（概率论与数理统计专业论文）几类双随机环境下时间序列模型的遍历性分析.pdf

摘要 时间序列分析是应用概率统计的一个分支，现己成为自然科学、一 社会科学各领域中不可缺少的数据分析工具正是由于其应用广泛， 对时间序列模型的研究已经变得十分重要并取得了一系列的研究成 果在对时间序列模型的研究中，重要内容之一是对模型本身概率性 质的研究以及由模型所产生的迭代序列的极限行为的研究 在过往的研究时间序列模型的文献中，无论是线性时间序列模型， 还是非线性时间序列模型，其干扰为单一的白噪声且其滞后长度为一 个固定的常数这类模型有着明显的局限性，即模型无法描述系统的 干扰或滞后长度受到随机因素影响而随机变化的事实对系统的干扰 受到随机因素影响的问题，中南大学概率统计研究所侯振挺教授首先 提出了随机环境干扰下的时间序列模型，并进行了相关的研究工作， 取得了一系列的研究成果而对系统的滞后长度受到随机因素影响的 问题，在以上思想方法的基础上，笔者的导师提出了延滞受到一个有 限状态马氏链控制的时间序列模型 本文就承接这一思想方法，利用马氏化方法和一般状态空间马氏 链的基本理论，讨论了几类带随机延滞的时间序列模型，得到判定这 几类时间序列模型伴随几何遍历的充分条件 本学位论文由以下四章组成： 第一章介绍时间序列分析的研究概况 第二章主要介绍一般状态空间马氏链的基本概念及马氏链的遍 历性理论等基础知识 第三章首先针对随机环境下带随机延滞的非线性自回归模型，得 到与该模型相应的马氏链理论并提出其( 伴随) 遍历和( 伴随) 几何遍 历的定义，其次给出判定该模型( 伴随) 几何遍历的一个充分条件 第四章讨论一类的带双随机延滞的非线性时间序列模型( 伴随) 遍历性质，得到判定其( 伴随) 几何遍历的一个充分条件 关键词：随机延滞，伴随几何遍历，脾+ ，a 一不可约，马氏化 a b s t r a c t t u n es e r i e sa n a l y s i si sab r a n c ho fa p p l i e dp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s n o wi th a sb e c o m ea ni n d i s p e n s a b l et o o lf o rd a t aa n a l y s i si ne v e r yf i e l d o fn a t u r a ls c i e n c ea n ds o c i a ls c i e n c e b e c a n s eo fi t sc o m p r e h e n s i v e a p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s ，t h es t u d yo ft h et i m es e r i e sm o d e l si s b e c o m i n gm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ta n dm a n yr e s e a r c h e r sh a v eo b t a i n e d s o m ee x c e l l e n ta c h i e v e m e n t s a m o n gt h e s es t u d i e s ，i ti so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tc o m p o n e n t st h a ts t u d i e dt h ep r o b a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h e s e m o d e l st h e m s e l v e sa n dt h el i m i t a t i o no fi t e m t i v es e r i e sc o n s t r u c t e db y s u c ht i m es e r i e sm o d e l s a c c o r d i n g t ot h ed o c u m e n t sa b o u tt h et i m es e r i e sm o d e li nt h ep a s t ， w h e t h e ri tw a si nt h el i n e a rt i m es e r i e sm o d e lo rn o t , i t sd i s t u r b a n c e sh a d b e e ns u p p o s e dt ob eas i n g l ew h i t en o i s es e r i e sa n dt h e r ew a sas p e c i a l l y f i x e dd e l a yc o n s t a n ti ne v e r ym o d e l t h e r ei sa l lo b v i o u sl i m i t a t i o ni ni t , i no t h e rw o r d s i tc a n td e s c r i b et h ef a c tt h a tt h es v 咖r 酶d i s t u r b a n c eo r t h ed e l a yi ni tc h a n g es t o c h a s t i c a l l yb e c a u s eo fa f f e c t i o no fv a r i o u s r a n d o mf a c t o r s p r o f e s s o rh o u z h e n g t i n go f t h ei n s t i t u t eo f p r o b a b i l i t y & s t a t i s t i c s ( i p s ) ，t h ec e n t r a ls o u t hu n i v e r s i t y , h a sb r o u g h tf o r w a r dt h e r a n d o me n v i r o n m e n tt i m es e d e sm o d e l ( r e t s m ) f i r s t l yt ot r yt o r e s o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ed i s t u r b a n c ew o u l db ea f f e c t e db yr a n d o m f a c t o r s ，a n dh a v ec a r r i e do u tal o to fr e s e a r c h e sa n da t t a i n e das e r i e s a c h i e v e m e n t t or e s o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ed e l a yw o u l db ea f f e c t e db y r a n d o mf a c t o r s ，b a s i n go nh o u z h e n t i n g st h e o r y , m ym e n t o rp u tf o r w a r d at i m es e r i e sm o d e lt h a ti t sd e l a yc o n t r o l l e db yam a r k o vc h a i nw i t hf i n i t e s t a t e s ，a sag e n e r a l i z a t i o no f t h et i m es e r i e sm o d e l i nt h i st h e s i s ，f o l l o w i n gt h ei d e a a n dm e t h o da h e a d ，a p p l y i n gt h e m a r k o v n i z a t i o na n dt h et h e o r i e so fg e n e r a ls t a t es p a c em a r k o vc h a i n i h a v es t u d i e ds o m et i m es e r i e sm o d e l sw i t hs t o c h a s t i cd e l a y , a n dh a v e d e d u c e ds o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tt h ec o m p a n i o ng e o m e t r i c e r g o d i c i t yo f t h e s em o d e l s f o u rp a r t sc o m p o s et h i st h e s i s 嬲f o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 。 i n t r o d u c e st h er e s e a r c hs t a t u si nq u oa b o u tt h et i m e s e r i e sm o d e l s i nc h a p t e r2 ，ab a s i ck n o w l e d g eo ft h i st h e s i s ，b i l e n yp r e s e n t ss o m e b a s i cn o t i o n so f t h eg e n e r a ls t a t e sm a r k o vc h a i na n dt h ee r g o d i c i t yo f t h e m a r k o vc h a i n i nc h a p t e r3 if i r s ts t u d yt h el i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e lw i t ha s t o c h a s t i cd e l a ya n dg e tc o r r e s p o n d i n gm a r k o vc h a i nt h e o r y , a n dg i v e t h ed e f i n i t i o no fc o m p a n i o n e r g o d i c i t y a n dc o m p a n i o ng e o m e t r i c e r g o d i c i t yo ft h i sm o d e l s e c o n d ，ig e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e c o m p a n i o ng e o m e t r i ce r g o d i c i t yo ft h i sm o d e lb ya p p l y i n gt h et h e o r i e s c o n s t r u c t e df o r m e r l y i nc h a p t e r4r e s e a r c h e so ft h ec o m p a n i o ng e o m e t r i ce r g o d i c i t yo fa n o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e lb ya p p l y i n gt h es a m em e t h o du s e di n c h a p t e r3 k e y w o r d s ： 蔷o c h a s t i c d e l a y ；c o m p a n i o ng e o m e t r i ce f g o d i c i t y ； 所“, t - i r r e d u c i b i l i t y ；m o k o v n i z a i t i o n h i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的 地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同 工作的同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名： 日期：坦年! ! 月日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校可根据国家或湖南省 有关部门的规定，送交学位论文。对以上规定中的任何一项，本人表示同意， 并愿意提供使用。 硌逡魄越山必 颂士学位论文第一章绪论 1 1 时间序列分析简介 第一章绪论 时间序列，又称为动态数据，从较广义的意义上说，是指被观测到的依时间次 序排列的数据序列在生产和科学研究中，对某一个或一组变量x ( t ) 进行观察测 量，将在一系列时刻t 1 ，t 2 ，t n “为自变量且t l k t 2 0 称集占是矿一连通的，如果对曰的任意矿一正测子集a ，有 6 硕士学位论文第二章预备知识 ，一a ，v x b ，如果整个状态空间z 是矿一连通的，则称 以 是矿一不可约的，并 称妒是 以 的一个不可约测度 如果测度缈相对于测度妒是绝对连续的，即对于彳，当缈( 0 时，必有 矿( 一) 0 ，则一个妒一不可约的马氏链必为妒一不可约的由此可见，不可约马氏链 的不可约测度并不唯一为了使之唯一化，我 f j 弓l 入最大不可约测度m 如下 ( i ) e 是膨一不可约的； ( i i ) 如果 以) 是伊一不可约的，则伊必是相对于m 绝对连续的； ( i i i ) m ( a ) = o j m ( 伽：阮4 ) ) = 0 石 以后我们说马氏链 五) 是不可约的，总是相对于最大不可约测度而言的 定义2 3 3 对一个转移概率，定义 g ：y ( 2 8 ) 篇 我们把核g 称为是转移概率p 的势核显然，势核g 具有以下性质： 定理2 3 1 对vy l ，有 n - i n - i g = y p * + p g ：y p 一十g p ( 2 9 ) m 。f f i 0m 一- 0 特别地，g = i + p g = i + g p 此外，对v ，记a = 缸e 疋i g f ( x ) 0 ，对4 的每个正测子集b ，即b c a ，烈印 0 ，都存在正整 数1 ，使得对任何x b ，有 p ( x ，b ) 0 ，p ”1 以功 0 ( 2 1 1 ) 定理的证明见文 9 由前面的讨论可知，从不变概率分布a 出发，通过转移概率构造的马氏链是 平稳的马氏链的遍历性刻画了马氏链的转移概率向其平稳分布的收敛性态为 了研究非线性时间序列模型是否有平稳解，此解是否为遍历解等问题，一个重要 的途径是借助于研究马氏链的遍历性来解决在研究马氏链的遍历性时，如下小 7 硕士学位论文第二章预备知识 集的概念起着重要的作用，它对各种遍历性质，如h a r r i s 遍历、几何遍历等均具有 良好的“代表”特性下面给出小集的定义及判断小集的判别定理 定义2 3 5 一个非空集c 称为是马氏链 以 的一个小集，如果存在一个正 整数k ，正常数b 以及( 石，) 上的概率测度a ，使得对v a 户和v x c ，有 p ( 五彳) 6 a ( 4 ) ( 2 - 1 2 ) 定理2 3 4 设 以 是矿一不可约的非周期马氏链，则有 ( i )如果集c ，妒( c ) 0 ，且满足：存在b ，烈b ) 0 ，和正整数 m = 聊似) ，使得对任意的a c b ，妒( 4 ) 0 ，都有 i 。n f 善p ( x , a ) o 那么c 一定是 j 0 的一个小集 ( ii )有限个小集的并仍为小集 ( i i i ) 存在小集列4 ，1 ，使得4 个z 定理2 3 5设 以 是弱连续的马氏链，即对一切有界连续函数 g ：刀寸r 1 ，【，g ( y ) 以毛砂) 关于x 是连续的，则一切矿非零测度的相对紧集是小 集 2 4 一般状态马氏链遍历性定义及判别准则 我们先介绍一般状态马氏链的遍历性的有关概念，在此之前先给出不变测 度的定义 定义2 4 1设v m 是一个非平凡测度，且存在集b e 厂+ ，其中 ，+ 三 b ，i m ( 功 o j ，使得v ( 功 佃，则称v 是马氏链 五，的一个不变测度， 如有 v ( 4 ) = v ( d x ) e ( x ，彳) ，v a ， 设 以，为状态空间( z ，) 上的伊一不可约的马氏链，以p 表示 以 的转移概 率，以万表示 以 i t i l 历时的不变测度在此，以i i i j 表示( z ，) 上广义测度的全变 差范数，下面给出遍历性的定义 定义2 4 2马氏链 以 称为是遍历的，如果存在一个概率测度石，使得对 任意的x 石及玎1 ，有 l i m 8 p ”o ，) 一万( ) 0 = 0 如果还存在常数0 0 ，使得 ( i ) e g ( 五) i 以- l = x s g ( x ) - c l ，对任意的x 芒c ： 8 硕士学位论文 第二章预备知识 ( i i ) e g ( e ) l e 一。= z c 2 ，对任意的x e c 则 j 0 为遍历的 定理2 4 2设 以 是矿一不可约的、非周期的马氏链，如果存在一个非负 可测函数g ，一个小集c 和常数c l o ，c 2 0 ，0 o ，q 0 是一类应用广泛的时间序列模型许多学者都曾深入地研究了该模型的多种性 质但是模型没有考虑到随机干扰影响。在现实环境和许多的动力系统中，随机 干扰无处不在。考虑的随机因素的影响，于是模型( 3 1 ) 可扩展为： l 占f = 办，e ，( z f ) 1 h ，：窆一h + 口。+ 口，s 三。 ( 3 - 2 ) l k = 0 其中厦o ， o ， o ，研，z t 分别是取值为e = l ，2 ，r ( ，) 和 e = l ，2 , - - - , 田( d ) 的不可约马氏链。 以上模型反映出其延滞长度受到随机因素影响而可能变化，同时白噪声也 受随机影响的现实在同一系统中，模型受到两个相互独立的马氏链的调节。在 本章中，为了进一步简化过程，笔者要讨论的模型为： l o 硕士学位论文第三章一类随机环境下非线性异方差模型的遍历性 e t = 再，( z ，) r lh ，= t h ，一l i + 口o + 口l l ( s 二1 ) 2 + 口l2 ( 占二1 ) 2 七= 0 其中屈0 ， o ，q l 0 , a t 2 o ，仇，五分别是取值为岛= l ，2 ，r ( r e2 v ) 和e = l ，2 ，d ( d ) 的不可约马氏链。 另外本章中记f = m a x 找，o ，茸= r a i n x , ，0 本章是采用“补充变量”的马氏化方法和一般状态空间马氏链的基本理论 来分析讨论模型( 3 3 ) ，得到判定该模型( 伴随) 几何遍历的一个充分条件 3 2 模型描述及基本定理 双随机非线性异方差模型如f ： i e t = 再，( z ，) 2野， ， lh ，= t h ，一l t + 口o + 口l i ( 占二1 ) 2 + 口l2 ( 占二1 ) 2 l k = 0 ( 3 4 ) 设( g 兀p r ) 是一完备概率空间e = 1 ，2 ， ( ，n ) 是一个有限集合，由 易的所有子集构成的一代数记为峨 ，7 ( r ) ，r o 是定义在概率空间( g 只p r ) 上的以( 易，坞) 为状态空间的既约，非周期的时齐马氏链 巨= 1 ，2 ，d ( d e ) 是一个有限集合，由e 的所有子集构成的仃一代数 记为皿 z ( f ) ，r o ) 是定义在概率空间( q 只p r ) 上的以( e ，皿) 为状态空间的 既约，非周期的时齐马氏链， 略，0 是白噪声序列，即v f e ， b ( 耽r 0 是独立同分布的随机变量序 列，且e ( f ) = 0 本章对马氏链 叩( ，) ，t ， z o ) ，t o ，和白噪声序列 q ( 魄t 0 作如下假设： a 1 )v t l ， ，7 ( f ) ，f 1 ) ， z o ) ，t 1 与弛( 1 ) b ( d ) ，相互独立； 硕士学位论文 第三章一类随机环境下非线性异方差模型的遗历性 a 2 ) v f e ，v t l ，7 ( f ) ，q ( f ) 与序列魄，k l ，f e ，e 心( 功= o 且引q ( 叫 l ，iee ， q ( f ) ) 有处处为正的下半连续密度函数f 称模型( 3 - 4 ) 为随机环境下带随机延滞的双随机的非线性异方差模型 令置。为 z ( f ) ，f l 的一步转移概率，即： = p r z ( t + 1 ) - - af z ( f ) = ，v f 1 ，石巨 ( 3 5 ) 令置止为 玎( ，) ，1 的步转移概率，即： 五 = p r r ( t + 1 ) = 五jr i f ) = 如 v t 1 ，f 2 ，矗岛 ( 3 6 ) 定义3 2 1 记日( f ) = ( _ l ( f ) ，x ( t 一1 ) ，x ( t r ) ) ，对v t 1 。 称 ( 日( f ) ，7 ( f ) ，z o ) ) ，t l 是模型( 3 4 ) 的导出序列 v 力l ，记掣为捍维欧氏空间，记毪为上的b o r e l 矿- 代数 定理3 2 1 模型( 3 4 ) 的导出序列 ( 日( r ) ，7 0 ) ，：( f ) ) ，t 1 是一个定义在概 率空间( q 只p r ) 上的，以( r ”1 易e ，取，致) 为状态空间的时齐马氏 链 证明：设a = a o x a l x a 2 - a ，瓯l ，v a 五 x “ 艮l 峨见， ( x t ，而- 1 ，x _ r ) e r 7 “，0 ，“，薯一i ，x t 一，之，) r ”1 e 巨， 瓴，矗一i ，一，彳) r ”1 e e ，t - 1 k 1 由模型( 3 4 ) ，假设a 。) a 4 ) 以及( 3 5 ) 式和( 3 6 ) 式，有 p “( 月o + 1 ) ，r ( t + 1 ) ，z ( f + 1 ) ) a 五 i ( x ( f ) ，7 ( r ) ，z o ) ) = ( 五，薯- l ，薯，之，毛) ；( h ( 七) ，7 ( 七) ，z ( j i ) ) = ( 黾， - 1 ，】f i - ，；苦，芊) ，t - i k l = p r h ( t + 1 ) a o ，h ( t ) a l ，h ( t + l 一，) a ，；，7 ( f + 1 ) = 五，z ( t + 1 ) = j i i h ( t ) = 再，h ( t 一1 ) = - l h ( t 一，) = 薯一，j 7 = 之，z ( t ) = ； ( h ( 后) ，7 ( j j ) ，z ( 七) ) = ( 稚，黾l ，黾。；芒，彳) ，t l k 1 ) = 叱置，：兀i ( 薯+ 1 ，) p r h ( t + 1 ) e a o ) ： p l ：，：ni ，( x ，+ 。一，) p ( 羔。x ，一。+ 口。+ 口，。( 4 ；7 e ，( ) + ) ： j = 1k = 0 硕士学位论文 第三章一类随机环境下非线性异方差模型的遍历性 + q 2 ( 、反乌( ) + ) 2 a o ) 5 气气冉z “州x ，e 矗嗉c 壶0 ，一套展五t 一番m 妫 + ，竹去嚎( y 一叁训) ；舢( 们 上式中，i 。( - ) 表示集合4 的示性函数 同时得到： p r ( o + 1 ) ，r ( t + 1 ) ，z o + 1 ) ) a 应 五 l ( z ( 0 ，7 ( ，) ，z ( 嘞= ( 薯，五。，薯_ ，乏，) = p r h ( t + 1 ) a o ，以) a l ，h ( t + l 一，) a ，；，7 ( f + 1 ) = 五，z ( ，+ 1 ) = 五i h ( t ) = 薯，h ( t 一1 ) = - l h ( t 一，) = 五，r ( t ) = 毛，z ( ，) = ； = 气& j ：兀i “。) p r 厅( r + 1 ) a 0 ) i = 1 = p l i p l ：，：兀i 。，x t + l - t ) p ( 艺。_ 一。+ 口。+ 口。( 4 7 7 , e ，( ) + ) 2 + a t ：( 磊( ) 一) 2ea 。) 2 乇气n 取- ( t “) ( ，咕去( y 一套屈“一嘞) ) ；沙( 砂) + ，小咕嚎o ，一窆k = o 展训) j ) ) 1 由此即知 ( 日( f ) ，7 ( ，) ，z ( f ) ) ，t 1 ) 是马氏链再由v f 疋，k ( d ，r 1 的平稳 性，可知 ( 日( ，) ，7 ( f ) ，z o ) ) ，t21 ) 是时齐的引理得证 以p 如，；a ，止， ) 记马氏链 ( 日( ，) ，7 ( ，) ，：( f ) ) ，f l 的一步转移概率，即 p ( x , i 2 ，；a ，五，五) = p h ( 月o + 1 ) ，r ( t + 1 ) ，z o + 1 ) ) a 五 石) j ( 日( f ) ，7 ( r ) ，z ( r ”= ( ；如，) ) 而以p ”( x , 2 ，；a ， ， ) 记马氏链 ( 灯( f ) ，7 ( f ) ，z o ) ) ，t 1 ，l 步转移概率，即 ，“( 五f 2 ，；a ，五，五) = p r ( h ( f + ) ，叩o + n ) ，= ( f + ) ) a x j 2 j t i ( 日( f ) 叩( ，) ，印) ) = ( 葺毛，) ) = f p ”哪( ；，与，码；a ，办，石) p ( ；，岛，i 。；d v ，南，) 硕士学位论文第三章一类随机环境下非线性异方差模型的遍历性 其中；= ( ，x , ) e r ”1 ；i l , ，m t e ；毛，矗，七l 峨；a = a o x a ，耳+ i 下面我们将讨论马氏链 ( 日( f ) ，r ( t ) ，：( r ) ) ，t - 1 ) 以步转移概率。在此之前我们 给出下列记号： x = ( x o ，) 五“；， ，码e ；之，五，毛e ；a = a o a ，艮1 只= 饥o ，以l ，) 垒x ； 以一l = 戗。- t ) o ，以。- l m ，y r - 1 ) , ) 垒( 欺。一i ) o ，只o ，儿( ，- i ) ) ； y i = 执