（光学专业论文）受限系统中孤子的传输性质及其量子调控的研究.pdf

华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 孤子是非线性科学中最为奇妙的现象之一。孤子描述相互作用的元激发已广泛 应用于非线性光学、玻色- 爱因斯坦凝聚、光子学、半导体电子学、等离子体、生物 学、热传导、液晶等领域，形成孤子物理学。作为空间孤子的重要分支，空间光孤 子是由于衍射效应与非线性效应达到平衡时, 光束在没有边界的介质环境中形成的 一种自陷或自导的稳定传输状态。这种效应存在于很多对光的非线性响应机制不同 的介质之中，在传输过程中它的脉宽和幅度形状保持不变，并且在运动碰撞过程中 可以产生分裂、旋转和融合等现象。空间光孤子的研究不仅可以使我们拓展和加深 对基本物理现象的理解, 而且更重要的是空间光孤子本身在全光控制、 全光网络和光 电设备、量子传输和原子干涉测量等方面具有巨大的应用前景，激发人们浓厚的兴 趣。 另一重要方面， 玻色- 爱因斯坦凝聚中的孤子， 是近几十年来被广泛关注的课题。 它不仅提供了一个研究量子力学基本间题的宏观系统，而且在量子计算，原子激光 等领域有着光明的应用前景。尤其是在平均场理论的框架下以 gross 一 pitaevskii 方 程为模型的明、暗物质波孤子，以及 bose- einstein 凝聚体中物质波孤子的动力学行 为的研究已经成为人们研究的热点。 本论文的工作就是围绕空间孤子来展开的，所取得的成果如下: 1、研究强非局域非线性介质中的二维空间孤子群研究强非局域非线性介质中的二维空间孤子群 探讨介质中孤子的自相似性， 对于认识孤子传输规律有着重要意义。 第二章中， 首先引入强非局域非线性薛定谔方程模型，然后在极坐标系下利用自相似技术求解 此方程，得到一个精确的库墨- 高斯(kummer- gauss)解析解，数值模拟与解析解的一 致性表明，这种库墨高斯孤子形成了一类空间孤子群。有趣的是，该类空间孤子波 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 ii 的剖面和它的脉宽不随传输距离而变化，并且这种非局域孤子具有较大的相移。理 论研究表明，在这种强非局域非线性介质中可以激发低能量、高保真的信息载体 库墨- 高斯孤子群。 2、理论上分析了圆柱形边界条件下强非局域非线性介质中的三维空间孤子群、理论上分析了圆柱形边界条件下强非局域非线性介质中的三维空间孤子群 近来, 非线性物理的一个全新的研究领域非局域孤子引起人们广泛关注。 该领 域在理论研究和实验研究方面都取得辉煌的成绩。鉴于介质的非局域性依赖于其边 界条件和物理特性，因此我们可以通过介质边界条件的控制，从而对孤子的结构和 传输特性施加影响。第三章中，利用自相似方法研究了圆柱形边界条件下强非局域 非线性三维介质中传输的自相似波, 我们获得强非局域三维非线性薛定谔方程的自 相似精确解，通过数值模拟，进一步验证了其稳定性。研究表明, 在柱坐标系中，强 非局域非线性三维介质中的孤子解由 bessel 函数和 hermite- gaussian 函数构成。它 们在空间分布存在不同形式。 3、研究了变系数三维非线性薛定谔方程的精确解、研究了变系数三维非线性薛定谔方程的精确解 多年来，变系数三维非线性薛定谔方程之所以成为人们研究的热点，因为其是 自然界普遍存在的非线性物理现象的重要方程，是非常重要的一类非线性模型。它 描述自然界许多物理现象，如非线性光学中的光脉冲传输、玻色- 爱因斯坦凝聚、等 离子物理和流体力学等。第四章中，我们利用推广的平衡原理和f- 展开法研究了变 系数含损耗或增益的三维非线性薛定谔方程，得到了一类精确jacobi椭圆函数解。在 极限情况下，这些周期性jacobi椭圆函数可以化简为精确孤子解。分析发现这些解受 衍射或色散系数、非线性系数、损耗或增益系数之间的关系的条件约束。该求解方 法也可推广到求解其它非线性数学物理方程。 4、研究了波色、研究了波色爱因斯坦凝聚中爱因斯坦凝聚中 g-p 方程的精确孤子解方程的精确孤子解 第五章中，我们利用推广的平衡原理和 f- 展开法研究了在谐振势下变系数含损 耗或增益的三维 g- p 方程，得到了一类精确 jacobi 椭圆函数解。在极限情况下，这 些周期性 jacobi 椭圆函数可以化简为精确孤子解。研究发现这些孤子解受衍射或色 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 iii 散系数、非线性系数、谐振系数、损耗或增益函数等约束。尤为重要的是，在特殊 的情况下该模型可以化简为标准的 gross- pitaevskii(g- p)方程，运用于研究波色爱 因斯坦凝聚中的物质波孤子的动力学问题。 关键词关键词: 非线性光学, 空间光孤子, 玻色- 爱因斯坦凝聚，自相似方法, 数值模拟, 平 衡原理与推广的 f 展开方法 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 iv abstract soliton is one of the most amazing phenomena in non- linear science. in recent yeares, the rapid development of the soliton physics has been extended to a great deal of extensions, such as nonlinear optics, bose- einstein condensation, biology, photonics, semiconductor electronics, plasma physics, thermal conductivity, liquid crystal and so on. as an important branch of solitons, it is because of nonlinear effects and the diffraction effects balance and the beam of the media environment in the absence of the boundary. spatial solitons are a self- trapped or self- guided state with the stability of the transmission.the beam width and shape of optical soliton keep unchange along propagation distance. collision between the solitons may produce the phenomenon of fractal, merge and spin. for different medium, it has been testified to exist in many of the nonlinear optical response mechanisms. it is due to their robustness and well- defined shapes that make them attractive as a basic bit in the future data transmission and processing schemes. simultaneity, it is well known that optical soliton may offer a powerful way for creating reconfigurable all- optical circuits where light is controlled and guided by light itself. on the other impoint hand, matter wave solitons in bose- einstein condensates (bec) have been anattractive subjects in recent decades. they not only offer the perfect macroscipic quantum systems to research many foundmental problems in quantum mechanics but also have extensively application foregrounds such as quantum computation and in atom laser. in the famework of mean- field theory, the bose- einstein condensates is govonered by the gross- pitaeviskii equation. based on the gross- pitaeviskii quation we shall study the dynamical behaviors of matter waves solitons in bec. the work of this thesis mainly concentrates on the spatial solitons. the principal achievements obtained are as the following: 1. two- dimensional kummer- guass soliton clusters in strongly nonlocal nonlinear media in the second chapter, the 2d strongly nonlocal nonlinear schrdinger equation model is studied. then based on a self- similar method, the model is solved by in polar coordinate system. we find that there exists a class of kummer- guass soliton clusters that 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 v propagate in a self- similar manner. furthermore, a family of new spatial solitary waves has been found. it is interesting that the spatial soliton profile and its width remain invariabilitial with increasing propagation distance, and big phase shift is found. 2. three- dimensional bessel and hermite- gaussian soliton clusters in strongly nonlocal nonlinear media in recent years, a new research field has begun to arrest the people in nonlocal nonlinear soliton physics. in the field, it has been maded great achievements in the theoretical and experimental research. in the chapter, exact self- similar soliton solutions to the strongly nonlocal nonlinear schrdinger equation have been gotten. the propagation of three- dimensional soliton cluster has been investigated numerically and analytically in strongly nonlocal nonlinear media. it is found that the fantastic soliton cluster solutions which are made of bessel and hermite- gaussian functions. the stability of these solutions is confirmed by direct numerical simulation. it is shown that eerie higher- order spatial soliton clusters can occur in various forms . 3. exact spatio- temporal soliton solutions to three- dimensional extended nonlinear schrdinger equation with varied coefficients. three- dimensional nonlinear schrdinger equation with varied coefficients is very important nonlinear model. it can describe many nonlinear phenomena in physics, such as matter wave in bose- einstein condensate, nonlinear optics in optical pulse transmission, fluid mechanics and plasma physics etc.we have used a homogeneous balance principle and extended f- expansion techniques to construct exact periodic wave solutions to the generalized three- dimensional nonlinear schrdinger equation with distributed dispersion/ diffraction, nonlinearity, and gain or loss. in the limiting situation of parameters，these periodic jacobi wave solutions can reduced to localized spatial soliton solutions. under certain cases, such solutions occur, and it is needed that constraint is satisfied on the functions describing nonlinearity, dispersion/diffraction, and gain or loss. furthermore it is found that the method of solution can be applied to other nonlinear partial differential equations in nolinear mathematical physics. 4. spatial solitons in utmost bleak atom gasl. based on extended f- expansion techniques, exact periodic wave solutions of the 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 vi generalized three- dimensional nonlinear schrdinger equation with distributed dispersion, nonlinearity, gain or loss and in a harmonica potential are gotten. in the limiting cases of parameters， two kind of the bright and dark of localized spatial soliton solutions have been gotten. such solutions exist only under certain cases and impose constraints on the functions describing dispersion, nonlinearity, gain or loss and harmonica potential. it is interesting that the matter- wave can be controlled by applying the external magnetic field and a background. keywords: nonlinear optics, spatial optical soliton, bose- einstein condensate self- similar method, numerical simulation, extended homogeneous balance principle and f- expansion techniques 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：徐四六 日期： 200 年 11 月 8 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保 密， 在 年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名：徐四六 指导教师签名：易林 日期： 2009 年 11 月 8 日 日期：2009 年 11 月 8 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 1 1 绪绪 论论 1.1 引言引言 “孤子”(soliton)是最早在自然界观察到， 并可以在实验室产生的非线性现象之一， 其历史可以追溯到十九世纪三十年代1,2。进入 20 世纪后，孤子的概念和理论重新激 起了许多物理学家的兴趣。 1965年zabusky和kruskal将孤立波命名为孤立子或孤子， 此后，孤立子这一全新的概念得到了极其广泛的应用。 对孤子及其非线性的系统研究与应用的蓬勃发展是在 20 世纪下半叶。特别是近 几十年来，孤子物理学发展迅猛，目前已经拓展到了许多领域，如非线性光学3- 7、 半导体电子学8、 光子学9、 等离子体10、 加速剂动力学11、 bose- einstein 凝聚 （bec） 12、热传导13、生物学14、液晶15等，并于 1977 年由弗里德伯格和李政道推广到 了量子领域16。目前已在许多不同的非线性物理系统中发现了孤子现象，如浅水波、 深水波、超引力理论中的壁、等离子体中的电荷密度波、bec 中的物质波、dna 链 中的激发子等14。 什么是“孤子”呢？我们通常把非线性发展方程的局部解， 称为“孤立波”， 这里“局 部的”是指微分方程的解在空间无穷远处趋于零或有限值的情况。我们把这些稳定的 孤立波，即通过碰撞后，形状和速度也不会改变的而且不见消失的孤立波称为“孤 子”。然而，物理学与数学对“孤子”的定义是不同的，数学所研究的孤子是非线性方 程完全可积解，其在碰撞过程中也完全是弹性的。而物理学所研究的非线性方程往 往是不可积的，进而所求得的孤子解也不一定是完全弹性的。因此，在物理学中， 我们常把孤子定义为非线性方程的一个有限能量的并不可弥散的解。 1.2 空间光孤子空间光孤子 光脉冲在时域上的展宽是缘于介质的色散，而在无色散介质中，一旦脉冲的群 速度等于相速度时，其在传播过程中就不会展宽。但是对于空间域中有限尺寸的一 束光，即使在真空中传播，由于波动的固有特性衍射，随着传播距离的增加，光 束会变得越来越宽，并且若初始入射光束越窄，其在横向展宽的就越快，如图 1.1 下 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 2 排所示。 图1.1 一个宽为10m的空间光孤子传播在锶钡铌酸盐组成的光致折射介质中 （上图） ，作为比较，一个同样宽度的光束在没有非线性介质的自然衍射的传播（下 图）见文献17。 研究发现，改变介质的折射率分布可以平衡光束的这种横向扩展。对光纤而言， 若其中心的折射率高，四周的折射率低，这种波导的线性导模是由在其中稳定传播 的光产生的。 如果介质对光强的响应是非线性的， 那么光场就会引起介质光学性质(如 折射率、吸收等)的改变。对于克尔(kerr)非线性响应介质，折射率的改变量正比于光 强，当一束高斯光在其中传播时，光束中心的强度大，因此折射率增量就大，光束 边缘强度小，折射率增量也小，结果，在克尔介质中就形成了一个类似于光的边缘 折射率低而中间折射率高的自生波导。由于光束总是反向着折射率低的地方偏离， 因此光束中心的折射率越来越高，光强越来越大，直至介质被烧毁。这就是非线性 克尔介质中的自聚焦效应（self- focusing） 。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 3 图1.2 一束部分非干涉空间光束由于自陷而形成的环形孤子的光强分布。 （a） 输入光强， （b）由于衍射作用光强输出， （c）由于光束的自陷作用下的光强输出 见 文献18。 因此，衍射的抑制可以通过介质的非线性效应局部改变折射率分布来实现。当 光束通过非线性改变介质的折射率形成一个自生波导并且是这个自生波导的导模时 即达到自洽，非线性自聚焦效应和衍射发散效应相互平衡，这样光束传播过程中 不再扩展， 这种稳定的自陷(self- traping)光束被称为空间光孤子(spatial optical soliotns) 18。空间光孤子的研究始于上个世纪 60年代中期。1964年，r.y.chiao、e.garmier 和c.h.towers首次提出光束在克尔非线性介质中传播时可能自陷19。然而随后的研 究表明，在克尔非线性介质中，两维空间亮孤子通常是不稳定的，因为一方面，环 形光束入射到克尔介质中时将产生“灾害性的自聚焦效应”并最终烧毁介质。另一方 面，产生克尔效应必需高强度的激光源。这些都使得克尔型空间光孤子的实用价值 的发掘受到限制。 首先发现空间光孤子是在1974年， 当时贝尔实验室j.e.bjorkholm和a.a.ashkin 在钠蒸气中共振跃迁谱附近发现了环形光束的自陷20，这种自陷效应是来源于介质 非线性的饱和特性折射率随着光强的增加不再是线性增加的，而是逐渐趋于饱和。 随着材料科学和现代非线性光学的发展和整合，不断涌现出新型的光孤子。1992年， m.segev等人21从理论上分析了在一定外加电场作用下，光束在光折变材料中可能 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 4 产生自陷，并预言了光折变空间光孤子(photorefraetive spatial soliton)的存在。不久， 在1993年，g.c.duere和g.j.salarno等人22便在掺杂妮酸铭钡晶体中观察到了稳定 的光折变空间光孤子。此后，空间光孤子便逐渐成为当今非线性光学研究的热点和 前沿 5,23- 27。 图l.3:多维涡旋孤子在光子晶格中光强的分布。图(a）和（b）为低入射光 20pnw; 图（c）和(d) 为较高入射光1 wp。见文献5 一般而言空间光孤子可分为:亮孤子28、暗孤子29和非局域空间孤子30三大类。 光束横截面中心区域光场强度为零，远离开中心点，光场强度逐渐增大并最终趋于 一恒定值的孤子称为空间暗光孤子28。与此相反，光场的能量分布主要集中在光束 截面中心附近的有限区域内，远离光束横截面中心，光场强度逐渐降为零，这样的 孤子被称为空间亮光孤子29。人们通常将强度分布类似暗孤子但中心光强不为零的 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 5 孤子称为空间灰光孤子。 图1.4 （a）实验观察到的孤子螺旋形的传播。 （b） 、(e)、(g)显示不同的输入情 况，(c)、(f)、(h)是孤子传播了6.3mm，而(d)、(i)是孤子传播了13mm的 情况。图中三角剖分的部分表明衍射光束的中心部分见文献19。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 6 非局域空间光孤子30- 37是指在非线性非局域介质中传输的空间光孤子。空间非 线性非局域介质，是指介质对光场的非线性响应，不仅与该点的光场有关，而且与 空间中其它点的光场有关。材料的空间非局域性起源于物质内对光场响应的单元(电 子、分子或激子等)的空间相关性34。对于这种相关性，人们通常运用响应函数( )r r ? 来描述, 一般而言( )r r ? 是实对称函数( )()rrrr ? ? ? =，并满足归一化条件( ) =1rdrr ? ? 。 介质非局域程度取决于响应函数( )rr ? ? 的宽度与光束宽度的比较35。对于局域介质, 材料的相关性为零， 响应函数能够表示为( )( )rrr ? ? =， 此时介质中某点折射率的变化 仅仅决定于该点的光强。对于弱非局域介质，其响应函数的宽度远小于光束的束宽， 此时介质中该点折射率变化与邻域的光强也有关系。尤其是对于强非局介质，非局 域响应函数的宽度远大于光束的宽度。当光束束宽远小于材料相关长度的强非局域 条件满足时36- 40，这样光束在非局域非线性介质中传输的非线性方程模型转化为线 性方程。 根据材料对光场效应的不同非线性机理，空间光孤子可分为克尔或类克尔孤子、 二次孤子，光折变孤子等等。此外还可以按光孤子表现方式的不同，将空间光孤子 分为相干孤子、非相干孤子、腔孤子、离散孤子、时空孤子等等。 空间光孤子按形成它的光束在横向可扩展的维数可分为(1+1)维孤子、(2+1)维孤 子、(3+1)维孤子等等。括号中前面的数字代表孤子光束在横向可扩展(如衍射展宽) 的维数，后面的数字代表传播维数。例如平板波导中的(1+1)维空间孤子，表示光束 可在一个横向方向展宽(平行于波导平面方向的衍射展宽), 在一个纵向方向传播。而 对于(2+1)维空间孤子则表示孤子光束可在横向的两个方向衍射(如方向x和y)， 并沿 一个纵向方向传播(如z方向)。一般而言，可在m个维度上扩展并沿一个方向传播 的光束所形成的空间孤子，通常称之为(m+1)维空间孤子。 1.3 时空光孤子时空光孤子 时空光孤子（spatial- temporal optical solitons）又称为光学子弹（light bullets） ， 是强光脉冲（intense light pulses）在时空域上的局域化表现41。当一束强光脉冲在非 线性介质中传播时会同时受到群速衍射、色散和非线性的共同作用，其中群速色散 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 7 和衍射会导致光脉冲在时域和空间上的增宽，而非线性则通常会加速光脉冲的压缩。 若非线性的作用能刚好补偿群速色散和衍射效应，也就是非线性感应的自相位调制 效应抵消群速色散效应，与此同时其感应的自聚焦效应抵消衍射效应，这样时空光 孤子就会形成，如图1.4所示。 图1.5既有衍射又有色散时光脉冲在非线性介质中传播时的时空孤子形成及传 播示意图见文献41。 时空孤子不能说是空间孤子和时域孤子的简单组合，其是光脉冲线性相位积累 和非线性相位积累相互作用的结果，因此人们不能从通常的时域或空间孤子上直接 推测和理解。正因为光脉冲在传播过程中在各个方向都不会展宽，就像实物粒子一 样，因此时空孤子在介质中传播就如同高速飞行的子弹一样，所以也称之为为“光学 子弹” 1.4 玻色玻色-爱因斯坦凝聚中的孤子爱因斯坦凝聚中的孤子 空间孤子中的另一朵奇花异葩是玻色-爱因斯坦凝聚（bec）中的孤子。其历史 可以追溯到十九世纪二十年代。1924年6月，印度物理学家玻色(bose)将声子作为 数量不守恒的全同粒子， 并以不同于planck的方式推导出了planck黑体辐射定律42。 他将这一结果寄给爱因斯坦（einstein） 。随后爱因斯坦将bose对声子的统计理论推 广到理想气体原子43，并预言当这类原子的温度足够低时，所有的原子就会突然聚 集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们通常所说的玻色-爱因斯坦凝聚44- 46 （bec） 。早期的bec研究进展比较缓慢，研究的目标也主要集中在实验物质体系 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 8 的选择方面。直到1938年，法国人london把超流态液氦与金属超导体当作玻色-爱 因斯坦凝聚的体系46- 49，从而玻色-爱因斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。 1995年6月，美国科罗拉多大学实验天体物理联合研究所(jila)和国家标准技 术研究所(nist)的wieman和conell的研究小组在铷（87rb）原子蒸气中首次实验 上直接观测到玻色-爱因斯坦凝聚50。几个月后麻省理工学院的ketterle研究组在钠 （23na）原子蒸气中也实现了bec51，凝聚了500万个钠原子，其形状为短柱体。 正因为如此，人们重新对玻色-爱因斯坦凝聚这一独特物理现象引起极大的关注，物 理学家关于bec的理论和实验研究也掀起了新的热潮。 图1.6 jila小组利用吸收成像法观测到的铆原子空间分布的三维像见文献50。 对于稀薄气体玻色-爱因斯坦凝聚，gross- pitaevskii (g- p)方程是一个很好的描 述。在平均场理论中，g- p方程是一个行之有效并被应用广泛的描述玻色-爱因斯坦 凝聚动力学的数学模型，对该方程的理论研究，人们已经发现了该系统具有许多有 趣的性质。尽管g- p方程是一较为成功的模型，由于在数学上具谐振子势的g- p方 程通常是不可积的，导致这一宏观量子系统的研究还不够深入。通过数值模拟求解 系统的方法通常被许多研究者所采用。分析上则主要采用各种近似方法52，诸如 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 9 thomas- fermi近似等等53。后来虽然对于带有某些特殊囚禁势的定态g- p方程，其 精确解已经获得54，但对于常用的谐振子势至今还不能精确求解。随着研究的不断 深入，通过对g- p方程的求解，人们逐渐发现许多有趣的非线性效应，如混沌，孤 子等等。近年来，越来越多研究者开始关注玻色-爱因斯坦凝聚中的孤子动力学。对 于玻色-爱因斯坦凝聚中的暗孤子18,55,56、亮孤子20,21,57、孤子链等已经作出了许多 优秀的工作。并且人们研究了孤子的传播58、碰撞59、塌缩和回旋60,61等。 图1.7 实验观察（a- e）和理论分析(f- j) 玻色-爱因斯坦凝聚中暗孤子的在不同 时间的分布。沿x轴正向一个正的凝聚原子的密度分布迅速移动，暗孤子以小于声 速沿相反的方向运动。图中的测量的凝聚原子数目是1.70.3 5 （）10 ，每个方框的宽 度为70m见文献19。 需要强调的是，人们对于物质波中明、暗孤子的研究，暗孤子相对较早，也较 为广泛62- 65。1999年，s.burger就和他的合作者利用87rb原子在实验中观测到玻色 -爱因斯坦凝聚体的暗孤子55。不久，j.denschlag等人利用na原子同样实现了物质 波暗孤子56。究其原因在于，当凝聚原子间的相互作用表现为吸引作用时，维持孤 子稳定的凝聚原子数必须要低于一临界值。当在二维和三维情形下凝聚体会导致迅 速塌缩，从而的物质波亮孤子就不能稳定地存在。然而在准一维情况下，吸引玻色- 爱因斯坦凝聚体是可以稳定存在的，因此物质波亮孤子同样也可以形成。即使是在 二维情形下，也可以通过快速振动原子间相互作用的凝聚体来形成稳定的二维亮孤 子66。 在实验57,58中k.e.strecker和l.khaykovieh等人就利用7li原子在准一维光学 阱中生成了物质波亮孤子和孤子链，并且很好地观察到了它们的传播过程。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 10 随着实验技术的不断提高，人们对玻色-爱因斯坦凝聚体中孤子的认识不断地深 入，尝试采用不同形式的囚禁势来研究该系统，比如在实验67中strcker和他的合作 者在吸引谐振子势的纵向观测到了各向异性的玻色凝聚体中孤子的传播规律；同样 在实验58khyakovihc等人将大约具有5000个原子的亚稳的宏观量子定态凝聚体投射 到在纵向具有排斥性质的谐振子势阱上，从而形成了物质波亮孤子。此外h.satoi等 人的研究表明，通过周期变化波散射波长可以稳定二维的物质波孤子68。近来，含 时势阱囚禁中物质波孤子的动力学行为的研究也逐渐成为人们研究的热点之一。 根据平均场理论，在绝对零度时，对玻色-爱因斯坦凝聚体的动力学行为的描述 g- p方程是精确的。对于均匀凝聚体而言,当外势为零或常数时，g- p方程也就是一 标准的非线性薛定谔方程（nlses） 。由非线性光学我们知道非线性薛定谔方程具有 孤子解。类似于光学孤子，在玻色-爱因斯坦凝聚体中同样会存在物质波孤子。正因 为如此，孤子在玻色-爱因斯坦凝聚的研究中具有特别重要的地位。如同在水波、光 纤通讯、等离子体、液晶、dna大分子等许多非线性物理系统中的孤子一样，物质 波孤子具有稳定的、局域化的波包结构，并在传播过程中能够保持波形不变的性质。 在非线性光学中由于非线性传播介质对波包的自聚焦作用平衡了色散或衍射，导致 波包不扩散，从而形成稳定的光学孤子。在玻色-爱因斯坦凝聚体中，产生这种自聚 焦或自散焦作用的非线性效应源于自凝聚原子间的两体或三体相互作用，当它们平 衡掉波包的扩散作用后，这样物质波孤子就能够形成了。然而对于不同性质的原子 间相互作用，会形成不同类型的物质波孤子。比如，当凝聚原子相互吸引时，则可 以形成物质波亮孤子。相反，当相互作用为排斥作用时，g- p方程就具有暗孤子解。 另一方面， 当接近绝对零度的几个nk温度范围时， 对于玻色-爱因斯坦凝中的孤子动 力学研究，同样可以由平均场理论下的gross- pitaevskii (g- p)方程来描述69,70。 总而言之，对于玻色-爱因斯坦凝聚体中孤子的研究主要体现在以下三个不同的 方面：l）孤子的产生与形成55,56,59；2)物质波孤子的相干演化以及在探测过程中的 相干效应；3)非相干演化或孤子的耗散。 孤子的相干演化指的是在耗散发生前的演化。 在较短的时间内，g- p方程可以为玻色-爱因斯坦凝聚体孤子的动力学演化给出准确 的描述71- 74。这其中还包含了孤子对、孤子链的产生以及每个孤子之间的相互作用 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 11 的研究。孤子的耗散效应包括热力学不稳定性 75和动力学不稳定性。动力学不稳定 性是由于孤子是一维的客体，当存在于高维凝聚体情况下，孤子的稳定性强烈的依 赖于凝聚体的几何性质。对窄长的凝聚体，它的横向囚禁非常强，致使不可能激发 横向模，因而孤子通常是动力学稳定的。相反，当横向囚禁较为松驰，横向模容易 被激发从而导致孤子蛇形的不稳定性。结果孤子就会退化为声子和更稳定的结构像 涡旋或涡旋环76- 77。需要指出的是，对应于动力学不稳定性的孤子的耗散行为- -相干 却又不稳定的演化，同样也可以利用g- p方程来描述78。 图1.8 在文献20,21中观察到的物质波亮孤子图象，上图是在囚禁势被关掉后孤 子的传播，下图刻代表一串孤子在囚禁势阱中的振动图象。 1.5 本文的主要研究内容与结构安排本文的主要研究内容与结构安排 第一章 我们论述了空间孤子的概念，性质以及其研究的意义。 第二章 我们从理论上分析了强非局域非线性介质中的二维空间孤子群（库墨- 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 12 高斯）的传输规律。 第三章 深入研究圆柱形边界条件下强非局域非线性介质中三维空间孤子簇。 第四章 我们利用推广的平衡原理和f-展开法研究了变系数含损耗或增益的三 维非线性薛定谔方程，得到了一类精确jacobi椭圆函数解。在极限情况下，这些周 期性jacobi椭圆函数解可以退化到精确孤子解。这些解受衍射或色散系数、非线性 系数、损耗或增益函数的限制。这种求解方法也可推广到其它非线性数学物理方程 之中。 第五章 我们利用推广的平衡原理和f-展开法研究了谐振势下变系数含损耗或 增益的三维g- p方程，得到了三种类型的精确孤子解。这些解受衍射或色散系数、 非线性系数、谐振系数、损耗或增益函数的限制。最后是全文总结。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 13 2 强非局域非线性介质中的二维空间孤子强非局域非线性介质中的二维空间孤子 1997年snyder和mitchell提出强非局域非线性均匀介质中空间孤子传输的线性 模型，并预言在此介质中存在稳定的孤子解79- 93。 随后通过理论预测和实验探索， conti 和peccianti 等人证明了向列液晶是强非局域介质94,95。不久液晶中的孤子和 呼吸子解被求出，孤子和呼吸子的相关传输现象并在实验中被观察到96,97。近年来， 一系列由特殊函数组成的孤子群相继被找到，在强非局域介质中发现了孤子的大相 移现象，找到了拉盖尔-高斯孤子和呼吸子解97； 我们研究了二维和三维强非局域 介质中孤子的传输规律，得到了以自相似的方式传输的拉盖尔-高斯孤子束98和三维 由惠特克(whittaker)函数和厄米特-高斯(hermite- gauss)函数组成的孤子群99等等。 一般而言，对于强非局非线性介质，其响应函数与非线性介质的性质和边界条件 （包括范围和几何形状）密切相关。当孤立波的平均衍射波长远大于介质的边界范 围时，非线性介质的几何形状以及边界条件（或远离光束）能明显地影响孤子及其 它光束的传播97。因此我们可以通过边界条件调节或控制介质的强非局域非线性， 从而达到对在非线性介质中传输的光孤子的控制。在本章及下一章我们分别从二维 和三维强非局域非线性介质来研究光束在其中传输的规律。 本章基于（2+1）非线性薛定谔方程（nnlse）模型，首先将高斯响应函数在强 非局域程度条件下进行展开，得到了在圆形的边界条件下光束在强非局域非线性介 质中的传输方程。采用自相似技术，一个精确的库墨-高斯解析解已经获得。数值模 拟与解析解的一致性表明，这种库墨高斯孤子形成了一类空间孤子簇。我们发现沿 着孤子的传输方向，相对于局域孤子，库墨-高斯孤子有较大的相位，其与传输距离 具有线性递增的关系。 2.1 强非局域非线性介质中的二维薛定谔方程模型强非局域非线性介质中的二维薛定谔方程模型 在非局域非线性介质中， 沿z方向传输的光束的演化， 可以用推广的二阶非局域 非线性薛定谔方程模型来描述，其一般表达方式可以写成92- 94 22 00 2( , )( , )2( , ) ( , )0 z ikne r zne r zkn i z e r z += ? ， （2- 1） 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 14 式中(),e z r ? 是光束波包， 0 knc=，其中k是光波在介质中的波数， 0 n是材料的线 性折射率， 22 2 ()|( , )|nnr rre r zd r = ? 是折