（光学专业论文）量子力学中的隐变量理论与测量.pdf

中国科学技术大学博上学位论立 摘要 上世纪初，相对论和量子力学的创建，不仅扫去了物理学上空的两朵乌云， 更使人类社会的文明产生了全面而长足的进步。就量子力学而言，它使人类对微 观世界的认识达到了全新的境界，不仅成功地解释了原子、分子等各种微观体系 的性质和规律，更为物理、化学、信息以及其他学科领域的研究提供了强有力的 工具。尽管如此，由于量子理论在测量上存在不可避免地不确定性，和经典物理 理论相比截然不同，所以仍有部分人对其表示怀疑，甚至于包括一些曾亲自推动、 创建量子力学的物理学家。为能和经典物理一致，部分科学家试图对量子力学理 论重新给出确定性的阐述，这就是隐变量理论的缘由。本论文主要就两类典型的 隐变量理论基于局域实在论的隐变量理论和环境无关的隐变量理论进 行讨论，从一定的角度证明：量子力学无法用隐变量理论重新解释。 1 、无不等式的b e l l 理论 1 9 3 7 年，e i n s t e i n 等提出，量子力学理论在局域实在论下是一个不完备的理 论。基于这一点，人们试图使用局域实在论下的隐变量理论来替代量子力学。进 而研究发现，量子力学和局域隐变量理论在对于某些体系进行特殊测量的时候， 两者所得到的结果存在矛盾，一类是通过b e l l 不等式的违背，另一类无需不等式 这就是b e l l 理论。h a r d y 定理是无不等式b e l l 理论的一种。这里，我们将两 粒子、三粒子的h a r d y 定理推广到一般的三粒子纠缠纯态以及多粒子纠缠态。研 究表明，多粒子w 念可以得到接近于1 0 0 的违背。 2 、单个l 2 自旋粒子的基于广义测量的k o c h e n s p e c k e r 定理 除了基于局域实在论的隐变量理论，另一个典型的隐变量理论是环境无关的 隐变量理论。该隐变量理论试图对于任何投影算符进行确定性的0 1 赋值，然而 对于h i l b e r t 空间维数不小于3 的体系，总可以找到一组算符，其任何可能的赋 值都无法满足量子力学的限制。这就是k o c h e n s p e c k e r 定理。若将投影算符推 广到一般的测量( 广义测量) ，则可以证明，对于h i l b e r t 空间维数为2 的体系， 上述定理仍然成立。这里，我们将原有单个量子比特的基于广义测量的k o c h e n - s p e c k e r 定理作了进一步简化，并给出了实验方案。又以前的研究显示，对于 k o e h e n s p e c k e r 定理的实验检验，实验上存在一定的要求。我们对于上述的单量 子比特方案也作了可行性分析，结果表明，该要求完全可以在现今的实验室中完 成。 中国科学技术大学博士学位论文 3 、b e l l 态及偶数粒子g h z 态的非破坏性识别 在量子力学与隐变量的争辩中，实际测量结果的验证一直是关键之所在。在量子 力学的各项应用中也是如此，例如在量子信息科学领域，量子纠缠的测量一直是 应用中的关键技术。对于两粒子纠缠态，已经证明无法使用线性器件和辅助粒子 实现完全测量。这里我们给出了一种基于非线性器件f o c k 态滤波器的方案非破 坏的识别b e l l 态，这种方案可以推广到任意偶数粒子g h z 态的非破坏性识别， 另外还可以用来实现任意粒子g h z 态的破坏性识别。 中国科学技术大学博i 一学位论文 a b s t r a c t b e s i d e sh a v i n gc l e a n e dt h et w oc l o u d so v e rc l a s s i c a l p h y s i c s ，t h er e a l i t y a n d q u a n t u m m e c h a n i c se s t a b l i s h e da tt h eb e g i n n i n go f t h el a s tc e n t u r yh a v ea l s op r o v i d e d aw i d ea n d r a p i dp r o g r e s si nt h ec i v i l i z a t i o no f m a n k i n d q u a n t u m m e c h a n i c se x p a n d s m a n sk n o w l e d g eo fm i c r o s t r u c t u r et oan e w d e p t h i th a ss u c c e s s f u l l ye x p l a i n e dt h e p r o p e r t i e sa n d r u l e sf o rm i c r o s t r u c t u r e s ，s u c ha sa t o m s ，m o l e c u l e s ，a n ds oo n a n di t a l s op r o v i d ep o w e r f u lt o o l sf o rr e s e a r c ho n p h y s i c s ，c h e m i s t r y , i n f o r m a t i o n a n do t h e r s h o w e v e r ，t h e m e a s u r e m e n tr e s u l t so f q u a n t u mt h e o r y h a v et h eu n a v o i d a b l e u n c e r t a i n t y , w h i c hi sq u i t ed i f f e r e n tf r o mc l a s s i c a lp h y s i c s s ot h et h e o r yi sd o u b t e d b ys o m ep h y s i s t s ，i n c l u d i n gs o m eo n ew h o h a dc o n t r i b u t e dt ot h ef o u n d a t i o no fi t i n o r d e rt om a k ei tc o m p a t i b l ew i t hc l a s s i c a lt h e o r y ，s o m es c i e n t i s t st r i e dt or e i n t e r p r e t q u a n t u mm e c h a n i c sw i t hc e r t a i n t y , w h i c hi st h ec a u s eo f h i d d e nv a r i a b l e st h e o r y i n t h i st h e s i s ，w ew o u l dd i s c u s so nt w om a i nt y p e so fh i d d e nv a r i a b l e st h e o r y l o c a l h i d d e nv a r i a b l e t h e o r y a n dn o n c o n t e x t u a o n e a n di ti s p r o v e n t h a t q u a n t u m m e c h a n i c sc a n n tb er e i n t e r p r e t e db yt h e s et w ot h e o r i e s 1 b e l l st h e o r e mw i t h o u ti n e q u a l i t i e s i n19 3 7 ，i ti s p r o v e nb ye i n s t e i ne ta l ，t h a tq u a n t u mt h e o r yi sn o tac o m p l e t eo n e u n d e rt h el o c a l i t ya n dr e a l i s m i th a sb e e nt r i e dt or e p l a c eq u a n t u mt h e o r yb ya n o t h e r o n eb a s e do nl o c a lr e a l i s m ，b u ti ti sf o u n dt h a ts o m em e a s u r e m e n tr e s u l t so nq u a n t u m s y s t e mw o u l db ed i f f e r e n tb e t w e e nb a s e do nq u a n t u mm e c h a n i c s a n dl o c a lr e a l i s m ， w i t ho rw i t h o u ti n e q u a l i t i e s t h a ti ss oc a l l e db e l l st h e o r e m ，a m o n gw h i c hh a r d y s t h e o r y i sw i t h o u ti n e q u a l i t i e s h e r et h eh a r d y st h e o r yo ft w oo rt h r e eq u b i t sw i l lb e g e n e r a l i z e df o rg e n e r a lt h r e e - q u b i te n t a n g l e ds t a t e sa n dm u l t i - q u b i to n e s i ti sf o u n d t h a tm u l t i q u b i tws t a t e sw i l lv i o l a t el o c a lr e a l i s mn e a r l y10 0 2 k o c h e n s p e c k e rt h e o r e m f o rs i n g l eq u b i tb a s e do np o v m h i d d e nv a r i a b l et h e o r yb a s e do nn o n c o n t e x t u a l i t yi sa n o t h e rt y p i c a lb e s i d e sb a s e d o nl o c a lr e a l i s m i ns u c hat h e o r y , f o ra n ys y s t e mw i t ht h eh i l b e r ts p a c e sd i m e n s i o n n ol e s st h a n3 ，e a c hp r o j e c t o ro p e r a t o rs h o u l db ea s s i g n e dw i t had e f i n i t e0 1v a l u e ， w h i c hi s i m p o s s i b l e f o rs o m e s p e c i a l s e to fp r o j e c t o r sr e s t r i c t e d b yq u a n t u m m e c h a n i c s t h i si ss oc a l l e dk o c h e n s p e c k e rt h e o r e m i th a sb e e np r o v e nt h a ti ti s 中国科学技术人学博卜学位论文 a l s ov a l i df o ras i n g l eq u b i tw h e nt h e p r o j e c t o rm e a s u r e m e n t i sg e n e r a l i z e dt op o s i t i v e o p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e m e n t h e r ew eg i v eas i m p l e rp r o o f f o ri ta n dae x p e r i m e n t s c h e m e i th a sb e e np r o v e nt h a tt h ev e r i f i c a t i o no f k o c h e n s p e c k e rt h e o r e mr e q u i r e t h er e s t r i c t i o no nt h e e x p e r i m e n te r r o lt h e e r r o ri no u rs c h e m ei sa l s od i s c u s s e da n di t i sf o u n df e a s i b l ei nt h ec u r r e n t t e c h n o l o g y 3 n o n - d e s t r u c t i v ed i s c r i m i n a t i o no nb e l ls t a t e sa n d 2 n - p a r t i t eg h z s t a t e s i nt h ed e b a t eb e t w e e nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dh i d d e nv a r i a b l et h e o r i e s ，v a l i d a t i o no f r e a le x p e r i m e n ti st h ek e y s oi si nt h ea p p l i c a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c s f o ra n e x a m p l e ，t h ee n t a n g l e m e n tm e a s u r e m e n ti sak e yt e c h n i q u ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o n i th a sb e e n p r o v e n t h a t c o m p l e t e m e a s u r e m e n to n b i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t i s i m p o s s i b l eb a s e d o nl i n e a re l e m e n t sa n da u x i l i a r yq u b i t s h e r eas c h e m ei sp r e s e n t e d t od i s c r i m i n a t ea l lf o u rb e l ls t a t e s n o n d e s t r u c t i v e l y , b a s eo nan o n l i n e a ro p t i c a l e l e m e n t f o c kf i l t e r a n dt h es c h e m ec a nb eg e n e r a l i z e dt o2 n - p a r t i t eg h zs t a t e s 0 ri tc a l lb eu s e dt od i s c r i m i n a t ea l lg h zs t a t e sd e s t r u c t i v e l y 中国科学技术大学博上学位论文 致谢 值此论文完成之际，作者谨向我的导师郭光灿教授表示衷心的感谢。五年中 从课题的入门、选题，到论文的撰写、完成，作者的每一点进步，无一不凝聚着 导师的悉o 指导和辛勤汗水。导师渊博的学识、缜密的思维、敏锐的物理直觉和 洞察力让学生终身受益；同时，导师严谨，求实的治学态度和宽容、豁达的待人 风范更是学生学习的楷模。 特别感谢史保森博士和江云坤博士对我的指导。他们广博的理论知识和精湛 的实验技术给作者留下了深刻的印象。 感谢韩正甫老师、段路明博士、周正威博士、张永生博士、刘金明和黄运锋 博士五年来一直给予我无私的帮助与启发。 在此，作者还要感谢实验室的肖金桂老师、金涛老师、叶淮老师和王涛老师。 没有他们在工作和生活上对我的关心与帮助，我就不可能完成这段的学习和工作 历程。 量子信息实验室不仅是一片培养造就人才的沃土，更是一个充满了良好的学 术氛固和团结友爱的集体。作者五年来的学习和工作，得到了来自这个大集体的 许多帮助。在此，特别感谢郭国平、项国勇、孙方稳、任希锋以及实验室的所有 成员。 最后，作者特别感谢我的家人和女友。他们的关爱与支持，既是我工作与学 习的后盾，也是我努力与奋斗的动力。 中国科学技术大学博上学位论义 第一章绪论 二十世纪初，物理学迎来了两场划时代的革命相对论和量子力学的诞 生。这两大理论的出现，从科学上解释了一系列经典物理能力之外的问题和现象， 从宏观和微观两个方面使人类对自然界的认识产生了巨大的飞跃，进一步的提高 了人类自身的世界观和认识论，并且推动了一系列新兴学科的产生与发展。 迄今为止，很多微观世界的物理现象都可以在量子力学的理论框架内得到完 美的解释，同时基于量子力学的些预言也在实验中得以验证。从理论的角 度，量子力学在物理上合理地解释了原子的内部结构、能级分立、金属的光电效 应等现象；在化学上圆满地解释了元素周期表的结构，预言了新元素的存在，并 成功地解释了化学键的机理，揭开了物质属性之谜。从应用的角度，基于量子力 学原理的扫瞄隧道显微镜使人类真正“触摸”并控制单个的原子、分子；核磁共 振技术己成为生物、医学必不可少的检测工具，关系着人类的健康与生命；以激 光和光电子技术为代表的新型通讯网络f 逐步覆盖地球的每个角落，在当今信息 社会中担当着重要的桥梁与纽带；而近十年才蓬勃发展起来的量子信息科学与技 术将更进一步向人们显示出量子力学的魔力所在 2 。 以上种种，都源于量子力学理论的神奇，以至于部分量子力学的创建者们都 无法全部理解与接受。这里，我们首先简要的归纳一下量子力学理论的主要公理 3 】。 ( 1 ) 任何一个物理体系都可以用一个量子态来对应，该体系的所有性质都包含 在其量子态描述之中；量子态本身可以表示成h i l b e r t 空间中的矢量i y ) ( 2 ) 任何物理上有意义的物理量( 即可观测力学量) 都对应于该体系h i l b e r t 空间上的一个厄米算符a ；每个算符都有其一系列的本征值a 和相应的本 征态l f ) ( f _ 1 , 2 ，) ( 3 ) 物理体系的演化过程都是其量子态l ) 在其哈密顿量作用下进行的，且满 中国科学技术大学博士学位论文 足s c h 而d 证g e r 运动方程旃昙f 矿( f ) ) = 叫缈p ) ) ( 4 ) 对体系l 进行可观测力学量a 的测量，实际上都是以一定的概率p 。使体 系塌缩到该力学量的某个本征态上协，得到相应的一个本征值结果a ， 其中p = k 4 妒) 1 2 ；对相同体系进行多次测量，其平均结果 ( 彳) = q ( 矿f f ) ( f f 矿) = p 。q ( 5 ) 另外，对同一体系的不同力学量进行测量，其结果必须满足不确定性原理， 即：( ( 似) 2 ) ( ( 曲) 2 ) 堡垒芋芝，其中( ( 鲋) ：) 、( ( 衄) ：) 表示力学量a 、b 的 测量方差，鲋= 彳一( 彳) ，衄= 8 - ( 8 ，n ，b 】= a b 一删是a 和b 的对易 子。 显然，( 4 ) 和( 5 ) 表明，对物理体系测量的结果必然存在着一定的统计分 布，这种统计分布源于种原则上的不确定性，并不能以人的意志而消除或者改 变，这与经典物理中的每个物理量原则上都可以严格确定和测量不同，与经典统 计力学中的统计分布也有着本质的差别。这样，量子力学的理论框架无法满足人 类“全面”地认识和控制自然的目的。于是，基于量子力学原理，人们提出了一 些看上去有悖常理的佯谬，其中最著名的就是e i n s t e i n 等人1 9 3 5 年给出的 e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) 佯谬【4 】，即从局域的物理实在的角度量子力学 是不完备的。很多人都无法理解和接受量子力学，部分科学家试图寻找一种新的 具有完全确定性的理论来完善量子力学，主要是采取引入一些新的变量来消除其 不确定性，即隐变量理论。 由于在隐变量理论中新引入的变量没有其物理上的对应，无法在具体的体系 上进行测量，长期以来，隐变量理论与量子力学之争始终无法得以检验。直到 1 9 6 4 年，b e l l 由局域实在论的隐变量理论推导出的基于b e l l 不等式的b e l l 定理 【5 】：若真实的物理体系满足局域实在论的隐变量理论，则对于类特定的测量， 其统计结果必然满足b e l l 不等式；若满足量子力学理论，则对于特殊体系而言 其结果必然违背该不等式。这样，人们就可以从实验上检验隐变量理论与量子力 学中哪个正确了。到目前为止，物理学家们已进行了多次b e l l 不等式的验证， 所有的实验结果【6 - 1 4 都表明：量子力学是正确的，局域实在隐变量理论的预言 中国科学技术大学博士学位论文 是和实际的实验结果相悖的。 另一个重要的隐变量理论是环境无关的隐变量理论。1 9 6 7 年由g l e a s o n 定理 15 导出k o c h e n s p e c k e r 定理【1 6 】：对于一组特定的投影测量算符，无法对其进 行同时满足环境无关的隐变量理论和量子力学理论的赋值。 本章将主要从理论的角度讨论量子测量结果如何与隐变量理论相违背的。在 接下来的几节中，我们将简要回顾一下e p r 佯谬、基于不等式的b e l l 定理和 k o c h e n - s p e c k e r 定理，最后再讨论一下b e l l 态的量子测量问题。 1 1 e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n 佯谬 位置动量的e p r 佯谬 1 9 3 5 年，e i n s t e i n 、p o d o l s k y 和r o s e n 联合在p h y s r e v 上发表文章质疑量子 力学的完备性，这就是有名的e p r 佯谬 4 。下面我们将先介绍一下这个问题。 首先，e i n s t e i n 等认为，任何描述客观世界的物理理论都必须满足如下三个 条件： ( a ) 完备性条件：物理实在的每一个元素都必须在这个物理理论中有它的 对应： ( b ) 物理实在判据：要是对于一个体系没有任何干扰，我们能够确定地预 测( 即几率等于1 ) 一个物理量的值，那么必定存在着一个物理实在的元素对应 于这一物理量； ( c ) 局域因果性条件：如果两次测量( 或者一般地说，两个事件) 之间的 四维时空间隔是类空的，那么两者之间就相互无关，彼此不存在因果关系。 以单个粒子的动量和位置两个物理量为例。根据量子力学的不确定原理，对 于动量的本征态，动量满足物理实在的判据而位置不满足；相反的，对于位置的 本征态，动量不满足该判据而位置满足。显然，两者无法同时满足物理实在的判 据。一般的可以得出： ( b ) 当两个物理量的算符不对易时，这两个物理量无法同时满足物理实在 的判据。 接着，文章假定了两个粒子处于如下的量子态中： 4 中国科学技术大学博士学位论文 邯删= e ) 【p 【f 等( x t - - x 2 + x o ) n d p ( 1 1 ) 这在量子力学框架中是允许的。 根据量子力学的公设( 4 ) ，当对粒子1 进行动量的测量时，该粒子将塌缩到 动量的某个本征态u p ( 而) = e x p f 等p 】上，其本征值为p ；则粒子2 也将被塌 缩到动量本征态y ，( x ：) = e x p 【一i 2 ，r r 、x ：一x o ) p j x ，本征值为一p ，而且这个本征 值不依赖于是否对粒子2 进行了测量( 干扰) ，仅决定于粒子1 的测量结果。反 过来，当对粒子2 进行动量测量时，若其塌缩到本征值为p 的本征态 p ( x 2 ) = e x p 【f 孚彤：】，则粒子l 必然被塌缩到动量本征态 “，( 工1 ) = e x p 卜i 2 ，7 r 、一十) p 】上，相应的本征值为一p ，则仅取决于对粒子2 的 测量结果。 同样的，若对粒子1 进行位置测量时，它将塌缩到位置的某个本征态 v ，( 一) = 8 ( x 一x ) ，其本征值为x ；则粒子2 将塌缩至本征态 仇( 工：) = h s ( x 一如+ x o ) ，其本征值+ x 不依赖于对粒子2 的测量。反过来，若 对粒子2 进行位置测量时，它将塌缩到位置的某个本征态吼( x ：) = 8 ( x ：- x ) ，其 本征值为x ；则粒子l 将塌缩至本征态v ，( x ，) = h s ( x 。一x + ) ，且其本征值为 x x 。仅取决于对粒子2 的测量结果。 若两个粒子之间的距离足够远，两者测量事件之间的时空间隔为类空的，根 据局域因果性，两者之间没有因果关系，即：每个粒子的动量和位置都可以不依 赖于对该粒子的测量而1 0 0 的确定，则根据物理实在的判据( b ) ，这些物理量 都是物理实在的元素。而另一方面，根据( b ) ，同一粒子的动量和位置不可对 易，不能同时成为物理实在。则对于态( 1 - 1 ) ，量子力学无法满足完备性判据( a ) 。 据此，e i n s t e i n 等得出：关于物理实在的量子力学描述是不完备的。 b o h m 的简化 上述e p r 佯谬是采用了位置和动量进行描述的。1 9 5 1 年，b o h m 给出了其 另一种更加简单的表述 1 7 】。 中国科学技术大学博士学位论文 考虑两个1 ，2 自旋的粒子a 和b 处于如f 总臼旋为零的量子态： 邶：击( 上) 。一1 、) 。) ( 1 - 2 ) 其中 t ) 4 山) ) 表示粒子的自旋方向沿z 轴朝上( 下) 的态，即p a u l i 算符吒的本 征值为+ 1 ( 1 ) 的本征态，t 卜) = + 卜) b 卜) = _ ij ，) ) 。 现分别对两个粒子进行三个p a u l i 算符仃，、盯一盯：的自旋测量，即测量其 自旋方向沿x 、y 、z 轴朝上或者朝下，用x 、y 、z 分别表示其测量结果，允许 值为+ 1 或1 。若对粒子1 进行盯：测量时，如果结果为毛= + l ( - 1 ) ，则必然可以 得出粒子2 有z 2 = - 1 ( + 1 ) ，且此结果不以是否对粒子2 进行仃：测量而改变。 即粒子2 的算符( 物理量) 盯：的值可以不依赖于对该粒子的测量而( 根据粒子1 的测量结果) 1 0 0 的确定：反之亦然。同样的，若进行o x 或盯。测量，也会得到 相同的结论。实际上，对该体系进行任意方向j i 的自旋测量 = 元矛= 以盯，q - n j , o ，+ 月：o - z ，均有 跟2 - - ? 2 ( 1 3 ) 又根据局域因果性( c ) ，当两个粒子之间的距离足够远，两个测量事件的时 空间隔为类空的时候，两个测量之间将不会有任何因果关系，根据局域因果性， 两个粒子的盯。、盯，盯算符都可以不依赖予自身的测量而1 0 0 的确定，则由 物理实在的判据，两个粒子的盯。、盯，、仃：算符都是物理实在的元素。而另一方 面，同一粒子的三个p a u l i 算符相互之间不对易，根据( b ) ，它们不可能同时成 为物理实在。因此，对态( 1 - 2 ) 的量子力学解释也无法满足完备性判据( a ) 。 至此，可以从两个例子证明，量子力学在条件( a - c ) 下是不完备的，而完 备性长期以来已经根深蒂固的成为人类认识自然的追求和目标之一，因此，以 e i n s t e i n 等人为代表的部分科学家认为：应该存在一种更加完备的理论来替代量 子力学【1 8 。 中国科学技术大学博士学位论文 隐变量理论? 前面曾经提到，量子力学测量的随机性导致人们无法准确的预言量子体系的 性质，而只能得出加权平均的期望值。在经典统计物理中，也存在相似的情形， 但经典物理中的统计平均是源于多个不同特性的体系都存在一定的可能性，而对 于每个个体而言，其各项特性都是确定的，不会因为测量手段的变化而变化。那 么，如果能够在量子体系中引入同样的办法消除这种随机性，是否就可以向经典 物理那样全面地揭示物理系统的所有性质特征呢? 即，量子系统是否可以解释为 具有确定性质的不同个体之间的经典统计叠加呢? 假如真的如此，显然，现有量 子力学对物理体系的描述无法满足要求，必须引入新的参数才能完成对物理体系 的各种性质完全确定，这就是隐变量理论的起源。 隐变量理论的产生是试图更加完备地确定物理体系的各项性质。其中比较有 代表性的主要有两种：基于局域实在论( l o c a lr e a l i s m ) 的隐变量理论和环境无 关( n o n c o n t e x t u a l ) 的隐变量理论。由于隐变量理论是描述假想中的各种性质 全部确定的体系，无法在现有的实验中进行观测与验证。因此，尽管“隐变量理 论与量子力学理论孰是孰非”直是物理学家关心的问题，但这一问题一直无法 解答。 直到上个世纪6 0 年代中期，人们才陆续发现这两类隐变量理论与量子力学 在现有测量中可能会产生的差异。1 9 6 4 年b e l l 根据局域实在论的隐变量理论导 出了著名的b e l l 不等式 5 】；1 9 6 6 7 年，b e l l 以及k o c h e n 和s p e c k e r 各自提出 了针对环境无关隐变量理论的k o c h e n s p e c k e r 定1 里 1 9 ，1 5 。在接下来的两小节 中，我们将分别对这两个定理加以介绍。 1 2b e l l 不等式 在第一节e p r 佯谬中，我们提到的局域因果性原理和物理实在判据，两者 联合起来就构成了局域实在论。由于量子力学在满足局域实在论时无法满足完备 性，部分科学家便试图使用基于局域实在论的隐变量理论重新解释所有的现象。 那么，这种解释是否可行，能否重新解释所有真实的物理体系? b e l l 通过其b e l l 不等式的证明告诉人们，答案是否定的。 中国科学技术大学博士学位论文 b e l l 不等式 1 9 6 4 年b e l l 根据局域实在论和隐变量的假定导出b e l l 不等式 5 卜一所有可 以用上述假定解释的物理体系，其特定的测量结果都必须遵守该不等式：而部分 量子力学所允许的体系却是违背该不等式的。这就是b e l l 定理。若在实验上可 以观测到这种违背，则可以说明局域实在论的隐变量理论无法描述现实物理体 系，量子力学描述是正确的。具体的证明过程如下f 5 ，2 0 。 假设存在基于局域实在论的隐变量理论，使用该理论描述的物理体系中的所 有局域实在元素都存在一个确定的值，即满足上节中的条件( b ) 。且这种确定 性是来源于具体的物理体系，其中包括可能的体系内部某些目前不为人知、甚至 于超出人类认识能力范围的某些自由度和规则。若体系局域实在论下存在多个物 理实在元素，当我们仅仅测量其中部分元素的时候，就不能只使用该部分元素的 值来表征整个体系。 对于式( 1 - 2 ) 所表示的量子体系，若只考虑粒子1 在矢量方向五、b 上的自 旋及粒子2 在矢量方向5 、孑上的自旋，当自旋与矢量同向时记其实在元素值 ( 巨( 厅) 、e ( 5 ) 、e 2 ( 舌) 、e 2 ( 5 ) ) 为+ 1 ，反向时为一1 。显然，上述四个物理实 在元素无法确切地表征整个复合体系，假设可以使用隐变量a 来表示其他所有物 理实在( 可能是可以测量而没有测量的，也可能是至今尚未为人类所知的某些规 则所确定的) ，且对于满足式( 1 - 2 ) 的量子态而言，该变量可能存在一定的允许 范围，即一定范围内a 所表征的体系对于上述四个物理实在元素均能给出相应的 结果，其取值仍为1 。又根据复变函数，a 的变化区间可以设为【o ，1 ，态( 1 - 2 ) 是该区间内隐变量a 所确定的物理体系以几率分布p ( a ) 的系综的统计平均。则 相应的，所考虑的体系四个实在元素的值也必须对统计分布p ( 五) 进行平均。 现考察处于类空间隔内该两粒子( 1 - 2 ) 的一对实在元素( e 。( 厅) 、易( 6 ) ) 之间的关联性，两者乘积的关联函数显然也必须对z 的分布加以平均： e 1 2 ( 厅，b ) = i 却( 旯) e i ( 面) e 2 ( 6 ) ( 1 - 4 ) 同样地，对( e 。( 厅) 、e 2 ( 孑) ) 、( e l ( 舌) 、e 2c g ) ) 和( e 。( 占) 、易( 孑) ) 也有相应 的关联函数：e 2c a ，i ) 、蜀2 ( 6 ，b ) 和e 1 , 2 ( 6 ，芒) 。其中，由性质( 1 - 3 ) 得， 8 中国科学技术大学博士学位论文 的关联函数：e i , 2 ( a ，孑) 、e l , 2 ( 舌，舌) 和e i , 2 ( 云，i ) 。其中，由性质( i - 3 ) 得， 巨( 云，五) ；一e 2 ( 舌，五) 故e 。( 云，舌) = 一1 。贝0 l e 。，：( a ，5 ) 一e ：( 厅，i ) | - i 肛p ( 五) 陋。( 五，旯) 岛( 舌，五) 一e ( 厅，a ) e ( 弓，五) 】 兰s d , t p ( 五i e - ( 五，五) e ：( 5 ， ) 一e ( 五，a ) e ：( 亭，五) l = f 以p 以1 局( 厅，a ) e ：( 云，旯) + e 。( a ，兄) e ：( 于，五) e 。( 舌，旯) 易( 云，a = 肛p 以1 ( 厅，a ) e ：( i ，旯) 什+ e 。( 占，旯) ：( w ) i = 胁n l l + 巨( 舌，五) e ：( 孑，丑) l = 1 + e l 2 ( 云，i ) 由此，根据局域实在论可以得出，对于任何给定一组矢量方向厅、云、云，其相 应的物理实在元素构成的三组关联函数的统计期望值e ，。：( 五，舌) 、巨：( 舌，吞) 和 巨2 ( 石，手) 必然满足b e l l 不等式： i e 啦( 西，舌) 一e 啦( 厅，i ) 1 1 + e 。，：( i ，i ) ( i - 6 ) 另一方面，根据量子力学的测量公设( 4 ) ，关联函数e 擘( 厅，i ) 在量子力学 框架下的期望值为 e 髻( 舀，云) = u ( 甲一l 仁矛) 。$ 子k i 甲一) 啦= 一c 。s ( a “5 ) ( i - 7 ) 其中五n 云表示两矢量之间的夹角。同样也可以得到其他两个关联函数在量子力学 中的期望值e ( 舌，手) 和e 髻( 厅，i ) 。则相应的b e l l 不等式可以写成： 1 一c o s ( 五“6 ) + c o s ( a “5 ) i i c o s ( b “石) ( 1 8 ) 显然，当三个矢量之间夹角a 一云、云n 石和厅n i 分别为4 5 4 、4 5 。和9 0 。时，上式为 悸。卜譬一不拙 由此可以证明，对于处于式( 1 - 2 ) 的物理体系，特定的测量在量子力学理 论与基于局域实在论的隐变量理论下将给出不同的结果。这就是b e l l 理论。而 且这种统计性质可阻在实验中进行检验，这样b e l l 就第一次给出了一种检验隐 变量理论与量子力学孰是孰非的方法与判据。 9 中国科学技术大学博士学位论文 c h s h 不等式 b e l l 不等式后来又被不断推广 2 0 1 ，其中最为广泛使用的c l a u s e r 等人提出 的c h s h ( c l a u s e r - h o m e s h i m o n y - h o l t ) 不等式 2 1 。 考虑在实际的测量中，总是存在一定的误差与失误，因此导致实际测得的实 在元素的取值范围由理想的两个数 - 1 ，+ 1 ) 扩展为 1 ，+ 1 】区间，相应的： 一1 e 1 ( a ，五) e 2 ( 云，五) 1 ( 1 - 9 ) 则与上面( 1 - 5 ) 过程类似的有 l e l d a ，云) 一e 1 ：( 五，d 1 = i j 坳( 2 ) k ( 五，a ) 易( 云，a ) 一巨( 石，a ) - e ：( 厅，a ) 】 = lf 叔p ) k ( 厅，五) ：巧，2 ) - i - e i ( 厅，五) e l ( 7 2 ，) e 晒，五) 最( 以旯) v - e 。( a ，a ) e ( 于，旯) e 2 ( 云，五) e 2 ( 孑，兄) 一e l ( a ，旯) e 2 ( d ，五) 】 = 1 d 2 p ( 2 ) e ( 五，丑) 易( 云，a ) 0 e i ( i ，五) e 2 ( 孑，兄) j f d 2 p ( 2 ) e , ( 五，2 ) g ( j ，a ) l 巨( 舌，丑) - e 2 ( c ，旯) j ( 1 - 1 0 ) p 却( 五) 陋( 厅，五) 丘( 占，z ) l l l + - e l ( e ，五) t 巨( j ，a ) l + 肛p ( 丑) 陬厅，a ) e 2 ( 孑，砷e 1 ( 于，五) e ：( 舌，五) l j d 2 p ( a ) l l + e ，( i ，旯) e ：( 孑，a ) l + s d a p ( 1 ) l l + e 。( i ，五) e ：( 云，旯) f ：2 k ：( j ，孑) + e 1 ，：( i ，别 得c h s h 不等式： l s ：l 暑l 巨，2 ( 口，6 ) + 占1 2 p ，6 ) 一e i , 2 ( 岛d ) + e l , 2 ( g d ) f 2 。态( 1 - 2 ) 具有最大的非局域性质，称为最大纠缠态( 或e p r 态、b e l l 态) 。实际上，任何 非最大的纠缠态均可以违背c h s h 不等式。 2 2 另外，我们还可以看出，最初的b e l l 不等式实际上可以看成c h s h 不等式 的一个特例，在式( i l o ) 中取b = 于即可还原成为式( 1 6 ) 。 b e l l 不等式出现以来，人们进行了大量实验f 6 1 4 来检验量子力学与隐变量 理论。迄今为止，所有的实验都表明，真实世界中的物理体系是违背b e l l 不等 式的，即：量子力学是正确的，局域隐变量理论在现实中是不存在的。 b e l l 不等式不仅否定了局域隐变量理论，而且为量子纠缠的研究工具。近年 来，b e l l 不等式又被推广到多粒子体系【2 3 2 6 、多维体系 2 7 ，2 8 等更加复杂的物 理体系。其中，多粒子的b e l l 不等式更为多体纠缠及其结构的研究给出了有力 的工具。 1 3k o c h e n s p e e k e r 定理 在上节中b e l l 定理证明了，基于局域实在论的隐变量理论是不存在的，即 对于量子力学体系，无法在局域实在论下对每个实在元素都进行确定性的赋值。 实际上，对于量子力学体系，对一些特定集合中每个力学量都赋以确定值也是不 可能的，这就是k o c h e n s p c c k e r 定理。 赋值与环境无关 让我们回顾一下e i n s t e i n 等强调的实在论。 首先，实在论明确要求一个物理体系的每个实在元素都有一个值，这个值是 在任何时刻都存在的，在不受外界干扰的情况下是确定的。其次，实在论中还有 一个隐含的假定：各个物理量的取值之间的因果关系是独立于外界对系统的测量 的，即每个物理量的测量结果是独立于测量过程或测量环境的，是环境无关的。 而前文提到的局域因果性是这里的一种特殊情况即因为不同测量事件之间 为类空间隔，导致其相互之间没有因果关系。 若把实在论要求的可赋值性和环境无关性应用到量子力学框架中，就要求对 中国科学技术大学博士学位论文 于体系任何一组物理量a ，b ，c ，z ，必然存在某种方式给该集合中的每一个物理 量都赋以确定的值v ( 彳) ，v ( b ) ，v ( c ) ，v ( z ) 即存在一种环境无关的隐变量理 论可以描述该体系，能给每个力学量赋以确定值。 那么，这样一种环境无关的隐变量理论能否与量子力学理论相容呢? 即如果 一组物理量彳，b ，c 在量子理论中满足某种函数关系 f ( a ，b ，c _ ) = 0 ( 1 1 4 ) 则其在隐变量理论中相应的赋值v ( 爿) ，v ( b ) ，v ( c ) 是否也满足相同的函数关系 【2 9 ，3 0 厂( v ( 爿) ，v ( 曰) ，v ( c ) ) = o ( 1 1 5 ) 显然，如果( 1 1 4 ) 中的物理量a ，b ，c 两两之间都相互对易，那么按照不确定 性关系，可以存在这些算符的共同本征态。那么，如果把相应的共同本征态的本 征值看作其在隐变量理论中的赋值，则( 1 - 1 5 ) 能够成立。 v o nn e u m a n n 假定与g l e a s o n 定理 v o f in e u m a n n 试图将这个问题推广到更一般的情形【3 1 】。对于任何两个物理 量a 和b ，可以构造一个新的物理量c 满足f ( a ，b ，c ) s a + b c = 0 ，即 c = a + b( 1 1 6 ) 记a 和占的赋值为v ( a ) 和v ( 8 ) ，若隐变量理论成立，则相应的c 赋值为 v ( c ) = v ( 爿) + v ( b ) 若该系统的隐变量取值存在一定的范围 立，即 =