（概率论与数理统计专业论文）随机集与非线性数学期望.pdf

_ 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：至氖盘耍 日期：型! 主：堑蟹 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解il j 东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：釜篮玉互导师期：鲨! 呈：兰! 蟹 ， 叫j户 中文摘要 英文摘要 1 随机集 目录 1 1 波兰空问。 1 2 随机集简介 2随机集诱导的非线性期望 i i i i 1 l 2 7 2 1 容度和c h o q u e t 期望 7 2 2 随机集和容度的相兀关系8 2 3 随机集杓：有关容度的大数定律中的应用 1 7 3 有关9 - 期望的一些结论 2 3 3 1 倒向方程简介2 3 3 2g 期挈和俨概率2 5 3 3 9 = 七时的结论 2 7 参考文献 致谢 3 1 3 4 h lk， - - 吖j c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t e n g l i s ha b s t r a c t i i i i 1r a n d o ms e t s1 1 1p o l i s hs p a c e 1 1 2i n t r o d u c t i o nt or a n d o ms e t s 2 2n o n l i n e a re x p e c t a t i o n sv i ar a n d o ms e t s7 2 1 c a p a c i t ya n dc h o q u e te x p e c t a t i o n 7 2 2t h er e l a t i o t mb e t w e e nr a n d o ms e t sa n dc a p a c i t i 髑8 2 3t h ea p p l i c a t i o n so fr a n d o ms e t si nl a wo fl a r g en u m b e r s f o rc a p a c i t i e s 1 7 3t w or e s u l t sa b o u tg - e x p e c t a t i o nw h e n9 = k l z l2 3 3 1t h eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tb s d e s2 3 3 2 g - e x p e c t a t i o na n dg - p r o b a b i l i t y 2 5 3 3t i l er e s u l t sw h e ng = k l z l 2 7 r e f e r e n c e s a c k n o w l e d g e m e n t 3 1 3 4 j11i、 叶 叫l s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 随机集与非线性数学期望 魏轲 ( 山东人学数学学院，i i i 东济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 随机集可以看作是随机变量的扩展，与随机变量不同的是随机集把 。个点映射为。个集合。自从d e b r e u l l 0 1 ：d e m p s t e r l l lj ，h i l d e n b r a n d l l 7 ， k e n d a i l l 2 1 ，m a t h e r o n 2 5 等人的富自原创性的上作开始。有火随机集的理 论得到j ，j “泛的研究。应该说随机集的思怨源于一些经济n d 题现在集函 数的理沦已经在统计推断，数理金融。随j h l ) l 何方向等许多方向得到了广 泛的运片j 。 随机集和c h o q u e t 容度、c h o q u c t 期望有着密切的关系。给定个随机 集，我们可以构造出无穷交替容度和无穷衅调容度。通过这层关系我们 能够借助随机集的叮加性有效的解决非线性期颦一i 的些问题。1 3 1 就是一 个最好的例r ，n ：其中作者聪明地运用_ r 有关随机集的大数定律解决丫关 于容度的人数定律。 俨期望足另一个非常著名的非线巾l ：数学期望。它足在i e n 9 1 2 9 1 中提出来 的。9 期望有着很多良好的性质，与其他大部分非线性期望f h 比它有着 动态相容性，这让我们能够同时定义条件9 期蠼。夕- 期单与生成元之问的 关系也非常引入入胜。 木义丰要内容安排如下： 第一章简单介绍j ，仃芙随机集的丛奉概念和性质： s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 第二章，围绕随机集- 与- c h o q u e t 期望的关系进行展开，充分展示随机集有 趣的一面。特别是在该章的第三部分我们把1 3 l 中的方法运用到一类最大最 小期望上，对非线性n d 题进行了有效的探索； 第i 章，介绍了9 - 期望的相关概念，并给出一些结论。 关键词：随机集，容度，c h o q u e t 期望，9 - 期望 i i 1 p j h l ， s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s r ，a n d o ms e t sa n dn o n l i n e a r e x p e c ta t i o n s w 色ik e ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ：s h a n d o n gu n i v e r s i t y , 1 i n a n2 5 0 1 0 0 ：c h i n a ) ab s t r a c t ar a n d o ms e ti sas e t - v a l u e df u n c t i o nw h i c hm a p sap o i n tt oas e t w ec a ns c ci ta st h eg e n e r a l i z a t i o no fs t a n d a r dr a n d o mv a r i a b l e s t h et h 争 o r yo fr a n d o ms e t sh a sb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e ds i t t c et h eo r i g i n a lw o r k so f d e b r e u 1 0 d e m p s t e r 11 h i l d e n b r a n d 1 7 ，k e n d a l l 2 1 ，a n dm a t h e r o n 2 5 1 t h ei d e a so fr a n d o ms e t sa r o s ef r o mt h e e c o n o m i c a lp r o b l e m sa n dn o ws u c h s e t v a l u e df u n ( ：t i o l l sh a v eb e e ne m p l o y e di nm a n yd i f f e r e n tf i e h l ss u t ：ha st l i e s t a t i s t i c a li n f e r e n c e ，t n a t h e m a t i c a le c o l i o m i c s ，s t o c h a s t i cg e o m e t r ya n ds oo n t h e r ei sac l o s er e l a t i o l m h i pb e t w e e nr a n d o ms e t sa n dc h o q u e t c a p a c i - t i e sa n dc x p c c t a t i o l m f r o mar a i l d o l l ls e t w ec o nf o r n m l a t eao c a l t e r n a t i n g o ro o 一，乃d n d 芒。几ec a p a c i t y t h r o u g ht h i sr e l a t i o n s h i p w ec a i ls o l v es o l n en o n l i n e a rp r o b l e m sb e a u t i f u l b rb e c a u s eo ft h ea d d e df l e x i b i l i t yo fr a n d o ms e t s t h eb e s te x a m p l ec o m e sf r o m1 2 3 ii nw h i c hr a n d o ms e t sp l a ya ni m p o r t a n t r o l ei nt h ep r o o fo fs t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sf o rc a p a c i t i e s g - e x p e c t a t i o ni sa n o t h e rf a m o u sn o n l i n e a re x p t 轮t a t i o nw h i c hh a sb c c l i i n t r o d u c e db yp e n g 2 9 i g - e x p e c t a t i o nh a sm a n yb e t t e rp r o p e r t i e s c o m - p a r e dw i t hs o m eo t h e rn o n l i n e a re x l ) c ：t a t i o n s ，t h ea d v a n ! a g eo fg - e x p e c t a t i o n i l l l s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s i si t sd y n a m i cp r o p e r t yw h i c he n a b l e su st od e f i n ec o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o n t h e r e l a t i o r m h i pb e t w e e ng - e x p e c t a t i o na n d t h eg e n e r a t o rm a k e sg - e x p e c t a t i o n e v e nm o r ea t t r a c t e d t h i sa r t i c l ei so r g a n i t _ e da sf o l l o w s i ns e c t i o n1 w ei n t r o d u c es o m e b a s i c ( t e f m i t i o m sa n dp r o p e r t i e sc o n t e n t i n ga b o u tr a n d o m s e t s i ns e c t i o n 2 ，w ec e n t e rt h er e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o ms e t sa n dc h o q u e te x p e c t a t i o n s t os h o wt h ei n t e r e s t i n ga n du s e f u ls i d e so fr a n d o ms e t s i ns e c t i o n3 ，w e i n t r o d u c ea n o t h e rf a m o u sn o n l i n e a re x p e c t a t i o n ：g - e x p e c t a t i o n a n dt h e n g i v es o m er e s u l t s k e y w o r d s ：r a n d o ms e t s ，c a p a c i t y ，c h o q u e te x p e c t a t i o n ，g - e x p e c t a t i o n i v l k 、l l s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 1r a n d o ms e t s 1 1p o l i s hs p a c e l e teb eap o l i s hs p a c e ，i e t h ec o m p l e t ea n ds e p a r a b l em e t r i cs p a c e d e n o t eb y6 ( e ) t h eb o r e l 仃- a l g e b r ao fe b yj l ca n d9w er e p r e s e n ta l lt h e n o n e m p t yc o m p a c ts u b s e t sa n do p e ns u b s e t so fer e s p e c t i v e l y f o rt w on o n e m p t ys u b s e t sc la n dc 2o fe ，t i mh a u s d o r f fd i s t a n t - eo f t l l e l l li sd e f i n e r la s ：。 d ( c i ，q ) = i n f a 0 ：c lcc 2 + a b ，cc 1 + a b ) ， d ( c l 如) = m a x ( 。m f a “x 。r a 。f i 。n 。d ( ( 。l c 2 ) ，c 2 m f a 叻x 。r a 。i 。n d ( c i ，c 2 ) ) h e r eb 谤t h ec l o s e du n i tb a l l a n dt h e a d d i t i o na n ds c a l a rm u l t i p l i c a t i o no f s ( - t sa r c ( 1 f i l l t 、1l l s u a l l 拶 a n d c l + 岛= c 1 + c 2 ：c l c 1 ，c 2 c 2 ) a r ? = a ，：c c w ed e n o t eb yi i c l lt h ed i s t a n c ed ( c o ) ，w h i c hbe q u a lt o s u p l l c l i ：c c u t t l e rt h eh a u 嫩i o r f fd i s t a n c ew cl l j _ t v e ： l e m m a1 1 ( d c b r e u l1 0 ) i fei sap o l i s hs p a c e ，j i ci sa l s oap o l i s hs p a c e f u r t h e r m o r ei fei sc o m p a c t s oi s 咒 t h ef i r s td e f i n i t i o ni sl 孔s 竹d0 1 1th a tei sav e c t o rs p a c e a n dt h et w oa r ee q u i v a l e n tt o e 地c ho t h e ru n d e rt h i sc o n d i t i o n i nt h i sa r t i c l ew eu s et h es e c o n do n eb e c a u s ew nd on o t a s s l l i eei sav e c ! o rs p a c ei m to n l yap o l i s hs p a c e j s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s d e n o t eb yb ( i c ) t h eb o r e l 仃a l g e b r ao n 瓦a c c o r d i n gt oa l lu n p u b l i s h e d t h e o r e mo fd u b i n sa n do r n s t e i n ，w eh a v e ： l e m m a1 2 召( 瓦) = 盯( a ，：kca i c g ) = 仃( k 咒：kng o c e a ) l e t 朋b et h es e to fa l lb o r e lp r o b a b i l i t ym e a s u r e sp ：b ( e ) o 【0 ，l j e n d o w e dw i t haw e a k 奉t o p o l o k yi n d u c e db yt h eb o u n d e dc o n t i n u o u sf u n e t i o , m o ne ( s e e1 1 4 1 ) 1 2i n t r o d u c t i o nt or a n d o ms e t s d e f i n i t i o n1 1 ( c o r r e s p o n d e n c e s ) l e t ( s2 ，厂，p ) b ean o n a t o m i ea n d c o m p l e t ep r o b a b i l i t ys p a c e ac o r r e s p o n d e n c ef ：qj 疋i sam u l t i v a l u e d n m p p i n gd e f i n x to rs2a n dt a k i n gv a l u e si n 瓦 r e m a r k 【1 ) h e r ew ei l s e ”j ”i n s t e a do f ”o ”t od i f f e r e n t i a t et h e , m , m l s i u g l e - v a l u e df u n c t i o n s ( 2 ) i n d e e d t h en o l , a t o m i ca n dc o m p l e t ep r o p c r t yo ft h ep r o b a b i l i t y s 1 ) a c e 长n o tn ( u 矬s a r i l yu l ( _ ! 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