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山东大学硕十学位论文 t i k h o n o v 正则法在解决不适定问题的应用 李鹏飞 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 应用t i k h o n o v 正则化方法解决线性不适定问题 f ( x ) = y 时，引入t i k h o n o v 函数： j o ( z ) = 一f ( x ) 1 1 2 + “l l x l l 2 由t i k h o n o v 正则化原理，我们知道函数厶( z ) 的最小值就是方程的解且我们 通过迭代法来寻找厶( z ) 的最小值， z ：= ( f 8 f + a i ) 1 f + y 6 对于迭代解旌到精确解x 的收敛性与收敛速度，有如下结论： ( 1 ) 令z = 七。2 k * y ，且i l z l i e ，选取o ( 6 ) = 鲁，c 0 ，则有i | z ：一z | | = ( ) ( 怕) ； ( 2 ) 令z = 护k z 舻后( x ) ，且i l z l l e ，选取a ( 6 ) = c ( 丢) 2 3 ，c 0 ，则 有l l 一z l i = o ( 6 - 2 3 ) ； ( 3 ) 在用t i k h o n o v 正则化法解决线性问题时，迭代序列 z ：) 最快以d ( 万2 3 ) 的速度收敛到精确解 在将上述方法推广到非线性不适定问题时，由于非线性问题的不适定性，方 程的解往往不连续依赖于数据条件或者不是唯一的以及解的存在性 山东大学硕士学位论文 为了克服方程的解往往不连续依赖于数据条件问题，在本文中，我们都做如 下假设： ( i ) f 是连续的； ( i i ) f 是弱闭的，即对于任意序列 z 。 cd ( f ) ，由z 。在x 中弱收敛于x 且f ( x 。) 在y 中弱收敛于y ，则z d ( f ) ，且f ( x ) = y 为了解决解的唯性问题，我们将t i k h o n o v 函数写成如下形式： 。厶( z ) = l 可6 一f ( z ) 1 1 2 + a i l z z 1 1 2 z + 取z - 最，j 、范数解，即z + = m i n 。d ( 尸) 1 【i | z z f | ：f ( x ) = 耖) 在本文以后的讨论中，我们假定方程的矿一最小范数解总是存在的，这由方 程解的存在性与f 的弱闭性可以保证 目前对于t i k h o n o v 正则化在非线性不适定问题中的研究，都是通过对初始 条件和边界条件做了特别的限定之后，来分析其收敛性与收敛速度的本文总 结了前入所做的研究，对初始条件和边晃条件做了分析、研究与整理，并通过 与线性问题的对比，得出了t i k h o n o v 正则法在线性问题与非线性问题中统一 性，整理了对于初始条件和边界条件的一般性条件假设：光滑性假设与非线性假 设( 本文的假设2 0 1 2 0 5 ) 且基于这些假设，特别是非线性条件下，我们得到 了t i k h o n o v 正则法的收敛性结论： 定理o 0 1 令z ：是非线性不适定问题f 俐= 可的解，存在眶】7 ，使得冶+ 一= f ( 矿) ，且存在w er , p 1 ，使得z + 一矿= f 7 + ) + ( f 7 ( 矿) f ，( 矿) ) 学叫 在p 【1 ，2 】上成立选取半径以使得b r ( 矿) cd ( f ) ，在球域日( z + ) 内，f r e c h e t 导数f ，( ) 是l i s p s c h i t z 连续的，即存在常数l 口，满足州尸7 ( z ) 一f ( x o ) l l l i l a ：一x o l l ，比，z o 耳 + ) 在r = 击+ 2 1 1 z + 一矿i 上成立，且l i i v l ls7 0 ，t h e nw eh a v e z ! 一z i i = d ( 厕； ( 2 ) a s s t m l ez = k * k z 南七( x ) ，a n di l z l l e ，c h o o s eq ( d ) = c ( 砉) 2 3 ，c o ， t h e nw eh a v e | 嵫一x l i = o ( 6 2 3 ) ； ( 3 ) w h e nw eu s et i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nf o rl i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m s ，t h e i t e r a t i v es e q u e n c e z ：) c o n v e r g e st ot h ee x a c ts o l u t i o nw i t ht h es p e e do fo ( 铲3 ) a t m o s t v 山东大学硕士学位论文 w h e nw e a p p l yt l ma b o v em e t h o d st on o n l i n e a ri l l p o s e dp r o b l e m s ，b e c a u s e o ft h ei l l - p o s e d n e s so fn o n l i n e a rp r o b l e m s ，t h es o l u t i o no fe q u a t i o nu s u a l l yd o e s n t d e p e n do nt h ed a t ac o n d i t i o nc o n t i n u o u s l yo ri s n tu n i q u eo rd o c s n te x i s t i no r d e rt oo v e r c o m et f i r s tp r o b l e m s w em a k e , s e v e r a lz “q s u m p t i o n sa sb e l o w ： ( i ) fi sc o n t i n u o u s ； ( i i ) fi sw e a k l y - c l o s e d ，w h i c hm e a n sf o ra n ys e q u e n c e s z n ) cd ( f ) ，i fz n c o n v e r g e st oxi nxa n df ( x ，1 ) c o n v e r g e st oyi ny ，t h e nw eh a v ez d ( f ) ，a n d f ( x ) = y i no r d e rt oo v c r c o n l ct h eu n i q u ep r o b l e mo ft h es o l u t i o n ，w ef o r m a tt i k h o n o v f u n c t i o ni t , t h i sw a y ： 以( z ) = | i 箩6 一f ( x ) 1 1 2 + 口j | z 一2 7 * 1 1 2 z + c h o o s ex * - m i n i m u mn o r ms o l u t i o n ，w h i c hm e a n sz + = m i n z d ( f ) i i x z i l ： f ( x ) = y i nt h en e x td i s c u s s i o n w ea s s u i n et h a tt h ex * - m i n i m u mn o r ms o l u t i o na l w a y s e x i s t s ，a n dt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o na n dt h ew e a l d y - c l o s e d n e s so ffc a ng u a r a n t e e t h a t a tp r e 煜e n tt h es t u d yo ft i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nf o rn o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m s a r ea l lb a s e do ns e v e r a la a s u m p t i o n so ni n i t i a lc o n d i ! ，i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h ef o r m e rs t u d y , a n da n a l y z e ，s t u d ya n dp a c ku pi n i t i a lc o n - d i t i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s a f t e rc o l n p a r i s o nt ol i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m s ，w e c o m ct ot h ec o n c l u s i o no fu n i f i ( 。a t i o no fh i m a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m s ，a n dw cp a c k u pt h eg e n e r i cc o n d i t i o na s s u m p t i o n so fi n i t i a lc o n d i t i o n sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ： s m o o t h n e s sa s s u m p t i o n sa n dn o n l i n e a ra s s l l m p t i o n s ( a s s u m p t i o n2 0 1 2 0 5 ) b a s e d v 1 山东大学硕士学位论文 0 1 1t h e s ea s s u m p t i o n s ，e s p e c i a l l yn o n l i n e a rc o n d i t i o n s ，w oc o i n ct ot h ec o n c l u s i o no f t h ec o n v e r g e n c eo ft i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n t h e o r e m0 0 1 。a s s u m e 堍i st h es o l u t i o no fn o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m sf ( z ) 2 饕i t h e r ee x i s tv ey ，s a t i s f y i n g ：z + 一z 。= f ( z + ) 4 掣，a n de x i s t sw ey , p 1 ，s a t i s f y i n g z + 一z + = f 7 ( z + ) ( f ( z + ) f 7x 一) ) 宁加h o l d sa tp 【1 ：2 】c h o o s er a d i u s 乃s a t i s l y i n gb r ( z + ) cd ( f ) ，f r e c h e td e r i v a t i v ef 7 ( ) i sl i s p s c h i t zc o n t i n u m 丘si nt h eb a l l 耳( z + ) ，w h i c hm e a n st h e r ee x i s t sac o n s t a n tl d ，s a t i s f y i n g ：l if 7 ( z ) 一f 7x o ) l i l l l x z n i | ，娩，x o b r ( 矿) h o l d si nt h ec o n d i t i o n7 = 击+ 2 忙+ 一矿0a n d l i i v l l 7 0( 2 0 3 ) 假设2 o 4 选取半径r 使得臃( 矿) cd ( f ) ，在球域b ( 矿) 内，f r e c h e t 导数f ，( ) 是l i s p s c h i t z 连续的。即存在常数l2 以满足? f 7 0 ) 一f 7 ( x o ) l lsl l l z x o l l ，v x ，z o b ，( z + )( 2 0 4 ) 假设2 0 5 存在常数20 ，v x o ，z 3 ，( z + ) cd ( f ) ，t ，x ，存在k ( x ，x o ，口) x ， 满足： f f 7 ( z ) 一f 7 ( z o ) 】 = f 7 ( z o ) k ( x ，x 0 j 秒) ，且i t k ( z ，x o ，v ) lj k o l l x z o l l v 对于线性不适定问题，假设2 0 1 ，2 0 2 ，2 0 3 就足够了，但对于大多数的非 线性问题，还需要一个非线性条件，即假设2 0 4 或者假设2 0 ，5 因此，我们把 假设2 0 1 2 0 2 ，2 0 3 成为源条件，把假设2 0 4 与假设2 0 5 称为非线性条件 实际上，非线性条件的引入是很自然的，我们考虑收敛性估计的时候，有如 下的不等式： 5 山东大学硕十学位论文 j l z ：一z + i l i i 玩y 6 一风可l i + i i r 。y z i l 若f 线性算子，上式第一项：i l 凡矿一心训= l i r 。i l l l 可6 一y l i = i i r o l i ； 若f - 非线性算子，但f 的f r e e h e t 导数满足李氏连续，则l l 凡矿一甩圳s 刚咒f 1 在f 是线性算子的时候，i l f 川= 1 1 e l l ，从而可以将以上两种情况综合起来 对假设2 0 4 与假设2 0 5 进行简单的分析，可知道假设2 0 5 是更强的非线 性条件，由假设2 0 5 t | | p ( z ) 一f ( z ；) u i f i f ( x 6 ) l f i 惫( z ，x 0 ，p 氟，f f f ( 晶) f - l i x 一蛳 i f j 移j 令= k o l l f ( 磊) l f 即可得到假设2 0 4 的条件 我们分析假设2 0 1 的条件，( 2 0 1 ) 式可以写成如下的形式： z t z = ( f ( z ) f 7 p ) + ) u 秒( 2 0 5 ) 其中u ：y _ x 的保范映射，满足i i u v l i = | i t i | l ，v v f ( 矿) 反过来，假设2 0 3 也可以写成假设2 0 2 的形式，如下式： z + 一矿= ( f ，( z + ) f + ) + ) 墨删= ( f 7 ( z + ) f 7 ( z + ) 4 ) 卫手( f 7 ( 。+ ) f 7 + ) 8 ) 叫 = f ，( z + ) t ( f ，( z + ) f 7 ( z + ) ) 卫u t b 综合( 2 0 2 ) ，( 2 0 3 ) 与( 2 0 5 ) 式，源条件可以写成一种形式t z + 一z = 妒( ，( z + ) p ( z + ) ) 饼( 2 0 6 ) 其中，妒是定义在包含f + ) p ( z + ) 。的谱的【0 ，翻上的单调不减函数，且妒( o ) = 0 ( 2 0 5 ) 与( 2 0 3 ) 就是分别取妒( a ) = a 吾与妒( a ) = a 苦的情况这里需要提前说明 一点的就是，在( 2 0 3 ) 中，妒( a ) = a 羞当1 p 2 时，假设2 0 4 可以保证收敛 性与收敛速度的，当p 0 ，则有i l z ：一x l l = o ( v q ) ； ( 2 ) 令z = 良k z 七+ 后( x ) ，且l i z l i e ，选取r l ( 6 ) = c ( 喜) 粥，c 0 ，则 有i i x o z l i = ( ) ( 6 2 3 ) ； ( 3 ) 在用t i k h o n o v 正则化法解决线性问题时，迭代序列 x 。6 ，】最快以d ( d 2 3 ) 的速度收敛到精确解 在解决非线性问题时，添加了非线性假设2 0 4 或2 0 5 后，可以得到以下结 论t 定理3 0 6 令z ：是问题以2 砂的解，在假设2 0 j 与2 o 4 都成立的条件下， 且r = 击+ 2 1 1 + 一z + i i 若| | t ，| | 7 1 ，则s 陋+ 一洲揣 l | 哟- 矿 1 1 6 + 2 a | l ( 3 0 1 ) 分析( 3 0 1 ) 的第一式不难发现，当取理= 0 0 ) 时，l i z ：一z | | = o ( 西) 定理( 3 0 6 ) 是在假设2 0 1 与2 0 4 的条件下讨论的，即妒( a ) = a ，如果 取妒( 柚= 入詈，应该有如下结论： 定理3 0 7 令是问题以2 砂的解，假设2 0 1 成立，假设2 c 3 在p 1 ，2 】上 成立，饭设2 0 彳在7 = 丧+ 2 i | z + 一矿l l 上成立，且l l l v l l j y 1 ，且若正则化 因子口选取。a = ( ) ( 6 两2 ) ，则i i z + 一z 纠= d ( 6 南) 7 山东大学硕十学位论文 由定理3 0 7 可以看出，我们可以获得6 寿的收敛速度，为了获得显式，我 们引进了假设2 0 2 ，实际上就是在u = ( a a 4 ) 牟钮的条件下对定理3 0 7 进行化 简 定理3 0 8 令z ：是问题一2 矽的解，假设2 0 ，成立，假设2 0 2 在p 【1 ，2 】上 成立，假设2 0 彳在r = 击+ 2 i i 矿一z i i 上成立，且l i i v l l ，y 2 | i 矿一矿| i 于是， f ( z ：) = f ( x + ) + f ( z + ) ( 一z + ) + ( 4 0 3 ) 其中i i t , l l 刘l 正。g 矿俨从而根据假设( 2 0 1 ) ( 2 0 4 ) 与( 4 0 1 ) 式，( 4 0 2 ) 式可 以继续化简为 i l 尸( z ：) 一1 1 2 + q l i z ：一z + 1 1 2 铲4 - 2 c r ( v ，f ( z + ) ( z + 一z ：) ) 铲+ 2 t 了( v ，( 可一y 6 ) + ( 矿一f ( z ：) ) + ) 铲十2 6 f i t f l | + 2 c , l l v l l l l f ( ) 一y 6 l l + c t l l l 。1 名：一z + 1 1 2 因此，我们可得： 9 山东大学硕十学位论文 ( i i r ( z t ) 一可6 i i c l l v l l ) 2 + d ( 1 一l i i v l l ) l l x g z + 1 1 2 兰( 6 + n l l v l l ) 2 由于l i i v l i 1 ，从而可得： i i f ( z ：) 一y 6 f i j + 2 a l t vr 妒一z 洲耥 证毕 定理3 0 。7 证明： 在证明这个定理之前，我们先引入一个关于谱理论方面的著名结论，在这里 当作一个引理 l e m m a4 0 9 对任意的线性算子a l ( x ，) ，r 0 ，l 】，都有l i ( a a + n ) 一1 ( a a + ) 0 g a r - 1 ，其中常数g 满足g ，( 1 一r ) 卜1 简单的证明一下这个弓l 理。 令，( 弘) = 皋，则，心z ) = 一( r - 1 ) 。t f + n ) + m 。r t t r - 1 - 令，7 ( 肛) = 0 ，得p = 旦1 - r 从而m a x ( ，( p ) ) = ，( 器) = ，( 1 一r ) 卜“1 ，从而引理得证 下面证明定理3 0 7 ： 令a = 尸0 + ) ，b = a + ( a a + + q ，) 一1 = ( a + a + t h ) - 1 a + 由假设1 1 ，矿一z + = a + t j 可得；i i x 一z + 0 = 1 1 4 v l i i i q a ( a a + + q ，) 一1 t ，i i = i i a b t ，| l ，从而z + + o b 可 d ( f ) ，从而可得厶( z ：) 厶( z + + n 厅，) ，即 i l r ( x t ) 一矿1 1 2 + “l i z ：一z + i | 2 l i f ( x + + “日u ) 一y 6 2 + “i f z + + q 日u z i i ( 4 0 4 ) 在( 4 0 ，4 ) 式两端同时加上一2 ( f ( z ：) 一y 6 ，r y ，) + l i n l ，1 1 2 + n 【2 ( z ：一z + ，z 一z + ) + l i z + 一矿旧， 1 0 山东大学硕- f ：学位论文 由2 ( x ，箩) = i i z + 可1 1 2 8 。j 1 2 一i | y | | 2 可得； 左端= 0 ，( z ：) 一y 6 一q u 酽+ 口i i z ：一z + 1 1 2 分析右端各项，由于 0 z + + f r 疗l t z + i l + f f z 4 一z + 1 1 2 = l i n r , , 1 1 2 2 ( x + + 仃厅1 ，一z + ，z + 一+ 。) 一( t + + n 口u z ，z 一z + ) + ( z ：一z ，z 一z + ) = ( z ：一z + 一a b v ，z 4 一z + ) 从而( 4 0 4 ) 式可化为； i i f ( z ：) 一 ，6 一o u l l 2 + 口i z ：一x - - i 2 sj i f ( x + + a b v ) 一剪6 | 1 2 + a 3 i i b v l l 2 2 ( f ( z ：) 一y 6 ，d 口) + l i q v l l 2 + 2 q ( 砭一z + 一 a b v ，z 一z + ) 上式左埔忽略f i f ( x a 。) 一y 6 一n 圳2 项，并由假设2 0 1 可得； o l i z ：一z + 1 1 2 si i f ( ，+ + n 肟t ，) - v 6 1 1 2 + 仃3 | | b u 1 2 + | i n f ，1 1 2 + 2 n ( z ：一z + 一a b , ，4 4 v ) + 2 c l ( y 6 - f ( z ：) ，t ，) = i f f ( + + n 丹? ，) - y 6 1 1 2 + n 3 i i b v t l 2 + f f 件t f 2 + 2 d ( a ( z ：) 一a ( z + ) 一a a b y ，f ? ) + 2 仃( 芗6 一 f ( z ：) ，t ) = i i f p 十+ a b v ) 一矿1 1 2 + o t 3 i l s v l l 2 + i j o 口l f 2 + 2 t l ( f ( x + ) + a ( x i z + ) 一尸( z ：) ，秒) + 2 a ( y 6 一f ( x + ) 一a a b v ，t j ) 而i l n f ， 2 + 2 a ( y 6 一声1 ( z + ) 一o a b l t ，t ，) + i | 剪6 一士( z + ) 一n 以口t ? 1 1 2 = l l 6 一f ( z + ) 一 a a b v1 一q 训2 ，代入上式即得t 口l l z ：一z + 1 1 2sl l 矿一f ( x + ) 一a a b v + q u i l 2 + d 3 l l b t ，| 1 2 + 2 a ( f ( x + ) + a ( 一z + ) 一f ( z ：) ：u ) + i i r ( x 。+ a b v ) 一y 6 | 1 2 一l f ! ，6 一f ( x + ) 一c , a b v l l 2 ( 4 0 5 ) 分析( 4 0 5 ) 式右端前两项，由b = a 。( a a + + a ，) 一，i a b = a ( a a + n ，) ：从 而 f f 可6 一f ( z 一) 一a a b v + a f f 2 + o l 3 | f 曰口 f 2 = i i ! ，6 一f ( x + ) + a v ( - a b + i ) 1 1 2 + q 3 i i a + ( a a + q ，) 一1 口l f 2 = j | 6 一f ( x + ) + n 2 ( a a + + 口，) 一1 uj | 2 + 仃3 i i a + ( a a + + n ，) 一1 秒ij 2 由o t 3 n 4 ( a a 。+ 仃，) 一1 u l l 2 = n 3 ( a ( a a + n ，) 一1 钉，a + ( a a + + n ，) 一1 口) 11 山东大学硕十学位论文 = n 3 ( a 4 + ( a a + n ，) 一1 ，( a a + 乜，) 一1 u ) = a 3 ( ( j r q ( a a + + d ，) 一1 ) 口，( a a + 口，) 一口) = 0 1 3 ( 口，( a a + a t ) 一1 u ) 一o t 4 i i ( a a + 口，) 一1 v ) 1 1 2 且f l 可6 一f ( x + ) + 仃2 ( a a + n ，) 一1 钉f 1 2 = i l y 6 一f ( x + 川2 + o t 4j ( a a 。+ 4 1 ) 一1 v ) 1 1 2 + 2 4 2 ( 6 一f ( x + ) ，( a 4 + u ) 一1 口) 将此二式代入( 4 0 5 ) 式，可得： 0 可6 一f ( z + ) 一f 1 a 1 3 v + f ，训1 2 + n 3 l b v l 2 = o c 3 ( v ，( a a 4 + n _ ，) 一1 t ，) + 2 0 r 2 ( 可6 一f ( x + ) ，( a a + o ，) 一1 移) + l i 可6 一f ( z + ) 1 1 2( 4 ( ) 6 ) 下面分析( 4 0 5 ) 式右端第三项，由( 4 0 2 ) 式及s c h w a r t z 不等式可得： 2 c r ( f ( x + ) + a ( z ：一z + ) 一f c x ：) ， ) = 一2 n ( f ( z ：) 一f ( z + ) 一f ( z + ) ( z ：一z + ) ，v ) 冬2 q ( 扣：一州1 2 ) 制i i l = , 卫l l l v l i 1 z ：一x - i j 2( 4 0 7 ) 最后分析( 4 0 5 ) 式最后两项，由l i , , t f 2 一例1 2 j l “+ ”i i “一 弧从而 l f ( z + + a b u ) 一矿1 1 2 一ij 矿一f ( x + ) 一, 1 a b v l l 2 i i f ( x + + o t b v ) 一f ( z + ) 一a a b v l i l i f ( z + + q b t t ) 十f ( z + ) + 口。4 b z ，一2 y 6 i l i i f ( 。+ + a b v ) 一f ( z + ) 一f 7 ( 。十) q b r 0 ( i i f ( z + + a b t ，) 一f ( z + ) 一, 1 a b v l l + 2 1 1 a a b z ，+ f ( z + ) 一y 6 | i ) 考 f q 日r f i 2 专l f 理口f l 2 + 2 ( i i f ( z + ) 一暑，6 f f + l i 口月b i j ) 茎鲁 l q 口t l l | 2 丢f l q 召矿l i 2 + 2 6 + 2 i | a a 口t ，0 ) 从而( 4 0 5 ) 式可化为； q l i z ：一z + 1 1 2 冬 q 3 ( t ，( a a + a ) 一1 ，) + 2 a 2 ( 耖孑一f ( z + ) ，( a a 。+ 口，) 一1 u ) + i j 暑5 一f + ) 1 1 2 + n l i i t ，i i i z ：一z + j 1 2 + 鲁l i “b t ，1 1 2 ( 互ll i u b r l l 2 + 2 6 + 2 | | 乜以b u l l ) ( 4 o 8 ) 从而可得： 1 2 山东大学硕+ 学位论文 口j f 一z + 1 1 2 = o ( 1 l a b v l l 4 + ( l i a b 口1 1 2 + c t 4 1 1 ( a a + “j r ) 一1 1 1 2 + 6 2 ) 由f 7 ( 矿) + 口= ( f 7 ( z 一) + f 7 ( z 一) ) p 2 w 与谱理论的相关知识可得： 嵫一z + i 1 2 = 0 ( o p ( 。+ 譬) 其中( 口= 。( 1 ) ，对于1 p 2 ，取口= o 南) ，则上式可以化简为：i f z ：一z + 1 1 2 ： 0 ( 6 舞) 。从而定理得证 定理3 0 8 证明： 在( 4 0 8 ) 式中由s c h w a r t z 不等式，假设2 0 2 以及引理4 0 9 可得： 0 3 ( t ，( a a + + a ，) 一1 。) = a s ( ( a a ) 孚叫，( a a 十q ，) 一i ( a a + ) 孚枷) o r r 3 i i ( a a 2 + o ，) 一1 ( a a + 尸。i i i i 似1 1 2 扩+ 1 i l w l l 2 同理， 2 2 ( 3 | ，6 一f ( x + ) ，( a a + f j ) 一1 口) = 2 0 2 ( 轳6 一f ( z + ) ，( a a + n ) 一1 ( a a ) 夸伽) 2 0 2 i i 矿一f ( x + 1 1 1 i ( a a + + a i ) 一1 ( a a ) 孚鲫 2 q p + 。l 酬酬 将以上二式代入( 4 0 8 ) 式即得， 8 矿一f ( x + ) - a b v + ( 1 v l l 2 + ( 1 3 i i b 口l f 2 o p + 1 lj 伽| | 2 + 2 n 卫笋6 i | 叫l i + 铲= ( c l 宁f l 伽i i + d ) 2 ( 4 0 9 ) 我们按照下面的式子来化简( 4 0 8 ) 式中的最后一项： ( i ) l i o b v lj = q i i ( a + a + a i ) 一1 a + v l l = o r l l ( a a + 口，) 一1 a 。( a a 。) 孚叫| l a 暑i i 札，i i ； ( i i ) | | n 厅? ，| i = r l i i ( a a + n ，) 一1 a 妙| j n 1 2 | l 移| i 因而i i - b , , 1 1 2 n 孚俐1 1 w l l ； 1 3 山东大学硕十学位论文 ( i i i ) i i , 1 a m l l , 1 i i a a + ( a a + n ，) 一1 可i i , y l l v l l ； 从而将上三式代入即可得： | | f + + o b ，) 一y 6 2 0 扩一f ( x + ) 一o a b t ，2 5每l | n b ? ，1 1 4 + , , l i i v l l i l n 何 ，1 1 2 + l 再l l n 何f ，1 1 2 ：i 5 2 n p + z | i t 川2 t l w l l 2 + l n 舛1 1 1 以川2 + l 6 n 半j | t ，j 1 0 叫| j ( 4 o 1 0 ) ( 4 0 7 ) ，( 4 0 9 ) ，( 4 0 1 0 ) 兰式联立即可得： 口( 1 一三| f t ，i f ) f i 一z + f f 2 陋+ 口学l 锃，l ( 1 + l l l v l l 2 ) 2 证毕。 我们同样可以用定理3 0 8 的方法来分析定理3 0 6 中的相关结论，即不考虑 假设2 0 2 的条件下，化简( 4 0 9 ) 式右端各项，可有： 口3 ( ，( 4 a + + a j ) 一1 u ) 墨o t 2 i l u l l 2 2 n 2 ( y 6 一f ( z + ) ，( a a + 仃，) 一1 v ) s2 仃每| l 杉l | 从而i i v 6 一f ( x + ) 一a a b v + n u i l 2 + q 3 i ib v l l 2 ( a i l 口i i + 6 ) 2 ( 4 0 8 ) 式右端第四项同定理3 0 8 ，按照下面化篱方式分析( 3 0 2 ) 式最后一项。 l i - r ? , i i = a l i ( a a + + o ，) _ 1 a v l lso l l 2 l f l a a b v l f 冬o , i i a a ( a a + o ，) 一1 移8 - t l t , 1 f 整理上面各式可得： n ( 1 一l i i v t l ) l l x ：一z 1 1 2 6 2 + ( 2 q i i f l l + l n l | 1 1 ) 6 + ( 等0 2 i i u i l 4 + l a 2 i i u 旷+ 乜2 i i r | 1 2 ) = 6 + , 1 l l v l l ( 1 + l i i v l l 2 ) 2( 4 0 1 1 ) 从而 憾一z + | l l ，m 满足a 肘21 ，为了方便起见，选取o t 0 = 6 这样一来，对于v a i d 射( 口) ，总能找到z = 2 ( 口i ) 满足u ( n ；f ( n i ) ) q 去，q 是常数由