（无线电物理专业论文）空域差分—时域矩量法的研究及应用.pdf

摘要 摘要 本文介绍了计算电磁学的一个新的数值算法一一空域差分一时域矩量 ( s p a c e d o m a i nf m i t e - d i f f e r e n c ea n dt i m e d o m a i nm o m e n t , s d f d 一) m ) 法一的基 本原理及应用。 s d f d t d m 法是一种时域数值计算方法，它的某些计算格式不受时间稳定 性条件的限制，在分析计算宽频带、多尺度电磁问题上相比传统的时域计算方法， 例如时域有限差分( f m i t e - d i f f e r e n c et i m e - d o m a i n , f d t d ) 法，在计算效率方面有 较大的优势。 s d f d - t d m 法的特点在于：在对时域m a x w e l l 差分方程组进行数值求解时， 采用y e e 氏网格和中心差分技术离散空间域，而借鉴矩量法( m e t h o do f m o m e n t ， m o m ) 的加权求积分思想处理时间变量，这是与传统的f d t d 法不同的地方。这 样，选取不同的基函数和检验函数可以得到不同的计算格式，其中某些格式不受 时间稳定性条件的限制。可以证明，传统的f d t d 法是s d f d t d m 法的一个特 例，它可以从选择分域三角基函数和点匹配过程中得到。 本文主要研究了基于s d f d - t d m 法框架的两种计算方法及它们的应用：一 是基于加权l a g u e r r e 正交多项式和g a l e r k i n 法的按阶步进方法，二是基于分域三 角基函数和g a l e r k i n 法的无条件稳定方法。两者在数值求解中都没有涉及到时间 的步进过程，因而不受时间稳定性条件的限制，但是要处理大型稀疏矩阵的求逆 问题。 对于基于加权l a g u e r r e 正交多项式和g a l e r k i n 法的按阶步进方法，本文在二 维t e z 波的基础上推导了三维全波情况的公式体系及二阶吸收边界条件 ( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n , a b c ) ：将按阶步进方法与实数计算域的二维全波 压缩格式相结合，对均匀传输线的传输特性进行分析；将按阶步进方法与复数计 算域的二维全波压缩格式相结合，提取有耗传输线衰减常数的准确值：结合离散 f o u r i e r 变换( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ，d f t ) ，将按阶步进方法运用到特征值问 题的分析中。 对于基于分域三角基函数和g a l e r k i n 法的无条件稳定方法，本文推导了二维 1 e 波的基本公式体系和一阶吸收边界条件，对其色散特性进行了定量分析，给 出了两个二维平板传输线的数值仿真结果；最后是无条件稳定方法的降维处理。 以上的各个数值仿真例子都编写了相应的程序，以验证方法的准确性和高效性。 关键词；时域有限差分法，矩量法，l a g u e r r e 正交多项式，三角基函数，g a l e r k i n 方法 a b s t r a c t a b s t r a c t n 地d i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e s t h eb a s i ct h e o r yo f s p a c e - d o m a i nf i n i t e - d i f f e r e n c ea n d t i m c d o m a m m o m e n t ( s d f d t d m ) m e t h o d ，an e wn u m e r i c a l m e t h o di n c o m p u t a t i o n a le l e e t r o m a g n e t i c s ，a n di t sa p p l i c a t i o n s s d f d - t d mm e t h o di sat i m e - d o m a i nm e t h o d ，i nw h i c hs o m ec o m p u t a t i o n f o r m u l a t i o n sc a n n o tb er e s 埘c t e db yt h et i m es t a b i l i t yc o n s t r a i n t c o m p a r e dw i t h t r a d i t i o n a lt i m e - d o m a i nm e t h o d s ，s u c ha sf i n i t e d i f f e r e n c e t i m e - d o m m n ( f d t d ) m e t h o d ，t h es d f d - t d mm e t h o dh a sa d v a n t a g ei ne f f i c i e n c yf o rw i d e - b a n da n d m u l t i - s c a l ee l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s w h e ns o l v i n gt i m e - d o m a i nm a x w e l ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s d f d - t d mm e t h o d u s e sy e e sl a t t i c ea n dc e n t r a ld i f f e r e n c et e c h n i q u et od i s c r e t es p a c ed o m a i l l a n d a p p l i e sm o m e mm e t h o dp m c e d l l r et od e a l i n gw i t ht i m ev a r i a b l e s t h u s ，d i f f e r e n t c h o i c e so fb a s i sa n dt e s t i n gf u n c t i o n sw i l lr e s u l ti nd i f f e r e n tf o r m u l a t i o n s ，a n ds o m e c a nb ef r e eo fs t a b i l i t yc o n s t r a i n t i ti sp r o v e dt h a tt h ef d t df o r m u l a t i o nc a nb e d e r i v e df r o mt h es d f d t d mm e t h o db yc h o o s i n gt h et r i a n g l eb a s i sf u n c t i o n sa n d p o i n t - m a t c h i n gt e s t i n gf u n c t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yf o c u s e so nt h ef o l l o w i n gt w oa l g o r i t h m sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s ：a l lo r d e r - m a r c h i n gm e t h o db a s e do nw e i g h t e dl a g u e r r ep o l y n o m i a l sa n d g a l e r k i np r o c e d u r e ，a n da l lu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l em e t h o db a s e do nt r i a n g l eb a s i s f u n c t i o n sa n dg a l e r k i np r o c e d u r e 1 1 1 e yd on o tr e l a t et ot i m e - m a r c h i n gp r o c e s sa n da r e 丘e eo fs t a b i l i t yc o n s t r a i n t h o w e v e r , t h e yi n v o l v et h ei n v e r s i o no fm a t r i xi nt h e c o m p u t a t i o n f o rt h eo r d e r - m a r e h i n gm e t h o d t h i sd i s s e r t a t i o nd e r i v e st h et h r e e d i m e n s i o n a l ( 3 - d ) f o r m u l a t i o nb a s e do nt h e 幔e a s ea n do b t a i n st h es e c o n d - o r d e r 妇r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n ( a s c ) ；c o m b i n e d 诹mt w o - d i m e n s i o n a l ( 2 - d ) c o m p a c tt e c h n i q u e i nr e a lv a r i a b l e s ，t h eu n i f o r mt r a n s m i s s i o nl i n e sa r ea n a l y z e d ；c o m b i n e dw i t h2 - i ) c o m p a c tt e c h n i q u ei nc o m p l e xv a r i a b l e s ，t h ee x a c ta t t e n u a t i o nc o n s t a n t sa r ee x t r a c t e d ； c o m b i n c dw i md i s c r e t ef o u r i e r t r a n s f o r m ( d f l ) ，e l e c 仃o m a g n e t i ee i g e n v a l u e p r o b l e m sa l ea n a l y z e d i i i a b s t r a c t f o rt h eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l em e t h o d , t h i sd i s s e r t a t i o nd e r i v e s2 一dt e l1 1 1 0 d e f o r m u l a t i o na n df i r s t - o r d e ra b c ，a n a l y z e st h en u m e r i c a ld i s p e r s i o n , a n dc a l c u l a t et h e r e s u l t so ft h ee x a m p l e s 谢t ht w op a r a l l e l p l a t et r a n s m i s s i o nl i n e s ；f i i l a l l y t h eo n e - d i m e n s i o n a l ( 1 - d ) f o r m a to ft h eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l em e t h o di sp r e s e n t e d f o re a c h n u m e r i c a le x a m p l e ，t h ec o r r e s p o n d i n gp r o g r a mi sw r i t t e nt ov a l i d a t et h ea c c u r a c ya n d e f f i c i e n c yo f t h em e t h o d k e yw o r d s ：f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d ，m o m e n tm e t h o d , l a g u e r r ep o l y n o m i a l s ，m a n g l eb a s i sf u n c t i o n s ，g a l e r k i nm e t h o d i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 魏鲁7 阜吼切易年鲫弘日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 碑维 导师签名：圭垒牛 i1 日期：2 彤占，年，2 月弓d 日 第章绪论 1 1 研究工作的背景 第一章绪论 由于工程上需要解决的电磁场问题越来越复杂，以及电子计算机技术的迅猛发 展，一方面为电磁场数值计算方法提出了更高的要求，另一方面又为其数值计算 提供了可靠的、有利的条件。在这种情况下，计算电磁学近二十年来得到了飞速 的发展。目前，计算电磁学已成为对复杂体系的电磁规律、电磁性质进行研究的 重要手段，不但为电磁场理论研究开辟了新的途径，而且极大地推动了电磁场工 程的发展。 随时间的变化是电磁波信号最基本的特征之一。如果要深入理解电磁信号，可 以在某一函数的完备集合中以不同的形式将信号展开，其中最重要的表达形式是 频域展开。时域和频域两种表达方式已成为研究电磁波信号特性的互为补充的主 要手段。 随着人们在应用电磁学领域研究的深入，传统的点频法和窄频带方法已经不能 满足需要。计算电磁学中的时域数值技术的发展和成熟使人们具有了直接在时域 对具有宽频带特性的瞬变电磁场计算分析的能力，从而实现了对物理量和物理现 象更深刻、更直观的理解。时域数值技术的一个突出优点是可以给出问题的时域 信息，而且经过简单的时频变换，就可得到宽带范围的频域信息，相对频域方法 显著地节约了计算量。 当前，电磁场时域数值技术蓬勃发展，各具优势和特色的新颖算法层出不穷。 在经历了理论和实践两方面检验的基础上，一些有生命力的时域数值计算方法逐 步被推广应用。下面简要地介绍目前国内外流行的各种具有代表性的时域数值计 算方法。 一时域有限差分( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n , f d t d ) 法。 1 9 6 6 年，k s y e e 提出了f d t d 法的基本原理【”。2 0 世纪8 0 年代以来，随着 吸收边界条件( a b s o r b i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n , a b c ) 的不断改善，以及各种非标准 网格划分技术、激励源的设置、计算量压缩技术和抗误差积累技术的深入研究， f d t d 法日趋完善，得到了在传输、辐射和散射等方面的全方位的应用f 2 - 5 1 。f d t d 电子科技大学博士学位论文 法的最大特点是：直接把含时间变量的m a x w e l l 旋度方程在 g e e 氏网格空间中进 行离散化处理。在每一时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间步 的推进，即能直接模拟电磁波的传播及其与其它物体的相互作用过程。这样能直 接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘了出清晰的物 理图像。 f d t d 方程是一种蛙跳格式的显式差分方程，在执行时，存在一个重要的问题： 即算法的稳定性问题。这种不稳定性表现为在解显式方程时，随着时间步数的继 续增加，计算结果也将无限制地增加。t a f l o v e 等于1 9 7 5 年对y e e 氏差分格式的稳 定性进行了讨论，并导出了对时问步长的限制条件【6 】。稳定性条件使得f d t d 方法 的应用范围受到了限制，比如，为了准确地模拟微细结构的电磁特性，空间步长 必须足够小。为了保证解的稳定性，这时时间步长也需相应地取得很小，这将使 f d t d 步进的时间步数猛增，导致计算效率很低。需要用f d t d 法完整地获得时 域波形数据，而计算量又过于庞大时，可以考虑结合p r o n y 5 算法的f d t d 法对计 算得到的部分时域波形进行外推，以减少时间的步进数 7 1 。 另外，因为有限步长对数值色散的影响是不可避免的，所以数值色散也是 f d t d 法中必须考虑的一个因素。 目前，f d t d 法的主要发展方向是：在保持较高的计算精度的条件下，进一步 减少对计算存储空间和计算时间的需求，以及增加模拟复杂结构的能力，并不断 扩大其应用范围，特别是需要获得在辐射和散射应用中解决电大尺寸系统电磁计 算的能力。 近年来，有很多f d t d 方法的变形出现，下面是具有代表性的几种。 i 交变方向隐式( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m 【p l i e i t , a d i ) f d t d 法。1 9 9 9 年，t n a m i k i 首先将a d i 技术应用于f d t d 法，提出了著名的、无条件稳定的a d i f d t d 方法，并将其应用于二维t e 波问题的模拟1 3 1 ，后来又将其推广至三维问题【9 l 。 a d i f d t d 方法能够使f d t d 法在一定程度上摆脱时间稳定性条件的限制，从而 明显地节约计算时间。 a d i - f d t d 方法既具有隐式差分格式的无条件稳定性，又具备显式差分格式计 算相对简单的优点。a d i f d t d 算法仍然采用y e e 的矩形差分网格，与普通f d t d 法的主要区别在于对m a x w e l l 旋度方程右边的时间离散化处理不同，它以两个交 替过程实现对电磁问题的时间步进仿真。 然而，a d i f d t d 法需对电场分量进行两层存储，对磁场分量需一层存储， 因而内存占用比传统f d t d 增加5 0 i 虽然a d i f d t d 法的时间步进过程具有无 2 第一章绪论 条件稳定性，具有比传统f d t d 法更广泛的适应能力，但是其时间步长不能取得 很大，这是因为要受计算结果准确度的限制，即较大的时间步长将导致数值色散 误差显著增大i t 0 1 。 2 压缩( r e d u c e d ，r - ) f d t d 法。传统f d t d 法的差分公式体系是m a x w e l l 方程组中有关电场和磁场的旋度方程进行差分得到的，没有利用另外两个散度方 程，而2 0 0 1 年gd k o n d y l i s 等提出的r - f d t d ( r e d u c e df d t d ) 法充分利用所 有的旋度和散度方程获得关于时间步进的差分方程【1 1 1 。这样，对于二维空间可以 节约一个场量的存储，对于三维空间则可以节约两个场量( 电场和磁场) 的存储， 从而都可节约l ，3 的内存，而步进的时间数和传统f d t d 法相当。gd k o n d y l i s 等用这种方法成功地计算了微带线的传输参数。 但是，对于存在激励源或非理想导体的区域，由于电场的散度不为零，对应的 差分方程需特殊处理。该方法只限于解决空间内部含有的激励源较为规则，非理 想导体所占空间较小的情况。 3 高阶( h i g ho r d e r , h o ) f d t d 法。传统的f d t d 法由于受到数值色散条件 对空间网格尺寸的限制，在解决电大尺寸对象的计算问题上存在很大的局限，表 现为：粗糙的网格划分必然导致很差的色散特性，而对电大尺寸问题进行精细网 格划分又导致不可实现的内存存储量。h o f d t d 法是解决这类问题的有力工具 0 2 4 4 1 ，它对m a x w e l l 旋度方程进行高阶差分近似，用比较粗糙的网格对空间进行 划分，同时又能保持比较令人满意的色散特性，达到有效节约计算资源、提高计 算效率的目的。 有代表性的高阶差分方法主要有两类：一类是用三阶空间差分消去二阶差分所 带来的截断误差，但是难以处理空间内部介质情况较为复杂的问题；另一类是应 用微分方程的数值解法一显式的r u n g e k u t t a 法，但计算出的场量值往往是耗散 的，造成相速和幅度较大的误差。 4 结合矩阵束技术( m a t r i xp e n c i l ，m r ) 的f d r d 法。1 9 9 6 年，j r i t t e r 等提 出了一种结合矩阵束技术的f d t d 法i ”1 ，并把它成功地用于导波结构的s 参数分 析计算中。矩阵束技术将瞬时波表达成一系列凋落复指数的求和形式，形成了如 何确定极点的特征值问题。对于复杂的导波结构，该方法能有效地解决由于f d t d 法很大的时间步进数引起的计算时间长的问题。此外，该方法对噪声影响的敏感 度较低，网格划分可按被模拟结构的具体边界进行划分，不一定要用正交的网格 划分技术。 5 多时间步长( m u l t i t i m e s t e p 。m t s ) 的f d t d 法。针对传统的f d t d 法非 3 电子科技大学博士学位论文 均匀网格中采用等时间步长，时间步长受最小空间步长限制的问题，郑阳明等提 出一种m t s f d t d 法【i 们，在大网格区域使用大时间步长，小网格区域使用小时间 步长，从而减小计算量，达到提高计算效率的目的。 由于m t s f d t d 法在不同区域采用不同时间步长造成整体网格在时间进度上 不一致，处理电场和磁场场值在不同时间层上的更新较为复杂；此外，无论是大 网格中的大时间步长还是小网格中的小时间步长，还是要受到时间稳定性条件的 限制。 二传输线矩阵( t r a n s m i s s i o n l i n e m a t r i x ，t l m ) 法。 t l m 法是f d t d 法几乎同时发展起来的一种时域方法【1 7 1 ，有人称其为f d t d 法的“姊妹方法”。这种计算方法的理论基础是h u y g e n s 原理的波传播模型，并受 到早期网络仿真技术的启发。它用开放的双线传输线构成正交的网格体，并应用 空间电磁场方程与传输线网格中电压和电流关系的相似性确定网络的响应。与 f d t d 法一样，t l m 法所需存储空间的大小与计算空间的网格总数成正比，而且 任何场点的场量值只与周围相邻场点的场量值及其前一刻的场量值有关。t i m 法 的应用范围包括：微波传输线，散射，特征值问题，网络参数提取和有源器件模 拟等。 与f d t i ) 法相比，n m 。法的应用较为复杂，需要进行电路参数和电磁场场量 之间的转换，且占有计算机内存较大，计算效率较低。此外，该方法对非均匀网 格的处理能力和吸收边界的作用效果尚待提高。从t l m 法的发展过程看，除了具 有较好的数值色散特性外，它的主要优点均为f d t d 法所具备，因而不及f d t d 法的应用广泛。 三时域有限体积( f i n i t e - v o l u m et i m e - d o m a i n , f v t d ) 法。 f v t d 法与传统的f d t d 法的思想类似，是时域m a x w e l l 方程积分形式的一 种差分代替微分的离散表达【l 聊。这种方法将空间网格分为主从两种网格，即电场 网格和磁场网格。它们相互交叠，一般情况下，从( 主) 网格的顶点恰好位于主 ( 从) 网格的中心，因而可以利用m a x w e l l 方程的积分形式，达到电场和磁场随 时间步进相互更新，即利用体积单元表面电( 磁) 场的切向分量计算单元中心的 磁( 电) 场的值。f v t d 法特别适于解决计算空间区域包括不规则网格单元的问题。 在大体一致的网格分布情况下，和f d t d 法相比，其计算量有所增加。用f d t d 法和f v t d 法分别计算电大尺寸对象的数值结果表明，f v t d 法可以采用相对稀 4 第一章绪论 疏的网格划分，既节约内存，又能得到较为准确的结果。f v t d 往往和f d t d 混 合使用【1 9 1 。 不过，到目前为止，还没有对f v t d 法稳定性的系统理论分析，但一般认为 其稳定性主要取决于体积单元的几何形状，条件较f d t d 法的苛刻；此外，应用 该方法时建立数学模型较为困难。 四时域积分方程( t i m e d o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n , t d i e ) 法。 t d l e 法是利用g r e e n 函数和g - r c c n 定理获得时域积分方程，再迭代计算电磁 场 2 0 - 2 ”。基于求解问题的g r e e n 函数和边界条件可以建立多种时域积分方程，然 后把空间变量的积分区域和时间变量都离散化，把积分方程化为线形方程组，但 此方程组不是按矩阵求逆的方式进行求解的。可以从已知初始值开始计算，按时 间步进的方式递推，逐步求出各时间取样点的响应值。t d i e 法可以计算良导体的 球、柱、锥、板、线及其组合体以及介质物体的瞬态响应，还可用于求解良导体 的逆散射等问题。 t d i e 法的优点是不需要人为设置边界条件，但是，其计算复杂，磁场积分方 程不适用于分析无限薄平板，以及电场积分方程在时间递推计算的晚期数值解不 稳定，同时随着f d t d 法在瞬态电磁场领域的广泛应用，人们对t d i e 法的关注显 著降低。 五时域有限元( f i n i t e - e l e m e n tt i m e - d o m a i n 。f e t d ) 法。 有限元法的数学基础是r i t z 变分原理和g a l e r k i n 方法，具有对复杂结构建模的 自由性。作为过去广泛应用的频域方法，近年来也发展到时域，即利用上述原理 和方法将m a x w e l l 方程化为微分方程，再通过差分近似替代微分求解。f e l d 法广 泛使用矢量基单元构成单元基，采用非交错的单电( 磁) 场三变量模型和交错的 电、磁场六变量模型生成网格，采取需要求解逆矩阵的隐式格式和不需求解逆矩 阵的显式格式进行数值计算口刁。f e t d 法在计算中是否稳定，取决于在场量更新过 程中涉及到的矩阵运算。文献 2 3 1 探讨了求解有限元的各种差分方程的稳定性，得 出利用混合差分可能获得无条件稳定的迭代公式的思想。 f e t d 法的优势在于它能够对复杂的几何结构进行建模，以及便于处理材料分 界面上的电磁场关系。可以将f e t d 法和包括f d t d 法在内的其他方法相结合， 充分发挥其对复杂结构建模的能力例。然而，f j ! t d 法中生成三维网格的过程十分 复杂，此外，应用显式格式进行计算时，矢量基单元只能采用点匹配或参数集总 ， 电子科技大学博士学位论文 的方法，精度较低，而应用隐式格式进行计算的精度虽然较高，但是计算量比频 域的有限元法大得多。 六基于小波变换的多分辨率时域( m u l t i r e s o l u t i o n t i m e d o m a i n ，m r l d ) 法 小波( w a v e l e t ) 分析是f o u r i e r 分析发展史上的里程碑式的进展，近年来是众 多学科共同关注的热点。小波变换优于傅立叶变换的地方是，它在时域和频域可 以同时具有良好的局部化性质，被誉为“数学显微镜”。 1 9 9 6 年，m k r u m p h o l z 首先将小波分析理论中的多分辨率分析理论引入到电 磁场的时域计算中【2 5 1 ，产生了一种新的时域计算方法m r t d 法。他将计算空 间划分成与f d t d 法类似的空间网格，利用尺度函数( s c a l i n gf u n c t i o n s ) 和小波函 数( w a v e l e tf u n c t i o n s ) 空间展开，基于小波和g a l e r k i n 方法，得到类似f d t d 法 的时间步进格式。在所要求的精度较低时，为节约内存，利用尺度函数将场量展 开( s m r t d 格式) ；当要求精度较高时，把场量用尺度函数和小波函数共同展开 ( w - m r n ) 格式) 。相比较而言，w - m r t d 格式比s - m r t d 格式占用较多的计算 资源。 由于m r t d 法在空间每个波长上只用划分两个网格，相比f d t d 法通常情况 下的至少十个网格，能大大地节约内存存储量，这样十分利于处理电大尺寸的问 题。文献 2 5 】还给出了w - m r t d 和s - m r t d 格式的数值色散特性分析，也优于 f d t d 法。 m r t d 法的主要缺点是无论如何选择它的展开基底，其时间稳定性条件比 f d t d 法都要苛刻一些。文献 2 6 1 提出了将a d i 技术和m r t d 法相结合，这样可 以在保持其在空间网格少的优势上适当地增大时间步长，从而减少整个步进的时 间步数。 目前，已有利用h a a r 子波、双正交子波为基底进行展开的m r t d 方法【2 7 - 2 9 】， 如何根据具体问题选择合适的尺度空间和子波空间对场量进行展开，是应用 帅方法时需要解决的主要问题。 七时域伪谱( p s e u d o - s p e c t r a lt i m e - d o m a i n , p s t d ) 法 p s t d 方法于1 9 9 7 年由q h l i u ( 柳清伙) 提出叫，该方法十分利于电大尺 寸问题的计算。与f d t d 法样，p s t d 法也是时域m a x w e l l 方程组的一种数值算 法。它的最大特点是利用快速f o u r i e r 变换( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m , f f t ) 来完成空 6 第一章绪论 问微分，这不同于f d t d 法的中心差分。由于f f t 理论上的精度可以无限高，在 满足n y q u i s t 采样定理的情况下，每一个最小波长上只用划分成两个网格，从而对 计算机的内存和计算量的需求大大降低。所以，p s t d 方法在保持了时域数值方法 的特点外，具备了求解电大尺寸电磁问题的能力。 f d t d 法在处理各向异性介质问题时，由于电磁参数的非对角性要利用场的插 值技术，会降低解的准确度。而p s t d 法未涉及到交错网格，场量都集中在一点， 不必引入插值。文献【3 0 报道了p s t d 法在色散介质中的应用，文献【3 l 】将p s t d 法和a d i 技术结合得到了无条件稳定的算法。 p s t d 法本身有两个技术问题需要得到解决：一是“点源现象”的g i b b s 效应， 这是由于f f t 过程中点源的三角函数基展开不正确造成的，需要通过设置空间平 滑的体积源克服；二是同时空间的不连续性导致均匀空间的f 1 v r 算法失效，如在 自由空间和导体分界面会出现较大的运算误差，文献 3 2 】研究了适于不连续性的一 种f f t 算法。 1 2 研究工作的意义和主要内容 本文主要致力于一种电磁仿真新算法一空间差分一时域矩量( s p a c e - d o m a i n f m i w d i f f e r e n o ea n dt i m e - d o m a i nm o m g n t , s d f d - t d m ) 法的研究及其应用。 s d f d t d m 法是一种时域数值计算技术，它的某些计算格式是可以摆脱时间稳定 性条件的限制，并且具有良好的色散特性，在解决宽频带、多尺度的电磁问题中 具有精度高、效率高的特点。 本文研究工作的意义在于：从理论上讲，作为一种混合的时域算法， s d f d - t d m 法的提出丰富了计算电磁学，促进了电磁场对域数值技术的发展。从 实际应用方面讲，用单一方法( 例如：矩量法、有限元法或f d t d 法) 解决具体 问题，往往都有解，但非最佳，不是精度不高，就是效率较低。s d f d - t d m 法的 某些计算格式可以摆脱时间稳定性条件的限制，相对传统的f d t i ) 法，可以大大 地提高计算效率，特别适合微波电路和传输线中需要对细微几何结构进行电磁模 拟的场合。 本文的主要研究内容及章节安排为： 7 电子科技大学博士学位论文 第一章“绪论”部分：1 1 节介绍了本文研究工作的背景且前国内外各种 流行的时域数值计算方法，如f d t d 法、t l m 法、f v t d 法、t d i e 法、f e t d 法、 m r t d 法和p s t d 法等，以及它们各自的优势及不足。1 2 节介绍了本文研究工作 的意义和主要内容，以及本文的章节安排说明等。1 3 节是本文的主要贡献和创新 点的介绍。 第二章“f d t d 法和矩量法简介”部分：2 1 节简单介绍了f d t d 法的基本原 理，包括其以中心差分替代对空间和时间的微分的思想，经典的三维y e e 氏网格 体系和f d t d 法的积分环路解释，以及f d t d 法的几个关键问题，如时间稳定性 条件，数值色散关系，截断边界条件，激励源的施加和网格的划分等。2 2 节简单 介绍了矩量法的基本原理，包括基函数、检验函数的选择，奇异性的处理，离散 积分方程及其性态和线性方程组的求解等。 第三章“s d f d t d m 法的基本原理”部分：3 1 节介绍了s d f d - t d m 法的基 本原理，从时域m a x w e l l 方程组出发，电磁场各分量用基函数展开后，提出了以 形如f d t d 法的有限差分技术处理空间变量，以类似矩量法的加权求积分过程处 理时间变量，这样导出的计算格式可能摆脱时间稳定性条件的限制，从而提高计 算效率。3 2 节介绍了s d f d t d m 法和传统f d t d 法之间的关系，证明了传统f d t d 怯的计算格式可以从s d f d - t d m 法中选取分域三角基函数和点匹配法得到， f d t d 法只是s d f d t d m 法的一个特例。 第四章“按阶步进的s d f d - t d m 法”部分：4 1 节介绍了l a g u e r r e 正交多项 式的定义和递推关系，以及其作为s d f d - t d m 法展开基函数的表达形式。4 2 节 推导了基于加权l a g u e r r e 正交多项式和g a l e r k i n 法的三维按阶步进的s d f d t d m 法的公式体系，并运用于带通孔的微带线计算中；推导出了二阶吸收边界条件， 并通过一个三维微带线算例，验证了其具有比一阶吸收边界条件更好的吸收外向 波的能力。4 3 节是二维全波压缩格式的按阶步进的s d f d t d m 法的公式体系及 应用，在实数计算域，本文对有耗均匀传输线的传播常数进行了计算，在复数计 算域，对高损耗传输线的衰减常数准确值进行了提取。通过均匀微带线和共面波 导的例子，可以看出在存在细微网格划分的情况下，不论在实数计算域还是复数 3 第一章绪论 计算域，二维全波压缩格式的按阶步进法的计算效率远远高于二维全波压缩格式 的f d t d 法。4 4 节是二维和三维按阶步进的s d f d t d m 法在特征值问题中的应 用，结合离散f o u r i e r 变换，对矩形谐振腔、矩形波导、脊波导和圆柱形谐振腔的 各模式的截止频率进行了计算。 第五章“无条件稳定的s d f d t d m 法”部分：5 1 节介绍了二维k 模的无 条件稳定的s d f d t d m 法；推导了基于分域三角基函数和g a l e r k i n 法的公式体系； 在m u r 一阶近似吸收边界条件的基础上，推导了无条件稳定的s d f d t d m 法的一 阶吸收边界条件；从平面波谱出发，对无条件稳定的s d f d t d m 法的数值色散关 系进行了分析，推导出了二维1 e 模的色散关系表达式，并且对时间间隔和空间 步长的选取给出了定量的描述；通过一个二维平行板传输线的算例说明了该方法 的有效性，并且给出了一个二维带挡板平行板传输线的数值仿真结果，证明了其 计算效率远高于传统的f d t d 法。5 2 节介绍了无条件稳定的s d f d - t d m 法的降 维处理，计算了一个有耗平行板传输线的衰减常数。 第六章“结论”部分：对本文的研究工作进行了全面总结，并对下一步工作 进行了展望。 1 3 研究工作的主要贡献和创新点 本学位论文做出的主要贡献和创新点为： l - s d f d t d m 法明确地提出了采用有限差分技术处理空间域、选择矩量法过 程处理时间域的思路，丰富了计算电磁学。s d f d t d m 法可以采用分域基函数( 例 如三角基函数) ，也可以选择整域基函数( 例如加权l a g u e r m 正交多项式) ，证明 了传统的f d t d 法只是s d f d t d m 法的一个特例。 2 s d f d 1 d m 法的某些计算格式可以摆脱时间稳定性条件的限制，有别于按 时间步进的、受稳定性条件限制的时域方法，为电磁场工程中急需解决的多尺度宽 频带问题的分析提供了一种解决途径。在存在细微网格划分的情况下，其具有较 高的计算效率。 3 在一阶吸收边界条件的基础上，在基函数为加权l a g u e r r e 正交多项式的 s d f d - t d m 法中引入二阶吸收边界条件，使得外向波的吸收效果得到进一步的改 善。 9 电子科技大学博士学位论文 4 提出一种结合二维全波压缩格式和加权l a g u e r r e 正交多项式为基函数的按 阶步进法的新算法( 实数计算域) ，对处理具有细微结构的有耗均匀传输线具有很 高的计算效率。 5 将结合二维全波压缩格式法和加权l a g u e r r e 正交多项式为基函数的按阶步 进法的算法引入到复数计算域，对有耗传输线的衰减常数的准确值进行了提取， 同时具有较高的计算效率。 6 将基函数为加权l a g u e r r e 正交多项式的s d f d t d m 法引入到波导、谐振腔 等的特征值问题分析中，取得了满意的效果。 7 推导出了基函数为三角基函数的无条件稳定的s d f d - t d m 法的公式体系， 其色散特性优于无条件稳定的a d i - f d t d 法，配合空间网格划分，s d f d - t d m 法 的时间间隔可以取得很大，在网格总数不太大的情况下具有较高的计算效率。 1 0 第二章f d t d 法和矩量法简介 第二章f d t d 法和矩量法简介 本章对f d i d 法和矩量法进行了简要的介绍。2 1 节给出了f d t d 法在直角坐 标系中的离散形式、时域步进公式和积分环路解释，以及f d i d 法几个相关问题 的介绍；2 2 节给出了求解积分方程的矩量法的离散化模式，以及实施矩量法几个 要素的说明。 2 1f d t d 法 f d t d 法的基本原理是1 9 6 6 年k s y e e 提出来的【1 1 ，该方法利用有限差分技 术直接离散时域m a x w e l l 方程组的偏微分表达式。经过几十年来众多学者的研究 和努力，f d t d 法得到了很大的发展和完善，现已广泛应用于任意激励情况下各种 复杂的三维结构的时域响应分析中。 2 1 1f d t d 法的基本原理 在一个无源区域，各向i 引生、线性介质中的m a x w e l l 方程组的旋度方程可以表 示为 v i - i ( ，0 ：占( ，) 掣掣+ 盯( ，) 即，砂 ( 2 1 ) v x e ( r ，f ) = 叫( ，) 塑0 型t ( 2 2 ) 其中，e ( r ，t ) 为电场强度，h ( r ，t ) 为磁场强度，占( ，) 为介电常数，盯( ，) 为电导率， ( ，) 是磁导率。 在直角坐标系中，将式( 2 1 ) 和( 2 - 2 ) 中的电磁场矢量分别写成分量式，有 ( 以对善方向场分量的时间导数为例) 冬：三( 冬一堡一盯疋) (23)o钟占、西z “ 电子科技大学博士学位论文 o h x ：土臣一( 2 - 4 ) 0 t 、o za y 。 f d t d 法通过微分差分化建立式( 2 3 ) 和( 2 - 4 ) 的差分方程。为了建立差分 方程，首要条件是建立合理的将连续变量离散化的网格空间剖分体系。y e e 氏网格 是一个经典的网格体系，直角坐标系的y e e 氏网格如图2 1 所示，其特点是：电场 和磁场各分量在空间的取值点被交叉地放置，使得在每个坐标平面上每个电场分 量由四个磁场分量所环绕，同时每个磁场分量也由四个电场分量所环绕。这样的 电磁场空间分配符合电磁场的基本规律一m a x w e l l 方程的基本要求，因而也符合 电磁波在空间传播的规律。 ( i + ( i + l j ，k ) e x 黾 ( i j +