（应用数学专业论文）多元分析两个问题的理论研究和应用.pdf

摘要 多元统计分析是数理统计学4 0 多年来迅速发展起来的一个分支，研究客观 事物中多个变量( 或多个因素) 之间相互依赖的统计规律性。每个个体有多个 观测数据，分析多元数据的统计方法就叫做多元统计分析。随着计算机的普及， 各种统计软件不断推出，多元统计分析的理论在不断发展，多元统计分析方法已 广泛应用各个领域。本文主要研究多元统计分析中经验正交函数分解的不对称 问题、非线性典型相关分析新解法和非线性时间序列的相关概念和基本模型。 通常的正交经验函数分解方法，只提取了空间正交经验函数。本文首次提 出正交经验分解在时空方面是不对称的，本文第二章利用这种不对称性，提出 可以做两种分解：将空间正交经验函数与时间权函数配合；时间正交经验函数 与空间权函数配合进行分析；从而能提取更多的信息。并通过分析长江流域降 雨和南京月平均温度解释了这一方法。 非线性典型相关( n l c c a ) 问题是常见而又不易解决的问题，现在所用n l c c a 模型的神经网络解法，编程复杂而又得不到变量间的解析表达式。本文第三章 分析讨论了长江下游降雨量预报因子的选择问题，提出n l c c a 问题的多项式逼 近模型及其2 种解法：逐步选择和主成分法。这两种方法都能很好的找到非线 性典型相关的预报因子。并通过实例显示在线性典型相关检验不通过情况下， 利用这2 种方法成功的找到非线性典型相关预报因子。 关键词：经验正交分解，空( 时) 间正交经验函数，典型相关，逐步选择法，主 成分法。 i i _ _ 一一 a b s t r a c t m u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i si sa ne m b r a n c h m e n to fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s w h i c hd e v e l o d e ds or a p i dt h e s e3 0y e a r s ，r e s e a r c h i n gt h ed e p e n d a b l e s t a t i s t i c a l r e g u l a r i t ya m o n g m u l t i v a r i a t ev a r i a b l e so fo n e c f i v et h i n g s e v e r yi n d i v i d u a ls h o u l d h a v em a n yo b s e r v a t i o nd a t a ，a n dt h em e t h o do fa n a l y z i n gt h e s en u m e r i c a ld a t ai s c a l l e dm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i s s i n c ec o m p u t e ri sq u i t ew i d e s p r e a di nt h e w o r l d k i n d so fs t a t i s t i c a ls o f t w a r ea r ea d v a n c e dc o n s t a n t l y ；t h e o r i e so fm u l t i v a r i a t e s t a t i s t i c a la n a l y s i sa r ed e v e l o p i n ge n d l e s s l y ；m e t h o d so fm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a l a n a l y s i sa r ew i d e l yu s e di ne v e r yf i e l d t h i sa r t i c l ei sm a i n l yd i s c u s s i n gt h es a m p l e s t a t i s t i c a lq u a n t i t y t od o e m p i r i c a lo r t h o g o n a lf u n c t i o n ( e o f ) ，c a n o n i c a l c c i r r e l a t i o na n a l y s i s ( c c a ) i nm u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la n a l y s i sa n dr e l a t e dn o n l i n e a r t i m es e r i e s c o n c e p t sa n db a s i cm o d e l s o r d i n a r ym e t h o do fe m p i r i c a lo r t h o g o n a lf u n c t i o no n l ye x t r a c t se m p i r i c a ls p a c e o r t h o g o n a lf u n c t i o n t h es e c o n dc h a p t e ro ft h i s a r t i c l ep r e s e n t san e wm e t h o d ： a d a p t i n gt h ee m p i r i c a ls p a c eo r t h o g o n a l f u n c t i o nw i t ht i m ew e i g h tf u n c t i o n ，a n d a n a l y z i n gt h ee m p i r i c a lt i m eo r t h o g o n a l f u n c t i o na n ds p a c ew e i g h tf u n c t i o ne a r l e x t r a c tm o r ei n f o r m a t i o n t h ep r o b l e mo fn l c c ai sf a m i l i a rb u tn o te a s yt os o l v e a tp r e s e n t ，n n m e t l l o du s e di ns o l v i n g 血em o d e lo fn l c c a i sc o m p l i c a t e di np r o g r a m m i n ga n d c o u l dn o tg e tt h ee x p r e s s i o na m o n gt h ev a r i a b l e s t h et h i r dc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e t a l k sa b o u tt h ef o r e c a s t i n go fr m n f a l la r o u n dt h el o w e rr e a c h e d o fy a n g t z er i v e r , a n d a d v a n c e sap o l y n o m i a lm o d e lo fn l c c aa n di t st w os o l v i n gm e t h o d s ：s t e p w i s e s e l e c t i n ga n dp r i n c i p a lc o m p o n e n tm e t h o d u s i n gt h e s et w on e wm e t h o d sw e c a n f i n dt h en o n l i n e a rc c af o r e c a s t i n gf a c t o r ss u c c e s s f u l l y k e yw o r d s ：e o f ；e m p i r i c a ls p a c e ( t i m e ) o r t h o g o n a lf u n c t i o n ；c c a ；s t e p w i s e s e l e c t i n gm e t h o d ；p r i n c i p a lc o m p o n e n tm e t h o d i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：盛 日期：堂 1 。1 研究意义 第一章引言 多元统计分析是数理统计的一个重要分支。起源于2 0 世纪初，但是由于所需计算量大， 直到电子计算机发展和普及以后，得到迅速发展。它研究客观事物中多个变量( 或多个因 素) 之间相互依赖的统计规律性。由于事物是相互联系的，只研究一个事物效果不好，把 它们联系起来研究，效果就变好了。从数据方面考虑，每个个体有多个观测数据，分析这 种多元数据的统计方法就叫做多元统计分析。随着计算机的普及，各种统计软件不断推出， 多元统计分析的理论也在不断发展，多元统计分析方法已广泛应用于各个领域。 每个事物现象都表现为多个方面，需要有多个指标来描述、刻画事物的质和量，这些构 成指标体系的多个指标各有侧重地解释着同一个事物的质，必然存在着多相关性，为了将这 些指标反映的内容综合起来，寻找一个简单综合指标，多元统计分析能在不损失信息的情况 下，通过变换和构造模型，剔除指标间相互制约的成分，使复杂数据简单化比如，主成分分 析、因子分析以及对应分析等多元统计分析方法就是这一类方法。 1 2国内外研究现状 1 2 1国外发展动态 早在1 9 世纪就出现了处理二维正态总体的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体 的统计分析问题，则开始于2 0 世纪。人们常把1 9 2 8 年维夏特分布的导出作为多元分析成 为一个独立学科的标志。2 0 世纪3 0 年代，r a 费希尔、h 霍特林、许宝禄以及s n 罗 伊等人做出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到了迅速的进展。4 0 年代， 多元分析在心理、教育、生物等方面获得了一些应用。由于应用时常需要大量的计算，加 上第二次世界大战的影响，使其发展停滞了相当长的时间。5 0 年代中期，随着电子计算机 的发展和普及，它在地质、气象、标准化、生物、图像处理、经济分析等许多领域得到了 广泛的应用，也促进了理论的发展。目前多元统计分析新方法新理论不断涌现。 1 2 2 国内发展动态 2 一 我国自2 0 世纪8 0 年代起在许多领域拉开了多元统计分析应用的帷幕。现在不断有人 从事多元分析的理论和实际的研究。例如打开气象杂志，就能看到c c a ，e o f ，p c a 等多元 统计分析方法大量出现：目前在生长曲线模型，椭球等高分布等方面理论不断有新成果。 1 3 本文主要研究内容 1 3 1 经验正交分解 经验正交函数分解也称为自然正交分解，其算法类似主成分分析，但含义不同，分析 方法不同。由于它在气象上的用途较大，在气象上称为e o f 方法，见吴洪宝晗。 经验正交分解与标准正交多项式最初同为因子统计组合的一种有用的工具，由于经验 正交分解收敛性较好，在场的统计组合过程中，又不必像正交多项式那样要求正规的网格 点，使用方便。因此目前经验正交分解法在因子场统计组合，动力模型参数化，以及因子 时间序列分析中已得到广泛应用。 对气象要素场的分解，目前已有多种方法，如谐波分析，球函数分解，c h e b i x i e f 分解。 与它们相比，经验正交分解更有优越性。 ( 1 ) 没有固定的函数形式，因而不需许多数学假设，更易符合实际； ( 2 ) 能在不规则分布站点使用； ( 3 ) 既可以在空间不同点进行分解，也可在同一站点对不同的时间点分解，也可对同 一站点不同要素做分解。 本文首次提出经验正交分解在时空方面不对称，因而从信息提取方面可以进一步发展 经验证交分解的理论和应用。 1 3 2 非线性典型相关 典型相关分析是分析两组随机变量( 两个随机向量) 间关系的统计分析方法。在实际 问题中，两个随机向量都有很多分量，例如为了用海水温度预报风速。取若干海域海水温 2 3 一 度为一个随机向量，其分量可有数十个，甚至数百个；取若干地点横向和纵向风速为另一 个随机向量，其分量也可有数十个，甚至数百个。当用一组变量预报另一组变量时，自变 量的观测值很可能具有多重共线性，即这些观测值近似线性相关；而且观测个数往往小于 分量的个数，因而预报中产生许多问题。例如用海水温度预报因子，其观测值很可能具有 多重共线性；观测个数也只有几十个，而变量个数可能大得多。如果采用逐步回归等方法 筛选因子少量，则不能反映两个随机向量众多分量的作用。而用典型相关进行预报，则没 有上述缺点。 但是更多实际问题中遇到的是非线性典型相关，而常用的非线性典型相关法是神经网 络法，该法缺乏统计信息。本文将研究非线性典型相关的多项式解法，探索多项式典型相 关用于预报时的因子选择问题。 第二章经验正交分解的非对称性 2 1 经验正交分解原理 4 一 经验正交分解方法( e o f ) 是自然科学，社会科学中很重要的方法，参见 1 7 ，1 8 ，2 1 ， 2 2 。但是，通常经验正交分解方法只提取空间正交经验函数。为达到提取尽可能多信息的 目的，本章提出在使用经验正交分解法时，不仅要提取空间正交经验函数，也要提取空间 正交经验函数的时间( 权) 函数；还要提取时间正交经验函数和它的空间( 权) 函数。本 章目的是介绍方法，以下先简述这些方法，再用2 个实例说明其方法。这些实例重在介绍 方法，不细究其气象原理。 设有p 个站点，在i 时刻j 个站点某指标观测值为t 有n 次观测，观测值矩阵为： t 1 1 t 2 1 2 2 经验正交分解的非对称性 2 2 1 空间正交经验函数 令毛屯一去喜b 鸭是各站点观测值减去对时间的平均值c 鼎，形成 矩阵： f = 石p 凡。 叩 设观测值样本协差阵为r ，r a u r = 毛f t f ，若d ，为r 的第j 个彼此正交的单位特征向量， n 一1 。 则称以为第j 个空间正李经验函数。d ，反映各个站点对平均值的偏离：d ，反映各个站点对 1llllllj 堙 却 印 t t t 矗厶厶 5 一 平均值的最大偏离；d ，反映各个站点对平均值的次大偏离；d ；反映各个站点对平均值的 第3 大偏离。从主成分分析角度看：d ，是第j 个主成分的系数a l = f d ，= f ，p ，是第j 个主成分得分所成向量，是彼此正交的，但不是 特征向量，也未标准化，他们称为空间正交经验函数的时间( 权) 函数，简称时间函数。 易证f = 羔t j d j 7 = 1 由此可分3 步提取信息： ( 1 ) 百。吉善。h i _ 1 ，2 ，p 是由于空间不i 司弓i 起差异的第1 信息，它反映 亥手旨标 各空间总的形势。 ( 2 ) d j 、d 2 、d 3 d 州称为空间正交经验函数。它反映偏离七ii = l ，p 的趋 势。通常m 取很小的数。 ( 3 ) 丁，= 1 , 2 称为空间正交经验函数的时间( 权) 函数。它反映空间正交经 验函数在不同时间的大小。 2 2 2 正交经验分解的不对称性 作正交经验分解时，分解对于时空间的关系是否对称? 如果对称，则只需做一种分解。 但是在做正交经验分解时，需要将原有资料零均值化，因而存在两种零均值化过程：将资 料按时间平均后零均值化；将资料按空间平均后零均值化。这两种过程所得的零均值化数 据是不同的，因而应当有两种正交经验分解，通常的正交分解理论只介绍一种分解( 如2 2 1 所介绍) ，即空间正交经验函数与时间权的结合。本文根据不对称性，提出第2 种正交经 验分解( 如2 2 3 所介绍) ：时间正交经验函数与空间权函数的结合，从而增加正交经验 分解所得信息。所以我们利用正交经验分解的不对称性可以得到两种提取信息的方法，比 常用的正交经验函数法多了一种。 2 2 3 时间正交经验函数 1 p 镪_ t 。一吉荟t 出，设g 朋矩阵： 5 g 崔叠身 设h ：一gr g ，若c ，为h 的第j 个彼此正交的单位特征向量，则称c ，为时间正 口一l 6 一 l j = g c j = 1 , 2 ，1 1 ，它们彼此正交，但不是单位向量，称为空间( 权) 函数。 可证：g = 窆l r 。 由此又可以逐步提取信息： ；t = i 1 善p t i i = 1 ，2 ，- n 是由于时间不删起差异的信息，它反映该指标各时 间总的形势； ( 2 ) c 1 、c 2 、c 3 称为时间正交经验函数。它反映偏离t j 的趋势。它也是观测资 料阵转置后主成分分量系数。 ( 3 ) l ，歹= 1 , 2 称为时间正交经验函数的空间( 权) 函数。它反映时间正交经验函 数在不同空间的大小。它也是观测资料阵转置后主成分得分。 以上两种正交经验函数及其权函数求法和主成分分析一样：空间正交经验函 和相应时间函数等于观测资料阵所得主成分系数和主成分得分，时间正交经验函 和相应空间函数等于转置观测资料阵所得主成分系数和主成分得分，细节见 1 7 。 2 3 实例分析 2 3 1 长江流域降雨 我们选取长江流域2 3 个站点，1 9 5 3 年2 0 0 0 年，7 月降雨量总和为基本数据。2 3 个站点分别为：安庆，长沙，成都，杭州，衡阳，吉安，昆明，南昌，南京，南通，邵阳， 武汉，西昌，宜宾，宜昌，芷江，重庆，遵义，上海，合肥，岳阳，会理，沅陵，将它们 6 记为s l 一$ 2 3 。对这些站点的7 月份降雨量数据进行分析。 2 3 1 1 第一种信息提取法 ( 1 ) 首先由4 8 年数据求出2 3 个站点汛期的平均降雨量，见表2 - 1 ： 表2 12 3 个站点7 月( 4 8 年) 的年平均降雨量 安庆长沙成都杭州衡阳吉安 1 8 5 1 4 81 3 1 3 6 52 2 5 9 5 61 4 3 9 5 01 6 9 2 1 99 3 9 0 2 昆明 南昌南京 南通 邵阳 武汉 2 7 8 5 7 31 1 6 8 7 72 0 8 4 4 41 3 2 8 3 31 8 6 0 0 81 7 9 1 1 5 西昌宣宾宜昌芷江重庆遵义 1 4 8 2 9 41 1 9 2 0 61 8 5 3 8 32 3 3 9 7 72 3 8 0 1 32 2 1 9 3 1 上海合肥岳阳会理沅陵 1 9 4 4 7 31 3 0 7 8 31 4 1 2 4 81 6 7 2 6 51 5 3 6 1 9 这组数据提供了长江流域2 3 个站点1 9 5 3 2 0 0 0 年，4 8 年间7 月的平均降雨量。由上表可 见昆明这4 8 年7 月降雨量明显高于其他2 2 个站点，芷江和重庆分列二三位。吉安是这2 3 个站点中7 月份降雨量中最少的，宜宾，南昌比吉安的降雨量稍多，但在所有站点当中还 是偏少。 ( 2 ) 以下对距平作正交空间经验分解。设矩阵a 是距平矩阵，求a a 的前5 个特征 值和特征向量。特征值如表2 - 2 ： 表2 - 2 正交空间经验函数的特征值 特征值百分比累积百分比 11 0 4 2 8 8 9 5 1o 3 9 8 1o 3 9 8 1 23 0 9 0 5 9 2 40 1 1 8 0o 5 1 6 1 31 8 1 7 9 5 9 7o 0 6 9 4o 5 8 5 4 4 1 6 4 5 5 8 1 7o 0 6 2 8o 6 4 8 3 5 1 4 7 3 7 7 1 50 0 5 6 3o 7 0 4 5 前5 个特征值的累积百分比已超过7 0 ，由此可见5 个特征向量足够。前5 个特征向量，见 表2 3 ： 表2 - 3 正交空间经验函数的特征向量 s 1 s 2 s 3s 4s 5s 6s 78 8 d 1 0 3 2 5 5 3 00 1 3 7 7 0 2一0 7 8 1 9 1o 1 6 0 0 3 70 2 5 8 7 1 00 0 0 4 5 2 8o 1 1 5 9 6 90 0 2 6 4 8 9 d 2 一1 7 7 3 0 30 3 3 0 5 5 1- - o1 0 8 6 5 70 0 3 8 1 2 5一3 1 4 7 3 30 1 5 6 1 7 60 1 2 5 3 0 50 。2 6 7 8 6 1 d 3 0 2 4 3 0 8 90 1 8 9 1 8 7 o 0 1 6 2 0 00 1 8 4 1 8 1一0 6 9 4 8 80 2 5 9 0 3 1一2 1 2 9 0 80 1 5 9 9 3 3 d 4 一3 9 8 8 9 5- - o0 3 2 4 2 60 2 7 3 3 6 30 0 3 5 2 1 l一1 3 7 7 3 90 0 5 2 4 9 0 0 3 9 9 7 9 9 0 1 0 1 6 5 7 d 5 - - 0 4 2 8 4 3- - o0 2 4 7 7 3一0 6 9 9 2 00 1 2 0 8 3 6一0 1 8 3 8 10 0 3 3 5 7 00 1 9 8 6 2 90 0 2 7 8 1 4 s 9s 1 0s 1 1s 1 2s 1 3s 1 4s 1 5 d 1 o 0 1 7 7 5 40 1 4 7 3 7 2o 3 3 1 8 2 80 1 8 2 2 4 7o 1 5 2 9 5 00 1 0 2 5 3 80 4 3 8 7 3 8 d 2 0 2 0 0 2 8 50 2 9 7 3 1 2一3 7 8 4 0 4一3 0 9 1 1 5一1 1 2 8 0 20 3 0 8 3 5 8一0 5 5 2 9 l d 3 一2 6 1 3 8 30 1 3 7 4 6 6o 0 5 1 5 7 50 2 7 3 8 7 40 3 0 6 4 3 90 2 3 8 0 8 1一4 7 4 0 1 3 d 4 0 1 0 5 4 3 70 1 6 7 6 8 1一0 1 8 9 1 40 4 6 8 8 9 l0 1 4 0 0 9 8一0 4 6 6 3 30 1 6 6 6 5 7 d 5 0 0 8 9 0 7 0一2 4 5 9 5 5 一1 8 8 7 5 50 3 0 6 9 4 1 o 1 5 1 7 6 80 0 5 9 9 1 7一2 1 3 1 7 8 s 1 6s 1 8s 1 9$ 2 0s 2 1 d l o 2 1 3 4 2 50 0 8 2 3 5 70 3 7 3 8 1 00 3 0 0 1 0 50 2 0 0 4 0 8 d 2 0 1 0 7 9 5 50 1 2 0 9 5 70 2 2 8 7 8 20 0 9 5 8 6 70 2 5 0 0 3 7 d 3 一1 4 3 3 0 2一3 8 0 6 2 6一0 7 1 5 4 80 0 6 7 4 0 50 0 5 2 7 8 5 d 4 0 2 9 5 1 6 7- - 3 3 4 3 4 1 一0 5 0 6 4 1 一1 4 1 8 8 0一0 2 5 4 3 7 d 5 - - 0 0 7 6 4 4 0 5 4 1 0 0 8一1 9 6 8 4 60 0 4 4 3 7 2一0 0 6 9 7 0 $ 2 2 $ 2 3 d 1 0 1 0 0 3 7 5o 1 7 1 6 6 2 d 2 0 0 6 0 0 6 90 0 1 5 3 8 4 d 3 0 0 9 5 0 2 7 0 0 3 0 6 7 0 d 4 一1 3 0 3 8 1一1 3 0 5 4 8 d 5 o 2 1 6 1 7 20 1 6 8 7 4 3 8 一 由表2 3 可见第l 空间正交经验函数s 3 ( 成都站) 值为负，s 6 ( 吉安) 近似于零，其余各 站的值为正，反映其余各站7 月降雨量较常年偏多而成都站偏少的趋势。第2 空间正交经 验函数安庆、成都、衡阳、邵阳、武汉、西昌、宜昌、重庆8 站为负，沅陵系数近似于零， 其余站系数为正，反映安庆、成都、衡阳、邵阳、武汉、西昌、宜昌、重庆8 站7 月降雨 量较常年偏少，其余站( 除沅陵外) 偏多的趋势。 ( 3 ) 求5 个时间函数( 也即求主成分得分) ，见表2 4 ： 表2 - 4 时间函数 1 9 5 31 9 5 41 9 5 51 9 5 61 9 5 71 9 5 81 9 5 91 9 6 0 t l一2 3 8 6 0 2 1 0 5 8 5 3 3 1 6 0 9 0 5 - 2 3 1 1 2 8 2 0 3 7 o l - 1 4 0 6 1 1 - 3 8 3 5 0 1- 8 4 4 6 1 t 2 1 8 2 9 0 99 7 8 7 81 3 8 6 8 11 0 0 5 2 53 1 6 1 0 8 2 3 3 2 4 63 8 9 9 5- 4 8 3 0 1 t 39 6 5 8 3- 4 9 8 4 61 8 5 9 2 52 9 5 9 8 - 5 8 0 5 6 一1 6 4 2 3 16 7 1 8 7- 2 1 1 9 3 3 t 45 0 2 7 9- 6 7 5 6 22 2 0 4 1 62 1 0 2 21 3 9 0 8 0一1 7 0 3 4 51 0 5 0 6 63 6 3 5 7 t 5一1 1 8 4 4- 1 4 6 5 46 7 9 1 81 6 3 6 7 72 9 9 9 69 7 4 3 3- 1 8 8 8 0 89 8 0 8 0 1 9 6 11 9 6 21 9 6 31 9 6 41 9 6 51 9 6 61 9 6 71 9 6 8 t 1- 2 9 6 8 3 9 3 1 0 2 2 - 6 6 8 5 2- 3 1 2 8 1 46 7 1 2 6- 1 6 9 3 1 3- 2 5 6 7 4 38 8 0 l t 28 5 4 0 8 1 9 8 5 4 0 5 7 3 29 2 7 39 9 0 81 7 7 1 3 74 3 5 1 81 3 3 0 2 9 t 31 0 0 4 1 1 1 9 3 7 儿 一1 5 6 9 9 06 5 3 8 1 l l l l 6 l 1 4 2 5 0 74 2 2 1 41 2 8 5 2 7 t 47 6 1 5 7 8 1 2 5- 6 7 7 8 31 2 7 8 8 21 2 6 7 1 43 8 5 7 6 9 7 3 3 4 5 3 8 5 5 t 51 1 4 0 8 1 6 2 6 6 01 0 7 9 0 05 8 0 8 0- 4 6 1 6 8 1 4 6 8 6 1- 4 7 6 9 4 2 2 9 5 0 5 8 1 9 6 91 9 7 01 9 7 11 9 7 21 9 7 31 9 7 41 9 7 51 9 7 6 t l6 7 1 9 6 52 2 2 5 3 7- 3 5 9 9 3 5- 2 9 4 4 8 3- 8 0 2 2 88 8 2 6 22 0 6 8 9 2- 2 6 0 0 1 0 t 21 7 7 1 0 71 4 8 1 61 5 9 0 8 7- 1 4 2 6 8 97 8 0 4 4- 2 5 7 5 21 6 8 4 7 02 1 4 6 8 4 t 31 0 9 5 1 32 4 8 7 2 9- 7 6 0 5 13 4 7 3 8- 3 0 7 3 22 1 9 3 8 11 1 7 9 0 85 5 5 5 1 t 4- 9 8 1 4 52 8 5 0 9 4- 4 9 7 7 82 8 4 5 7- 9 6 8 1 92 6 5 5 9 9- 6 3 2 68 2 2 4 3 t 5- 1 0 7 0 8 61 8 9 8 1 31 9 5 1 5 41 7 4 7 2 93 0 2 4 95 4 7 3 0- 3 6 6 1 1- 6 2 7 0 1 9 7 71 9 7 81 9 7 91 9 8 01 9 8 11 9 8 21 9 8 31 9 8 4 t 17 8 1 0- 3 7 1 7 8 2- 8 3 1 8 22 5 6 6 1 31 0 6 3 1 97 1 2 3 31 5 8 5 1 3一1 1 5 1 0 4 t 23 7 4 0 57 5 9 3 1- 1 4 2 0 31 2 5 7 1 4- 1 9 8 0 2 8- 3 5 8 5 5 71 1 3 6 64 7 7 t 34 3 7 1 45 7 6 8 4- 2 5 3 5 1- 5 0 3 0 81 5 0 7 2 81 2 0 0 3 4- 5 3 4 4 1- 3 7 5 9 0 t 4- 2 7 0 2 61 2 5 9 41 3 7 4 7 38 8 8 9 4- 9 7 8 3 6- 5 8 2 5 2- 1 9 5 0 8 35 3 4 5 3 t 51 4 3 82 4 2 5 41 2 9 5 9- 1 3 4 4 7 28 6 2 9 27 5 5 5 71 2 0 7 02 2 6 7 8 5 1 9 8 51 9 8 61 9 8 71 9 9 01 9 8 81 9 8 91 9 9 11 9 9 2 t 1 4 9 3 7 91 0 2 9 9 92 7 9 0 9 9- 2 5 0 7 7 8- 3 0 7 0 2 21 8 7 38 0 6 1 0 0- 2 3 8 3 3 2 t 2- 5 0 2 41 7 5 0 5 61 6 9 2 4 45 0 5 3 1 1 2 1 2 4 5- 4 8 4 6 0- 3 2 5 5 1 99 0 4 5 2 t 3- 4 2 8 3 9- 1 3 3 7 3 32 5 8 0 6 8- 9 4 9 3 85 8 3 4 88 2 8 4 l- 1 6 3 8 7 42 1 6 4 3 t 49 6 2 4 89 4 3 3 28 4 3 6 8- 4 1 0 0 27 1 8 1 7- 2 0 1 8 6 36 4 1 3 2- 7 7 5 9 4 t 5- 4 3 1 6 51 6 9 6 4 46 1 8 2 1- 2 8 5 1- 3 7 8 39 3 0 2 7- 7 5 0 2 2- 1 6 7 8 2 6 1 9 9 31 9 9 41 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 0 t 12 5 6 7 1 6- 1 2 4 5 9 9- 5 4 3 6 27 2 7 2 4 35 8 7 2 26 0 5 0 2 37 4 5 8 9- 2 9 6 6 6 1 t 24 3 6 4 3 72 9 3 5 1 45 4 4 8 27 7 0 0 62 7 3 5 6 21 8 5 6 1 l4 3 2 0 4 3- 5 7 6 5 t 32 0 5 4 1 86 4 0 7 2 - 1 7 0 3 4 32 8 4 4 7 2- 6 7 9 5 8 2 7 1 5 4 81 8 6 4 5 3 - 3 0 2 3 6 t 41 0 2 32 6 7 04 7 4 0 9- 3 6 4 4 3 46 2 3 1 63 2 3 5 4 36 6 3 5 17 7 6 6 3 t 51 3 1 8 4 0- 1 2 0 8 1 92 7 2 0 3 31 4 1 6 3 61 3 9 0 1 42 5 2 9 4 5- 5 4 6 9 82 0 0 2 9 9 这5 个时间函数不是特征向量而是空间函数的权函数。由上表第二行( t 1 项) 可见第1 时 间函数，在1 9 5 4 、1 9 9 1 、1 9 6 9 、1 9 9 6 、1 9 9 8 年达到峰值，说明这几年长江流域除成都吉安 外雨量偏大，因而雨水偏大。1 9 5 9 、1 9 7 1 、1 9 7 8 、2 0 0 0 年第1 时间函数达到低谷，这几年 长江流域偏旱。第1 时间函数见图1 。第2 时间函数在1 9 9 3 、1 9 9 9 年最大，反映这两年安 庆、成都、衡阳、邵阳、武汉、西昌、宜昌、重庆8 站较常年偏少，其余站偏多趋势。1 9 8 2 、 1 9 9 1 、1 9 5 7 年第2 时间函数负得最多，反映这3 年安庆、成都、衡阳、邵阳、武汉、西吕、 宜昌、重庆8 站较常年偏多，其余站偏少趋势。 9 图2 - 1 第1 时间函数图像 2 3 1 2 第二种信息提取方法 ( 1 ) 首先求出每年长江流域2 3 个站的总平均降雨量，即将2 3 个站的7 月降雨量加起 来除以2 3 ，它粗略的反映长江流域平均降雨量。所得平均雨量见表2 5 ： 表2 - 5 长江流域总降雨量的平均值 y e a r1 9 5 31 9 5 41 9 5 51 9 5 61 9 5 71 9 5 81 9 5 91 9 6 0 a v e1 2 5 7 6 13 4 8 4 2 61 5 0 0 3 01 3 8 0 1 71 9 1 8 9 l1 5 3 9 8 71 1 0 4 3 01 7 1 4 0 9 y e a r1 9 6 11 9 6 2 1 9 6 31 9 6 4 1 9 6 51 9 6 61 9 6 71 9 6 8 a v e1 3 8 3 4 3 1 6 3 5 1 71 5 1 7 4 81 0 7 9 3 9 1 4 2 8 0 41 4 8 7 3 51 1 1 1 4 81 8 8 0 5 7 y e a r1 9 6 91 9 7 01 9 7 11 9 7 21 9 7 31 9 7 41 9 7 51 9 7 6 a v e2 7 3 7 9 62 4 4 8 8 79 0 6 0 41 0 9 0 6 51 6 4 8 3 92 0 7 6 9 11 2 1 7 9 11 4 3 0 9 6 y e a r 1 9 7 71 9 7 81 9 7 91 9 8 01 9 8 1 1 9 8 2 1 9 8 31 9 8 4 a v e1 7 7 0 0 41 0 5 4 9 l1 5 2 1 3 52 0 1 6 0 41 6 2 7 0 91 7 1 2 7 01 8 7 7 6 11 6 6 0 0 4 y e a r 1 9 8 51 9 8 61 9 8 71 9 8 81 9 8 9 1 9 9 01 9 9 11 9 9 2 a v e1 5 8 2 1 32 1 4 0 6 l2 2 7 7 3 5 1 1 8 6 6 1 1 7 8 3 2 61 2 5 6 8 32 7 2 7 1 71 1 8 0 4 8 y e a r 1 9 9 31 9 9 41 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 0 a v e2 2 9 7 1 71 5 6 7 7 41 7 7 9 2 23 0 6 5 0 02 1 0 7 0 92 7 0 3 7 02 1 2 6 6 51 1 7 6 4 3 其图形见图2 2 ： 1 0 m r 图2 - 2 长江流域每年7 月平均降雨量 可以清晰的看到1 9 5 4 ，1 9 6 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 8 这几年7 月降雨量偏多全流域是涝年，而1 9 7 1 ， 1 9 7 8 年7 月降雨量偏少，是早年。 ( 2 ) 求时间正交经验函数得到的前4 个特征值见表2 6 ： 表2 - 6 时间正交经验函数特征值 特征值百分比累积百分比 11 3 6 0 4 2 9 8 00 2 6 8 30 2 6 8 3 21 0 0 2 6 1 2 2 60 1 9 7 70 4 6 6 0 3 5 5 0 2 0 0 9 20 1 0 8 5o 5 7 4 5 4 3 4 2 3 1 9 1 60 0 6 7 50 6 4 2 0 52 6 1 0 4 9 4 7o 0 5 1 5 0 6 9 3 5 62 3 4 4 8 9 2 10 0 4 6 20 7 3 9 8 可见需要前6 个时间正交函数，对应的特征向量为： 表2 7 时间正交经验函数 1 9 5 31 9 5 41 9 5 5 1 9 5 6 1 9 5 71 9 5 81 9 5 91 9 6 0 c l0 1 0 2 2 2 2 0 1 9 0 4 5 0 0 1 0 5 2 8 1 o 1 1 9 3 7 20 2 8 3 4 7 0 0 0 8 3 6 2 30 1 0 5 3 4 40 2 6 3 0 5 9 c 20 0 5 5 0 7 4一3 7 0 2 8 l0 0 8 4 7 9 5o 1 1 3 3 8 5一1 2 0 8 3 90 1 2 4 6 6 7 0 1 6 8 8 1 10 1 3 5 7 3 6 c 3- - 1 8 4 0 6 80 2 5 3 6 0 0一2 0 8 4 0 9一1 2 4 4 9 2一1 4 0 8 0 7o 2 3 1 9 0 1 一0 7 4 6 7 80 0 2 5 0 6 7 c 4一0 6 4 5 0 90 0 3 6 5 3 5一2 0 9 6 5 20 1 0 7 3 0 0一1 1 5 6 7 50 2 3 6 3 9 6一1 9 0 5 1 6 0 0 7 6 3 3 6 c 5一0 5 7 8 4 00 0 0 2 6 5 2一1 9 8 3 7 7一2 3 5 3 0 2一0 9 7 5 1 5一0 3 5 2 1 20 2 8 0 4 3 50 1 6 6 6 8 0 c 6一0 0 3 9 7 2一1 7 4 7 5 4一0 0 2 9 6 90 1 0 6 0 7 7一0 3 0 2 4 6一1 6 8 4 7 00 1 8 6 9 8 6一1 2 8 6 5 7 1 9 6 11 9 6 21 9 6 31 9 6 41 9 6 51 9 6 61 9 6 71 9 6 8 c 10 1 3 9 4 2 6 o 2 1 6 6 7 3 0 1 8 5 2 6 3o 1 1 3 3 5 30 0 4 2 6 2 60 0 0 9 3 3 80 0 8 0 1 9 0o 1 7 5 4 8 5 c 20 2 2 0 1 4 3 0 0 0 9 1 5 50 0 2 6 2 5 4 0 0 9 7 9 5 l一0 4 2 4 5 10 1 0 7 3 7 7o 0 5 1 3 1 20 1 3 6 5 3 7 c 3 0 0 4 5 5 1 3一0 7 4 4 6 7o 1 1 9 9 5 70 0 5 5 3 8 20 0 2 9 6 8 0 0 0 7 8 5 3 80 0 9 0 3 5 8 o 1 1 8 8 6 3 c 4 0 1 0 1 3 1 2一0 0 8 3 2 40 0 3 8 6 1 20 1 0 9 0 8 40 0 5 7 4 4 2 一1 4 0 5 7 60 0 5 8 1 3 6 0 0 8 4 6 3 8 c 50 0 5 5 7 3 9一0 9 9 8 6 8o 2 2 1 9 1 50 1 3 3 4 2 0一1 1 6 5 3 5 0 1 1 4 9 2 8一0 7 9 8 1 9 一2 0 4 1 6 8 c 6一1 1 5 4 9 6 一1 2 7 1 1 2 o 0 1 2 9 7 10 0 2 1 2 3 4一1 3 3 6 3 9o 1 6 9 0 7 8 0 0 0 7 9 4 3 一0 9 9 4 5 6 1 2 _ 一 1 9 6 91 9 7 01 9 7 l1 9 7 21 9 7 31 9 7 41 9 7 51 9 7 6 c 1o 2 1 3 3 5 30 0 9 6 6 8 20 1 3 9 9 3 00 1 4 8 0 4 00 0 8 6 6 3 80 0 7 6 3 8 10 0 9 8 5 6 2o 0 3 7 6 3 6 c 2一3 0 3