（凝聚态物理专业论文）电子微束分析中粗糙样品表面形貌的蒙特卡洛方法模拟研究.pdf

摘要 摘要 电子与固体中的相互作用构成了许多材料分析工具( 扫描电子显微学、表面 电子能谱学、电子探针微分析等) 的物理基础( 第一章) 。根据固体表面中的 电子散射理论和m o n t ec a r l o 模拟方法( 第二章) ，基于实体结构几何法构造 模型( 第三章) ，我们研究了梯形线几何体在扫描电子显微镜的主要信号成像、 测量线宽的性质( 第四章) 。基于有限元三角形网络法模型构造( 第三章) ，我们 研究了粗糙表面的电子能谱、二次电子产额和背散射电子产额( 第五章) 。所采 用的电子在固体中的m o n t ec a r l o 散射模型是：弹性散射利用的是m o r t 微分截 面，而非弹性散射利用的是基于实验光学常数数据的介电函数近似，并且在模拟 中包含了级联二次电子的产生。 在扫描电子显微成像以及纳米线宽测量初步研究中( 第四章) ，我们采用了 体构造法构建出具有一定边墙角的梯形线几何体，并且基于此模型，用m o n t e c a r l o 方法模拟了光滑表面的a u 刻蚀线在不同参数( 即高度、宽度、边墙角、 入射电子束宽和能量) 下模拟得到的测量线宽，同时，比较了测量线宽与实际线 宽的关系。此工作对于c d - s e m 纳米尺度的精确测量学有一定的指导意义。 在粗糙表面相关电子谱的分析中( 第五章) ，我们完成了对c u 、s i 、a l 等 的电子能谱、二次电子产额、背散射电子产额的模拟工作。通过对不同粗糙参数 ( 粗糙半高宽3 盯，以及表面间隔a ) 的调整改变，我们得到了基于三角形网格 构建模型的各种相比于光滑表面更真实的粗糙表面，利用m o n t ec a r l o 模拟方法 计算比较了模拟得到的二次电子产额与实验的二次电子产额数据。通过二者关系 的比较，证实了方法的有效性，并运用这种方法得到了不同粗糙参数对于各种电 子谱的影响。通过对这种关系的详细研究，对于实验学中把握所用样品的表面粗 糙程度将有一定的帮助。 关键词：蒙特卡洛模拟粗糙表面扫描电子显微镜纳米度量学背散射电子 二次电子电子能谱线宽 a b s t r a c t a b s t r a c t e l e c t r o ni n t e r a c t i o nw i t hs o l i d sc o n s t i t u t e st h ep h y s i c a lb a s i so fm a n ya n a l y t i c a l t o o l sf o rm a t e r i a ls t u d y ，s u c ha s ，s c a n n i n ge l e c t r o n m i c r o s c o p y , s u r f a c ee l e c t r o n s p e c t r o s c o p y ，e l e c t r o np r o b em i c r o a n a l y s i s b a s e do nt h ee l e c t r o ns c a t t e r i n gt h e o r i e s f o re l e c t r o n si ns o l i d sa n do ns u r f a c e sa n db yu s i n gm o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o d ， a n dt h ec o n s t r u c t i v es o l i dg e o m e t r y m o d e l i n g ，w eh a v es t u d i e dt h ei m a g i n gw i t hc h i e f s i g n a l si ns c a n n i n ge l e c t r o nm i c r o s c o p y ，a n dt h ec h a r a c t e ro ft h el i n e w i d t hi n n a n o m e t r o l o g y b yu s i n gf i n i t ee l e m e n tt r i a n g l em e s ht oa p p r o x i m a t e st h es a m p l e s u r f a c e , w eh a v es t u d i e dt h ee n e r g ys p e c t r a ，t h es e c o n d a r ye l e c t r o ny i e l d ，a n dt h e b a c k s c a t t e r e de l e c t r o ny i e l d t h em o n t ec a r l om o d e le m p l o y e df o re l e c t r o ns c a r e r i n g i ns o l i d si st h ec o m b i n e du s eo fm o t td i f f e r e n t i a lc r o s ss e c t i o nf o re l e c t r o ns c a t t e r i n g ， a n dt h ed i e l e c t r i cf u n c t i o na p p r o a c hf o re l e c t r o ni n e l a s t i cs c a t t e r i n gw i t ht h eu s eo f e x p e r i m e n t a lo p t i c a ld a t a t h ec a s c a d es e c o n d a r ye l e c t r o np r o d u c t i o ni sa l s oi n c l u d e d i nt h es i m u l a t i o n s 0 n m ee l e m e n t a r ys t u d yo ft h ei m a g i n gi ns c a n n i n ge l e c t r o nm i c r o s c o p ya n dt h e l i n e w i d t hi nn a n o m e t r o l o g y ，w eh a v e e m p l o y e dt h ec o n s t r u c t i v es o l i dg e o m e t r y m o d e l l i n gt ob u i l das o l i dt r a p e z o i dl i n ew i t hc e r t a i ns i d e w a l la n g l e ，u s i n gm o n t e c a r l os i m u l a t i o nm e t h o dw ec o n s i d e r e das o l i dt r a p e z o i da u 1 i n ew i t hs m o o t hs u r f a c e ， s t u d i e dt h ev a r i a t i o no fs i m u l a t e dm e a s u r e dl i n e w i d t hw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r ( h e i g h t ， w i d t h ，s i d e w a l la n g l e ，e l e c t r o nb e a md i a m e t e ra n db e a me n e r g ye t c ) ，c o m p a r e dt h e c o n n e c t i o no fm e a s u r e dl i n e w i d t ha n da c t u a ll i n e w i d t h t h er e s u l tw i l lb eh e l p f u lf o r t h ei m p r o v e m e n to ft h em e a s u r e m e n tp r e c i s i o nb yc d s e m i nt h ea n a l y s i so ft h ee l e c t r o ns p e c t r ao fr o u g hs u r f a c e ，w eh a v es i m u l a t e dt h e e n e r g ys p e c t r a ，t h es e c o n d a r ye l e c t r o ny i e l d ，a n dt h eb a c k s c a t t e r e de l e c t r o ny i e l d b v a d j u s t i n gt h ed i f f e r e n tr o u g h n e s sc h a r a c t e r ( t h ea m p l i t u d ea n dt h ei n t e r v a lo fr o u g h s u r f a c e ) ，w eh a v ec o n s t r u c t e dr o u g hs u r f a c eu s i n gf i n i t ee l e m e n tt r i a n g l em e s h ，w h i c h i sm o r es i m i l a rw i t hr e a ls u r f a c et h a ns m o o t hs u r f a c e u s i n gm o n t ec a r l os i m u l a t i o n m e t h o d ，w ec o m p a r e dt h es i m u l a t e ds e c o n d a r ye l e c t r o ny i e l dw i t ht h ed a t af r o m e x p e r i m e n t ，j u s t i f yt h ev a l i d i t yo ft h em e t h o d u s i n gt h i sm e t h o dw eh a v es i m u l a t e d t h ei m p a c to fd i f f e r e n tr o u g h n e s sc h a r a c t e ro nv a r i o u se l e c t r o n i cs p e c t r a u s i n gt h i s t h e o r y ，w ec a ns i m u l a t et h es e mi m a g em o r er e a s o n a b l e ，a n dt h ep r e s e n tm o d e l i n g u s i n gm o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o dc a nb ef lt o o lt oc h e c k o u tt h er o u g h n e s so fa n a b s t r a c t e x a m p l ei ne x p e r i m e n tc i r c u m s t a n c e k e yw o r d s ：m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，r o u g hs u r f a c e ，s e m ，n a n o m e t r o l o g y ， b a c k s c a t t e r e de l e c t r o n ，s e c o n d a r ye l e c t r o n ，e n e r g ys p e c t r a ，l i n e w i d t h 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。 除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研 究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名： 诗海曼 签字日期： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有 学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 勺么开 口保密( 年) 作者签名：肖c ，叔量作者签名：堕! 墼萋 签字日期：型丝：曼：z ， 导师签名： 吼刎万 签字日期：丝 ! ：兰：z 第1 章绪论 1 1 扫描电子显微镜简介n 1 第1 章绪论 1 1 1 扫描电子显微镜的结构与成像原理 电子显微镜技术是显微技术的一个重要分支，是一门现代化的显微科学。扫 描电子显微镜( s c a n n i n ge l e c t r o nm i c r o s c o p e ，s e m ) 有着很高的空间分辨率和 放大倍数、焦深长、可对形貌变化范围较大的区域同时成焦等优点，可适用于各 种样品的形貌以及组分的研究，已经成为现代科学中最为通用、广泛的材料表征 工具之一。 在扫描电子显微镜中，电子束聚焦到试样上，激发出二次电子和背散射电子。 探测器接收到这些信号后将信息送到显像管，s e m 镜筒中的电子束和入射到显 像管荧光屏上的电子束在扫描线圈同步作用下，使试样上不同部位的信息显示在 荧光屏上，得到样品的扫描电子显微像。和s e m 的成像原理不同，透射电子显 微镜( t e m ) 各个像素上的信号在同一个时间内一起采集( 和光学显微镜的成像 原理类似) 。改变透镜焦距，可以分别得到样品微区的图像和透射电子衍射图样。 在s e m 中，从晶体( 包括多晶体) 样品出射的背散射电子受到样品晶面的 衍射效应，可以形成电子沟道图样( e c p ) 和电子背散射图样( e b s p ) ，给出样 品微区的晶体学信息。在s e m 中，利用电子束激发出来的微区内各元素标识的 x 射线，可以对厚样品微区成分进行定性和定量分析，通过电子束在光滑样品表 面上的扫描，可以得到样品中主要元素的面分布图。 图1 1 是扫描电子显微镜的主体结构，图上部的电子枪实际上是一个静电透 镜，灯丝上的6 v 电压使它的灯丝尖端加热到接近3 0 0 0k 并发射电子，发射出 来的电子经控制极，即栅极( 加约i o o v 电压) 和阳极( 加1 0k v 量级电压) 聚 焦成能量为1 1 0k e v 量级的电子束。 电子束经聚光镜( 一般是两个) 、物镜( 一般都是磁透镜) 聚焦到样品上， 激发出二次电子( s e ) 、背散射电子( b s e ) 和x 射线光子。三种信号被s e 探 测器、环状b s e 探测器和x 光探测器接收。这些信号经过放大器送到显像管用 来调制荧光屏上的亮度。 成像过程要求镜筒中的电子束和显像管中入射到荧光屏的电子束在扫描发 生器作用下同步扫描，使试样上不同部位的信息相应地显示在屏上，得到样品某 一范围的扫描显微像。显微像的放大倍数等于电子束在荧光屏上扫描尺寸和电子 束在样品上扫描尺寸之比。 第l 章绪论 6 v 1 0 0 vl 一3 0k v 多道分析器 图1 1 扫描电子显微镜的主体结构 x 光探测器如果是能谱仪时，各个元素的标识x 光可以用多道分析器记录 下来。电子束激发出的信息还有样品电流( s c ) 、电子束感生电流( e b i c ) 、阴 极发光( c l ) 等。整个数据采集和处理过程由高性能的在线计算机、存储器管 理和执行。 1 1 2 扫描电子显微镜的信号 一定能量( 通常为1 0k e v 量级) 的电子入射到固体厚试样，经过复杂的散 射过程，样品中产生二次电子、背散射电子、俄歇电子、x 射线、阴极发光等信 号。这些信号中的电子数按能量的分布如图1 2 所示。 2 第1 章绪论 图1 2s e m 中电子信号按能量的分布 二次电子的能量人为地定为5 0e v 以下，背散射电子的能量范围为5 0e v 到 入射电子能量e ，能量e 处出现零损失峰，比e 小1 0 3 0 e v 处出现激发等离子 体而形成的损失峰( 其中的体等离子体能量略大于表面等离子体能量) 。在背散 射电子的背底上还出现具有元素特征能量的微弱的俄歇电子峰( 图中用a e 表 示) 。 图1 3 表示入射电子的散射范围以及各种出射信号的深度。入射电子的散射 范围和原子序数有关原子序数大时引起方向改变的弹性散射概率大。散射的深度 范围又被称为入射电子的射程。由图可见，能量大的背散射电子来自一般射程的 深度，更深处的背散射电子消耗完能量后滞留在样品内。背散射电子的出射范围 远大于入射束的直径，使背散射电子像的分辨率比二次电子像差得多。 入射电子柬 图1 3 各种出射信号的深度 二次电子的能量小于5 0 e v ，它们的非弹性散射自由程很短，使它们容易损 t目 第1 章绪论 失能量，由此二次电子的出射范围来自表面层。背散射电子和入射电子都可以在 表面层内有较大概率激发出二次电子，但是，背散射电子激发的二次电子分散在 l o o n m 直径的表面层内，而入射电子激发的二次电子集中在l n m 直径的表面层 内，在二次电子信号中起决定作用，从而使二次电子像的分辨率达到l n m 。 俄歇电子能量处于0 1 2 o k e v 范围，其非弹性散射自由程很短，背散射电 子和入射电子在散射范围内都可以激发俄歇电子，但只有几纳米的表面层内的俄 歇电子才能保持特征能量出射成为信号。为了得到较强的信号，不得不加大入射 束直径以加大入射束流，因此用俄歇电子给出的表面元素分布像的分辨率目前只 能达到5 0 n m 。俄歇电子像还需要超高真空，否则样品表面很快被沾污，因此一 般s e m 中不进行俄歇电子的测量。 特征x 射线和俄歇电子像均来自内层电子电离后的弛豫过程，由于x 射线 透射率高，特征x 射线出射范围接近电子散射范围。由特征x 射线给出的厚样 品元素分布像的分辨率目前只能达到5 0 0 r i m ，对少量元素来说像的分辨率更低。 这时电子束斑应该放大，以便得到大的束流，提高信号噪音比，以利于探测到 少量元素。连续谱x 射线来自入射电子在原子核势场内的突然减速( 轫致辐射) ， 连续谱出射范围略大于特征x 射线出射范围，更接近电子散射范围。 以上这些信号( 不包括轫致辐射) 携带着不同深度的形貌、成分和结构信息。 普通扫描电镜收集二次电子、背散射电子并进行成像，配置x 射线探测器的s e m 还可以得到样品成分分布像。 1 2c d s e m 简介及在纳米线宽测量中的应用 测长扫描电镜( c r i t i c a ld m e n t i o ns c a n n i n ge l e c t r o nm i c r o s c o p y ， c d s e m ) 是在半导体行业中被广泛用于纳米级临界尺度线宽测量的一种专门的新型扫描 电镜。除了具有常规的s e m 的特点外，其主要优点在于：很高的分辨率( 3 i 蚰) 和大的吞吐量，可以实施在线实时监测和线下检测【2 j 。 通常，利用c d s e m 获得二次电子图像，相应的线宽确定算法是精确测量 的关键。对于较大体系( 1 0 0 n m ) 线宽的确定，常用几种经验的线宽确定算法 ( 最大导数方法，递归基线算法和s 形拟合算法等) 【3 1 。然而，随着体系线宽尺 度逐渐降到几十n m 范围，这几种常用公式都已变得不再适用，其根本原因归结 于s e m 中二次电子信号发射的本身物理效应：即使对于绝对理想的光滑台阶边 沿，二次电子信号的线扫描图也会呈一个有相当展宽的包络线型，这即是二次电 子信号发射的边沿效应( e d g ee f f e c t ) ，展宽尺度约为l o n m 量级，这种展宽对于 通常的大尺度结构的c d s e m 测量误差来说影响较小，但对几十n l l l 的结构来说 是最为重要的误差来源1 4 , 5 】，因为这时人们很难从图像中确定线边沿位置，而应 4 第l 章绪论 用中所需的测量精度要求在l n m 以下1 6 j 。因而，目前只能对线距的测量才有较高 的准确性( 可以测量周期性重复边界以抵消误差) ，而对于无周期性的绝对线宽 测量仍然是急待学术上解决的问题。 由于二次电子信号产生涉及电子束与固体的相互作用基本物理过程，因此解 决这个问题必须要从理论上进行全面研究。该问题的复杂性在于：实际的扫描电 镜成像中，影响衬度的因素非常多。其中一些是普适性的，它与入射电子散射、 二次电子激发以及发射过程的基本物理有关，如纳米结构样品几何参数、表面带 电性质、可控电子束参数等，另外一些还与具体仪器有关，如探测器几何配置和 样品外电场分布等。为了了解各种因素对c d s e m 图像进而对线宽测量的影响， 人们已付诸了大量精力。实验上对标准样品和a f m 等其它手段进行了对比研究 7 , 2 , 8 - 2 3 】，而理论上则用蒙特卡洛( m o n t ec a r l o ) 方法对s e m 进行了初步模拟研 究【3 ，4 ，2 4 3 4 1 ，试图找出种精确的线宽确定方法。然而，由于国际上其它小组的 理论研究中采用的m o n t ec a r l o 计算模型有相当的局限性，目前还未有能得到普 遍接受的结果。由此可见，c d s e m 中半导体线宽的确定问题( 以及更一般的 s e m 中纳米结构测量问题) 是当前纳米测量技术中的国际前沿研究热点。 迄今为止，人们给出了几种新的算法用于不同范围的线宽的测定。n o v i k o v 等人【2 l 】提出了一种建立模型构型与s e m 线扫描曲线的特殊点间的简单对应关系 的方法。这种方法非常简单易行并适用于大尺度及大边墙角的情况；但由于特殊 点很难辨别，将对小尺度尤其是小边墙角的情况引入较大误差。f r a s e 等人【2 8 3 0 】 给出了一种指数分布运算符方法，即s e m 线扫描构型可以用一些分段连续的函 数通过最小二乘法拟合得到。此方法经过与m o n t ec a r l o 模拟结果对比测试，对 于大于1 0 0 n m 大边墙角情况，可以得到很好的拟合。同样，对于1 0 0 n m 小尺寸 及小边墙角情况仍不适用。t a n a k a 等人p 弼7 】基于实验和m o n t ec a r l o 模拟结果发 展了一种多参数轮廓特征描述算法，即利用信号的一阶微分划分s e m 线扫描曲 线为边墙角及拖尾两部分。这种方法可直接用于t o p d o w n 模式探测，无吞吐量 损失，并且2 。以上边墙角测量精度为3 0 = 0 9 。此方法的局限性在于有限的边 墙角探测范围并且在尺度减小时探测误差增大。v i l l a r r u b i a 等人【3 , 4 , 2 7 1 弓i 入了一种 基于模型的数据库方法，即利用m o n t ec a r l o 方法建立起各种相关参数与模拟结 果间的对应数据库。g o r e l i k o v 等人【2 5 j 同样用一种脱机的m c 数据库去拟合测量 的线扫描线型。原则上，如果可以直接建立起测量结果与模型间的关系，这种方 法将是最为精确的方法。但是，这将会花费大量的时间用于计算大量的对应各种 参数的结果并且这种方法很难区分有类似线扫描曲线形状结果的不同结构参数 的影响。 在第四章中，我们将用m o n t ec a r l o 方法详细地讨论影响c d s e m 测量的几 第1 章绪论 种因素并给出梯形纳米刻蚀线的部分参数( 边墙角口、入射电子束规格、入射电 子能量等) 对c d s e m 测量线宽影响的初步结果。 1 3 粗糙表面研究现状及电子谱应用于粗糙表面的研究 出于粗糙表面在自然界存在的普遍性，关于粗糙表面的研究涉及到各个领 域，在模拟粗糙表面的过程中也有很多方法。目前计算学中对粗糙表面的模拟共 有以下几种分类：高斯随机函数法1 3 8 】、分形维数法1 3 9 】、快速傅里叶变换( f f t ) 、 j o h n s o n 转换系统、自相关函数法【4 0 j 、数字滤波法1 4 3 】等方法。高斯随机函数法是 生成高度符合高斯分布的一系列离散点，通过特定的方法组合而成粗糙表面【4 2 】； 分形维数法是指用随机中点位移法模拟表面轮廓，在一条直线上逐点计算垂直方 向( y 向) 的位移量。先找到线段的中点，然后在该点给定一个y 方向位移。该 位移与端点位置、指定的分形维数以及一个随机系数有关。然后对直线上的两个 相等线段各自取中点并给定这两点的y 向位移。多次重复该过程，就得到所指定 分形维数的形貌。类似地，对于表面的模拟，每次确定面的中心点在y 轴的位移 m 】。数字滤波方法利用基于a r 模型的二维数字滤波技术，通过计算机模拟生成 具有指定自相关函数的粗糙表面；通过控制自相关函数来控制纹理，获得纹理的 本质特征，在此基础上提出了一种能有效模拟所需表面纹理的自相关函数。s e o n g 和p e t e r k a 4 4 1 以及w u 4 5 】等人提出用快速傅里叶变换( f f t ) 生成非高斯粗糙表面， w a t s o n 和s p e d d i n g 4 6 , 4 7 】、w h i t e h o u s e 将时间序列模型引入随机粗糙表面的仿真。 快速傅里叶变换( f f t ) 和j o h n s o n 转换系统把随机粗糙表面看成是一个随机过 程，表征非高斯随机粗糙表面的数学统计参数有偏斜度s 、峰度k 、标准差和 自相关长度，通过输入一系列的序列值，经过自相关函数的拟合，最后生成所 需要的离散点。其中，高斯随机函数法目前应用于大部分粗糙表面的构造。在本 文中，我们用到的模拟粗糙表面的方法为高斯随机函数法。首先认为粗糙表面上 的点的高度符合高斯函数分布，生成一系列符合规律的离散点，通过三角形网格 法构造粗糙表面模型。这种方法简洁、快速，并较符合实际应用情况。 事实上，关于粗糙表面的研究已经广泛地在各个行业开展。m i n x i ax u e 等 人【4 9 】提出了一种模型模拟等离子体溅射氧化锆薄膜的过程，通过改变不同的参数 来控制镀膜的厚度和粗糙度。m r a e s s i ，j m o s t a g h i m i 和m b u s s m a n n 详细 模拟讨论了等离子溅射镀氧化铝薄膜过程中，衬底的不同粗糙度对镀膜质 量性质等的影响。c a t h e r i n ep r i e s t e r 和g e n e v i e v eg r e n e t d o l 研究归纳总结 了合金生长的仿真模拟中，不同的粗糙度对于合金晶格匹配以及合金性质等的影 响。b h a r a tb h u s h a n 和s r i m a nv e n k a t e s a n l 5 ”研究探讨了分层粗糙表面对于 材料机械性能的影响。在机械工艺中，尹晓亮等人f 5 2 】在考虑粗糙度效应、时 变效应、温升效应和润滑剂非牛顿特性的基础上，采用直接迭代法、逐排扫描法 6 第1 章绪论 求解润滑方程组和温度控制方程，通过一定的数值计算探讨了粗糙表面形貌参 数对润滑特性的影响。李永钢等人在c d s e m 工作中【5 3 1 ，引用粗糙表面模型，讨论 了材料的粗糙度等性质对于纳米测量线宽等的影响。本文也是基于此模型，详细 讨论了不同的粗糙参数对于扫描电子显微镜中二次电子产额等电子谱的影响。 二次电子激发对各种基础学科和应用学科都起着至关重要的作用，通过对二 次电子激发过程的研究，人们将其应用于电子显微学中，对于固体结构和电子形 态的研究、电子倍增器的粒子探测等都是非常有帮助的【5 4 5 5 1 。二次电子的激发主 要由高能粒子在固体中的能量损失决定的，低能二次电子会显著的影响高能物理 加速器，由同步加速器辐射产生的光电子储存环会产生二次电子的激发。同时， 二次电子的产生也会造成电子束的稳定性减弱【5 6 57 。 很多领域对二次电子激发都作了不同程度的研究。从上世纪3 0 年代起，二 次电子激发的研究就是实验学所热衷的。在2 0 年里，关于这个课题共有6 本长 篇书籍出版。研究表明，强烈的电子场令绝缘体和半导体都会产生二次电子【5 8 5 9 1 ， 而电子场则由绝缘体腔内的势场导致电子雪崩生成。随着人们对二次电子线形和 二次电子成像的兴趣日渐增大，对二次电子产额相关细节的研究就很有必要了。 不同元素的功函数，以及相同晶体不同形貌的物质功函数，它们与二次电子产额 是有一定关系的唧，6 1 1 。功函数的减小( 比如无定型的尘埃对表面势场的的影响) 也可以导致二次电子差额发生改变，同样，我们也可以期待几何结构( 如平面的 粗糙程度) 同样对二次电子的产额有一定的影响。 在第五章工作中，我们作了如下工作：完成了对c u 、s i 、a 1 等的电子能谱、 二次电子产额、背散射电子产额的模拟工作。通过对不同粗糙参数( 粗糙半高宽 3 仃，以及表面间隔a ) 的调整改变，我们得到了基于三角形网格构建模型的各 种相比于光滑表面更真实的粗糙表面，利用m o n t ec a r l o 模拟方法计算比较了模 拟得到的二次电子产额与实验的二次电子产额数据。通过二者关系的比较，证实 了方法的有效性，并运用这种方法得到了不同粗糙参数对于各种电子谱的影响。 通过对这种关系的详细研究，对于实验学中把握所用样品的表面粗糙程度将有一 定的帮助。 1 4 计算物理与蒙特卡洛方法【6 2 j 计算物理学是随着计算机技术的飞跃进步而不断发展的一门学科，在借助各 种数值计算方法的基础上，结合了实验物理和理论物理学的成果，开拓了人类认 识自然界的新方法。传统的观念认为，理论是理论物理学家的事，而实验是实验 物理学家的事，两者之间不见得有必然的联系，但现代的计算机实验已经在理论 和实验之间建立了很好的桥梁。一个理论是否正确可以通过计算机模拟并于实验 7 第1 章绪论 结果进行定量的比较加以验证，而实验中的物理过程也可通过模拟加以理解。当 今，计算物理学在自然科学研究中的巨大威力的发挥使得人们不再单纯地认为它 仅是理论物理学家的一个辅助工具，更广泛意义上，实验物理学、理论物理学和 计算物理学已经步入一个三强鼎立的“三国时代”，它们以不同的研究方式来逼 近自然规律。 蒙特卡洛( m o n t ec a r l o ) 方法就是计算物理学中应用极为广泛的一个数值模 拟方法。第一个对蒙特卡洛方法作出实质性贡献的是开尔文勋爵( l o r d k e l v i n ，1 9 0 1 ) 他用这种方法讨论了波尔兹曼方程。蒙特卡洛方法作为一种模拟工 具，其系统发展始于1 9 4 4 年。乌拉姆( s u l a m ) 和冯诺依曼( j v o nn e u m a n n ) 在其参加曼哈顿计划研究工作时引入了蒙特卡洛方法，他们用其模拟了中子在可 裂变材料中的无相关空间扩散( 即无规行走问题) 。同时，迈耶( j e m a y e r ) 独立地提出了一种类似的数值方法，通过非权重随机抽样过程用其计算积分问 题。这些研究者最为突出的新贡献就是认识到，确定性问题可以通过恰当的概率 模型很容易的解决，其中既可采用无规行走多粒子模拟，也可采用相应的积分公 式化模型进行随机抽样。 通过对非均匀随机数分布进行随机抽样以求解态函数积分的主要思想，是在 2 0 世纪5 0 年代由n m e t r o p o l i s 、a w r o s e n b l u t h 、m n r o s e n b l u t h 、a t t e l l e r 和e t e l l e r 引入的。另外，b a l d e r 、j k i r k w o o d 、s f r a n k e l 和v l e w i n s o n 也独立地提出了相类似的方法。 也许正因为这些方法是基于运用随机数而不是确定算法这样一个事实，才把 这些方法叫做蒙特卡洛方法，以表示方法的随机性特征。此外，另一种说法是讲， 乌拉姆的叔叔每年都要到蒙特卡罗城赌博，所以他才取了“蒙特卡洛”这个名字。 实际上，它是采用随机数于各种物理计算和模拟实验，以类似于赌博中掷骰 子的方法来随机决定其中某个单独事件的结果，因此模拟本身颇有游戏的色彩。 对于模拟产生的大量随机事件发生后的最终结局应是服从基本物理规律和统计 规律的，从而得到物理问题的正确答案。通常，这类物理问题本身相当复杂，很 难用解析的方法进行分析和计算，而m o n t ec a r l o 方法特别适用于如基于统计力 学和量子力学等领域中的复杂问题，是一很好的数值计算和数值模拟的方法，在 凝聚态物理( 表面物理、临界现象、非晶态) 、应用物理( 金属学、扩散和偏析) 、 理论物理( 量子场论、统计理论、基本粒子、核物理) 、化学( 化学反应、高分 子物理) 以及非线性现象( 分形、逾渗) 等研究领域中起作非常重要的作用，成 为科学研究的一种标准手段。除了用于研究数学物理问题以外，它的应用还已渗 透到了经济和技术等其它各个领域，充分显示出其独到之处。 第2 章电子散射模型 1 1 引言 第2 章电子散射模型 电子散射类型按照是否存在能量损失可以分为两种：一种是弹性散射，散射 后 电子运动方向有较大的变化，而电子的能量不变；另一种是非弹性散射，此 时电子的能量将有损失，运动方向也有小的变化。本章先介绍电子在固体中的散 射理论，它是m o n t ec a r l o 模型的物理基础。 弹性散射是电子与原子的碰撞，由于c o u l o m b 相互作用的影响，带电粒子 将被原子电势偏折而改变运动方向，但不存在能量损失。电子与原子的弹性相互 作用非常强烈，散射截面与能量平方成反比，因此较低能入射电子( e p 1 0 1 1 0 3 e v ) 很难穿透薄膜样品。电子能谱学和电子显微学中的背散射电子主要是由于 大角度的弹性散射引起的。 为了简化问题，可以认为单个原子的电势和固体内的原子电势的差别对散射 截面的影响很小。对于能量远远超出原子电势的电子来说，原子电势可以用忽略 原子结构的势模型处理，在b o r n 近似下得到屏蔽的r u t h e r f o r d 散射公式。对于 电子探针微分析来说，电子能量为1 0k e v 或更高，此时r u t h e r f o r d 公式适用。 但在表面电子能谱学和扫描电子显微学中，电子的能量为数k e v 或更小，需要 利用相对论量子力学来计算散射截面。 根据量子力学，入射电子的初始平面波从散射中心处以球面波形式向外散 射，各分波具有各自的相移，其散射强度为它们的总和。1 9 2 9 年，m o t t 6 4 1 推导 出了相对论性电子弹性散射微分截面公式，用各分波的自旋向上和自旋向下的相 移表示。当散射电子的自旋轨道耦合可以忽略时，不同自旋取向的相移之间没有 区别，m o r t 截面简化成非相对论性截面公式。p e n d r y 【6 5 j 最初利用非相对论性截 面做了低能电子衍射方面的计算，相移通过求解s c h r o d i n g e r 方程而得到的。 w a l k e r t 删指出，相对论性修正应该是首要修正。由d i r a c 方程的相移计算显示， 相对论和非相对论的散射截面之间的差别非常明显，特别是对重元素和能量弱于 k e v 时，这是因为此时散射电子的自旋轨道耦合不能忽略。b ”u r i n g l 67 。、b u n y a n 和 s c h o n f e l d e r 6 8 ，6 9 发展了相移计算的数值方法，即求解初始电子波函数的径向部 分的d i r a e 方程来计算中心场近似中的相移。s t r a n d 和b o n h a m t 7 0 ，7 1 】给出了 h a r t r e e f o r k ( h f ) 原子和t h o m a s f e r m i d i r a c ( t f d ) 原子的原子电势的近似分 析表达式。相移随元素的原子量和电子能量的变化已经有表可查【7 2 7 3 1 。r e i m e r 和 9 第2 章电子散射模型 k r e f t i n g 7 4 】以及i c h i m u r a 和s h i m i z u 7 5 】首先认识到，在表面电子能谱学中需要用 相对论散射截面来代替通常的r u t h e r f o r d 截面公式。 然而，固体并不是一个真正力学意义上的刚性实体，它具有内部的电子运动 自由度。电子在固体内的运动可以看做是由能量和动量决定的粒子的运动。由于 能量守恒，散射电子需要损失动能才能激发内部的电子运动自由度，这个激发过 程就是运动电子的非弹性散射。非弹性散射中被激发出的粒子携带着与物质材料 相关的信息，因此常被用来作为电子能谱学中的收集信号。对于能量为1 0 1 1 0 4 e v 的电子，能量损失造成的激发过程主要是原子电离、等离子体激元激发和带间跃 迁。图2 r 是非弹性散射平均自由程( 平均自由程与散射截面成反比) 与能量之 间的关系。可以发现，在低能区域，由于终态较少，非弹性散射平均自由程非常 大；在高能区域，由于相互作用的时间很短，非弹性散射平均自由程也非常大。 非弹性相互作用最强的能量区域为1 0 0 3 0 0e v 。 1 0 2 ，_ e 5 l o 。 乱 也 芝 一 l o o l o l1 0 21 0 3 e e f ( e v ) ， 图2 1 实验测量的非弹性散射平均自由程与能量的关系，其中直线为实验数据的最小二次法 拟合曲线【7 6 1 。 电子在固体内部的非弹性散射已经有了许多种理论。t h o m p s o n t 7 7 1 提出了一 种原子电离截面的经典近似。g r y z i n s k i 7 8 1 由经典的二体碰撞近似理论，得出了能 量损失截面、电离截面、阻止本领等一套公式，至今仍被还广泛使用。但g r y z i n s k i 公式仅对内壳层电离有效，许多相关的半经验公式和数值结果也一般局限于轻元 1 0 第2 章电子散射模型 素和k 、三壳层。 固体中的价电子受原子核的束缚较弱，在某些材料( 如a 1 ) 中其行为类似 于自由电子，具有一种集体运动模式，即等离子体激元，p i n e s 7 9 j 首先利用等离 子体激元模型解释了固体中的特征能量损失谱。对于近自由电子固体中的价电子 激发，由多体理论的无规位相近似可得到介电函数响应理论中的l i n d h a r d 介电 函数( 它是l i n d h a r d 根据宏观m a x w e l l 理论提出的【如】) 和散射截面。然而，真 实固体中的电子并不是近自由电子，固体中的带间跃迁是个非常复杂的局域场问 题。另一方面，求和规则给出了一个总的理论性指导原则。b o h r 8 1 ，8 2 1 将原子中的 电子看成是谐振子，提出了一个关于带电粒子在固体内运动时被吸收的理论。其 后，b e t h e 在此基础上进一步发展了理论框架 8 3 , 8 4 】，由此给出了著名的b e t h e 阻 止本领公式，式中的平均电离能由振子频率和振子强度所决定，而振子强度之和 等于原子中的总电子数。对固体中的电子来说，存在对应的求和规则。介电理论 给出了原子电子激发和固体内电子激发之间的内在联系，b o h r 模型与绝缘体的 l o r e n t z 模型8 5 1 以及金属的d r u d e 模型之间有简单的关联，因此求和法则是对 激发的束缚条件。 由此，电子非弹性散射的基础理论应该建立在介电函数处理方法之上。但对 于实际固体，与动量转移及能量损失相关的介电函数很难得到。p e n n s 7 建议，把 实验光学常数数据扩展到未知的动量转移区域以求得介电函数，它满足求和法 则。此方法克服了无规位相近似以及局域密度近似中的缺陷，可更加合理地描述 实际固体。而且对于许多材料和宽范围的能量损失区间( 1 0 ，i 1 0 4e v ) ，光学常 数已经有数据库可查。因此，p e n n 的介电函数方法已经在电子能谱学中得到广 泛应用，成为现代电子非弹性散射理论的标准方法。 2 2 弹性散射截面【8 8 母o 】 电子与原子间的碰撞是弹性相互作用，散射时电子仅仅有运动方向的变化， 不存在能量损失。高能情况下r u t h e r f o r d 截面是个很好的近似，但对于k e v 量级 或更低能的电子，需用相对论性的量子力学微分散射截面即m o t t 散射截面： 集= i f ( o ) 1 2 + ) f ( 2 1 ) 其中f ( o ) ：g l g ( 口) 为散射振幅，是用自旋f 的分波相移万；和自旋i 的分波相 移口c 表示的： 厂( 秒) = 丽1 ( ，+ 1 ) ( p 吨带- 1 ) + ( e 陀万- 1 ) p t ( c o s 0 ；) ( 2 2 ) 二l f 2 0 一 删2 赢i 百- ( 一扩矿+ 扩万啪。s p ) ( 2 3 ) 其中，e , ( c o s o ) 和月1 ( c o s 0 ) 分别是l e g e n d r e 函数和一阶联带l e g e n d r e 函数。 第2 章电子散射模型 相移可以通过数值求解电子在t h o m a s f e r m i d i r a e 原子势场中散射的d i r a c 方程 ( 波函数的径向部分) 来求得。( 2 1 ) 式对立体角的积分为单个原子的弹性散射 总截面。模拟前，需要将微分散射截面转化为用总截面归一化的积分截面即累积 函数表的形式，方便于用随机数取出对应的散射角值。 对于非单元素样品，在模拟电子轨迹前，首先需要对每种元素算出相应的散 射截面，由成分浓度得到总截面。