（概率论与数理统计专业论文）非负na随机变量序列逆矩的极限性质.pdf

摘要 独立非负随机变量和的逆矩的讨论是很有意义的一个课题，在一定的条 件下文献中讨论了独立和的逆矩能否用矩的逆来近似的问题。文献【1 1 本质上 削弱了矩条件。本文把独立和推广到相依场合，特别讨论了负相协非负随机变 量序列，同时讨论了有期望但二阶矩不存在时的极限性质。 关键词：非负n a 随机变量；逆矩 a b s t r a c t i ti sa l li n t e r e s t e dp r o b l e mw h e nt h ei n v e r s em o m e n t so fn o n n e g a t i v ei n d e - p e n d e n ts u m m a t i o nc a nb ea p p r o x i m a t e db yt h ei n v e r s eo fm o m e n t so ft h e m i n t h es t r o n gm o m e n t sc o n d i t i o n s ，t h i sp r o b l e mi ss t u d i e di nt h er e f e r e n c e r e c e n t l y ， w u e t a 1 1 s i g n i f i c a n t l yi m p r o v e dt h e s em o m e n tc o n d i t i o n s ，i nt h i sp a p e r ，t h ei n - v e r s em o m e n t sa r ee x t e n d e df u r t h e rt ot h es u m m a t i o n so fn o n n e g a t i v en ar a n d o m v a r i a b l e s ，a n di t i sd i s c u s s e dw h e no n l yt h es e c o n dm o m e n te x i s t k e yw o r d s ：n o n n e g a t i v en ar a n d o mv a r i a b l e s ；i n v e r s em o m e n t s ；t a i l - t r u n c a t i o n i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：董签三鱼王 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 皿公开口保密( 年) 作者签名：丝鱼主 签字同期： 垫! 里：! ： 导师签各绍缒一 辩醐：牛4 第一章绪论 1 1 相关背景以及研究现状 在应用中我们需要计算如下形式的逆矩： e 南x ( 1 1 1 ) 8 + a 、7 其中x 为非负随机变量，o 0 ，口 0 比如g a r c i aa n dp a l a c i o s2 0 0 0 在研究n 维立 方体的随机游动的耦合( c o u p l i n g s ) 时，需要计算在x b ( n ，o 5 ) 时的逆矩 有关逆矩的研究有很多，我们做个简要介绍首先对正随机变量简单地应 用s c h w a r z 不等式就可以得至 j e ( 1 x ) 1 e x l e w ( 1 9 7 6 ) ；z a c k s ( 1 9 8 0 ) ；j o n e s ( 1 9 8 6 ) 推 广了上述方法，获得了更好的逆矩的上下界w o o f f ( 1 9 8 s ) ，p i t t e n g e r ( 1 9 9 0 ) 研究了 一种与分布无关的方法来估计逆矩的上下界，但是要求式中的a 为正整数这个 方法应用在s t e i n 估计和系统抽样贝叶斯事后分层但是在n 很大的时候，他们 无法得到更好的结果p i e g o r s c h ，c a s e l l a ( 1 9 8 5 ) 指出口不必为正整数。 对于某些特定的随机变量，能够精确计算它的逆矩比如二项分布随机变 量，泊松随机变量，超几何分布随机变量等等：这些随机变量在随机抽样，可靠性，生 存检验等领域有广泛的应用对于如何精确计算逆矩，通常是采用c h a o ，s t r a w d e r m a n 1 9 7 2 和c r e s s i e 等在1 9 8 1 年提出的利用矩母函数m x ( t ) 和逆矩关系式( 其中口为非 负整数) ，即： e 南】= z 0 。e 。m x ( - - t k ) e - “”d t ( 1 抛) 适当改变上述积分的顺序，可以得到另外一种表达形式： e 【打! 两】- 若可上t k - l e - t m x ( 一t ) d t ( 。) a d e l l 等在1 9 9 6 年给出了另外一种方法，当a 0 , k 是正整数，并且x 为非负随 机变量时，有如下的等式： e ( 老) kz 1 彬禹8 a - 1 l o g k - 1 5 ) d s ( 1 1 4 ) 第一章绪论 不管是用上述哪种形式，要精确计算出上述式子都不是件容易的事情，举例 来说，当x b ( 死，p ) 时，m x ( t ) = 【1 一p + p e 。卜一般只有在南= 1 的情况下才能得 出比较简洁的结果： e 【尚】= 赢b 【1 一( 1 一p ) n + 1 】 从上面的讨论可以看出，要精确计算逆矩并且得到简洁的结果几乎是件 不可能的事情 上面讨论的是随机变量的逆矩问题，通常我们研究独立随机变量序列的逆 矩问题，具体如下：设磊是非负随机变量序列，方差存在，记= 磊晶，其 = 1 中砩= v a r z i 在特定条件下，逆矩的阶由l ( a4 - e ) q 确定具体来说，国 内外有很多专家都在讨论在什么条件下，成立 e a4 - j ) 一口一 口+ 歪? j 0 一口，n 一。o ( 1 1 5 ) 其中a 0 和口 0 ，均为任意正实数本文中一d n ，是指c n 靠1 _ 1 上述关 系式，当不能精确求得它的口阶逆矩的时候，我们可以用它的q 阶矩的逆来 近似表示，这往往比较容易计算这个问题我们称之为逆矩问题 在特定的渐近正态条件下，g a r c i aa n dp a l a c i o s ( 2 0 0 1 ) 给出了逆矩的渐近 阶，但是很不幸的是k a l u s z k , ua n do k o l e w s k i ( 2 0 0 4 ) 指出在他们的假设条件下， 这个定理并不成立，后者在下述条件下证明了该式： ( i ) 口 3 ( 在i i d 情况下，q 4 ，) ， ( i i ) e 五。一。o ，e 露 o o ， ( i i i ) ( 厶。条件) e i 磊一e 磊l 。b 嚣一0 ，( c = 3 ) 2 0 0 7 年，胡舒合等【1 2 】将上述矩条件减弱为：e 繇 2 ， 最新的研究成果是吴铁肩，史晓平，缪柏其利用截尾的方法，本质上削弱了 矩的条件，具体的是： 定理1 1 1 记k ：萎五风，其中b ：量v a r z i 假设满足下面两个条件， i-l扛：l ( t ) ? e 矗一。o ，e 瑗 o 。，s u pe 五b n c 1 ， l 叩b n 】) 一0 ，n 0 0 2 第一章绪论 那么对于任意的实数a 0 和q 0 ，下式成立 e o + 】一a 一 口+ e ，一口，佗一o 。( 1 1 6 ) 上述研究结果都是在独立同分布随机变量和或者独立随机变量和情形下 成立的，如何推广到相依情形下，则是这篇文章所做的一些努力 逆矩问题出现在很多应用领域，比如它可以用在s t e i n 估计和系统抽样事 后分层( w o o f f ，1 9 8 5 ；p i t t e n g e r 1 9 9 0 ) ，以及用来评估估计的风险和检验的功效 ( m a r c i n i a ka n dw e s o l o w s k i ，1 9 9 9 ；f u j i o k a ，2 0 0 1 ) 另外，它们还出现在可靠性问 题( g u p t aa n da k m a n ，1 9 9 8 ) 和生存检验( m e n d e n h a l la n dl e h m a n ，1 9 6 0 ) ，保险 和金融数学( r a m s a y ，1 9 9 3 ) ，复杂系统( j u r l e w i c za n dw e r o n ，2 0 0 2 ) 等领域中 1 2 内容安排 第二章给出相关的概率不等式，这将会被应用到逆矩问题的证明中第三章 主要介绍研究逆矩极限性质的主要方法，最新的研究成果是吴铁肩，史晓平，缪 柏其的截尾方法，他们证明了独立和情形下逆矩的极限性质，本章主要介绍他 们的方法第四章主要介绍作者的主要研究内容，即有关非负负相协随机变量 序列的逆矩的极限性质 1 3 创新之处 本文将有关逆矩的渐近阶的结果推广到负相协随机变量序列( n a 序列) 的 情形从而扩展了该结果的应用范围具体来说，得到如下两个主要定理： 定理1 3 1 设磊是非负a 序列，e 锑 7 7 风】) 一0 ，n - + o o 则对于任意的实 数a 0 和a 0 ，( 1 1 5 ) 式成立 3 第一章绪论 对二阶矩不存在的非负n a 序列，我们也有相应的结果。设磊是非负 n a 序列，e z ； 。，1 r 2 记截尾方差霹= v a r z t i z i j ) n l = l 戳= 五磊，其中螈待定。 定理1 3 2 设1 r 2 ，若a 序列 磊) 满足如下条件： ( i ) e 磊c 2 ，并且 磊) 一致可积， ( i i ) 佗q e 磊岛 ( 乱) 设 ，。，m n c s n ( 2 - 6 ( 4 一 ，礼一1 2 雷几c 4 ， 其中0 0 。奄 p ( 1 塞x j l n l 列2e x p 一壶i 蔫r t x ) p ( 1 z ) 一芝万忑) ，= l 证明参见参考文献【1 6 】 6 第三章独立和情形下逆矩的极限性质 3 1 相关定理 逆矩问题的研究在最近取得了新的进展，最主要的成果就是吴铁肩，史晓 平，缪柏其等采用截尾的方法，大大削弱了有关矩的要求，获得如下的结果 1 】： 定理3 1 1 记；ez d b ，其中碟= v a r z i ，假设满足下面两个条件， i = 1i = l ( i ) ：e x n _ 0 0 ，e 穰 0 0 ，s u pe z b n a ， l 7 7 玩】) _ 0 ，n o o 那么对于任意的实数a 0 和q 0 ，下式成立 e a + x n j 吨一【g4 - e x n ) 一，住_ 0 0 。 ( 3 。1 1 ) 更进一步，如果只假定e z ； 0 0 , 1 r 2 ，记x 乏：萎磊鼠，其中 竹 = 1 霞= v a r z d z j 】) ，那么有如下定理： t = 1 定理3 1 2 如果对1 r 2 ，满足e 磊c 2 ，并且 磊) 一致可积，仡一1 e 磊 i = l 岛进一步假设对于满足螈_ 。o ，螈c s n 2 6 4 一r ) 的，成立馆一1 2 豆n c 4 ，其中0 0 用j e n s e n 不等式，有 因此 e a + ) ，n ) 一o n + e ) 一a 1 i 。m i o 。n f a + 豇n 】- 。e a + ) 一口l i n m i 。n f a + 口n ) 。 o + e 一。= 1 ( 3 2 - 2 ) 其中如= e 为了证明另外一个方向，首先注意到在矩条件下，随机变量的均值主要由 均值附近的值所确定，从而也应该由的截尾均值西锋附近的值所确定所以 作如下的分解：对于任意的0 t 一口j f 之声n 一声：】) d + 叠n 一皿：) 一。 又因为豇n _ o o 所以 l i ms u p a + 砧a q 2 1 ( 3 2 5 ) n - - 0 0 对q l ，记职；苎v a r 【磊j 【磊叩b n l ，注意到豇n o o ，那么应用b e r n s t e i n 不 等式，可得： n q q lp 一e u 藤1 e x p 一面：t 2 爵2 职+ ( 2 r 2 t 3 ) ) e x p 一c 破 n + 风a q l = o ( i ) l i m s u p a + 厨n 】o e n + ) 一口1 结合3 2 2 以及3 2 7 即完成定理的证明 9 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 第四章非负负相协随机变量序列逆矩的极限性质 4 1非负负相协随机变量序列的极限性质 竹n 设磊是非负n a 序列，e 穰 0 和q 0 ，( 3 1 1 ) 式成立 ( 4 1 1 ) 为了证明定理，先给出如下引理 引理4 1 1 在上述定理的条件下，记：b i l 量z j z t 叩晚】则有如下式子 成立 忙1 ：e i z t n b n e z i ( u b n ) i z i 7 7 既】= 寺e v 一0 t = 1t = 1 。 ：v a r ( i z i r i b n 卜e i z 【叼晶】) 一0 t = 1 ：v a r z i i z i 叩岛】_ e z i i z i 叩b n l i = l + r b 竹j 【历叼b n 】一卵b n e i z , r i b ，。】) 一亩： ：叮2 。麦y a t 犯r i b n 】_ e i z i 叩b n 】卜o 其中雪：妻v a r 五j r 【磊叼风】) i = l 证明： ( i ) ： 由定理条件( 锄) 一 竹o_ n 乳田 磊h 霉 e n 沮 2 簖 第四章非负负相协随机变量序列逆矩的极限性质 n t = 1 f l , = l v a t 磊， 磊sr i b 】+ 7 7 风，【历之7 7 b 竹】) v a r z i i z i ，7 风1 + t b n v a r i z i 叼鼠】 联 ( 锄) ：( 7 2 = 寺y 凹 犯叩岛】e i z r i b n 】) 1 r i 7 鼠】 ( 4 1 2 ) t = li = l 记风：e u n ，雠：釜v a r 【磊，【磊叼】) 由条件( 勋) 知， t = 1 e k 靠1 磊1 著ne 砑j 【z i ，t b n 】) = 藏1 若n e 毋，【磊 刀取】) 一。 1 1 ( 4 。1 3 ) 一 一， 一 佴一汹 一 例 一 一 一一 若蜘n嘛删黼辫黼镍尸鲫 、l f m _ 蚴 第四章非负负相协随机变量序列逆矩的极限性质 从而，e x n = e + e 一面n 因此如果我们能证明 e a + ) k ) 一a 一 d + 豇n ) 一a ( 4 1 4 ) 那么( 1 1 5 ) 的结论也就成立了对矽( z ) = ( 口+ z ) ，z 0 用j e n s e n 不等式， 有 e a + ) 一口 a + e ) 一a 因此。 l i n m 。i 。n f a + 2 n 】i a e 8 + 一a l i n r a 。i 。n f a + 届作 a b + e x n 一口= l n _ o o n _ 。 由( 4 1 1 ) 式，以及s u pe z d b c i ，有 l r b n 】) ) 2 ) i = l nnn = e 霉一( e 历) 2 一e ( 砑j ( 磊 叩b n 】) t = lt = 1t = l nn 一( e z j z i 叩玩】) 2 2 e z i e ( z i i z t 叩风】) t = 1i = 1 ，lt = b ：一砩( 7 7 ) 一( e z j z i 7 7 巩】) 2 2 e 磊e ( 磊，【历 叩晶】) 其中足。( 7 7 ) 就是( 4 1 1 ) 式，由s c h w a r z 不等式， n e ( e z i i z i 叩取1 ) 2 t = 1 7 7 风】) t = l e ( 砑，【z t 叩b n 】) p ( z t r i b n ) e ( 砑，f 历 r l b n 】- 砩r ( 7 7 ) n 2 e 磊e 磊( 磊7 7 晶) ，【历 7 7 玩】 i = l 1 2 n汹n：i 第四章非负负相协随机变量序列逆矩的极限性质 所以 因为 住 = c 2 叼) ( e z , i b , , ) e z ? xl z , ? 7 风1 i = l s u pe z d b sc 1 ，e 霉，【z ； 刀b n 】= b ：r n ( 印) 1 t s 7 i 。i = l 因此岛一晶 其中 l b 一傩2 d 。- 2 一l l c 取( ? ? ) 一0 我们作如下的分解：对于任意的0 t 1 ， e a + ) 一口= q 1 + q 2 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) q l = e o + 一q j 【 豇n 一豇：】 ， q 2 = e o + ) 一n ，【己k 豇n 一豇：1 ) ( 4 1 8 ) 由于x n ，故q 2 e c a + x n ) 一q ，【叉_ 厨n 一勰】) a + 豇n 一豇乞) 一。，注意 到礼_ 。o 时，风一。o ，我们有 因为k 0 ， l i m s u p a + 风) o q 2 1 ( 4 1 9 ) n + o 。 q 1 = e ( a + x n ) 一n “ 风一面：】a - 口e i u 豇n 一面乏1 = o 一。p ( 西n 一豇乏) ， 下面估计p ( 风一以) 彳己k ：b i l z d z is 叩b n l ，那么一巩：苎( 一k ) ，一叩一k 0 因止匕 l = 1 尸【一e 厨毳】 nb = p f - 霸1 z d z 慨】+ e 簖1 z d z 刁取】 = 1 = 1 第四章非负负相协随机变量序列逆矩的极限性质 n 一叼j 慨叼晶】 t = l 肄 + 归j 恢r i b 礼】) t = l nn + n ) 一c 为非降函数，故 g ( x d e g ( x d ) 仍是均值为0 的n a 序列，由引理2 1 2 以及( 4 1 6 ) 式，引理 4 1 1 ，并且注意到藤一。o ，可得p ( 1 1 ；西) e x p 一c 皿：) 而对于如，由引 理2 1 3 ，以及引理4 1 1 ，有 p ( h ) 二p 【 m r z i 叼b n 】一叩e j i 磊r i b n l ) 去露：1 t = l i - - 1 一 p 【 i - - 1 职挪小刀善犯2 田b 竹i z 剥1 - t e x p 一c 成 ( 4 1 1 1 ) 因此 n + 豇n ) 口q 1 = d ( 1 ) 故由( 4 1 7 ) 和( 4 1 9 ) ，得到 l i m s u p a + 豇n ) n e a + x n ) 一a 1 n o o 结合( 4 1 5 ) 和( 4 1 1 2 ) ，马上得到( 4 1 4 ) ，进而( 1 1 5 ) 成立 4 2二阶矩不存在的非负n a 随机变量序列的极限性质 ( 4 1 1 2 ) 对二阶矩不存在的非负n a 序列，我们也有相应的结果。设磊是非负 n a 序列，e 磊 o o ，l r 2 记截尾方差霹：苎v a t 五j 【磊螈1 ) i n t = 1 酲= 历鼠，其中待定。 i - - - 1 定理4 2 1 设1 r 2 ，若a 序列 z n ) 满足如下条件： ( t ) e 磊s 岛，并且 磊) 一致可积， n ( 既) n 一1 e 历岛 t = l ( 谢)设 靠_ o 。， sq 礼 2 6 ) 4 一卅，佗一1 2 鼠q ， 其中0 6 螈】，则有下列式子成 i = i 互? ( i ) 证明? ：v a r ( m n b i l 饥磊之l - 爵1 e x z , 1 ) 一0 = 1 ：v a r z j z i 1 一e z i i z 1 f m n i = 1 + 螈露1 j 磊1 _ 螈露1 e i z 螈】) 一最， ：严= 寺y 。r ( j 【历卜e ，陋】) 一o ( i ) ：因为 磊 一致可积，并且螈一0 0 ， 所以 ( i i ) ：由条件( 饿) s u pe 磊7 【历舰，】一0 1 磊h磊 n 汹 一n b = 嘭 一 磊h磊 n 汹 o n b = 曝 第四章非负负相协随机变量序列逆矩的极限性质 显然，0 f = 7 一2 j ) p + ( 2 7 ) 6 ) 1 ，因此我们可以选取任意的( t o ，) 满 足亭t o t 1 简单计算可得( 2 5 ) ( 4 一r ) ( 1 + t o ) l 2 + ( 2 一r ) t o ，因此 m n c s n c a + t 。) 2 + ( 2 一r ) t o r 结合( 4 2 5 ) 以及岛的条件( 施) ，我们有 其中 彳己 m n ( f 冶鼠) 一1 c a 磋2 + ( 2 一r ) 。) 2 扎一( 1 + t o ) 2 c ( 4 2 6 ) e a + x 二) 一a = q i + q ： ( 4 2 7 ) q i = e | a + 矗) 一q j 【嘭 犀n 一届乞】) ， q ：= e o + 叉二，一q ，【嘭口n 一口：】) ( 4 2 8 ) 类似于( 4 1 9 ) 地讨论，我们有 l i ms u p a + 压n ) 口q ：1 ( 4 2 9 ) r t - - - - o o 对q 1 同样有q i o a p 【一e u 一m 一 磊h n 汹 e 爵 一 一 磊 “爵 n 汹 r f l + 第四章非负负相协随机变量序列逆堡丝壑! 垦：堡堕 而对于乃，由引理2 1 3 ，引理4 2 1 和( 4 2 6 ) 式，有 p i g 壶p 纠= 尸 爵1 m n i z 螈卜爵1 慨e 川历】) ) 圭础 l = 上i = l = p 娄，【磊】e 娄， 磊】) ) 甏】 ；2 1t = 1 e x p - c 已t n - o ) ( 4 2 1 2 ) 因此 d4 - 口n ) a 饼= d ( 1 ) 故由( 4 2 1 1 ) 和( 4 2 1 2 ) ，得到 l i m s u p a + 互n ) q e i a + 磁 一口羔1 n + o o 结合( 4 2 4 ) 和( 4 2 1 3 ) ，- 5 上得到( 1 1 5 ) 成立 1 8 ( 4 2 1 3 ) 参考文献 【1 】1 t i e e - j i a nw u ，x i a o p i n gs h i ，b a i q im i a o a s y m p t o t i ca p p r o x i m a t i o no fi n v e m e m o m e n t so fn on o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e s j 1 s t a t i s t p r o b a b l e t t ，2 0 0 9 ， d o i ：1 0 1 0 l s j s p l 2 0 0 9 0 2 0 1 0 f 2 】w o o f fda b o u n d so nr e c i p r o c a lm o m e n t sw i t ha p p l i c a t i o n sa n dd e v e l o p m e n t si ns t e i n e s t i m a t e sa n dp o s t - s t r a t i f i c a t i o n j j r o y s t a t i s t s o c s e r 。1 9 8 5 ，b 4 7 ：3 6 2 - 3 7 1 【3 1p i t t e n g e rao s h a r pm e a n v a r i a n c eb o u n d sf o rj e n s e n - t y p ei n e q u a l i t i e s j s t a t i s t p r o b a b l e t t ，1 9 9 0 ，1 0 ：9 1 9 4 ( 4 l m a r c i n i a ke ，w e s o l o w s k ij 。a s y m p t o t i ce u l e r i a ne x p a n s i o n sf o rb i n o m i a la n dn e g a t i v e b i n o m i a lr e c i p r o c a l s j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 9 9 ，1 2 7 ：3 3 2 9 3 3 3 8 【5 】5 f u j i o k at a s u m p t o t i ca p p r o x i m a t i o n so ft h ei n v e r s em o m e n to ft h en o n c e n t r a lc h i - s q u a r e dc a r i a b l e j j j a p a ns t a t i s t s o c ，2 0 0 1 ，3 1 ：9 9 - 1 0 9 【6 】g u p t arc ，a k m a no s t a t i s t i c a li n f e r e n c eb a s e do nt h el e n g t h - b i a s e dd a t af o r t h e i n v e r s eg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n j s t a t i s t i c s ，1 9 9 8 ，3 1 ：3 2 5 3 3 7 【7 】m e n d e n h a l lw ，l e h m a neh a na p p r o x i m a t i o nt ot h en e g a t i v em o m e n t so ft h ep o s i t i v e b i n o m i a lu s e f u l li nl i f e - t e s t i n g j t e c h n o m e t r i c s ，1 9 6 0 ，2 ：2 2 7 - 2 4 2 f 8 jr a m s a yc m an o t eo nr a n d o ms u r v i v o r s h i pg r o u pb e n e f i t s j a s t i nb u l l ，1 9 9 3 ，2 3 ： 1 4 9 1 5 6 。 【9 】j u r l e w i c za ，w e r o nk r e l a x a t i o n o fd y n a m i c a l l yc o r r e l a t e dc l u s t e r s j j n o n - c r y s t a l l i n es o l i d s 2 0 0 2 ，3 0 5 ：1 1 2 1 2 1 【1 0 】g a c i anl ，p a l a c i o sjl o ni n v e r s em o m e n t so fn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e s j s t a t i s t p r o b a b l e t t ，2 0 0 1 ，5 3 ：2 3 5 2 3 9 1 11 】k a l u s z k am ，o k o l e w s k ia o nf a t o u - t y p el e m m af o rm o n o t o n em o m e n t so fw e a k l y c o n v e r g e n tr a n d o mv a r i a b l e s j 1 s t a t i s t p r o b a b l e t t ，2 0 0 4 ，6 6 ：4 5 5 0 【1 2 1 h ush ，c h e ngj ，c h e neb o ni n v e r s em o m e n t so fn o n e g a t i v ew e a k l yc o n v e r g e n t r a n d o mv a r i a b l e s j a c t am a t h e m a t i c a ea p p l i c a t a es i n i c a ，2 0 0 7 ，3 0 ：3 6 1 3 6 7 【1 3 j l i nz h e n g - y a n ，b a iz h i - d o n g p r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e s s c i e n c ep r e s s 林正炎，白志东概率不等式科学出版社 【1 4 1w a n gh o n g - c h u n n ar a n d o mv a r i a b l e so fi n d e xi n e q u a l i t ya n das t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r s j j o u r n a lo fz h e j i a n gu n i v e r s i t y ( s c i e n c ee d i t i o n ) ，2 0 0 0 2 7 ( 1 ) ：2 0 - 2 5 王洪春n a 随机变量的指数不等式和一个强大数律 j 】浙江大学学报( 理学版) ， 2 0 0 0 ，2 7 ( 1 ) - 2 0 2 5 【1 5 】y a n gs h a n - z h a o ，c h e nm i n a s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hi n d e xi n e q u a l i t ya n d s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s j c h i n e s es c i e n c ea ：m a t h ，2 0 0 7 ，3 7 ( 2 ) ：2 0 0 2 0 8 杨善朝。陈敏相协随机变量的指数不等式与强大数律【j 】中国科学a 辑：数学， 2 0 0 7 ，3 7 ( 2 ) ：2 0 0 - 2 0 8 1 9