（理论物理专业论文）接触势对aharonovbohm散射的有限修正.pdf

接触势对a h a r o n o v b o h m 散射的有限修正 专业：理论物理 姓名：胡新建 指导老师：林琼桂 摘要 a h a r o n o v b o n ( a b l 效应是量子那论中最为引人八胜的物理效应之，并已经得到实 验的有力支持a b 效应的一个最简单的情况是a b 散射，它可以用严格的量子力学方法来 处理具体地说，a b 散射的微分截而_ 以通过求解s c h r s d i n g e r 方程计算出来， 在a b 散射的研究文献中，一方面是关于a b 散射的相对论效应、极化效应以及粒子的 反常磁矩对散射的影响；另一方面是标量势( 比如二维c o u l o m b 势、刚球势等) 与a b 矢势 结合对散射的影响 本文回顾了a b 散射的解析计算过程，并在此基础上考虑接触势对a b 散射的影响根 据以前的文献上的研究，存在能独自引起散射的接触势形式但本文所考虑的接触势形式就 其本身而言并不引起散射，因此，人们有理由认为该接触势对a b 散射也不会产生影响通 过计算，我们发现般情况下的结果确实如此，然而，当接触势中的参数和a b 势的磁通量 取某些特定值时，接触势给出了有限的修正，使得a b 散射的角分布发生了戏剧性的变化 由于接触势的奇性在原点，为了避开这极坐标的奇点，本文先将接触势处理为半径 为n 的圆环势另外，我们用两种方法处理磁通，一是磁通集中于原点，二是磁通均匀分布 于半径为n 的圆内在计算的最后令。一0 ，两种情况下都同样得到上述结论，只是参数的 具体取值有所不同本文结合a b 散射的精确解析计算和一般分波法的思路，得到了一般a 值情况下圆环势对a b 散劓振幅的修正的一般解析表达式，在方法上也有一定的创新 在一定程度上，圆环势可以模拟实验上使用的螺线管或磁铁丝，用于研究实验装置本身 对a b 散射的影响但我们不知道怎样的装置( 比如磁铁丝的粗细、硬度等) 能够对应于引 起有限修正的理论参数，因此，用实验验证本文的结论足有困难的但无论如何，本文的结 果在理沦上是有意义的，也是有趣的 关键词：a h a r o n o v b o h m 散射，接触势，有限修正 摘要 f i n i t ec o r r e c t i o nt oa h a r o n o v - b o h m s c a t t e r i n gb yac o n t a c tp o t e n t i a l m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：x i n j i a nh u s u p e r v i s o r ：q i o n g g u il i n a b s t r a c t t h ea h a r o n o v b o h m ( a b ) e f f e c ti so n eo ft h em o s tr e m a r k a b l ee f f e c t si nq u a n t u m t h e o r y t h ee f f e c th a sb e e nv e r i f i e db ye x p e r i m e n t sl o n ga g o t i l es i m p l e s ta s p e c to ft h ee f f e c ti st h es c a t t e r i n go fc h a r g e dp a r t i c l e sb yas t r i n go fm a g n e t i c f l u xc r e a t e db yav e r yt i n ys o l e n o i do ram a g n e t i ci r o nw h i s k e r i nt h e i d e a l i z e dl i m i tw h e nt h e s o l e n o i do rt i l ew h i s k e ri s i n f i n i t e l yl o n ga n di n f i n i t e s i m a l l ys m a l l ，t h es c a t t e r i n gp r o b l e mc a nb e c a l c u l a t e ds t r i c t l yi l lq u a n t u mm e c h a n i c s i nt h el i t e r a t u r eo fa bs c a t t e r i n g ，o n ea s p e c ti st h er e l a t i v i s t i ce f f e c t ，t h ee 踮c t so fp o l a r i z a t i o n a n dt h ea n o m a l o u sm a g n e t i cn l o i n e n t ，t h eo t h e ro n ei st h ee f f e c to fas c a l a rp o t e n t i a l ( t h ec o u l o m b p o t e n t i a li nt w od i m e n s i o n so rt i l eh a r dc o r ep o t e n t i a l ，s a y ) i nt h ea bs c a t t e r i n g w ec o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo fac o n t a c tp o t e n t i mo i lt i l ea bs c a t t e r i n g a c c o r d i n gt op r e v i o u s r e s u l t si nt h el i t e r a t u r e ，s o n mc o n t a c tp o t e n t i a lc a nl e a dt os c a t t e r i n ge f f e c t b u tt h ec o n t a c t p o t e n t i a lc o n s i d e r e di nt h i st h e s i sc a nc a u s en os e a t t e r i n gb yi t s e l fh o w e v e r ，t h ea bs c a t t e r i n g c r o s ss e c t i o ni sd r a m a t i c a l l yc h a n g e db yt h ec o n t a c tp o t e n t i a lw h e ni t sp a l a m e t e ra n dt h em a g n e t i c f l u xi na bp o t e n t i mt a k es o l n es p e c i a lv a l u e s t oa v o i dt h es i n g u l a r i t yo ft h ec o n t a c tp o t e n t i a la tt h es i n g u l a rp o i n tr = 0o ft h ec y l i n d r i c a l c o o r d i n a t es y s t e m ，w et r e a tt h ec o n t a c tp o t e n t i a la 8t h ea 0l i m i to fac i r c u l a rr i n gp o t e n t i a l w i t hr a d i u sa w et a k et w od i f f e r e n tl i m i t i n gp r o c e s s e s ，f i r s t l yt h em a g n e t i cf l u xi sc o n c e n t r a t e d a tt h eo r ：i g i n ，s e c o n d l yt h em a g n e t i cf l u xi s u n i f o r m l yd i s t r i b u t e di n s i d et h ec i r c l er = o ，a n dt h e l i m i ta 0i st a k e na tt h ee n do ft h ec m c u l a t i o n s t h et w op r o c e s s e s g i v er e s u l t so ft h es a m en a t u r e k e yw o r d s ：a h a r o n o v - b o h n ls c a t t e r i n g ，c o n t a c tp o t e n t i a l ，f i n i t ec o r r e c t i o n l v a b s t r a g t 第一章引言 在经典电动力学中，电磁场的基本物理量是电场强度( e ) 和磁感应强度( b ) 矢量势 和标量势的引入可以给电磁场方程的求解带来方便，但它们只是辅助量，没有观测效应 然而在量子力学中，势具有更基本的地位，它们直接进入h a m i l t o n i a n ，这使得在没有 电磁场的地方，势本身也可能引起物理效应a b 效应就是一个典型的例子 1 1a b 效应 1 9 5 9 年，y a h a r o n o v 和d b o h m ( 1 】讨论了量子领域的电磁势的性质，得到与经典理 论预期不同的结果，并建议了实验来检验结论 他们设想了两个分别与电势和磁矢势有关的实验，用来讨论和验证电磁势在量子理论 中的角色与电势有关的实验如图11 所示： 图l1 ：粒子束干涉俯视图( 加f a r a d a y 筒) 电荷为q 的入射粒子a 分解成两束，分别经过两条路径p 1 和p 2 ，然后在干涉区汇聚， 并在屏幕上显示“条纹”在粒子经历的两条路径上，分别放置两个f a r a d a y 圆筒( 中空的 圆柱形金属筒，内无电场) ，筒上的静电势仅与时间有关，分别为妒。( t ) 和妒2 ( t ) 按照经典 理论，粒子通过的路径上均无电场，就不会受到静电势的影响 然而在量子理论里却不是这样在f a r a d a y 筒内部，有h = 吼) + g 妒( t ) ，凰是妒( t o ) = 0 时的h a m i l t o n i a n ，对应的波函数的解为讥( z ，t ) 则对于h a m i l t o n i a n 为日的方程，满足 !堕 的解为 妒= 妒。e _ 剐 ，s = q i 妒( t ) d t 不存在f a r a d a y 筒的影响时，两束粒子的波函数在干涉区进行叠加，可以写为币( ，t ) = 妒2 ( 。，t ) + 键( 。，t ) ，咖? 和镀表示电势不存在时通过两金属圆筒的波函数两个金属筒作用 是一样的，即静电势都会对粒子束产生影响，丁是新的干涉的结果是 妒= 妒? e - i s - + 妒! e 一1 昂“= e 一1 s 1 肛 币? + 妒：e 一一s 1 7 1 这里 & = 。州姚岛= a 吲牡 显然，两部分粒子束干涉只依赖于相位差( s 2 一岛) 厅，可见即使没有力作用到粒子上，仍 然会出现电势的物理效应从经典理论的角度来看，这种干涉现象有点令人惊奇，但在量子 理论中却是十分自然的结果 图1 2 ：粒子束干涉俯视图( 加螺线管) 另外，从相对论的角度考虑，电势妒与磁矢势a 是体的的四维矢量，对a 应该有 类似的结果，以上积分的一般形式口j _ 以写作 学一7 f ( 讪+ 罢m ) ， 此时的积分路径是一条时空坐标上的封闭环路 类似的，a h a r o n o v 和b o b m 设想的仅与磁矢势有关的实验如图1 2 所示：在带电粒子 束双缝干涉实验的基础上增加一个较为理想的载流细长螺线管，管内为轴向的匀强磁场分 1 1a b 效应 3 布，管外区域无磁场同样依据经典分析，螺线管的磁场局限在管内，不会对粒子的干涉有 影响 在这种情形下，标量势不予考虑( 与时间无关) ，此时的积分路径退化为一空间坐标上 的闭合环路以上讨论的粒子的相位差简化为 塑h = 旦h c 歹川z u 对应以上的实验情景，我们知道，磁矢势围绕封闭螺线管( 磁场不外泄) 的环路积分可以写 成面积分，结果是一个通量 a - d z = l bd 8 = 龟 其中b 为磁感应强度半定性的分析汁算预言粒子干涉条纹会受磁通影响，而且有准确的 定量关系不同路径的带电粒子的相干波函数存在新的相移 曲= 鬟 由此，y a h a r o n o v 和d b o h m 指出，在电磁场强度为零( 但欠势或标势不为零) 的区 域中运动的两束带电粒子，波函数会发生不同的相位变化，并会出现与电磁势有关的新的干 涉现象后来在实验中的确观测到磁矢势引起的干涉现象，并被称为a h a r o n o v b o h mf a b l 效应严格来说，上面讨论的涉及磁矢势的带电粒子的新干涉现象是磁a b 效应，而涉及电 势的电a b 效应由于技术上的剐难，尚未在实验上观测到，所以通常所提到的a b 效应指 的是磁a b 效应 在a h a r o n o v 和b o h m 的工作之后，实验初步证实了理论预期2 1 自此，a b 效应成为 量子理论中最引入入胜的物理效应之一由于a b 效应的实验要求并不低，早期的实验的 精确性并不能令人满意，因为理想的细长螺线管磁场很难获取，即很难保证磁场的封闭性 直到1 9 8 3 年，at o n o m u r af 3 1 等人在超导条件下观测到螺线管内量子化的磁通量，当然试 验结果也印证a b 效应的存在；1 9 8 6 年，他们实现了条件更为严格的干涉实验4 1 ，直接证 明了a b 效应的存在和磁通量子化 在此之前，对于a b 效应的理论解释一直争论不休，删念相角度也是多种多样的( 5 很多人从类似于经典的光的干涉理论去分析解释，很少从量子理论的h a m i l t o n i a n 上考虑， 但有人尝试过基于费曼路径积分的分析计算6 1 4 引言 1 2a b 散射 多年来，物理学各领域中与a b 效应有关的问题受到广泛的关注，研究文献汗牛充栋 但实际上a b 效应的严格计算在数学上是相当困难的，比如上面讨论的关于a b 磁矢势引 起的双缝干涉条纹的移动，就是借助于与光学类比的计算方法其中提到的“路径”，“粒子 束”等都是与经典的“轨道”，“光束”类似的概念分析计算也不是依据量子理论的标准框 架，而是一种半经典加上定性分析的方法而能用严格的量子力学方法进行处理的是a b 势 的散射f 1 ，5 ，7 ，8 1 a b 散射的物理图像非常简单( 如图1 3 ) ：有一极细极长的螺线管( 或磁铁丝) ，能产 图13 ：_ 维带电粒子的a b 散；| 寸示意图 生局限于很小区域内的磁通量，带电粒子从远处垂直于螺线管( 散射中心) 入射，粒子将受 到散射，出射粒子具有确定的角分布在螺线管的半径无穷小而长度无穷大的理想情况和低 能条件下，该问题用含磁矢势的s c h r 6 d i n g e r 方程可以精确求解 在散射问题中，人们感兴趣的足散劓粒子的角分布，即微分截面。它依赖于势的形式， 也与入射粒子的能量有关 a h a r o n o v 和b o h m 的原始计算是基于s c h r 6 d i n g e r 方程1 1 ，其中一些细节的错误在后 来的文献里得到了修正 8 】文献 1 】和 8 】的计算中，粒子从右边入射，本文( 具体计算参 1 3 标量势对a b 散射的影响5 看第二覃) 按多数文献的习惯，粒子从左边入射，所得结果在形式上有所不j 司本文得到散 射波函数在r 一的渐近形式是 c a b ( r ，日) 一e “”妒+ ，a b ( 目) 1 ”， 第一部分表示入射波，第二部分为散射波其l - h 散射振幅为 删= i 裟篙， 入射波的相位因子则为 e l q 徊= e x p i r a 。( 目+ ”) + i 。e ( s i n 目) a r c s i n ( c 。s 口) + ； ) 其中v 由磁通决定( 见( 2 4 ) 式) ，1 2 0 和。由 决定( 具体见( 2 6 ) 式) ，e ( ) 是符号函数 散射截而为 。n e ( 目) = l ，一e ( 目) 1 2 = ! ! 掣i i 五，；丽 结果表明，a b 散射中出射粒子的角分布的特征根本不同于刚球势的散射，完全是新的散射 效应 以上考虑的是无自旋的低能粒子的a b 散射由于实验中常用的带电粒子是电子和质 子，具有1 1 2 自旋，在后来的研究中，通常以d i r a c 方程作为出发点基于d i r a c 方程 9 ，1 0 】 的计算表明，即使在非相对论极限下，极化粒子的微分散射截面也很不同于由s c h r 6 d i n g e r 方程得到的结果最近的研究考虑到粒子反常磁矩的效应，其出发点是d i r a c - p a u l i 【1 1 】方 程，结果是在大多数的情形下结论与无反常磁矩的一样然而，当入射能量取某些特定值时， 极化粒子的散射截面发生了戏剧性的变化 1 3 标量势对a b 散射的影响 关于a b 散射的研究的另一个方面足考虑标量势与a b 矢势结合对散射的影响首先 考虑刚球势f 5 ，7 ，这可以描述产生磁通的装置一螺线管或磁铁丝自身带来的效应结果 表明当刚球半径趋于零时，结果退化为a b 散射的结果，另外，二维c o u l o m b 势对a b 散 射的影响也有了研究，一些精确结果在非相对论 1 2 ，1 3 】和相对论 1 4 】情形下都可得到结 合矢量a b 势和标量c o u l o m b 势的模型可以近似地描述既携有磁通又带有电荷的二维粒子 的相对运动f 1 3 1 6 引言 在本文里，我们考虑接触势对a b 散射的影响其形式为 ， ( 1 t l a ) = 等寺型，( 1 1 a ) m 为粒子质量，q 是无量纲参数，r 为粒子运动的x y 平面上极坐标( r ，口) 的极径此标势 仅局限在原点为非零值，然而它的奇性也在原点r = 0 处，该点是极坐标的奇点为了避开 这一奇点，先将它处理为半径为a 的圆环势( 类似于三维空间的球壳势) v o ( r ) = 筹掣= 筹掣， ( 1 1 b ) 并且在最后取极限a 一0 ， 根据以前纯接触势量予散射的文献1 5 1 ，在三维条件下( r 为球坐标) ，的确存在能引起 散射的接触势形式( 1 1 a ) ，且仅当f 2 = 一1 时，才导致一个非零的散射截面；而在二维情形 下，只有当接触势的形式里包括一个附加的对数因子，才可能得到非零的结果这样的结论 的确有点令人吃惊，因为依据经典力学，接触势不会有任何散射效廊 在二维情形下，本文所考虑的接触势形式本身并不会引起散射依据这个绪沦和基于直 觉的物理判断，当a 很小时，圆环势( 1 1 b ) 对a b 散射的修正应该也是很小的，且当a 一0 ， 该修正应该消失的确，在大多数情形下这样的预期是正确的，然而还是有一点出人意料， 即当n 和a b 势中的磁通量取某些特定值时，a b 散射截面出现了戏剧性的变化 一般的，a b 势的形式为 a ( r ) = a ( r ) e o( 1 2 ) r 为z 口平面上的位矢，8 。为e 方向的基矢在随后的计算里，我们选择两种算法第一算 法中磁场b ( r ) = 西d ( r ) e ：集中在原点，中为磁场的通量，且e ：为：刖柚的基矢返列j 、i 于选择 而 a ( r ) 2 赤 ( 1 3 a ) 在第二算法中，磁场b ( r ) = ( ( p 7 _ r a 2 ) 秽( 。一r ) e 。均匀的分布在圆r = a 之内，此处一是阶 梯函数这对应于 jr o 2 7 r a 2 ， r 。 ( 1 3 b ) 1 3 标量势对a b 散射的影响7 在计算的最后我们令a 一0 ，分别得到两种情况下的结果 我们发现，在第一算法( 即对应f 1 3 a 1 式) 中，当 = ；，n = 一1 ， 则有 a f ( o ) = 2 ( c o s 0 1 ) f a b ( 日) ，口( 日) = ( 2 c o s 0 一1 ) 2 口a b ( 日) ， 显然，此时的有限修正影响非常明显，特别的有o ( ”3 ) = 0 ，口( ”) = 9 a a b ( 丌) ，接触势显著 的增强了反向散射 在第二算法( 即对应( 13 b ) 式) 中，我们得到的修正结果与第一算法完全相同，所不同 是更为复杂的参数条件 如果m o ：n n ，由以下的超越方程决定 型f ( 1 蔫2 毒一型f ( 1 2 舞1 地_ o ，礼，凡一a )，几十，几一血) “ 其中f ( a ，7 ，g ) 为合流超几何函数q 由下式给定 n = n f 口1 = 1 竺坚丝! 兰! ! 二竺2 f ( 1 2 ，礼，n 一“) 若m o = l n 且n n ，则由另一超越方程决定 兰! ! ! ! 兰! 兰二! ! 二1 22 f ( 1 2 ，n ，n 一( 1 一n ) ) 且q 由下式给定 竺! ! 丝，翌! ! ! = ! ! 二竺2 2 f ( 1 2 ，n + 1 ，n 一( 1 一o ) ) 一鬻 2 a = 0 最后的部分数值计算结果在表( 3 1 ) 中列出结果表明：不同的计算方法给出了本质上相同 的结果，虽然参数的具体取值有所不同 在一定程度上，圆环势也可以模拟实验上使用的螺线管或磁铁丝，用于研究实验装置本 身对a b 散射的影响但若尝试用实验来检验理论结果会存在一些困难，主要就是我们不 知道怎样的装置( 比如磁铁丝的粗细、硬度等) 能够对应于引起有限修正的理论参数但无 论如何，本文的结果在理论上是有意义的，也是有趣的 第二章a b 散射的精确解 本文的工作是基于s c h r s d i n g e r 方程研究非相对论条件下标量势对a b 散射的影响我 们先讨论a b 散射，因为它是本文进一步计算的基础 2 1 普通分波法 现在我们可以先写出定态的s c h r s d i n g e r 方程 妒岍 一嘉( v 宁i q2 圳小 皿， 把本文所讨论的矢量势( 1 2 ) 和标量势( 1 1 b ) 代入上面的s c h r s d i n g e r 方程，并将 h a m i l t o n i a n 展开，可以发现波函数能分离变量，故分波解可写成 砂。( n0 ) = ( r ) e “8 ，m z( 2 2 ) 对a b 散射，a b 势取形式( 1 3 a ) ，且不存在标量势，即q = 0 ，则具体的径向方程可 以写成 祭+ ；警+ 卜掣卜。， 仁s ， 其中= 、j 面面肺，入射粒子的能量e 0 无量纲参数 v = 熹， ( 2 4 ) 散射解将由这些分波解组合而成径向函数解是柱函数的线性组合，一般的形式是 。( r ) = n ，。工。( 打) + d 。- t i ，w 1 2 ( 鼢) 、 其中a 。和b m 皆为任意系数，厶一，( 七r ) 和 ，m 一。( 打) 是相应的b e s s e l 函数和n e u m a n n 函 数要保证r = 0 处波函数咖( o ) 有界 1 ，1 6 i ，则包括坐标原点的整个平面内的解只能取 r 。( r ) = o 。巧m - - 1 2 l ( r ) ( 2 5 ) 我们令 = m o o ，m o z ，0 o 1 ，( 2 6 ) 2 1 普通分波法 9 显然当v = 0 时，径向方程的特解为厶( 打) ，比较j 。( k 7 ) 和一。一，i ( 打) 在r o o 的渐近 形式，根据相移的定义我们可以读出a b 散射的相移6 挈= ( m i m 一”1 ) ”2 ，写成分段 形式 1 ，5 1 为 蹭= 并，：， 仁， 我们假定带电粒子从左边入射，依据一般的分波方法，为了使得波函数 o 。 o o 币( r ，口) = ( 一目) 一r m ( r ) e “8 ( 2 8 ) m m 2 一。 在r o 。处的渐近行为满足散别祥的标准彤式，即妒一+ ，为 7 曲渡“j 。征 此处为出射的球面波系数a 。宜取竹。= i “e x p ( j 豫8 ) 于是( 2 5 ) 式的径向解也可以写成 群( r ) = i ”e x p ( i 躜) b ( 群一等) 厶。( 打) “n ( 群一等) m 一”( 打) ( 2 9 ) 散射波函数决定径向解中的系数，而相移则是由边界条件确定的 将( 2 5 ) 式代入( 2 8 ) 式，波函数的渐近形式为 州卜妻i m e x p ( i 艄熹c o s ( 学一；) 对比平面波的展开公式的渐近形式 e x l ) ( i 机删) 一妻p 熹c 。s ( 枷一等一；) e m 自， 通过文献中分波法的标准汁算 5 ，1 6 1 9 ，( 2 8 ) 式在r 0 0 处的渐近行为可以表示成 蝴，”扩m + ，a b 乒m ， 具中散射报。崛的彤瓦为 ，a b ( 仆一丽1 墨( 萨聍一1 ) e “。 一焘分“嗨”一) ( 薹矿le “萎8 “9 ) ， 其中扎= m m o ，上式的级数求和在数学上是不收敛的其主要原因在于a b 势是长程势 普通分波法有一定的局限性在这种情况下，精确的解析计算只有另觅它途 ! q 塑塑蜷堕堡 2 2 精确解 本节用另一种方法精确计算散射振幅1 1 ，8 】，其思路是先求出妒的和式，从中读出散射 振幅将( z 8 式代入( 2 8 ) 式，把波函数的和写成 其中p ：k r 为了简化计算，我们定义函数 k ( p ，目，q ) ：妻e - ( n - o , ) “1 2 厶+ 。( p ) e 神， ( 21 0 ) ! j l i l 甬 讪= e i m o ( m ) n w ，2 厶( p ) + k ( p ，0 ，。) + k ( p ，一o ，一血) ( 2 _ 1 1 ) 下面对函数k ( p ，0 ，q ) 微分，利用柱函数的微分公式和递推公式【2 0 ，可以得到 骂笋= ；挈h 卢“萨“州m 分埘 ：；于e ( n - u + 1 ) ”2 + 。( p ) e 如+ 1 ) 8 一；f 。1 州2 厶+ 。( p ) e i _ p = ； 胆 + 。( p ) e “”li f ”“”厶”【p j e ：i c 伽日于e 咖刊丌2 + 。( pe i o + ：e 彬矽五( p ) + j - + n ( p ) ， 忑 一 于是得到一个关于它自身的微分方程 望丝! 嬖! ! 盟= ic 0 8 口k ( 岛8 ，。) + - i 艄 2 i e l 。j 0 ( p ) + 五十a ( p ) - ( 2 _ 1 2 ) 这样就可以把k ( p ，8 ，。) 写成积分形式，为以下计算带来方便根据函数的定义可知 k ( o ，0 ，n ) = 0 ，故可以写出它的积分形式的解 k ( np ，d ) ：a ( p ) p 8 _ i c o s 0p 五( e ) + + n ( ) 心( 2 1 3 ) 其中函数a ( p ) ：e x p ( 一io c 订2 ) e x p ( i p c 。s 0 ) 2 ，为了便于计算，我们设k ( a 口，“) = a ( 7 l 一 如1 ，实际上是将积分区间写成分段的形式，即 1 1 ：f 。i ( c o s 。f l ( ( ) + j 1 e - i e w j i + 。( ( ) d ( ， ( 2 1 4 a ) = k ”。 l ( ( ) + a ( ( ) j d ( ， 蛆j 1 加一 帕 种 沮 矽 十 枷 m d 曲 m 厶 一 班 咿 删 嘎。掣 日一 十 捌 k 一 帕一r 吖 m 卿乏) = = 妒 2 2 精确解 1 l 厶= e 。汩卯【i e 。厶( ( ) + j 1 + 。( e ) 】d e 计算，l 需要利用积分公式 2 0 】 。e徊。厶(z)d。=!里警，一1卢-2j0 1 、一p 一 而在此处，口= 一c o s 0 ，于是 结果为 e x p i ( 1 + d ) a r c s i n ( 一c o s0 ) 、厅二丽 s i n o l i c o s 0 + i e l 。 = 一 s i n0 i + i e e x p i c e 。a ：r c ：s ：i n ：( ：- ：c o s 一0 ) 、l c o s 20 ( 2 1 4 b ) ( 2 1 5 ) ，1 = 1 一e ( s i n 目) e x p 一i na r c s i n ( c o s 目) 】， ( 2 1 6 ) 其中e ( ) 为符号幽数 对于一般的p ，如无法用初等函数表出，但散射解关心的是径向无穷远处的结果，即求 解p o 。处的如值在p o 。处，b e s s e l 函数的渐近形式为厶( p ) 一v 厄r p c o s ( p w r 2 7 r 4 ) ，代入( 2 1 4 b ) 式，可以将。的积分写成两部分 如，e ( p ，0 ，o l ) 4 - i e 。e ( p ，0 ，o 一1 ) ， ( 2 1 7 ) 其中 ，帅) = ”e 坦8 委c o s ( e 一；一警一孔，一， ( 2 1 8 ) 变换e ( p ，0 ，血) ，并改变积分变量，得 驯，沪候考筹口+ 钙篇嚣詹酽咄 其中，代换变量为z ( ( ) = e ( 1 一c 0 8 口) 5 1 ，( ( ) = f ( ( 1 + c o s 0 ) 分析误差函数积分的渐近 行为在8 一。时，有 ! 。e l 铂z 一士互i _ e x p ( + i s 2 ) ， ( 2 1 9 ) 这样我们就可以计算e ( p ，0 “) 的值了，整理得到 e ( p , o , c e ) = 丽1 e - ，i r r 一( a 2 + 。l 。4 ) 历e i p + 等筹蔷) e 嘶日 ( 2 2 0 ) e ) 2 而l 一。日历+ 哥丽匆尸” ( 2 。2 0 ) 1 2 a b 散射的精确解 结合( 2 1 7 ) 式，如的结果为 如= 去卜吲2 + 1 4 占嵩i o 万e + i p + e i s ( d 2 + l 4 ) 1 + 删e i se 而- i p j e 却c o s 日 知道1 1 和如的值，代入( 2 1 0 ) 式，就可以求得 ( p ，p ，n ) 一；【l e ( s t n 钏e x - 一i 。”c s i n ( c 。s 目) 一i 等 e 抽一。 + 去p 州，4 ) 嵩筹4 i i - 。e i 9 。e 洲- i p ( 2 2 1 ) 如此依次解决，结合厶( p ) 的渐近形式，一起代入( 2 ，1 1 ) 式里，散射波函数在p o 。处的 渐近形式也不难计算， 其中散射振幅为 妒一e 搞m 徊) + 厶e ( 日) | ；e 哦r l a b ( o ) ；s i n u ”e i ( m 0 - 1 2 ) o 佩s i n ( e 2 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 入射波的相位因子为 e l n ( o ) = e x p i r a 。( 口+ ”) + i d e ( s i n 目) a r c s i n ( c 。s8 ) + ； ) ( z 2 4 ) 进一步得到散射截面 o - a b ( 日) = i 厶b ( 口) 2 s i n 2 ( o e t r )1 2 z r k s i n 2 ( 0 2 ) ( 2 2 5 ) 入射波在口= 0 处不连续，但它仍是单值函数， 我们看到，在精确计算所得到的散射解中，入射波并不是个纯粹的平面波，而有个 相位畸变因子这与c o u l o m b 散射的精确解类似，是长程势的特点 第三章接触势对a b 散射的修正 现在可以讨论接触势的影响了把a b 势( 1 2 ) 式和接触势( 1l b ) 式的一般形式代入 方程( 2 1 ) 里，得到径向波函数满足的微分方程的一般形式 等+ ；訾+ 卜( 芋一等) 2 一妒n ， - o ，一 ( 3 1 ) 观察径向方程，可知r ，m ( r ) 在r = n 点不连续，存在有限跃变，由此可断定心t ( r ) 在r = n 点仍是连续的对方程( 3 1 ) 从n 一0 到。+ 0 进行一次积分，可得到r = o 处的连接条件 尼。( 。+ 0 ) 一r 。( 一0 ) = 0 ， 咒。( n + o ) 一碳m o ) = 罢r m ( 。) ( 3 2 a ) ( 3 2 b ) 1 玉1 5 ：r ：。是方程的奇点，必须对7 n 分段求解对于7 1 a 处的解 且。( z 、) = i “e x p ( i 6 。) c o s ( 6 。一i t t ) 厶一。( 打) 一s i n ( k 一等) 一”( 打) ，r 。， ( 3 3 b ) 虽然解的形式相同，但这里的k 与a b 散射的相移完全不同，它由新的连接条件决定将 ( 3 3 b ) 式代入( 2 8 ) 式，相比较地，也将( 2 9 ) 式代八( 2 8 ) 式，变换新的波函数 妒( 删) = 妻i me x p ( i ) c 。s ( k i 7 ) 岛一，( 打) 一s i n ( k 一等) m v ( r ) e “8 = ；i m e i u 2i 嘏! ，( 打) + 碟! 。( 打) i e i m o + + m e b r ( mu 罔p ”叫磁! 。( 打) “巾_ m 磁! 。( 打) e 删 i “e 一们( e “一e ”) h 一0 ) 。( 打) e “。 + ；e i “e 一7 2 ( e 1 2 6 r n e ”2 一” h 。0 一) 一( r ) e 1 ”。，r n ， 1 4接触势对a b 散射的修正 其中h 。( o 一。( 打) ，日竺! ，( 打) 是一对互为共轭的h a n k e l 函数利用h a n k e l 函数与b e s s e l 以 及n e u m a n n 函数的关系，可以把波函数写成a b 散射波函数加上修正项的形式 一 o o 地口) = 妒a b ( n 目) + 石1 i ”e 1 2 & 一e 2 钟) e - i l r u 2 碟! 。( 打) e “9 ，r n ， ( 3 4 ) 一m = 一 我们注意到当r o 。时，h a n k e l 函数的渐近行为是础! ，( 加) 一1 压7 ；石_ e “( ) 2 - i ”4 e 船， 由此可以推测，新的波函数相对于a b 散射波函数的修止是一系列出身寸球面波的叠加，具 体的表现在散射振幅的修正类似于( 2 2 2 ) 式，波函数在r 一( 9 0 的渐近行为： 卅，口) 一e i k z + b ( e ) + 胛) 、” 比较( 3 4 ) 式，新的散射振幅为 f ( o ) = ，a b ( 8 ) + a f ( o ) ( 3 5 ) ( 3 6 a ) 和 ，( 驴一丽1 点( 酽n 萨钟) e “8 ( 3 6 b ) 可见，入射平面波不变，其相位畸变仍然与a b 散射的情形相同，值得注意的是，对于在 r a 处等于零的其它标量势，以上结果( 3 6 b ) 也是有效的下而的任务就是求出相移“。 3 1 第一算法 现在先来处理由( 1 3 a ) 式给出的a ( t ) 描述的第一个算法我们注意到，此时r 。处 的径向方程与( 2 3 ) 式相同，考虑r = 0 处波函数的有界条件可得 厶( r ) = a 。j l m - ，t ( k t ) ，r a ， ( 3 7 ) 其中常数a 。可由连接条件决定将第一算法中的径向分段解代入连接条件，即把( 3 7 ) ， ( 3 3 b ) 式代入( 3 2 a ) ，( 3 2 b ) 式中，消去a 。，计算可得 t a n ( 一等) = 芒糕糕， s a ， 其中= k a ，且 c a = 竺掣”，a = ；c o s 竺掣”( 3 s b ) 3 1 第一算法 1 5 当q = 0 时，相移就退化到( 27 ) 式的a b 散射的结果：9 1 - - 7 5 - n ，n 一则给出a b 势 附加一刚球势的结果 将( 3 8 a ) ，( 3 8 b ) 式代入( 3 6 b ) 式，可以发现 胛) = ；v 磊i - i ( 毛i 面e i n u j 荔2z赢x i m o + r 翌：! ：型睦：些：望! ：堡：剑竺1 。急 2 p ) ( f ) 嘏! ，( ) _ 2 j ”n 厂 当= m o ( 或= o ) ，上式立刻退化为 a f ( o ) = e i m o ( 8 + ”，c r ( 目) i x _ 里 删= 一2 。曼瓣鬻 为圆环势的散射振幅在此情形下f a b ( 目) = 0 ，所以我们有 f ( o ) = e i m o ( 8 + ”) 厶( 口) ， 于是微分散射截面也可求得 o ( o ) = o c r ( 口) = i ，c r ( 口) 1 2 ( 3 9 ) ( 3 1 0 a ) ( 3 1 0 b ) ( 3 1 0 c ) ( 3 1 0 d ) 这意味着此情形下，散射截面完全由网环势决定如果a ( r ) 仍由( 1 3 a ) 式给出，则对其它 势y ( r ) ，不难发现出有类似的的结果，例如c o u l o m b 势f 1 3 1 我们主要感兴趣的是a 一0 ( 于是f 一0 ) 的极限情形 当o = 0 时，求( 3 1 0 b ) 式的极限注意到而( f ) 一1 ，q 【1 ) ( ) 一l n f ，对于式iu j j 的7 , = 0 项，分子为常数，分母为低阶的l n ，极限是零而n 0 时，有厶( ) 一f h 成1 ( ) 一 c l 一川+ q 。川+ g h i n ，c 1 ，q ，c 3 表示常数，对于n 0 的项，分子一2 1 - 1 ，分母 为一c i 十q + q 掣“1 1 n 阶，q 取任何值也不能保证系数c i ，q 和q 同时为零，所以 无论c i 是否为零，对任何非零m 值，最后的极限都是零这种条件下只得到平庸的结果 这表明本文采用的接触势本身并不会引起散射 1 6 接触势对a b 散射的修正 当0 a 1 时，( 3 9 ) 式可以化为下面的只包括b e s s e l 函数的形式 删：v 矿。i m0 r 妻 l ，l = 0 十 ! ：竺益垫塑堂 ( 一) “厶+ a ( ) j n 一。( ) + ( 2 ”q ) s i n o r z r e ”“露+ 1 一。( f ) e 1 ( ”+ 1 归 ( 一) ”t 厶+ - 一。心) ，一。一- + 。( ) + ( 2 ”q ) s i na t r l ；面n j i i ：葡 ( 3 1 1 】 这种形式方便于近似计算当f o ，各项都存在有限值的分母和无穷小的分子，在一般情 况下，对a b 散射振幅的修正是非常小的，这也正是预期的平庸结果，即只存在无限小的修 正然而，如果我们使分母中的常数项消失，注意到以( ) 正，( f ) 一a4 - g f 2 ，a ，q 为常 数，如果分母中中括号里的常数项为零，且余下的部分不会有比分子更低的阶，则分母分子 具有同阶的项，极限值才会为非零值 对于第一部分求和，这样的条件可以写为 生一2s i n a t r r ( n + o + 1 ) p ( - n o + 1 ) 7 r n 运用以f 公式【2 0 j r ( 1 + z ) r ( 1 一z ) 2 盖， ( 3 1 2 ) 、 可以解p d , q = 2 雠，仅有n = 0 项给出有限的贡献，其余项均为可忽略掉的无穷小修正 散射振幅的有f 良修正和总散射振幅分别是 蜥。雁s i n | m 0 8 洲仆i 裟笔茹筹甜删 似m ， 对于第二部分求和，同样的也可以写出 而再厕玎确+ 百 = o ，2