（概率论与数理统计专业论文）hjb偏微分方程的数值计算.pdf

摘要 p a r d o u x 和p e n g 在1 9 9 0 年首先证明了倒向随机微分方程解的存在性和唯一性【9 】，即 存在唯一的一对五一适应过程( k ，五) l 2 ( 0 ，丁；r ) h 2 ( o ，e 酞d ) ，满足下面的方程 k = 荨+ t 9 ( r ，k ，4 ) d r z r z j d b ， 其中9 满足：( i ) g ：【0 ，t 】r xr 并且9 ( ，0 ，0 ) l 2 ，( i i ) l i p s c h i t z 条件：v ( 剪1 ，z 1 ) ，( 秒2 ，z 2 ) 一，存在一个常数c 0 ，满足 1 9 ( t ，1 ，z 1 ) 一g ( t ，沈，z 2 ) i c ( 1 剪l 一抛l + i z l z 2 i ) ， 和l ；。利用倒向随机微分方程，彭实戈教授在1 9 9 7 年发现当生成元9 满足条 件g ( t ，y ，0 ) = o 时倒向随机微分方程的解具有很好的性质，从而他定义了一类非线性数学 期望：9 一期望，扩展了古典期望的定义。 9 一期望是一种拟线性期望，它不能包含完全非线性的情形。最近彭实戈教授在【1 5 】中 引入了一般的时间相容的完全非线性期望和非线性马氏链，在 1 6 ，1 7 d 0 则给出了g 一期 望的定义和性质。g 期望具有单调性、保常性、次可加性、正齐性和常数平移不变 性。从而g 一期望与相容风险度量：p ( x ) = e _ x 】的概念是等价的，详细内容可参 见【1 _ 3 】。g 一期望和相应的条件g 一期望可以定义动态风险度量。我们知道g 一期望是通过 一个特定的全非线性热方程产生的，它是一种非线性h 丁b 方程，而这种方程一般没有显 式解，大多数情况我们只能借助数值方法来求解h ，b 方程。 本文用有限差分方法离散g 一期望对应的h i b 方程，提出h i b 方程的四种数值格式，然 后进行数值求解分析所得数值解的误差。 本文的组织安排如下： 第一章简单介绍s d e ，b s d e ，9 - 期望和g 一期望的背景和应用。 第二章着重说明h b 方程与最优控制的联系以及在金融中的应用。 第三章提出g 一期望对应的h 邛方程的离散格式。 n 第四章用一些数值试验说明所提格式的收敛性。 关键词：倒向随机微分方程，g 一期望，坷b 方程，数值方法。 a b s t r a c t e p a r d o u xa n ds p e n g ，i n1 9 9 0f i r s t l yp r o v e dt h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o nt ob a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 【9 1 ，t h a ti s , t h e r ee x i s t sau n i q u e p a i ro f 五- a d a p t e dp r o c e s s ( k ，五) 2 ( 0 ，丁；酞) 日2 ( o 、t ；则) ，s a t i s f i e dt h ef o l l o w i n g e q u a t i o n k = + t9 ( r ，巧，互) d r 一t 磊d b l r ， w h e r egs a t i s f i e d ( i ) g ：【0 ，叫毫r ，a n d9 ( - ，0 ，0 ) l 2 ，( i i ) t h el i p s c h i t zc o n d i t i o n ： v ( y l ，z 1 ) ，( 3 2 ，z 2 ) 唰，t h e r ee x i s t sac o n s t a n tg 0 ，s a t i s f y i n g i g ( t ，秒1 ，z 1 ) 一a ( t ，珈，z 2 ) lsc ( 1 y , 一珈i + 1 名l z 2j ) ， a n d l 争u s i n gt h eb a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o f e s s o rs h i g ep e n g i n1 9 9 7f o t m dt h a tt h es o l u t i o n so ft h eb s d ee q u i p p e dv e r yg o o dp r o p e r t i e sw h e ng e n - e r a t o r ss a t i s f ys p e c i a lc o n d i t i o n ：g ( t ，秒，0 ) = 0 ，f o r ( t ，y ) 0 ，t i r ，a n dt h e nh ed e f i n e d ak i n do fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n 【1 4 1 ：g - e x p e c t a t i o n , w h i c he x t e n dt h ed e f - i n i t i o no ft h ec l a s s i c a le x p e c t a t i o n h o w e v e r , g - e x p e c t a t i o n i sa q u a s i - l i n e a rm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o n , t h ef u l l yn o n l i n - e a rs i t u a t i o nc a n n o tb ec o v e r e d r e c e n t l y , p r o f e s s o rs h i g e p e n gp r o p o s e dm o r eg e n e r a l 五c o n s i s t e n tn o n l i n e a re x p e c t a t i o n sa n dn o n l i n e a rm a r k o v i a nc h a i n si n 1 5 1 ，l a t e rh e g a v et h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fg - e x p e c t a t i o n g - e x p e c t a t i o ns a t i s f i e st h ep r o p e r t i e so fm o n o t o n i c i t y , p r e s e r v i n go fc o n s t a n t s ，s u b a d d i t i v i t y , p o s i t i v eh o m o g e n e i t ya n d c o n s t a n tt r a n s l a t a b i l i t y a n ds og - e x p e c t a t i o ni se q t f i v a l e n tt ot h en o t i o no fc o h e r e n t r i s km e a s u r e ：p ( x ) = e 卜x 】，w er e f e rt h er e a d e r s 【1 - 3 】f o rd e t a i l s g - e x p e c t a t i o nw i t h t h er e l a t e dc o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o nm a k e sad y n a m i cr i s km e a s u r e w ek n o wt h a t t h eg - e x p e c t a t i o ni sg e n e r a t e db yas p e c i f i cf u l l yn o n l i n e a rh e a te q u a t i o n ，w h i c hi sa i i i 第0 章a b s t r a c t k i n do fn o n l i n e a rh j b e q u a 丘o n b u tw e c a n n o tg e te x p l i c i ts o l u t i o n so fs u c he q u a t i o n s g e n e r a l l y , a n di nm o s tc a s e s ，w e c a no n l yr e l yo nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gt h e m i nt h i st h e s i sw ed i s c r e t i z et h ec o r r e s p o n d i n gh j b e q u a t i o no ft h eg - e x p e c t a t i o na n d p r o p o s ef o u rn u m e r i c a ls c h e m e sf o rt h eh j be q u a t i o kt h e nw e s o l v et h ei - i j be q u a t i o n n u m e r i c a l l ya n da n a l y z e t h ee r r o ro ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1p r e s e n t st h eb a c k g t o u n da n da p p l i c a t i o n so fs d e ，b s d e ，g - e x p e c t a t i o n a n dg - e x p e c t a t i o n ； i nc h a p t e r2w em a i n l yd i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eh j be q u a t i o na n do p t i r e a lc o n t r o l ，a p p l i c a t i o n so fh i be q u a t i o ni nf i n a n c ea r ea l s oi n c l u d e d i nc h a p t e r3w e p r o p o s et h ed i s c r e t i z e ds c h e m eo fh j be q u a t i o n o fg 。e x p e c t a t i o n i n c h a p t e r4w e u s es o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t st od e m o n s t r a t et h ec o n v e r g e n c eo f o u rs c h e m e s k e y w o r d s ：b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，g - e x p e c t a t i o n , h j be q u a - t i o n , n u m e r i c a lm e t h o d 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 ； 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日耻竺趔 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件 和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) ：姆新躲辎 期：型 第1 章引言 自i t 6 于1 9 6 1 年首次发表“o i l s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”一文以来，随机微分 方程( s d e ) 的研究已有半个多世纪的历史，在i t 6 公式和半鞅理论的作用下已经形 成了一套相对成熟的理论体系。随机微分方程不仅有直接的应用背景，例如随机 微分方程在经济金融，分子物理学，化学动力学，环境科学，群体遗传学，信号 处理等多个领域得到应用，而且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几 何、势论等有非常紧密的联系。随机微分方程的应用要求对方程的求解，然而只 有很少一部分方程存在解析解，我们只能转而求数值解。已经有一系列的专著研 究s d e 的数值解【6 ，7 】。我们可以利用随机t a y l o r j 畏开，得到高阶的格式，i t 6 - t a y l o r l 畏 开是c a w a g n e r & p l a t e n ( 1 9 7 8 ) 乖t l p l a t e n & w a g n e r ( 1 9 8 2 ) 建立的，用相同的方式可以建 _ f f _ s t r a t o n o v i c h t a y l o r 展开，但是不管是多重的i t 6 t a y l o r 积分还是多重的s t r a t o n o v i c h - t a y l o r 积分都非常复杂。我们还可以用标准的有限差分和有限元方法来求解s d e ，不过 它们不适用于高维问题。由于经典m o n t e - c a r l o 法的计算复杂度不依赖于问题的空间维 数，我们可以用m o n t e - c a r l o 方法解决高维问题，虽然它的精确度不高。 与正向随机微分方程相比，倒向随机微方程( b s d e ) 的研究要滞后很多。这主要是因 为它们在结构上有着本质的区别，人们难以从正向随机微分方程出发猜出倒向随机微分 方程的形式。倒向随机微分方程的线性形式首先由b i s m u t 于1 9 7 3 年引入，而一般的非线 性情况下的基本框架是e p a r d o u x 丰t l p e n g 在1 9 9 0 年的文章【9 】提出并证明t l i p s c h i t z 条件 下倒向随机微分方程解的存在惟一性。著名经济学家d u f f i e 和i e p s t e i n 在研究随机微分效 用的过程中也独立地提出了倒向随机微分方程的一个特别典型的情况。在随后的十多年 里，倒向随机微分方程理论在金融期权定价、随机最优控制、偏微分方程以及经济学等 领域得到了广泛的应用。彭实戈教授在1 9 9 1 年得到了非线性f e y m a n n - k a c 式【1 1 】，它 给出了倒向随微分方程的解与一大类常见的非线性偏微分方程( 组) 的解之间的对应关 系，从而为将来利用m o n t e - c a r l o 型的随机计算方法计算大量的偏微分方程开辟了新的 途径。在随机控制方面，彭实戈教授在 1 0 】中得到了非线性最优控制问题的一般随机最 】 2 第1 章引言 大值原理。1 9 9 7 年，e 1 k a r o u i ，p e n g 和q u e n e z 在【5 】中详细介绍了倒向随机微分方程的 微分性质以及在金融中的应用，从此倒向随机微分方程被广泛的运用于金融理论的研究 中。随后彭实戈教授发现当倒向随机微分方程的生成元9 满足条件夕( t ，可，0 ) = 0 时它的解 具有很好的性质，从而他定义了一类非线性数学期望：9 期望，扩展了古典期望的定义。 9 一期望定义在一个给定的线性概率空间上，它是一般的线性数学期望的扩展，它几乎 保存了除线性性质以外的其他所有期望的性质，故它是一种拟线性期望，不能包含完全 非线性的情形。最近彭实戈教授在 1 5 】中引入了一般的时间相容的完全非线性期望和非 线性马氏链，在 1 6 ，1 7 1 中则给出了g 一期望的定义和性质。 g 期望不是在给定的概率空间上定义的，我们首先定义随机变量的一种非线性 分布一g 一正态分布。对一个给定的正数他，我们用f 咖( 黔) 表示r n 上所有的有界并且满 足l i p s c h i t z 条件的实函数组成的空间。一维的标准g 正态分布是定义在l i p ( n ) 上的一个 非线性期望： p f ( 妒) = u ( 1 ，0 ) ：妒u p ( r ) ，酞 ( 1 1 ) 其中札是【o ，1 】酞上的连续有界函数，并且是下面非线性抛物形偏微分方程的粘性解， 警一g ( 象) = o u ( 0 牡妒川 o ，o 。) 酞 ( 1 2 ) 其中g ( 口) = ( n + 一靠口一) ，0 0 【0 ，1 】是固定的常数，矿= m a x o ，口 ，a 一= ( 一口) + 。 我们注意到函数g 可以写为g ( 口) = s u p a 。9 lo - 2 a 。上面的非线性热方程是一种特 殊的h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n 方程。当c r 0 = 1 时，上面的偏微分方程变为标准的热方 程，g 正态分布成为古典的标准正态分布n ( 0 ，1 ) ： 砰( 沪踯) = 而1 仁e 一譬 ( 1 3 ) 我们i s g - 正态分布为g ( o ， l ，爵) ) ，相应的均值为x r 方差为t o 的g 一正态分布 为砰( 妒 + 析) ) ，我们把它记为华( p ) ) ，它是上面初值条件为u ( o ，) = 妒( ) 的热方 程的粘性解。 山东大学硕士学位论文 3 通过g 正态分布我们引进点则过程被称为g 一布朗运动的g 一期望。具体定义见【1 6 】的 定义9 和定义1 0 ，g 正态分布具有单调性、保常性、次可加性、正齐性和常数平移不变 性。而且对于特殊的l 印假) ，我们有如下的性质： 命题1 1 ： 如果是凸函数，则 吼) = 去仁) e x p ( 一- 一f f ) d x 如果妒是凹函数，则 ( 1 4 ) 砰( 妒) = 去仁) e x p ( 一獗x 2 ) 如 ( 1 5 ) 事实上，当函数妒f t p ( 酞) 为凸( 凹) 的时，u 关于z 也是凸( 凹) 的，从而器 o ( 0 ，以及连续函数埘：瓞+ x r + _ 酞+ ( 瓞+ 三 0 ，o o ) ) ，它关于其每个变量均单调增加，满足w ( r ，0 ) = 0 ，v r 0 ，使 得下述成立：g t ，f 0 ，t 】，z ，仝r n ，缸u ， ：二：三：二；i：兰i：i兰盂lilz一宕|i+伽(iizli v i l 宕l l ，l 亡一司) c 2 3 ， g ( t ，x ，u ) 一g ( i ，宕，i t ) i w ( 1 l x l lvi l e l l ，l i x 一岔0 十i t i l ) ， i h ( x ) 一 ( 仝) isw ( 1 l x l ivi l e l l ，i i x 一童i i ) ， l g ( t ，0 ，u ) l ，f ( o ) i l 在假设2 i i 下，对任何的“( ) 彩【亡，t 】以及z r n ，( 2 2 ) 式存在唯一解， 玑，霉( ；札( ) ) 。然后，定义性能指标为： ，t 以，茹( 札( ) ) = 9 ( 7 ，y t ，( r ；乱( ) ) ，u ( r ) ) d r + h ( y t ，茁( t ) ) j t 对这种无终端约束无状态约柬的情况我们可以提出下述的最优控制问题。 ( 2 4 ) 记作玑，卫( ) 兰 ( 2 5 ) 问题d 红：对任何给定的( 亡，z ) 【0 ，t ) r n ，寻找u ( ) 彩陋，t 】使得 五，霉( u + ( ) ) 20 晶划札( ) ) 在问题d 虹中，取( t ，z ) = ( 0 z o ) ，即得问题d 。因此，在假设2 1 t ，问题d 是问题d 。茁的 一个子问题。这种通过整体的( 关于时间t 而言) 研究问题仇王，从而得到问题d 的解的 卜神2 o 蹋矗小”厶小【0 t h ( 2 6 ) 。i 掣z ) = 九( z ) ，比黔 命题2 2 ： 存在连续函数口：r + 一r + 和面：酞+ 酞+ _ 瓞+ ，面关于每个变量均单 移( t ，z ) i c ( 1 l z l l ) ，v ( t ，z ) 【0 ，t 】跫n ， 钞( t ，z ) 一t 7 ( 仝) i w ( 1 l x l lv1 1 仝1 1 ，i i x 一仝| i + i t i l ) ，v t ，【o ，t ) ，z ，童酞n 下面的定理给出了值函数应该满足的一个必要条件。 定理2 1 ：对任何( ，z ) 0 ，t ) r n 以及s 扛，邪，下述等式成立： 吣，引= 讣脚i n f 州 0 ，p ) 是一个给定的满足通常条件的概率空间，在它上面定义一个仇维的 标准布朗运动( t ) 。随机最优控制的状态方程是具有下面形式的随机微分方程： ，t ( 州邢州线毗叭札唧，丁】， 仁埘 u ( ) 彩3 【0 ，碉兰( 札( ) ： 0 ，t 】xq 一弘t ( ) 是可测的且是 。适应过程。 对任意的秒r “，方程( 2 1 1 ) 在( q ，芦， 8 晓。p ) 上有唯一的解z ( ) 。 ，( ，z ( ) ，u ( ) ) l 1 。y ( o ，t ；r ) ， ( z ( t ) ) b ( q ：r ) 在不引起混淆的情况下，我们把( q ，p ，( ) ，牡( ) ) 钐埘 s ，t 】简单的记作u ( ) 彩埘【s ，j f l 】。我们的最优控制问题可以作如下的描述： 问题s y ：对给定的( s ，秒) 【0 ，t ) r n ，寻找五元组祝( ) 兰( q ，声，p ，彬( ) ，雹( ) ) 彩w i s ，r l 使得 j ( s ，掣；霞( ) ) = ，“1 i 彩n f 。p ，? 】j ( s ，秒；戗( ) )t ( j 掣” s ，引 我们对函数6 ( 厶z ，t ) ，盯( 亡，z ，t ) ，f ( t ，。，札) ， ( z ) 作如下的假设： 1 0 第2 章h j b i 寓微分方程 假设2 2 ： ( d ) 是波兰空间，t 0 ，函数6 ：【0 ，t 】r “u _ 1 r “，伊：【0 ，列 r n u _ 酞似m ，：【0 ，卅酞n u 一瓞，h ：酞n 一酞均一致连续，且存在常数l o 使 得x c ：( t ，z ，扎) = b ( t ，z ，乱) ，仃( 亡：z ，札) ，f ( t ，茹，t ) ， ) 下述成立： ：三：三i二；l二：j未支：!三三ix。，-丁：】：i二j。【0丁】z，宕酞nu以 在假设2 2 t ，对任意的( s ，y ) o ，t ) xr ”和u ( ) 彩址 s t 】方程( 2 1 1 ) 有唯一解。我们 定义问题s 的值函数如下： 以舢卜蕊秒计”v 。彬磨【o ，丁h 黔 ( 2 1 2 ) iy y ) = ( 秒) ，v y 黔， 下面的命题给出了值函数的一些基本性质 命题2 3 ： 假设2 。2 成立，那么值函数y ( s ，可) 满足： v ( s ，秒) l k ( 1 + i y l ) ，v ( s ，y ) 0 ，t 】r n ， v ( s ，y ) 一y ( ，雪) i k l y 一雪i + ( 1 + 1 秒lvi 雪1 ) l s 一1 1 2 ) ，v s 0 ，丁】，y ，多酞n 下面的定理称为随机控制问题的最优性原理。 定理2 3 ： 假设2 2 a 立，那么对任意的( 8 ，y ) 【0 ，t ) x 豫n ，下述等式成立： y ( s ，秒) = u ( ) i n fe j 。，( 亡，z ( 。；s ，剪，u ( ) ) ，u ( 。) ) d ，s + y ( ，z ( ；s ，夕，札( ) ) ) ) ， v 0 s t ( 2 1 3 ) 山东大学硕士学位论文 1 1 我们称( 2 1 3 ) y 潲机动态规划方程，它显然比方程( 2 7 ) 更复杂，不能直接求解。下面的命 题给出t v ，) 满足的形式比较简单的偏微分方程。我们用g 1 ，2 ( 【o ，t 】r n ) 表示所有连 续函数u ： 0 ，卅r n _ r 的集合使得v t ，v z n i v z 霉在( ，z ) 处均连续。 命题2 4 ： 假设2 2 成立且值函数y c 1 ，2 ( 【o ，t 1 r - ) ，则y 是下面二阶偏微分方程 终值问题的解： 其中 一k 十s u p g ( t ，z ，u ，一k ，一) = 0 ， ( t ，z ) 。【o ，t ) p ， u u ( 2 1 4 ) y l t 型r = ( z ) ， z p ， g ( 亡，z ，也，p ，p ) a 互i t r ( p ( 亡，z ，乱) 盯( t , x , i t ) t ) 十( p ，6 ( ，z ，t 1 ) ) 一l ( t , x , u ) ， v ( t ，z ，t ，p ，p ) 【0 ，t 】r nx u 廷n 8 n 我们称( 2 1 4 ) y 寸问题s 的h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程。函数a ( t ，z ，u ，p ，p ) 称为广义h 抓i l t o n 函 数。当盯( ，z ，u ) 兰0 时，( 2 1 4 ) 就成为( 2 8 ) 。 2 3h j b 方程在金融中的应用 本节我们给出h ，b 方程在最优投资策略和期权定价中应用的几个例子。 例2 1 ：( m e r t o n 模型) 我们假定一个完备的金融市场中有2 种资产在连续 、 的交易，第1 种为无风险债券，另外一种为股票。记债券的价格过程为p ( ) ， 在0 t 8 t 上，假定它满足如下的常微分方程： d p , = r 只d s ，r = p 0 ， ( 2 1 5 ) 其中r 称为短期利率。我们记股票的价格为s ( ) ，它在 o r 】上是一个扩散过程， 在0 t 8 t 上，满足如下的随机微分方程： d s s = 口s d s + a s , d 帆 & = s 0 ( 2 1 6 ) 市场参数弘和盯分别称为平均回报率和波动率。假定t r 0 ， 0 。巩是定义在概率 空间( q ，p ) 上的标准布朗运动。 财富过程满足k = 砖+ ? r s ，以和几分别表示投资者在时刻s 持有无风险债券和股票的 市值。由价格方程( 2 。| l s ) 和( 2 ，1 6 ) 容易推得财富过程满足的方程为： d x s = r 咒d s + ( 肛一r ) 7 r s d s + a r , d w 。 财富过程墨必须满足如下的状态约束： 咒0 ，a e t 8 t ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 记只= ( 帆；t 札s ) 。控制7 r s ，t s t 称为容许的，如果它是五循序可测的满 足ef 程幽 0 ，肛 口和r q 。进一步我们定义“风险市场价格”口= 孚，则此时市场是 完备的并且价格模型( b ，s ) 是无套利的。价格过程的无套利意味着在( q ，) 上p 的等价概 率测度p b 使得贴现价格过程( 1 ，酬b ) 在p b 下是一个五鞅。由市场的完备性知鞅测度p b 是 唯一的。两个概率测度p 和p b 等价时说它们在( q ，芦) 上有相同的零测集。由g i r s a n o v 定 理，再可测的r a d o n n i k o d y m 导数人，t ) = d f 名( 牡，) d p ) 对( 训，t ) q 【0 ，f 】存在， 可写成下面的形式 ，= e x p ( 一z 。等d 眦一j 1 o i 孚阳s ) 在这个新概率测度p b 下， 时= o 。孚蚺姒，吲咽 ( 2 2 2 ) n u = 五 u ，p z r 彻 7 卜 p 一一， k 丌r 0 一 = m 十 仉 ；耄 u u丌 k 如 1 2 u ，l ： | i 叭丌 十 r 札 u ，i-，、l 1 4 是一个布朗运动。股票价格s 可用b 如下表示 6 f & = ( r a ) s , d t + 盯s , d w 2 ( 2 2 3 ) i 扫i t 6 公式，我们从( 2 2 i ) 和( 2 2 3 ) g 知，贴现股票价格& = e - - t q ；& 是( 五，p b ) 鞅并且满足 d t - 叮t d w ? 。 下面我们考虑欧式p a s s p o r t 期权的定价问题。我们用x u = ( 掣，t 0 ) 表示交易 者创建的一个交易帐户，它的值取决于股票s 的样本路径和一个五可料的交易策 略u u r ，让t 表示t 时刻股票的数量。假设给定了交易帐户x u 的初值x ，交易策略u 满 足一定的条件，则交易帐户掣在t 【o ，t 】时刻的值由下式决定 x 芒= z + t u , d s s 对任意的u u ，r 和 0 ，t 】我们假定随机过程霹满2 ：e p i x ：1 2 t 这里k 是期权的敲定价格，7 是过程& 首次达到障碍日的时刻，即 r = i n f t o ；& 日) 假设p 是风险中性概率，0 k ( r c ) 】，0 t t 对波动率是常数的情况，吼= 仃，( 22 飞) 的显式解可由布朗运动的反射原理得到，详 见【1 8 】。( 2 2 s ) 还是如下有终端值和边界条件的偏微分方程的解 瓦0 秽( ) + 耖e 2 砸o q 2 郇( ) = 。，。t 丁，。z 日 v ( t ，z ) = ( z k ) + ，0 z ( r 一) 小 寸亡 此时的期权价格是下面坷b 方程的解 缸卅圭溜p 最小卜唆 t ，啦 日 t 7 ( ez ) ：( 。一k ) + ，0 z h ( 2 2 9 ) v ( t ，h ) = o 0 t t 。 方程( 2 2 9 ) 也被称为b l a c k s c h o l e s b a r e n b l a t t 方程( b s b 方程) 。作变换 剪= l n 砉， 口= 肌 第2 章h i b 商徽分方程 则方程( 2 。2 9 ) 可化为： 缸州+ 耙p 釉锄，) = 0 ，唆 丁一。 删， 乜( 丁，可) = ( e 掣一菩) 十， 一。o 3 f o u ( t ，0 ) = 0 ，0 t t 利用镜像法，定义 的，怔 易见妒( 秒) = 一妒( 一秒) ，即够( 秒) 是奇函数。在( 可酞，0 t t ) 上考虑c a u c h y 问题： ( 2 3 0 ) j 去札c t ，秒，十三富酱 砖寻札 ，秒，) = 。，。亡 e 箩r ， 。2 3 1 ， i u ( t ，y ) = 妒( 可) ，箩r 它在d ： z ( 一0 0 ，0 ) ，0 t t ) 的限制适合定解问题( 2 3 0 ) 。 第3 章h j b 方程的离散格式 3 1 问题的提出 在例2 3 中，令 露刮券灶 则方程( 2 3 1 ) 可以写为： 晚茁， 屯， 筹+ 三屯( 雾) + _ 12 ( 券) 一- o ，唆 e 脚， lu ( t ，y ) = 妒( 秒) ，y r 波动率的选择依赖于券a 本节我们考虑g 一期望对应的h ，b 方程的离散格式。我们用有限 差分方法离散如下的h i b 方程， 祟刊舰，耄)耄，【o，t1(aoi ，z ( 喵。o ) ， 瓦2 o ，仃l ，丽j 丽 【u ，z t o 。o ) u ( o ，z ) = 妒( z ) 其中印，仃1 是正常数，0 o o 0 i 一 一圹气一旷塑裁矿 ：半 第3 章h t b 方程的离散格式 众所周知，差分方法是通过用差。两代替微商对方程以及定解问题离散化。如 果3 = ，( z ) 充分光滑，那么用差商来代替厂( z ) 和，( z ) 有以下几种典型的格式， 向前差商 心丛掣， 向后差商 删塑掣， 中心差商 州丛唑拶， 二卿心差商州丛坐譬磐型 由t a y l o r 展开，我们知道向前和向后差商的误差是1 阶的，而中心差商和二级中心差商具 有2 阶误差。建立与偏微分方程相应的差分格式有多种方式，从求解的方式来划分可以 分为两大类，一类是显式差分格式，求解的过程是显示的，通过直接运算求出它的值； 另一类是隐式差分格式，求解的过程必须通过求解一个代数方程组才能得到它的值。 为建立( 3 j ) 的差分格式，首先在区域 一 z ，0 t t ) 上设计一个网格。以 间距h 等分直线一o 。 z 。，以间距a t 等分线段0 t t 。记分点x ，t n ) 为 轨= i h ，一o 。 i 。o ， n = 他，o 扎，2 忐 个 为了叙述方便，用( z ，咒) 表示网格节点( 溉，如) ，函数u ( x ，t ) 在每一个网格点( i 、礼) 上的值记 作 u t r l , = u ( 救，t n ) ( i = 0 ，土l ，；n = 0 ，1 ，) 3 2 差分格式的建立 显式差分格式 在显式差分格式中，我们对象采用向前差分，对象在如处采用二级中心差分，即 警亟型a 型t 型= 盟a 型t ，况 象亟剁苎簪业亟型= 盟挚 山东大学硕士学位论文 2 1 1 1 1 1 1 1 1 _ ! ! ! _ ! ! ! ! ! _ _ _ _ ! ! ! ! ! ! e ! ! ! ! _ e _ s ! ! _ ! ! ! ! ! ! ! _ ! ! e _ ! ! ! ! ! ! ! # ! ! ，_ ，_ ， ，! ， 记 d i u ? = 盟学， 则方程( 3 ，：i ) 的显格式可写为： l 学刮o r o , 0 i , ) 触脚& ( 3 4 ) i t t 譬妒( 圳 当n = o 时，u 的值为已知。因此如果当t = 亡n 时，t ? 的值为已知，d ；t ? 的值也可以计算 得到，从而可确定n ( c r 0 ，盯1 ，d 2 孵) 的值，则由差分方程( 3 4 ) 得计算公式 t ? + 1 = ( 1 2 q t ) 扎? + q t 乱苒1 + o t i u i ”_ l ( 3 5 ) 其中佻= 第咖期，d x u m 我们可以通过直接计算得到当亡= t n + l 时，u 的所有值u n + 1 ( i = 0 ，5 = 1 ，) ，依次类 推，我们可以通过求解( 3 4 ) 得到所有u ? ( i = 0 ，土1 ，0 冬扎) 的值，这就是典型的 在隐式差分格式中，我们对象采用向前差分，对象在n + 1 处采用二级中心差分，即 丽( 9 2 u 亟血盥掣刿= 盟i + 1 - - 学 咖：盟掣， 则方程( 3 1 ) 的隐格式可写为： j 学( 嘶嗷+ 1 ) 刚“， ( 3 6 ) lu 譬妒( 靓) 容易看出，确定n ( c r 0 ，盯1 ，d _ 1 1 2u t r l + 1 ) 需要先知道u ? + 1 ) 的值，但是u y l 是方程( 3 囊) 的未知 量。所以我们不能通过解方程组来得到札r 1 的值。下面我们给出一种求解“? 十1 的迭代方 令u n + 1 满足如下的方程， = 。( c r 0 ：q l ，d h 2u 脚“，1 - - 0 , 1 , - ， ( 3 7 ) ( 3 ，7 ) 中的口( c r o ，盯l ，d 1 2 n + 1 。) 可以由“? + 1 。确定，从而可以通过解方程组求得u ? + 1 。“。迭代 停止的标准为i u ? + 1 ，十1 一札t t l + 1 j j ，此时我们用t 0 + 1 1 来近似u r l 。 在半隐差分格式中，我们对象采用向前差分，e a ( a o ，盯1 ，器) 中的丽0 9 2 u 在住处采用二级 中心差分，对a ( a o ，盯1 ，券) 后面的的券在k + 1 处采用二级中心差分。方程( 3 i ) 的半隐格 善学刮酮孵1 ， ( 3 8 ) i t 妒( 鼢) 当n = 0 时，祝的值为已知。因此如果当= k 时，u ? 的值为已知，则由差分方程( 3 8 ) 得计 ( 1 + 2 0 e ) t u ? + 1 一口l t 正搿一口i t 正t n _ l + t = 扎? ( 3 9 ) 这里未知数是u r l q = 0 ，4 - 1 ，) ，o t i f r o ，f f l ，亚产) 。 由于方程( 3 9 ) 是包含无穷个未知数的代数方程组，因此为了解这个方程组，通常需要 在i ：m 和i ：一m 处( m 是充分大的正整数) 补充边界条件，把它变成一个包含有限个 未知数的线性方程组。假如我们已知当z _ 土。时解u ( x ，t ) 与初值妒 ) 有相同的性态， 即若已知 z 骧等_ 1 忱【0 ，t 】 则在z = m h = x m 和。= 一m h = z m 处，补充边界条件： t 正苷1 = v ( x m ) ， 礼一m = 妒( z m ) ( 3 1 0 ) 婶一 0 二 兰拦一 坚矿 ，iil-(1i【 山东大学硕士学位论文2 3 如果l i 耳lv ( x ) = 妒士( 常数) ，我们取 z 士 u n 。- t - 1 = 妒+ ，u 瑚= 一。o ( 3 1 1 ) 这样考虑到边界条件( 3 1 0 ) 或( 3 1 1 ) ，我们得到一组有2 m 一1 个未知数t r 1 ( 一( 吖一1 ) m 1 ) 适合的线性方程组( 3 9 ) 。即 a 泸+ 1 = 户+ 1 ， 其中伊+ 1 和产+ 1 都是2 m l 维向量，a 是( 2 m 1 ) x ( 2 m 一1 ) 阶矩阵， 矿+ l ： a = 让臻+ l 让碰l 而+ 1 一 j一 ，n + l j m + l ，n + l j m l l + 2 0 f m + ia m + i 一口一m + 21 + 2 a m + 2 0 0 一a m 一11 + 2 a m l 以及q t 印，o 1 ，红专组) ， 一m + 1si m 一1 ， 擤l = 让! f + 1 + 口妒一， 疗+ 1 = 乱? ，( 一m + 2 i m 一2 ) ，；端= t | 孙一l + q 汐+ - c r a n k - n i c o l s