（应用数学专业论文）违约过程与违约时间建模.pdf

摘要 摘要 自从m o r t o n ( 1 9 7 4 ) 将b l a c k s c h o l e s 期权定价公式引入信用风险领域以来， 对信用风险的建模越来越成熟和重要。 对信用风险的建模主要有两种方法：结构化模型和简约模型。结构化模型 是利用某各给定的随机微分方程对公司资产价值进行建模，并将违约看做是与 资产价值相关的事件，即认为违约是由于公司资产恶化导致的，违约是一个内 生变量。 在结构化模型中，违约时间f 是关于资产价格所生成的自然过滤的停时。 m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 模型被看做第一个信用风险结构化模型。在m e l t o n 模型中，在债 务到期日t 时候的资产若小于其负债，则公司发生违约，否则不然。结构化框 架的第二个重要模型是由b l a c k 和c o x ( 1 9 7 6 ) 提出的。在这个模型中，当公司资 产价值低于某个给定阀值的时候，公司立刻发生违约，与m e r t o n 模型不同的是， 在这个模型中，违约是可以随时发生的。 信用风险建模的第二种方式即是所谓的简约化模型。在简约化模型中，并不 完全考虑违约与公司价值之间的关系，相对于结构化模型，在简约化模型中， 违约实践并不依赖于公司的价值变化，而是一个外生变量的首次跳跃，而影响 公司违约的参数是由市场数据所决定的。 本文旨在介绍一些经典的结构化模型，同时对简约模型做一些简单的介绍。 主要想给出一个一般化的结构化模型，同时在对违约时间的定义上，结合前人 的观点，在首达时和末离时的背景下，基于布朗曲流的一些知识，指出一个新 的想法，建立一个新的模型并求出违约时间的分布。 关键字：游程信用风险违约概率结构化模型违约过程 a b s t r a c t m o d e l i n gt h ec r e d i tr i s kh a v eb e c o m em o r ea n dm o r es o p h i s t i c a t ea n di m p o r t a n t ，a f t e r m e r t o n ( 1 9 7 4 ) p r o j e c t e dt h eb l a c k s c h o l e sf o r m u l ai nt h i sf i e l d t h e r ea r et w op r i m a r ym e t h o d st om o d e lc r e d i tr i s k ：s t r u c t u r a lm o d e la n dr e d u c e df o r m m o d e l t h es 仃u c t u r a lm o d e li st om o d e lt h ef i r m sa s s e tv a l u ew i t hac e r t a i ns d e ，a n d c o n s i d e r i n gt h ed e f a u l ti sr e l e v a n tt ot h ef i r m sv a l u e i nt h es t r u c t u r a lm o d e l ，t h ed e f a u l tt i m efi sas t o p p i n gt i m ei nt h ef i l t r a t i o no ft h ep r i c e s m e r t o n sm o d e l ( 19 7 4 ) w a st h ef i r s tm o d e mm o d e lo fd e f a u l ta n di sc o n s i d e r e dt h ef i r s t s t r u c t u r a lm o d e l i nm e r t o n sm o d e l ，af i r md e f a u l t si f , a tt h et i m eo fs e r v i c i n gt h ed e b t ，i t s a s s e t sa r eb e l o wi t so u t s t a n d i n gd e b t as e c o n da p p r o a c h ，w i t h i nt h es t r u c t u r a lf r a m e w o r k ， w a si n t r o d u c e db yb l a c ka n dc o x ( 1 9 7 6 ) i nt h i sa p p r o a c hd e f a u l t so c c u ra ss o o na sf i r m s a s s e tv a l u ef a l l sb e l o wac e r t a i nt h r e s h o l d i nc o n t r a s tt ot h em e r t o na p p r o a c h , d e f a u l tc a l l o c c u ra ta n yt i m e i n t h es e c o n da p p r o a c h ，k n o w na st h er e d u c e df o r mm o d e l s 。r e d u c e df o r mm o d e l sd on o t c o n s i d e rt h er e l a t i o nb e t w e e nd e f a u l ta n df i r mv a l u ei na l le x p l i c i tm a n n e r i nc o n t r a s tt ot h e s t r u c t u r a lm o d e l s ，t h et i m eo fd e f a u l ti ni n t e n s i t ym o d e l si sn o td e t e r m i n e dv i at h ev a l u eo ft h e f i r m ，b u ti ti st h ef i r s tj u m po fa ne x o g e n o u s l yg i v e nj u m pp r o c e s s t h ep a r a m e t e r sg o v e r n i n g t h ed e f a u l th a z a r dr a t ea r ei n f e r r e df r o mm a r k e td a t a i nt h i sp a p e r , t h ew r i t e ro n l yw a n tt oi n t r o d u c es o m ec l a s s i c a ls t r u c t u r a lm o d e l s ，a n da l s ow e w i l li n t r o d u c es o m ei n t e n s i t y - b a s e dm o d e l s ，a n dg i v eag e n e r a lf r a m e w o r ko fi t ，a n di nt h e e n d ，f i g u r eo u tan e w s t r u c t u r em o d e lb a s eo nt h ep a s s a g et i m e s ，t h el e a v i n gt i m ea n dw h i c hi s t h em o s ti m p o r t a n ti st h eb r o w n i a nm e a n d e r , a tl a s t ，c o m p u t et h el a wo ft h ed e f a u l tt i m e k e yw o r d s ：e x c u r s i o nc r e d i tr i s kd e f a u l tp r o b a b i l i t ys t r u c t u r a lm o d e ld e f a u l t p r o c e s s i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：豫淘 卅年岁月研日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：锹海 加7 年月7e l 南开大学学位论文电子版授权使用协议 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论文壶妇遣器弓虚蚀日方词建拔 系本人在 南开大e i 作和e s 期间创作完成的作品，并已通过论文答辩。 本人系本作品的唯一作者( 第一作者) ，即著作权人。现本人同意将本作品收 录于“南开大学博硕士学位论文全文数据库 。本人承诺：已提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负。 本人完全了解直珏丕堂图翌堡 羞王像在! 焦眉堂僮诠塞的筻理盘洼滏：同意 南开大学图书馆在下述范围内免费使用本人作品的电子版： 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务( 论文前1 6 页) 。公开级学位论文全文电子版于提交1 年后，在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 注：本协议书对于“非公开学位论文 在保密期限过后同样适用。 院系所名称：数量未婚尝p 范 作者签名： ；长谒 学号：7 f 占肿弘 日期：w 哆年j 月2 争日 第一章引言 第一章引言 最近几年以来，关于信用风险模型的研究成为了金融数学领域中最重要和最热门的 一方面。其中，在度量信用风险方面存在两大类的模型来描述违约过程：结构化模型和 简约模型。两类模型的不同之处在于对违约时间f 的度量和定义上。f 是一个随机时间， 并且是关于某一个仃域流f 适应的，其中二者的不同点在很大一个程度上就来自于这个 仃域流f 。 在一个无套利完备的金融市场里面，在给定到期时间丁做出支付彳的合约在t 时刻 的价格z 为、 z = e ( x e x p ( 一jr ( s ) d s ) if ，) ( 1 1 ) 其中( 尸( s ) ，s 0 ) 是表示利率变化的随机过程( 通常( ，( j ) ，s 0 ) 是关于仃域流f f 的适 应过程) 。在上述公式( 1 1 ) 中，右式的期望是在所谓的等价鞅测度( e m m ) 下计算的， 该等价鞅测度是唯一存在并与原测度等价( 在某些特定的假设条件下) ，而仃域流f ，实 际上是在t 时刻可获得的市场信息。而关于这个结果的证明可以在相关参考文献 1 4 中查 阅，在这里就不做详细叙述。但是需要强调的是，如果市场不是完备的，即这个等价鞅 测度不是唯一的或者是不存在的，那么必然存在这样一个未定权益不能被对冲，亦即对 未定权益( 期权等) 的定价是无法达成的。显然我们需要首先假设市场的完备性。 在信用风险研究的框架中，违约是在某个随机时间f 时刻发生的。定义忽是关于某 个仃域流f ，的可料过程，在模型中成为回收过程( 亦即在t 时刻违约时单位债券能得到 的回报) ，假设在在t 时刻之前违约没有发生，那么一个考虑违约发生的未定权益在在t 时 刻的价格就是： z = e ( x 1 r ， e x p ( - fr o ) 出) + 吃1 f 打) e x p ( - fr o ) 凼) lf ，) ( 1 2 ) 其中f ，是在t 时刻能获得的市场信息，亦即仃域流f ，同样地，该期望是在一个等 价鞅测度下计算所得。 这样，通过对违约时间的描述，关于信用风险的建模得到了比较好的说明。关于违 第一章引言 约时间，有两个主要的建模方法：违约时间f 是关于资产的仃域流f f 适应的( 亦即违约 时间关于资产的仃域流f f 是停时) ，或者违约时间f 是关于某个更大的1 7 域流f f 的停时。 第一种方法其实就是被成为结构化模型的建模方法。在结构化模型中，违约时间f 是关于资产的仃域流f ，的停时，因此考虑违约的未定权益在t 时刻的价格也就是一个关 于权益x 1 乳。，的定价问题。m e r t o n 模型( 1 9 7 4 ) 是现代第一个关于信用风险的模型，同 样也是第一个结构化模型。在m e r t o n 模型中，公司资产服从一定的分布，当公司在支 付其债务的时候，若公司资产小于其债务资产，则公司违约( 公司仅仅在支付债务的时 候才可能违约) 。而关于结构化模型另一个重要的模型是由b l a c k 和c o x ( 1 9 7 6 ) 年提出 的。在这个模型中，只要公司的资产低于某一个给定的阀值，则公司就发生违约，相对 于m e r t o n 模型而言，b l a c k 和c o x 模型指出公司的违约可能在任意时点发生。 而第二种研究信用风险的方法是我们熟知的简约模型，或者强度模型，简约模型并 不考虑违约和公司资产之间的详细的关系。相对于结构化模型，强度模型所考虑的违约 时间并不由公司资产过程所决定，而是由一个给定的外生跳跃随机过程来度量。而度量 违约强度( 破产率) 的因素来源于市场数据。当然，本文着重点和创新点是基于结构化 模型的研究。 b l a c k 和c o x ( 1 9 7 6 ) 年的关于违约过程的论文提出了现在所说的首达时( f p m ) 模型。首达时模型将公司资产过程首次触发一个较低的障碍定义为违约，这样的违约定 义使得公司的违约行为随时可能发生。 在结构化模型中违约是一个内在的过程，而在简约模型中违约是一个外生的变量。 而结构化模型和简约模型的另一个不同点在于他们对回收率的处理上：相对于简约模型 对回收率的外生变量处理而言，结构化模型认为公司在违约时刻的资产和债务决定了回 收率的大小。 本文主要是想介绍一些经典的结构化模型，在此基础上介绍一点简约模型的基本知 识，同时给出关于信用风险的一个框架性的说明，最后根据对经典结构化模型的分析和 研究给出一个新的结构化模型来度量违约，进而计算违约时间的分布和一些性质。 2 第二章基本的注解和背景知识 第二章基本的注解和背景知识 本文用f 表示仃域流( f f ，t o ) 。称一个随机过程x 为磁以堙( r e s p c 历g l y t d ) 的，若其 具有右连续的路径并且具有左极限( 右连左极) 。若x 是撕，则我们记置一为s 趋近 于f 时刻的极限，其中j f ，同时记蝇= 五一置一为过程x 在f 时刻的跳跃。 2 1 布朗运动反射原理 记彬为一维标准布朗运动，z 是关于其自然域流f 的停时，定义 旷k w 氓t , t ( 2 3 ) 2 3 游程和布朗曲流 记 形，t o ) 为一维标准布朗运动，其自然仃域流为i f , ，t o ) ，下面我们将进入关于 某个过程的触发时间的分析。 3 第二章基本的注解和背景知识 2 3 1 游程 首先定义过程首次触发某个阀值的时间为 定义 d ( w ) = i n f 0 t t ：形= 0 ) ( 2 4 ) d ( t ，形) = i n f s t ：形= 0 ) ( 2 5 ) 并且定义t 时刻之前过程最后一次穿越阀值k ，记为 厂( f ，w ) i - is u p s t ：彬= 0 ) ( 2 6 ) 则，( f ，形) 服从的是口愆一s i n 法则，亦即 尸( 地形) 西) 。丽d s ；。 刚 ( 2 7 ) 另一个角度而言，我们得到 尸( y ( f ，形) s ) = 一2a r c s i n 鬲；o s f ( 2 8 ) 特别地 y ( 形) = s u p t 0 ：形= 0 ) ( 2 9 ) 并且y ( f ，w ) d ，则公司不会发生违约，其中股东收益为 巧一d ，否则若在到期日r 时刻巧 - d l f , ) + e 一7 e v r l ( d ) i f ( 3 7 ) = p ( v r dz ) ，厶= e v r l 吩d lf ( 3 8 ) 根据公司资产价值过程形可以得到 并且 巧= v t e x p 叭崂一形) 竹一三仃；) ( 丁卅) ( 3 9 ) 厶= 尸( 巧dz ) = p ( v te x p o - 矿( 孵一彬) + ( ，一去弗) ( 丁一f ) ) di ( ) 1 ：尸( - o - 矿( 一彬) 1 1 1 ( 关) + o 一丢仃v 2 ) ( t - t ) if , ) = 尸 ( 一彬) 蛐( 古) + ( ，_ 一言仃 = p ( 善妯( 考) + ( r 一三1 仃；) ( 丁一f ) i 巧) b = ( d 2 ) ， 其中善兰孤w 7 - 丽w , 竺删) ，进一步善与仃域流f 独立。 因此 厶= n ( d 2 ) 违约概率表示为 因此 ( 3 1 0 ) p a = 尸( 巧 0 。若在t 时刻之前公司尚未发生违约，则违约 时间f 定义如下： 。在结构化模型中，这个随机时间与资产价格的自然仃域流相适应，亦即这个随机时间是相对于布朗运动形的自然 仃域流的停时。 第三章结构化模型 f = i n f s t ：k k ) ，i n f ) = ( 3 2 3 ) 一般而言，违约时间为 f = i n f t 0 ：杉k ) ，i n f ) = ( 3 2 3 ) 更详细的说明，假设回收过程是一个常数( 亦即：吃= t s d ) ，其中6 称为回收率， 如此一来，根据公式( 1 2 ) ，考虑了违约的债券价值如下： 一pl 口= d e x p ( 一lr ( s ) d s ) p ( t k - v o = k o ) 等价，根据反射原理可以知道， 随机变量s u p ，盈形和随机变量i 形l 同分布，因此： p ( d x ( v ) f ) = p ( s u p 。嵇形 - - k o ) = 尸( 吲k ) = p ( w t 2 k 0 2 ) = p ( t g 2 - k 0 2 ) ( 4 1 3 ) 随机变量g 是一个均值为0 方差为1 的高斯随机变量，与布朗运动彬独立，并且： w ) 竺譬 如此可以得到 d x ( f ，矿) = t + i n f s 0 ：圪卅= k ) = t + i n f s 0 ：彬+ ，一彬= k o 一形) 一“( 咖竺，+ 与里 其中k 一= k o ，d k 一形( 矿) = i n f “o ：矿= g o 一形) ，碗是基于新的布朗运动并与仃 域流巧独立，g 是一个均值为0 方差为1 的高斯随机变量，与布朗运动彬独立。 口 4 2 2 一般情形的违约概率 一般来说，考虑如下过程 d r , = v t ( r d t + 唧d 彬) ，g o = v o( 4 1 4 ) 1 7 第四章违约过程与违约时间建模 公式( 4 8 ) 巧a = i n f t 0 ：1 h 篮) o y 置o ，矿) ) d 并且根据几何布朗运动( 可以有i t o 引理得到) k = v o e x p a v w , + p 一三仃；) 吩 ( 4 1 5 ) 我们可以得到 a = i n f t 0 ：1 哦如) o 一( f ，矿) ) d ) ( 4 1 6 ) 其中矿= 形+ a t , z b 奶= s u p p f ：矿= ”口= 石r 一詈，6 = 古m f - ) 现在考虑信用风险下的债券价格，并假设回收过程为一个常数吃= 3 d ： d t = e ( d p r r a s l r r 孑 + 8 。p 一，出1 力玎) lf f ) ( 4 1 7 ) 这里的6 称为回收率。 这是一个一般化的情形，重要的问题在于计算违约概率 p d 一= e ( t 0 ：1 碗曲) ( t - r 6 ( t ，矿) ) d ( 4 1 6 ) 其中吮= 彬一三f ，九( r ，矿) = s u p 如f ：吮= 6 ) ，6 = l i l ( 等) 1 8 第四章违约过程与违约时间建模 更进一步 通过计算 e f t t = 研z 厶 ( 4 2 1 ) ，可以得到 甲：( t , k , b , d ) = e u t 2 2 ( ( d 巨( 。) ( f ，v k ) ) 一( 鲁) 2 “仃( d 宣( 。彤，2 ，v k ) ) ) 其中 + t 弘 。矿y ( ，一毛而, s , t - - s ) 出+ 6 矿y ( o , x - 2 6 , s , t - s r ) 出】 ( 4 2 7 ) 互( 跣) = 譬= 仃( 4 2 8 ) 同时 ，6 ，刚) ：f 掣p 一譬e 一譬出( 4 2 9 ) 万( “v ) 2 详细证明见附录。 4 4 情形c 时的违约时间 同样假设公司资产价值过程服从分布 d r , = y t ( r d t + a v d w t ) ( 4 3 0 ) 其中唧是公司资产的波动率，形是概率测度p 下的布朗运动，为了简便起见并假 首先我们定义公司资产过程首次触发阀值的时间为 定义 d k ( y ) = i n f 0 t t ：形= k ) ( 4 3 1 ) 第四章违约过程与违约时间建模 d x ( f ，v ) = i n f s t ：k = k ) 在t 时刻之前公司资产价值最后突破k 的时间为 y x ( t ，v ) = s u p s t ：形= k ) 特别地 ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) k 【) 2s u p t 0 ：杉= k ， 【4 3 4 ) 同样定义 i n f ) = 0 0 ，s u p c = 0( 4 3 5 ) 定义 m t = m i n 圪 ( 4 3 6 ) 豫( f ，矿) 盘鱼。 鸠= 】熙x 圪 ( 4 3 7 ) k ( f ，矿j 如盈4 那么违约时间由如下公式给出 巧c = i n f p o ：1 哦曲) n 慨鹫) o 一心( f ，矿) ) d ( 4 3 8 ) 鳄= i n f t 0 ：1 彬曲) n m 鹭) o z b ( t ，f r o ) 2 d ( 4 3 9 ) c h e s n e y - j e a n b l a n c - p i c q u e y o r ( 1 9 9 5 ) 证明了这是一个停时，按照我们的定义这个时i 司 实际上表示的是公司破产的时间，其中 溉善) 一珊口圪善) ( 4 4 0 ) 似善) 一坛耀立k 善) ( 4 4 1 ) 注意 形：v oe x p 唧彬+ ( ，一昙彬) f ) ( 4 4 2 ) 因此 地善) 一k ( m i 脚n i oe x p c r y w 。+ ( ，一三1 唧2 ) s 】) 善) ( 4 4 3 ) 溉善) 坛( m i ) n 如g 形c ) ( 4 4 4 ) 其中 2 1 第四章违约过程与违约时间建模 磙：形+ 讲，口：二一阜，c ：土h l ( 兰) ( 4 4 5 ) o v 2 乃场 这样我们义凹剑 r 对杯准布刚还动的计算和分析上采。 股东的权利完全可以由一个欧式未定权益来复制，其给付可以记为如下 c = e q e - r r m a x ( v r k ，0 ) 1 汀) 】( 4 4 6 ) 显然这是一个巴黎期权，其价格已经由c h e s n e y - j e a n b l a n c p i c q u e y o r ( 1 9 9 5 ) 给出， 其表达式如下 c ：q ，s p - ( r + 警) rc p om ”( v o p 硎一k ) k ( 丁，“) ) 也( 4 4 7 ) 其中q s 是标准曰一s 模型下的股票价值。 其中，= 孑1h 1 瓦k ) ，m = 专驴一唧一三1 唧2 ) ，由其l 印l a c e 变化确定 辄幻) ：蔗- - 嘉、了z e 一軎陋叫忸出 ( 4 4 8 ) 忱 ) _ 忑( 抛d ) j 一2 一川气 ( 4 4 8 ) 并且6 ：一1 儿l 万v 8 ) ，9 ( “) ：1 + “玩j 1 ”( “) 。 仃n 详细证明卵附录。 第五章结论与问题 在第四章我们得到了情形a 、b 和c 下的三个情况下的违约度量问题。 5 1 结论 将结果总结如下： 情形a 当，= 0 时候，有如下结论 吹( f ，y ) a ：w t 4 ( k o 丁- 彬y 这是由布朗运动的性质直接得到的。 情形b 因为股东权益可以由一个特殊的期权所复制，而这个期权的价格可以如下确定： c = v o 、王，：+ 。( r ，后，b ，d ) - k 、王，：l ( 丁，k ，b ，d ) 其中 珞：7 母r ，f ：廿+ 和 11 b = 二1 1 1 ( z o ) ，k = 二l n ( k ) 假设 有 昭t , k , b , d ) = e u t 2 2 ( ( 懈) ) 一( 鲁产后( 也时，懈) ) ) + i d s t f p r ( 一五一6 , s , t - s ) d x + f , , b e “y ( o ，x 一2 b , s , t - s ) d x 其中 互( “) = 揽= 仃 日 附录 6 刚) ：f 掣e 掣p 掣出 万( 洲) 2 显然这个结论完全可以达到我们的目标。 情形c 与情形b 一致，股东权益可以由一个期权来复制，而这个期权价格可以表示为 c = e q e - r t m a x ( z r k ，0 ) 1 影n 】 显然可以得到 c ：q ，s p _ ( ，+ 孚) r 孓m “( z o p 一一k ) ( l “) ) 幽 其中g s 是标准曰一s 模型所给出的期权价格( 在这里其实就是股票价格) 。 同时，k 吉h 1 ( 毒) ，z = 1 唧_ ( r - 。 v 芝1a v 2 ) ，由其l a p l a c e 变换决定，如下： 磊m 川：1 堡p 吲z 2 刊瓜d z 办( 允，y ) 2 j ：历钿j z p 2 7 川。 r b ：一1u 从可v s ) 以及9 ( 甜) ：1 + “、t 2 - - 7 r - - p 1 2 u 2 ( “) o 0 这样我们就得到了以上三种情形下的违约模型的结论。 但是本文还存在一些不足之处。 ( 1 ) 鉴于篇幅有限，此处并未引进随机利率模型和随机波动率模型等 正如大家所熟悉的那样，利率和波动率均不是常数，在非常数利率和波动率的情况 下来进行策略的复制是一个新的问题。 ( 2 ) 如此，引入多因素模型也许能解决这个问题 多因素模型已经有很多研究者进行了研究，如何将多因素模型结合本文所述的违约 情况进行违约概率和信用风险研究值得进一步的探讨。 ( 3 ) 违约的传染性更需要进一步的研究 信用违约的传染性在金融危机和企业财务困境的时候值得大家的注意，所以将违约 的相关性引入这样的系统也是非常必要的，一般而言，在信用违约中引入c o p u l a 函数 来度量相关性是非常重要的。 2 4 附录 为了计算出违约概率和分布，我们将计算过程分为几步走。本证明参考了c h e s n e ym j e a n b l a n c e - p i e q u em ，y o r 1 9 9 5 关于d o w na n do u t 期权的证明方法。 a 1 游程区间 特别地 d o ( f ，r v ) = i n f 0 t t ：形= o )( a 3 ) f o ( f ，w ) = s u p s t ：彬= 0 )( a 4 ) 显然， f o ( t ，w ) t d o ( r v ) a s 在区nc r o ( t ，r v ) ，( 形) 内，过程( 彬，t o ) 保持不变号，亦即对v u t o ( t ，r v ) ，d o ( 形) 有s g n v 为常数。 则( y o ( t ，形) ，彬) 的分布为 唧c 一南，幽出 一般而言 以( f ，w ) = i n f s t ：形= 6 )( a 1 ) 九( f ，w ) = s u p s t ：形= 6 ) ( a 2 ) 定义时间 f d b = i n f t 0 ：1 形篮) o y 足o ，彬) ) d ) 表示过程首次漂移到远离k 的时间累计达到d ，亦即违约时间。下面需要做的事情 就是求出( ，f ：) 的分布。 a 2 求分布 尚 艘 t l 附录 f 回的步骤主要是计算( ，f ；) 的分布。 ( 1 ) 若b = o 记f ：为t d ，并且根据c h e s n e ym j e a n b l a n c e p i c q u em ，y o r ( 19 9 5 ) 的证明，t d 是 民( f ，矿) 停时，当然也是c 停时。并且过程 ( 击i c 杪m i ，“钏 是关于仃域流( 勺独立的布朗曲流。 并且万1 ( 勺具有如下分布： 詈e x p ( 一万x 2 ) 1 ( 枷，出 并且磊( 勺，形) 和万1 ( 矿) 独立。 对任意的允 o ，局部鞅( 、王，( 一机 d o ( r d , w ) ) e x p ( 一三2 允2 0 人氏( ，形) ) ) ，f o ) 有界，所以 对于停时( ，形) 利用最优停时定理可以得到 e ( 、壬，( 一4 l d 0 ( 勺，矽) ) e x p ( 一1 2 允2 d o ( v , t ，形) ) = 、王，( o ) = 1 上式左边等于、王，( 一a 、f d ) e ( e x p ( 一三2 允2 或( 乃，形) ) = 1 ，所以公式可以变形为 e ( e x p ( 一三1 允2 d o ( r d ，矽) ) 2 丽1 ( 2 ) 若b o 根据停时f ：= 乃+ f ：( 形) 其中 o = i n f ( t o ，1 彬o ) o 一( f ，形) ) d ) = 力 d w 其中形= + ，一b ，( f ，形) = s u p ( u f ：呒= o ) 。 与( 1 ) 相似的处理我们可以得到 眯x p ( - 互1 卯撕= 器 附录 注意：尸( d o ( 勺，w ) o 说明公司资产在初始阶段就小于给定的阀值，原则上来说这是不符合逻辑的事 情，所以这里不证明这个情况。但是实际上这个情况与情况( 2 ) 没有本质的区别。 这里可以给出这种情况下的结论 e ( e x p ( 一丢允2 ( 乃，形) ) = p 一心( d ，佃) + i i 圭而r 儿( 出) e 一缸 ( 4 ) 形孑的分布 要求形孑的分布可以根据等式 2 ( 6 + ) 1 巧“ + 1 ( 霸堋 p ( 6 + 咄乙 炉嘲 叽“h ) e x p ( 一譬) 亨 矾咄驴加高( e x p ( 茜) 一e x p ( 一譬) ) 2 7 参考文献 参考文献 【1 】a c h a r y a , v ，a n dc a r p e n t e r , j ，2 0 0 2 ，“c o r p o r a t eb o n