（应用数学专业论文）离散kp系列的对称及其应用.pdf

摘要 摘要 本文定义了离散k p ( d k p ) 系列的多次规范变换算了z 件七，其中包括了两种 基本类型的规范变换算了进一步，建立了算了r + 七的行列式表示，并利用该表 示从一个初始的离散k p 系列的丁函数出发，得到了经过多次规范变换后的离 散k p 系列的下函数7 a ( n + k ) 在这一过程中，引入了广义的离散w r o n s k i a n 行列 式，并且证明了离散差分算了的一些有用的性质另外，引入了离散k p 系列的两 类对称，s a t o sb i i c k l u n d 变换和附加对称证明了a s v m 公式，说明了这两类对称 的等价性。同时引入了f a y 恒等式和差分f a y 恒等式，并给出了用丁函数形式表 达的a s v m 公式 关键词：离散k p 系列，规范变换，附加对称，s a t o sb i i c k l u n d 变换，v i r a s o r o 约 束，a s v m 公式 a b s t r a c t a b s t r a c t as u c c e s s i v eg a u g et r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r 死+ 七f o rt h ed i s c r e t ek p ( d k p ) h i e r a r c h yi sd e f i n e d ，w h i c hi n c l u d e st w ot y p e so fg a u g et r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r s t h e d e t e r m i n a n tr e p r e s e n t a t i o no ft h eo p e r a t o r 瓦+ 七i se s t a b l i s h e da n di ti su s e dt oo b t a i na n e w7 - f u n c t i o n 趱啪o ft h ed i s c r e t e k ph i e r a r c h yf r o ma ni n i t i a l 丁f u n c t i o n i nt h i s p r o c e s s ，ag e n e r a l i z e dd i s c r e t ew r o n s k i a nd e t e r m i n a n ti si n t r o d u c e da n ds o m eu s e f u l p r o p e r t i e sf o rt h ed i s c r e t ed i f f e r e n c eo p e r a t o r sa r eo b t a i n e d a n o t h e rt w ok i n d so fs y m m e t r i e s ，s a t o sb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n da d d i t i o n a ls y m m e t r i e s f o rt h ed i s c r e t e k p ( d k p ) h i e r a r c h ya r ea l s oi n t r o d u c e d a n dt h ea s v mf o r m u l aw h i c hd e m o n s t r a t e s t h ee q u i v a l e n c eo ft h e s et w ok i n d so fs y m m e t r i e si so b t a i n e d i na d d i t i o n a l ，t h ef a y i d e n t i t ya n dt h ed i f f e r e n c ef a yi d e n t i t yo ft h ed i s c r e t e k ph i e r a r c h ya r ei n t r o d u c e da n d t h ea s v mf o r m u l ai nt h ef o r mo ft h e7 - f u n c t i o ni sc a l c u l a t e d k e y w o r d s ： d i s c r e t e 。k ph i e r a r c h y , g a u g et r a n s f o r m a t i o n ，a d d i t i o n a ls y m m e t r i e s ， s a t o sb a i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s ，v i r a s o r oc o n s t r a i n t s ，a s v mf o r m u l a i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：三雌 签字日期：x 擅垒l 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 幺开口保密( 年) 作者签名：壹堕生 导师签名： 签字日期： 一 l 厶6 签字日期： 肜 ， 第1 章绪论 第1 章绪论 孤立子与可积系统的研究最早可以追溯到1 8 3 4 年，英国科学家、造船工程 师r u s s e l lj s c o t t 在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时观察到，一只运行的木 船摇荡的船头挤出高约0 - 3 米到0 5 米、长约l o 米的一团水来，当船突然停下 时，这团水竟保持着它的形状，以1 3 千米d , 时的速度往前传播【1 】1 0 年后，在 英国科学促进协会第1 4 届会议上，他在英国科学促进协会第1 4 届会议报告 这份材料上发表的论文“论波动”【2 】，生动地描述了这个现象：1 8 3 4 年秋，我看 到两匹骏马正沿运河拉着一只船迅速前进突然，船停了下来，然而被船所推动 的一大团水却不停止它们堆积在船头周罔激烈地扰动着，随后形成一个滚圆、 光滑又轮廓分明的大水包，其高度约有l 1 5 英尺，长约3 0 英尺，以每小时大 约8 - 9 英里的速度，沿着水面向前滚动我骑在马上一直跟随着它，发现它的大 小、形状和速度变化很缓慢，直到l 2 英里后，它才在蜿蜒的河道上消失 r u s s e l lj s c o t t 认识到，这4 i 是普通的水波因为由傅立叶分析可知，普通的 水波是由水面的线性振动波叠加形成的由于相互叠加的成份波的频率彳i 同，它 们在水中的运行速度也巧同那么通常由于这种色散效应的作用，这种形状的水 波在扩展一小段距离后会色散消失而他所看到的这个水团，却具有光滑规整 的形状，完全在水面上移动，衰减得也很缓慢他把这团奇特的运动着的水堆称 为“孤立波”或“孤波”r u s s e l lj s c o t t 还仿照运河的状况建造了一个狭长的大 水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实验上再现了在运河上观察 到的孤波，他认为这应当是流体力学方程的一个解但r u s s e l l 并未从流体力学上 给出令物理学家信服的数学论断 直到1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 在研究浅水中小振 幅长波运动时，考虑到可把水简化为弹性体，具有弹性特征之外，还注意到水具 有非线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构他们由 此提出了单向运动浅水波k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程 3 】，它是如下形式的非 线性偏微分方程： 钍= 6 u u z + z k z z ( 1 1 ) 由方程得山的波的表面形状与孤波的表面形状十分相似，从而给出了一个类似 1 笫l 章绪论 于罗素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公认现在k d v 方程可以描述数学 物理中很多有趣的现象，如描述微小振幅的浅水波的渐进变化、冷等离子体中的 流体磁力波、非调和晶体中的离子声波等等 在k o r t e w e g 和d ev r i e s 的工作之后，由于非线性偏微分方程求解的困难，对 于这种类型的波的稳定性，以及两个这种类型的孤立波相互碰撞后是否变形等 等有关稳定性的问题，人们难以做有效回答。甚至有人怀疑这种波不稳定，因而没 有实际研究的物理意义这些问题使得这方面的研究进展爿f 常缓慢直到2 0 世 纪5 0 年代，由于著名的物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 的工作【4 】，才m 现了新的 局面他们将6 4 个全同的质点用非线性弹簧等距的连接成一条非线性振动弦 初始时，他们让这些振子的所有能量都集中在其中的一个质点上，即其他的6 3 个 质点的初始能量为0 此后在非线性弹性力的作用下，这组质点逐渐在自己的平 衡位置附近振动按照经典的理论，经过一段时间后，能量就应该均分值每一个质 点。但实际的观察结果却发现，在足够长时间的过程中里，几乎全部的能量又回 到了其中的某一个质点上这就是著名的f p u 问题它有效的说明了此种类型波 的稳定性，又重新激起了有关孤立波研究的兴趣 2 0 世纪6 0 年代，电子计算机被广泛应用，同时也为这一理论研究带来契 机1 9 6 5 年美国科学家z a b u s k yn j 和k r u s k a lm d 给出的关于k d v 方程数值 解的研究【5 】，他们在电子计算机做数值试验后意外地发现，以不同速度运动的 两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形态，其波形和 速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所以完全可以把孤波 当作刚性粒子看待于是他们将这种具有粒子性的孤波，即非线性方程的孤波解 命名为“孤子”这种类型的波的稳定性也得到了大家的认同1 9 6 5 年以后，人们 进一步发现，这种类型的波的存在具有广泛性除水波外，其它一些物质中也会 出现孤波在固体物理、等离子体物理、光学实验中，都发现了孤子并且发现， 除k d v 方程外，其它一些非线性方程，如s i n e g o r d o n 方程、非线性薛定谔方程 等，也有孤子解 1 9 6 7 年，g a r d n e rc s ，g r e e nj m ，k r u s k a lm d ，m i u r ar m 【6 】提出了求解 k d v 方程反散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 并得出了k d v 方程n 个孤波相 互作用的精确解，有效而完整的解决了k d v 方程的初值问题从理论上促进了 孤立子的研究这个方法经l a xp d 【7 】和a b l o w i t zm ，j ，k a u pd j ，n e w e l la c ， s e g u rh 【8 ，9 】等人推广到一系列的非线性演化方程中去，完善为一个较普遍 2 第1 章绪论 的解析方法 1 0 】，大大推进了孤子的研究同时也促进了非线性偏微分方程的求 解越来越多的数学家对此产牛了浓厚的兴趣，研究文章也层出不穷包括l a x p d ，g e l f a n di m ，d r i n f e l dv g 等在内的许多著名数学家都对孤子与可积系统 进行了相关研究，并取得系列的研究成果 1 l 一2 0 】，对这一领域的发展做出了 巨大的贡献 孤子与可积系统的研究是一个十分广泛的范畴，其中包含了数学物理的许 多分支一方面可以从分析和微分方程理论的角度来研究，像上面提到的反散 射方法，它可以用来解决很多非线性方程的求解问题；另一方面也可以从儿何 的角度出发，通过三维空间中局部曲线和曲面的儿何性质来构造孤子方程，如 零曲率方程，s i n e g o r d o n 方程实际上，从儿何角度出发，k d v 系列可以在一 个幽群( l o o pg r o u p ) 的儿何中实现还可以通过儿何变换来求解可积方程，如儿 何b 自i c k l u n d 变换 2 1 ，2 2 1 此外，还可以从代数的角度对可积系统进行研究关于 孤子方程可积性的研究，上世纪7 0 年代，g e l f a n di m 和d i c k e yl a 1 9 】引入 了代数的方法，引进了g e l f a n d d i c k e y ( g d ) 系列1 ，通过变分来构造p o i s s o n 括号 而后，由a d l e rm 清晰地表述并推广到7 z 阶变分算子的情形 2 3 2 5 1 通过对g d 系列的h a m i l t o n i a n 结构的研究，使得对其可积性有了一个深刻的认识8 0 年代 d r i n f e l dv g 和s o k o l o vv v 1 4 】通过建立他阶微分算子和矩阵算子的对应关 系，给出了上述结果的k a c m o o d y 代数解释到了9 0 年代，r a d u l 2 7 】彻底解决 了基于拟微分算子描述的k p 系列中关于h a m i l t o n i a n 结构的问题以k d v 方程 为例，h a m i l t o n i a n 结构意味着可以将方程写成如下形式： 8 u86 i l l1 、 瓦。瓦瓦， l l z j 其中，h = rh d x 称为h a m i l t o n i a n 量( 它是一个局部的性质) ，h 是乱，? 1 7 ，t l ，的 多项式，称为守恒律密度，；是变分算子定义函数u 所在的函数空间是一个有 限维光滑流形m 由上面的定义，k d v 方程有两个h a m i l t o n i a n 结构( p o i s s o n 括 号) ： 一 ，- 厂，雪) ) = ( 6 f 6 u ) 7 6 9 6 u ： ( 1 3 ) ， ， ，互) ( 0 ) = ( 6 f 6 u ) 2 + u a f 6 u + 2 u ( 6 f 6 u ) ，】6 9 1 6 u d x ( 1 4 ) 其中，= ff ( u ) d x 和雪= fg ( u ) d x 是流形m 上的泛函 g d 系列也可以看作k p 系列的n 一约化 3 第l 章绪论 除上述k d v 方程及g d 系列之外，另一个十分重要而且更广泛的可积系 统是k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( k p ) 系y u 1 5 ，1 9 自1 9 8 0 年起，k p 系列开始成为经 典可积系统这一领域中最重要的研究谍题之一d a t ee ，k a s h i w a r am ，j i m b om m i w at 在1 9 8 3 年给出k p 系列的7 _ 函数存在性定理 1 5 】，类似k d v 方程，k p 系列的h a m i l t o n i a n 结构也有相应的研究第一个结构最早由w a t a n a b e 2 6 】给出， r a d u l 2 7 第一个彻底地解决了这个问题 1 ( p 系列有两个特殊的子系y u ：b k p 系歹0 1 5 ，1 6 ，2 8 ，2 9 和c k p 系y u 1 7 b k p 系列对l a x 算予l 的约束条件是l = 一a l o _ 。，而c k p 系列对算子的约 束条件是l + = 一l 其中半表示一个形式共轭算子：对于任意一个拟微分算子 p = p i o ，定义p + = ( 一1 ) 0 p i ；对于两个算子，( a b ) + = b a 口一d e f o r m a t i o nk p 系列( 口一k p 系列) 也是晕要的研究对象之一其基础是量 了微积分【3 叫0 】其涉及到口一形变的量了可积模型 4 1 ，4 2 、口一形变的玻色气体 及其玻色一爱因斯坦凝聚 4 3 ，4 4 】、口一形变的费米气体及其热力学 4 5 ，4 6 、口一形 变的热力学和维里定理 4 7 ，4 8 】、口一形变的p o i s s o n 括号及其经典动力学【4 9 】、 哈密顿量具有却。( 4 ) 对称的口一形变的核模型一非线形对模型 5 0 等大量的物 理领域其被广泛研究的的数学模型为f 7 一形变n 阶k d v 5 l - 5 8 】，口一l p 系 列 5 9 6 3 】，口一a k n s d 系y u 6 4 由于受到物理和计算机科学的推动，近年来离散可积系统也成为十分重要 的研究内容在真实的物理系统中，简单或复杂的分子，原子系统都是离散化的格 点系统在数值计算中也要求对所模拟的物理系统和相关的方程进行离散的格 点化这些物理和计算机中出现的大量的实际的可积问题都要求对连续可积系 统进行离散化，这些问题极大的推动了对离散可积系统的研究，从而出现了一系 列的离散可积系统另一方面，t o d a 理论的出现成功解决了固体物理中的真实的 问题，这一成功大大的促进了离散可积系统的研究近年来，许多物理实际或理论 中出现的问题都与离散可积系统相关如与二维量子引力有关的重要工具矩阵 模型与离散可积系统有紧密联系，洛伦兹群也与离散可积系统有联系离散可积 系统在固态物理中具有广泛的应用，这些都说明离散可积系统有重要的应用与 理论价值，同时也促进了离散可积系统的研究 从数学的角度上看由于许多在实际应用中重要的方程都可以由连续可积 系统导出的，如k d v 方程，k p 方程，s i n e g o r d o n 方程等等他们本身也具有相应 4 第1 章绪论 的离散形式。这些离散形式大都是通过直接对方程进行离散化而得到的，能否从 把可积系统本身进行离散化的角度出发，找到适当的离散化方法，从而得到相应 的离散方程进而这些离散方程本身具有的性质，相应的应用和方程的求解以 及这些由不同离散化方法得到的方程相互之间是否有联系这些方程与直接离 散化得到的方程之间是否有相应的联系这些问题也是离散可积系统研究的动 力之一 。在离散可积系统和可积系统离散化 6 5 - 6 8 】的研究中，离散k p ( d k p ) 系 y o 1 9 ，6 9 _ 7 1 】是当前一个被广泛研究的领域自然而然的，在离散k p 系列和 k p 【1 5 】系列之间存在着一些类似的性质，例如丁函数 1 5 ，7 1 ，7 2 ，哈密尔顿结 构【1 9 ，7 0 】和规范变换 6 9 ，7 3 ，7 4 】等等特别的，由c h a ul i n g l i e ，s h a wj i i n c h a n g 和y e nh c 【7 3 】给出的规范变换( g a u g et r a n s f o r m a t i o n ) 是可积系统中构造方程 族解的一个有效办法这一方法对连续可积系统和离散可积系统都适用，是求解 k p 系列的一种非常有效的方法自从c h a ue ta 1 7 3 】为k p 系列引入了两种基 本规范变换算子后，在约束k p 系y 0 1 7 5 7 8 ，q - k p 系歹| j 5 8 ，6 0 ，7 9 】和离散k p 系 列 6 9 】中都引入了类似的算子o e v e l 6 9 】在离散k p 系列中显式的给出了三种 基本的规范变换算子，即规范变换算子，共轭规范变换算子和双规范变换算子 因为双规范变换算子是由规范变换算子和共轭规范变换算子组成的，所以规范 变换算子和共轭规范变换算子是离散k p 系列规范变换的两种基本算子这里， 离散k p 系列的规范变换算子和共轭规范变换算子可以看做是k p 系列中乃和 乃【7 3 】算子的离散类比物在。卜面的章节中，我们把它们分别记为乃和互进一 步，在文献 6 9 】的定理3 中，o e v e l 还考虑了离散k p 系列的双规范变换和n 次 重复的乃规范变换 6 9 2 另外，在k p 系列和q k p 系列中的几种情况下，规范变 换的行列式表示 7 4 】提供了一个直接的方法，可以得到经过规范变换后的r 函 数【7 8 _ 8 l 】进而可以把它用于方程组和可积系列的求解本文中，我们把上述结 果推广到离散k p 系列我们把离散k p 系列的两种基本规范变换算子乃和正 合并起来，让它们分别作用1 1 次和k 次，得到合并的规范变换算子瓦+ 七，并进一 步求得该算子的行列式表示并且利用这一表示从一个初始的离散k p 系列的7 函数出发求解经过规范变换后的新的离散l p 系列的7 函数7 - 0 舭j 同样我们可 以利用这一结果进行方程组和离散k p 系列的求解 在可积系统的理论发展中起着关键的作用性质之一是系统的对称性规范 2 文献【6 9 】中的高散k p 系列n 次重复乃规范变换的表达式在形式上与这毋1 i 同但本质上是。致的 5 筇l 章绪论 变换本身也是可积系统的对称中的一种对称和有关对称的代数结构【8 2 是经 典可积系统中的一个重要的性质和研究方向其在方程求解和代数结构的研究 中有广泛的应用他们与可积系统的其他重要性质密切相关，如无穷多守恒量， 哈密尔顿结构，b s c k l u n d 变换，作用群变换下的不变解及其分类等等同样，对称 在离散可积系统中也起到重要的作用 除了规范对称之外，可积系统还有两类更广泛的对称附加对称和s a t o s b ：i c k l u n d 变换在1 9 8 0 年以前，一般认为在1 + 1 维空间中，与一个给定的孤 立子方程相联系的对称是与空间变量z 和时问变量无关的其后不久，依 赖空间变量z 与时问变量的对称就在孤立子理论的框架中被几位作者同时 找到了 8 3 8 6 1 现在这种对称被称为附加对称【8 7 1 ，并且用拟微分算子的语 言来定义k p 系列的附加对称流 1 5 ，1 9 的一个显著的特点是这些对称之间 相互不可交换，但他们却都与所有的k p 流可交换特别的，通过引入新的附 加变量麓，2 【7 2 ，8 8 - 9 2 和与此相关的附加对称流a 。= p - r e d u c e dk p 系 列( 或p g e l f a n d d i c k e y 系列) 的弦方程，v i r a s o r o 约束和w 约束被广泛的研究，并 被k o n t s e v i c h 【9 3 】用来证明p = 2 时的w i t t e n 猜想 另一方面，作为求解可积系统和孤立子方程的有效手段之一，无穷小 b 菹c k l u n d 变换，也定义了k p 系列的一种对称定义在k p 系列7 - 函数上的无 穷小s a t o sb i i c k l u n d 变换是南定义在7 - 函数上的，含有两个参数的顶点算子 x ( 入，_ t ) 来引入的【1 5 ，9 4 1 通过方程 要：x ( a ，肛) 1 - a 一v q 刚一 这一变换实际定义了k p 系列的一类对称而规范对称也可以看做这类对称中 的一种上述两类对称看起来是相互独立的，但实际上他们是相互等价的这一 等价性正是通过k p 系列中的重要的a s v m 公式 9 5 ，9 6 】来表示的a s v m 公式， 其在可积系统的代数结构及相关内容的研究中也是有力的工具【9 1 ，9 2 ，9 7 - 9 9 完全从可积系统的角度d i c k e y 使川拟微分算子的语言给出了a d l e r - s h i o t a v a n m o e r b e k e ( a s v m ) 公式一个非常直接和简洁的证明 9 6 另外，d i c k e y 还得到附加 对称在g r a s s m a n n i a n 上的作用，同时给出一个附加对称在7 - 函数上的作用的直 接推导过程 7 2 ，8 9 本文进一步关注由差分算子定义的离散k p ( 本文也记作d k p ) 系列【7 0 ， 7 l 】的上述相关的对称性质本文中的对称性是指对于整个离散可积系统的对称 第1 章绪论 性。因为离散可积系统可以由一个拟差分算子牛成。我们可以定义其为对离散 可积系统的牛成算子l 的一种变换 定义1 0 1 。如果有变换丁，使得离散可积系统的生成算子有如下变换 l l 7 ( 1 5 ) 如果变换后的算子l 7 仍为离散可积系统的生成算子，我们就称这种变换丁为离 散可积系统的一个对称 自然而然的，这种对称性在离散可积系统的研究中起到重要的作用，有许多 实际的应用 有关离散k p 系列的哈密尔顿结构，t a u 函数的存在性和规范变换算子在文 献 7 0 ，7 1 ，1 0 0 中已经得到不久前，扩展离散k p 系列和离散k p 系列的等谱流 的代数结构在文献【1 0 1 ，1 0 3 】中被详细的研究。本文通过无穷小算子，离散k p 系 列引入了两类不同的变换，s a t o sb 2 i c k l u n d 变换和附加对称变换并日证明了他 们确实是离散k p 系列的对称同时证明了离散k p 系列的a s v m 公式它表明 了这两种对称的等价性在此基础上我们得到了用t a u 函数表示的另外一种形式 的离散k p 系列的a s v m 公式【1 0 2 注意还存在另外一种离散k p 系列【1 0 4 ，1 0 5 】的形式，其是由移动算子r 所 定义的一些有趣的结果，包括顶点算子，b 2 i c k l u n d 变换等等，在这个算子的表示 形式下已经得到了。本文讨论的使用算子来定义的离散k p 系列比使用算子 r 来定义的离散k p 系列具有一个显著的优势即在算子定义的离散k p 系列 下我们可以更好的使用拟微分算子的语言，从而可以利用d i c k e y 的简便的方法 给出相关定理的证明另一个优势是由算子定义的离散k p 系列的t a u 函数与 k p 系列的t a u 函数具有紧密的联系这一点在本文的研究中起到很重要的作用 本文的结构如下：我们在第二章中简要地回顾一下k p 系列及其附加对称， 包括一些定义、公式和基本性质；第三章简要的介绍了离散k p 系列，并证明了 差分离散算子的一些有用的性质第四章，给出了离散可秋系统的规范变换的基 础理论，详细证明了o e v e l 给出的两种基本的规范变换算子 6 9 】乃和正，在此基 础上给山多次规范变换算子瓦+ 的行列式表示并在上述结果下给出经过多次 规范变换后的离散k p 系列的丁函数7 - 0 批j 第五章，我们引入离散k p 系列的附 加对称变换和s a t o sb 自i c k l u n d 变换，并证明了离散k p 系列的a s v m 公式并得 7 筇1 章绪论 到了用t a u 函数表示的a s v m 公式最后一章总结本文的主要结果以及提出值得 进，步研究的问题 8 第2 章k p 系列及其附加划+ 称 第2 章k p 系列及其附加对称 在这一章，我们简要地回顾下k p 系列的基本性质在第一节中，首先给 出k p 系列定义的两种形式，并列出一些具体的流方程，之后介绍k p 系列的 h a m i l t o n i a n 结构；第二节中，利用波算子来描述k p 系列的波函数、双线性等 式，之后给出 函数的存在性定理，这些将是探讨k p 系列附加对称的理论基 础；第二节，介绍k p 系列的附加对称和相关的弦方程、v i r a s o r o 约束，并给出 k p 系列的f a y 等式和a d l e r - s h i o t a v a nm o e r b e k e ( a s v m ) 公式 2 1k p 系列及其基本性质 本节首先介绍k p 系列及其基本性质 1 5 ，1 9 k p 系列的定义基丁一个一阶 微分算子( 皿d 0 ) l ： l = a + u l o 一1 + u 2 0 一2 + u 3 0 3 + ，( 2 1 ) 其中0 = 爱，a 一1 为a 的形式逆，l 被称为k p 系列的l a x 算子 有如下l e i b n i t z 关系成立： 肌m ) ：妻监尘掣荔一 其中n 为任意整数为了以后的计算方便，这里罗列几个具体例子： 80f = f o + 六 a 2of = ，a 2 + 2 f 7 a + f ， a 3of = f 0 3 + 3 f a 2 + 3 f a + f 圳， 0 4of = 厂伊+ 4 f 7 a 3 + 6 f a 2 + 4 f a + ，( 引， a 5 。f = f 0 5 + 5 f 7 0 4 + 1 0 f 7 7 a 3 + 1 0 f 7 a 2 + 5 f ( 4 ) a + 厂( 5 ) 其中，7 = a ，f = a 2 f ，( 孔) = a 几， 9 筇2 章k p 系列及其附加埘称 当礼为负整数时l e i b n i t z 关系如下给出 a 一1o ，= f o 一1 一f o 一2 + f o 一3 一， a 一2of = ，a 一2 2 ，7 a 3 + 3 f 7 7 a 一4 ， a 一3o 厂= f o 一3 3 ，7 a 4 + 6 ，0 5 一， a 一40f = ，a 一4 4 f 0 5 + 1 0 f 7 7 0 6 一， a 一5of = ，a 一5 5 f 7 a 一6 + 1 5 f 0 7 一， k p 系列的第一种定义形式为l a x 方程： 敬l = 陬川，惫= l ，2 ，3 7 ，文= 毫， ( 2 2 ) 是关于让i = 饥( t l ，t 2 ，t 3 ，；z ) 的无限维偏微分方程组，其中玩用来表示算 礼 子l n 的微分部分，即b n = ( l n ) + = 如伊，相应地，积分部分记为( l n ) 一= i = o n b n 将系数 铭，u 2 ，) 视作微分多项式代数么的生成元不难得到 a l l = o l ，因此我们可以认为t 1 与z 等价，即1 + z _ t 1 ，因此讹是无穷变量 t = ( t l ，t 2 ，3 ，) 的函数，即三地( ) 注2 1 1 方程( 2 2 ) 也可以由线性方程l 妒= 入砂，砂= b m 砂的相容性条件得到 1 0 这里罗列一些具体的b 。和流方程： b 1 = d b 2 = a 2 + 2 u 1 ， b 3 = a 3 + 3 u l a + 3 u 2 + 3 u 1 z ， 俄= 伊+ 4 u l a 2 + ( 4 u 2 + 6 u 1 一) a + 4 u 3 + 6 u 2 ，z + 4 u 1 ，z z + 6 u 1 2 ， b 5 = a 5 + 5 u l a 3 + ( 5 u 2 + 1 0 u 1 ，z ) a 2 + ( 5 u 3 + 1 0 u ；+ 1 0 u 2 ，聋+ 1 0 u 1 ，z z ) a + 5 u 4 + 2 0 u l u 2 + 1 0 u 3 ，z + 1 0 u 2 ，z 。+ 2 0 u l u l ，z + 5 u l ，z z z t 1 流： 饥，t 1 = u ，z ，i = 1 ，2 ，3 ， ( 2 3 ) 第2 章 k p 系列及其附加埘称 t 2 流： u l ，2 = 2 u 2 ，z + u l ，z z ， u 2 ，t 2 2u 2 ，。z + 2 u 3 ，z + 2 u l u l ，。， t 3 流： u l ，t 3 = 3 u 2 ，z z + u 1 ，z z z + 3 u 3 ，z + 6 u l u l ，z ， u 2 ，3 = 3 u 3 ，扰+ u 2 ，z 嚣+ 3 u 4 ，z + 6 u l u 2 声+ 6 u 2 u 1 ，。， 由方程( 2 4 ) 、( 2 5 ) 及( 2 6 ) 出发，并令t 2 = y ，t 3 = t ，可得 3 u p ”= ( 4 u t u z z z 一6 u u 七) z ， ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 。7 ) ( 2 8 ) 这个方程被称为k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方程其是由前苏联物理学家 k a d o m t s e v 和p e t v i a s h v i l i 在研究色散介质中的非线性波动理论时发现的若进 一步要求k p 方稗中u 与y 无关，并令t _ 4 t ，u _ u 2 ，则得到k o r t e w e g d e v r i e s ( k d v ) 方程： z t t = 6 “u z + u z 王( 2 9 ) 命题2 1 2 由方程( 2 2 ) 定义的k p 系列的向量场 仇，七= l ，2 ，3 ， 互相可交 换，即( 巩l ) = 以( 己) 这个性质是十分重要的，向量场跣与可交换意味着k p 系统( 2 2 ) 6 p 的任 一个方程都诱导出其他方程的一个对称沿着另外一个向量场对一个方程的解 作变换，可以得到同一个方程的新的解换句话说，如果l 是k p 系列l a x 方程的 解，那么对于任意的m ，则l + e l 在0 ( e 2 ) 下也是解 k p 系列的第二种形式可以表示成z a k h a r o v s h a b a t ( z s ) 形式，并被称为零曲 率方程： 巩b m 一鼠+ j e 7 m ，鼠】= 0 ，礼，m = 2 ，3 ，4 ，( 2 1 0 ) 该方程可由方程( 2 2 ) 导出 例2 1 3 在方程( 2 1 0 ) 中取托= 3 ，m = 2 ，并设2 u l = ，珏，t 2 = ，t 3 = 色同样可以得 到k p 方程： 3 u 可= ( 4 u t 一乱。z z 一6 u u z ) z 1 1 筇2 章k p 系列及其附加埘称 接下来简要地介绍一下k p 系列的h a m i l t o n i a n 结构，第一个结构最早由 w a t a n a b e 2 6 】给出，r a d u l 2 7 】第一个彻底地解决了这个问题对于任意的正整数 n ，k p 双h a m i l t o n i a n 结构可以自然地约化成g d 的h a m i l t o n i a n 结构 为了考虑k p 系列的h a m i l t o n i a n 结构，我们设： l = a + u o + u l a 一1 + u 2 1 9 2 + u 3 1 9 3 + ， ( 2 1 1 ) 这里加了u o 项此时 l 竹= a n - 4 - v n - - 1 a n 一1 + v , ，_ 2 c 3 n 一2 + 一1 3 12 , p af i e ：5 ：q u = 么= j rf ( v ) d x ，其中f a 每一个皿d o ：a = o ； n 一1 o o 对应的导子允= 醒a a 嵋生成l i e 代数f 2 0 的对偶空间q 1 由以下形 式的算子构成： 几一1 x = a n k 一。+ 8 - n + 1k 一。+ = 8 - i - 1x 对于每一个自然数n ，k p 系列有以下的两个h a m i l t o n i a n 映射：日：q 1 _ 1 2 ， h 叫叫( x ) 2 色砌) ( x ) ， a n ( o ) ( x ) = ( l n x ) + 1 一l 几( x l n ) + ， 日n ( x ) = 0 a 。( o o ) ( x ) ， a n ( o o ) ( x ) = 一 l 军，x 一 + + 【l ! ，x + 一 对于每一个t ，流，对应于上述两个h a m l i t o n i a n 结构的h a m i l t o n i a n 量分别是： 耻i r e s 删z ，妒= r e s l r + n 如 c 2 m ， 注2 1 4 u o = 0 或一l = 0 的约化等价于 懈 l n ，面6 y = 。 2 2k p 系列的波函数和7 - 函数 k p 系列的l a x 算子l = a + u 1 8 1 + u 2 8 2 + u 3 c l 一3 + 可以表示成 d r e s s i n g 形式： l = 砂a 移一1( 2 3 ) 1 2 第2 章 k p 系列及其附加对称 。o 其中拟微分算子矽= l o i o - i ( w o = 1 ) = 1 + 伽1 0 1 + 埘2 0 2 + 仞3 0 3 + 被称 i = 0 为d r e s s i n g 算子，或波算子则其形式逆可以写为： 西一1 = 1 + v l o 一1 + v 2 0 2 + v 3 0 3 + 其中忱可由 “j 1 ，叫2 ，毗) 及其微分来表示，前几项如一卜所示： 1 ) 12 一叫1 ， 忱= 一2 + 叫；， 1 ) 3 = 一埘3 + 2 w 1 1 0 2 一w l w i w i 注2 2 1 波算子在相乘一个常系数算子c = 1 + c 1 0 1 + c 2 0 2 + f c i 为常 数) 的意义下唯一 引理2 2 2 讹，可以用 w l ， 1 3 2 ，w i ) 来表达： u i = 一1 1 1 i ，z + q ( 1 ，w 2 ，w i 一1 ) 这里q 为微分多项式 很容易写山前几个系数： u l 。一伽1 z ， u 22 - - l i d 2 ，z + 3 1 w l ，z ， u 32 一 3 3 ，z + ) 1 w 2 ，z + 1 3 1 ，z t 0 2 一叫；叫1 芦一叫；z 命题2 2 3 通过d r e s s i n g 变换，a u 上矢量场可以变换到a 叫上： o m 砂= 一l ! 毋( 2 1 4 ) 而且流是交换的，这个方程被称为s a t o 方程，其中= 赤 为了讨论k p 系列的波函数，先引入一个级数， 有如下性质： o m ( t ，z ) = z 仇 1 3 z 随 | i z 筇2 章k p 系列及其附加财称 o m e f ( t , z ) = z m e f ( t , z ) = e 淝引 k p 系列的波函数定义为： w ( t ，z ) = e e l ( t , z ) = ( 1 + 了w l + 万w 2 + ) e f ( t ，：) = 西( t ，z ) e ( t ，： ( 2 1 5 ) 其中7 1 1 i = 训t ( t ) ，t = ( t 1 ，t 2 ，t 3 ，) 接卜来考虑k p 系列的共轭波函数w + ( t ，z ) ， 这里的共轭木表示一个形式共轭算子：对于任意一个拟微分算子p = p i o ， 定义p = ( 一1 ) 伊p i ，简单的如a + = - 0 ，( 0 - 1 ) + = - 0 - 1 ；对于两个算子， ( a b ) + = b a + 不难得到如。卜两个引理： 弓i 理2 2 4 k p 系列的共轭波函数为 满足方程： w + ( ，z ) = ( + ) 一1 e 一 。) = 仍+ ( ，z ) e 一 2 ) l + w + = z w 。，o m w = 一三? + w + ，尾z ( 2 1 6 ) 引理2 2 5 k p 系列的波函数满足方程： l k w = z k w ，叫= 己? 枷，k z ( 2 1 7 ) 引入两种分别关于a 和z 的形式留数： r e , q o n t = o - 1 j r e s ：吣i = n 1 首先给出一个关于拟微分算子有名的引理，这些引理在研究k p 系列的双 线性恒等式以及7 - 函数时有着重要的作用 引理2 2 6 ( 1 1 9 1 6 2 5 ) 对两个任意的拟微分算子p 和q ，等式 r e $ 爿( p e ) ( q e 吖。) 】_ r e s 。 p q + 】 ( 2 j 8 ) 成立 有上述引理可得如下定理： 1 4 第2 章k p 系列及其附加对称 定理2 2 。7 。对任意( i l ，t 2 ，) ，k p 系列的双线性恒等式成立： r e s 。( 研1 船叫) 叫+ = 0 双线性恒等式还可以写为： f e 5 ：w ( t 7 ，z ) w + ( t ，z ) = 0 ， 其中，( t 7 ) 理解为形式展开 m 7 ) = (