（应用数学专业论文）三类生态模型解的渐近性态及一类脉冲微分方程的振动性.pdf

三类生态模型解的渐近性态及一类脉冲 微分方程的振动性 魏朝颖 摘要微分系统解的性质包括解的吸引性，稳定性，振动性和周期性等这些 性质揭示了动力系统的长期行为，因而在生态学，药学和经济学等众多领域有着广 泛的应用，自从用微分方程来描述生物学中众多生物规律和现象以来，一直吸引着 许多专家和学者的注意力，并形成了很多具有很强实际背景的新课题，而且研究种 群的共存性，稳定性与振动性等，对于保持生态平衡，保护生态环境甚至挽救濒临 灭绝的珍稀生物等具有非常重要的实际意义本文共分四部分讨论了三类生态模型 解的渐近性质和一类脉冲微分方程解的振动性问题 第一部分研究了n i c h o n b l o w f i e s 模型的h o p f 分支问题，给出了分支周期解存在的 条件，并利用周期函数正交性的方法，得到了该模型近似周期解的表达式 在自然界中，许多生物种群都要经历幼年和成年两个阶段，尤其是哺乳动物和 许多两栖类动物，而且种群在不同的年龄阶段其生理特征有着明显的差异，为了能 真实地反映这种生理现象，在建立生态模型时常将种群按其生理特征分成幼年和成 年两个阶段，即年龄阶段结构模型本文第二部分研究一类具有自食和避难所的年 龄结构竞争模型的稳定性问题，在该模型中，由于避难所的存在，竞争被削弱了， 非负平衡点的个数也发生了改变该部分同其他文章的结果进行比较，证明了避难 所对模型平衡态的个数和稳定性具有重要的影响，利用比较定理和特征值理论，得 到了该模型存在唯一正平衡态的充要条件及其全局渐近稳定和边界平衡态稳定的充 分条件 种群动力学中有很多自然现象或人为因素都具有脉冲现象，本文第四部分研究 了一类向量型脉冲微分方程的振动性问题，该部分通过作变量变换将常系数不脉冲 微分方程系统变为变系数的非脉冲微分系统，得到了非振动解的渐近性态和任意解 振动的充分条件，并利用留数理论得到了系统的解广义振动和广义非振动的充分条 件 在生态数学模型中，群体的出生、生长与死亡或群间的竞争、互助、捕食等一 系列过程都可以在方程的反映项中表示出来本文第五部分就一类具有扩散项和 m i c h a c l i s ，m e n t e n 型反应函数的捕食系统进行了讨论，该部分利用微分不等式和构造 l y a p u n o v 泛函的方法，得到了该系统一致持久和局部渐进稳定的充分条件，并且举 例验证了条件的可实现性 关键词：h o p f 分支全局稳定性持续生存性振动性 t h ea s y m p t o t i cb e h a v l 0 ro ft h r _ e ek i n d so f e c o l o g i c a lm o d e l sa n dt h eo s c i l l a t i o nf o ro n ek i n d o fo d ew i t hi m p u l s e z h a o - y i n gw e i a b s t r a c tt h e s y s t e m sa s y m p t o t i cb e h a v i o ri n c l u d st h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n s ，t h ea t t r a c t i v i t yo ft h es o l u t i o n s ，t h eo s c i l l a t i o no ft h es o l u t i o n sa n dt h eh o p f - b i f u r c a t i o n ，t h e s eb e h a v i o r s r e v e a lt h el o n g t e r mb e h a v i o ro ft h es p e c i e s s i n c eal o to fb i o l o g i c a lr e g u l a ra n dp h e n o m e n o ni nt h e b i o l o g i c a lw e r ed i s e r i b e db yu s i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h i c hd r e wt h ea t t e n t i o no fal o to fe x p e r t s a n ds c h o l a r s ，a n df o r m e dm a n yn e w t o p i c st h a th a v es t r o n gp r a c t i e i v eb a c k g r o u n d w ek n o wt h a t t h es t u d yo ft h ec o - e x i s t ，s t a b i l i t y ，o s c i l l a t i o no ft h es p i c e sh a sv e r yi m p o r t a n tp r a c t i c i v em e a n i n g t ok e e pe c o l o g i c a le q u i l i b r i t i o na n dp r o t e c te c o l o g i c a le n v i r o n m e n t ，e v e nt os a v ev a l u a b l ea n dr a r e b i o l o g i e sw h i c ha r eo nt h ev e r g eo fb e c o m i n ge x t i n c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i c a lq u a l i t yo ft h r e ec l a s s e ss y s t e m sa n dt h eh o p f - b i f u r c a t i o ni nac l a s sm o d e l t h ef i r s ts y s t e mi st h en i c h o l s o n - f i o w f l i e sm o d e l ，w es t u d i e dt h eh o p f - b i f u r c a t i o no ft h i sm o d e l ， t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fb i f u r c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o ni so b t i o n e d ，a n db yu s i n g t h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n s ，t h ef o r mo ft h ea p p r o x i m a t ep e r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e d i nn a t u r a lw o r l d ，m a n yi n d i v i d u a lm e m b e r sh a v eal i f eh i s t o r yt h a tt a k e st h e mt h r o u g ht w o s t a g e s ：i m a t u r ea n dm a t u r e ，i np a r t i c u l a r ，m a m m a l i aa n ds o m ea m p h i c i o u sa n i m a l se x h i b i tt h e s e t w os t a g e s a n ds p e c i e sh a v ee v i d e n td i f f e r e n c ea b o u tt h e i rp h y s i o l o g i c a lc h a r a c t e r ，i no r d e rt od e - s c r i b et h e s ep h y s i o l o g i c a lp h e n o m e n o n ，t h es p e c i e sr r ea l w a y sd i v i d e di n t ot w os t a g e sa c c o r d i n g t ot h e i rp h y s i o l o g i c a lc h a r a c t e rw h e nw es e tu pb i o l o g i c a lm o d e l s ，m e a n i n gs t a g e - s t r u c t u r e ds y s - t e r n s t h es e c o n dm o d e li nt h i sp a p e ri sas t a g e - s t r u c t u r e dt w o - s p e c i e sc o m p e t i t i v es y s t e mw i t h c a n n i b a l i s ma n dr e f u g e s c o m p a r e dw i t ht h ec o n c l u s i o no ft h ep a p e r 1 0 l ，i ti ss h o w nt h a tr e f u g e s h a v em o r ee f f e c to nt h ee q u i l i b r i u m sa n dt h es t a b i l i t yo ft h i ss y s t e m ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h eo n l yp o s i t i v ee q u i l i b r i u mw a so b t a i n e d ，a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m a n dt h eb o u n d a r ye q u i l i b r i u mw e r eo b t a i n e d s i n c em a n yn a t u r a lp h e n o m e n o no rt h ef a c t o r sp r o d u c e db ym a n k i n di np o p u l a t i o nd y n a m i c s a r ei m p u l s i v e ，t h er e s e a r c ho ut h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s ei sa ni m p o r t a n tb r a n c ht o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h et h i r dm o d e li nt h i sp a p e ri san o n - l i n e a rs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hi m p u l s e b yt a k i n gt r a n s f o r m ，t h eu n c o n t i n u o u si m p u l s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n s t a n t c o e f f i c i e n t sw a st r a n s f o r m e dt oc o n t i n u o u su n i m p u l s ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc h a n g a b l ec o e f l i c i e n t st h es l l 珩c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eo s c i l l a t o r yo fe v e r ys o l u t i o na n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f i i t h en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o na r eo b t a i n e d b yu s i n gl a p l a c e - t r a n s f o r ma n dr e s i d u et h e o r y ，t h es u f f i - c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg e n e r i co s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no ft h es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h e p e r s i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fs p e c i e si s a ni m p o r t a n tq u e s t i o nw h i c hd r a wal o to fs c h o l o r a s e r i e so fp r o c e s s e s ：s p e c i e sb i r t h ，g r o w t ho rd e a t h ，p r e d a t o r p r e y ，c o m p e t i t i o n o rc o o p e r a t i na m o n g s p e c i e s ，e t c 】c a nb ep r e s e n t e d i nt h er e a c t i o nt e r mi nb i o l o g i c a lm a t h e m a t i c sm o d e l s t h ef o r t hm o d e l i sap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hd i f f u s i o n b yu s i n gi n e q n a l i t ya n dc o n s t r u c t i n g as u t i a b l el y a p u n o v f u n c t i o n ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i f o r mp e r s i s t e n c ea n dl o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y a r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：h o p f b i f u r c a t i o ng l o b a ls t a b i l i t y p e r m a n e n c eo s c i l l a t i o n i i i 第一章前言 在自然界中，不同物种以复杂的模式相互作用，即使单个物种也会受到季节变 化、年龄结构、空间分布等的影响，其生态行为都可能非常复杂生态数学通过建 立数学模型，对人类所关心的自然现象进行覆测和揭示，它以随时间演变的动力系 统为主要研究内容之一，广泛存在于各种应用领域中，如生物技术、生物经济学、 药物动力学、种群生态学等等 分析这种演变过程，很自然地就会涉及到研究连续的动力系统我们知道，解的 某些局部或大范围的性态有时往往要随着方程中某些参数的变化而变化，h o p f 分 支现象就是此类问题之一就平面系统而言，分支现象可以出现在一个奇点临近， 那么与该奇点相应的一次线性近似系统的特征方程具有一对纯虚根，这时相应的奇 点为中心或细焦点，系统经摄动以后，奇点邻近的拓扑结构或性态就会发生变化， 这样就可能产生h o p f 分支近年来，有许多学者( 【1 h 3 】，【5 】i s o d 曾研究过各种微分系 统的h o p f 分支问题本文第二部分研究了n i c h o l s o n b l o w f l i e s 模型： 掣= 刮邮一r ) e x p 剖t 叫 的h o p f 分支问题，其中z ( t ) 表示种群在t 时刻的密度，o ，b ，c 均为正常数利用稳定 性和分支理论，给出了该模型与正平衡态相应的一次线性近似系统的特征方程具有 一对纯虚根时，在r 0 附近分支周期解存在的条件，并利用解的正交性条件，得出了 其近似分支周期解的表达式从该部分的结果看，若自治系统中的某些参数受到干 扰，系统将随参数变化出现分支，而且如果给时滞一个扰动，菲线性系统的周期并 不会受到影响 在自然界中生存的大多数生物，尤其是哺乳动物和一些两栖类动物，在成长过程 中要经历幼年和成年两个生理阶段，且在不同的生理阶段其生理特征有着明显的差 异，例如成年种群对外界环境的适应能力较强，且只有成年种群才能繁殖后代，幼年 种群死亡率较高等，因此为了能更真实的反映现实世界，在建立生态模型时常将种 群分为幼年和成年，即建立具有年龄结构的生态模型1 9 9 0 年a i e l l o 和f r e e d m a n ( 文 8 】) 就曾研究过一类种群经历幼年和成年的年龄结构模型： l ( t ) = a x 2 ( t ) 一1 2 1 ( t ) 一口e 一7 2 2 ( t r ) 圣2 ( t ) = d e 一7 7 2 2 0 一r ) 一卢g ；0 ) ， 其中z ，( f ) 和z 。( t ) 表示幼年和成年种群的密度，r 表示从幼年到成年所需要的时 间，o l ，p ，7 都是正常数自然界中很多种群间的竞争是发生在同种群的个体之间， 因为他们居住在同一个区域，需要同样的食物和居所，所以自然界中就有许多生物 的成年种群捕食幼年种群，比如某些鱼类等，这种现象就是自食 v a nd e rb o s c h ，f g a b r e ! w ( 文【12 ) 在1 9 9 7 年就曾考虑过此类模型 在现实情况中，人们往往对上述两类系统更多的是关注幼年和成年能否共存， 或者是否是一种群持续生存而另一种群消亡文章第三部分研究的模型可以视为以 上两类系统的推广： 女l ( t ) = a l x 2 ( t ) 一7 1 x l ( t ) 一日n l e 一1 1 7 2 2 ( t r ) 一a x l ( ) z 2 0 ) 2 ( 茚= 目n l 7 1 z 2 ( t r ) 一口l 。；( t ) 一e i x 2 ( t ) 一i 。z ( t ) f j ( ) 乱( ) = a 2 y 2 ( t ) 一 1 2 y l ( t ) 一n 2 e 一”4 y 2 ( t 一口) 如( t ) = q 2 e - 7 2 a 驰o d ) 一岛砖( ) 一岛驰( ) 一a 2 ( y 2 ( t ) 一) z 2 ( # ) ， 其中z ，( ) ，z 2 ( t ) 分别表示种群z 的幼年和成年的密度；”- ( t ) ，y 2 ( t ) 分别表示种群口的 幼年和成年的密度且，易分别表示对成年种群的收获率，只有成年种群参与竞 争，n o ( i = l ，2 ) 表示成年种群的竞争系数，o ( o o ) 的避难所，而在该问题中又考虑了生态科学中常见的避难所问题，使得问题的讨论 更具有实际意义第三章利用比较定理和特征值理论，得到了该模型存在唯一正平 衡态的充要条件及其全局渐近稳定和边界平衡态稳定的充分条件从该部分的讨论 可知，避难所对平衡态的个数和稳定性具有重要影响 在本文所考虑的前几个模型中，系统本身的状态是随着时间的变化而连续的， 但是，许多实际问题中常常出现不受系统本身控制的瞬间作用，如癌细胞的放疗和 化疗，接种疫苗，投放天敌，和喷洒农药杀死害虫或生态环境的剧变对种群的影响 等等，都会呈现一种瞬时现象分析这种演变过程很自然的就会涉及到研究脉冲微 分方程系统例如r o b e r t s ，k d o 在文f 3 2 】中研究生育脉冲，l a k m e c h e ，a e i n o 文 2 9 【3 0 】， p a n e t t a 文【2 8 】考虑癌细胞的化疗，s h u l g i n 文【3 3 】等考虑疾病的脉冲免疫，f u n a s a k i ，k o t 文 2 7 】考虑资源的脉冲输入，l i u ，l 胁h l f 文【3 l 】考虑种群的控制，b a l l i n g e r ，l i u 文【2 6 】 研究种群系统的一致持续生存 本文第四部分考虑了一个向量型非线性脉冲微分方程系统： x ( t ) + e ：1 只只( x 0 一n ) ) = o ( t t o ，t “) x ( t 吉) 一x ( t k ) = 仉( x ( “) ) ， i = 1 ，2 ，哦女= 1 ，2 ，n ； r l 【o i ) i 其中只和g 均为m xm 矩阵通过作变量变 换，将常系数脉冲系统变为变系数非脉冲微分方程系统，得到了该模型非振动解的 渐近性态和任意解振动的充分条件 对于二维l o t k a - v o l t e r r a 捕食食饵模型： j = z ( o i o a l l z a 1 2 y ) 口= y ( a 2 0 + a 2 1 x + a 2 2 y ) ， 其中，a 1 2 x y 项的生态意义代表单位时间内z 种群被y 种群吃掉的个数，因此a 1 2 x 表 示每一个捕食者在单位时间内吃掉种群。的个数，在生态学中则称为种群的捕食 2 率或功能反应函数，即捕食者捕食食饵的能力，记为( z ) 1 9 5 9 年h o l l i n g 提出了两种 功能反应函数，其中第1 i 类功能反应函数为( z ) = 而a z ，第1 i i 类为( z ) = 品， 而本文研究具有m i c h a c l i s m e n t e n 型反应函数( z ) = i 的系统： 钟) = z ( 帅，一n - ，z - ( t ) 一而霸a 1 2 厕x 2 ( t ) 一面a 。1 ( s t x ) s + ( t ) 。( ) ，+ 。，( 们) 一z - ( t ) ) 酬= 硝) ( - a s 4 - 而孝等一面删a 2 3 x 3 怕( t ) ( f ) - ，l 州扣吲t ) ( - a 3 而考等一面赛警， 口( t ) = y ( t ) ( a 4 一a 4 4 y ( t ) ) + 9 2 ( x l ( t ) 一( t ) ) 的持久性和稳定性问题其中q ( ) 0 = 1 ，2 ，3 ) 表示第i 个种群t 时刻在斑块i 中的密 度，( t ) 表示z 1 在斑块i i 中的密度，n ，r 2 ，t a 0 表示常数时滞，啦，。讲玎( t ，j = l ，2 ，3 ) 均为正常数，x l 能在斑块i 和i i 之间扩散，而z 3 限定在斑块i 中不能扩散 d ； o ( i = 1 ，2 ) 表示种群2 - 在斑块i 和之间的扩散系数利用比较原理和通过构 造适当的l y a p u n o v 泛函，得到了系统一致持久和局部渐近稳定的充分条件 3 第二章n i c h o l s o n b l o w f l i e s 模型的h o p f 分支 2 1引言 在种群动力学模型中，研究时滞产生分支周期解问题具有很实际的意义，已有 大量文献研究了这类问题( 如 1 】_ 3 ) ，在大部分文献中，非线性系统分支周期解的周 期与其线性近似系统的周期相同，但是如果给时滞一个扰动，非线性系统的周期是 否会受到影响呢? g o p a l s a m y ( 2 0 ) 研究了非线性系统 掣+ 。z ( ) + b x ( t r ) = m ( t ) ，。( t r ) ) 的分支周期解问题，并给出了离散时滞l o g i s t i c 方程 警( ，一掣) 的近似分支周期解本章利用周期函数正交性的方法，研究了模型 宅笋：一m ( t ) + “o r ) e 印卜6 一r ) 】 ( 1 1 ) 的分支周期解问题。给出了其近似周期解的表达式其中x ( o 表示种群在t 时刻的 密度，a ，b ，c 为正常数，其初始条件为 譬( 口) = 圣( p ) 0 ，0 【一r ，o 】，圣( 0 ) 0 ，圣c = g 【( 一r ，o ) ，冗+ 】 本章第二节研究了( 1 1 ) 式分支周期解的存在性问题，第三节求出了其近似分支 周期解的表达式 2 2分支周期解的存在性 对于( 1 1 ) 而言，当c o ) ，则 分离实虚二部后解得 y i 一( c + c i n i ) e 1 ”+ c = o 。8 ”72 i 砸8 1 “”72 一i i i 丽y 1 贝有= j 可= = 咖，其中a = c + c l n ： 欲要y 0 ，须c 0 ，当h 如时，存在一族函数u 字( 叩) ，0 2 ( s ) ，记( e ) 使得日( n 芋( 8 ，e ) m ( s ) ，n ( s ) ，e ) = ( 肌，现，风) = 0 取u 。( s ，) = u ( 。，6 ) ，则( 2 4 ) 式有解 “3 ( s ，) ，引理得证。 定理2 3 1 系统( 3 1 ) 有以下形式的近似分支周期解 小，m 西s i n a o s + p c 等哿s i n 2a o s + 辅c o s 2 0 0 8 ， 其中 8 c 3 i t 0 i n ：( 1 + i n ：) ( r ( ) 一匍) 一b c 2 ( 1 一 i n ：) ( 5 4 i n ：一3 1 n 2 ：) + 8 b i n ：( 1 一；i n ：) 口3 证明由引理2 31 的证明过程知，当n = 口l = 0 时，则甭 型d s + 吲s ) _ c ( 1 + l n 扣( s 一如) = 一c b ( 1 - 刍l n 扣( s 一0 ) ( 36 ) 令“2 ( s ) = ms i n 2 口o s + n c o s 20 0 8 ，利用待定系数法可得 m = 等哿，= 鬻 又由( 3 5 ) 式的可解条件得 上“”( s ) 一一。( ) u i ( s ) 一2 c ( 1 + l n ：) ( 危晴) + 丁b 一：忙) ) u ：( s 一丁b ) + f ( s ，e ) ) d s = o ， 求解得 一a 2 ( e ) + 2 爵( 心忙) + 旬。：忙) ) ：一；( 伽，f ( s ，。) ) ， 一 ) + 2 舔( 心忙) + 旬口2 忙) ) = 一三( 恐， ，) ) ， 见( e ) + v o a 2 ( ) = 一丽l 珊f ( 毛e ) ) 即 一。忙)=二!丛三二二i：；i!；i学一；(詈妒-一妒。，。cs)， 砾) = 堕生迸芸弑帮手幽一；等c p l + r o w 2 , o ) 故 “等“可甭斋等等糟 定理得证 8 第三章避难所在两种群年龄结构竞争模型中 的稳定性作用 3 1引言 在自然界中，许多种群在成长过程中要经历两个阶段，幼年和成年尤其是哺 乳动物和一些两栖类动物，比如海鲸和海豹a i e l l o 和f r e e d m a n 曾研究过一类种群 经历幼年和成年的年龄结构模型( 【8 】) ，该文中用时滞来定义年龄结构，其模型为： 士l ( f ) = a z 2 ( ) 一7 。l ( t ) 一n e 一7 2 2 ( t r ) 2 0 ) = n e - t r z 2 ( t r ) 一声z ；( o ) 其中z ，( t ) 和z 2 ( t ) 表示幼年和成年种群的密度，r 表示从幼年到成年所需要的时间， n ，p ，7 都是正常数 宋和陈( 【1o 】) 讨论了以下具有时滞的年龄结构模型： t 1 ( c ) = a l z 2 ( t ) 一7 i x i ( t ) 一( t i e 一”1 2 2 ( t 一丁1 ) 2 0 ) = o q e - - 7 1 r ! z 2 ( t t i ) 一p l ；( 0 一e l z 2 ( t ) 一a l x 2 ( t ) y 2 ( t ) i l l ( t ) = a 2 y 2 ( t ) 一他1 ( t ) 一a 2 e 一”“y 2 ( t 1 j ) 1 ) 2 ( t ) = 0 2 e - - 1 2 r 2 y 2 ( t 一r 2 ) 一如旌( t ) 一e 2 y 2 ( t ) 一n 2 口2 ( ) z 2 0 ) 得到了以下结论： 系统有三个非负平衡态：e o ( 0 ，o ，0 ，o ) ，e 1 ( 口? ，z o ，o ，o ) ，岛( o ，0 ，圯2 ) ，并且如果( 1 0 ) 满足蜀 n t e 哪n 。= l ，2 ) ，爱 鱼a 2 ，则它有 唯一的正平衡态，且 ( 1 ) 如果( 1 。) 满足最 a t e n ( i = 1 , 2 ) ，瓦a l 盟a 2 呈二：e - 。竺2 二- 旦e 2 o t l e 一“，岛 啦e r ；( i = 1 ，2 ) ，则岛是全局渐近稳定的 具有各类时滞的年龄结构模型在文【1 1 】，【1 4 】一【1 6 】中均有研究 自然界中有许多种群的成年种群捕食幼年种群，比如某些鱼类等，这种现象就 是自食文【1 2 ， 13 】和【17 的作者讨论了三类具有自食的系统，证明了白食对系统 的稳定性具有一定的影响 9 但是以上模型均没有考虑避难所的问题在现实世界中，不管是强壮种群捕食体 弱种群还是成年种群捕食幼年种群，被捕食者总是尽力寻找避难所以逃避被捕食， 并且避难所对种群的行为有一定的影响，因此，本文考虑以下模型； l ( t ) = a l z 2 ( t ) 一l x l ( t ) 一o a l e - - 7 i t x 2 ( t r ) 一a x l ( t ) z 2 ( t ) 2 2 ( t ) = 8 a l e - 7 1 1 z 2 ( t r ) 一卢l z ；( t ) 一e l x 2 ( t ) 一a l z 2 ( t ) y 2 ( t ) 寸l ( ) = 口2 2 ( t ) 一m 1 ( t ) 一o z 2 e - - f 2 4 y 2 ( t d ) 1 ( 1 ) 口2 ( ) = a 2 e 一”4 2 0 一口) 一p 2 ”；( ) 一e 2 2 ( t ) 一a 2 ( y 2 ( t ) 一) 。2 ( ) 其中x l ( t ) 渤( ) 分别表示种群z 的幼年和成年的密度；y l ( t ) ，y 2 ( t ) 分别表示种群的 幼年和成年的密度，e 。，e 2 分别表示对成年种群的收获率，只有成年种群参与竞争， a ； o ( i = 1 ，2 ) 表示成年种群的竞争系数，o ( o 0 ) 的避 难所在该模型中，由于避难所的存在，竞争被消弱了，非负平衡点的个数也发生 了改变 模型( 1 1 ) 的初始条件为( t ) = 也( t ) ( 一rst o ) ，玑( t ) = 似( ) ( 一ast o ) 且初始条 件满足： 桃( t ) g ( 【_ r ，o l ，r ，) ，也( o ) o 0 = 1 ，2 ) ， 妒i o ) g ( 【- 盯，o ，( o ，+ o o ) k ，+ o o ) ) ，l p l ( o ) o ，| p 2 ( 0 ) 南， 其中聩表示 ( g l ，z 2 ) ：跳o ， = l ，2 ) 为了初始条件的连续性，本章要求： 1 ( o ) = 口a l 廿2 ( 8 ) e j 。( 饥+ 0 2 ( k ) d k d s ，妒l ( o ) = 口2 _ p 2 ( s ) e 一，8 幽( 1 ，3 ) j rj o 由于生态意义的原因，总是假定瓤( t ) m ( t ) 是系统( 1 1 ) 的非负解 在本章中，研究了具有自食和避难所的年龄结构两种群竞争模型的稳定性，在 第二节得到了非负平衡态存在的条件并且给出了几个引理，第三节讨论了平衡态的 稳定性，第四节对结果进行了讨论并且给出了两个例子本章得到了系统存在唯一 的正平衡态的充要条件及其全局渐近稳定和边界平衡点稳定的充分条件 3 。2非负平衡点的存在性及基本引理 在本章中，由于生态意义的要求，总假定： ( 聊半k 1 0 引理3 2 1 如果c h ) 满足，则系统( 1 1 ) 从初始条件( 1 2 ) 出发的解，对于所有的 t 0 有y 2 ( ) 2k 证明设( 。1 ( ) ，$ 2 ( t ) ，y l ( t ) ，y ：( t ) ) 是系统( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 的任意解，则对于一r ts 0 有珈( t ) k 否则，根据y 2 ( t ) 的连续性，必存在t o ，满足y 2 ( t ) = k ，2 ( t ) 薏，则系统( 1 1 ) 存在唯一的正平衡点丑( 味味吼蚓 其中 牡譬铲，加丝气：业避朋= 坐等笪 并且如果卢，如 n - 。，则 蝣= r n 2 + 4 a 2 k ( f l l 口 2 - - 丽a 蕊l a 2 = ) ( 0 i a l 百e - 7 r - - e 1 ) 一 - - m ， 如果p l 口2 = ( l 1 a 2 ，则 a 2 k ( o a l e m 7 一目) 2 2 i 一， 其中f n = a 2 ( 口a i e m 7 一日+ a l k ) 一卢l ( a 2 e 一他4 一e 2 ) 引理3 22 ”22k 和虻的充要条件是( h ) 满足 由于证明比较简单，故略去 引理3 2 3 【l l 】对于方程 ( ) = 6 2 0 一r ) 一a 1 _ x ( t ) 一a 2 x 2 ( ) 其中a l o ，毗，b ，f 0 ，且对于所有的t 一l o ) 有z ( ) 0 则： 如私 则m l i m 。雄) = 掣 ( “) 如果b o 忙 m i n h ，他) ) ，有 卢( t ) + 芒p ( a 1 + a 2 k e 1 + ) 譬2 ( 亡) 一卢l 。! ( t ) + ( ( x 2 + e s 2 ) y 2 ( t ) 一虎；( ) 因此，存在正数h 使得 p ( t ) + 印 鲁嵩且( h ) 成立，则b 是系统( 1 1 ) 满足初始 条件( 1 ，2 ) 的局部渐近稳定的正平衡点，而p 是不稳定的平衡点 证明平衡态p 的特征方程为 ( + 饥) ( a + e 1 + n 1 y 2 一口n 1e 一( 1 l + 1 ) r ) ( + 1 喳) n + 2 虎可2 + e 2 一n 2 e 一( 似+ 1 ) 4 ) = 0 ( 31 ) 显然，一饥，一他是( 3 1 ) 的负特征值设f ( ) = + e 1 + a l 胡一口n l e 一( 7 - + 1 ) r ，则 f ( o ) ：一( 日口l e r e 1 ) + 坐坚掣 o ，f ( + o e ) ：+ o o ， p 2 因此f ( a ) = 0 至少有一个正根，故方程( 3 ，1 ) 至少有一个正特征值，平衡态p 是不稳 定的 平衡态b 的特征方程为 其中 ( a + 7 l + a z ；) ( a + e 1 + 2 卢1 z ；+ o l 掣；一b a l e 一( 1 - + 1 ) ) ( + 1 ) g ( ) = 0 ，( 3 2 ) g ( a ) = ( a + 2 卢2 娃+ 0 2 z ；一a 2 e 一( 札+ 1 ) 4 + e j ) n + 卢l z ；+ o o t l e m 7 ( 1 一e - a t ) 】+ a l a 2 z ；( 七一可；) 显然a - = 一饥一a z ；和 。= 一仰为两个负特征值a a 由以下方程求解 设r e a 3 0 ，则 a + e l + 2 胁z ；+ o l 蝣一日a l e 一( 1 l + 1 ) 7 = 0 r e a 3 = 一芦1 $ ；一6 a l e - 1 l r ( 1 一e 一8 。1 3c o s r ( z m