（光学专业论文）一种新型成像系统及回归反射材料的研究.pdf

摘要 梯度折射率( g r a d i e n ti n d e x ，g r i n ) 透镜及其阵列是一类薪型光学器件， 具有简单的几何形状，主要依靠介质特殊的非均匀折射率分白以实现其各种光学 功能。因其有体积小、光路短、重量轻、性能优越、易于批量生产和便于集成等 优点，在微小光学、集成光学和光通讯中有着诱人的应用前景，现已受到广泛地 重视。 本工作从梯度折射率介质光学的基本理论出发，对轴向梯度介质和球对称 g r i n 微球透镜的光学性能进行了系统的分析。在此基础上着重研究了广义 l u n e b u r g 透镜理论模型成像的优越性和从技术上实现它的根本困难，设计了一 种由广义l u n e b u r g 透镜固态核和一对轴向g r i n 平板所组成的锐聚焦成像补偿系 统，并对其进行了详细的理论分析。论文的后部分提出了一种用具有双层梯度结 构的球对称g r i n 微球回归反射表面材料；研究分析的结果证明，此类回归反射 表面材料性能十分优越。 本论文主要内容如下： 第一章：概述了梯度折射率光学、微小光学、并对本课题研究的内容以及研 究的意义作了简要的阐述。 第二章：介绍了轴向梯度介质的基本方程及轴向梯度折射率平板的特性。 第三章：阐述了一般g r i n 球透镜的基础理论及l u n e b u r g 透镜、m a x w e l l 鱼 眼微球透镜的基本理论与光学性能。 第四章：设计了一种锐聚焦成像系统并对其性质进行了分析。 第五章：介绍了回归反射的概念、回归反射材料的现状；研究了双层梯度结 构的球对称g r i n 微球回归反射性能。 第六章：归纳全文，对本课题研究所取得的成绩，存在的问题和下一步要做 的工作做一总结。 关键词： 。 梯度折射率微球透镜梯度折射率平板广义l u n e b r u g 透镜g a x w e l l 鱼眼透 镜成像回归反射 a b s t r a c t m i c r o l e n sw i t has p h e r i c a lg r a d i e n ti n d e x ( g r i n ) i san e wk i n do f o p t i c a ld e v i c e t h e i ro p t i c a lp r o p e r t i e sa r ec h i e f l yd e p e n d i n go nt h e i r n o n u n i f o r mi n d e xd i s t r i b u t i o n s t h e r ea r em a n ym e r i t sa b o u tt h e m i th a s s u c ha d v a n t a g e s s i m p l eg e o m e t r i cs h a p e ，s m a lv o l u m e ，s h o r to p ti c a p a t h ，l i g h t n e s si nw e i g h t 。e a s i n e s si np r o d u c i n gb yw h o l e s a l e 。e t c i t h a sg r e a tp o t e n t i a l i t i e si ns u c hf i e l d sa s m i c r o o p t i c s ，i n t e g r a t e d o p t i c sa n do p t i c sc o m u n i c a t i o n f i r s t l y ，b a s e do nt h eb a s i ct h e o r yo fg r i no p t i c s ，t h eo p t i c a le f f e c t s o fg r i nm e d i u ma l o n ga na x i sa n dt h es p h e r i c a ls y m m e t r yg r i nm i c r o s p h e r e l e n sw e r ea n a l y z e ds y s t e m a t i c a l l y t h e no f ft h eb a s eo fi t ，t h ea d v a n t a g e s o fi m a g i n ga b o u tg e n e r a l i z e dl u n e b u r gl e n sw e r es t u d i e da n dt h eb a s i c d i f f i c u l t i e si n m a k i n g i tf r o mt h es i d e o ft e c h n o l o g yw e r e a n a l y z e d d e s i g n e dat y p eo fa c u t ef o c u s i n gi m a g i n gs y s t e mw h i c hw a sm a d e o fs o li dc o r eo fg e n e r a li z e dl u n e b u r gl e n sa n dap a i ro fg r i ns l a ba l o n g a na x i sw h i c hh a sac o m p e n s a t ee f f e c to nt h ei m a g i n go fs o li dc o r eo f g e n e r a li z e dl u n e b u r gl e n sa n dt h e o r e t i c a l l ya n a l y z e dt h ee f f e c t so ft h e s y s t e m f i n a l l yp u tf o r w a r dak i n do fs p h e r i c a ls y m m e t r yg r i nm i c r o s p h e r e w i t hd o u b l e 。l a y e rg r a d i e n t 。i n d e xm e d i u mw a su s e da sr e t r o - r e f l e c t i o n m a t e r i a lo nt h es u r f a c e t h r o u g ha n a l y z e di tt h e o r e t i c a l l y ，p r o v e dt h a t i th a sa d v a n t a g e sw h e nu s e da sr e t r o r e f l e c t i o nm a t e r i a lo nt h es u r f a c e m a i nc o n t e n t sa sf o l l o w e d ： c h a p t e r1 ：s i m p l yi n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo fg r a d i e n t i n d e x o p t i c s ，m i c r o o p t i c s b e s i d e s ，e l a b o r a t e dt h e c o n t e n t sa n d s i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c h c h a p t e r2 ：i n t r o d u c e dt h ee q u a t i o na b o u tg r a d i e n ti n d e xm e d i u ma n d t h ec h a r a c t e r i s t r i c sa b o u tg r a d i e n ti n d e xs l a ba l o n ga na x i s c h a p t e r3 ：e x p a t i a t e do nt h eb a s i ct h e o r yo ft h eg r i nm i c r os p h e r i c a l l e n sa n dl u n e b u r gl e n s ，m a x w e l lf i s h e y el e n s ，d e m o n s t r a t i n gt h e i r e x c e l1 e n to p t i c a lp r o p e r t i e s c h a p t e r4 ：at y p eo fa c u t ef o c u s i n gi m a g i n gs y s t e mw a sd e s i g n e da n d i t sc h a r a c t e r i s t r i c sw e r ea n a l y z e d c h a p t e r5 ：s i m p l yi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fr e t r o r e f l e c t i o n ，ak i n d o fs p h e r i c a ls y m m e t r yg r i nm i c r o s p h e r ew i t hd o u b l e l a y e rg r a d i e n t 。i n d e x m e d i u mu s e da sr e t r o r e f l e c t i o nm a t e r i a lo nt h es u r f a c ew a ss t u d i e d c h a p t e r 6 1s u 啪e du pt h ea c h i e v e m e n t sw eh a y em a d e ，t h ep r o b l e m s w h i c ha r es t i l le x i s t i n ga n dt h ew o r kw es h o u l dd oi nt h ef u t u r e k e yw o r d ： g r a d i e n ti n d e xm i c r o - s p h e r e 。l e n sg r i n 。s l a b g e n e r a l i z e dl u n b u r g l e n sm a x w e l lf i s h e y el e n si m a g i n gr e t r o r e f l e c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究王作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特剐加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得窕锯缓六孥或其他教育机拘 的学位或证书而使用过的材辫。与我一同_ t - 作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了啤确的说明并表示澍意。 学位论文作者签名 伤县塌 签字日期：彬若年产月r 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解燃学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部f 1 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查浏和 借闻。本人授权凌鼢以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：椽恩嘲 导师签名：g5 厶凡 签字日期：泐年岁月厂搿 签字日期：2 占年岁月l 口日 学位论文作者毕业去向：绎、辛斜寺友穴l 工作单位： 电话： 通讯地址：邮编 第一章引言 第一章引言 1 1 梯度折射率光学概述 2 0 世纪术，光学领域以其一系列崭新成就而为世人所注目，其中之一就是 得到迅速发展的梯度折射率光学。梯度折射率光学在材料制备、测试和理论研究 方面，尤其是以远距离通信、信息传感和成像为目的和应用方面显示出了广阔的 前景。 梯度折射率光学研究的对象是非均匀折射率介质中的光学现象。非均匀介质 中的光学现象在自然界中是一种普遍存在的客观物理现象，如大气层中出现的海 市蜃楼现象，日出日落时的太阳形状变化，都与介质分布的不均匀性有关。据研 究，人和一些动物眼睛的晶状体也具有梯度折射率。这种梯度变化的材料和晶状 体表面的非球面都有利于像差的校正。 1 8 5 4 年，麦克斯韦( m a x w e l l ) 提出了著名的“鱼眼透镜”0 1 。这种透镜实 际上是一种球对称折射率分布介质，它能把透镜内部的点无像散地成像到其共轭 点，人们称之为“绝对光学仪器”啪。1 9 0 5 年，伍德c r w w o o d ) 提出一种轴 对称二次方折射率分布“1 ，并获得一种梯度折射率分布的胶体棒。把它切成薄片 后，表面是平的，但也具有会聚和发散作用。尽管离实用化还有较大差距，但这 是首次实现了制作实实在在的梯度折射率材料，而不再是设想，它向人们展示了 梯度折射率特殊的光学性能，给人们留下了深刻的印象，引发了许多有益的理论 和实验研究1 9 4 4 年，鲁尼伯格( r k l u n e b u r g ) 对m a x w e l l 鱼眼透镜做了进一 步发展，使透镜外的物点可以无像散的成像到对应的像点嘲。使球对称折射率分 布大大向实用性方向发展迈进了一步。1 9 5 1 年，米卡良( a l m i k a e l i g a n ) 嘲 在微波领域的研究中，提出理想的轴对称折射率分布，可使子午面内的光线准确 地周期性会聚。梯度折射率光纤的传输性能大大优于阶跃光纤的传输性能，有力 地推动了光纤通信的快速发展。 但是，直到上个世纪6 0 年代末，人们通过离子交换技术，才在玻璃棒中首 次获得有实用价值的折射率渐变材料叫。在这之后随着非均匀介质中光传播规 律、光线追迹、成像及像差的研究、非均匀折射率材料及透镜的制作工艺探讨、 检测技术及器件应用研究的迅猛发展，在应用光学基础上发展了起来一门新的学 一种新型成像系统及回归反射材料的研究 科梯度折射率光学。 折射率分布的梯度形式主要有三种：球对称( 简称为球向) 分布、径向分白 和轴向分却( 即平面型分白) 。它们的折射率分布分别为离定点、定直线( 轴) 和定平面的距离的函数，等折射率面分别为球面、柱面和平面。 目前，梯度折射率光学器件已应用于很多重要领域“1 。光纤通信中所用到的 各种无源器件，如耦合器、分光器、分波器、光开关、波分复用器及复印机的小 型台式化、激光盘放像机、变折射率针状刚性内窥镜、变折射率常规用透镜和变 焦镜头等己广泛应用于医疗、工业诊断、安全检查部门等中。g r i n 光学诞生以 来受到国际学术界的高度重视，美国a p p l i e do p t i c s 杂志已将其列为一个栏 目，定期发表有关论文、交流信息，有力地推动了它的发展。9 0 年代我国中科 院西安光机所、安徽大学物理系、长春光机所等少数单位也在此领域开展了若干 工作，取得了一些积极成果。 1 2 微小光学的发展概述 微小光学是研究微米、亚微米级尺寸的光学元件( 包括光源、光波导和折射、 反射、衍射光学元件等) 的微加工技术及利用该元件实现光束的发射、聚焦、传 输、成像、分光、图象处理、光计算等系列功能的理论和技术的学科，是现代光 学的分支，是光学和微电子、微机械互相融合、渗透、交叉而形成的前沿学科。 微小光学的研究对象主要包括两大类：基于光的反射、折射原理制作的光学元件， 主要是微透镜及其列阵；基于光的衍射原理制作的光学元件，主要是衍射光学元 件。 从历史发展来看，随着产品体积缩小、重量减轻、可靠性提高、速度变快， 功能多样、成本下降，逐步形成- - ( 7 以研究、设计、制作微小器件和系统为主要 内容的新技术，称为“微工程”，在光学领域叫做“微小光学”。“微小光学” ( m i c r o o p t i c s ) 一词是日本电气公司内田祯二教授于1 9 8 1 年提出来的。1 9 8 3 年，日本出版了微小光学新闻，当时，微小光学主要研制自聚焦透镜和微型 普通透镜。随后，微小光学有很大的发展，自1 9 8 7 年日本发起召开第一届微小 光学国际会议以来，微小光学作为一个新的学科领域已经形成。另外，光学仪器 的微型化和微小光学系统的开发，特别是随着光信息处理和光计算技术的发展而 发展起来的微透镜阵列器件的应用，迫切要求光学元件的微型化、阵列化和集成 一2 一 第一牵引言 化。近年来关心此领域发展的学者逐渐增多，2 0 0 3 年9 月中国光学学会在云南 昆明召开第三届全国光子学学术会议也正式把微小光学列为一大分支予以重点 发展。 1 3 本课题研究内容及意义 本工作从梯度折射率介质光学的基本理论出发，对轴向梯度折射率平扳和球 对称g r i n 微球透镜的光学性能进行了系统的分析。在此基础上研究设计了一种 锐聚焦成像系统并对其性质进行了分析：研究分析了双层梯度结构的球对称g r i n 微球回归反射表面材料的性能，并与传统的均匀折射率玻璃微球回归反射材料的 性能作了比较，得出在一定的条件下双层梯度结构的球对称g r i n 微球回归反射 性能可以明显优于均匀折射率玻璃微球的回归反射性能的结论。 本工作是梯度折射率光学、微小光学和高分子g r i n 材料学这三方面研究工 作的交叉结合。结果具有一定的理论意义和较强的应用价值。 第二章轴向梯度介质的基本理论 第二章轴向梯度介质的基本理论 介质中折射率分布仅沿轴向连续变化者称轴向梯度折射率，其等折射率面 是垂直于光轴的平行平面系。这种梯度可用离子扩散等技术来实现。轴向梯度不 仅可在平板玻璃、薄膜或金属表面上形成轴向非均匀介质层以作为减反射涂层， 而且每一种具有球面的轴向梯度元件都等效于一种均匀介质制造的非球面元件。 轴向梯度介质可以使得光学系统的三级像差得到很好的校j 下，是用来解决光学系 统中球差和彗差出现矛盾的有效手段。如果把轴向梯度球面组件用于变焦距系 统，它将使该系统的质量大大提高。 2 1 轴向梯度介质中的光线方程【- 1 轴向梯度介质的折射率仅仅沿着光轴方向变化，在笛卡尔坐标系中，n 是 与x 和y 无关的函数，所以可写为n ( z 1 。由此可知，其光线方程可写为 竺o 出 嫂o d s d la n 出a z ( 2 1 ) 很显然，光学方向余弦尸、q 为常数，是沿轴光线不变量。若以e o 、q o 表 示某一点的光学方向余弦。那么任何位置，这条光线皆有p - e o ，q q o ，根据 光学方向余弦的定义 。 可以得到 其中l 斤( 1 + i 2 + 夕2 p 倥。万罢三 邸 出。墨凼 n 方鱼出 以 一4 一 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 22( 础一出妙一凼 阼 厅 - _ 啦 钔 勺 勺y + + 瞽 擎 + + 0 o 磁 砂 i 配一奄弛一砂 - - p q 一种新型成像系统及回归反射材科的研究 出兰如( 2 5 ) l 将式( 2 5 ) 代入式( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，并进行积分，得 石；b + p d z 。l ( 2 6 ) ，峨睦 式中积分常数由对应于r 、q 0 、l o 的点的位置坐标( x o ，y 。，z 。) 确定，而光学方向 余弦工由下式确定 l - n 2 ( z ) 一后一环】啦 ( 2 7 ) 因此，当已知光线的初始坐标( x o ，y 。，z o ) 和相应的光学方向余弦昂、q o ， 以及这种介质的轴向梯度函数，1 0 ) 时，就可以利用下面一组公式求得疗0 ) 介质中 光线沿轴传输到任意一点z 处时的空间位置和方向 z 一而+ p u j , d 工z - y - y o + o o j ? 叫肛2 q ) 一牙一掰】”2 2 8 p e o q 一( 2 0 对于轴向梯度光线公式中的积分，通常采用数值积分求解。但对于某些特殊的轴 向梯度则可以得到积分的解析表达式。 2 2 轴向梯度介质平板的特性 假定轴向梯度介质平板的两个边界分别是等折射率面n ( o ) 和n ( d ) 。 1 首先考虑将此轴向梯度平板置于空气或其他均匀介质之中。由于在平板内非 轴向光学方向余弦始终不变，p p o ，q - q o 。在两表面内侧必有 n ( d ) s i n 屯一n ( d ) l 乒- c o s 2 - 以2 ) 一工2 ) - p 2 ) + q 2 ) 一p 2 ( o ) + q 2 ( o ) 一疗( o ) s i n i o 第二章轴向梯度介质的摹本理论 杨一p 啪f d ，d 粤z y 一一。吖：高 上j 摊。) 么 尸夕 夕 d z 图2 1 轴向梯度平板中的光线传输性质 f i g 2 1t h ec h a r a c t e r i s t i c so fr a yt r a c k i ng r i ns l a ba l o n ga na x i s 2 当轴向梯度介质平板两侧的均匀介质不同时由( 2 9 ) 式可知 以入甜s i n f 入射- j l 出射s i n 屯射 ( 2 1 2 ) 有兰；掣。鳖( 2 1 3 ) s l n 射n a $ t 一6 一 一种新型陂像系统及回归反射材料的研究 此时，出射光束不再与入射光束同向，而产生一定偏折。 轴向梯度折射率介质平板的作用就如同两种相连的均匀介质厅入射和咒 j 射 的分界面对光线所产生的折射一样，只不过折射点的位置变化了 w - 瓜哥瓦哥- 厅可：南 他 由于在上面讨论中，没有指明轴向梯度函数的具体形式，因此，其性质是普 遍的，只要等折射率面垂直于光轴皆适用。由此我们可以得到这样一个推论：一 系列平行平面均匀介质平板紧紧贴( 或胶合) 在一起( 包括空气平板) ，不管各 个均匀介质平板的折射率如何，在任何一个平板内，其光线的方向只决定于这个 平板的折射率，有关系式 s i n i k ! 蔓s i n f 0 ( 2 1 5 ) h x 无论这个均匀介质平板堆如何，出射光线必然平行于入射光线，除非均匀介 质平板堆两侧的介质折射率不同。 由上面讨论看来，轴向梯度介质平板好像均匀介质平板一样，没有光焦度， 欲使通过这种介质的光线会聚或发散，则必须像均匀介质一样使界面为曲面，即 构成透镜。 ( 1 ) 对于垂直入射到轴向梯度平板的光线而言，由于昂- q ot o ，而工- x o ， y y o ，光线仍沿原来方向进行，即平行于光轴。但工- 打0 ) ，是变化的，它不 表明光线方向的变化，只表明光线在轴向梯度介质中传输速度的变化。 ( 2 ) 当光线斜入射到轴向梯度介质平板内时，尽管我们由公式可以看到非 轴向光学方向余弦不变，但随着轴向坐标的变化，折射率在逐渐变化，这就使光 线方向余弦c o s a - 啬和c o s p - 景s 成为z 的函数而变化，光线在介质内不作 直线行进。 当介质的折射率是沿轴递增时。显然沿着z 方向c o s c t 绝对值逐渐变小，光 线在介质中偏离原来的入射方向，有向光轴方向靠近的趋势，如图2 2 所示。但 光线不会产生拐点，因为只有在z 一* 时的极限情况下才为零。 第二章轴向梯度介质的基本理论 j ，二。 。 公一 幽2 2 折射率沿轴递增的光线偏离趋势 f i g 2 2t h ed e p a r t u r et r e n do fr a yt r a c kw i t ht h eg r a d i e n ti n d e x i n c r e a s i n ga l o n ga na x i s 当介质的折射率是沿轴递减时。沿着z 方向s a 的绝对值逐渐变大，介质 中的光线偏离原来的入射方向，有背离光轴的趋势，如图2 3 所示。当 c o s a 告1 时( 这只有在q o - o 的条件下才有可能发生) ，在折射率为n ( z ) 的 n l z l 面上光线存在拐点，然后折回，如图2 4 所示，这就是地球大气层中出现的奇幻 般的海市蜃楼现象的原因，在折射率沿轴递减介质中，最小折射率不能够小于1 。 一 口 f i 蜃23t h ed e p a r t u r et r e n do f r a yt r a c kw i t ht h eg r a d i e n t i n d e xi n c r e a s i n ga l o n ga na x i s 】一 ot 一 j ， i n ( z ，) d e , l 图“t f r 射率n ( z 。) - i 晶i 哟| i 潋挺随卿嚷 f i g 2 4t h er e t r a c i n go fr a yt r a c kw h e n n ( z p ) d e , i 第三章球梯度折射率透镜的基本理论 第三章球梯度折射率透镜的基本理论 在非均匀折射军分布介质中，光线传输遵循光线微分方程 丢( n 誓) 坷” - ， 其中所包含的n 代表光线经过点处的折射率分布，v h 代表光线经过点处的折射 率梯度，芦为光线经过点的位置矢量。折射率函数n 、珊及f 都是坐标的函数， 此方程是对弧长s 求微分的微分方程。 球梯度折射率器件是指折射率分布形式如nin ( r ) 的光学器件，介质中任一 点的折射率只是该点到某定点0 的距离的函数，介质内的等折射率面是以此定点 0 为球心的一簇同心球面。本章阐述球梯度介质中光线的传输规律以及 l u n e b u r g 透镜，m a x w e l l 鱼眼介质和m a x w e l l 鱼眼透镜的相关性质。 3 1 球对称梯度折射率分布介质中的光线轨迹及其特性“郇 1 设芦o ) 是某一光线上的点肘的位置矢量，并作为光线弧长s 的函数，则 辜，考虑矢量f 。，l 沿光线的变化，即 丢g x n s - ) 一塞心+ i x 丢o j ) ( 3 2 ) 我们注意到李i ，所以上式第一项为零。而由光线方程 车一一d f l v n ( 3 3 ) 出i 出 两边叉乘尹 ， 善一车1 尹v n x f ( 3 4 ) 出i 凼j 且因n 甩( ，) ，有珊三掣，于是v n x f 。0 ，所以求得( 3 2 ) 式第二项 。 r 口， 因此 丢( 玎；) t - v 刀x 芦- o 一9 一 ( 3 5 ) 一种新型成像系统及回归反射材料的研究 丢( - 脯) t0 ( 3 6 ) i n i - 常数 ( 3 7 ) 这个关系式表明球梯度介质内所有的光线都是平面曲线，各光线都处在过原 点的某一平面上，也就是说任何光线入射到球梯度介质后，其光线在该光线与 球对称中心构成的平面内传播，而不会离开这个平面。在一个光学系统中，一般 将与光轴处在一个平面内的光线定义为子午光线，其余光线均称为斜光线。对于 球对称梯度介质而言，过其球对称中心的直线均可认为是光轴，而任意的入射光 线均能找到一条光轴与其共面，即入射光线均为子午光线。因此球对称梯度分布 介质中不存在斜光线。 2 同时( 3 7 ) 式也表明沿每条光线有 n r s i n - e n o r os i n q b o ( 3 8 ) 式中母为位置矢量f 与光线上m 点处切线间的夹角( 如图3 1 所示) 。e 是常数， 是一个球梯度介质中沿光线不变量。它表明光线在这种介质中传播时折射率苊、 半径r 和西角的正弦之积是常数，这是推广到球对称非均匀介质中的斯奈尔定律。 图3 1 球对称介质中的光线 f i g 3 1t h er a yt r a c ki ns p h e r i c a ls y m m e t r yg r i nm e d i u m 因r s i n 驴表示原点到该切线的垂直距离d ，因此又可以说某点折射率与该 点处光线切线到原点距离乘积是一个常数，或者说是沿光线不变量。即 n d - _ l o d o - e ( 3 9 ) 这称为球梯度介质中光线的b o u g u e r 公式此公式可用于检验追迹的正确与否。 3 球梯度介质中的光线是平面曲线，今以f 表示其曲率矢量，即 。拿。与( 3 1 0 ) ko 一f ( ： 1 n ) 式中f 为光线上m 点处的单位主法线矢量。p 是曲率半径，利用这个关系式我 们改变光线微分方程的左边 丢( n 豢) 一罢罢十n 窘一罢i + n i d g ；忑d n ；+ n f c s 忑【”i j 。否石棚万。i n “i 5 忑n 破 ( 3 11 ) 因此由光线方程可以写出 丽- v n 一拿i( 3 1 2 ) 黜 今以f 标乘上式，且注意到f 的关系式( 3 1 0 ) 则有 i , t - 吉一f 。v n 雄 ( s - s ) 因p 总是正的，这表明沿着主法线前进时，折射率是递增的，光线弯向折射率高 的一边。这一点对于任何非均匀介质中的光线都是正确的。 4 在初等几何中，如果“8 ) 是一平面曲线的极坐标，则曲线上肘点的径矢 与其切线的夹角西由下式给出 将此式 对该式进行如下变化 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 晕两 咖 黼 嘶 s 月 一种新型成像系统及回归反射材料的研究 譬厢 砉；胁 ( 3 1 6 ) d o 三6 1 2 r 2 一e 2 乒1 毋 对其积分，有 川。+ 南 1 7 ) 这就是球梯度介质中的光线方程。式中e 为球梯度介质中的光学不变量，由光线 初始值，r o ，九确定。当以d 为参考半径时，o o - 0 。从该式可以看出，将 光线不变量e 和该介质的折射率分布函数栉带入积分式，如果由该积分式能求出 解析式，就可以求出任意r 处的光线位置。但是现实中只有有限的一些折射率 分布是可以写出解析表达式的，如m a x w e l l 鱼眼介质模型、l u n e b u r g 透镜模型等， 对于任意梯度分布的介质，则很难求出光线轨迹的解析表达式。此种情况下只有 借助数值计算的方法得到光线的轨迹，即光线追迹。 3 2l u n e b u r g 透镜中的光线轨迹理论【- 1 3 2 1 经典l u n e b u r g 透镜的基本理论 在梯度折射率光学里有一种独特的折射率分布l u n e b u r g 透镜，它的折 射率分布为 4 r ) 一 ( 3 1 8 ) 由此函数分布可知，这个球梯度介质的中心折射率为2 ，折射率随半径r 的 增加而减小。当r - a 时，折射率为1 。任一平行光束入射到这种梯度介质球都可 以会聚于介质表面上一点。对此，将从理论上加以严格推导证明。假设光线水平 入射到l u n e b u r g 透镜介质的点，如图3 2 所示。 点处的折射率为单位1 ，光线在该点的方向余弦不变。根据球梯度介质 光线特性公式( 3 8 ) ，此时沿光线不变量应为 第三章球梯度折射率透镜的基本理论 e - 叫( ) r 4s i n 妒, i - r , s i n # 。 ( 3 1 9 ) 将折射率分布函数( 3 1 8 ) 及光线不变量e 的表达式( 3 1 9 ) 代入球梯度介质的 光线方程( 3 1 7 ) 川。+ 南 中，有 7 图3 2l u n e b u r g 透镜的光线轨迹示意| ! | f i g 3 2t h er a yt r a c ki nl u n e b u r gl e n s ( 3 2 0 ) 令“。( 号) ，对上式进货变量代换，可得： 日。80一三sin九j：f；：；二南 3 2 1 ) 由该式可见： 2 u 3 一“一“2s i n 2 丸1 0( 3 2 2 ) 有不定解。这即表明原积分在某点处掣。现将( 3 2 2 ) 式变换一下，则 g r 有 2 u 一“2 一s i l l 2 屯。o - s i n 2 妒。) 一c 1 2 2 u + 1 ) 。c o s 2 屯一0 一1 ) 2 0 ( 3 2 3 ) 一种新型成像系统及回归反射材料的研究 “一l i c o s 丸l ( 3 2 4 ) 因为足极值半径，号c ，故驳l 一旧s 丸j ，结合“2 ( 丢) ，可知 ，口 - 函n 鲁 ( 3 2 5 ) 为奇异点。由于介质是对称的，光线是可逆的，可以判断出该奇异卢处于光线与 ，口的圆根交为另一点忍与只之间光线的中点位置，光线轨迹只只与只只关于点 对称。从只到只的径向量的转角以为 吃呵：石蔚 2 6 ) 噶- a r c s i n 降ul - 冬 c s 柳 于是由此可知，介质球与光线的两个交点最与只对介质中心的央角 二p ；2 0 ；咖。我们知道入射光线平行于光轴，在只点与o e , 夹角为丸，因 qpou 此可知光线与介质球的第二交点最必在光轴上，出射光线必平行于始径o e , ，就 像入射光线平行于末径0 冠一样。 因此，我们就得出这样一个结论：一束平行于光轴的光束，经过一个 l u n e b u r g 透镜之后，所有的光线都交于一点，这个焦点位于光轴与透镜另一侧 界面的交点处。这样我们就证明了l u n e b u r g 透镜可以使一束平行光束会聚于介 质界面上一点的结论。 3 2 2 广义l u n e b u r g 透镜的基本理论( 1 l 2 0 世纪5 0 年代以来，m o r g a n 等一批学者发展推广了r k l u n e b u r g 的思想， 研究了可以使空间一点s 理想地成像于另一点s7 、使两个给定的同心球面实现相 第三章球梯度折射率透镜的基本理论 互锐成像的一类透镜模型，它们被称为广义l u n e b u r g 透镜理论模型【1 “1 。图3 3 为一种可以使物距与像距相等的广义l u n e b u r g 透镜成像的示意图。 广义l u n e b u r g 透镜的折射率分布为 n ( r ) - 2 - e x p w ( p ，o + w ( p ， ) 一q ( p ) 】 ( 3 2 8 ) p n ( r ) r ( 3 2 9 ) 其中参数定义 p ( a 、- n ( a ) a - 1 ( 3 3 0 ) q 一瓤叫羔降 s ， ( p ，f ) 。! f 扎j p 其中最后这个函数的数值已由 ( 0 p 1 ，f z l ) ( 3 3 2 ) 胬3 3 广义l u n e b u r g 透镜锐成像示意图 f i g 3 3t h ea c u t ei m a g i n go fg e n e r a l i z e dl u n e b u r gl e n s 3 3m a x w e l l 鱼眼透镜的基本理论 3 3 1m a x w e l l 鱼眼介质的光学性质 m a x w e l l 鱼眼介质模型是少有的几种能用解析方法研究的球梯度折射率模 型，对它的光学性质的研究有着重要的理论意义，它的光学性质对研究其它球梯 度分布的介质有着重要的指导作用。 m a x w e l l 鱼眼介质模型“”是英国物理学家m a x w e l l 在1 8 5 4 年提出的一种球 对称g r i n 介质模型，其折射率分布函数为 生产撇 旦旦矿m 一 坐v唧一， 口一p ， 一种新型成像系统及回归反射材料的研究 嘶卜嚣 3 3 ) 式中n ( o ) 是球心处d 的折射率，r 是任一点至球心的径向距离，a 是折射率分伟 常数。这种介质分如理论上说没有边界，r m ，介质充满整个空问，所以任意 的空间点都将是此种介质内部的一点，其内部任意一点的折射率值是该点到介质 中心点( 折射率为n ( o ) 的点) 的距离r 的函数n ( r ) 。 1 光线在、i a x w e l l 鱼眼介质中的传播规律 设介质内有一光线，初始出发点为m 。纯，0 0 ) ，光线在介质内传播。在球对称 梯度折射率介质中，光线保持在光线与对称中心d 所构成的平面内传播，在此平 面内取对称中一o o 为原点建立极坐标系，光线方程可用式( 3 1 7 ) 表示为 8 - 吼+ 南 将折射率分布( 3 3 3 ) 式带入( 3 1 7 ) 式积分得 s i n ( 8 一t f ，卜而丽e 亍了r 2 - a z ( 3 3 4 ) 式中t f i 为积分常数。该式是m a x w e l l 鱼眼介质中光线的极坐标方程。 由m a x w e l l 鱼眼介质中的光线方程( 3 3 4 ) ，我们可以得到 ：二堡：生兰：l 堕二竺：常数c( 3 3 5 ) a r s i n ( o t f ，) p 即有 型 组。， ( 三) s m d 妒) r 4 0 s i n p 。一妒) 可以看出，当r - i a 2 ，8 - 玎+ 8 。时，无论t j ，值如何变化都毫成立的。这就表 明来自任意一点m 。( r o ，8 0 ) 的所有光线都交于该点与原点0 连线上的一点 m 。( 旦二，筇+ 0 0 ) ，显然m ，和m 。角差为玎，分别位于原点d 的两边，如图3 4 所示， 0 第三章球梯度折射率透镜的基本理论 而且 0 帆d m l 。r 0 生，4 2 ( 3 3 7 ) ，o 表明这两点到原点0 的距离之积为其介质分稚常数口的平方，两点的对应关系是 一种几何上的反演关系。 这就是说，在m a x w e l l 鱼眼介质内无论物点向什么方向发出的光，最终一定 会汇聚到与其对应的像点。在光学上常把任意一点可以无像散地成像到另点的 一、圈f - ，中心在。 圈3 4m a x w e l l 鱼眼中的光线 f i g 3 4t h er a yt r a c ki nm a x w e l lf i s h e y el e n s 性质称为“锐成像”。因此，m a x w e l l 鱼眼介质是能无像差成像的理想光学模型， 被人们称之为“绝对光学仪器”。 2 m a x w e l l 鱼眼介质模型中的光线方程的解 将( 3 3 4 ) 式改写为 周咿训。南华 。 ( 3 s 8 ) 为了与习惯保持一致，我们将此方程转换为笛卡尔坐标系下的形式。利用坐标变 换( 善- r c o s o ，y r s i n o ) ，该式左边 r s m ( o 一1 f r ) 一r s m o c o s 妒一r c o s o s i n 妒 ( 3 3 9 ) 而右边 一y c o s t f ，- x s m t f 一种新型成像系统及回归反射材料的研究 因此，整理后得到 ( 3 4 0 ) g + b s i n 妒) 2 + ( y b c o s t f ，) 2 - 口2 + 6 2 ( 3 4 1 ) 式中b 。a x a n 2 = _ ( o ) - 一4 e 2 ，该式是一个圆方程，它表示m a x w e l l 鱼眼介质中 的一般光线的轨迹都是一个圆。在特殊情况下，如光线过球心时，光线轨迹蜕化 为通过介质中心的直线。 3 3 2m a x w e i l 鱼眼球透镜 在本文中我们将折射率梯度分布函数为玎( r ) j 塑兰，有限半径 。 1 + ( 二) 2 。a ( r os4 ，l 。- 1 ) 的球形透镜称为m a x w e l l 鱼眼球透镜。如所研究的此类球透镜 半径很小( 在毫米量级) ，则可称为m a x w e l l 鱼眼微球透镜。 因前述m a x w e l l 鱼眼介质与这里的m a x w e i i 鱼眼球透镜具有相同的梯度折射 率分布函数，二者的不同点仅在于r 的取值是无限的还是有限的值。所以，前述 m a x w e l i 鱼眼介质的光线轨迹在m a x w e l l 鱼眼球透镜内部也同样适合。 o + b s i n t f - ) 2 + ( y b c o s 妒) 2 - a 2 + 6 2 ( 3 4 2 ) 其中各参量代表的物理量与上节中相同。 因为此种透镜的半径有限，所以光线在此种球透镜中的轨迹为一段圆弧，光 线一般没有条件传播成为一条封闭的圆而只能是圆弧。 华南等赢 第心帝一种锐聚q 成像系统的设汁j 分析 第四章种锐聚焦成像系统的设计与分析 人们总是希望光学仪器能够优质地成像，但传统的透镜总有像差存在，需要 对其校正。常用的校正方法是增加设计自由度，这又会使光学系统变得相当复杂。 因此，研制无像散而又简单的成像系统是学术界长期追求的目标之一。但锐聚焦 的光学系统理论模型少，且难以制作。 图4 1 为广义i j u n e b u r g 透镜的折射率分柿曲线示意图。可见，广义l u n e b u r g 透镜要求折射率从球心的1 5 左右连续地过渡到球表面的l ，这样的分白不仅要 求折射率差高达0 4 以上，而且要求介质折射率要从中心附近固态物质的折射率 连续过渡到球表面气态物质的折射率，即要求梯度折射率介质从透镜中心到表面 经历固态、液和气三种状态稳定存在，所以实际制作几乎是不可能的。 但是从目前的技术水平来看，广义l u n e b u r g 透镜中心区域的固态物质部分 相对比较容易实现。为讨论方便，本文把具有部分广义l u n e b u r g 透镜折射率分 白的，技术上可能实现的( 全固态) 微球透镜称为广义l u n e b u r g 透镜的固态核。 u 0 20 4 0 , 6 0 81 0 ， 幽4 1j + 义l u n e b u r g 透镜的折射率分布曲线 ( 透镜球二# 径! n 化为1 ) f i g 4 1t h ec u r v eo fg r a d i e n ti n d e xp r o f i l eo fg e n e r a l