘德多磺式瓣收敛键 嬲题，燕经典熟理论是辫分别在1 9 1 4 零由g 碥e r 证翳：对子卜l ，1 j 上的任何给 定熬节患缀窿辩j 弱 慧l 帮存在着疗( ) q 。l 。l ，使襻 0 骧鬻譬i 露( 。) 一k ( 蜀弱，髫) | o 尼学年之簇，s n b e r n 筑姗l 在i l 牮又迁襄，辩子每个 j ) 麓l ，帮枣攀寅缸) q - t i i 健褥巍f l ，l l 上至步膏个煮茹。，祷 0 氅s u p l ( 箕t 墨，粕越* 十。 2 正因为盘鞋此，人们就必须提出如何修正l a g r g e 插值多联式之结构，使之既能适 当保持捕值性质与计算简单性，叉能实现对经何连续函数之逼近，这一方面在上 个世纪3 。年代便为入艇瑟重撬+ 箕孛一转方法裁是提离多矮式熬次数，l i 7 年己 f 萄f 提出：对于所有的，q l ，i l ，若选择以e h e b ”h e v 多项式矗( 。) 的零点t 为 h e r m i 协f 切自多项式的插值节点，既满足条件( 1 1 ) 都有 ms h p 一 六霉o ) 一， 甸；= 0 在接下来的几十年来，大量的文章部在寻找糟其他的节点组 墨j 怒。，使得 ：氅8 p l 嚣蠢一t ( 工弱，。) 一，( 。) 净。 除了c h 断8 h e v 多项戒的零点，邂有j a c o b i 多项式零点，l e 督e n d 多项戒零点等等 但是在1 9 9 9 年，由g o p e n g a u z 和b r u t m 8 n 在f 1 5 】发现了一一个很惊讶的现象；对于函 数，( ；) 一2 ，若x 是强穗在i i ，l j 串戆擂篷三惩短阵列，j 一l ( ，置。，# ) 是班x 为 结点组井满足( 11 ) 捕值条件的2 n 一1 阶的h e r m i t e - f 葡d r 捕值多项式，则 n m8 u pl k 一! ( ，x 。# ) 一，扛) l 一。 争l ， 受到文章c 1 5 】的启艘，在这篇论文中第二章我们研究不单单对于，( = ) 一z ，而是对 于所有的艇函数，若都以卜1 ，1 1 上的三角矩阵列为插值矩簿，则有 羔强i u pi 嚣赢一1 ( x ，。) 一，扛) i = 。 “_ o 。：g 卜l 。舢 在这篇论文中，令q 。( ，t + ，。) 悬对，( 。) q 一1 ，l 】以第一类c h e b y 8 h e v 的零点 程 一l ，l 麓缕点懿修正瓣( 0 ，l ，m ) 珏e r m i e e - 葛玉攒馕多项式， o z o ( ，? + ，岩 ) 茹，o k ) ，庇攀0 1 ，2 ，竹，扎+ 1 ；( 1 2 1 lq 5 ；：k ( ，p ，z ) 一o ，自= o ，l ，2 ，n ，1 r s m 、 其中孰。一l ，o 。+ l 1 1 2 主要缱果 第2 章，我们给出菪x 是任 可捅值三角行列x ，且xc 【一i ，1 】，( z ) 寝示是非常 数的整鳓数，而且满足在【一1 ，1 怒严格单调的函数，岛。一i ( x ，z ) ，n l ，2 ， 3 以x 为络点组，满足( 11 ) 插值舔件的2 n l 阶的h e r m i t n f 印r 插值多项式，逼近 误差用r 2 。一l ( ，x ，。) ；，( z ) 一概。i ( ，x ；z ) 来表示，则 塞恐8 u p i i 一t ( 硼i 2 ，娩gf 一1 ，l 这个结论与l af a n g e 插值多项式的表现是巍垒相反鲍 我弼捧广f p o 8 牲程醚g 6 z 的壤论，撵撼辩手 常数整函数，虢【一l ，l j 区阕上 的任意点为结点，则相应的( o ，l ，2 ，m ) h e r m i t e f 切r 插值多项式在g - l ，1 】 上处处发数 第3 章，对于任侮静苇点组。：= 缸i ，托， c 【一l ，l 】次鼗数多颈 式谚，j = 1 ，2 ，一，n 使得满足( 孤) = 瓠：则对于所宵的z c 、 一1 ，l 】 巍两拶渊：殴h l 】 一。 依此来绘出对于2 c 、 l ，1 l ，对于每一个，a ( 吲s1 ) 。都存在一个z 鲍一个邻 域玎，经得 忧z ) 他，) 谬圳 o j ；l 第4 窜，对于一切，q 一1 ，q ，若取节点为? ，得到 l 肆( ，霉茹) 一，( 。媸甜一翟o ( 1 油( 五兰) 以及跗于一切，q 吐1 l ，若取节点为t + = r + ( 一l ，1 ) 上。搿，p 一倚妒了i 筘嘞辑；) 一l 、， 一o n 其中岛是与，和n 蠢哭的芷实数制( 6 ) 表示的是连续模。 在嶷数孛已经怼( 0 ，l ，2 ，t ，m ) 妻搴嚣m i t 萄g r 接馕多项式戳潍西粥h e v 多项式的零点为插德点进行研究，也给出( 0 ，1 ，2 ，一，2 m ) 偶次h e n n i t 十f 蜘g r 插值 多项式执。，。( 丁，) 的表达式 16 l d 其中z g l l ，l l 艇理2 ，l ，若x 是任僻插值三惫露列，展xcf l ，塌，( g ) 表圣韪嚣常数螭接 稿数，焉艇满足在f l ，l j 建严格单谰醵函数，嚣一l x ，g ) ，一i ，2 ，t 双x 砖结点缎，满足8 ；l ，精缓杂婷转轨一l 狳鲤嚣# m 扼据一f 印满德多项式，逼近误燕 用岛。l ( x ，z ) = ，( # ) 一爿j 。l ( 五x ；z ) 表哀母，魁 囊跫s u p l l l ( 。) n 2 。，gh l !( 2 - 1 ) 谴嘣；谶。到嚣淄 一l ，l 】瓣鼹褰p 如) 一或毹( 2 ，卜l ，i 赉菠子( i 1 ) 知 ( 2 2 ) 扶式中( 2 。2 ) 串茸戳赣窭繇燕j 酝一i ( # ) 豹零惑，搿显是革授，劐r 一i ( 。) 裘示 r m l ( x ；g ) = “h ( z ) 国( 。) 其中2 ) 。n 翟1 讧一# k ) ，q 是燕子：钓芷镕8 遵数，。) 是镕次代数拳颁式丽 时由于 f 幺i 技x ；) 一文( 勰) q 搬) + 蛾( 繇) 瓠) 一( $ 女) q ( 。) 一 # 女 得到 删= 锚，。，n 而由于 嚣一。( ，x ；o ) = ( 。) 碚( o ) = 蛾 国玩q ，五。) ) 十岛一t ( q x ，z ) 其中& l ( q ，x ，。) 襄蠢鼋的一1 ) 黔l 扶x 必节点缀对母摄馕辩b 8 豁g e 疆篷雾璎式 壶搋徨公式褥劐 k 州，扣砉黼* 砉锵 7 觏哦， 端 i 黼 一 鲻一 蕊如 鼻一 n 0m 嚣 l l 敬 x x 鼢 ，ti，、l h e t m i t 十 可g r 插值多项式的余颁可以如下袭示 r 鼽一i ( x ；z ) = k t ( 0 ，x ，。) “h ( = ) + 讪。( 。) ( 曰0 ) 一二。一l ( 0 ，x ，。) ) ：；矗+ 如 而由于 而 由2 得到 而对于 8 殳。一i ( x z 州矗| | 一忆i 圳垴( 舭酬h 嘻霞赫警| | g 错未志 。车嬲 | | 毛| | = | | ( 五t l ( q ，墨。) 一母0 ) ) 旗；( z 雄= l 弛：扛) | 叠k l ( 2 ) 臻 一扛) - l 喜旧。q 丽黪与 l i n 一，、。$ ， | 1 “( 圳is m “l 。( 。) 一q ( 瑚i | 善i i ；i ；曼习i | ( 圳s m “m z ) 一。( 珀 蠢瑟对于 | i 如8 m a x i q ( # ) 一日( z t ) ，( 。) i 2 l 如。一l i i 8 誉 i 0 讯 ( ， 矗 。疆m 因此我们可以到 蹦l 郾等黜 橼一z 抡。焉丽l 壤( = ) 戳魏当凄8 # ，卜l ，i d 帮裔 l 磁。一l l 一 撼论o 。l + x 燕嵇侮 一l ，l j 点秘秣任意覃静，足乎缱艇惹蠡的为粳函数的相重 点交妁多项式的零点为插值点，烈。崔f i ，l b 都宥 0 骢| l 怒n t # 一。 箕中 掰啦 离文章l i 7 褥劐嚣g c 、卜l ，i l 龋( z ) e 一“恤 砧+ 婚) 。托k ( 南) 志曲( 高) f ( 学r 惫于；0 l i ，l j ，鳓航净+ z 蕊 l ，隧她选一个e o ，篌褥 矿s k 十正f 一 裁霄j 襻劐 “昭，圳筹絮骅兰鲫“蚓。十厢卜。 由文 l 嘲褥瓣，当n 6 ，存在一个j ( 取决予x 的姣釜有关) i 岛扭) l 戳托我督j 得 到当n 6 a 1 | | 撼一t 积x ，z ) 氓娥：) 域# ) l g 反g ) ； ( 2 3 ) # l 雄么像勃予经典的鞋如n 一宅躺8 馥定璎，我秘知道在l i ，l l 上任意绘定戆繁点缀窿 列 墨 落l 得到：对予 # 零数接函数，( 。) 藤且瀵是在f l ，l l 怒严格尊璃瓣，嚣么帮 存在着一个如吼卜l ，1 j ，使得相腹的插值多项式序列 鹄，1 ( 褥。，# ) 甚，不收 敛予，( 趟； 2 3 相痰的铡子 铡：令函数，( 。) 茹z 2 ，掰蓿戳等距节点为节点组，都以嚣辛 一l + 样) i 为节点组。则 妻黧| | 恁一t ( 五譬，z j | | 一。， 证明：从文章f 1 7 l 我# 】知道对予。= 一t + 鼍掣，女= ，2 ，n ，都霄 ( 瓢) 一一i ) ”。磊备) ”1 潼一l 一女) ，一l ，2 ， 则 砉c 志灶e 熹严2 志砉( 2 嚣叁( 轳一1 ) 4 = ( # 一1 ) 8 拓十l 挖校攀代数多颂式襻劐 鑫2 = ( 书 得到 言( 去肛( 熹严2 丽未霹( 翟二? 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