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浙江大学硕上学位论文 摘要 h h t ( h i l b e n h u a n g ，希尔伯特一黄变换) 是1 9 9 8 年由美籍华人n e h u a n g 提出一种新的数据分析方法，它由两个步骤组成：e m d ( e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ，经验模式分解) 和h s a ( h i l b e r ts p e c t r u ma n a l y s i s ，h i l b e r t 谱分 析) 。相对于传统的的数据分析方法，h h t 有完全自适应性，能处理非线性非平 稳数据，不受h e i s e n b e r g 测不准原理制约等优点。h h t 己经广泛应用于很多学 科分支，并且取得了良好的效果。与应用相比，h h t 在理论和算法方面则大为 滞后，尤其在理论方面并没有什么突破性进展，它的数学理论基础还远未完善。 h h t 还有少问题也是难点，如i m f ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，经验模态函数) 的 数学模型与判断、包络问题和端点问题。本文推广了所谓的分段平均插值算法， 针对包络存在的过冲问题，提出用分段平均拉格朗同插法和细分三次样条插值法 求包络。 本文的内容如下： 第一章介绍h h t 的历史、发展，基本思想、特点，主要问题与本文主要工 作。 第二章介绍h h t 的两个步骤：e m d 和h s a ，首先介绍e m d 算法，并给出 两个e m d 实例，接着介绍h s a 。 第三章介绍e m d 的相关问题，包括i m f 的数学模型，e m d 的端点延拓， e m d 的滤波特性。 第四章介绍插值和细分，首先简要介绍插值概念、拉格朗日插值、三次样条 插值，接着介绍n d y n 在1 9 8 7 年提出的四点细分算法。 第五章介绍e m d 的包络算法，先介绍e m d 求包络问题，三次样条插值法 求包络存在的问题，接着推广了所谓的分段平均插值法，介绍分段平均幂函数插 值法，然后提出两种新的插值算法，分段平均拉格朗日插值法和细分三次样条插 值法，将这些算法应用于e m d ，并作出比较。 关键词：h h te m de m d 包络算法 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t h h t ( h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ) i san e wd a t aa n a l y s i sm e t h o dp r o p o s e db vn e h u a n gi n19 9 8 ，i tc o n s i s t so ft w os t e p s ：e m d ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) a n d h s a ( h i l b e r ts p e c t r u ma n a l y s i s ) ，c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d so fd a t a a n a l y s i s h h ti st o t a l l ya d a p t i v e ；i tc a l lh a n d l en o n l i n e a rn o n s t a t i o n a r yd a t a , a n dn o t s u b j e c tt oh e i s e n b e r gu n c e r t a i n t yp r i n c i p l e h h th a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n y d i s c i p l i n e s w h i c hp r o d u c e dg o o dr e s u l t s c o m p a r e d 谢t l lt h ea p p l i c a t i o n h h ti s s i g n i f i c a n t l yl a g g i n gb e h i n di nt h e o r ya n da l g o r i t h m s ，p a r t i c u l a r l yi nt h et h e o r y ；t h e m a t h e m a t i c a lt h c o r yi ss t i l lf a rf r o mp e r f e c t h h th a ss o m ei m p o r t a n ta n dm e a n w h i l e d i f f i c u l ti s s u e s ，s u c ha st h em a t h e m a t i c a lm o d e la n di u d g m e n to fi m f ( i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n ) ，e n v e l o p ea n de n d p o i n tp r o b l e m s i nt h i sp a p e r , t h es o - c a l l e da v e r a g es e g m e n ti n t e r p o l a t i o ni sg e n e r a l i z e d ，a n dw e p r o p o s e t h e a v e r a g es e g m e n tl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n a n ds u b - c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o nm e t h o df o ro v e r c o m i n gt h eo v e r s h o o ti nt h ee n v e l o p e t h i sa r t i c l er e a d sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s t c h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to fh h t s u b s e q u e n t l yt h ec h a r a c t e r sa n dm a i ni s s u e so f h h t i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ed e s c r i b et h et w os t e p so fh h t e m da n dh s a f i r s tw e i n t r o d u c e se m d a l g o r i t h m e x p l a i n e db yt w oe x a m p l e s t 1 1 e nw ei n t r o d u c e sh s a i nt h et h i r dc h a p t e rw ed e s e r i b et h er e l e v a n ti s s u e s i n c l u d i n gt h em a t h e m a t i c a l m o d e lo f e m d 。t h ee l l d p o i n te x t e n s i o n ，a n dt h ee m df i l t e rc h a r a c t e r i s t i c s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h ec o n c e p to fi n t e r p o l a t i o n 。t h e l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，a n dt h e nt h es u b d i v i s i o ns c h e m e p r o p o s e db v n d v ni nl9 8 7 i nt h ef i 劬c h a p t e r ，w ed e s c r i b et h ee n v e l o p ep r o b l e mo fe m d a n dt l l e i l i n t r o d u c et w on e wa l g o r i t h m s ：t h ea v e r a g es e g m e n tl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o na n d s u b - c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，w h i c hw i l lb ea p p l i e dt og e tt h ee n v e l o p eo fas i g n a l n er e s u l t sa r ea l s oc o m p a r e d k e yw o r d s ：h h te m de n v e l o p ea l g o r i t h mo f e m d 浙江大学硕上学位论文 第一章概述 h h t ( h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，希尔伯特黄变换) 是一种新的数据分析方 法，它是由美藉华人n e h u a n g 等【l 】于1 9 9 8 年提出的。本章先介绍h h t 的历 史与发展，接着介绍h h t 的基本思想与特点，然后介绍h h t 主要问题，最后 介绍本文的主要工作。 1 1i t l t t 的历史与发展 1 9 9 5 年，n e h u a n g 为研究水表面波构思出一种所谓“e m d h s a ”( e m d ， e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，经验模式分解；h s a ，h i l b e r ts p e c t r u ma n a l y s i s ， h i l b e r t 谱分析) 的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的， 而是突变、离散、局部的【2 】。接着，n e h u a n g 应w u 教授与o w e n 教授之邀 在j o h nh o p k i n s 大学做了两年研究，这种方法得到了进一步的发展。为避免 e m d h s a 引起的不便，w u 教授将这种方法名改为h h t ，n a s a 也采纳了这个 新名称 3 】。 1 9 9 8 年，n e h u a n g 等【l 】发表正式文章介绍h h t 方法，并将h h t 用于分 析非线性系统，潮汐信号，海洋信号等，取得了良好的效果。 2 0 0 3 年，n e h u a n g 等【4 】提出归一化h h t ，对每一个i m f ( i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n ，固有模态函数) ，x ( f ) 进行归一化处理：( 1 ) 找出每个x o ) 的极大值点 序列；( 2 ) 用三次样条拟合极大值点序列，得到包络e ( ，) ；( 3 ) 用式c d ( f ) = 丢去 对x ( ，) 归一化。这样处理后，如果未出现“过冲”，c o ( t ) 的最大值将为l 。 2 0 0 4 年，p f l a n d r i n 5 6 j 臣过对分形噪声e m d ，结果表明e m d 近似为二 进滤波器。同年z w u 和n e h u a n g 7 通过对白噪声e m d ，也得出了类似p f l a n d r i n 的结果。 2 0 0 5 年，r c 。s h a r p l e y 和vv a t c h e v 8 9 1 给出了1 m f 与自伴常微分方程解 的联系，说明i m f 第一个条件与自伴常微分方程的解具有等价性。 浙江大学硕士学位论文 2 0 0 6 年，q c h e n 等【1 0 】用b 样条替代三次样条，提出基于b 样条的e m d 法，效果与原始e m d 具有可比性。 2 0 0 6 年，s r q i n 和ym z h o n g 1 1 ，为消除三次样条求e m d 包络引起 的“过冲”，提出用分段平均幂函数求e m d 包络。 相对于理论与算法，h h t 在应用方面取得了更快的发展。h h t 在气象学、 生物医学、结构力学、金融学、通信、信号处理、图像处理等许多学科都有成功 的应用。如1 9 9 8 年n e h u a n g 等【1 】在给出h h t 方法的同时，将h h t 应用于 分析非线性系统，海洋信号等；同年他们【1 2 】又将h h t 用于生物医学，分析血 压信号；1 9 9 9 年，n e h u a n g 1 3 用h h t 研究水波信号；2 0 0 1 年，n e h u a n g 1 4 】 将h i - i t 用于分析地震信号；2 0 0 2 年，d j p i n e s 1 5 1 将h h t 用于结构健康监视； 2 0 0 3 年，j c n u n e s 1 6 将二维h h t 用于图像分析；2 0 0 3 年，n e h u a n g 1 7 】 将h h t 用于处理金融时间序列；2 0 0 4 年，j n y a n g 1 8 将h h t 应用于桥梁 结构损害检测；2 0 0 5 年，z k p e n g 1 9 将h h t 应用于振动信号的分析。2 0 0 6 年，戴吾姣【2 0 】将h h t 应用于滤波去噪和g p s 多路效应。 1 2 h h t 基本思想、特点 1 2 1h h t 基本思想 h h t 是一种新的数据或者信号处理方法，可以处理非线性非平稳信号。n e h u a n g 等【1 】认为任何信号都是由基本信号固有模态信号或固有模态函数 i m f ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) 组成，i m f 相互叠加就形成复合信号。基于 这样的思想，他们提出h h t 分两个步骤，即： ( 1 ) e m d 。就是把复杂的信号用经验模式分解方法分解成若干阶i m f ： ( 2 ) h s a 。对i m f 进行h i l b e r t 变换，得到每一个i m f 随时间变化的瞬时 频率和振幅，虽后求得时间频率一一振幅的三维谱分布，称为h i l b e r t 谱。在 h i l b e r t 谱的基础上，通过积分可以再求边际谱。 正因为h h t 由上述两个步骤组成，刚开始n e h u a n g 他们称这种方法为 e m d h s a 。 h h t 的理论基础源于h i l b e r t 变换【2 l 】。h i l b e n 变换具有很好的理论价值， 浙江大学硕十学位论文 目前最广为学者接受的定义瞬时频率的方法也是借助h i l b e r t 变换。遗憾的是对 一个信号，借肋h i l b e r t 变换定义计算得的瞬时频率虽具有数学意义，但未必能 保证其具有物理意义，也就是可能产生负频率 2 2 1 。 n e h u a n g 的开创性贡献是提出e m d 法，将信号分解成一系列的i m f ， 对这些i m f 做h i l b e r t 变换，通过大量实例验证和近似证明，因所求相位函数递 增，对相位函数求导所得的瞬时频率为正，即能产生有物理意义的瞬时频率。 e m d 法大大拓展了h i l b e r t 变换在数据信号处理领域的应用。 1 2 2 h i l t 特点 与传统的信号或数据处理方法，如傅立叶变换 2 3 1 ，短时傅立叶变换【2 4 】， 小波变换1 2 5 2 6 相比，h h t 具有如下特点： 1 h h t 能分析非线性非平稳信号。 传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非稳的信号，小波变换虽 在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳 信号。历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚就是受平稳 性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。h h t 则不同于这些传统方 法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，非常适用于分析非线性非平稳信号。 2 h f i t 是完全自适应性的。 h h t 能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的i m f 。这点不同于傅 立叶变换和小波变换。傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容 性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。在实际工程中，如何选择小波基也 不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生很不一样的处理结果。我们也没 有理由认为所选的小波基能反映被分析数据或信号的特性。 3 h h t 不受h e i s e n b e r g 测不准原理 2 7 锘1 j 约。 傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受h e i s e n b e r g 测不准原理制约， 1 即时间窗口与频率窗1 2 1 的乘积必须不小于。这就意味着如果要提高时间精度就 2 得牺牲频率精度，反之亦然，不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信 号分析处理带来一定的不便。而h h t 不受h e i s e n b e r g 测不准原理制约，它可以 在时问和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。 浙江大学硕士学位论文 4 h h t 的瞬时频率是采用求导得到的。 傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择 好基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。h h t 不同于这些方法， 它借助h i l b e r t 变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。这样求出 的瞬时频率是局部性的，而不像傅立叶变换，它的频率是全局性的，也不像小波 变换，它的频率是区域性的。 1 3 h i - i t 主要问题 如1 1 所述，h h t 已经广泛应用于很多学科分支，并且取得了良好的效果。 与应用相比，h h t 在理论和算法方面则大为滞后，尤其在理论方面并没有什么 突破性进展，它的数学理论基础还远未完善。这点与傅立叶分析和小波分析的发 展很相似，傅立叶分析和小波分析也都是由应用推动的，先在应用取得巨大成功， 而后在数学家的长时问努力下理论趋于完善。傅立叶分析理论的提出是在1 8 0 7 年，但其理论完善却在1 9 3 3 年【2 8 】，经历了一个多世纪；小波分析在8 0 年代已 取得广泛应用研究，但直到1 9 9 2 年由于i d a u b e c h i e s 2 5 的工作，它的理论才近 乎完善。 与h h t 相关的问题也是难点，主要有如下几个方面： 1 i m f 的数学模型与判断 n e h u a n g 给出的i m f 定义是描述性的，即满足条件( 1 ) 零极点个数最多 相差1 ；( 2 ) 包络对称( 包络均值为o ) 。这样的描述显然不够理想，如何给i m f 以明确的数学模型? 文献 8 】给出i m f 第一个条件与自伴常微分方程的解的等价 性，但未给第二个条件以明细的数学模型。 在算法实现中，又如何判断一个函数或信号就是i m f ? 第一个条件较易实 现，第二个条件又如何实现? 2 包络问题 如何给所谓的包络以明确的数学模型? 用不同的包络算法就会产生不同的 i m f s ，如何判断包络算法的优劣? 再者，如何判断采用某种包络算法，e m d 是收敛( 即经过有限次“筛选” 获得有限阶i m f ) 的? 虽然大量的试验可表明e m d 是收敛的，也可以近似的证 4 浙江大学硕士学位论文 明若采用线性插值法求包络，e m d 是收敛的1 3 1 1 。但这个证明并不严格，又若 采用其他的包络算法，如三次样条，怎么证明它是收敛的? 3 端点问题 在应用e m d 方法时，如果不对端点进行相应处理，就会出现在端点附近上 下包络交叉的情况，这样就会使得均值出现偏移，对e m d 产生不良影响，使得 分解出的i m f 在端点附近产生失真。特别当数据序列较短时，还可能“污染” 到内部，使得i m f 失真更严重。这就又提出了一问题，如何解决端点问题? 1 4 本文主要工作 本文的主要工作如下： 1 推广所谓的分段平均插值法。 2 提出用分段平均拉格朗日插值法和细分三次样条插值法求e m d 包络， 并与传统e m d 包络算法进行比较。 浙江大学硕士学位论文 第二章h h t 简介 如第一章所述，h h t 包含两个步骤，e m d 和h s a 。本章分别对这两个步骤 做介绍，在介绍e m d 和h i l b e r t 谱分析之前，先介绍几个后面用到的概念，h i l b e r t 变换，瞬时频率和固有模态函数i m f 。 2 1 基本概念 2 1 1h i l b e r t 变换 定义2 1 厂f ( r ) ，1 p 在信号分析处理时，经常要计算两函数乘积的h i l b e r t 变换，为此引入 b e d r o s i a n 定理【3 2 】，如下： 定理2 if ，g r ( r ) ，f ，g 分别为f ，g 的f o u r i e r 变换，若j 口 0 ，使得 当i l 口时，厂( ) = o ，当i l 0 ，q 连续。 再介绍弱i m f 的概念。 在算法实施过程中很难满足定义2 2 中条件( 2 ) 的要求，即包络线的均值 很难为零。受此启发，r c s h a r p l e y ，v y a t c h e v 提出了弱i m f 的概念，弱i m f 只需要满足定义2 2 中的条件( 1 ) ，即： 定义3 2 v q ) ，f ( 日，b ) ，、l ，( f ) 在t ( 日，b ) 的极值点( 包括极大值和极小值) 个数为# e x t ，零点个数为# 2 e r ，称v ( t ) 为弱i m f ，若i # e x t 一# z e r 怪l 。 弱i m f 与自伴o d e 存在一定的联系，这就是以下定理所描述的。 定理3 1 v c 2 【口，b 】，l i ，是弱i m f 当仅当它是自伴o d e 浙江大学硕上学位论文 ( 脚+ 饼= 0 ( 3 2 ) 的解，其中系数p 0 ，q o 。 定理3 1 的详细证明可参照文献 8 。 由定理3 1 ，就可得到i m f 与自伴o d e 的关系，如下定理所述： 定理3 2 v c 2 【口，b 】，则l i ，是i m f 当仅当、l ，是自伴o d e ( 3 2 ) 的解，其 中系数p 0 ，q 0 ，i ；t v t ( a , b ) ，u ( o + m ) = o ，其中甜( ，) 、v ( ，) 为由极大值点、 极小值点定义的包络。 将定理3 2 与定义2 2 做比较，可发现定理3 2 给出了定义2 2 条件( 1 ) ( 即极值点与零值点个数至多相差1 个) 明确的数学模型，但遗憾的是并未给条 件( 2 ) ，( 即包络对称) 以明确的数学模型。事实上，定理3 2 由定理3 1 而来， 而定理3 1 中的弱i m f 就是放弃定义2 2 的条件( 2 ) 而得的。如何用严格的数 学术语定义包络也是一个悬而未决的问题。 3 1 2i m f 与振动模型 借助h i l b e r t 变换，i m f 可表成极坐标形式， c q ) = a ( t ) c o s o ( t ) ( 3 3 ) 但并非所有形如4 ( f ) c o s e ( ，) 的函数都是i m f ，必须满足一定的条件。 考虑振动模型 s ( f ) = a ( t ) c o s o ( t ) ( 3 4 ) 当口( f ) ；a o ，e ( ，) = c o t ，振动模型退化为简谐振动。这样形成的信号为平稳信 号，其瞬时频率处处相等。 借助振动模型，文献 3 4 1 提出了如下定义： 定义3 3 当式( 3 3 ) 满足条件： ( 1 ) 口( ，) 0 ( 2 ) e 1 ( f ) 2 0 ( 3 ) c ( o ( c o s o ( t ) ) 0 浙江大学硕士学位论文 则c ( f ) 为i m f 。 ( 1 ) 的物理含义是幅度信号口( ，) 必须为正，( 2 ) 要求相位递增，这就保证 了对其求导所得的瞬时频率非负，( 3 ) 要求口( f ) 相对于c o s o ( ，) 为缓变信号，其值 不影响c o $ o ( t ) 的单调性，c ( ，) 与c o s 8 0 ) 具有同向单调性。 上面的数学模型虽有物理含义，但是并不能证明定义3 3 所说的i m f 和定义 2 2 的i m f 是一回事，所以这也并未完全解决i m f 的数学模型、数学定义问题。 3 。2e m d 端点延拓 3 2 1 啪的端点飞翼 在应用e m d 方法时，不得不面对个问题，就是：要用三次条插值求上下 包络的过程中，如果不进行处理，在端点附近就会出现包络失真问题，如图3 1 。 图3 , 1 由图3 1 可见，在端点附近，信号的上下包络出现严重的失真，出现下包络 越过上包络的情况。 如果不对端部进行处理的话，就会使分解出的i m f 在端点附近就会产生失 真。这种现象就称为端点飞翼。特别是低频分量相对的i m f ，由于时| 日j 尺度大， 1 6 浙江大学硕士学位论文 极值间的距离大，端点效应还会传播到信号内部，尤其当原始信号数据集较短时， 会严重影响e m d 分解的质量，使分解出的i m f 没有实际的物理意义。 3 2 2 端点延拓 h u a n g 针对上述的端点飞翼闯题，提出用“特征波”对原始信号进行延拓的 方法，并且将该方法在美国申请了专利。这意味着如果要使用h u a n g 的方法就 要付费，给使用者带来不便。 国内外学者针对端点效应进行了研究，提出了各种解决方法，将这些方法统 称为端点延拓。 1 直接将端点作为极值点进行端点延拓 就是直接将当前待分析的数据端点作为极值点，这种方法最简单，也最直接， 但并不是很有效。 2 对称极值端点延拓 这种方法就是利用端点和极值点的关系，以端点或极值点为对称( 该对称指 以时问f = t o 对称，时间值f 改变，相应的信号值x 0 ) 不变，下同) ，在左右两端分 别添加两个极大值和极小值。文献【3 0 】就是采用这种方法，它的思想是：如果端 点值大于第一个( 如果是末端，则是最后一个) 极大值点值，则将端点视为极大 值点，同样的，如果端点值小于第一个( 如果是末端，则是最后一个) 极小值点 值，则将端点视为极小值点；以第一个出现( 如果是未端，就是最后一个出现) 的极值点为对称，将离之最近的两个( 如果是端点已被设为极大值点，只求一个 极大值点，相应的极小值也一样) 极大值点( 极小值点) 进行对称，求得的两个 点视为新极大值点( 极小值点) ，加入极大值点( 极小值点) 序列；如果延拓不 够再做相应处理。 这种方法比较有效，而且算法不难，计算复杂度也较低，受到广泛使用。 3 镜像闭合端点延拓 3 5 】 这种方法就是在信号的左右两侧具有对称性的极值点上各放一面镜子，这样 就可以得到长度为两倍镜内信号长度的周期性信号。若取一周期信号，将之首尾 浙江大学硕士学位论文 相接，就可形成环形的闭合曲线，经镜像延拓后的信号不含端点( 具有周期性) ， 为此将这种方法称为镜像闭合端点延拓。对其一周期信号进行处理，最后取出原 信号对应的数据点作为输出。 镜像闭合端点延拓的优点在于，由于闭合信号的无端点性，只需对端点进行 一次延拓处理，从理论上说，是从本质上解决e m d 端点的一个好方法。然而该 方法使用原始数据二倍的存储空间，而且在求各i m f 分量的每次“筛选”过程 中都要求出一个周期数据的上下包络，所需时间是求原数据包络时间的二倍。 3 神经网络端点延拓 3 6 】 用神经网络进行端点延拓，分两步，第一步是学习过程，第二步是延拓过 程。在信号两端分别产生两个极大值点和两个极小值点，将之加入极值点序列， 以便后面求上下包络。 该延拓方法效果不错，就是速度比较慢，而且对于不同的信号，适合的神 经网络模型也有所不同，所以使用起来并不方便。 图3 2 是图3 1 所示信号经过端点延拓后( 采用的是对称极值包络延拓) 求 出的包络图。 了。 图3 2 其上下包络相对图3 1 有了很大的改善，不再有上包络超过上包络的情形 1 8 浙江大学硕士学位论文 3 3 e m d 的滤波特性 3 3 。1 啪滤波原理 对一信号进行e m d ，可以得到一序列( 有限阶) i m f ，并且下一阶i m f 比上 一阶i m f 频率小，所以可以把信号的e m d 过程理解为信号的多分辨率滤波过程 3 7 。 借助e m d 过程，可以构造一种新型的滤波方法，如下： 对一信号x ( f ) 进行e m d ，设分解的结果如( 2 9 ) 所示，即 j ( f ) = c a t ) + ( f ) 其中，c ，( f ) 为i m f ，；( ，) 为残余信号。 x ( f ) 的低通滤波结果可表为： 屯( f ) = c a t ) + ( f ) 工o ) 的高通滤波结果可表为： i 妇o ) = q ( f ) j - l x ( f ) 的带通滤波结果可表为： k b ( f ) = q ( f ) ( 2 9 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 用e m d 滤波的优点是：滤波后的结果能够保留信号本身固有的非线性非平稳 特征。并且，该方法是基于信号的局部性实现的，因此具有自适应性强，对数据 类型没有限制的特点。 3 3 2e i i d 去噪原理 一个信号被加性噪声所污染，其模型可表为如下形式： 工( ，) = s ( o + p ( ，) ( 3 8 ) 9 浙江大学硕士学位论文 其中，s ( f ) 为原始信号，e ( ，) 为噪声信号，f ) 为含噪信号。 因为在实际工程中，很多噪声为高斯白噪，下面以高斯自噪讨论。 对信号去噪实质上是抑制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。 就是要从x ( f ) 中还原出s ( ，) 。 文献 7 对高斯白噪声进行e l d ，经过大量的数值试验后，提出了“高斯白 噪声信号的i m f 分量的能量密度与其平均周期的乘积为一常量”，即 e n = c o n s t ( 3 9 ) 其中，e = 专善k u ) 】2 ，i = 丽2 n 其中乞为第拧个i m f ，# ( ) 为厶的极值点总数。 文献 5 】也得出了类似的结论。 另外，文献 7 通过大量的试验，还发现了一个有趣的规律：高斯白噪声经 e m d 后，下一阶i m f 的平均周期约为上阶i m f 的两倍，即： 瓦+ i a 2 t 一 ( 3 1 0 ) 上面论述表明，可以认为噪声经e m i ) ，大多存在于低阶i m f 里；而实际工程 中原始、未被污染的信号一般为低频或平稳信号。基于这样的思想，可以用将被 含嗓信号工( r ) 进行e m d ，取其后几阶i m f 及残余信号，迸行累加，形成重构， 如( 3 5 ) 所示： 扎( f ) = c a t ) + ( ，) 3 3 3e n d 去噪性能 ( 3 5 ) 经典的去噪方法有：f o u r i e r 去噪、小波去噪。众所周知，小波去噪比f o u r i e r 去噪性能好，能克服f o u r i e r 去噪的一些不足。所以我们只将e m d 去噪与小波 去噪比较。 先介绍小波去噪的原理。小波去噪方法与e m d 去噪方法基于类似的思想， 即：通常噪声表现为高频信号，而实际工程中原始信号通常为低频信号或者比较 浙江大学硕 学位论文 平稳的信号。噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，从而，可利用门限阈值 等形式对所分解的上波系数进行处理，然后对信号进行小波重构，即可达到信号 去噪的目的。 小波去噪可分为如下的三个步骤： ( 1 ) 信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计 算。 ( 2 ) 小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一 个阈值进行阔值( 一般是软阈值) 量化处理。 ( 3 ) 一维小波重构。根据小波的各层系数进行重构。 关于小波去噪，可以参看文献 3 8 4 3 。 下面以正弦信号叠加高斯白噪为例，对其进行去噪仿真。采用三种去噪方法： h a a r 小波去噪，s y m 8 小波去噪，e m d 去噪去噪。对噪声强度为o 5 d b ，l d b ， 2 d b 分别进行仿真。结果如下： ( a ) 浙江大学硕上学位论文 曩慧信号 e ! 三z 圈 。和珊锄 咖h | j 小芸数信号卸 蛐1 锄1 皿揶 h | j 巾蠛舌囔信号 o”o。 “s y m s 十嚣哇镕号8 1 0 1 。1 ” 最云囔碍号 r 、八，。一 o”o。 。_ d 器号“ 1 “ ”4 最蜡信号 孙竣去 o d o 击囔信号 图3 3 e m d 去噪与h a m 、s y m $ 小波去噪比较 ( a ) 噪卢强度o 5 d b ( b ) 噪声强度i d b ( c ) 噪声强度2 d b 浙江丈学硕十学位论文 从图3 3 较难比较三种方法去噪性能。为此我们求出了去嗓前后的信噪比 噪声强度去噪方法去噪后s n r去噪后s t d 0 5 d bh a r t1 9 1 2 90 7 0 1 1 3 s n r ：1 0 6 2 s y m 8 1 9 5 5 30 7 0 1 8 4 s t d ：0 7 2 8 2 7 e 】d1 9 8 4 40 7 0 1 7 5 1 0 d bh a l t1 8 3 2 3o 7 1 2 6 3 s n r ：1 0 0 3 3 s y m 8 1 8 4 8 30 7 1 3 8 s t d ：0 7 4 3 e m d1 8 7 9 70 7 1 2 9 4 2 o d bh a r t 1 7 4 9 io 7 2 6 0 4 s n r ：8 7 2 8 6 s y m 8 1 7 6 9 80 7 2 6 3 8 s t d ：0 7 6 5 6e m d 1 8 4 5 3o 7 2 5 卯 表3 1 e m d 去噪与h a a r 、s y m 8 小波去噪结果比较 从表3 1 可以看出，三种方法都能有效抑制噪声，信噪比都有所增加，标准 差都有所下降( 光滑性有所提高) 。在提高信噪比方面，s y m 8 小波优于h a a r 小 波，e m d 方法比两者都好，特别是在噪声强度加大的情况下，这种优势更加明 显；丽在光滑性方面，h a a r 小波优于s y m 8 小波，当噪声强度较低时，e m d 方 法介于两者之间，随着噪声强度的增强，e m d 方法逐渐与h a a r 小波相当，甚至 超过h a r t 小波。 通过上述的仿真实验，选择不同的小波，去噪效果可能不同。对一般的工程 师，如何选择合适的小波有些困难。而e m d 去噪不同，它是完全自适应的，没 有必要事先选择“基”函数，同时它适用于非线性非平稳的信号，去噪性能良好。 浙江大学硕士学位论文 第四章插值与细分 为方便下章讨论e m d 的包络算法，本章介绍插值与细分相关知识。 4 1插值 插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重要数值方法，它用简单函数 ( 特别是多项式或分段多项式) 为各种离散数组建立连续模型，为各种非有理函 数提供好的逼近方法。关于插值的知识可参阅文献 3 9 4 0 。 4 1 1 插值基本概念 定义4 1 假设函数y = f ( x ) 在区i 日j 陋，b 】上有定义，且已知在点 口s 而 葺 矗6 上的值拼，只，若存在一个简单函数j p ( 工) ，使 尸( ) = 只， f = o ，1 ，一 ( 4 1 ) 成立，则称函数，( 工) 为插值函数，点x o ，而，毛为插节点，点 ( ，) ，( 毛，乃) ，( ，只) 为插值点，包含插值节点的区间【口，加为插值区间，求 尹( 力的方法为插值法，厂( 力为被插函数。 若p ( x ) 是次数不超过疗的多项式，用只( x ) 表示，即 只0 ) = 口0 + a j x + + ， ( 4 2 ) 则称只( 力为n 次插值多项式，相应的插值法为多项式插值。 若p ( x ) 为分段多项式，称相应的插值法就为分段插值。 图4 1 2 4 浙江大学硕士学位论文 关于插值多项式的存在唯一性有如下定理： 定理4 1 设节点 而 矗，则满足( 4 1 ) 的多项式存在且唯一 这个证明比较简单，不再详述。 4 1 2 拉格朗日( l a g r a n g e ) 插值 义。 拉格朗日插值多项式是以基函数形式给出的，因此有必要先介绍基函数的定 定义4 2 若h 次多项式z ( x ) ( ，= 0 ，1 ，聍) ，在n + 1 个节点而 五 上满足条件： l j ( x k 心= 做m 蛳卅 s ， 则称这n + 1 个玎次多项式l j ( x ) ( j = o ，1 ，疗) 为节点x o ，一，上的胛次插值 基函数。 值得注意的是，插值基函数与被插函数f ( x ) 无关，而仅与插值节点 x o x t ，矗有关。 满足( 4 1 ) 的插值多项式可用插值基函数的线性组合来表示，就是拉格朗 日插值多项式。 定理4 2 厶( 功= 炸毛( x ) ( 4 4 ) 为满足( 4 1 ) 的插值多项式。 证：由( 4 3 ) 可很容易得到，厶( _ ) = 儿( t ) = 只，j = o 1 ，刀 定义4 3 称( 4 4 ) 为满足( 4 1 ) 的拉格朗日插值多项式。 特别地，当 = l 时，称( 4 4 ) 为线性插值；当刀= 2 时，称( 4 4 ) 为二次 插值或线性插值。如图4 2 所示。 浙江大学硕士学位论文 图4 2 由定理( 4 1 ) 、( 4 2 ) ，我们可以得到关于插值基函数的一个定理： 定理4 3 设乇( 碛( x ) ，( x ) 是由插值节点x o x t 0 ，使得口 l 厂“ ) 1 - - - m ， q xe ( u ，则有余项估计 圳志h - ( 圳 ( 4 7 ) 拉格朗日插值公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时 全部插值基函数均要随之变化，整个公式也发生变化，这实际计算中很不方便， 为了克服这一缺点，学者又引入了牛顿插值公式。在这不详细介绍，可参看文献 浙江大学硕士学位论文 3 9 。 4 1 3 三次样条插值 随着插值节点增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带 来剧烈振荡，带来数值不稳定，称这种现象为“龙格( r u n g e ) 现象”。 龙格给出的例子是厂( x ) = _ 与，插值多项式l a x ) ，他证明了，存在一个常 l + x 。 数c a 3 6 3 ，使得当卜i c 时， 厶( 羔) ) 发散。图 4 3 为) ，= 厶。( x ) 与y = i 在 一5 ，5 上的图形： 一 ) o l t i 一1 5 i i i j l i l i 1 0 ，i 澎 ： y # 戏，) i 0 d 一 图4 3 龙格现象 解决龙格现象的办法，就是采用分段低次插值。典型的分段低次插值有分段 线性插值，分段三次埃尔米特插值，三次样条插值。在这只介绍三次样条插值， 有关其他的分段低次插值可参看文献 3 9 4 0 。 三次样条是由工程需要而产生的。先介绍三次样条定义。 定义4 4 若函数s ( 力满足： ( 1 ) s ( x ) c 2 【a ，b 】 ( 2 ) s ( x ) 在每个小区间h ，t + 。】是三次多项式 其中口= x o = b 是给定节点，则称s ( 曲是节点x o ，一，而上的三 次样条函数。 再给出三次样条插值函数的定义。 浙江大学硕士学位论文 定义4 5假设函数y = f ( x ) 在区间【口，b 】上有定义，且已知在点 a _ x o 王 毛矗上的值乃，咒，若存在三次样条函数双砖满足条件： s ( t ) = y ，f = 0 ，l ，n ( 4 8 ) 则称s ( 曲为三次样条插值函数。 根据三次样条定义可确定3 ( n 一1 ) 个条件，即： s ( - o ) = s ( + o ) ，s ( 一o ) = s ( 4 - o ) ， s 。( t o ) = s ( + 0 ) ，i = 1 ，2 ，n - 1 ( 4 9 ) 而( 4 8 ) 确定了n + 1 个条件，为确实s ( x ) 就再需要2 个条件。 通常的做法是在区间 a , b 】的端点口= x o ，b = 各加上一个条件，称为边晁 条件。常见的边界条件有下面三种形式： ( 1 ) 已知两端的一阶导数值，即 s ( h ) = ，s ( 矗) = ( 4 1 0 ) ( 2 ) 已知两端的二阶导数值，即 s 。( 而) = f o