（理论物理专业论文）磁场中海森堡模型的热纠缠.pdf

中文摘要 量子纠缠是量子信息论的基础，无论是在理论研究中还是在实验测量中都成 为令人注目的研究对象。在海森堡模型中自旋粒子间发现的量子热纠缠现象，很 有可能得到实际运用。各种不同条件下的海森堡模型中，相邻粒子间的量子热纠 缠现象的研究有了很大的进展。 本文首先给出量子纠缠及纠缠度的概念，并对量子隐形传态和海森堡模型作 相关介绍：而后研究了外界磁场在z 方向时，其平均大小和不均匀性对模型纠缠 度的影响；着重研究了磁场方向对纠缠的作用，包括均匀磁场和非均匀磁场；本 文还讨论了自旋为l 的海森堡模型的热纠缠度与外加磁场和耦合常数之间的关 系。 结果表明，系统的热纠缠受到外界磁场影响是很显著的，并且纠缠度随磁场 改变而变化的性质决定于海森堡模型各耦合参数的形式。两个量子位上的磁场平 均值和差异值在磁场方向耦合参数改变时表现出对称的关系：保持磁场大小而改 变其方向可以控制反铁磁模型热纠缠的大小，可以使不纠缠的铁磁模型产生纠 缠，改变纠缠度随磁场大小变化的性质；两个量子位一k 磁场方向的不同往往可以 诱导和增强模型的热纠缠；给自旋为l 的x x 模型加适当的非均匀磁场可以提高 纠缠，z 方向耦合参数可以增强纠缠，x y 方向的各向异性会降低最大纠缠度而提 升强磁场环境中模型的纠缠程度。 关键词：量子纠缠海森堡模型热纠缠磁场 a bs t r a c t a st h eb a s i so ft h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n , q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sb e e np a i d m u c ha t e n t i o nb o t ht h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y t h et h e r m a le n t a n g l e m e n ti nt h e h e i s e n b e r gm o d e lm a yr e a l l yh a v ea p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s m a n ys t u d i e sh a v e f o c u s e do nt h et h e r m a le n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h en e a r e s t - n e i g h b o rq u b i ti nt h e h e i s e n b e r gm o d e l i nt h i st h e s i s ，t h ei n t r o d u c t i o na b o u te n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dt h e h e i s e n b e r gm o d e li sg i v e nf i r s t l y t h e n t h et w o q u b i th e i s e n b e r g 脏m o d e lu n d e r a ni n h o m o g e n e o u sz - a x i sm a g n e t i cf i e l di ss t u d i e d t h ei n f l u e n c eo ft h ed i r e c t i o no f m a g n e t i cf i e l do ne n t a n g l e m e n ti nh e i s e n b e r g 腕m o d e li ss t u d i e d b o t ht h e u n i f o r ma n dn o n u n i f o r mf i e l d sa r ea d d r e s s e d 。t h et h e r m a le n t a n g l e m e n ti nas i n - 1 s y s t e mw i t ht w os p i nc o u p l e db ye x c h a n g ei n t e r a c t i o ni si n v e s t i g a t e d ，b o t ht h ee f f e c t s o fi n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l da n dc o u p l i n g sb e i n gc o n s i d e r e d i ti sf o u n dt h a tt h ei n f l u e n c eo fm a g n e t i cf i e l do nt h ee n t a n g l e m e n ti si ne v i d e n c e a n dd e p e n d so nt h ec o u p l i n g s t h ea v e r a g ea n dd i f f e r e n c ev a l u e so ft h em a g n e t i cf i e l d o nt w oq u b i t sb e h a v es y m m e t r y , a st h ez - c o m p o n e n tc o u p l i n gc r o s s i n gac r i t i c a lv a l u e w h i c hd e p e n d so nt h eo t h e rt w oc o u p l i n g s c h a n g i n gt h ed i r e c t i o no ft h ef i l e dc o u l d c o n t r o lt h ee n t a n g l e m e n to fa n t i f e r r o m a g n e t i cm o d e l ，i n f l u e n c eb e h a v i o ro ft h e e n t a n g l e m e n to ff e r r o m a g n e t i cm o d e l t h ed i f f e r e n c eo ft h ed i r e c t i o no fm a g e n e t i c f i e l do nt w oq u b i mc a ni n d u c ea n di n h a n c et h ee n t a n g l e m e n to f h e i s e n b e r gm o d e l a s u i t a b l ei n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l dm a yc o n d u c et h ee n t a n l m e n to fs p i n - i 默 m o d e l t h ee n t a n g l e m e n to fs p i n - 1 勉m o d e li se n h a n c e db yi n c r e a s i n gt h e i n t e r a c t i o no fz - c o m p o n e n tjz w i t ht h ei n c r e a s eo ft h ea n i s o t r o p yi nt h ea tp l a n e ， t h em a x i m u mv a l u eo fe n t a n g l e m e n td e c l i n e s ，b u tt h ee n t a n g l e m e n ti nal a g e r m a g n e t i cf i e l di si m p r o v e d k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，h e i s e n b e r gm o d e l ，t h e r m a le n t a n g l e m e n t ， m a g n e t i cf i e l d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者虢弘砌牝签邦期：伊7 年1 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗苤堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：狠黍弓希札 签字日期秽7 引删日 移 月 哆吖 名修 广、 豺7 名 期 堑 匪 师 字 导 签 l - l - 刖吾 在2 0 世纪初，物理学发生了翻天覆地的变革，量子力学和相对论相继被提 出，从根本上改变了在经典物理学中人们对客观世界的认识，并且解释或预言了 很多经典物理学无法描述的现象。在量子理论的基础上，人类的科技取得了空前 的发展。包括对物质微观结构的描述，物体分为导体、半导体、绝缘体的原因， 化学元素周期律及化学键的本质等，这一系列涉及物质属性和微观结构的诸多学 科无不以量子力学为基础。量子力学还导致了许多高新科技产业的发展，如基于 半导体技术的信息产业。 尽管量子理论取得了如此辉煌的成就，但是由于其理论基础与我们日常经验 如此的不同，对于其实用范围和完备性的争论在量子力学发展之初表现得尤为激 烈。状态叠加和波函数的几率诠释直接导致了“纠缠”这一纯粹的量子现象成为争 论的焦点之_ 。b e l l 不等式的提出使这一争论成为可以利用实验验证的问题，并 且相继出现的实验结果对量子力学的正确性提供了有力的支持。 量子纠缠不仅是检验量子力学正确与否的途径，更成为了近年发展起来的量 子信息论的基础。在量子信息传递或量子计算的模型中，纠缠态是一种被使用被 消耗的资源，因此研究特定模型的纠缠特性是提出实现量子通信或量子计算具体 方案的基础。本文着重讨论海森堡模型中的热纠缠的性质，给出体系的特性参数 和环境参数对纠缠程度的影响，尤其是外界磁场的不均匀性和磁场方向对纠缠的 作用，从而使我们对系统对称性对热纠缠的影响有更深的认识。 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 1 3 量子纠缠的历史 量子纠缠的概念可以追溯到量子力学诞生之初，是存在于多子系量子系统的 一种奇妙现象，即对于一个子系统的测量结果无法独立于其他子系统的测量参 数。正是由于量子纠缠的这种非定域的特性，使其成为量子信息的重要资源。 量子力学对实验结果的预言存在着不可消除的几率性，因此，以爱因斯坦为 代表的经典物理学家与以玻尔为代表的哥本哈根学派之间一直就对量子力学的 完备问题存在着争论。在1 9 3 5 年，爱因斯坦、波多斯基和罗森发表了著名的能 认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗 1 卜一文，文中爱因斯坦等人提出 一个量子态 吧 甲( 五，而) = le x p i ( 五一而+ 而) p h d p ( 1 1 ) 其中五，而分别指两个粒子的坐标。这个量子态的一个基本特征就是它的波函数 不能被写成两个子系统量子态直积的形式： 甲( 五，屯) l ( 毛) 2 ( 而) ( 1 2 ) s c h r 6 d i n g e r 首先使用“纠缠”一词来描述这两个子系统的关系【2 】。爱因斯坦提出纠 缠态是为了论证量子力学在其给定的定域性和实在性的前提下是不完备的。 在爱因斯坦所给出的定域性假设和对物理实在要素的定义下，量子力学的几 率性描述确是“不完备”的。于是，为了消除这种几率性，将罩子力学纳入经典决 定论的框架，人们提出了一个又一个的隐变量理论，而将不能对测量做出精确预 言的事实归结为尚未完全认清的隐变量，一旦这些隐变量被确定，就可以精确给 出任何可观测的物理量。作为一个有价值的隐变量理论，其结果必须在一定条件 下回到量子力学的结果，同时又能预言一些新的与量子力学不同的结论，这样才 能通过实验来检验隐变量理论的正确性。目前，只有决定论的隐变量理论可以做 到这一点 3 】。1 9 6 4 年j o h n b e l l 在物理学上发表的关于e p r 佯谬 4 文中 给m 了著名的b e l l 不等式，局域隐变量的理论的结果符合b e l l 不等式，而量子力 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 学的预言将打破该不等式的限制。于是，长期以来停留于哲学侧面的争论变成了 变成了未可以被实验检验的理论结果。1 9 6 9 年，c l a u s e r , h o m e ，s h i m o n y 和h o l t 将b e l l 不等式推广为更容易被实验验h 正的c h s h 不等式 5 】。1 9 8 2 年，法国的a s p e c t 小组作出了被普遍认同的第一个检验b e l l 不等式的实验【6 7 】。后来更精妙的验证 不等式的实验陆续地被设计出来，定域隐变量理论所给出的不等式与实验观测结 果明显不符，证明了量子体系中纠缠的存在。 1 2 量子纠缠在量子信息中的应用 量子纠缠体现了一个量子系统中的不同子系统之间的非经典的关联，这是一 种没有经典对应纯量子的现象，因此我们可以通过对b e l l 不等式的检验来验证量 子力学的完备与否。量子纠缠态的这种特性在现在量子信息科学中被广泛应用， 它涉及量子计算【8 9 】( q u a n t u mc o m p u t a t i o n ) 、量子密码学 1 0 ( q u a n t u m c r y p t o g r a p h y ) 、量子远程通讯( q u 锄t 哪t e l e p o r t a t i o n ) 、量子博弈理论 1 1 1 2 1 ( q u a n t u mg a m et h e o r y ) 等。 。 1 9 9 3 年，b e n n e t t 等提出了一个利用纠缠态来远程传送一个量子态信息的方案 【1 3 。理论方案如下：( 参见图1 2 1 ) a l i c e 经典讯道 b o b 图1 2 1量子态远程传递方案之一 任务：要求一个发送员a l i c e 把一个自旋为l 2 的粒子的自旋态 l 痧) = 口1 个) + 6 i 上) ，( 口1 2 + 1 6 1 2 = 1 ) ( 1 3 ) 3 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 发送给远处的接收员b o b 。a l i c e 和b o b 之间有一条经典通讯道( 例如电话) ，以 传递测量过程中技术上的信息，但a l i c e 本人对于要传递的量子态眵) 可能一无所 知。 传送方案： ( 1 ) 制备一个自旋为1 2 的粒子( 记为1 ) 处于眵) 态，存放在a l i c e 处，即 矽) 。= 口1 个) 。+ 6 ij ，) ：，( i 口1 2 + 1 6 1 2 = 1 ) ( 1 4 ) ( 2 ) 制备一个e p r 对( 由粒子2 和3 组成，它们的自旋都是i 2 ) ，处于纠缠态 妒一) ，t i p 伊- ) 2 3 = 爿j ，) ，帆嘲 ( 1 5 ) 然后把粒子2 发送给b o b 。 ( 3 ) a l i c e 使用可以识别b e l l 基的装置，对粒子1 和2 进行测量，与此同时b o b 对粒子3 进行自旋测量。这对于由自旋为l 2 的3 个粒子组成的体系的自旋态的 测量，是一个完备测量。3 粒子体系处于自旋态 陬：，= 圳妒一) ( 1 6 ) 上述测量自旋态的过程，实际上是一个重纠缠过程，即把i 、壬，) 。为= i ) 。t i p 一) 按照 f 甲) ，2 吉口甲一) 。：( 一口i 个3 - b l 上) ，) + i 、y + ) ，：( 一口1 个) ，+ 6 i 上) ，) ( ，7 ) + i 一) 。：( 6 1 个) ，+ 口l 上) ，) + i + ) ，：( 一6 1 个) ，+ 口l 上) ，) l a l i c e 每次测量的结果，可能是4 个b e l l 基中的某一个，概率相同( 均为i 4 ) ， 与此同时，b o b 测得的粒子3 的自旋态将是式( 1 3 5 ) 所示的相应的量子态。见 表1 1 。 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 表1 1 a l i c e 测得的粒子1 和2b o b 测得粒子3 一口1 个) ，一6 l 、1 ) ，= - 口) 一- - v , i ) ， 一口1 个) ，+ 6 l 山) ，= ( 一： ，= i 矽) ， 6 1 个) ，+ 口i 上) ，= ( 兰 ，= u ，i ) ， 一6 1 个) ，+ 口l 上) ，= ( ：6 ) ，= 【，。i ) ， ( 4 ) b o b 测得的粒子3 的自旋态，是待传送的自靛态l ) 经过某种幺正变换 u = 1 , 2 ，3 ，4 ) 作用后的结果。究竟是哪一个幺正变换；只能由a l i c e 通过经典讯 道告诉b o b 。例如，a l i c e 测得的b e l l 基为i 矽一) 。：，她就把此信息( 最0u 3 ) 告诉 、 b o b 。b o b 随即用与u ，相应的操作把他测得的粒子3 的自旋态u ，眵) ，恢复成待 传送的量子态l 矽) ，即 嵋1 u ，l 矽) ，= i ) ， ( 1 8 ) 这样，量子态l 矽) 。，就已传送给远处的b o b 了，即i 矽) j ，只不过现在由粒子3 来 扮演粒子1 的角色罢了。 此后不久，奥地利的z e i l i n g e r 研究组和意大利的一个研究组分别在实验上利 用孪生光子队的偏振纠缠态成功地实现了一个光子偏振态的远程传递 1 4 】。 i、ill，、lii，一、_一1 1 ， 1 ， o l ，ll-、 l i o o 1 ，。l = ， ，u 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 总之，自从量子纠缠首先被e i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e n 和s c h r o d i n g e r 提出以来， 它一直是物理学中一个引人瞩目的研究领域。人们利用纠缠性可以制备出新的光 场量子态。因为对相互纠缠着的两个子系统中的一个进行测量，就可以使得另一 个塌缩到一个特定的状态。另一方面，纠缠态所反映出来的量子非局域性也成了 量子信息学的理论基础，它使得量子远程通信成为可能。 另外，纠缠在量子计算中也有重要应用。由于经典计算机的算法理论本身和 量子力学无关，而量子算法则利用了量子力学的许多基本特性，如相干叠加性， 并行性，纠缠性，测量塌缩等，可以在很大程度上降低问题的复杂度，提高计算 效率，形成一种崭新的计算模式量子算法。尤其是量子力学的纠缠特性，在很 多量子算法例如d e u t s c h 量子算法以及大数因子分解的量子s h o r 算法中具有极 其重要的作用。 大体说来，假如有两个量子存储器a 和b ，所处状态均为1 0 ) ，先将a 的各 量子位旋转墨，可以得出： l o ) 圆i o ) l 口) 圆i o ) ( 1 9 ) 这时所要算法的多次量子门操作组成一个总的幺正的算符u ( f ) 。它作用 于储存器a 和b ，利用量子算法的并行性，同时对上面求和式中全部数口各项作 用，一次算得相应的全部f ( a ) ，利用u 中相互作用迅速即存入b 中对应的量子 态内，造成两个存储器量子态的纠缠 叭门摺力叫吣2 老p 列砖刮( 1 = 亡i 口) o l m ) ) v qo = 0 接着，测量a ( 或b ) 存储器，造成a ( 或b ) 的坍缩，带动b ( 或a ) 的 关联坍缩，达到某种计算目的。 总而言之，量子纠缠是一种量子的物理效应，它之所以引起人们的兴趣在于 它的重要性：第一，在测量塌缩中表现出一种非定域的、超空间的关联，并且成 为调控和传送量子信息的重要手段。第二，量子系统与环境发生难以避免的量子 纠缠正是量子退相干量子信息丧失的主要方式。 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 1 3 纠缠态的表示及纠缠度的定义 量子纠缠态是量子信息的重要资源，子系统间纠缠程度的大小决定了其传送 信息或进行量子计算的能力，因此对纠缠态纠缠程度进行量化的描述成为量子信 息论中很重要的课题。本文主要研究外界参量变化对纠缠的影响，这里有必要对 量子纠缠的概念、分类和定量描述进行回顾。 1 3 1 两体量子系统的分类 量子纠缠是对两个或多个量子体系而言的，为了简便，我们这里只简略叙述 两体情况。 对于可以分为a 和b 两部分的系统的状态，我们统一地使用密度矩阵来描 述 = ( j | f ，1 ， 其中哆= l ，o q l ，l y ) = 巴i y 。) 一圆i 虬) 口。a + b 系统的态可分类为： a ) 7 未关联态 ” b ) 可分离态 p 蠕2p t j o b = 尼圆孱 i ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) c ) 不可分离态，即纠缠态不能写成可分离态形式的态 n 口届 4 ( 1 1 4 ) j 1 3 2 量子纠缠度的定义 从信息论的观点来看，量子纠缠总是强调不同粒子的量子态之间的纠缠，而 不是单单个粒子不同自由度的波函数之间的耦合。同时，量子纠缠又必须表现为 量子态之间的关联，但量子之间的关联并不一定等于它们之间存在着纠缠。例如 态1 个) f 个) ，表明a 和b 的自旋取向之间的关联，但并没有发生纠缠，a 和b 均处于自旋确定的态。所谓纠缠度是指所研究的纠缠态所携带的纠缠的量的多 少。对于纠缠度的描述，实质i - 是对不同纠缠缠态之间建立定量的可比关系。量 子纠缠之所有引起众多科学家的兴趣，在于测量塌缩中它们所表现出来的一种非 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 定域的关联，一种没有经典对应的、超空间的关联。这一现象不仅具有深远的科 学意义，而且在量子通讯和量子计算机中具有潜在的巨大价值。到目前为止，对 于两体纯态的纠缠的性质和程度的描述理论一致认为是相当完善和漂亮的，但对 于多体纯态和混合太的纠缠及纠缠度的描述是不清楚的。下面是几种常见的纠缠 度的定义 1 ) 部分熵纠缠度 一个两体纯态i 、王，) 朋的部分熵纠缠度定义为 e ( i 甲) ) = s ( 以) = s ( 岛) ( 1 1 5 ) 其中以= ，岛= 吒，= i 甲) 船舶p i ，而s ( 几) 的定义为： s ( 见) = 一驴( 仍l 0 9 2 几) ( 1 1 6 ) 部分熵纠缠度q = o 时，则说明l y ) 舢为非纠缠态；如果e ，= l ，则l y ) 朋为最大 纠缠态。 部分熵纠缠度向两体混态直接的推广是v o nn e u m a n n 相对熵 1 与= 去 s ( 仍) + s ( 岛) 一s ( 尸肚) ( 1 1 7 ) 但相对信息上包含了经典的信息关联，在l o c c 下可以增加 1 5 】，因此它不是量 子纠缠程度好的度量。 部分熵纠缠度表征了系统局域的混乱程度，它说明：量子的纠缠越厉害，从 局部看的不确定程度越大。由于纯态的量子上为零，所以纠缠态的局部一定比整 体更为混乱。这一定义虽然包含了与经典信息的关联，然而进一步的理论研究证 明它仍不是对量子纠缠程度的最好的度量或者描述 1 6 】。但对于两体纯态而言， 它仍是两体纯态唯一合理的纠缠度的定义。与两体纯态相比，两体混态、三体或 者多体态的纠缠度的研究就不那么清楚了。人们首先想到的是将两体纠缠度的研 究方法推广到三体或多体态的纠缠度刻画上，但都失败了。原因是多体态的纠缠 度比两体态的纠缠具有更深、更复杂、内容更丰富多采的特点和性质。虽然，目 前的一些理论和实验实现了三体、多体的纠缠。但从本质上讲，对多体态的纠缠 的描述仍然是不清楚的。 2 ) 形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to f f o r m a t i o n ) 对于罩子态，形成纠缠度的定义为： 耳( 乃口) = r a i n l 异托) i p ( i 甲，) ) ( 1 1 8 ) ， 其中 只，j 甲，) ) 是以雪的任意一种分解方式，i i 口p a 占= 引甲以甲，l ，而( i 甲j ) ) 为 i v ，) 的部分熵纠缠度，式( 1 1 8 ) 中求极小值是对厶的所有可能的分解方式求 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 得，i 甲，) 为任意的两体归一纯态，不一定正交。很明显，有如下的性质 a ) 当且仅当为可分离态时，耳( ) = o 。 b ) 对于纯态以口= i 、壬，) 舢( 甲i ，形成纠缠度与部分熵纠缠度相同。 一般两体量子态形成纠缠度的计算并不简单，但是对于两能级体系，两个子 体系态空间都是2 维，可以将形成纠缠度直接算出。此时，记 p 肚基( 盯；o 仃；) 以( q a 圆彩)( 1 1 9 ) 算符p p 不一定厄米，但半正定。设其根为砰，且按递减顺序排列，定义 c o i i c i i l t c n c c 为 c ( ) 曼m s x o ，五一五一乃一五 ( 1 2 0 ) 可以证明 1 7 ，的形成纠缠度为 耳( ) ：日 型掣) ( 1 2 1 ) 其中 h ( p ) = 一p l 0 9 2p 一( 1 一p ) l 0 9 2 ( 1 - p )( 1 2 2 ) 容易知道屏是c o n c u r r e n c e 的单调函数，即耳( 月) = b ( 岛) 当且仅当 c ( 届) = c ( 岛) 。 3 ) 部分转置密度算符求负本征值的方法 p e r e s 给出了关于给定量子态是否可分离的一个判据 1 8 ：两体双态系统密度 矩阵式可分离态的充要条件为：对其任一体做部分转置运算后所得矩阵p 或p l 仍是个密度矩阵，即不出现负的本征值。如果出现负的本征值，则为纠缠 态。 对于两体双态系统p 仙，它的密度算符为： 僦矧凇i 僦矧蹴f l 2 3 ， + ( 1 川。一) ( o ji + ( o 一川1 彳) l o ) ( 1 一l 一叫 对它进行部分转置后，结果为： 矿划姊妫僦矧凇l l 2 4 ， + ( 1 4 川。爿) i o ) ( 1 小- ( o 一川1 一) ( o l r 7 该判据的物理本质是对其中对其中一体实施单独时间反演。对于2 x 2 ，2 3 情况( 即一体态空间维数是二，另一体态空间维数是三的情况) ，此判据是充分必 要的。但对其他情况，此判据只是可分离性的必要不充分条件。在此基础上，l e e 第一章量子纠缠与纠缠度的定义 和鼬采用了一种新的纠缠度计算方法 1 9 】，即密度矩阵经过部分转置后其负本征 值和的负二倍：( p ) = - 2 鸬，其中以为密度矩阵部分转置后的负的本征值。 ， 当n ( p ) = 0 时，为可分离态，当n ( p ) = 1 时，为最大纠缠态。该方法对于系统状 态为纯态和混合态的情况均适用。 第二章海森堡模型的热纠缠现象 第二章海森堡模型的热纠缠现象 纠缠作为量子信息的重要资源【2 0 2 1 2 2 ，已经被理论和实验进行了很广泛 的研究。既然纠缠是脆弱的，那么如何产生稳定的纠缠成为了量子信息论中倍受 关注的研究方向。热纠缠，指系统处于热平衡的混态时的纠缠度 2 3 2 4 1 。因为 其稳定的优点不同于其他形式的纠缠，它在制备过程中既不要就测量也不要求相 互作用的控制，因此研究在各种系统中的热纠缠是很受欢迎也是很有价值的课 题。 海森堡模型作为描述很多物理系统的有效模型，比如量子点 2 5 1 、核自旋 2 6 和电子自旋 2 7 ，这些都是实现量子计算很有希望的系统。下面我们对磁学中的 海森堡模型和相关海森堡模型热纠缠的研究现状作一简介。 2 1 海森堡模型 1 9 2 8 年；海森堡把量子力学中电子之间的交换作用同电子自旋的相对取向联 系起来，正确的解释了铁磁体内磁有序现象的产生 2 8 。正是电子之间的交换作 用导致了自发磁化的产生并按这一模型计算了自发磁化随温度变化的关系海森 堡模型正确的解释了铁磁性物质自发磁化的本质，为铁磁性量子理论的发展奠定 了基础。正是在这一基础之上，逐步建立起了低温自旋波理论，铁磁相变理论和 铁磁共振理论 2 9 】。海森堡交换作用理论构成了局域磁矩铁磁理论的框架，相当 出色的解释了铁磁性、顺磁性、磁相变以及若干相关性能如自旋波、熵及比热 异常等。 在不同离子的电子之间，虽然交换作用是各向同性的，但其大小受电子云分 布的影响另一方面，处于晶格中的原子和离子，由于受晶体场的作用使其轨道 磁矩失去了空间对称性，因而造成电子云在分布上的各向异性。通过自旋轨 道耦合又影响到自旋在空间的取向。因此，在同时考虑交换作用、晶体场、自旋 轨道耦合作用的联合效应后。其高级微扰项便导致了磁的各向异性。范弗莱 第二章海森堡模型的热纠缠现象 克在解释3 d 金属的磁各向异性时，首先引入了这一机制，并称之为各向异性的 交换作用 3 0 】。 2 2 海森堡模型的热纠缠 正则系统处于温度为t 的热平衡状态时，系统的状态用密度矩阵描述 p ( 丁) ：e x p ( - - , 6 h )( 2 1 ) 二 其中配分函数z = r r e x p ( - p h ) 】，= 1 丁( 波尔兹曼常数在本文中被设为1 ) 。 系统的纠缠度既是该密度算符的纠缠度，通常对于两能级系统的纠缠度用 c o n c u r r e n c e 或部分转置负本征值的形式加以研究。因为p 代表了一个热态，所以 存在于这个热态的纠缠现象被称为热纠缠 2 3 2 4 。 作为热纠缠的最初的提出者，a 1 t l e s e n ，b o s e 和v e d r a l 研究在一维各向同性的 有限海森堡链中纠缠随温度和外磁场的变化情况 2 3 】：n i e l s e n 探讨了在非零温度 下海森堡模型中2 量子比特间的相互作用 2 4 。之后，0 c o n n o r 和w o o t e r s 研究了 反磁体对称海森堡链中基态粒子间的纠缠【3 1 】；w a n g 分析讨论了海森堡x y 模型， 两粒子比特非对称x y z 海森堡模型，四粒子比特海森堡x y 模型，多粒子比特海 森堡x y 模型中相邻粒子间的热纠缠 3 2 【3 3 3 4 ；k a m t a 和s t a r a c e 讨论了各项异性 和均匀磁场对两粒子比特海森堡x y 链中热纠缠的影响【3 5 】；s u n 等人分析了非均 匀磁场对两粒子比特海森堡x y 链中热纠缠的影响【3 6 】。最近，有关量子相变 3 7 】 和纠缠之间的关系也有了相当的讨论 3 8 】 3 9 。 以往这些工作中，外加磁场多数限于均匀磁场，并且磁场方向处于海森堡模 型的某特性轴上，只有x y 模型处于一个x y 平面上的磁场【4 0 和i s i n g 模型处于任意 方向磁场 4 l 】【4 2 】的情况被研究。普遍的说这意味着模犁的对称性较强，而系统 的对称性导致的能级简并会使其纠缠度大大减小，因此研究外加磁场的方向和不 均匀性对纠缠度的影响是相当必要的。 第三章外加磁场对海森堡模型热纠缠的影响 第三章外加磁场对海森堡模型热纠缠的影响 在本章中，首先，我们利用c o n c u r r c n c e 的纠缠度形式来研究在一个z 方向 非均匀磁场下海森堡x y z 模型，体系的热纠缠在其耦合参数和环境参数共同作 用下的性质。然后对于磁场方向对海森堡模型纠缠的影响，我们限于x x z 模型， 分别讨论两个量子位上磁场方向相同和不同这两种情况。最后，我们对自旋为1 的海森堡模型的热纠缠性质给以分析。 3 1 非均匀磁场中海森堡x y z 模型的热纠缠 我们将利用在1 3 2 节中所定义的c o n c u r r e n c e 研究海森堡链在非均匀场中的 热纠缠。本节中，混用“c o n c u 玎e n c e ”与“纠缠度”两个词。 对于纯态 i 缈) = 口1 0 0 ) + 6 1 0 1 ) + c 1 1 0 ) + d i l l ) ( 3 1 ) 其c o n c u l t c t i c c 值为 c ( 1 西) = 2 印一耐i 当体系处于一定温度时，其状态为混合态如式( 2 1 ) 给出 尸( 丁) = e x p 丁( - p h ) 其c o n c u r r e n c e 值为 c = 坳 一五一五一厶，0 ) 其中4 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为以下算符本征值的平方根按大到小依次排列 r = 户( 吖圆舛) p 。( 卅p ) 3 1 1 基态纠缠 一般的，n 个量子位的海森堡链处于z 方向非均匀磁场中的哈密顿晕为 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第三章外加磁场对海森堡模型热纠缠的影响 = 弓1 - z 一( 7 j x o - , o - i + ，+ 以吖。+ ，：一。+ b , o f + 忍+ 。) ( 3 6 ) 一i = i 此处i = ( 嘭，吖，町) 为第_ ，个量子位的泡利算符。我们在本文中只研究两个位的 情况。令n = 2 ，并且将哈密顿量用上升和下降算符矿= p 。f c r ，) 2 的形式表示 为 日= j ( 西西+ 町西) + 以( 西西+ 町町) + 町+ _ b + 广b 砰+ 号手 ( 3 7 ) 兵中，= ( 正+ ) 2 ， y = ( 以一以) “以+ ) ，b = ( b l + b 2 ) 2 ，6 = 假- b 2 ) 2 。为 了研究体系的纠缠度，我们首先解得哈密顿量( 3 2 ) 的本征态 i 磊) = ( 6 一而) l o - ) + ，i o 1 ，2 + ( 6 一厨) 2 胁 ( 6 + 厨) 1 0 1 ) + 巾o l 少2 + ( 6 + 丽) 2、 胁陋厕) j 唧嘶i - , l 乒2 y 2 + ( b 一扩巧) 2 一 i 么) = ( b + 荟研) l o o ) + ，i ) ，2 y 2 + ( b + 否研) 2 相应的本征值为 五= 三( 一以一2 乒可) t = 圭( 一以+ 2 万了) 岛= 如一2 厕) 丘= 圭( 以+ 2 厢) ( 3 9 ) 选取不同的参数可以使( 3 9 ) 中不同的本征能量取最小值，意味着基态取决于 各参数。可以发现岛 e l 且b e 3 ，于是基态只可能是l 破) 或 缟) 。在图( 3 1 1 ) 中，我们给出( b ，b ) 空间中耦合参数取不同值时的相图。 第三章外加磁场对海森堡模型热纠缠的影响 图( 3 1 - 1 ) 两比特海森堡x y z 模型的基态相图。其中其中耦合参数，= l ，对于实线： 以= 0 2 ，y = 0 3 ；虚线：以= 0 8 ，y = 0 3 ；点线：以- - 0 8 ，= o 9 。 当耦合参数给定时，整个空间被分为三部分，其分界线即临界磁场 ( 3 1 0 ) 若例 i s c i 时基态为l 谚) 。磁场处于临界值例= i i 时，有 量子相变发生，基鸯为i 萌) 和i 魂) 的混合态。与 2 5 】 2 6 中不同，此时的基态都 是纠缠的。 当温度t ：0 时，系统9 k - 7 ：基态，其c o l l c u r r e l l c c 值为 c ( r = 0 1 =剖 i b i l b c i 耦合参数j ：没有在本征态( 3 8 ) 中出现，c o n c u r r e n c e 与j , 没有显函数关系： 但本征能量与以有关，基态选择受其影响。当例 l 艮l 且，= o 时，c o n c u r r e n c e 茭3 0 ，这意味着此时的基态l 织) 是不纠缠的。这个结果与文献 2 5 】一致。当俐 o 情况下的结果。当 第三章外加磁场对海森堡模型热纠缠的影响 0 ：+ 正丽f 一，2 厂2 ：o ，在b 不等于。的情况下基态是l 魂) ，i i i i b = o 时基态是 i 西) 和i 缟) 的混态。若d ：+ 而) 产一，2 y 2 - _ l j l ( r - 1 ) ，正与文献 4 3 中一致，若以o ，总有相变现象出现；当y = 0 ， 我们的结果对应于文献 2 6 。 3 1 2 热纠缠 当系统处于一定温度的环境中，其状态为混合态，通过计算我们给出以 i o o ，| 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 11 ) ) 为基矢的密度矩阵 p = 三喜矿鸽蚓谚l = “o ow 一 0z 1 ，0 0 y z0 形0 0 以 ( 3 1 2 ) 其中配分函数z = 2 产c 。s h ( 多石了) + 2 p 卑c o s h ( 止芦巧歹) ，而密度矩阵的非。 矩阵元如下 吣= 扩 c o s h ( 历万) 面b 万s m ( 夕厨万) k 2 料础( 厨) 赤s 劬( 夕厨) b 一三一南s i 曲( 历万) 一扩赤s i 曲( 厨) 算符( 3 5 ) 的四个本征值的平方根为 镕= t 外l m n 海森量犋# “镕影目 = 瓜一m = 瓜+ f 31 4 、 = 面j i = i ：面+ 经过比较，可以计算c o n c 岍c e 值得 c = 0 2 | h 一2 面雄l 一2 i 】 ( 31 5 ) 详细的表示为 c ：! m 卑挎s m ( 一厢) 一e 竿污筝丽罚 e 等告s m ( ，厨) 一e 粤j t + 南s m 2 ( ，历万) 取x y 方向异性参数，= o 纠缠度( 不等于。时的值) 为 ( 3 i 6 ) 一拇s i 曲( ，而i ) 一- 研 这与平均磁场大小b 无关。根据式( 3 的值) 的普遍形式为 ，捣s 讪( 口厕) 一 酽+ ， 、 或 r 忑岛s t 曲( 口厨) 一 6 2 + j 2 、 6 ) 我们可以得到纠缠度( 不等于0 对 。 露1 + j 写2 y 2 s 面i n h2 ( b 厨罚 压写面忑面 仃】8 ( 3 1 9 ) 这依赖于平均磁场b 的大小。下面我们用图像表示( 31 6 ) 的数值结果首先 我们分析纠缠度在平均磁场和磁场差值的空问中随耦台参数 的变化情况 第! i 外加鞋* 女攥型热纠缠的* 响 ( c ) 图( 3 1 2 ) 纠缠度随磁场平均值b 和磁场差值b 的母像，其中参数l j | = l ，= 0 6 ， t = 0 3 ( a ) 止= 0 2 ；( b ) j 。= - 0 4 ，( c ) 正= _ 08 对于z 方向耦台参数有一个临界值j ，一川+ p ，l 。在图( 31 - 1 ) 中，正= - o4 。有 图( a ) 中可以看到，当j 比临界值大时，纠缠度在磁场太小为。时取极大值： 当平均磁场b 由小变大时，纠缠度经历一个突然下降然后恢复的过程。图( b ) 显示j 处于临界值时纠缠度在磁场为0 处下降为0 。从图( c ) 中可以看到， 随着参数j 继续下降，在空间中心纠缠度的极大值重新在空间的中心出现；此时 纠缠度随着b 从小到大变化时经历一个下降然后上升的过程。这些结果告诉我们 z 方向耦台参数对纠缠度随平均磁场和磁场差值变化的形式。纠缠度的这些变化 行为可以通过相图更好的理解，图( a ) 与相图( 3i - 1 ) 相互对应：而圈( b ) 和 图( c ) 对应着参数丰月一致的相圈。 下面图( 3i - 3 ) 展示了纠缠度在不同耦合参数下随二种不同磁场变化的图 像。 ，趴j 罩：j ( ：= 土匹： 图( 3i - 3 ) 纠缠度随= 种不f q 碰场变化的情批。实线虚线 ，一 ，r j 摹、 - ? ：1 点线分别对应b = 0 b = o 第三章外加磁场对海森堡模型热纠缠的影响 和b = b 的磁场，各参数分别为i ，| - 1 ，y = 0 6 ，7 = 0 3 ，( a ) 以= 0 2 ；( b ) 以= - 0 4 ；( c ) 以= - 0 8 。 图( a ) 、( b ) 、( c ) 分别对应z 方向耦合参数大于、等于、小于临界值时的情况。 在图( b ) 中，我们容易看到纠缠度在没有磁场时为0 ，这对应图( 3 1 2 b ) 的中 心点。如果磁场满足b = b ，即磁场只加在一个位上，上面提到的下降后再上升 的现象不会随着磁场大小变化而出现。b = b 的磁场给出的纠缠度在，大于或等 于临界磁场时总是小于b = 0 时即磁场是均匀时的纠缠度；而- ，小于临界磁场时， b = b 的磁场对应的纠缠度小于b ：0 的情况。 数值计算的结果还表明纠缠度整体上会随着温度增加而降低，这跟以前工作 中的结论是一致的，所以我们不再仔细讨论。 总之，通过我们给出的普遍的海森堡模型在一个非均匀场中的纠缠度表达 式，我们可