（课程与教学论专业论文）可误主义数学观下的数学教育初探.pdf

摘要 y6 6 3 6 5 3 摘要 数学观对数学教学有着重要的影响，它影响着师生的教与学的 行为。创新教育是在素质教育观下的一个热门话题，本文试图从可 误主义数学观的角度出发，对数学创新教学作了实验研究，得出了 有关结论。 全文共分为六个部分： 第一部分引出在数学教学中有必要坚持可误主义数学观。 第二部分对可误主义数学观产生的背景作了简单的介绍，提出 了“反思是可误主义数学观的基石也是创新的基础”的观点。 第三部允首先从建构主义角度和社会建构主义的角度阐述了数 学知识在“批判认同”的建构中创新和不断循环的社会建构中创新； 然后阐述了在可误主义数学观下数学元认知可以得到提高。 第四部允对可误主义数学观下的创新教育做了一些探索。首先， 阐述了可误主义数学观下的数学教学观：以反思的态度对待教学， 以融入创新为目标：采取民主和交流的方式组织教学。其次， 提出了可误主义数学观下的“主体性、激励性、新颖性、置疑性” 的教学要求。最后，简单探索了可误主义数学观下学生的“反思创 新”意识、“反思创新”人格和“反思一创新”思维的培养。 第五部允对一年半的实验结果进行了分析、讨论。实验得出， 坚持可误主义数学观有利于元认知水平、创造力和数学成绩的提高， 同时有利于学生的个性的良性发展。 第六部分提出了还有待于进一步研究的问题。 关键词：可误主义数学观反思创新 摘要 a b s t r a c t m a t hv i e w p o i n th a si m p o r t a n ti n f l u e n c e o nm a t he d u c a t i o n i t d o e s n to n l ya f f e c tt h et e a c h i n gb u to n l yo nt h es t u d y ，e d u c a t i o n o n m a k i n g i n v e n t i o ni s a t o p i c i n v o g u e t h e w r i t e ri s m a k i n g s o m e e x p e r i m e n t s o ni t a c c o r d i n gt o e r r o r - a b l ed o c t r i n ev i e w p o i n to fm a t h ， a n dh a sa c q u i r e ds o m ec o n c l u s i o n s t h e p a p e rc o n c l u d es i xp a r t s i nt h ef i r s tp a r t t h ew r i t e ri n t r o d u c e st h a ti t sn e c e s s a r yt os t i c kt o e r r o r a b l ed o c t r i n ev i e w p o i n to fm a t h i nt h et e a c h i n g i nt h es e c o n dp a r t ，t h ec h a p t e rs i m p l yn a r r a t e st h eb a c k g r o u n do f t h e p r o d u c i n g e r r o r a b l ed o c t r i n ev i e w p o i n to fm a t h ，p u t s f o r w a r d ： “d o u b ta n dc r i t i c i s mi s t h ef o u n d a t i o ns t o n eo ft h ee r r o r a b l ed o c t r i n e v i e w p o i n to f m a t ha n df e u n d a t i o no f c r e a t i o n ” t h et h i r dp a r ta c c o u n t s t h ek n o w l e d g eo f m a t hi sb e i n gc r e a t e di n t h ec o u r s eo fe s t a b l i s h m e n t c o n s t i t u t i o no nt h eo n eh a n d ，a n dc r e a t e d i n c i r c ：u l a t i o n c o u r s eo fs o c i a l e s t a b l i s h m e n t c o n s t i t u t i o n o nt h eo t h e r h a n d ，t h e nn a r r a t e s ：“m e t a - c o g n i z ec a r lb ei m p r o v e du n d e re r r o r - a b l e d o c t r i n ev i e w p o i n to fm a t h ” i nt h ef o u r t h p a r t ，t h e c r e a t i o ne d u c a t i o no fm a t hi s e x p l o r e d s i m p l vu n d e re r r o r 。a b l e d o c t r i n ev i e w p o i n to fm a t h ，t h ev i e w p o i n to f t e a c h i n g o nm a t hi ss e tf o r t h ：t oa t t a i n t h ec r e a t i o ni nt h e t e a c h i n g ， t e a c h e r sa n ds t u d e n t sm u s th a v et h e a t t i t u d eo fd o u b ta n dc r i t i c i s mt o m a t hc o n t e n ta n da u t h o r i t i e s ；a n dt h et e a c h i n gm u s tb eo r g a n i z e db y d e m o c r a c y a n di n t e r c o u r s e t h et e a c h i n gp r i n c i p l ei sp u tf o r t hw h i c hi s “m a i n b o d y ，i n v i g o r a t i n g ，n o v e l t y ，d o u b t ”u n d e r e r r o r a b l ed o c t r i n e v i e w p o i n to fm a t h ，a n dh o w t oc u l t i v a t et h ec r e a t i o na b i l i t yi sd i s c u s s e d ， i na n o t h e rw o r d ，h o wt ob r i n gu pt h es t u d e n t sc o n s c i o u s n e s so fc r e a t i o n ， p e r s o n a l i t yo f c r e a t i o na n dt h o u g h to fc r e a t i o ni se x p l a i n e d r b ef i f t hp a r td i s c u s s e sa n da n a l y z e st h ec o n c l u s i o n so fe x p e r i m e n t ， t h ec o n c l u s i o nt e l l s u s ：m e t a c o g n i z e ，c r e a t i o na b i l i t y a n dm a t h 2 一竺巴一aehlec a n b e i m p r o v e d b yp e r s e v e r i n g e r r o r - a b l e doctrinehiv e m e n t - 一 一 _ v i e w p o i n t o f m a t h i nt h et e a c h i n g w h a t s m o r e ，t h e s t u d e n t 3 p e r s o n a l i t ya l s ob e a m e l i o r a t e d i nt h es i x t hp a r t ，s o m eq u e s t i o n s w i l lb en e e d e d t or e s o l v ei nt h ef u r t h e r k e y w o r d s h a v eb e e np u tf o r w a r dt h a tt h e y c r e a t i o n d o u b ta n dc r i t i c i s m e r r o r a b l ed o c t r i n ev i e w p o i n t o fm a t h 3 引言 1 引言 人类任何活动都离不开哲学观的指导，数学教育也是这样。教 师所具有的数学哲学观对数学教学起着重要的影响，它既影响着学 生数学观的形成，又指导着教师的教学方法。学生具有的数学观念 影响着他们的学习方法和思维方法。“从历史的发展来看，数学教育哲 学的现代发展正需要从数学哲学观念的转变入手，需要由静态的、绝 对主义的数学观转向动态的、经验和拟经验主义的数学观，进而建 立了具有时代特点的社会建构主义数学哲学和数学教育哲学”【i 】，坚 持可误主义数学观有助于实现上述转变。另一方面，可误主义数学 观以反思为基石，在数学创新教育已成为我国数学教育改革的主旋 律的情况下，运用可误主义数学观指导数学教育具有重要的意义。 这就是笔者想对可误主义数学观指导下的数学教学做一点探索的原 因。 车建华社会连构主义数学哲学与数学教育哲学擞其背景 j 外国教育资料 2 0 0 0 ( 5 ) l 可误主义数学观 2 可误主义数学观 2 1 可误主义数学观产生的背景 数学哲学是一个有着悠久历史的研究领域。从1 8 9 0 年到1 8 4 0 年这5 0 年间掀起了对数学哲学的研究高峰。数学哲学家们围绕着数 学的基础问题进行了系统和深入的研究，并发展起了逻辑主义、直 觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学哲学理论。它们均 试图为数学提供一个坚实的基础，企图在有限制但却可靠的真理领 域里通过数学证明而获得全部数学真理。但是逻辑演绎仅能传递真 理而不能注入真理，逻辑证明的结论只是相当于最弱的前提条件。 而且对于逻辑主义、形式主义和直觉主义来说，它们自认为可靠的 数学基础分别是逻辑公理，某些直觉的元数学原理以及“原始直觉” 的自明公理。这些公理或公理体系是在未获得证实的情况下采用的， 所以对每个体系允许有争议，也可以有怀疑。然而，更为现实的是 来自数学自身的数学悖论、非欧几何和四元数等严峻挑战。这样三 大思想流派在试图建立数学真理的绝对必然性上不可避免地均以失 败而告终，从而数学哲学的研究一度陷入低谷，即“进入一个悲观 的停滞的阶段” 1 】。6 0 年代后，数学哲学家们从整体上对数学哲学 进行自觉的反思，其直接结果就是对数学这一学科本身的重新认识 及数学观的根本变更，使得l a k a t o s 提出的可误主义数学观得到了数 学哲学家们的认同。 2 2 可误主义的数学观 数学哲学家对绝对主义数学观反思后，形成了较为一致的看法： 从宏观来看，数学知识是可误的且可以纠正的。换句话说，数学是 动态的，易缪的，不能把数学知识看成不能纠正的或更改的，数学基 础不完全是可靠的。从微观来看，涉及到个别的数学知识，这些个 别的数学知识需要加以修正和发展。这样，就形成了可误主义数学 1 e a r n e s t数学教育哲学 m 1 1 海教育出版社1 9 9 8 ( 1 1 ) 2 2 里堡圭墨塑堂婴 观。 数学家们对可误主义数学观有很多叙述，例如： l a k a t o s 说：“为什么不诚实地承认数学知识的可误性，不去 捍卫可误知识的尊严，以免对它讽刺地怀疑，而在欺骗自己，认为 我们能够天衣无缝地修补原始直觉上的最新裂痕”。 k l i n e 说：“现在已清楚，这一普遍的观念，不会错的推理主体 一一1 8 0 0 年以来崇高的数学和人类自豪一一是一个自负的幻想，数 学的非可靠性和可疑性代替了过去的可靠性和自负感，数学 的现状是对直到如今仍根深蒂固广为赞誉的数学真理和逻辑的嘲 讽。【2 】 尽管从微观来看大部分已有的数学知识是合理的，只有某些数 学知识是可误的，需要纠正、发展和创新。但我们不能因为大多数 数学知识是合理的而笼统地肯定已有的数学知识的合理性。对于这 种合理性的承认，并不能代替或取消关于这种合理性的基础的哲学 性思考。因为，数学理论的真理性都具有一定的适用范围，只有通 过这种思考，才能提供关于这种合理性的正确思考，而又只有这样， 我们的认识才能由必然王国上升到自由王国。数学的发展历史也清 楚的表明，“数学的发展是一个辨证的过程，其中既有连续的一面又 有不连续的一面；既有证实又有证伪，既有猜测，又有论证；既有 排斥又有积累【3 】。”这也表明需要对数学知识的合理性进行哲学思考。 总之，对数学知识采取绝对的肯定和绝对的否定都是错误的，应该 辨证地看。 2 3 反思是可误主义的基石，也是创新的基础。 反思是指认知主体以严肃的态度持续不断地，反复深入地，对 已有的结论、认识和观念，以及它们的形成过程进行周密的、持续 且有批判性的再思考，以求得深入的认识或提出疑问作为新的思考 的起点，实现创新的目的。在杜威看来，反思是“对任何信念或假 定的知识形式，根据支持他的基础和它趋于达到的进一步结论而进 l i e a r n e s t 数学教育哲学 m 上海教育出版杜1 9 9 8 ( 1 1 ) 2 2 2 1 克菜囡著李宏魁译数学确定性的丧失 m 1 9 9 8 ( 4 ) 1 1 夏基松郑毓信西方数学哲学人民教育出版社出版 3 可误主义数学观 行的积极的坚持不懈的和仔细的考虑”。它分为两个阶段：“( 1 ) 一1 种 得以产生思维活动的怀疑、犹豫、困惑、心灵困难的状态，和( 2 ) 一种为了发现解决这种怀疑，消除或清除这种困惑的材料而进行的 探索、搜集、探究的行为”。就第一点而言，关键是不确定。由于不 确定，怀疑、犹豫和困惑等随之产生。就第二点而言，关键是“探 究”，有了怀疑和困惑，就可能使人探究，而探究可以释疑或激疑( 引 起更大的疑惑) 【1 】。而置疑是对已有的数学知识持怀疑的态度，从而 产生不确定、犹豫和困惑等，并对其进行探索和创新；批判是对数 学知识作系统分析，否定其错误的，保留其正确的，并对其进行发 展，也就是说在置疑的基础上进行探究，达到释疑或激疑的目的， 进而创造出新内容。因此，可以看出反思是由置疑和批判组成的。 反思是坚持可误主义数学观的基石。可误主义数学观要求人们 把数学知识看成是动态的、发展的、相对的。它要求人们以置疑和 批判的观点来看待数学，对数学保持开放的态度，在理性批判主义 的驱动下不断前进、发展、完善，甚至超越自我所建构的一切，完 成创新。也就是说会对已有的数学知识进行“反思创新”。也只有坚 持“反思创新”的态度才能使数学健康地发展，并保持它的活力。 坚持可误主义数学观会导致创新。古人说，未解之惑，未识之 物，未辨之味，未通之理皆可谓之疑。疑是思之始学之端，怀疑产 生则是创新的开始。小疑则小进，大疑则大进。学若无疑，哀莫大 于思想僵化。可见，疑是创新的起点，也是创新的基础。而师生在 教学过程中坚持可误主义数学观就会反思教学中的一切。这样，必 然会有疑问产生，再通过释疑，就会有创新。因此，坚持可误主义 数学观就会导致“反思创新”。 例如，从欧氏几何向非欧几何的革命中，由于欧氏几何的严密 使得人们普遍认为它是惟一的几何真理，许多人致力于第五公设的 证明，而高斯和鲍耶、罗巴切夫斯基等人以反思的态度对待这个问 题，认为第五公设不可证明，欧氏几何不是唯一的几何真理，从而 发现了非欧几何，引发起了几何学的一次革命。 综上所述，笔者认为，在认知过程中，坚持反思才能坚持可误 熊川武反思性教学 m 华东师范大学出版社1 9 9 9 ( 1o ) 4 里堡圭墨墼堂婴 主义数学认知观，把“反思创新”的认知态度自觉贯穿于认知过程 的始终，实现创新。 可误主义数学观和数学创新 创新 3 可误主义数学观下的数学创新机理 3 1 可误主义数学观下数学知识在“批判一认同”的建构中 可误主义数学观下数学知识在“批判一认同”的建构中创新。建 构主义亦称“建构观”、“认知建构观”。“建构”是主体同时建立和 构造关于新知识认知结构的过程。既要建立对新知识的理解，将新 知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结构 相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。它把同化 与顺应看作认知建构的基本过程( 同化是原有结构对新知的认同， 顺应是原有结构对新知的适应) 。按照l a k a t o s 的观点，数学发现为 多证多驳的助探模式：提出猜想，证明猜想，证明中呈现反例，驳 回原猜想的缪误，新引理与“证明生成性概念”产生，改进原猜想， 产生新引理一一实现数学上的创新。而认知建构的微观过程遵循“批 判认同”的循环模式：初次认同，认同检验，批判涌动，缪子清除， 再次认同，顺应建构一一实现认知结构的创新。由于上面的两个认 知建构过程是交替发生的，因此可以看出：在“批判一认同”的过 程中原结构与新知( 原猜想) 在真理性上得到互动似的加强。其过 程：原结构认同原猜想，反思( 置疑和批判) 产生反例，反例批驳 原猜想，由此得到第一次真理性的加强一一第一次创新。这是第一 次原结构对新知( 原猜想) 的真理性的加强。第二次是谬子清除， 再次认同，结构顺应，于是获得了第二次真理性的加强一一进一步 创新。这是一次新知对原结构真理性的加强。在这个过程中反思使 认知过程充满理性，“批判一认同”建构过程中的创新建立在反思的 基础上。 在上面这种“批判一认同”的建构模式中，认知过程中的错谬 具有极其重要的意义和价值。这种错谬不再是普通意义上的随机失 误，而是具有批判功能的积极思维过程。对错谬的批判使得认识的 郑毓信 梁贯成认知科学，建构主义与数学教育 m e 海教育出版杜 i9 9 8 ( 1 0 ) 6 里堡圭墨塑堂塑塑塑兰型堑 真理性得到加强和扩广甚至可以说对错谬的批判引发了创新。 因此，把认知建构的过程置于可误主义数学认知观下更符合认识过 程的本质。 3 2 可误主义数学观下的数学知识在不断循环的社会建构中 创新 社会建构主义的数学哲学吸取了约定主义的思想，认为规则和 约定对数学的真理性和确定性起着关键的作用。它又汲取了拟经验 主义的观点，认为数学知识是不断发展和变化着的，是可误的。按 照一种发现的逻辑，数学知识在猜想和反驳中得到发展。它认为( 1 ) 数学知识的基础是语言知识、约定和规则。而语言知识是一种社会 建构。( 2 ) 个人的主观数学知识经发表后转化为客观数学知识，这需 要社会性的交往与交流。( 3 ) 客观性是指社会性的认同。语言的变化 和发展也为数学的可误性提供了合理的依据。社会建构主义的数学 哲学恢复了数学社会性、可误性的本来面目，使数学从令人敬畏的 象牙之塔重新回到了平凡而生动的社会生活当中，数学的社会涵义、 文化涵义也重新得到重视瞄j 。 可误主义数学观下，数学知识在不断循环的社会建构中创新。 社会建构主义将学习者的。t l , 理定位于社会中的个人行为，将数学视 为社会建构，它的核心是数学知识的生成，而不仅仅是数学知识的 判定。它认为新产生的数学知识可以是主观知识( 认知主体个人创 造出的数学知识) ，也可以是客观知识( 被社会承认的，并接受公开 审视和评判而保留下来的数学知识) 。主观知识和客观知识是循环产 生的，它们相互促成对方的更新。如图3 1 所示，在这个循环中，新 的数学知识从主观知识开始，主观知识经发表在社会领域接受置疑 和批判而成为客观知识。在数学学习和发展过程中，客观知识被个 体内化和再建构，再形成个体的主观知识。在此基础上个体创造并 发表新的数学知识，从而完成循环。因此，数学主观知识和客观知 识彼此促成对方的产生和再产生，实现的是创新循环。在这个创新 5 1 张广祥数学的建构主义与可误主义认知观 j 数学教育学报2 0 0 1 ( 8 ) 2 1 李建华社会建构主义数学哲学与数学教育哲学极其背景 j 外国教育资料2 0 0 0 ( 5 ) 可误主义数学观和数学创新 循环中随着主观知识的增长，客观知识在无数的个人头脑中不断得 以再创造和再更新。可见，在这个过程中谬误始终存在，即数学知 识是可误的，需要对数学知识加以修正、创新。 在主观知识和客观知识的相互作用过程中，从置疑和批判( 反 思) 到创新是贯穿于其中的一根主线，在这根主线的基础上不断循 环，促使知识向着更完善的方向发展，在不断循环中达到创新。 展 创造 巨薹垂匦圜社会议定过程 i 新知识 表象 主观知识和客观知识关系图 图3 1 3 3 可误主义数学观下的数学元认知得到提高 数学元认知即人们对数学认知活动的自我意识、自我控制和自 我调节 1 1 l 。它相应地也包括三方面的内容：数学元认知知识，数学 元认知体验和数学元认知监控。反思，是元认知在数学思维( 数学 学习，数学解题) 中发挥作用的基本形式1 1 ，是元认知的实现手段。 涂荣豹试论反思性数学学习【j 】数学教育学报2 0 0 0 ( 4 ) 8 甲掣 ，r 里堡圭墨垫兰婴型鍪堂型堑 在可误主义数学观下，学生自然会强化对数学知识的反思，从而有 助于反思的实施和加强，即有助于元认知的提高。 数学元认知知识在可误主义数学观下得到完善。数学元认知知 识即由个体对自己或他人的数学认知活动的过程、结果及有关事实 的认识。数学元认知知识的主要内容应是数学的特点( 可误性应是 其特点之一) 和任务要求、数学的前提性知识( 数学思想，数学的 思维模式、数学观念) 数学经验性知识、程序性知识、条件性知识 和评价性知识、学习者作为数学活动的主体特征知识等。坚持可误 主义数学观的教师和学生，必然会对自己和他人的数学认知活动过 程、结果以及有关事项的认知进行反思。从而置疑和批判有关认知 主体方面的知识、有关认知材料、认知任务方面的知识、有关认知 策略方面的知识，使认知主体对其有更深的理解，达到完善元认知 知识的目的。例如，要记着一学期学过的全部的定义、公式和定理， 他就可能意识到学过的定义、公式和定理很多，必须加以消化，整 理才能记住。试误之后，若效果不理想，在可误主义数学观的指导 下，就会反思其认知主体、认知材料、认知策略等方面的问题，寻 求更好的解决办法。这样使得元认知知识得到完善和丰富。 数学元认知体验在可误主义数学观下得到丰富。数学元认知体 验是伴随数学认知活动而产生的认知体验和情感体验。它包括知的 体验，也包括不知的体验。它具有调节作用，认知体验和情感体验 常产生于主体对自己的认知活动进行调控的时候。因此，学习的成 功与否很大程度上取决于主体对认知活动及其质量的体验。笔者认 为，数学知识的可误性、可纠正性、发展性是认知主体对数学的认 知体验。在可误主义数学观的指导下，反思会更具有自觉性、目的 性、对象性，会更好地发挥其指导作用 ( 1 ) 修正目标、丰富元认知体验。在可误主义数学观下学习数 学知识、反思数学结论时，学习主体定会遇到一些困难，挫折， 会有失误，这些在心理上表现为元认知体验。而可误主义数学观是 以承认失误、困难和挫折为前提的，这样认知主体就能更好地从哲 学观上认识这种元认知体验，促使认知主体在哲学观的指导下对原 来的目标进行调整、修正，制订新的计划和目标。 ( 2 ) 使不知的体验转化为知的体验。不知一反思一激活认知策 里堡圭墨墼兰婴塑塑兰型堑 略一选择恰当的认知策略一解决问题，从而产生成功的认知体验， 使学习动力得到强化。在这认识过程中必然含有认识上的偏差。可 误主义数学观要求认知主体不断反思自己的认知，匡正纠偏，这样 由不知到知的体验也就随之萌生了。 可误主义数学观下数学元认知监控得到促进。数学元认知监控 是在数学学习活动中实际的自我监控，它是相对于元认知体验和元 认知知识来说的。它贯穿于主体学习活动的始终，是主体对数学对 象进行的一系列的积极自觉的监视，控制和调节。数学元认知监控 要求个体不断地去获得关于自身数学认知活动系统各要素变化的情 况的有关信息，审视和检查自身实践活动的过程与效果。并且每一 次监控行为及结果都作为一种反映实践进程的新信息，直接影响到 下一步的认知活动及相应的自我监控行为的采取。也就是说上一步 的自我监控行为及结果是下一步认知活动及相应的监控与调节行为 的基础。笔者认为在一个含有谬误不断清除的认知过程中，坚持可 误主义数学观，认知主体在认知过程中就会更主动地审视和检查自 身的认知活动，反思其认知策略，从而更好地调整认知策略或修正 目标；认知主体在认知活动结束之际更能客观的反思其认知结果， 正确估计任务的完成程度，若发现较大差距，则会采取针对性较强 的补救措施，使下周期的认知能更准确地指向目标，更有效地实现 目标。也就是说在可误主义数学观下，认知主体就会更自觉地反思， 从而增强认知主体调整认知策略的自觉性和强度。且这种调整和修 正更具有能动性。所以笔者认为坚持可误主义数学认知观能使得元 认知监控得到促进。 由于在可误主义数学观下，认知主体就会自觉地反思自己的认 知，使元认知知识得到增加，元认知体验得到丰富，元认知监控得 到促进，也就是说元认知水平提高了。而元认知水平是创造力的基 础。因此，笔者认为：坚持可误主义数学观，能提高元认知水平， 从而提高创造力。 可误主义数学观与创新教育 4 可误主义数学观与创新教育 4 1 可误主义数学观下的数学教学观 4 1 1 以反思的态度来对待数学教学，以融入创新为目标。 坚持可误主义数学观，师生就会把数学教学活动置于可误主义 数学观下。这样，必然会产生一些问题。而反思产生于问题出现的 时候，因此在可误主义数学观下要以反思的态度对待教学，以创新 为目标。 教师和学生的“反思是指教师和学生在教育教学实践中以自我 行为表现及其行为之依据的“异位”解析和修正( 指对问题的解释和 解决) ，进而不断提高自身教育教学与学习效能和素养的过程”。 师生的反思至少在两个方面的功能上优于传统的教学模式：一是通 过强调教师对自己的教和学生对自己的学的考察，立足于对自己的 行为表现及其行为的依据的回顾、诊断、自我监控和自我调适，达 到对不良的行为、方法和策略的优化和改善，提高教和学的能力和 水平，并加深对教与学的活动规律的认识理解，从而适应不断发展 变化着的教与学的要求。二是赋予师生新的角色定位：教师成为教 学研究者，通过研究教学，使教师工作获得创造的生命力；学生成 为探究性的学习者，达到提高学生的素质和创新能力的目的【2 】 3 1 。 从教师的角度看。作为教师，反思被广泛地看作教师职业发展 的决定性因素，美国心理学家波斯曼( p o s t m a n ) 提出：“那些喜欢 反思，并且在此基础上努力，提高自己教学效果的老师，才会成为 高人一等的教师”；“如果一个教师仅仅满足于获得经验而不对经验 进行深入置疑和批判，那么，即使是有“2 0 年的教学经验，也许只是 一年工作的2 0 次重复，除非善于从经验反思中吸取教益，否则就不 可能有什么改进，他永远只能停留在一个新手型教师的水准上”；“教 1 1 张晶移试论教师的反思及其策略 j 教育研究2 0 0 1 ( 12 ) 2 j 霉涌泉教师的职业形象的改变与素质的提高策略 j 师资培训研究1 9 9 8 ( 4 ) 3 1 林崇德申继亮辛涛教师的素质构成及其培养途径 j 中小学教师培训中学版1 9 9 8 ( 1 ) 1 1 司误主义数学观与创新教育 师成长= 经验+ 反思”。这是因为，一方面，只有通过反思才能充分地 发挥先进的教学理念对教师行为的指导作用，才能激发出理性的力 量，才能把潜意识的活动纳入有意识的活动轨道。另一方面，先进 的教学理念也只有通过教学的实践和对实践的反思，才能建立起来。 因此，教师必须养成反思的习惯，应该不断的对自己的教学活动进 行反思。不断的解剖自己，不断的责问自己，不断的搜寻隐藏在自 己教学活动后面的观念和思想，不断地对教学行为做出自己的评价， 并在批判的基础上进行重建、创新。 从学生的角度看。作为学生，反思是自觉对数学认知活动进行 考察、分析、总结、评价、调节的过程，是调控学习的基础；是认 知过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的主要形式。荷 兰数学教育家费赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力。 学生反思能促使自己从新的角度，多层次、多侧面地对问题、问题 解决的思维过程进行全面考察、分析和思考。从而深化对问题的理 解，揭示问题的本质，探索一般规律，进而产生新的发现。通过反 思可以沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移，提高学习效 率；通过反思可以拓宽思路，优化解法，完善思维过程；通过反思 可以深化对知识的理解，并探究新的发现：通过反思调动学习积极 性和主动性，促使学习活动成为一种有目标有策略的主动行为；从 而不断发现问题，提出问题、解决问题，实现创新 总之，从反思的功能可以看出，反思是修正错误，改进教学， 实现创新的重要措施。因此，在教学中坚持可误主义数学观下的教 学中，师生必须在教学中坚持反思的教学态度，为实现创新而努力。 4 1 2 采取“民主和交流”的方式来组织教学 t 民主是营造可误主义数学观下宽松的数学教学环境的前提 民主是营造可误主义数学观下宽松的数学教学环境的前提。要 保证学生心情舒畅、思维敏捷、各种智力和非智力因素的创造因子 都处于最佳状态；要使学生敢于寻找教师和书本的错误，并找出解 决问题的途径；要使学生对同一问题积极寻求不同的思路，而不是 以教科书上和教师事先设定的答案为标准；要使教师学生之间要建 里堡圭墨堑兰婴皇型堑塑亘 立起一种平等、尊重、亲切、和谐的关系等等，都离不开民主，也 只有这样才能使可误主义数学观得以落实，才能使学生畅所欲言， 才能产生创新的火花，才能使学生的个性得到健康发展。 民主和权威是相对的。削弱了权威，废除了教师的绝对权威性 和书本知识的绝对真理性，民主自然呈现在师生面前。可误主义数 学观否定教师和书本的绝对性，要求教师放下自己权威的架子；要 求教师树立“教学相长”的思想和“弟子不必不如师，师不必贤于 弟子”的观念，虚心向自己的教育对象学习，对自己不懂的问题要 敢于承认，并认真和学生一起探讨；要求教师鼓励学生，树立回答 问题“勇气第一，质量第二”的思想；要求教师对学习过程中出现 的错误采取容忍的态度，采用师生共同探讨的开放式方式来消除错 误，而不是借助于教师的权威来进行评判等等。只有这样，才能营 造宽松的民主学习环境。 2 交流是实现可误主义数学观下数学教学的手段 数学交流是完善数学认知的有效手段。首先，数学交流能帮助 学生达成对事物的全方位的理解。处于同样发展水平的人对同一事 物的理解是不同的，通过数学交流，可以使学生从不同的角度理解 数学知识，形成对问题的全方位的理解。例如，在课堂交流中，让 学生提供多种证明方法，这是帮助学生全方位理解数学知识的一种 手段，可以提高反思的效率。其次，数学交流以社会建构的形式使 个体的思维成果社会化( 主观知识转化为社会知识和客观知识) 。因 为数学思维的成果最初是作为个体的内部知识而存在的，既不能在 社会实践中得到检验，也无法为社会所认同。将知识表达出来，在 社会( 班级) 中传播、交流，个人的数学知识才得以通过置疑和批 判转化为客观知识。再次，数学交流为克服数学思维过程和结果的 模糊性提供了一条有效途径。实际上，数学思维是借助数学语言在 头脑中进行的，内部语言活动常常是简化的、压缩的、跳跃的。从 而使数学思维在一种简略的结构中进行。但是，这种简略也使主体 的数学思维处于一种混沌的状态，缺乏严密的联系。模糊的思维过 程使我们不可能将思维内容概括化和系统化，从而就不可能对自己 解决问题的过程加以严密的论证和反思，数学交流可以解决这个问 题。最后，教师与学生，学生与学生之间的数学交流活动有利于最 里堡圭墨墼堂婴皇型堑塾堕 近发展区的发展。最近发展区的发展需要通过与外部环境中的其他 人交流或同伴合作才能实现。在数学教学中多向交流使这种转化成 为可能。 数学交流有助于学生的社会化。在家庭之后，学校是个体接触 的第一社会机构，是他学会和陌生人相处的场所。而数学学科课时 之多，学时之长，使得数学课堂成为了解社会认识自我的重要场所。 学生只有在与同伴的交往中，把自己的观点与别人的观点相互比较， 从而认识到自己的观点与别人不同，反思自己的观点和别人的观点， 纠正自己的认识偏差，对别人的看法提出问题和修改意见。在这种 交往中，他们学会摆脱权威的束缚，相互尊重，相互协作，发展自 己的独立评判能力，逐步融入到社会中去。 数学交流有助于激发学生的积极参与意识。数学交流为全体学 生积极地进行数学学习，提供了一种新的学习方式。在师生和生生 之间的数学交流过程中，学生能畅所欲言，踊跃讨论、争议、发表 看法、提出问题。在一种宽松、民主的气氛中，使自己对数学问题 由浅入深，由表及里，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识， 达到质的飞跃。它还能使学生对数学内容和数学思想加以反思和整 理。把日常用语同数学语言和符号联系起来，使学生对自己所面对 的数学问题有敏感意识，从而激励学生的探索精神。由此可见，数 学交流有助于学生的积极参与意识。 笔者认为，在可误主义数学观下，认知主体是以置疑和批判的 态度来吸收知识，以理性态度对待数学的。当认知主体置疑原知识 的正确性时，会反思此问题，寻找原因或正确的解决办法，实现创 新。当不能找到解决问题的途径或者找到解决问题的新的方法时， 就需要有外界信息的刺激。上述数学交流的作用表明，它是提供外 界信息的途径。通过师生、生生之间的相互启发和交流，实现一种 立体交叉、相互辐射的信息源，为学生提供了强大的发散空间，使 学生更易于实现认知目标、完成创新。 4 2 可误主义数学观下教学基本要求 可误主义数学观下的数学教学是创新教学，教学的基本要求是 可误主义数学观与创新教育 指导教学的基本准则，笔者认为至少有下面四条要求。 1 主体性要求 这一要求的基本含义：尊重学生的主体的地位，一切教育教学 活动应以学生为中心来展开，这是“反思创新”的教学的前提。 笔者认为，在可误主义数学观下的数学教学更应强调学生在教 学中的主体地位。学生在教学中应成为反思与探索问题、发现新知 的主体。学生的主体性地位越突出，独立反思和探索的机会就越多， 创造性情感就越强，其创新意识、创新精神、创新能力和实践能力 越可能得到培养。如果不突出学生这个主体，就会出现“填鸭式”、 “满堂灌”等课堂教学模式。重视学生主体地位，当然也不能忽视 教师这个主体，因为教师是教学的组织者、促进者，教学过程中的 “开放”与“封闭”、“创新”与“保守”，全部决定于教师的教学思 想和教学策略。 所以，在可误主义数学观下的“反思，创新”教育中，教师和学 生的关系应该是：以学生为中心的教师教的主体和学生学的主体的 有机结合。 2 激励性要求 这一要求的基本含义是：对学生的“反思创新”的学习态度、 方法和成果，要坚持多肯定、多表扬、多鼓励、多引导，尽量做到 不批评、不指责。这是可误主义数学观下数学教学的促动手段。 对学生进行积极的评价。激励是评价的一种类型。评价，作为 一种教学手段，有积极和消极之分。积极的评价不仅容易激活情绪， 使学生进入兴奋状态，而且它告诉了学生这样做是对的、可以继续 这样做，使学生的行为有了明确的依据，坚定了行为的信心，并从 中体验到成功的愉悦和满足，从而会继续从事这种行为，继续激 励，形成良性循环；而消极的评价容易使学生情绪消沉，得 不到长进。如果告诉学生“这样做是不对的”、“不能这样做”，又没 有给出正面行动的方向，缺乏操作性指导，则会使学生无所适从， 不愿从事这种行为。可误主义数学观下的创造性学习具有探索性、 风险性和艰难性，有成功肯定也会有失败。每个学生都会有成功的 愿望和需要，在成功之后想得到表扬。因此只要学生有一点“反思 创新”，教师应当及时给予表扬。即使失败了，只要他们有置疑、批 里堡圭墨鍪兰婴兰型堑墼塑 判和创新的举动和意向，教师就应当表扬和引导，不能批评和指责。 因为批评和指责可能使他们形成失败者的心态，以至心厌意冷，萎 缩了他们的创新幼芽，扼杀了他们的“反思。创新”的积极性。教师 要善于发现每一个学生在“反思创新”活动中的“闪光点”。只有这 样，才能激发学生的“反思。创新”意识，进而提高学生的“反思 创新”能力。例如，学生对某一习题的新解法，对某一问题的直观 猜测，对某概念的与众不同的理解，无论正确与否，教师都要先表 扬和鼓励，再就其错误之处加以引导。 3 新颖性要求 这一要求的基本含义：教师的教学要新颖，学生的学习也要具 有新颖性。新颖性是创新教育的本质。创新就是求新求异。首先， 教师的教学要“新”，他包括：( 1 ) 处理教学内容观念要新，不能完 全局限于教材和大纲。( 2 ) 教学方法要新，不能一成不变。( 3 ) 教 学手段要新，不能一味地运用传统的教学手段。( 4 ) 教学风格要新， 要有自己独特的风格。 通过教师教学的新颖性来引导学生学习的新颖性，教师要引导 学生：( 1 ) 能动而独立地运用已知条件，找出解决问题的办法。( 2 ) 尽可能多地从不同角度、层次和关系考虑问题、解决问题，要不局 一格，要不因循旧见。( 3 ) 尽可能采用最优、最新方法来分析、解 决问题。无论概念、理解、推理、假设、方案和或是结论，都应包 含新的因素，体现“反思创新”精神。 4 置疑性要求 这一要求的基本含义：教师在可误主义数学观指导下创设反思 情境，让学生产生疑问，并提出有意义的问题，通过问题的解决来 培养学生的创新意识和创新能力。 有置疑，才会有创新。教师在教学中应不照本宣科、不面面具 到，但也不能脱离学生和教材，搞“高”、“精”、“尖”、“偏”。而是 要根据教育教学内容和学生身心状态设计出有一定探索意义的数学 问题情境，让学生思维处于疑惑状态，从中发现问题、提出问题， 使其处于欲进不能，欲罢不忍的矛盾中，让他们在困惑中磨练创新 意志。在教师的指导下，达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村” 可误主义数学观与创新教育 的境界。 4 3 可误主义数学观下的创新能力的培养 4 3 1 培养学生的“反思- 4 , 1 新”意识 创新意识主要指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心， 不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行 探索和研究【。创新意识是创新活动的内在动力，它主要由怀疑感、 自信心、求知欲、兴趣等组成。没有创新意识，即使具备了创新能 力，也不一定有创造性的活动。创新意识不强的人，难以有大的创 造发明。教师培养学生的“反思创新”意识，可以从以下几方面着 手。 1 营造有利的“反思一创新”环境 “反思创新”环境的基本特征是民主、外向和开放，鼓励学生 置疑批判、自由争论、自主发现。对每一个学生而言他的周围都有 激发他灵感的人存在。课堂教学中，教师要提倡和鼓励三个挑战： 是向教师挑战，鼓励学生置疑问难，允许学生发表与教师不同的 意见和观点；二是向课本挑战，鼓励学生提出与课本不同的看法； 三是向权威挑战，鼓励学生通过自己的探索，否定权威的结论。如 果建立了这样一个宽松的“反思创新”环境，就使学生的思想得到 了解放，学生就会畅所欲言，大胆置疑和批判。例如，高中课本在 讲“映射”的概念时，不论是引例或者定义，还是练习，都强调了 “对应法则”一词。这样，当遇到对应关系由图表明确规定，但“杂 乱无章”的例子时，学生就会感到困惑：说是映射吗? 对应又缺乏 “规则”、“规律”，而法则当然应作“规则”、“规律”来解释。说不 是映射吗? 它和课本中关于映射的例图并无本质的不同。具有这种 困惑的学生很多，有勇气置疑的学生却很少。在建立了这样的“反 思创新”环境之后，学生们就提出了这个问题，说出了自己的困惑。 ( 其实这是个老师解释得不很好的例子。因为对有限集来说可构造 一个多项式来说明，对无限集的情况呢? 教师自己也解释不好。路 王了兴论数学素养数学通报 j 2 0 0 2 ( i ) 1 7 亘堡圭墨墼堂翌兰塑堑塑宣 见可先生的教学札谈谈映射的概念( 发表于数学通讯2 0 0 0 年 第1 3 期) ，指出了“对应法则”的提法容易产生误解，不如改为“对 应关系”直接了当。) 2 构建“反思一创新”的教学过程 这个过程应该体现“反思创新”的基本方式。即反思一一发现 问题一一探究问题一一创新。这里，首先是反思，反思才能发现问 题，我们所用的材料都是人类早已发现的文明成果，我们只有通过反 思，才能使学生再发现问题。因此有必要对教学内容从四个方面进 行反思。即反思背景，反思过程，反思新颖和反思应用。所谓反思 背景，就是反思数学概念产生的原因。一个数学概念可能源于现实， 也可以源于理性，可能是外部需要的结果，也可能是数学内部矛盾 的产物：所谓反思过程，就是要反思数学知识的产生、形成和发展 过程；所谓反思新颖，就是反思表达的新颖性。所谓反思应用，就 是要让学生反思所学数学知识的应用价值，引导学生用数学的眼光 看世界。例如“作函数图像”( 作函数图像在高中也是函数教学中非 常重要的。因为函数的性质是由图像得到的，特别是由某些代表函 数的图像得到的，可以说函数作图是研究函数的根基) 。反思作函数 图象所遵循“列表一一描点一一用光滑曲线联结”三步曲的过程，可 能出现三个疑问，( i ) 对某一具体的函数来说，究竟选取多少个点是 恰当的? 如果取的点不够多，也许就会得到一个完全错误的图像； 如果取得太多，那将花费过多的精力，而且仍然会担心是否忽略了一 些重要的点。( 这是一些学生初学函数图象时的困惑，它是一个开放 性的问题