（应用数学专业论文）汽车保险最优奖惩系统研究.pdf

摘要 糕簿学是将数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，是廒尾数学研究 领域和金融保陵研究颈域这两者之闽静一个边缘学褥汽车僳陵奖惩系统是现代精 算学中的一个徽要研究课题，本文主要用马尔可夫链、贝叶斯理论、时滞微分方糨理 逾与凌态援划簿研究汽零第三者黉侄保险奖惩系统，特舅是缀优奖惩卷绫本麓论 文的研究分五部分： 端一部分研究我黼现行汽擎保险奖惩系统的性质，我们在封闭保单组合的假 设下，骧齐次警尔可夫镳理论为蒸缓麸系统貔平稳分蠢敦及系统豹弹蕊、透鹗度筹方 面描述系统的性质为了更好地蒇映保单的风险异质性，我们利用贝叶斯方法怒义 了相盥的非条件度量，势通过数德分析说明我国现行奖惩系绕与世界上绝大多数奖 惩系统类经，粪有弹注低，投傈入之阉稳互辛 鹣等闯遥，餐楚，我 j 酶分析仅限予没 有投僳人离开和加入的封闭市场环境 繁二部分，龌究开放市场环境下奖惩系统蛉极黻分布。为了描述奖惩系统在开 放市场环境下豹状况，我们利用时滞微分方程掏造奖惩系统猩开放市场下各等级人 数及比例的模型，当各等级的投保人离开和进入系统的速率以及时滞因索满足一定 条传瓣，我钓铡壤不动蠡定理耪徽分不等式方法迓骥了瞧一熬平稳分毒戆存农性， 我们还证明该极限分布怒全局指数稳定的 鳙三部分，研究奖惩系统下的避奖问题我们首先将l e m a i r c 的计算完全保险下 象筑鑫螯额豹雾法箍广羽有保羧隈额赘魄镄豫陵，遴遘怼各等级豹菜绘定鑫甏焱进 行评价，我们用动态规划方法计算最优自留额然后，在固定追奖比例的假设下，我 ( f l 葶l 用极大似然估计法对固定免贼比例保除进行真实损失分耀的参数锻计 第四部分。讶究仅考虑索赔次数静单因素奖惩系统，首先，我稍分潮在最小纯保 险人损失和最大化保险人效用的融标下得剿我国现行汽车保除转移规则下的最优奖 惩系绞然嚣，我爨对黢经稳关奖惩系统避簿磋宠，嶷绘定个与授保人过去多年懿 索赔次数有关的转移规则的条件下，通过对等级增加必要的下标使新规则成为舄尔 可夫链，并在线性费率等级的约荣下，得到最小化保险人损失目标下的线性路径相 关鬟後奖惩系绞。爱嚣，我稻疆公译倍疫为纂懿梅遥簸优单因絮奖惩系统，萁孛暇设 保单组合的索赔次数服从泊松伽玛分布，当该分布的参数满足一定条件时，在期鬻 值照则下该系统是一个财务平德娥恍奖惩系统我们避面将疑与传统敬最小平方损 失信发理论下系统豹惩罚严雳毪避行磁较 第五部分我们利用贝叶斯理论构造两类双因索最优奖惩系统针对仅对索赔 n 次数给予惩罚可能引越的不公平问题，我们在索赔次数的基础上，分别引入另一个 后验因素一一索赔金额和应付责任首先，我们将索赔金额因索引入奖惩系统，在索 蘧次数帮素赡众颧因素_ 羔分尉戬颓望篷簌剡露羯望一方差器弱擒建了黢饶奖惩系统， 其中对于索赔次数因素，我们假设一次事故可能导数多次第三者责任保险索赔，进 而假设任意保单的索赔次数服从熊二项一帕累托分布，并假设簿一次索赔的索赔众额 骚麸指数镯玛分布。然藉，我稳洋l 矮索薅次数和毅保久在索赔事敲中的应付责经这 两个因素构造嫩优奖惩系统+ 对于应付责经因素，我们分别使用两种假设，一种憋假 设投保人的应付责任比例h h 从 o ，1 1 上鲍均匀分布，烬一季中是将索赔事故按责 王笛级 分为不同的类我们在髑望值琢剃下构建这类双因素财务平衡最优奖愆系统 关键蠲：奖憋聚统；薅舞平篱豢饯奖惩系统；佳凄；建奖；魄镶免戆；鼹经糖美 m a b s t r a c t a c t u a r i a ls c i e n c ea p p l i e sm a t h e m a t i c a lm e t h o d si ni n s u r a n c ea n di s as c i e n c e b e t w e e na p p l i e dm a t h e m a t i c sa n di n s u r a n c e b o n u s 。m a l u ss y s t e m ( b m si ns h o r t ) o f a u t o m o b i l ei n s u r a n c ei sa ni m p o r t a n tt o p i ci na c t u a r i a ls c i e n c e m a r k o vc h a i n ，b a y e s t h e o r y , t h et h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dd y n a m i cp r o g r a m m i n ga r eu s e dt o s t u d yb m s ，e s p e e i a l l yo p t i m a lb m s ，o fa u t o m o b i l et h i r d p a r t yl i a b i l i t yi n s u r a n c ei nt h i s d i s s e r t a t i o n ，w h i c hi so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fc h i n e s ep r e s e n tb m s b a s e do nm a r k e rt h e o r y s o m em e a s u r e m e n t s ，s u c ha ss t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n ，e l a s t i c i t ya n dt r a n s p a r e n c y , a r eu s e d t od e s c r i b ec h i n e s eb m su n d e rt h ea s s u m p t i o no fac l o s e dp o r t f o l i o ，a tt h es a m et i m e ，t o r e f l e c tt h eh e t e r o g e n e o u so fp o r t f o l i o ，c o r r e s p o n d i n gu n c o n d i t i o n a lm e a s u r e m e n t sa r e d e f i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，n u m e r i c a la n a l y s e si l l u s t r a t et h a tc h i n e s ep r e s e n tb m si s f a c i n gs o m ep r o b l e m sa si nm o s tb m s so fo t h e rc o u n t r i e s t h e s ep r o b l e m sa r ee l a s t i c i t y d e f i c i e n ta n da l l o w a n c ea m o n gp o l i c y h o l d e r s + b u ta l lt h i sc o n c l u s i o n sa r el i m i t e dt oa c l o s e dp o r t f o l i ow i t h o u tl e a v i n ga n de n t e r i n go fp o l i c y h o l d e r s s e c o n d ，w es t u d yt h el i m i t e dd i s t r i b u t i o no fab o n u s m a l u ss y s t e mi na no p e nm a r k e t am o d e lo ft h en u m b e ra n dp r o p o r t i o no fp o l i c y h o l d e ri nb o n u s - m a l u sl e v e l si s c o n s t r u c t e db yd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w h e nt h el e a v i n ga n de n t e r i n gr a t eo fe a c h b ml e v e la n dd e l a yf a c t o r ss a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i c i n s ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fau n i q u ee q u i l i b r i u mp o i n ta r ee s t a b l i s h e d a n dp r o v e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e ma n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e s t h i r d l y , w es t u d yb o n u s - h u n g e ro fb m s 。w eg e n e r a l i z el e m a i r e sa l g o r i t h mo f c a l c u l a t i n go p t i m a lr e t e n t i o n o ff u l li n s u r a n c et ot h es i t u a t i o nw i t hp r o p o r t i o n a l d e d u c t i b l ea n di n s u r a n c ec o v e r a g el i m i t b a s e do ne v a l u a t i o no fa n yg i v e nr e t e n t i o n ， o p t i m a l r e t e n t i o ni so b t a i n e dt h r o u g hd y n a m i cp r o g r a m m i n g t h e n ，u n d e rt h e a s s u m p t i o no ft h ee x i s t e n c eo faf i x e dh u n g e rp r o p o r t i o n ，t h ep a r a m e t e r so ft r u el o s sa r e e s t i m a t e df o rf i x e dd e d u c t i o np r o p o r t i o nw i t hac o v e r a g el i m i t ，i nw h i c hm a x i m u m 1 汝e 1 蜘o o de s t i m a t i o ni su s e d f o u r t h l y , w es t u d yo p t i m a lu n i - f a c t o rb o n u s - m a l u ss y s t e mi nw h i c hc l a i mf r e q u e n c y i su s e da sp o s t e r i o rf a c t o r f i r s t ，t w oo p t i m a lf o u rl e v e lb m s sw i t hp r e s e n tc h i n e s e b m s st r a n s f e rr u l ea r eo b t a i n e du n d e rt w oo b j e c t s ，m i n i m i z ei n s u r e r se x p e c t e dl o s sa n d m a x i m u mi n s u r e r se x p e c t e du t i l i t y , r e s p e c t i v e l y w ea l s os t u d yp a t h d e p e n d e n tb m s ：塞型型塞量垡鳖堡型塞：! w i t hl i n e a rb mc o e f f i c i e n t s i ft r a n s f e rr u l ei sr e l a t e dt om o r et h a no n e p a s tp e r i o d s ， c l a i mr e c o r d ，w ec a ng e tan e wr u l eb ya d d i n gas u b s c r i p tt oe a c hb ml e v e l t h en e wr u l e i sam a r k o vc h a i n a no p t i m a lb m si so b t a i n e dt om i n i m u mi n s u r e r se x p e c t e d1 0 s s u n d e rl i n e a rr e s t r i c t a t1 a s t w ec o n s t r u c tau n i f a c t o rb m sb a s e do ne q u i t a b l ec r e d i b i l i t y i nt h i sb m s ，c l a i mf r e q u e n c yo far a n d o m g i v e np o l i c y h o l d e r i sp o i s s o n - g a m m a d i s t r i b u t e d w h e nt h ec o e f f i c i e n t so fc l a i m f r e q u e n c y d i s t r i b u t i o n s a t i s f y c e r t a i n c o n d i t i o n s ，t h eb m si so p t i m a l m o r e o v e r ，t h eb m si sf i n a n c i a lb a l a n c e du n d e re x p e c t e d v a l u ep r i n c i p l e w ec o m p a r et h es e v e r i t yo fm a l u sb e t w e e nb m s sb a s e do nt r a d i t i o n a l s q u a r el o s sc r e d i b i l i t ya n de q u i t a b l ec r e d i b i f i t y , f i n a l l 5w ec o n s t r u c tt w ok i n d so fb i f a c t o ro p t i m a lb o n u s m a l u ss y s t e m s t h e p u r p o s eo fb i - f a c t o rb o n u s - m a l u ss y s t e m si st oa b a t eu n f a i rm a l u sj u s tg i v e nt oc l a i m n u m b e r b e s i d e sc l a i mn u m b e r ，t w oo t h e r p o s t e r i o rf a c t o r s ，c l a i ma m o u n ta n d r e s p o n s i b i l i t y , a r eu s e di nb m s i nt h eb m sc o n s i d e r i n gb o t hc l a i mf r e q u e n c ya n dc l a i m s e v e r i t y , e x p e c t e dv a l u ep r i n c i p l ea n de x p e c t e d - v a r i a n c ep r i n c i p l ea r eu s e dt ob u i l d o p t i m a lb m s f o rc l a i mf r e q u e n c y , w ea s s u m eo n et r a n s p o r ta c c i d e n tc a nc a u s em a n y t h i r d p a r t yl i a b i l i t yc l a i m s ，a n dn e g a t i v eb i n o m i a l p a r e t od i s t r i b u t i o n i su s e d e x p o n e n t i a l g a m m ad i s t r i b u t i o n i s g i v e nt o c l a i ms e v e r i t y t h e nw eu s e dc l a i m f r e q u e n c ya n dr e s p o n s i b i l i t y ap o l i c y h o l d e rs h o u l dp a yi nt h ec l a i ma si n f o r m a t i o nt o b u i l do p t i m a lb m s f o rr e s p o n s i b i l i t y ，t w oa s s u m p t i o n sa r eu s e dr e s p e c t i v e l y o n ei s p o l i c y h o l d e r sr e s p o n s i b i l i t yp r o p o r t i o ni s u n i f o r md i s t r i b u t e do n 【0 ，1 t h eo t h e ri s c l a i m sc a nb ed i v i d e di n t os e v e r a lg r o u p sa c c o r d i n gt o r e s p o n s i b i l i t yl e v e l f i n a n c i a l b a l a n c e do p t i m a lb i f a c t o rb m s sa r eb u i l t k e yw o r d s ：b o n u s - m a l u ss y s t e m ；f i n a n c i a lb a l a n c e do p t i m a lb o n u s m a l u ss y s t e m c r e d i b i l i t y ；b o n u s - h u n g e r ；p r o p o r t i o n a ld e d u c t i b l e ；p a t h - d e p e n d e n t v 插图索引 图2 1 平均平稳奖惩系数1 4 图2 2 奖惩系统的弹性1 5 v 掰 附表索引 表2 + 1 索赔次数的参数估计 1 2 表2 2 初始等级为4 的簿级分布总偏差 1 6 表5 ，1零效瑶簇爨下戆簧耋务平衡鼹毯奖惩系统4 2 表5 2 新奖惩系统的转移规则4 6 表5 3 最小均方误差估计5 3 表5 4 公平髂废估计5 3 i x 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所星交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注弓l 用的内容外，本论文不包含任 霉其缝个人或集体邑经发表绒撰写瓣藏巢佟品。对本文戆磺究皴爨重娶贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：互熏渔日期：枷s 年j 月冲日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校傈留弗淘国家有关部门躐褫构遴交论文静笺窜伟精毫子叛，龛诲论文 被套阕和借阒。本入授权湖南大学可以将本学位论文魄全郝或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印戏扫摘等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学搜论文瘸子 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密函。 ( 谚在以上甥瘦方框雨打“”) 作者签名： 导辩签名： 日期：知一占年 月撕匿 基絮：年f月一疆 ，瘟沪 璁朋 博士学位论文 第1 章绪论 精算学是将数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，是应用数学研究 领域和金融保险研究领域这两者之间的一个边缘学科汽车保险奖惩系统是现代精 算学中的一个重要的研究课题 1 1 奖惩系统及其现状 “奖惩系统”的英文为“b o n u s - m a l u ss y s t e m ”它是一种经验定价方法，奖惩 系统的本质是对于发生了一次或多次索赔的投保人合理地增收保险费或给予惩罚 “m a l u s ”，而对没有任何索赔发生的投保人合理地给予保费折扣或奖励“b o n u s ”，并 且力求使这种系统在某种意义上达到最优( 见1 4 ) 保险公司在对保险产品定价时，通常力图达到两个目标：一是在险种水平上， 收取的总保费应该足以支付所有未来赔付责任；二是尽可能地达到对每个被保险人 的公平，即对每一投保人收取的保费应尽可能地反应其真实风险水平，从而避免被 保险人之间的“补贴”在自由的市场中，如果某一公司的定价系统不能很好地反映 投保人的真实风险水平，就必然导致逆选择风险“好的”司机将选择其他保险公 司，而高风险保单将更可能留下来奖惩系统或无赔款优待的广泛使用正是为了达 到上述定价目标，尤其是为了达到在被保险人之间的公平【卜钔 我们将对汽车保险一一尤其是第三者责任保险一一奖惩系统的性质、最优系统 的构造等问题进行分析和研究汽车保险是一种年度可续保的产品，形式上便于奖 惩系统的实施汽车第三者责任保险是指因使用被保险的汽车发生意外事故致使第 三者人身伤亡或第三者财产损害，被保险人依法应付经济赔偿责任时，保险人依照 汽车责任保险条款的规定，对被保险人依法应承担的经济赔偿责任进行赔偿汽车 保险的设计因各国国情与社会需要的不同而不同，就第三者责任保险而言，各保险 先进国家均在承保内容上力求扩张，以使所有车祸受害人均能获得合理的赔偿，这 己成为现代汽车第三者责任保险的必然趋势【”我国自2 0 0 4 年5 月起施行强制性机 动车辆第三者责任保险并允许保险公司自行厘定车险费率，这一政策的实施一方面 能更好地保护受害者的利益，对规范第三者责任险的承保和续保有着十分重要的意 义；另一方面对保险公司的风险识别能力和定价模式有了更高的要求 奖惩系统自d e l a p o r t 、b i e h s e l 和b u h l m a n n 的研究并被应用于欧洲的保险实务中 起，精算师的一项重要工作是结合奖惩系统准确估计每个投保人的风险，从而使定 价公平合理【5 卅 在设计汽车保险保费体系时，通常先根攥一些先验因素或变量将所有被保险人 分组，使哿同分在一组的被保险人鸯着相同域耜似的风险并支付相同的基础保险费+ 在汽车第三者责任傈险中，鬻霜的先验变量包稻：车羹、车龄、驾龄、行驶区域、糟 途等不同国家困社会、法律等方谢的原因，对先验变嬗的使用有所不同 8 ”1 0 1 例如 美国懿保险入使照更多的先验定份毅素，如驾驶员的嫒烂状猿、撼烟习惯、汽车的壤 色等但是即便使用更多的先验变鬣，保陵入仍然不可能完全准确地预测每个投保 人的真实风险水平，例如驾驶员的风险防范意识、驾驶技术，反应能力等p i n q u e t 说 鞠汽攀保险戆毅镶险大农索黠上存在羞歪豁镥染，鄯一次索赔熬发生可戆会增热下 次发生索赔的可能性，这种传染也可以解释为投保人的潜在风险 ”1 ；此外，索赔记 录是最能反映驾驶员真实风险的因索【“1 ，而这类信息擞初始投保时往往不可能得至0 ， 汽车撩浚馋为一释可戳年灌续绦熬产晶，保除久在对黎一傈猃椽酶定徐辩可鞋逐年 根据投保人的以往索赔记激进行调熬 奖惩系统的蒸本譬的蹩客观地译价每位投保人的风险蒡收取合理的保险费；警 然，奖惩系统静健霜还麓激励驾驶受安全驾敷；魏岁 ，奖惩系统必然会释隧追奖现象 1 3 1 5 1 ，即当投保人面对小索赔额时，往往不向保险人报告而自融支付，以避免未来 曝费懿增搬或追求续期缳赞的拆据奖磁，追奖懿另一个结果是缳险人会毅小颧赔嚣 减少引起的更高比例的耜必费用豹减少而降低基础保除费水平 插l + 当赞率模式满足以下三个要素时，称为奖惩系统 f 1 ) 绦舞东乎嚣p f 露置，b s ) ，冀中s 为等缀数，是一个太子1 酌宣然数； ( 2 ) 初始等级f 0 ； f 3 ) 转移趣赠，鄄当索赔次数己知酣决定由灏薅级转穆测新等级的规英| j l e m a i r e 等对2 2 个国窳的3 0 个系统进行比较【1 7 】这些国家所用的先验变爨和奖 惩系统强法律、孛会等有缀大差异，骞些是亮全蠡由懿定捻系统，嚣有些剡是完全凌 政府控制的系统当前，几乎所有现行奖惩淼统都只对索赔次数而非索赂的费用给 予惩罚，且大多数关于奖惩系统的文献也是仅针对索赂次数因素进行损必估计和系 统霞缘等方瑟瓣骚究l 挞啪1 昃套耱黧夔奖惩系统将事敖按是否露入奏臻亡分或嚣炎 并分别给予保费惩罚 ”1 ；p i c a r d 推广负二项模型，将索贻按损失程度分成两类：大损 失和小损失构造奖惩系统1 3 4 】。f r a n g o s 构造了一个同时考虑索赔次数和事故严重程艘 豹系统1 3 5 1 1 2 汽车保险损失分布估计 保险人在厘定保险费的过程中需要考虑的两个重臻因素是保单的索赔次数和索 赔额，对于索赌次数，有蕤葶孛模型遴露攘达：( 1 ) 个体绦肇翡索赔次数模型：援在一梅 2 陴士学位论文 定时期内某一给定保单发生k 次( 尼= 0 , 1 ，) 索赔的概率；( 2 ) 保单组合的索赔次数模 型：指在一特定时期内保单组合中任意抽取的一份保单发生k 次f 七。0 ，1 ，1 索赔的概 率 在汽车保险实践中，尽管保险人根据某些先验变量将保单进行分组，但是任何 先验变量都有缺陷，因此被划入同一组的保单仍然不可避免地存在某种程度的非同 质性叫”1 理论研究方面，对汽车保险保单组合索赔频率的描述有两类方法一参 数方法和非参数方法【3 7 “”，其中参数方法又可以分成两类： ( 1 ) 对于保单组合中不同风险单位之间的风险异质性，通过假设单一风险索赔次数 分布中的参数为超参数并服从某一分布进行描述例如假设保单组合中某一给定投 保人的年索赔次数服从均值为超参数a 的泊松分布且 服从伽玛分布，则该保单组 合中任意投保人的索赔频率服从泊松伽玛分布类似的假设还有泊松逆高斯分布、 负二项一贝塔分布、二项贝塔分布等； ( 2 ) 另一类是广义复合模型【1 1 , 4 7 , 4 8 考虑到既然保单组合中的风险异质性是由于存 在着某些未能识别的风险引起的，则假设某单一保单风险中存在一个期望为0 的误 差随机变量，与此同时，假设期望索赔频率将随先验因素的变化而变化，显然，这种 模型对数据的要求更高例如，若假设保单组合中第i 个投保人在第t 个保单年度的 先验因素是毛，年索赔频率的期望九一c r 2 。，且a 。一e x p ( 九s ；) ，其中c 是参数列向 量，s ；服从e ( p 。) = 1 ，v a r ( e 。) = 三的伽玛分布，那么索赔频率服从参数分别为y 和 y e 印( 九) 的负二项分布，我们称这样的索赔次数服从广义泊松伽玛分布 显然，如果假设保单组合中的先验信息不随时间而发生变化，那么( 1 ) 和( 2 ) 两种模型下的泊松伽玛分布是等价的 非参数方法下，所有有着相同先验因素的投保人将按其索赔记录被分成几组 每一组的投保人有着完全相同的索赔次数分布【”，49 1 这种方法通常用于规模较小的 保单组合，例如假设泊松参数取有限个值，如取大、中、小三种值，分别代表高、中、 低三种风险等 在本文中，我们将使用参数模型描述保单组合的索赔次数 至于对索赔金额的描述，常见的分布假设包括：指数分布、伽玛分布、对数正 态分布和帕累托分布等f 5 0 此外，在汽车第三者责任保险中，由于保险金是支付给第三者的，且有理由相信 交通事故的损失程度以及保险赔偿金额的大小不受被保险人的控制，因此，在汽车 第三者责任保险中通常假设索赔次数与索赔金额是相互独立的，且索赔金额是独立 同分布的随机变量 1 3 奖惩系统和马尔可夫链 奖惩系统可以用马尔可夫链理论进行分析和构建l o i m a r a n t a 等学者在马尔可夫 链理论的基础上对奖惩系统的性质做了研究【1 2 ，1 3 , 5 1 。5 “ 在他们的研究中，对奖惩系统均作如下假设： ( 1 ) 每个保险期间有相同长度( 通常是一年) ； ( 2 ) 保单组合被分成有限个等级，且每个保单在一个保险期间内将只处于一个等级； ( 3 ) 进一步地，假设所有新加入投保人将被归入同一个类； f 4 1 奖惩系统的转移规则仅与投保人的以往索赔次数记录有关 在上述假设下，投保人在系统中的状态形成一个有限状态离散马尔可夫链进 一步地，如果假设投保人的驾驶能力在一段时间内没有变化，那么这个马尔可夫链 是时齐的【5 7 】若转移规则除了与当期索赔记录有关外，还依赖于以往年度的索赔次 数，l e m a i r e 说明可以通过增加一个下标的方式将奖惩系统的各等级进行必要的调整 使新规则下的马尔可夫链是时齐的【”】 一个有着有限等级j 的奖惩系统的转移规则可以用一个s s 的矩阵t 表示，元素 t ( i ，1 是一个保险期间后从等级i 到等级f 所对应的索赔次数假设t 所对应的马氏 链是不可约的，且存在一个“最佳等级”，即若投保人无索赔则将停留在该等级( 折 扣最高的等级) 那么该马尔可夫链是非周期的f 5 7 i 已经有很多学者对既定有限等级奖惩系统的性质作了分析和研究常见的评价 奖惩系统的指标包括平稳分布、保费变异系数、系统的弹性、惩罚严厉性指数、公 平性等所有这些指标都是针对一个封闭的保单组合而言的所谓封闭的保单组合 是指保单组合中的投保人都不会离开，与此同时也没有新投保人的加入 定义1 1 【”l ：平稳分布元1 ；加? ，玎；，玎? ) 是在索赔频率等于九的条件下，当系 统内各等级的保单比例不随时间而变化时的概率分布 平稳分布的研究有助于保险人评价保费系统的稳定性，当转移规则满足一定条 件时，平稳分布是能够得到的 定义1 2 ： 奖惩系统的弹性( e l a s t i c i t y ) 7 ( ) 为 删d b p 百( a ) b p ( a ) 一紫 博士学位论文 其中卯( a ) ：( 明玎? ) 是索赔频率为九的投保人的平均平稳费率 爿 这一概念是1 9 7 2 年由l o i m a r a n t 首先引入的，奖惩系统的弹性度量的是当索赔频 率发生变化时对整个系统的影响 理论上，投保人一生所支付的保险费应该是他她的索赔频率的增函数当假设 索赔金额是独立同分布随机变量且索赔金额与索赔次数相互独立时，最理想的弹性 函数应该是线性的，即索赔频率的相对增加也应该使保费有同样的相对增加 定义1 3 ”l 对于一个有着索赔频率a 的被保险人，其自初次投保起的t 次连续保 险期间后的等级分布的总偏差为 ) ，= 扣o 一耐| 其中p 土( f ) 为初始等级是i 的投保人经过t 个保险期间后处于等级f 的概率，玎为 等级l 的平稳分布 总偏差度量的是系统的收敛程度，显然，总偏差的取值界于0 和2 之间 另一方面，奖惩系统的使用将会伴随“追奖”现象i ”4 5 ，5 8 。2 1 ，即某些被保险人选 择自己支付较小金额的损失而不向保险公司报告，其目的是避免未来保费的增加或 为了追求未来的保费折扣追奖的存在使保险人在估计损失金额和损失频率时将面 临删失数据问题追奖下的真实损失频率将高于报告索赔频率，而真实平均损失额 低于每案平均赔付额因追奖而产生的自付损失可以看成“自愿的”免赔额当损失 达到什么程度时被保险人才向保险公司报告的问题被称为最优自留额问题。对于完 全保险下的最优自留额问题目前已经有了较为深入的研究：l e m a i r e 以马尔可夫链 理论为基础利用动态规划方法给出了当系统达到稳定状态时的最优自留额的算法【1 2 1 ： h o l t a n 则认为当被保险人发生了涉及第三者责任保险的交通事故后，是否向保险公 司报告是一个个体决策问题，决策行为取决于投保人的索赔和不索赔这两种选择给 投保人带来的预期回报的大小1 6 3 “】至于对完全保险情形下真实损失分布的估计， w a l h i n 和p a r i s 在索赔次数的非参数模型的基础上进行参数估计并研究奖惩系统的更 新问题【6 5 ，6 们 1 4 最优奖惩系统 构造奖惩系统是精算师们的一个重要目标，它也是学者们十分关注的一个问题 对于一个仅考虑索赔次数因素的系统，目标就是如何构造奖惩等级及转移规则以实 现保险人的目标 = = 彗堡塑幽至圣：= ：一：= 一：= = 一一= ：= 暇设对某投保人观察f 年，斓k ，表示其在第j 年的索赔次数，从而关于该投保 大鲢信息裁是起爨毛一蹲，k ，) ，鄹么在己知售息( k l ，墨) 豹条 孛下，霹以黯该授 保人在下一保险期间的索赔次数风险( 如 。) 进行估计因此，奖惩系统的构造可 以善或是鑫然赛与蕤算帮之霾戆逡续熬绞诗游穿+ 每次簿弈帮霹定义为一个三霞体 q m 一( a o ，d | + l ，r ) ，其中： ( 1 ) a 。表示自然策略空鹅。a 。莛寒知参数a ( 妊索魏矮率) 翡胃戆取蕊； ( 2 ) d 。表示在时间( t + 1 ) 时保险人的策略空间照然以，是 + 。暇) 的函数，其中 + 。 ) 应能傻繇一观察囱最都对成一个值 + ，； ( 3 ) 用r + l 一只( m a ) 装示保险人农时刻( t + 1 ) 的掇失函数绒风险亟数，它是当实 际状态为a 时，保险人做出决策 + ，( t ) 时的损失工。( a h p a ) 的期望，即 曩“( “，爻) 一阪“撬+ ；，】一互+ t 09 6 9 7 89 6 6 8 89 6 9 8 6 9 6 9 8 6 l9 2 4 0 9 7 7 59 2 2 29 2 2 2 27 0 44 9 47 1 27 1 2 34 31 7 s 15 1 4 9o3 4oo 00 合计 1 0 6 9 7 41 0 6 9 7 4 1 0 6 9 7 41 0 6 9 7 4 参数镀计 a 一0 1 0 1 1 矗= 1 6 0 4 9 a 一0 ，1 0 1 1 番一1 5 8 7 7 8手一1 6 0 5 2 本文将在以飚的章节中使用泊松伽玛分繇进行数佼分橱 2 2 封闭环境下我国奖惩系统的性质 我们将在本节分祈封闭市场环境下我国现行奖惩系统的毪质邵瑕设保单组合 及其保障将不随时间而发生变化，即没有保单的移出也没有新保单的加入，特别地， 我们逐骰设保攀缝合孛簧僳摹的毙验风殓变爨一经勰定将不辫发生变他，妇车型， 行使区域，使用目的等 在这一节。我们将分别从奖惩系统的平稳分布，弹性，收敛速度和透明度几方丽 分橱我国凌牙汽车僳殓奖惩系统懿穗溪，为了曼孬圭| 塾发羹菇酸努覆保擎缀台下系绕 的性质，我们定义了一系列非条件度量 2 2 1 平稳分布和弹性 根据奖惩等级及奖惩规则，2 1 中我国的奖惩系统形成了一个齐次正则的马尔可 夫链，荠噩1 燕概率转移矩阵m ( 约懿特援氆，记z 3 固；印? ( # ) ，嚣；( f ) ) 斑索薅频率 为盖的投保人农时刻t 的分农，记矗1 = 妞巧1 ( ) ( 如果存在) 兔平稳分表，娃然 露3 一z 3 醚 ) ，羹露= 1 ，k e r n e 珏y ，察s n e l l 涯鞠嚣满是 菏3 * e ( 1 一m a ) + e ) ”1 ，( 2 5 ) 其中e 是一个艨鸯元素均受1 熬4 x 4 的缎蹲，e 奠e 熬列国爨，l 为4 x 4 蜂肇蹙矩 阵【5 ” 玎i 楚当保险期限戆于无穷对，索菇鬏率为a 静被保险入处于等级i 的极限概率； 它墩霹以瑷解为一个考罄索麟频率磊匏投像a 魅予等级i 豹辩阕毙饿当锻设索赃次 数随机变擞置服从泊松，伽玛分布且期望为 时，对于个索赔频率为o 1 0 1 1 的投保 人，毯她的乎稳分毒鸯 a l “1 0 “一( 0 8 8 8 9 ，0 0 9 1 7 ，0 0 1 6 5 ，0 0 0 2 9 ) 这袭示他她在未来无限长的时间内将有8 8 8 9 的时间处于等级1 ，9 1 7 的时间处 予等级2 。等等。迄霹黻理解成弱瑷风险篓耀保攀维会在达到稳定状态嚣鲶予冬等级 的比例 对予一个既没骞新颜入投保a 逛没有被僚输久离汗熬鼠险组合，若掰有授保人 的年索赔频率均服从均值等予a 的泊松分布，我们可以求出该系统的平均平稳奖惩 系数 磊。一茏承；艇) ， ( 2 回 因此，平均年索赔频率为o 1 0 1 1 的投保入的平均平稳奖惩系数是丽“1 。7 1 3 3 疆据l e m a i r e 戆定义，我销知遴耄( 2 。l x 2 。蛰， 2 5 ) 黯( 2 6 ) 式褥裂匏平稳分毒器平 均平稳奖惩系数是在索赔频率a 。a 的条件下的结果本文将转移概率矩障和平稳分 布酌定义推广虱菲条 孛下的情形，静对任意一个麸平均索黪频率为a 斡绦荜缀合中 抽取的被保险人。定义其概率转移缀阵和平稳分布 定义2 1 如果任意选取的投保人的期望索贻频率a 是一个有者分布函数为f ( 1 汽车保险最优奖惩系统研究 的超参数，他她的非条件概率转移矩阵和非条件平稳分布分别为m = e ( m ( a ) ) 和玎= 一( i _ “m + e 广非条件平均平稳奖惩系数“”面= 砉( 一一嬲) 由于非条件度量能更好地反映保单组合的异质性或能更好地体现某些没有被观 察到的风险，所以它们能比相应的条件度量更好地度量异质保单组合的性质对于 本文的奖惩系统和样本数据，在泊松伽玛分布假设下，非条件概率转移矩阵为 m ( ) t p op 1p 21 一p o p l p 2 p o 0 p l1 一p o p l 0 p 。01 一p o 00 p o1 一p o 其叫百e - a a k 巾卅封，垅且该系圳觥平稳 分布和非条件平均平稳奖惩系数分别为 玎o ”“一( o 8 8 9 1 , 0 0 9 1 6 ，o 0 1 6 4 ，0 0 0 2 9 ) ， 和 面”；7 1 3 4 保单组合的风险异质性越大，条件度量与非条件度量之间的差异也将越大 图2 1 是在泊松- 伽玛分布假设下，界于0 和1 之间的平均索赔频率a 与平均平稳 奖惩系数一面“的关系 c i mf r l q u - n c y 图2 1平均平稳奖惩系数 1 4 e罩芦墨j罂昌岳 保险统计数据表明，汽车第三者责任险中，绝大部分被保险人的索赔频率将低 于o 5 ，可见，在能完全掌握投保人以往索赔记录的理想情况下，大多数保单持有人 最终将能得到至少2 0 的保费折扣；这也可以理解为该系统对新加入的投保人收取 了较高水平的超额保费，即存在投保人之间互相补贴的问题 通常，奖惩系统越简单( 等级少，转移规则简单) ，达到稳定状态的时间就越短 本文中的奖惩系统只有4 个等级，在泊松一伽玛分布假设下，对于一个封闭的保单组 合，当平均索赔频率等于0 1 0 1 1 时，平均奖惩系数将迅速地从第_ 年的1 0 0 减少到 第四年( 3 个保险期间后) 的7 4 5 5 ，而3 个保险期间正是“好的”驾驶员从初始 等级( 1 0 0 ) 达到最高折扣等级( 7 0 ) 所需要的时间相比其他国家的奖惩系统 而言【”，”】我国的这一系统收敛的很快，大约在8 个保险期间后就趋于稳定了 定义2 2在基础保费保持不变的条件下，奖惩系统的非条件弹性“勺( a ) 为 瓢栌叠赫显。孚 图2 2 显示的是我国奖惩系统的弹性与平均索赔频率a 的关系 一 苦 置 鼋 图2 2 奖惩系统的弹性 从图2 2 可以看出，与其他国家的奖惩系统类似，我国奖惩系统的弹性是很低的 ( 不超过2 0 ) ，可见该系统下的保费水平对风险变化的反应能力是不够的从而进 一步说明了被保险人之间容易产生保费“补贴”问题，即对一部分“好的”司机收取 了过高的保费而对一部分“差的”司机收取的保费偏低由于我国的奖惩系统对所有 新加入投保人收取最高等级的保费，可见，新投保人对老保单的“补贴”也是很大 的。当然，在保险实务中，这种“