（数学专业论文）哈密顿系统的振动性与非振动性.pdf

中文摘要 哈密顿系统的振动性与非振动性理论是常微分方程定性理 论中的一个重要的分支理论。它在工程技术、量子力学等领域 有广泛的应用，因此对它的研究一直十分活跃。对这一理论的 研究，有以下三种常用的方法：一是变分原理，利用对应的二 次泛函的正定性得到振动性以及非振动性，值得说明的是，这 一方法所得的结果是充分必要的；二是r i c c a t i 变换以及矩阵分 析的技巧得到振动性的充分条件，通常采用线性泛函或者非线 性泛函：三是利用对偶原理得到振动性，这一方法要求的条件 比较强。这些方法的综合利用，得到了许多好的有意义的结果。 本文试图在前两种方法的基础上，进一步研究哈密顿系统 的振动性与非振动性，得到了一系列新的振动性以及非振动性 准则。首先，在第二章中，我们采用一个辅助函数，推广了经 典的r e i d - - r o u n d a b o u t 定理，在第二到第五章中，我们分别采 用不同的技巧，利用推广的r i c c a t i 变换，得到哈密顿系统的振 动性的一系列判别准则；第五章利用变分原理以及w i r t i n g e r 不 等式，得到哈密顿系统在有限点处的非振动性。最后一章我们 讨论了具有强迫项的二阶拟线性微分方程的振动性，推广并改 进了最近的文献中的结果。 a b s t r a c t o s c i l l a t i o na n dn o n - o s c i l l a t i o nf o rl i n e a rh a m i t t o a i a ns y s t e m sa r eo fe s p e c i a li m p o r t a n c e i n v e s t i g a t i o no fo s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so fl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m ( 0 0 5 ) h a s ar e l a t i v e l yl o n gh i s t o r ya n dw a si n i t i a t e db yt h ep a p e ro fm o r s e1 2 6 lf r o m1 9 3 0 s i n c e t h a tt i m eo s c i l l a t i o nt h e o r yo fl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e ma t t r a c t e dac o n s i d e r a b l ea t t e n t i o na n dt h er e s u l t so ft h i si n v e s t i g a t i o nu pt ot w e n t y - f i v ey e a r sc a nb ef o u n d e d i nt h em o n o g r a p ho fr e i d 【2 s i n1 9 9 5k r a t z 1 8 1p u b l i s h e da n o t h e rc o m p r e h e n s i v e m o n o g r a p hw h i c hi na d d i t i o nt ot h ec l a s s i c a lr e s u l t sc o n t a i n sa l s ot h er e s u l t sa c h i e v e d i nt h ep e r i o d1 9 8 0 - 1 9 9 5 i nt h i sp a p e r ，o s c i l l a t i o na n dn o n - o s c i l l a t i o nf o rl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e ma r e d i s c u s s e d t h eo r g a n i z a t i o no ft h ep a p e ri s f o l l o w s - i nc h a p t e r1 w eg i v eag e n e r a l i z a t i o no fr e i d sr o u n d a b o u tt h e o r e ma n ds o m eo fi t sa p p l i c a t i o n sa r ei n v o l v e d o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e ma l eg i v ei nc h a p t e r2 ，c h a p t e r3a n d c h a p t e r4 ，b yn s i n gd i 矗e r e n tm e t h o d s c h a p t e r6d i s c u s sn o n o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o r l i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m i nt h el a s tc h a p t e r ，o s c i l l a t i o nf o raf o r c e dq u a s i l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o nv i av a r i a t i o n a lm e t h o da n dr i c c a t it e c h n i q u ea r eg i v e nw h i c h i m p r o v e dar e c e n tp a p e r l l s u ny 胛一s e nu n i v e r s i t y a u t h o r ：z h a o w e nz h e n g d a t e ：a u g u s t2 0 0 5 t i t l e ： o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o nf o rl i n e a r h a m i l t o n i a ns y s t e m s d e p a r t m e n t ：m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t i n gs c i e n c e d e g r e e ：d o c t o r c o n v o c a t i o n ：a u g u s t y e a r ：2 0 0 5 p e r m i s s i o ni sh e r e w i t hg r a n t e dt os u ny a t - s e uu u n i v e r s i t yt oc i r c u l a t e a n dt oh a v ec o p i e df o rn o n - c o m m e r c i a lp u r p o s e s ，a ti t s d i s c r e t i o n ，t h ea b o v e t i t l eu p o nt h er e q u e s to fi n d i v i d u a l so ri n s t i t u t i o n s s i g n a t u r eo fa u t h o r t h ea u t h o rr e s e r v e so t h e rp u b l i c a t i o nr i g h t s a n d n e i t h e rt h et h e s i sn o re x t e n s i v ee x t r a c t sf r o mi tm a y b ep r i n t e do ro t h e r w i s er e p r o d u c e dw i t h o u tt h ea t j t h o r ，s w r i t t e np e r m i s s i o n t h ea u t h o ra t t e s t st h a tp e r m i s s i o nh a sb e e no b t a i n e d f o rt h eu s eo fa n yc o p y r i g h t e dm a t e r i a la p p e a r i n gi nt h i s t h b s i s ( o t h e rt h a nb r 工e fe x c e r p t sr e q u i b 2 n go n l yp r o p e r a c k n o w l e d g e m e n t i n s c h o l a r l y w r i t i n g 、a n d t h a t a l l s u c h u s e i sc l e a r l ya c k n o w l e d g e d n 1 s u ny a t s e nu n e r s l t y d e p a r t m e n to f m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t i n gs c i e n c e t h eu n d e r s i g n e dh e r e b yc e r t i f yt h a tt h e yh a v er e a da n dr e c o m m e n d t ot h ef a c u l t yo fg r a d u a t es t u d i e sf o r a c c e p t a n c eat h e s i s e n t i t l e d “o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o nf o rl i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ” b yz h a o w e nz h e n gi np a r t i mf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o rt h e c e r t i f i c a t i o no fp o d o c t r a la ts u ny a t - s e nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r d a t e d ：h g 坚2 四 s i m i n gz h u 1 1 a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rs i m i n gz h u ，m y c o - s u p e r v i s o r ，f o rh i sm a n ys u g g e s t i o n s a n dc o n s t a n ts u p p o r td u r i n gt h i sr e s e a r c h h i sp r o f o u n dk n o w l e d g ei nd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m sa l w a y sh e l p sm ei nm yw r i t i n gt h i st h e s i sa n dg i v e s m ei n s p i r a t i o n 。m o r e o v e r ，h eg i v e sm et h ec o u r a g ec o n q u e r i n gd i f f i c u l t yd u r i n gm y h a r dt i m ei nt h e s et w oy e a r s t h a n k sa l s og i v e st om r s g u a n ，h e ra f f a b l es m i l e ，h e r m e t i c u l o u s l yc a r ew i l le n g r a v ei nm yh e a df o r e v e r p r o f e s s o rq i r uw a n ge x p r e s s e dh i si n t e r e s ti nm yw o r ka n ds u p p l i e dm ew i t ht h e p r e p r i n t so fs o m eo fh i sr e c e n tj o i n tw o r k ，w h i c hg a v em eab e t t e rp e r s p e c t i v eo nm y o w nr e s u l t s ，a n ds h a r e dw i t hm eh i sk n o w l e d g eo fo s c i l l a t i o nt h e o r ya n dp r o v i d e d m a n yu s e f u lr e f e r e n c e sa n df r i e n d l ye n c o u r a g e m e n t ih a dt h ep l e a s u r eo fm e e t i n gm r s s h o u h u ay u ，h e rc a r e f u lw o r kd u r i n gt h i st w o y e a ri m p r e s s e dm ed e e p l ym e a n w h i l e ，is h o u l dm e n t i o n e dt h et e a c h e r si np o s t d o c - t o r a lo f 丑c e ：s i h o n gz h a n g ，j i n g h u ih u a n g ， t h a n k sa l s og i v e 8a l lt h et e a c h e r si nc o l l e g eo fm a t h e m a t i c a la n dc o m p u t a t i o n a l s c i e n c eo fs u ny a t s e nu n i v e r s i t y is h o u l da l s om e n t i o nt h a tm yp o s t d o c t o r a ls t u d i e si ns u ny a t s e nu n i v e r s i t yw e r e s u p p o r t e di np a r tb yt h ep o s t d o c t o r a lf u n d so fc h i n a o fc o u r s e ，ia mg r a t e f u lt om yp a r e n t sa n dm y f a m i l yf o rt h e i rp a t i e n c ea n dl o v e w i t h o u tt h e mt h i sw o r kw o u l dn e v e rh a v ec o m ei n t oe x i s t e n c e ( 1 i t e r a l l y ) f i n a l l y , 1w i s ht ot h a n kt h ef o l l o w i n g ：y a n h u il i ( f o rh e ro p t i m i s ma l w a y sa f f e c t r n e ) ；l i u m a no u ，a i l i a n “u ，z e j ul u o ，b es a n g ( f o rt h e i rc o o p e r a t i o ni ns u ny a t s e n u n i v e r s i t y ) ；a n do t h e rc l a s s m a t e si nt h es y m p o s i u m ( f o ra l lt h eg o o da n db a d t i m e sw eh a dt o g e t h e r ) g u a n g z h o u ，g u a n g d o n g a u g u s t7 ，2 0 0 5 z h a o w e nz h e n g t om y l o v e l ys o na n dm yw i f e 1 v i n t r o d u c t i o n q u a l i t a t i v ep r o p e r t ya n ds t 8 b m t ya r et w oi m p o r t a n ta s p e c t si nt h er e s e a r c ho fo r d i u a r yd i f i e r e n t i a le q u a t i o n i nq u a u t a t i v et h e o r y , o s c i l l a t i o na n dn o n - o s c i l l a t i o na r e w i d e l ys t u d i e d a n dm a n yk n o w na n di n t e r e s t i n gr e s u l t sa r eo b t a i n a m o n gt h e m ，t h e m o s tk n o w nt h e o r e m sa r et h es t u r m ss e p a r a t i o nt h e o r e ma n dc o m p a r i s o nt h e o r e m c o n c e r n i n gt h ed i s t r i b u t i o no fz e r o s ，w h i c h “e r ef i r s t l y6 v e nb ys t u r mi n1 8 3 6 ，f o r t h ef o r m a l l yb e i f - a d j o i n ts e c o n do r d e rd i f i e r e n t i a le q u a t i o no ft h ef o r m ( p ( t ) u ，) ，+ q ( t ) u = 0 ( o ，0 1 ) t l l i se q u a t i o na r et h em o s tf r e q u e n t l yo c c u r i 丑gf o r m si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c a l s c i e n c e s s i n c et h e n ，t h er e h e a r c ha r ee x t e n t 谢d e l y a m o n gt h e s ew o r k s ，t h ep i c o n e i d e n t i t yi n1 9 0 9w a sal a n d m a r k ，a n dm o r s e f i r s ti n t r o d u c e dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d t ot h eo s c i l l a t i o ni n1 9 3 0 t h e s em a t h e m a t i c i a nm a d ei ta ni m p o r t a n ta n df u l lo f 、r i t a lf o r c es u b j e c t si nq u a l l t a t i v er e s e a r c h o s c i l l a t i o na n dn o n - o s c i l l a t i o no f ( 0 0 ，1 ) w a se x t e n tt oh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n n m ( f ) ：= ( 一1 ) ( 飞( t ) p q ) 件= 0 ( o 0 2 ) k = o i nr e c e n ty e a r s ( s e e 1 0 ，1 5 ，1 ，7 ，9 ，1 4 】a n dr e f e r e n c e sc i t e dt h e r e i n ) ，w h e r er n 0a n d r o j ，r h “士l l 。c ( nt h ec o l l e c t i o no ff u n c t i o n sw h i c ha r el o c a l l yi n t e g r a b l eo na t - i n t e r v a l2 - s u c ha 8i t o ，o 。) o s c i l l a t i o na n dn o n - o s c i l l a t i o no ft h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m a n dm o r eg e n e r a lc a s e ( p ( t ) 一) + q ( t ) x = 0( 0 0 3 ) ( p ( t ) x + r 0 ) z ) 一【彤。一q ( t ) z 】= 0 ( o 0 4 ) 1 w e r ei n v e s t i g a t e di nl a s tc e n t u r y ，w h e r e 。a 4 en d i m e n s i o n a lv e c t o r ，p ( t ) ，q ( t ) a n d r ( t ) a r en xnm a t r i c e s ( w i t hr e a lo rc o m p l e x - v a l u e de n t r i e s ) c o n t i n u o u so nat - i n t e r v a l 王，w i t hp ( t ) 0i sp o s i t i v e - d e f i n i t ea a dq ( t ) i ss y m m e t r i c ( o rh e r m i t i a n ) a l lt h ee q u a t i o n sm e n t i o n e da b o v ec a r lb et r a n s f o r m e di n t oam o r eg e n e r a ls y s t e m l i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m 。= a ( t ) z + b ( t ) 让( 0 o 5 ) l = g ( t ) 。一a t ( t ) u ， 、。 w h e r ea 0 ) ，b 0 ) ，c ( t ) a x enxnm a t r i x - 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d e g e n e r a t e s u b i n t e r v a lj t o ，o o ) i m p l i e sz = “e0o nf t o ，o o ) s u p p o s et h ep a i r ( a 0 ) ，口0 ) ) i sc o n t r o l l a b l e ，a n dt h e r ee x i s t sa no s c i l l a t o r yc o n j o i n e db a s i so fs y s t e m ( 1 1 2 ) ，t h e n b ys t u r m ss e p a x a t i o nt h e o r e m ，w ek n o wt h a te a c hc o n j o i n e db a s i so fs y s t e mf 1 1 2 1 i so s c i l l a t o r y , s os y s t e m ( 1 1 1 ) ( o r ( 1 1 2 ) ) i sc a l l e do s c i l l a t o r y n o wt h ed e f i n i t i o n o fo s c i l l a t i o na g r e e sw i t ht h en o n d i s c o n j u g a c yo fs y s t e m ( 11 1 ) ( o r ( 11 2 ) ) o n a 1 1 y n e i g h b o r h o o do f + o 。 。 i nt h es t u d yo fo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rl i n e a rh a z n i l t o n i a ns y s t e m ( 1 1 1 ) ，o n eo ft h e i m p o r t a n tt o o l si sv a x i a t i o n a lm e t h o d 1 2r 凳i d sr o u n d a b o u tt h e o r e m