（应用数学专业论文）环上矩阵的等价及其分类.pdf

摘要 本文首先通过z p z ( p 为素数) 上矩阵的等价标准形给出了z p z 上矩 阵的等价分类，并给出了每个等价类( 轨道) 内元素的个数，这一结果很方 便的推广到有限域上。 其次通过任意合数的素数分解，得到了z q z ( q 为任意合数) 上矩阵的 等价标准形，并由此给出了z q z ( q 为任意合数) 上矩阵的等价类的计算公 式，由于彩譬z 中含有有限个零因子，因此这一计算公式也给有限交换环上， 甚至含有有限个零因子的无限交换环上矩阵等价类个数的计算提供了方法。 再次通过引进多元母函数解决了多个限制条件下整数拆分的拆分数的计 算问题，这一方法是利用母函数求解递推关系的延伸和推广。同时将z p z ( p 为素数) 上矩阵的相似关系所诱导的相似类的个数的计算问题转化为两 个限制条件下整数的拆分问题，并利用多元母函数使这一问题得到了圆满的 解决，并将这一方法应用于z x p z 上矩阵的等价分类问题。，得到了在行列 式次数固定条件下z x j p z _ 1 = 矩阵的等价类的计算公式。 最后给出了欧氏环和主理想环上矩阵的等价标准形。 关键词：矩阵：环；等价；等价类 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h en u m b e ro ft h ee q u i v a l e n c ec l a s s e so fm a t r i xo nt h er i n g z p zw a sf i r s t l yg i v e rb yt h em a t r i x se q u i v a l e n c en o r m a lf o r mo nt h er i n g z 够a n dt h en u m b e ro fm a t r i x e si ne v e r ye q u i v a l e n c ec l a s s ( o r b i ow a s c o m p u t e d t h i sc o n c l u s i o nc a r lb eg e n e r a l i z e dt of i n i t ef i e l d t h ee q u i v a l e n c en o r m a lf o r mo nz p z ( h e r eqi sa n yi n t e g r a ln u m b e r ) w a s f o u n db yd e c o m p o s i n gt h ei n t e g r a ln u m b e ri n t om u l t i p l i c a t i o no fp r i m ef a c t o r ，a t t h es a m et i m et h ef o r m u l aw h i c hc a l lc o m p u t et h en u m b e ro ft h ee q u i v a l e n c e c l a s s e so n z p z w a sf o u n d t h e r ea r ef i n i t en u l ld i v i s o r si nz 形，s ot h i s f o r m u l ap r o v i d e st h em e t h o dt oc o m p u t et h ee q u i v a l e n c ec l a s s e so na n yf i n i t e c o m m u t a t i v er i n go ra n yi n f i n i t ec o m m u t a t i v er i n gw h i c hh a v ef i n i t en u l ld i v i s o r s t h en u m b e ro ft h es p l i to ft h ei n t e g r a ln u m b e rw h e ni th a sm o r et h a no n e r e s t r i c tc o n d i t i o nw a sc o m p u t e db yi n t r o d u c i n gt h ep a r e n tr u n i o no fm a n y v a r i a b l e s t h i sg e n e r a l i z e dt h em e t h o d st h a tr e s o l v er e c u r s i v er e l a t i o nb yt h e p a r e n tf u n c t i o no fo n ev a r i a b l e a tt h es a m et i m e ，t h en u m b e ro f s i m i l a rc l a s s e so f m a t r i xw h i c hi si n t r o d u c e db yt h es i m i l 缸r e l a t i o no fm a t r i xw a sc o m p u t e d ，w h e n t h i sq u e s t i o nw a st r a n s f o r m e dt h eq u e s t i o no ft h es p l i to ft h ei n t e g r a ln u m b e r w h i c hh a st w or e s t r i c tc o n d i t i o n s ，a n dt h i sq u e s t i o nw a sq u i t er e v o l v e db yt h e i n t r o d u c t i o no f t h ep a r e n tf u n c t i o no f m a n yv a r i a b l e s t h i sm e t h o di sa l s oa p p l i e d t oc o m p u t et h en u m b e ro ft h ee q u i v a l e n tc l a s s e so nz x p z ，a n dw h e nt h e d e g r e eo fd e t e r m i n a n ti sc o n s t a n t , t h ef o r m u l at oc o m p u t et h en u m b e ro ft h e e q u i v a l e n c ec l a s s e so nz x p z i sf o u n d ， a tl a s t ，t h em a t r i x se q u i v a l e n c en o r m a lf o r mo nt h ee u c l i d e a nr i n ga n do n p r i n c i p l ei d e a lr i n gi sf o u n d k e y w o r d ：m a t r i x ；m n g ；e q u i v a l e n c e ；e q u i v a l e n c ec l a s s e s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的 指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、 数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对 应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 作者( 签字) ：跹 日期：纱昭年月2 , oe t 第1 章绪论 1 1有限局部环上矩阵分类研究的意义 有限局部环上矩阵分类与应用研究属于环上典型群及其应用研究领域， 实际上是有限域上典型群几何学的继续和发展的重要内容之一。典型群特别 是环上典型群在矩阵几何与代数一七理论等诸多方面有着重要应用，特别是 剥用有限典型群几何学的有关结果，可以构作多个结合类的结合方案和验证 码等，有很好的应用背景和重要价值。因此对有限局部环上矩阵分类与应用 研究具有重要的理论和实际意义。 有限局部环上矩阵分类和应用研究的立足点是有限局部环，它的研究与 万哲先过去的有限域上典型群的几何学的研究完全不同，重要的区别是研究 对象和方法不丽，研究的难度也不同。首先体现出来的是这种环里有非零因 子，故在其中元素与元素的乘法及元素和矩阵的乘法都不满足消去律，导致 了在这种环上一个含有不为零的公共零因子的矩阵，可以写成同一个不可 逆元与多种形式的不同矩阵的乘法，这也是局部环区别于一般的整环和域的 重要特征，它也是使所研究的问题变得复杂的原因之一。另外，有限域上典 型群的几何学最典型的研究方法是几何空间理论方法，在实际研究中发现这 一重要方法在解决有限局部环上矩阵分类和应用问题时行不通。因此需要结 合这种环的特点，建立起一套适合这种分类及应用问题的数学方法，进行再 创造。故丌展这类问题的研究，是典型群应用研究的继续和发展的内容之一。 这方面的研究结果将为丰富和完善环上典型群的应用和代数组合论方面的内 容起着应有的重要作用。 1 2 环上矩阵分类及相关领域研究的历史与现状 自1 9 4 8 年来。以华罗庚、万哲先等为首的中国典型群学派，在典型群研 究方向做出了卓越的成就，6 0 年代万哲先开创的有限域上典型群几何学及万 与霍元极在子空间轨道生成的格的研究工作特别是9 0 年代至近期，游宏在 哈尔滨下程大学硕士学位论文 典型群的s y l o w s 子群等方面的工作，南基洙和游宏在研究典型群中特殊元素 的分类工作，李尚志和王登银等在典型群子群结构方面的工作，对有限局部 环上矩阵分类与应用研究提供了良好的理论基础和可以借鉴的研究方法。 首次在有限局部环上研究矩阵分类的开拓者是游宏教授和南基洙教授， 他们在文 6 中给出了环z p z 上所有m x h 矩阵集合的一个等价分类的初 步结果。随后，很多数学工作者研究了一些特殊矩阵集合( 如交错矩阵、对 称矩阵等) 的分类，如文 1 0 、 1 1 、 1 2 、 1 3 分别研究了有限局部环上 斜对称矩阵、交错矩阵、对合矩阵等的标准形及其应用。这一方面是典型群 的有限几何学研究所必需的；另一方面这些结果在构作验证码、结合方案和 区组设计方面有着重要的应用；更重要的是对一类特殊矩阵集( 如交错矩阵、 对称矩阵或s 次幂等矩阵) 的合同( 或共轭) 分类，难度更大，对所需要的 矩阵计算方法和技巧及它们与组合方法、映射方法等相结合的程度要求更高， 当然所得结果和应用范围也完全不同，因此对此类问题的研究，解决问题的 数学方法和内容都是我们研究的另一理论意义所在。 1 3 本文的主要工作 本文首先通过z p z 上矩阵的等价标准形给出了z p z 上矩阵的等价分 类，并给出了每个等价类( 轨道) 内元素的个数。其次简化了游宏教授和南 基洙教授的有限局部环z p 2 z 上矩阵等价分类的结果，然后将该结果推广至 z q z ( q 为任意整数) 上，从而彻底解决了z q z ( q 为任意整数) 上矩阵 的等价分类问题，并计算了一定条件下z e x p z 上矩阵的等价分类问题。最 后通过引进多元母函数概念，给出了在多个限制条件下整数的拆分数的计算 公式，由此计算了z p z ( p 为素数) 上矩阵的相似关系所诱导的相似类的 个数，最后给出了欧氏环和主理想环上矩阵的等价标准形。 f 尔演丁程大学硕七学位论文 2 1 环的基本概念 第2 章环嘲 定义2 1 ：一个非空集合尺，假如它有两种结合法，一种叫做加法( 用 记号+ 表示) ，一种叫做乘法( 用记号。表示，有时候可省略) ，并且还满足 下面三个条件，就叫做环： ( 1 ) 对于加法成交换群，叫做的r 加群； ( 2 ) 对于乘法成半群，叫做r 的半群； ( 3 ) 乘法对于加法具有分配律，即对于任意三元a , b ，c 有 a ( b + c ) = a b + a c 。 于是，环是这样的代数系，其中任意两元对于加、减( 加法的逆运算) 、 乘三个结合法能够任意施行。一个环如果又满足交换律，即a b = b a ，就叫做 交换环。同群的情况一样，元素是有穷的环，叫做有穷环，否则叫做无穷环。 我们知道z z = o ，l ，疗一】) 是加群，它的加法是a + 6 = 口+ 6 。现在我 们来规定它的乘法为a b = a b ，也就是说，当a b ；c ( ) 时，a b = c 。这一规 定是良好的，因为假如a ；4 ( h ) ，b ；6 ( 月) ，那么a b = a b ) 。我么容易证 明z 月z 对于乘法成为半群，并且对加法还具有分配律，因此它成为胛元交换 环，0 是零元，1 是它的单位元。 环r 的子集s ，假如对于r 的两种结合法又形成为环，那么s 就叫做r 的 子环，r 叫做s 的扩张环。环的一个子集成为子环，只要它对加法成群，对 乘法是闭合的就行了，因为其它条件显然都适合。环可以看成是自身的子环， 异于自身的子坏叫做真子环。 有穷环显然只能有有穷个子环。反过来也成立，即一个环如果只有有穷 个子坏，那么这个坏是有穷环。 上面说明了环以及子环的定义，并且给出了一些例子，现在我们来讨论 环的一些基本概念以及基本性质。 晴尔滨t 程大学硕十学位论文 因为环r 对于加法成群，也就是说r 是加群，所以我们把它的单位元写 成为零元0 ，元a 的逆元写成a 的负元一a 。在环中用加法表示的各种性质， 也就是加群的各种性质，出群直接推得。下面是与乘法有关的各种性质。 零元以及负元在加法中的地位由加群的性质已经很清楚，它们与乘法的 关系有 1 90r a a00 2 9 ( - a ) b = a ( - b ) = - a b ，( 一口) ( 一6 ) = a b ， 此外，我们容易知道， c ( a - o ) = c a 一曲，( 口- b ) c = a c - b c 这就是漉，在环中对于减法的分配律也是成立的。 假如口是环r 中元，如果r 中有一元b o 存在，使a b = 0 ( b a = o ) ，那 么a 就叫做r 的左( 右) 零因子，有时a 又叫做b 的左( 右) 零化元。假如e 1 0 ， 那么b 是r 的右零因子。因此r 中非零的左右零因子是成对出现的。一元如 果是左零因子，同时又是右零因子，就叫做零因子。假如a 是震的零因子， 那么月中有非零元6 ，c ，使a b = 0 ，c a = 0 ，但b ，c 不一定相等。环r 中元a 如 果不是r 的左、右零因子，就叫做正则元，非零环中的零元是当然的零因子。 一般，环中除零元外，可能还有其他的零因子。 定义2 2 ：假定环r 中除零元外既没有左零因子，也没有右零因子，那 么r 就叫做无零因子环：交换无零因子环又叫整环。 显然环成为无零因子环的充分必要条件是对于其中任意两元4 ，b ，如果 a b = 0 ，那就有a = 0 或b = 0 。再假如五是无零因子环。由a b = a c 或b a = c a ， 当a 0 时，就得到b = c ，这是因为a ( b c ) = 0 或( 6 一c ) = 0 ，而口0 ，所 以b c = 0 ，即b = c 。因此，在r 中乘法的消去律成立。反过来，假如在环r 中乘法满足消去律，如果其中的两元a , b 的积口6 = o 而a 0 ，就得到b = 0 ， 因此只是无零因子环。于是我们又得知，环成为无零因子环的必要充分条件 是它满足乘法消去律。 要注意的是无零因子坏不只是没有零因子的环而且是没有左零因子也没 有右零因子的环。 环中元a ，如果a ”= 0 ，这里n 是正整数，那么a 叫做幂零元。零元是幂 4 喻尔滨t 程大学硕f ：学位论文 零元，非零的幂零元是零因子。显然，在无零因子环中零元是唯一的幂零元， 它没有非零的幂零元。但是，反过来不一定成立，即在不含非零元的幂零元 的环中可能有零因子。譬如，在z 6 z 中，2 ，3 ，4 都不是幂零元，但却都是零 因子。 。 下面讨论环中乘法的单位元及逆元。 我们知道，环对乘法可能只成为半群，所以在环的定义中，并不要求对 乘法要有单位元，但在许多环中往往有这种元的存在。 定义2 3 ：假如环r 中有元e 。( p 。) ，它对于r 中的任意元口有 e 。n = a ( a e 。= 口) ，那么e l ( ) 就叫作r 的左( 右) 单位元。假如r 中有元e ， 它既是左单位元又是右单位元，即对于r 中任意元口有e c l = a e = 口，那么e 就 叫做r 的单位元，这时r 叫做有单位元环。 要注意的是，假如环有单位元，并且它的子环也有单位元，这两个单位 元不一定一致。譬如，所有形如 嘲， 口是整数的矩阵成为z ：的子环 显然lj jl 是它的单位元，而不是z ：的单位元。但环的零元与子环的零元是 一致的。在异于零的环中，单位元不是零元。 假如环r 有左单位元8 p 同时又有右单位元，那么， e l e 2 e l2 也就是说，e ，或e 。是r 的单位元。因此在有单位元的环中，左单位元就 是右单位元，所以单位元是唯的。在没有单位元的环中，左单位元，右单 位元不能同时存在。假如环r 只有一个左单位元8 p 那么e ：就是胄的单位元， 这是因为对于胄中任意元口，显然e l + 口e ，一口又是置的左单位元，所以，因此 吼+ 口e l a = e ，a e = 口，这就是说，气又是r 的右单位元，所以它是r 的 单位元。 一个环可能有不只一个左单位元而没有右单位元，同样也可能有不只一 个右单位元而没有左单位元。 环中元口，如果口2 = 4 ，那么就叫做幂等元。显然，左( 右) 单位元是 幂等元。零元当然满足上面幂等元的条件，但是我们不把它看成幂等元，因 晴力：渍t 程大学硕t 学位论文 此我们所说的幂等元是异于零的元。幂等元可能是零因子。因此，幂等元不 一定是单位元，假如幂等元e 不是左零因子，那么它就是左单位元，这时因 为，从e 2 = e ，我们有e z a = e a ，即e ( e a 一4 ) = 0 ，所以e a = a ，同样假如e 不 是右零因子，那么e 就是右单位元。因此如果e 是正则元。那么它就是单位元。 于是在无零因子环中，左( 右) 单位元都是单位元，假如它有幂等元，因为 幂等元是单位元，那么单位元就是唯一的幂等元了。 纵然环r 有单位元e ，但当a r 时，对乘法，a 也未必有左( 右) 逆元。 定义2 4 ：假设r 有单位元e ，对于r 中元a ，如果有元口：1 0 ；1 ) 存在， 使a 2 1 a = e ( a a - r = e ) ，那么a 2 ；) 就叫做a 的左( 右) 逆元。如果有元a ， 它既是a 的左逆元又是口的右逆元，即a - l a = a a 一= e ，那么a 。就叫做a 的 逆元。 在有单位元的环中，每一元未必都有逆元。有逆元的元，叫做可逆元。 如果a 有逆元a ，那么a 。的逆元就是a ：再如果口有逆元a ，b 有逆元b 一， 那么曲的逆元就是b 。1 a 一，即 如o ) 一= a，( d 6 ) 一= b “a 一 零元围然没有逆元，就是零因子同样也没有逆元。这时因为，假如a 是 零因子，a b = 0 ，b 0 ，如果口有逆元a 一，那么口。a b = 0 ，于是b = 0 ，这与假 设不合，所以a 没有逆元。因此，如果a 有逆元，那么它是正则元，就不是 零因子。 假如a 是幂零元，a ”= 0 ，当然a 没有逆元，如果环r 有单位元1 ，那么 l a 是可逆元，这时因为 ( 1 一a ) o + a4 - + a ”1 ) = ( 1 + 以+ ，- + 口肛1 ) ( 1 一口) = l 同单位元的性质类似，如果口有左逆元口：1 ，同时又有右逆元口_ l ，那么 它就有逆元a 1 = 口- l = n i ，这是因为 4 ：1 = d ：1 e 2 口彳a a - r 1 = e a - r 1 = a - r 1 因此，一个元a 如果有逆元，它的左逆元就是它的右逆元也就是逆元， 所以它的逆元是唯一的。一元可能有几个左逆元而没有右逆元，同样也可能 有几个右逆元而没有左逆元。一个元如果只有一个左逆元，那么它就是右逆 元，因此它就有逆元。这是因为，假如有口：1 ，由似f + 纰 一e ) a = e ，我们就 有口i + 4 ：。一e = a 2 ，即a a - l = e ，所以口：也是右逆，因此口“就是逆元。假 6 如一元有一个以上的左( 右) 逆元，那么它就有无穷多个左( 右) 逆元，但 在无零因子环中，如果：1 ，口；有一个存在，那么另一个也存在。 2 2 多项式环 普通代数中讨论的多项式，它的系数都是实数或复数，现在我们把这个 概念推广到一般情形。 定义2 5 ：假定r 是有单位元1 的环，x 是记号，也就是未定元，那么 形如下面的表达式 ( 神= a f = a o x 。+ q 石+ 口。x “，a ，r ( 2 一1 ) 叫做环r 上的多项式，或者简称为x 的多项式，a i 叫做它的系数。 首先我们规定，在厂( 工) = q 工中，当口，= o 时口工就可以略去不写， 也就是说，在一个多项式中，我们可以任意增加或减少系数是零的项。环上 两个多项式的相等以及它们的加法、乘法，和普通代数中多项式的计算法则 相似。 我们很容易证明，r 上所有工的多项式形成一个环，口q 做添加未定元x 于 r 形成的环，或者叫做胄上x 的多项式环，或简称x 的多项式环，用记号r x 】 表示。这时系数都是零的多项式是它的零元，多项式a 一的负元是 ( 叫，) 石，使 寻系数n ，0 的l 中最大数，叫做多项式的次数。譬如在( 2 - 1 ) 中，如果a 。0 ，那么f ( x ) 就是聆次的，这时，a n x 4 就叫做f ( x ) 的首项。一 个零次多项式是如a o x o ，a 。o 形状的。如果多项式的所有系数都是零，那么 它就没有次数了。因此r x 】的零元就是没有次数的多项式。 我们知道x 】是r 的扩张环，当然埘z 】不具备r 的一切性质，但它也保 持r 的某些性质。显然，r 的单位元1 就是趔工】的单位元，假如r 是交换环， 那么r x 也是交换环，此外我们还有 定理2 1 假定r 是整环，那么r x 】也是整环。 我们知道，假如r 是无零因子环，( 工) ，g ( x ) ，是r 【工】中次数分别为栉，m 的多项式，那么，( 工) g ( 石) 就是研工】中n + m 次多项式。当r 有零因子时，研茗】 显然也有零因子。关f r x 的零因子，1 9 4 2 年麦珂曾经证明这样一个性质， 假定r 是交换环，那么，( 工) 是r 【工】的零因子的必要充分条件是r 中有一非零 元口，使得矿( j ) = 0 。但要注意的是当胄不是交换环时，这个定理是不成立 的。 下面我们来讨论关于r x 】的欧几里得( e u c l i d ) 法式。 假定 f ( x ) = + a t x + + a 。石4 ，a 。0 是r x 】中任一多项式，又 g ( x ) = b o + 岛x + + 6 。一l 工”1 + 工册 是只【x 】中另一多项式，它的首项系数是1 ，那么在r 【x 】中就有两个满足 ，( 工) = g ( 工) g ( 刁+ ，( 石) ( 2 2 ) 的多项式g ( z ) ，r ( x ) ，这时q ( x ) 叫做g ( x ) 除f ( x ) 的右商，r ( x ) 是次数小 于m 的多项式或零元，叫做g ( z ) 除，( 工) 的右余式，假如g ( x ) 的次数大于，( 工) 的次数，我们取口( 工) = 0 ，( 工) = f ( x ) ，那么( 2 2 ) 就显然成立；假如g ( x ) 的 次数不大于( 工) 的次数，我们可以自，( 石) 减去a # x g ( x ) ，在得到的多项式 ( z ) 一口。工一g ( 工) = ( 工) 中，石4 的系数是零元，所以它的次数小于n 。如果( x ) 次数大于小，我 们可以再用同样的方法，自 ( 力中减去g ( x ) 的倍数，这样继续下去，在有限 步后，一定可以得到一个多项式r ( x ) ，它的次数小于掰或者是r ( 力= 0 ，因此 ( 2 2 ) 式成立。 如果r 是体，g ( x ) 的首项系数就可以是任意元k o 而不必要求是1 t 因为对于g o ) ，我们有 1 ，( 工) = q ( x ) g ( x ) + r ( x ) ， 把g ( 看成( 2 2 ) 式中的g ( 工) ，那么( 2 2 ) 式显然成立。 喻尔征t 程大学硕士学位论文 同上面样，在r x 1 中有满足 厂( j ) = g ( x ) q 。( 石) + r o ( x ) ( 2 3 ) 的多项式q o ( x ) ，t o ( 曲，这时q o ( 叫做占( 力除( 功的左商，( 功是次数 小于m 的多项式或是零元，叫做g ( x ) 除f ( x ) 的左余式。当r 是交换环时，右 商也是左商，右余式也是左余式，这时我们就简称为商及余式。当r 是无零 因子环时，( 2 - 2 ) 式中的g ( 工) ，r ( x ) 及( 2 3 ) 式中的g 。( x ) ，r o ( x ) 都是唯一的。 上面( 2 - 2 ) ，( 2 - 3 ) 两式，我t f f p q 做欧几里得法式，或简单的叫做欧氏法式。 同普通代数中讨论的一样，当r 是域时，r x 】中多项式f ( x ) ，g ( x ) 的最 大公因式d ( x 1 可以引用欧氏法式求得，并且 d ( 工) = “( 工) 厂( 工) 4 - v ( x ) g ( 功，“( 工) ，v ( j ) r 胡， 因此d ( x ) 是r x 】中元。 2 3 理想 我们知道，环r 关于它的子环的同余加群胄= 最一是所有同余类 a a t n = 口的集合，因为当a a t ( ) ，b ；6 ( ) 时，a + b ；a + 6 ( | ) ，所以我 们可以规定口，b 的和为a4 - b = a + 6 。要希望r 成环，首先还要规定口，b 的积。 同2 1 中石的情形一样，我们来考虑同余类五中任意元与同余类石中任意元 的乘积是否与口，b 同在一同余类。也就是说，由a s a t ( r ) ，b s 6 ( ) ，我们能 否得到乜6 = a b ( j v ) 。假如能够，那么对于n 中的任意元”。，l i ：我们有 ( 口4 - l i l ) ( 6 4 - 行2 ) = a b 4 - a n 2 + n 1 6 4 - 厅i 栉2 量a b ( n ) ， 也就是 积24 - n l b = 0 ( 忉 当n l = 0 时，a l l 2 = o ( ) ；当n 2 = 0 时，n j b = o ( ) ，因此对于r 中任意 元，我们有 r n n ，n r n ( 2 4 ) 反之，假如子环具有上面的性质( 2 4 ) ，显然由a ；a i ( ) ，b ；6 ( ) 我们就得到a b = a b ( ) 。但一般子环无此性质。故而引进 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 定义2 6 ：假定r 是环，是它的子环，如果对于a r r ，我们就 有，口( d n n ，那么就叫做r 的左( 右) 理想。假如是r 的左理想同时 又是r 的右理想，也就是说，当a n ，r 时，r a n ，a r n ，我们就叫 为胄的理想。 于是r 中理想的同余类a ，b 的积，我们可以规定为 云否：石 显然页：尺一对于这样规定的乘法是闭合的。再因为r 中元满足结合 律、分非配律。所以的同余类也同样满足结合律、分配律。因此r 成环， 这环口q 做r 关于j v 的同余环。我们容易知道，r 的零元就是r 的零元0 所在 的同余类石，也就是n 自身。当r 有单位元e 时，e 所在的同余类e 就是r 的 单位元。假如r 是交换环，那么同余环r 也是交换环的。 上面介绍了理想及同余环的概念，现在我们来讨论理想。 显然，环自身是它的理想，叫做单位理想。只一个零元也形成理想，叫 做零理想。 假定环只有单位元e ，n 是它的左( 右) 理想，如果e n ，那么 ，= r e ( e r ) n ，r r ，因此r n ，所以n = r 。这就是说有单位元环的真 左( 右) 理想不含单位元。 同群的情况一样，一个环的任意多个左( 右) 理想的交集仍然是一个左 ( 右) 理想，但任意两个左( 右) 理想的并集却不一定是左( 右) 理想。 假定r 是交换环，n 是r 中的一元，那么r 中所有形如 r a + n a ，e r( 2 5 ) 的元成为一个理想，其中栉是整数或零，叫做由元a 生成的理想，用( 口) 或b ) 表示，这是因为 ( 4 + 玎i 口) 一( r z a + n 2 a ) = ( r t r 2 ) a + ( 行l 一撑2 ) 口( 口) ， r j ( r a + h a ) = ，l m + n r t a = ( ，+ ，l ) a ( 4 ) 所以( ) 是理想。 不难看出，任意包含口的理想都包含0 ) ，因此，我们说0 ) 是包含口的最 小理想。 1 0 啥尔滨1 = 程大学硕士学位论文 i i i l l 如果r 又有单位元p ，那么n a = ( n e ) a ，于是( 4 5 ) 可以简写成 ( r + n e ) a = r a ，且， 因此，这时仁) 是由a 的一切倍元组成的。要注意的是，由a 生成的理想q ) 包含a 。当r 没有单位元时，所有形如r a ，r 的元虽然也成为理想，但一般 它不包含口，因此它不一定由a 生成的理想( 口) 。 同样，我们又可以定义由交换环昱中拧个元8 ，庄：，a 。生成的理想 假如r 是非交换环，a 是r 中元，但不在中心z ( r ) 中，那么由口生成的 理想( 口) 是由所有象下面形状的元组成的： r l a + a r 2 + r l a r i + ，l 口，i r ，l 是整数或零 当r 有单位元时，上式可以简写成部，。 我们知道，环尺的理想不一定是由一个元生成的，由一个元生成的理想， 叫做主理想。零理想是主理想，因为0 = ( o ) ；单位理想尺，当r 有单位元e 的 时候也是主理想，因为r = ( 日) 。 下面讨论主理想环中元素的因子分解。 定义2 7 ：有单位元的整环，如果其中任意理想都是主理想，就叫做主 理想环。 我们先给出下面一些重要的主理想环。 定理2 2 整数环z 是主理想环。 定理2 3 假定f 是域，那么多项式环f i x l 是主理想环。 假定r 是整环，如果对于其中任意非零的元口，有整数g ( a ) 0 ，并且对 于r 中任意元a ，b 0 ，在r 中有适合欧氏法式 b = q a + r a 0 的元g r 这里，= 0 或g ( r ) ，l 0 ) ，则a 可表示为 4 = p 1 b ，其中口中必有非零因子，对曰进行作类似变换得口 台爱 ， 于是a ip l f 一0i ，在上述变换中，只要矩阵中产生非零因子，即可转 l o p b ，j 入情形( 1 ) ，再对b 进行作类似变换，如此循环，可逐步将一等价变换成式 ( 6 - 2 ) 形式。 下证a 的等价标准形是唯一的， 7 首先通过分析矩阵的三种初等变换知矩阵a 经过一次初等变换，秩不变 且各级行列式因子与原先矩阵的各级行列式因子仅相差一可逆元。也即矩阵 a 中各级行列式因子所含有的零因子不变，导致各级行列式因子中含有的p 的方幂不变，这必导致a 的等价标准形中p 的方幂唯一确定。 由定理6 4 ，对任意z p z 上埘型矩阵彳，参数( ，t ，i 1 ，) 是a 的 一个等价不变量，称之为a 的不变因子。显然，具有相同不变因子的两个同 型矩阵一定等价。 引理6 7满足1 r j r 2 s 七的正整数数组( _ ，r 2 ，) 共有 p 卜1 h l t 证明：若= ，2 一一，则数组( ，r 2 ，) 可能的选择有g ，当 ，i 一一气r l , 。= = 啊_ + “一一，；( 式中含，个号) ，则数组 c 一，吒，可能的选毒有( ；+ k 。 ( j 1 ) 。因此满足题设的数组c ，匕，共 ( ： + ( ! ( ：1 ) + ( ： ( 一2 1 + - + ( ； ， 为求上式的值，考虑函数( 1 + 上) ( 1 + “i ，其展开式的工项前的系数即为上 式的值，而( 1 + 工) ( 1 + 争“= 堕专喾兰，其x 项前的系数为( 七+ t 一1 。 工算 ， 定理6 5设m 疗，别p z 上t n x 疗型矩阵的等价类共有 喜c 掰一z + ，( 七十；一2 个。 证明：由定理6 ，4 ，z p z 上m x n 型矩阵的等价类个数即为满足 ，+ f s 坍，1 s k - 1 的不变因子( r ，t ，r 2 ，) 的个数。 若，= 0 ，+ 满足，+ f 肌，1 屹k - 1 的数组( ，t ，吃，) 有m + 1 中可能的选择； 若t = i 0 ，由引理6 7 ，满足1 s ，2 s k - i 的数组 ( r f ，2 ，) 有( 七+ ：一2 】中可能的选择，此时，可取m - i + 1 个值，因此满 足，+ r m ，1 厂2 k - 1 的不变因子( ，t ，r 2 ，) 的个数为 善c ，”一r + ，( 七+ ：一2 ) 。 2 8 哈尔滨t 程夫学硕十学位论文 6 1 3 g 为任意合数的情形 一、g = p l p ：的情形，其中p l , p ：为素数 本小节中。始终假定p p p ： 1 ) 定理6 6z i p 。p ：z _ l 6 壬：- - m x n 型矩阵爿等价于下列两种形式之一 j ，勺 i巩 【 ，m 钟 d ( 6 - 3 ) ( 6 - 4 ) 且式( 6 - 4 ) 中0 ，2 r f 女，称式( 6 3 ) 、( 6 4 ) 为a 的等价 标准形，其中1 4 为阶单位阵，且等价标准形唯一 证明；就a 中有无非零因子以及零因子的形式分四种情形讨论： ( 1 ) 若a 中有非零因子，同定理6 4 的证明类似，则彳一定可以通过 一系列初等变换转化成 台互 形式，其中4 中无非零因子，就4 中零因 子的不同形式分别转入下述( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 的情形。 ( 2 ) 若4 中元素全是i 的整数倍，则4 可表示为4 = i 碡，使得e 中有非零因子，于是只可以通过初等变换转化成 之。 ，则4 等价于 r 矗+ 。 ，对重复上述讨论即可，因为矩阵的阶数有限，这一过程 在有限步后即可停止； ( 3 ) 若4 中元素全是瓦的整数倍，讨论同( 2 ) ； ( 4 ) 若一，中元素既有i 的整数倍，又有万的整数倍， 为此在z p 。p ：z 上定义序关系： 石 舌当且仅当a r 2 0 ，使 i 得b = a c + ，于是b = a c + r 。 设a ，= ( 石) ，不妨设一a l l 是4 中最小的非零元，否则可通过至多两次初 等变换即可。 一a u = 一a t l 一q j + 一r t j ，百= 石石+ i 西石，一r j t 一a 1 1 ) ，将第1 列( 行) 的百磊( i 再) 倍分别加到第，列( 行) ，则4 等价变换为 b ，= 。一 a i l ： 二 0 ： 的形式，若b ，中出现以上三种情形之一，则转入相应 情形讨论，否则在占，中选取最小的非零元，重复上述过程，这一过程在有限 步后即可停止，因为z p ；p ：z 中只有有限个元素。最终b ，可转化为 e 。= 1 ： 二 ： 的形式，转入( 1 ) 的讨论即可。 唯一性的证明同定理6 4 的证明的后半部分。 定理6 7设研行，z a p ：z 上m x n 型矩阵的等价类共有 姜c 研一r + ，c ( 丘+ ；一1 ) + t ，个。 证明：就两种不同的标准形分别计算各自等价类的个数： 由定理6 5 知标准形( 6 3 ) 由满足，o + _ m 的正整数数组( ，) 唯一 确定，当r j = i 时，r o 的取值有所- i + 1 个，故数组( ，0 ，) 所有可能的选择有 沏一f + 1 ) 个，所以标准形( 6 3 ) 所对应的等价类个数为芝咖一f + 1 ) ； 同定理6 5 的证明类似，标准形( 6 - 4 ) 所对应的等价类个数为 杰( 州+ 1 ) r 。1 1 ，_ o z p p ：z 上m n 型矩阵的等价类个数即为上述两个数之和。 二、q = ，? ，；一，? 的情形 定理6 8 设正整数g 的素数分解为g = p ， p ? ，z q z 上任一所甩 型矩阵a 等价于 其中 d = p p ? “ d | = p 四p 冀t d d i d d 2 = p ：“ 3 1 ( 6 - 6 ) i别 且o r j l r j 2 ( = 1 , 2 ，一f ) ， 称式( 6 5 ) 为a 的等价标准形，其中为阶单位阵，且等价标准形唯一。 证明：同定理6 6 ，也就a 中有无非零因子以及零因子的形式分成以下 三种情形讨论： ( 1 ) 若a 中有非零因子，同定理6 4 的证明类似，则a 一定可以通过 一系列初等变换转化成 名互 形式，其中4 中无非零因子，就4 中零因 子的不同形式分别转入下述( 2 ) 、( 3 ) 的情形。 ( 2 ) 若4 中元素有非平凡的最大公约数，即全是某一零因子a 的整数 倍，则4 ，可表示为4 ：牙蠢，使得只中有非零因子，于是e 可以通过初等 化成心甜毗栅r 差+ 。j 埘教蜷讹 即可，因为矩阵的阶数有限，这一过程在有限步后即可停止； ( 3 ) 若a 中元素没有非平凡的最大公约数，同定理6 6 的证明类似， 在z g z 上定义序关系： ： 一b 当且仅当口 r 0 ，使得 6 ：口c + ，于是否：二；+ 。 设4 = ( 万) ，不妨设石是4 中最小的非零元，否则可通过至多两次初 等变换即可。设石= i 一c u + 一r 1 ，一a f t a l l i + i ( 石i ，i 刁，将第1 列( 行) 的q - c u ( q - ) 倍分别加到第，列( 行) ，则4 等价变换为 e = _ _ 一 a u ： 二 0 ： 的形式，若b ，中出现以上两种情形之一，则转入相应 情形讨论，否则在b ，中选取最小的非零元，重复上述过程，这一过程在有限 步后即可停止，因为z g z 中只有有限个元素。最终只可转化为 b = 1 f “ + 的形式，转入( i ) 的讨论即可。 很显然，每执行一次情形( 2 ) ，矩阵标准形中就产生一个公共零因子p ? ， 经历t 次情形( 2 ) 时就得到式( 6 5 ) 所不标准形。 唯一性的证明同定理6 4 的证明的后半部分。 定理6 9 设正整数g 的标准素数分解为碍= p j p p ：，且掰矗，则 z q z i r a x ，l 型矩阵的等价类个数 f ( j , j ：，工) ( 6 7 ) 9 嚣氯i 2 “毒h t 其中 f u 。，灰，工) ：芝艺”f “堂艺妻 伽一一+ 1 )f u 。，灰，工) = 艺艺艺 ( 聊一一+ 1 ) ( 七1 ：! f 1 屯：三f 1 ) k 】：! = j 一1 ) ( 屯： ) c e s ， 且 铲l o g p , , q l 铲卜舟= 卜剥，鸬= 卜赢 上式中【】表示高斯取整函数。 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 证明：首先i f f _ 明当素数p ，p ：，p ，及其方幂以一个给定次序 p j l ) ，p ( ，= 1 ，2 ，f ) 出现在标准形中时，不同标准形( 即互不等价标 准形) 的个数为f ( j ，：，工) ，分几步完成： ( 1 ) 计算标准形中d 可能具有的形式个数 p ；臣z q z 中可能取到的最高次幂为= 1 0 9 们，于是d l 可能具有的 形式的个数与满足条件o 3 9 f e n g h o r d e r so fc l a s s i c a lg r o u p so v e rf i n i