（理论物理专业论文）量子纠缠及其在强关联系统中的应用.pdf

j , t l i i l i l c o n t e n t s a b s t r a c t 中文摘要 1i n t r o d u c t i o na n do v e r v i e w l i i ii iii i iii i ii ii iiiij y 1714 2 21 v v 1 l 1 1 1 b r i e fi n t r o d u c t i o nt oe n t a n g l e m e n t 1 1 2 e n t a n g l e m e n tm e a s u r ef o rp u r ea n dm i x e ds t a t e s 5 1 3q u a n t u mc h a n n e l 2 0 1 4 a p p l i c a t i o n so fe n t a n g l e m e n t 2 l 2 e n t a n g l e m e n ti nc o r r e l a t e ds p i ns y s t e m 3 2 5 2 1 e n t a n g l e m e n to fi ds p i nc h a i n s 2 6 2 2 e n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n 2 8 2 3 m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t 3 7 c o n c u r r e n c ev e c t o r sf o re n t a n g l e m e n to fh i g h d i m e n s i o n a l s y s t e m s 3 9 3 1i n t r o d u c t i o n 3 9 3 2c o n c u r r e n c ev e c t o rf o rp u r es t a t e s ：f r o mq u b i t st oq u d i t s 4 0 3 3c o n c u r r e n c ev e c t o rf o rm i x e ds t a t e s 4 7 3 4c o n c u r r e n c es u r f a c ea n de n t a n g l e m e n te d g e 4 9 3 5 s u m m a r y 5 1 l 丐；- c o n t e n t s 3 6 a p p e n d s ：s u ( n ) g r o u p 5 2 e n t a n g l e m e n to fs p i n1a n d1 2p a i r 5 5 4 1i n t r o d u c t i o n 5 5 4 2 a v e r a g ec o n c u r r e n c eo fah i l b e r ts u b s p a c e 5 6 4 3t h eg r o u n ds t a t es u p e r p o s i t i o n s 5 7 4 4t h eg r o u n ds t a t em i x t u r e s 6 3 4 5 s u m m a r ya n dd i s c u s s i o n 6 4 5e n t a n g l e m e n ti nc o l da t o m 6 5 5 1i n t r o d u c t i o nt ob e c 。6 5 5 2 h y d r o g e na t o m 6 6 5 3l i t h i u mg a s e s 。7 2 6 e n t a n g l e m e n to ft w o - q u t r i ts y s t e m 7 7 6 1 i n t r o d u c t i o n 7 7 6 2 s u ( 3 、m o d e l 7 8 6 3 t h r e e - l e v e ll i p k i n m e s h k o v g l i c km o d e l 8 5 6 4 s p i n 1b i p a r t i t es y s t e m 8 6 6 5 s u m m a r y 8 8 p a p e r sb yt h ea u t h o r 9 7 l i s to fp u b l i c a t i o n s 9 7 a c k n o w l e d g e m e n t s 9 9 x - ， de c l a r a ti o no e e c l a r a t1 0 no n i n t e l l e c t u a lu a l p r o pe r t yr i g h t s ih e r e b yd e c l a r et h a tt h i st h e s i sr e p r e s e n t sm yo w nr e s e a r c hw o r ku n d e r t h es u p e r v i s i o no fp r o f y o u q u a nl i o fz h e ji a n gu n i v e r s i t y , c h i n a a p a r t f r o mt h es o u r c e sq u o t e d ( i n c l u d er e v i e wc h a p t e rw h i c hi sn o td u p l i c a t e df r o m r e f e r e n c e s ) ，t h em a t e r i a lo ft h i st h e s i sh a sn e i t h e rp r e v i o u s l yi n c l u d e di na p u b l i c a t i o no fa n y o n ee l s e ，n o ri n c l u d e di nat h e s i s ，o rad i s s e r t a t i o no fa n y o n e e l s es u b m i t t e df o rad e g r e eo rq u a l i f i c a t i o n 知识产权声明 所呈交的博士学位论文是在导师指导下的研究工作所取得的研究成果。本人 郑重声明：( 1 ) 除了首两章综述、以及文中特别标注引文来源的地方外，论 文不包含其他人发表的成果，也不包含他人为获得学位或证书的申请材料中 的内容。( 2 ) 综述部分为本人对有关学术前沿文献深入研习后的学习总结， 没有从他人文献中抄袭的现象。本人完全意识到本声明的法律后果由本人完 全承担。 朱国强 2 0 0 5 年4 月1 5 日本围强 u l 1 v c o n t e n t s 、 4b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n tp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h eq u a n t u mi n f o r m a - t i o nt h e o r y m a n yq u a n t u mp r o c e s s i n gc a n n o to c c u rw i t h o u te n t a n g l e m e n t i nas e n s e ，q u a n t u me n t a n g l e m e n ti sak i n do fr e s o u r c e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ， t h ep r o p e r t i e so fe n t a n g l e m e n ta n di t sa p p l i c a t i o ni nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s a r es t u d i e d i nc h a p t e r1 ab r i e fr e v i e wo ft h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yi sg i v e n w 色 d i s c u s st h ec o n c e p t sa n ds o m ep r o p e r t i e so fp u r es t a t ea n dm i x e ds t a t er e s p e c - t i v e l y i np a r t i c u l a r ，w ed i s c u s sh o wt od e t e c ta n dm e a s u r et h ee n t a n g l e m e n t w 色g i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ee n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n e n t a n g l e m e n t o fd i s t i l l a t i o na n dt h er e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t t h e nw ed i s c u s ss o m e k i n d sf e a s i b l em e a s u r e s ，i n c l u d i n gv o nn e u m a n ne n t r o p y ，l i n e a re n t r o p y , n e g - a t i v i t ya n ds oo n t h eq u a n t u mc h a n n e li st h e ns t u d i e d i nt h el a s ts e c t i o n o ft h ec h a p t e r ，w ed i s c u s st h es o m ea p p l i c a t i o n sf o rq u a n t u me n t a n g l e m e n t ， i n c l u d i n gd e n s ec o d i n g ，t e l e p o r t a t i o na n dc r y p t o g r a p h y i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ee n t a n g l e m e n ti ns t r o n g l yc o r r e l a t e ds y s t e m s t h e p m r w i s ee n t a n g l e m e n to fx x zm o d e l i ss t u d i e d m u c ha t t e n t i o ni sd e v o t e dt o s t u d yt h ep r o p e r t i e si nt h ev i c i n i t yo fq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o np o i n t s f r o m t h ev i e w p o i n to fc o n f o r m a lf i e l dt h e o r y ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n e n t a n g l e m e n t e n t r o p ya n dc e n t r a lc h a r g e s ，t h el e n g t ho fr i n g s w et h e nd i s c u s s t h ei n f o r m a t i o nl o s sm o n gt h er e n o r m a l i z a t i o ng r o u pt r a j e c t o r y i nc h a p t e r3 ，b a s i n go nt h el i ea l g e b r a ，w ee x t e n dt h en o t i o no fc o n c u r r e n c e i n t r o d u c e db yh i l la n dw o o t t e r st oh i g hd i m e n s i o nh i l b e r ts p a c e w ec a l l t h i sg e n e r a l i z e dq u a n t i t y “c o n c u r r e n c ev e c t o r ”f o rp u r es t a t e w ec a du s e t h en o r mo fc o n c u r r e n c ev e c t o rt om e a s u r et h ee n t a n g l e m e n to ft h es t a t e w ea l s ot r yt oe x t e n dt h ec o n c u r r e n c ev e c t o rt os t u d ym i x e ds t a t e i nt h e c h a p t e r w ec a l c u l a t et h ee n t a n g l e m e n to f3 3b i p a r t i t es y s t e ma sa ne x a m p l e w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f “c o n c u r r e n c ee d g e a n dd i s c u s st h ee x i s t e n c e c o n d i t i o n v v l a b s t r a c t i nc h a p t e r4 ，w es t u d yac o m p o s i t eb i p a r t i t es y s t e mw h i c hc o n t a i n ss p i n 一1 a n ds p i n 一1 2 w ed i s c u s st h eg r o u n d - s t a t ee n t a n g l e m e n tw h e nt h es y s t e mi s d e g e n e r a t e w ei n t r o d u c e do n en o t i o n “a v e r a g ee n t a n g l e m e n t ”t om e a s u r et h e d e g e n e r a t eg r o u n ds t a t e i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h ee n t a n g l e m e n ti nb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，e s p e - c i a l l l yt h eh y d r o g e na t o ma n dl i t h i u mc o l da t o mg a s e s w ec a l c u l a t et h ee l l - t a n g l e m e n to ft h es y s t e ma tz e r ot e m p e r a t u r ea n d f i n i t et e m p e r a t u r e a tv e r y l o wt e m p e r a t u r e ，o n ec a nm a n i p u l a t et h ee n t a n g l e m e n to ft h ea t o mt h r o u g h a d ju s t i n gt h ee x t e r n a lf i e l d s i nc h a p t e r6 ，w ec o n s t r u c tas y s t e mw h i c hc a r r i e so u ts u ( 3 ) r e p r e s e n t a t i o n t h es y s t e mi si n t e r a c t e dw i t he x t e r n a lf i e l d s w eg i v et h ee n t a n g l e m e n ta s s o m ep a r a m e t e r sa r ev a r i e d w ed i s c u s st h ep h y s i c a ls i g n i f i c a n c ew h e nt h e e n t a n g l e m e n ta p p r o a c h e si t sm o s tm a x i m a l l ye n t a n g l e d w ea l s od i s c u s st h e t h r e e 1 e v e ll i p k i n m e s h k o v g l i c km o d e la n ds p i n 一1c o r r e l a t e ds p i n 中文摘要 量子信息论是研究量子规则下的信息论。纠缠是量子信息论中的核心问题， 没有纠缠，许多量子任务不能实现，在这个意义上，纠缠是一种重要的资 源。在最近的几年里，量子纠缠问题得到了充分的重视。本文主要就纠缠及 其在强关联体系的应用做了一些研究。 第一章对量子信息论进行了简要的回顾。分别讨论了纯态和混合态的概念和 一些性质，特别是讨论了纠缠的判别和度量的问题，分别论述了形成纠缠 度、提纯纠缠度和相对熵纠缠度。另外，我们还讨论了几种比较实用和有 效的纠缠度量方法，主要有v o nn e u m a n n 熵、线性熵、负度( n e g a t i v i t y ) 等。 文中还讨论了热力学熵，它在研究有限温度下的两体系统的纠缠度时非常 有用。随后讨论了量子信道问题并简要叙述了量子信息理论的三个实际应 用：密集编码( d e n s ec o d i n g ) 、离态传输( t e l e p o r t a t i o n ) 、量子密码( q u a n t u m c r y p t o g r a p h y ) 。 第二章讨论了强关联体系的纠缠。以x x z 模型为例讨论了一维自旋链的纠缠 量度，随后着重讨论了在量子相变点附近纠缠度的性质，利用共形场论讨论 了在临界点附近纠缠熵与中心荷及链长度之间的关系。并且还讨论了在重整 化群变换下纠缠熵减少的问题。此外还讨论t e n t a n g l e m e n tw i t n e s s 的一些 性质。 第三章在李代数的基础上对二能级体系下的种纠缠度c o n c u r r e n c e 晦 高维情 况进行了推广，我们称之为c o n c u r r e n c ev e c t o r ： c = ( 砂i ( 玩一n q ) 圆( 场一n 口) 矽) 旧p + ) ， 我们可用此矢量的模长来量度一个高维二体纯态的纠缠度。我们还讨论了它 和v o nn e u m a n n 熵和线性熵之间的联系。另方面，我们也尝试着向混合态 的情况进行了一些推广。对于没有束缚纠缠的混合态，我们给了如下一个纠 缠度量公式： c 叩= m a x 0 ，入r 一a 如i c l 2 = i 1 2 i = 2a 口 a b s t r a c t 其中入r = m a x 入尹，i = 1 ，) 入夕是矩阵丁口卢7 - a 胁的本征值的正平方 根， 丁印7 口芦= 加( 玩一n a ) o ( 毋一n ) 矿( 及一n a ) o ( 昂一n 卢) 订 我们同样可用矢量的模长来刻划混合态的纠缠度。文中我们主要就对s u ( 3 ) 态 和s o ( 3 ) 态的c o n c u r r e n c ev e c t o r 进行了比较细的讨论。在最后我们引入了纠 缠边缘的概念，举了几个具体的例子。 第四章讨论了一个自旋为l 和自旋为j 的白旋对在有简并情况下的量子纠缠的 性质。我们分别考虑了有外加磁场和没有外加磁场两种情况。在没有外加磁 场时，系统是高度简并的，我们引入了平均纠缠的概念来量度此时的系统基 态的纠缠性质。 第五章讨论了玻色一爱因斯坦凝聚体的纠缠，主要考虑氢原子和锂冷原子气 中的外层电子自旋和原子核自旋之间的纠缠问题，此时系统的哈密顿量可写 为 h = j ( 、i 。s 。+ i 。s 。+ i z s 0 + c s ；j 广d i z 我们分别对其在零温和有限温度下情况进行了讨论，给出了纠缠度和温度、 外场之间的关系式。通过调节外界的磁场和温度，可以对体系的纠缠态进行 操作。 第六章中我们研究了两体q u t r i t 系统的纠缠性质。首先构造了一个s u ( 3 ) 关联 体系，并考虑了其和外场之间的相互作用： 咒= 且( t ) n a 0 ) + 夕m n ( t ) 风( 歹) ，j ) c e e a r + ( h i ( i ) h 1 0 ) + h 2 ( ) 飓0 ) ) + ( 日1 ( t ) 现( 歹) + 日2 ( t ) 皿( 歹) ) + b l ( h 1 ) + h 1 0 ) ) + 6 2 ( 日2 0 ) + h 2 ) ) ) 我们讨论了系统纠缠的性质，特别是纠缠度随一些参数的变化而改变的情 况，并且讨论了当纠缠度取最大值时的物理意义，还研究了关联函数在临界 点附近的行为。在临界点，关联函数也同样取得最大值。另一方面，我们还 讨论了其他的q u t r i t 系统，如三能级l i p l 【i n m e s h k o v g l i c k 模型和s d ( 3 ) 关联 系统，分别进行了讨论和比较。 b c h a p t e r1 f 1 - 1 ，、 i n t r o c l u c t i o na n du v e r v i e w 1 1b r i e fi n t r o d u c t i o nt oe n t a n g l e m e n t r a f f i n i e r ti s td e rh e r r g o t ta b e tb o s h a f ti s te rn i c h t a e i n s t e i n 1 1 1w h a ti se n t a n g l e m e n t w h a ti sq u a n t u mi n f o r m a t i o n ? q u a n t u mi n f o r m a t i o ni sak i n do fi n f o r m s , - t i o nw h i c hi sc a r r i e db yq u a n t u ms y s t e m sf r o mt h ep r e p a r a t i o nd e v i c et ot h e m e a s u r i n ga p p a r a t u si naq u a n t u mm e c h a n i c a le x p e r i m e n t i nt h es t u d yo f q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，e n t a n g l e m e n tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ea n dm u c hw o r k i sa s s o c i a t e dw i t he n t a n g l e m e n t e n t a n g l e m e n ti saf u n d a m e n t a lf e a t u r eo fq u a n t u mt h e o r y e n t a n g l e m e n t - - t h ed i r e c te n g l i s ht r a n s l a t i o no ft h eo r i g i n a lg e r m a nf o r mv e r s c h r a n k u n gu s e d b ys c h r 6 d i n g e r ll w h i c hs c h r s d i n g e rh i m s e l fc o n s i d e r e d “t h ec h a r a c t e r i s t i c t r a i ro fq u a n t u mm e c h a n i c s 。t h eo n et h a te n f o r c e si t se n t i r ed e p a r t u r ef r o m c l a s s i c a ll i n eo ft h o u g h t s ”q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sp l a y e dac e n t r a lr o l ei 1 1 t h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n to fq u a n t u mm e c h a n i c s ，s i n c ei th a sc o m p e l e dt h e s c i e n t i f i cc o m m u n i t yt of a c et h ee s s e n t i a ln o n l o c a lf e a t u r e so fn a t u r a lp r o c e s s e s i ta r i s e sw h e nt h es y s t e mi sc o m p o s e do fs e v e r a lq u a n t u ms u b s y s t e m s t h e s u b s y s t e m sa r es a i dt ob ee n t a n g l e dw h e nt h es u b s y s t e m sd on o th a v eq u a n t u m s t a t e so ft h e i ro w n i ts h o u l db em e n t i o n e dt h a tq u a n t u me n t a n g l e m e n ti s n o tp u r ef o r m a lq u a n t i t yw h i c hi s d e p e n d e n to nt h es t a t ec o m p l e t e l y t h i s i saq u a n t u me x i s t e n c e u pt on o w q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sn o tb e e n 2 u n d e r s t o o dv e r yw e l l c h a p t e r 工：i n t r o d u c t i o na n do v e r v i e w a tt h eh e a r to fe n t a n g l e m e n tl i e sa n o t h e rf u n d a m e n t a lf e a t u r eo fq u a n t u m m e c h a n i c s ，t h es u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e w ec a nc o n s i d e ras o u r c ew h i c he m i t s ap a i ro fp a r t i c l e ss u c ht h a to n ep a r t i c l ee m e r g e st ot h el e f ta n dt h eo t h e ro n e t ot h er i g h t t h es o u r c ei ss u c ht h a tt h ep a r t i c l e sa r ee m i t t e dw i t ho p p o s i t e m o m e n t a i ft h ep a r t i c l ee m e r g i n gt ot h el e f t ，w h i c hw ec a l lp a r t i c l el ，i sf o u n d i nt h eu p p e rb e a m ，t h e np a r t i c l e2t r a v e l l i n gt ot h er i g h ti sa l w a y sf o u n di nt h e l o w e rb e a m c o n v e r s e l y , i fp a r t i c l e1i sf o u n di nt h el o w e rb e a m t h e np a r t i c l e 2i sa l w a y sf o u n di nt h eu p p e rb e a m i nq u b i tl a n g u a g ew ew o u l ds a yt h a tt h e t w op a r t i c l e sc a r r yd i f f e r e n tb i tv a l u e s e i t h e rp a r t i c l e1c a r r i e s ”0 ”a n dt h e n p a r t i c l e2d e f i n i t e l yc a r r i e s ”l ”，o rv i c ev e r s a q u a n t u mm e c h a n i c a l l yt h i si sa t w o p a r t i c l es u p e r p o s i t i o ns t a t eo ft h ef o r m 0 i1 1 ) 2 + e 畋l l hl o ) 2 1 ( 1 1 ) t h ep h a s e ) ( i sj u s td e t e r m i n e db yt h ei n t e r n a lp r o p e r t i e so ft h es o u r c ea n dw e a s s u m ef o rs i m p l i c i t yx = 0 e q ( 1 1 ) d e s c r i b e sw h a ti sc a l l e da ne n t a n g l e d s t a t e a ni n t e r e s t i n gp r o p e r t yo fa ne n t a n g l e ds t a t ei st h a tn e i t h e ro ft h et w oq u b i t s c a r r i e sad e f i n i t ev a l u e ，b u tw h a ti sk n o w nf r o mt h eq u a n t u ms t a t ei st h a t a ss o o na so n eo ft h et w oq u b i t si ss u b j e c tt oam e a s u r e m e n t ，t h er e s u l to f t h i sm e a s u r e m e n tb e i n gc o m p l e t e l yr a n d o m ，t h eo t h e ro n ew i l li m m e d i a t e l y b ef o u n dt oc a r r yt h eo p p o s i t ev a l u e d u r i n gt h ep a s ty e a r s ，e n o r m o u sp r o g r e s sw a sa c h i e v e di nt h et h e o r e t i c a ls t u d i e so ft h eq u a n t u mf e a t u r e so fm u l t i p a r t i c l es y s t e m s o n ew i l lo b s e r v ee v e n m o r es t u n n i n gc o r r e l a t i o n sb e t w e e nt h r e eo rm o r ee n t a n g l e dp a r t i c l e s 1 4 ；o n e c a ng e n e r a l i z et ot h eo b s e r v a t i o no fi n t e r f e r e n c ea n de n t a n g l e m e n tb e t w e e n m u l t i s t a t ep a r t i c l e sa n dt oe n t a n g l e m e n tf o rm i x e ds t a t e s t h e r ea l s oe x i s t s t h ep o s s i b i l i t yt op u r l f ye n t a n g l e m e n t ，a n do n ec a ne v e nf i n dt w o - p a r t i c l es y s - t e m sw h i c ha r en o tf r o me n t a n g l e ds t a t e s ，b u ta r es u c ht h a tal o c a lo b s e r v e r c a n n o td i s t i n g u i s ht h e mf r o me n t a n g l e ds t a t e s f o re x a m p l e ，t h e r ei saf a m o u st r i p a r i t i t ee n t a n g l e ds t a t eg r e e n b e r g e r h o r n e z e i l i n g e r ( g h z ) s t a t e ： i 矽) = 砺1 ( 0 ) 2 i 。) 3 + 1 ) z ( 1 2 ) t h i sq u a n t u ms t a t eh a ss o m ev e r yp e c u l i a rp r o p e r t i e s a g a i n a si nt w 伊 p a r t i c l ee n t a n g l e m e n t ，n o n eo ft h et h r e eq u b i t sc a r r i e sa n yi n f o r m a t i o no n 7 土讵 j 1b r i e fi n t r o d u c t i o nt oe n t a n g l e m e n t 3 i t so w n ，n o n eo ft h e mh a sad e f i n e db i tv a l u e b u t ，a ss o o na so n eo ft h e t h r e ei sm e a s u r e d ，t h eo t h e rt w ow i l la s s u m eaw e l l d e f i n e dv a l u ea sl o n ga s t h em e a s u r e m e n ti sp e r f o r m e di nt h ec h o s e0 - 1b a s i s t h i sc o n c l u s i o nh o l d s i n d e p e n d e n to ft h es p a t i a ls e p a r a t i o nb e t w e e nt h et h r e em e a s u r e m e n t s f u r t h e r m o r e i fo n el o o ka tt h er e l a t i o n sp r e d i c t e db yt h eg h zs t a t eb e t w e e nt h e t h r e em e a s u r e m e n t sa f t e rp a s s i n gt h ep h a s es h i f f e r sa n dt h eh a d a m a r dt r a n s - 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