（应用数学专业论文）脉冲时滞差分系统的稳定性.pdf

摘要 本论文主要讨论了具时滞的线性脉冲差分系统及具时滞的非线 性脉冲差分系统的稳定性，全文共三章 第一章简述了脉冲差分系统稳定性的历史与研究现状，以及本 人的主要工作 第二章研究了线性时滞脉冲差分系统的稳定性，全章共分四个 小节，前两节分别为前言和定义引理，第三、四节为重要结果 其中第三节讨论了一类具有时滞的线性脉冲差分系统 iz ( 佗+ 1 ) = a x ( n ) + b x ( n r ) ， 亿n k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( 几) ， n = 帆， ix n o = ，n o = 0 ，： 一r ，0 】_ r n 的一致渐近稳定性及拟指数稳定性，通过利用参数变量法及不等式， 得到判定线性时滞脉冲差分系统稳定的充分条件 第四节讨论了一类脉冲中含有时滞的线性差分系统 iz ( 凡+ 1 ) = a x ( n ) + b x ( n r ) ， n n k ， a x ( n + 1 ) = d 。z ( n ) + e 。z ( 佗一r 1 ) ， n = 毒， ix n o = ，n o = 0 ，：【一r + ，0 】_ 形 的一致渐近稳定性，及拟指数稳定性 第三章研究了时滞非线性脉冲差分系统的稳定性，共分五小节 其中第二节讨论了具有时滞的非线性脉冲差分系统 ix ( n + 1 ) = a x ( n ) + r ( n ，z ( 几) ，z ( n r ) ) ， n n k ， a x ( n + 1 ) = d 。z ( 礼) ， 礼= n k ， ix n o = ，n o = 0 ，： 一7 ，0 】一舻 的稳定性，一致渐近稳定性及拟指数稳定性，通过利用l y a p u n o v 泛函 法和参数变量法得到了判定非线性时滞脉冲差分系统稳定的充分条 件 i 其中第三节研究了脉冲中含有时滞的非线性差分系统 iz ( 扎+ 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( n ) ，z ( 佗一7 ) ) ， 佗g k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( n ) + 晶z ( n r 1 ) ， n = n k ， ix n o = 砂，n o = 0 ，：【一r + ，0 】_ r n 的一致渐近稳定性，及拟指数稳定性通过利用l y a p u n o v 泛函法和参 数变量法得到了判定脉冲中带时滞的非线性差分系统稳定的充分条 件 第四节讨论了脉冲中具时滞的非线性差分系统 iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( 佗) ，z ( n 一7 - ) ) ， n n k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( 扎) + 9 ( n ，z ( n ) ，z ( 几一r 1 ) ) ， 几= n k ， ix n o = ，n o = 0 ，：【一r ，0 】一舻 的一致渐近稳定性及拟指数稳定性通过利用l y a p u n o v 泛函法和参 数变量法得到了判定脉冲中带时滞的非线性差分系统稳定的充分条 件 第五节中讨论了时滞差分系统的脉冲同步 主系统为： iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( 礼) ，z ( n r ) ) ， n n ， lx n o = ，n o = 0 ，咖：【一n0 】一形 控制系统为： i 可( n + 1 ) = a y ( n ) + f ( 扎，可( n ) ，可( 礼一r ) ) ， n n k ， a y ( n + 1 ) = d g k x ( n k ) 一秒( 帆) 】， n = n k ， l x n o = ， n o = 0 ，妒：( 一7 ，0 】一舻 误差系统为： i e ( n + 1 ) = a e ( n ) + f ( 礼，z ( 礼) ，z ( n 一7 ) ) 一f ( n ，( 佗) ，( 礼一r ) ) ，佗n k ， a e ( n + 1 ) = 一d y k e ( n k ) ， n = n k ， ix n o = ，n o = 0 ，：【一r ，0 】_ 舻 通过应用前面定理的结论，应用脉冲控制使得上述差分系统同步 关键词：脉冲差分方程；渐近稳定；拟指数稳定；时滞；脉冲同步 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d i e dt h e s t a b i l - i t yo fl i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c es y s t e m sa n d n o n l i n e a ri m p u l s i v ed e l a y d i f f e r e n c es y s t e m s a st h ei n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fs t a b i l i t y f o ri n l p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c es y s t e m sa r cb r i e f l ya d d r e s s e d ，a n dt h em a i nw o r k o ft h i sp a p e ri sg i v e n i nc h a p t e r2 。w es t u d i e dt h es t a b i l i t yo fl i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c e s v s t e m s t h e r ea r e4s e c t i o n s ，t h ef i r s ta n dt h es e c o n dr e s p e c t i v e l yd e p i c t i n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s t h er e s ti st h em a i nr e s u l t s i ns e c t i o n3 ，w es t u d i e dt h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b l ea n dq u a s i e x p o n e n t i a l s t a b l eo ft h el i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c es y s t e m b yu s i n gt h em e t h o do fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r sa n di n e q u a l i t i e s ，w ee s t a b - l i s h e ds e v e r a lc r i t e r i af o ru n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n du n i f o r m l yq u a s i _ e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c es y s t e m s i ns e c t i o n4 w es t u d i e dt h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b l ea n dq u a s i e x p o n e n t i a l s t a b l eo ft h ed i f f e r e n c es y s t e mw i t ht i m ed e l a yi ni t si m p u l s e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h es t a b i l i t yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r - e n c es y s t e m s t h e r ea r e5s e c t i o n si nc h a p t e r3 i ns e c t i o n2 ，w es t u d i e dt h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b l ea n dq u a s i e x p o n e n t i a l i i i n r k 一九i i 纠 丁 ， 叫 n 叶 一z 、r鼢l 哪 + = 卅种扣如昧 a = = ，= d d 卜屯 + 仃 = 佗烈咖血砜 ， l l 帆n 舻 ， r a 。 力n 一， 一 z 一 ”跏十 协h 哪 +llh 嘶l l z ， d r n ，i) 咖璐 a = = ) d 十咖 + n = n “如血 s a b l eo ft h en o n l i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c es y s t e m iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( n ) ，z ( 佗一r ) ) ， n 名， a x ( n + 1 ) = d n z ( 礼) ， 礼= n k ， ix g o = ，n o = 0 ，：【一r ，o _ 舻 b yu s i n gt h em e t h o do fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r sa n di n e q u a l i t i e s ，b yu s i n g l y a p u n o vm e t h o d ，w eo b t a i ns e v e r a lc r i t e r i af o ru n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t y a n du n i f o r m l yq u a s i e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a rd i s c r e t ei m p u l s i v ed e l a y s y s t e m i ns e c t i o n3 ，w es t u d i e dt h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b l ea n dq u a s i e x p o n e n t i a l s a b l eo ft h en o n l i n e a rd i f f e r e n c ei m p u l s i v ed e l a ys y s t e mw i t ht i m ed e l a yi ni t s i m p u l s e s ， iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( 佗) ，z ( 几一r ) ) ， n k ， a x ( n + 1 ) = 风z ( 礼) + e n x ( n r 1 ) ，n = 肌， ix n o = ，n 0 = 0 ，：【一r ，0 】_ 船 b yu s i n gt h em e t h o do fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r sa n dl y a p u n o vm e t h o d ，w e o b t a i ns e v e r a lc r i t e r i af o ru n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n du n i f o r m l yq u a s i e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h en o n l i n e a rd i f f e r e n c es y s t e mw i t ht i m ed e l a yi ni t s i m p u l s e s i ns e c t i o n4 ，w es t u d i e dt h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b l ea n dq u a s i e x p o n e n t i a l s a b l eo ft h en o n l i n e a rd i f f e r e n c es y s t e mw i t ht i m ed e l a yi ni t sn o n l i n e a ri m - p u l s e s ， iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( n ) ，z ( 佗一r ) ) ， n a k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( 礼) + 夕( 儿，z ( n ) ，z ( n r 1 ) ) ， n = a k ， i x g o = 妒， n o = 0 ，：( 一r + ，o 】一舻 b yu s i n gt h em e t h o do fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r s ，i n e q u a l i t i e sa n dl y a p u n o v m e t h o d ，w eo b t a i ns e v e r a lc r i t e r i af o ru n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n du n i - f o r m l yq u a s i e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h en o n l i n e a rd i f f e r e n c es y s t e mw i t ht i m e d e l a yi n i t sn o n l i n e a ri m p u l s e s i ns e c t i o n5 ，w es t u d i e dt h ei m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o no f d i f f e r e n c ec h a o t i c i v s y s t e m s m a s t e rs y s t e m ： s l a v es y s t e m ： y ( 礼+ 1 ) = a y ( n ) + f ( n ，秒( 凡) ，y ( n 一7 ) ) ， a y ( n + 1 ) = d g k x ( n k ) 一可( 帆) 】， 佗= x y o = ，n o = 0 ，：【一r ，0 】_ r n t h ee r r o rs y s t e m ： n 礼 ， ie ( 佗+ 1 ) = a e ( n ) + f ( n ，z ( 几) ，z ( 几一r ) ) 一f ( 几，可( 仃) ，秒( 扎一r ) ) ， 几a k ， a e ( n + 1 ) = - - d k e ( n k ) ，几= m ， l x n o = 妒， n o = 0 ，：【一7 ，0 】一r b yu s i n gt h er e s u l ti nt h e o r e ma n dc o r o l l a r y , w eg a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o fd i f f e r e n c es y n c h r o n i z a t i o n k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i s c r e t ee q u a t i o n s ；a s y m p t o t i cs t a l e ；q u a s i e x p o n e n t i a l s t a b l e ；t i m ed e l a y ；i m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o n v 舅 哟n 烈卜 聊哪 + = 咖d 九 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 铴 五f 口年r 月弓7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囤 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名： 褊 加rr 月乡1 日 矶年了月7j 日 辨i 砖1 l 挎q 名签币j y斟 脉冲时滞差分系统的稳定性 1 绪论 现实世界中有许多生态系统及经济模型为连续变化发展的，也 有很多呈现出离散型变化的，例如：生物神经网络的进化过程、病理 学中有节奏的突发模型、经济中的宏观调控模型、信息强弱调节系 统，以及飞行的物体运动过程，等等都在某个时刻突然改变其原有 的性态这些瞬间突然的持续时间很短的变化过程通常可以用离散 及脉冲的特性来描述和刻画近些年，科学家对脉冲系统的研究取得 了巨大的成就，如 1 】- 3 3 1 与此同时，人们发现现实中的脉冲系统的 变化趋势往往跟之前某个时间段或者接下来的某个时间点有关，这 就引起了广大学者对时滞脉冲系统的研究，如 3 4 - 4 2 】此外，脉冲差 分系统的研究也引起了广大学者的兴趣，并在差分系统稳定性研究 方面，取得了大量成果，如4 3 1 、4 4 1 、4 5 1 中对二维差分系统及差分系 统的脉冲同步化作了一个详细的分析近来，文献 4 6 1 、 4 7 】中对脉冲 差分系统进行了分析，并得出了关于脉冲差分系统稳定性方面的一 些结论然而对于脉冲时滞差分系统的研究还很少，甚至未见这方面 的文章，因此对具有时滞脉冲差分系统性态的研究具有现实意义 接下来简述与本文直接相关的几个问题的研究现状，并介绍本 文的主要工作目前离散系统的稳定性得到了广泛的研究，近年来对 于含脉冲的差分系统的稳定引起了人们的兴趣，文献 4 7 】考虑了如下 含脉冲的的线性差分系统： i z ( 佗+ 1 ) = a x ( n ) ，n n k ， a x ( n + 1 ) = b n x ( n ) ， 礼= n k ，( 1 1 ) ix ( n o ) = x o ， n o = 0 作者得到了系统( 1 1 ) 的一致渐近稳定和拟指数稳定的充分条件，同 时人们对时滞脉冲微分方程的研究也取得了可人的成果，文献 3 4 d p 考虑了如下时滞脉冲微分方程： 婺磊缴，州b ”2 ， 【= 妒 硕士学位论文 作者利用参数变量法得到了判定系统( 1 2 ) 渐近稳定和指数稳定的一 些充分条件在第二章中的第三小节中，本文研究了如下具时滞的线 性脉冲差分系统： iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + b x ( n r ) ， 扎n k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( 佗) ， 佗= n k ，( 1 3 ) l x n o = ， n o = 0 ，：卜r ，0 】斗舻 通过结合文献【3 4 】、 4 7 】中的证明方法，相应地得到了判定( 1 3 ) 一致渐 近稳定和拟指数稳定的充分条件 此外在文献 3 4 中，作者还考虑了脉冲中含时滞的线性微分系统： i 圣( t ) = a x ( t ) + b x ( t r ) ，t t k ， a x ( t k ) = d k x ( t - i ) + e k x ( t k 一一r 1 ) ，t = t k ， ( 1 4 ) 【x t o = 通过类似于系统( 1 2 ) 稳定性的证明，得到了相应的稳定性判据本文 在第二章中的四节中讨论了脉冲中含时滞的线性差分系统 i z ( n + 1 ) = a x ( n ) + b x ( n r ) ，n n k ， a x ( n + 1 ) = d n x ( n ) + e 。x ( n 一7 1 ) ， 礼= g k ，( 1 5 ) ix n o ) = ， n o = 0 ，：【- - r + ，0 】j 冗n 通过利用( 1 - 2 ) 的类似证明方法，得到了相应系统的一致稳定性及拟 指数稳定性 在文献 4 7 中，作者还考虑了如下非线性脉冲离散差分系统 iz ( n + 1 ) = f ( n ，z ( 礼) ) + 妒( n ，z ( 九) ) ， n y k ， a x ( n + 1 ) = b k z ( 几) ， n = n k ，( 1 6 ) iz ( n o ) = x o ， n n 通过利用l y a p u n o v e 泛函法及不等式，研究了系统( 1 6 ) 的一致渐近稳 定性及拟指数稳定性在文献【3 4 】中作者还考虑了非线性脉冲时滞微 分系统： i 圣( ) = a x ( t ) + 厂( ，z ( ) ，z ( 一r ) ) ，t t k ， a x ( t k ) = 仇z ( i ) ，t = t k ， ( 1 7 ) 【= 2 脉冲时滞差分系统的稳定性 通过利用参数变量法及l y a p u n o v e 泛函法，得到了判定系统( 1 7 ) 稳定， 渐近稳定及指数稳定的依据本文在第三章第二节中研究了非线性 时滞脉冲差分系统： lz ( n + 1 ) = a x ( n ) + r ( n ，z ( 佗) ，z ( 扎一r ) ) ， n n k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( 礼) ， 礼= n k ，( 1 8 ) l z o = ， n o = 0 ，：【- - r ，0 】_ 冗n 通过结合 3 4 】、【4 7 】中的证明方法，利用参数变量法及l y a p u n o v e 泛函 法，得到了判定( 1 培) 一致渐近稳定及拟指数稳定的条件 此外在文献 3 4 1 q 了，作者还考虑了脉冲中含时滞的非线性微分系 统： i 圣( ) = a x ( t ) + f ( t ，z ( ) ，x ( t r ) ) ，t t k ， a x ( t k ) = d k x ( t k ) + 9 ( z ( t 七一) ，x ( t k 一一r 1 ) ) ，t = t k ， ( 1 9 ) 【x t o = 通过类似于系统( 1 7 ) 稳定性的证明，得到了相应的稳定性判据本文 在第三章中的三、四节中分别讨论了两类脉冲中含时滞的非线性差 分系统 fz ( 咒+ 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( 忍) ，z ( 扎一r ) ) ， 凡n k ， a x ( n + 1 ) = d 。z ( n ) + e 。x ( n 一7 1 ) ， 礼= n k ，( 1 1 0 ) ix n o = ， n o = 0 ，：【一n0 】一钟 与 iz ( 乱+ 1 ) = a x ( n ) + f ( n ，z ( 扎) ，z ( n r ) ) ， 礼n k ， a x ( n + 1 ) = d n z ( 礼) + 9 ( 他，z ( 讥) ，z ( n r 1 ) ) ， 扎= a k ，( 1 1 1 ) ix n o = 咖， n o = 0 ，：【一r ，0 】_ 舻 通过利用( 1 8 ) 的类似证明方法，得到了相应系统的一致稳定性及拟 指数稳定性 本文在第三章第五节中讨论了一类系统的脉冲同步，利用前面 系统( 1 8 ) 的稳定性判据，通过控制参数 肌，d 帆) 的调节实现了混沌 系统的脉冲同步 3 脉冲时滞差分系统的稳定性 2 线性时滞脉冲差分系统的一致稳定性、一致渐近稳定 性、拟指数稳定性 在这一章中，我们考虑线性脉冲时滞差分系统及脉冲中带有时滞 的线性差系统的稳定性 2 1 引言 r 为实数集，研为n 维向量空间，n 为非负整数集，i e ，n = 0 ，1 ，2 ， ， 且r + = 0 ，+ 。) 如果矩阵x 的每一个元素为非负的实数，则令x20 ， a m a x ( x ) 和入m 讯) 分别为矩阵x 的最大特征值和最小特征值，i i a l l 是由 欧氏范数引导的关于矩阵a 的范数，i i a i i = 【入m 口。( a 丁a ) 降p ( a ) 表示矩 阵a 的普半径，且a = ( a 巧) 凡x na n dz = ( z l ，z 2 ，x n ) 丁，y = ( y 1 ，y 2 ，孙) 丁 形，设：i a i = a = ( 1 q 巧1 ) n n ，蚓= ( i z l i ，i x 2 i ，i z n i ) t ，如果z y 当且仅 当z i y i ，i = 1 ，2 ，佗 一般的线性脉冲时滞差分系统为 f zn + 1 ) = a z ( n ) + b z ( 佗一r ) ，礼# n k ， a x ( n + 1 ) = 厶( 托，z ( 扎) ) ， 礼= n k ， ( 2 1 1 ) 【z o = 其中z 舻，n o n ，：f r ，0 】一r n ，而r n 表示上述系统中的滞量， x n k c ( n k n 帆】，r n ) 且x n 。( s ) = z ( 帆+ s ) 对任意的s 【一no 令a x ( n + 1 ) = x ( n + 1 ) 一z ( n ) ，n = n k ，并且满足如下的条件： ( a 1 ) 数列肌满足：帆n ，且1 r 0 ，存在6 = 6 ( ) 0 ，且其与0 和z o 无 5 硕士学位论文 关，使得对任意的茁o 形当i i x n o i i o ，且与n o , i x o 无关，使得对任意 的佗n ，都有 | i z ( n ，n o ，) i isk e 一。m n o ) ， 扎n o 则系统( 2 1 一1 ) 指数稳定 由条件( a 1 ) 知，对任意的n ( n k ，n k + l 】，k n ，相应地可以得到：n 一 0 ( 3 甘k - o 。，于是，我们得出一个适于系统( 2 1 1 ) 拟指数稳定的定 义 定义2 2 4 如果存在q 0 ，k o ，其中口独立于o 和孤使得对任意 的n ( n k ，y k + l 】，ken ，总有 i j z ( n ，n o ，) j j k e 一。( 七一n o ) ，k n o 则称系统( 2 1 1 ) 拟指数稳定 引理2 2 1 ：( l i ue ta 1 2 0 0 4 ) 设x 舻n 为正定矩阵，q r n 为对 称矩阵则对任意的x 形，有下列不等式成立 ) _ m i n ( x _ 1 q ) x t x x 2 7 t q x , 入m a x ( x 。1 q ) 引理2 2 2 ：设x r n 黼，则对任意正常数a 和任意的舻加，叩 舻n 有下列不等式成立 2 p x 7 7 入一1 f t x x t 专+ a r i t r i 6 脉冲时滞差分系统的稳定性 2 3 脉冲中不含时滞的线性时滞差分系统的稳定性 考虑下列线性脉冲差分系统 iz ( n + 1 ) = a x ( n ) + b x ( n 一7 ) ， 扎n k ， a x ( n4 - 1 ) = d n z ( 礼) ， n = n k ，( 2 3 1 ) i x n o = ， n o = 0 ，：卜r ，0 】- - - 4r n 其中a = ( n 巧) 是一个佗n 阶矩阵，且对任意的k n ，d 七是一个扎n 矩 阵，且满足d o = 0 定理2 3 1 ：假设( a 1 ) 一( a 2 ) 成立并且下列条件成立： ( i ) p ( a ) 帆一帆+ l4 - 1 ，可得 i i a i i 帆一n + 1 m = 学 o ，令6 = 南，则当i i z 0 i | 6 时，可得 l i x ( n ) l l m h l x g o l - 。4 因此系统( 2 3 1 ) 一致稳定，此外由p ( a ) 1 ，可得 ，l i mi i a l t 七= 0 当1 r k o ，k e nn e ( g k ，帆+ 1 】 则系统( 2 3 - 1 ) 拟指数稳定 ( 2 3 3 ) 证：由定理2 3 1 中i f 0 ( 2 3 2 ) ，对任意的佗( 帆，帆+ l 】，k n ，可得 k z ( 礼) l l i i a i i n 一0 一( 七+ 1 i im j l i z n o l l j = o ：e 1 州删倒l i z o i | =e j 一。 i | z r n h 一 r 0 一( 豇+ 1 ) 1i ni i a i i + i n m j =e j = o i i z 1 0 脉冲时滞差分系统的稳定性 另一方面，由条件( a 。) 得 n k n k 一1 十2 n k 一2 + 4 n o + 2 k 2 k 因此对任意的n ( 眠，y k + 。】，可得 几n k + 122 k + 1 号几一( k + 1 ) 后 k 0 令k ：m a x e 善勺，1 ) ，由( 2 - 3 - 3 ) 和( 2 3 4 ) 可得，对任意的礼( m ，m + l 】，七 ，可得 x ( n ) l l i i a i i ”一凫+ 1 i i m j l l x ：o l l j = o 圭1 n m e ) 悱昔品忆划 知 i n m ， k e h - ( k + 1 ) l z 删f + 错可恨o k e 一口卜( 七+ 1 ) l l x o l j k e - a k 忙l l 由此可得系统( 2 3 1 ) 拟指数稳定 推论2 3 1 ：假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，并- j t a i o ，使得对任意的庇 j = o k ，i n 坞m ，可得 j = o 知 i n 坞 e j = 0 e m ，k n 硕士学位论文 由定理2 3 1 中的( 2 3 2 ) 式类似司得： i i x ( n ) l l i i a i i ( 蚪1 i j l l x n o l l j = o e 忡+ 1 ) j i n 恍i i 1 n 坞l i e 卜( 七+ 1 ) 】h i i a l i e m i i x ：o l l e i n - ( + 1 ) 】【l ni i a i i + 碉m j i | lz oi l 根据i i a i i h “ l ni l a i i + 志丢l nl l a i l o( 2 3 5 ) 令：m a x f m a x e 卜( 七+ 1 ) 】i l n i i a i i + 南1 ) ；1 ) ，由此通过( 2 3 5 ) ，可 。k k o ，可得 m n ) 11 e i n - ( 七+ 1 ) 1 l l ni i a + 捌钿忙删 e 半n 一( ) 1 1 1 z 0 i i e 掣e k i i z o i i 于是，由( 2 3 - 5 ) 可得系统( 2 3 - 1 ) 拟指数稳定，证毕 2 4 脉冲中含时滞的线性时滞差分系统的稳定性 考虑下列脉冲中含时滞的差分系统 iz ( 佗+ 1 ) = a x ( n ) + b x ( n r ) ， n 帆， a x ( n + 1 ) = d n z ( 礼) + e x ( n r 1 ) ， n = a r k ，( 2 4 1 ) ix n o = 妒， n o = 0 ，：【一r ，0 】_ 舻 其中a 和b 是n n 阶矩阵，d 帆和是一个n n 矩阵，且对任意的七 ，满足d n o = = 0 r = m a x r ，r 1 ) ，g ，且广 肌+ l n k s b u ，七p n 。帆s u ，p 帆+ 。1 i n i a li + 端) 一q ( 2 - 4 - 2 ) 则系统( 2 4 - 1 ) 拟指数稳定 证：证明过程同定n 2 3 2 ，在此从略 1 4 脉冲时滞差分系统的稳定性 3 非线性时滞脉冲差分系统的一致稳定性、一致渐近稳定 性、拟指数稳定性 3 1 引言 r 为实数集，舻为n 维向量空间，n 为非负整数集，i e ，n ：f o ，1 ，2 ，1 ， 且r + = 【0 ，+ 。) 如果矩阵x 的每一个元素为非负的实数，则令x 0 ， a m 。( x ) 和a 。讥( x ) 分别为矩阵x 的最大特征值和最小特征值，i i a i i 是由 欧氏范数引导的关于矩阵a 的范数，i i a i i = f a m a ：。( a ? 么) 声p ( a ) 表示矩 阵a 的普半径，且a = ( q 巧) n na n dz = ( z 1 ，z 2 ，z n ) t ，y = ( y 1 ，y 2 ，y n ) t r n , 设：i a i = a = ( i q 巧i ) n l x i = ( i x t i ，i x 2 i ，i z n i ) t ，如果z y 当且仅 当z i y i ，i = 1 ，2 ，n 一般的非线性脉冲时滞差分系统为 秦三专亏二窆：，+ 盖露烈! 聂_ n ) ，几帆 。一l l ， 兵中z r n ，n o n ，f c ( n n c ( - r ，o 】，r n ) ，r ”) ，：【一o 】_ r ”， 而r n 表示上述系统中的滞量，x n k c 【帆一r ，帆】，r n ) 且z m ( s ) = z ( 慨+ s ) 对任意的s 【- 7 ，0 】令a x ( n + 1 ) = x ( n + 1 ) 一z (