（应用数学专业论文）有界阻尼反馈下的混沌控制及其应用研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 摘要 随着非线性科学的蓬勃发展，关于混沌系统的控制研究已经成为数学、物理、 工程力学以及生物、通讯等诸多领域的热点。本文以混沌系统在最小能量下具有 最稳定的状态为出发点，以变量反馈控制方法为基础，研究了有界阻尼和低通滤 波器联合反馈作用下混沌系统的控制问题。主要研究工作包括以下几个方面的内 容： l 、首先概述了非线性动力学的发展历史和研究现状。通过大量的参考文献对 非线性随机动力系统响应、分岔、混沌及混沌控制与同步近几年国内外的发展趋 势进行了探讨。介绍了非线性科学中混沌与混沌控制的基本理论，包括概念、基 本特征、研究方法以及若干研究进展。 2 、从能量角度提出了有界阻尼反馈控制方法，通过减少系统能量实现一类非 线性系统的混沌控制。在反馈控制器的设计过程中，利用低通滤波器滤除控制信 号中的高频噪声。r o u t h h u r w i t z 准则和l y a p u n o v 稳定性理论作为控制有效性的保 证，我们以典型自治c h e n 系统和非自治d u f f i n g v a nd e rp o l 系统为例对该方法进 行验证。数值模拟表明，该控制方法融合了阻尼反馈、有界微扰限制和低通滤波 器三者的优点，通过调整系统反馈增益和滤波器截止频率等参数，仅依赖于系统 可测输出变量即可有效地实现非线性系统的控制。 3 、研究了对称陀螺系统的复杂动力学行为及其反馈控制问题。首先理论上利 用l a s a l l e 不变原理对近似受控系统进行了稳定性分析。其次，在滤波过程中将一 阶r c 低通滤波器和二阶b u t t e r w o r t h 低通滤波函数的控制效果进行比较，由此得 出基于二阶b u t t e r w o r t h 滤波的反馈控制方法能够更有效的将陀螺系统控制到稳 定态。最后，讨论了控制参数及高斯白噪声对控制效果的影响，仿真结果表明该 控制方法不仅操作简单，易于实现，而且在弱噪声干扰下具有较强的鲁棒性。 关键词：非线性动力学，混沌控制，有界阻尼反馈，低通滤波器，b u t t e r w o r t h ， 陀螺系统，最大l y a p u n o v 指数 西北工业大学硕士学位论文摘要 a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ev i g o r o u sd e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，t h ec o n t r o lr e s e a r c ho f c h a o ss y s t e m sh a sb e c o m eah o t s p o ti nm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，e n g i n e e r i n gm e c h a n i c a l ， b i o l o g i c a l c o m m u n i c a t i o n se t c t a k i n gt h em o s ts t a b l es t a t el i e si nm i n i m u me n e r g y 船 t h es t a r t i n gp o i n t , o l lt h eb a s i so fv a r i a b l ef e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d ，t h ed i s s e r t a t i o n e n g a g e di nt h er e s e a r c hw o r ko nf e e d b a c kc o n t r o lp r o b l e mo ft h ec h a o t i cs y s t e mu n d e r b o u n d e dd a m p i n ga n dl o w p a s sf i l t e r 1 1 1 em a i n l yr e s e a r c hw o r ki sp r e s e n t e da sf o l l o w s ： 1 f i r s t l y , t h ep a p e rs u m m a r i z e st h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n dr e s e a r c hs t a t u so f n o n l i n e a rd y n a m i c s b a s e do nag r e a tn u m b e ro fr e f e r e n c e s ，t h ed i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e s t h er e c e n tf e wy e a r sd e v e l o p m e n tt r e n do fr e s p o n s e ，b i f u r c a t i o n ，c h a o s ，c h a o sc o n t r o l a n ds y n c h r o n i z a t i o ni nn o n l i n e a rs t o c h a s t i cd y n a m i cs y s t e mh o m ea n da b r o a d t h e nt h e b a s i ct h e o r yo fc h a o sa n dc h a o sc o n t r o li nn o n l i n e a rs c i e n c ea r ei n t r o d u c e d ，i n c l u d i n g c o n c e p t s ，r e s e a r c hm e t h o d sa n ds e v e r a lp r o g r e s s e s 2 f r o me n e r g yp o i n to fv i e w , ab o u n d e dd a m p i n gf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o di sp r o p o s e d t oa c h i e v ec h a o sc o n t r o lb yr e d u c i n gs y s t e me n e r g yf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m i n t h ed e s i g no ff e e d b a c kc o n t r o l l e r , al o w p a s sf i l t e ri su s e dt of i l t e rt h eh i 曲f r e q u e n c y n o i s ef r o mc o n t r o ls i g n a l s r o u t h - h u r w i t zc r i t e r i aa n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya sa g u a r a n t e eo fv a l i d i t y , t h ec o n t r o lm e t h o di sv a l i d a t e db yt a k i n gt h et y p i c a la u t o m a t i c c h e ns y s t e ma n dn o n - a u t o m a t i cd u f f i n g v a nd e rp o ls y s t e mf o re x a m p l e s i m u l a t i o n s h o w st h a tt h ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri n t e g r a t e st h em e r i t so fd a m p i n gf e e d b a c k ，b o u n d e d p e r t u r b a t i o nr e s t r i c t i o n sa n dl o w - p a s sf i l t e r b ya d j u s t i n gc o n t r o lp a r a m e t e r s ，s u c ha s f e e d b a c kg a i na n dc u t t i n gf r e q u e n c yo ff i l t e r , i tc a na c h i e v et h ec o n t r o lo fn o n l i n e a r d y n a m i c se f f e c t i v e l yo n l yb a s e d o nm e a s u r a b l ev a r i a b l ev i an u m e r i c a ls i m u l a t i o n 3 t h ec o m p l e xd y n a m i c so fa s y m m e t r i cg y r o s c o p es y s t e ma n di t sf e e d b a c kc o n t r o la r e i n v e s t i g a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n f i r s to fa l l ，u s i n gl a s a l l ei n v a r i a b l et h e o r e m ，as t a b i l i t y a n a l y s i s i sg i v e nt h e o r e t i c a l l y t h e nc o m p a r i n gt h ec o n t r o le f f e c to fo n e - o r d e rr c l o w - p a s sf i l t e rw i t ht w o o r d e rb u r e r w o r t ho n ei nf i l t e r i n g ，w ec o n c l u d et h a tt h e f e e d b a c kc o n t r o lm e t h o dw h i c hb a s e do nt h et w o o r d e rb u t t e r w o r t hf i l t e rc a nc o n t r o l 西北工业大学硕士学位论文摘要 = ! = 一i i i l l e ￥e ! = = = 自= = = ，日t = = j ，_ e _ _ ，= _ _ ，| ，= = 目| 目= j = = e 一 c h a o t i cg y r os y s t e mt oam o r es t a b l es t a t ee f f e c t i v e l y f i n a l l y , t h ea f f e c to fc o n t r o l p a r a m e t e r s a n dw h i t eg a u s sn o i s ei sd i s c u s s e d s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h e i m p l e m e n t a t i o no ft h i sc o n t r o lm e t h o di ss i m p l ea n de a s yt oa c h i e v e i na d d i t i o n , t h e c o n t r o l l e rh a ss t r o n gr o b u s t n e s sw i t hw e a ke x t e r n a ln o i s e k e y w o r d ：n o n l i n e a rd y n a m i c s ，c h a o sc o n t r o l 。b o u n d e dd a m p i n gf e e d b a c k ，l o w - p a s s f i l t e r , b u t t e r w o r t h ，c - y r os y s t e m ，m a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t s i t l 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在棱攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送变论文韵复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编奉学位论文。 同时本人保证，毕业后绪台学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北- 、止 大学。 保密论文待解密后适用率声明。 指导教师签名 月弘日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人却重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导f 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除义中已经注明引用的内窖 和致谢的地方外，本沦文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他己申请学位或其他用途使用过的成果。对本文钓研究韫出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名 年 州 擎 ； 年 7 乙 西北工业大学硕士学位论文第一章 1 1 非线性科学概述 第一章绪论 自然界及人类社会中的各种现象，就其普遍规律来看，其数学模型实际上都呈 现出非线性性质。所谓的线性问题，只不过是在一定阶段、一定条件下的近似，或 者是由于分析手段所限，人为地略去非线性因素而进行的线性化处理。2 0 世纪7 0 年代以来，以混沌( c h a o s ) 、分岔( b i f u r c a t i o n ) 分形( f r a c t a l ) 、孤立子( s o l u t i o n ) 和复杂性( c o m p l e x i t y ) 等为主体的非线性科学【1 】刮起了“非线性风暴”，横扫了线 性观的各个角落，改变了人们对现实世界的许多传统看法。非线性科学研究以其 理论的深刻性和应用的广泛性成为自然科学领域- # 最活跃的前沿。同时，由于其 对确定与随机，有序与无序，偶然与必然，量变与质变，整体与局部等数学范畴 和哲学概念的再认识，深刻影响了人类的思维方式。 非线性动力学具有复杂的特殊现象，因此认识复杂系统的内在机理和奥秘已 经成为当今非线性理论研究与数值分析的重要主题。其中，确定性系统中混沌的 研究首当其冲地奠定了非线性科学的基础。可以说，产生于数学与物理学领域的混 沌理论，它与相对论，量子论一起被誉为2 0 世纪三大科学，使得描述自然界的两种 对立的方法论( 确定论与概率论) 达到了和谐而完美的统一。如果况相对论消除 了关于绝对空间和时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦 想，而混沌理论则打破了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想1 3 1 。自然界中混沌 是普遍存在的，规则运动相对的只在局部的范围和较短的时间存在。有鉴于此， 人们对混沌运动的规律及其在自然科学和社会科学中的表现有了比以前更广泛和 更深刻的认识，其影响所及，不仅使应用数学、力学和物理学获得了巨大进展， 而且对电子工程，振动工程、化学工程、生物工程等工程技术以及社会科学和人 文科学各个领域的研究发展产生了深远的影响。 目前人们探讨较多的只是确定性系统所具有的现象，但大多数实际系统中往 往受到随机噪声与非线性的相互作用，确定系统模型只是实际系统的理想化，随 机系统对自然规律的描述更为本质和真实。因此，深入研究非线性随机现象的本 质，刻画其基本特征，了解它的动力性态、掌握其内在规律，并在此基础上加以 西北工业大学硕士学位沦文 第一章 控制和利用使之为人类服务具有重要的科学意义和实际的指导价值。 1 2 非线性科学的产生与发展 在古代，无论是中国还是西方，混沌都表示宇宙未形成之前的元气( 无序状 态) 1 2 】。到了近代。以牛顿和拉普垃斯关于世界的自然图景模式，被人们广为接受， 并一直占据主导地位。然而，当混沌理论产生时，牛顿及其追随者抛弃了古希腊 学者朴素的辩证思想，把混沌与混乱、无规则等同，他们认为整个宇宙都在可预 测之中，从上帝施加第一推动力的时刻起，宇宙就成了像一架钟表，他们按照确 定的方式运行，无论是过去、现在和未来，只要有了方程和初始条件就知道了一 切【3 】o 科学发展到1 9 世纪，法国数学、物理学家j h p o i n c a r e 在研究保守系统天 体力学时，以太阳系的三体运动问题为背景，发现了三体引力相互作用可以产生 不稳定的复杂的随机行为，而且对初始条件具有高度敏感依赖性，这实质上就是 所谓的“混沌现象”。1 9 6 3 年美国气象学家e n l o r e n z 4 1 在对大气对流模型的计算 机数值计算中，发现了所谓的“蝴蝶效应”，即所谓的“差之毫厘，失之千里”， 产生了确定系统的非周期性和长期行为的不可预测性等混沌特征，取得了现代混 沌研究的第二个突破性进展。 虽然人们发现了自然界中大量的“非线性”、“非平衡”现象，但最早提出“混 沌”概念的是华人学者李天岩和他的导师美国数学家j y o r k e 。1 9 7 5 年，他们联名 发表的周期3 蕴含混沌1 5 1 首次提炼出了混沌概念的数学表述，深刻揭示了从有 序到混沌的演变过程。1 9 7 6 年，r m a y 发表的题为具有复杂动力学过程的简单数 学模型综述文章，促进了不同领域混沌学研究连成一体，也为这一领域研究的 新涉足者提供了一条有效的通道。同年，法国天文学家m h e n o n 在混沌研究热潮 的影响下，通过对l o r e n z 方程的简化，得到了h e n o n z 维映射。此外，法国数学家， 分形学创始人b m a n d e l b o t 对混沌的几何特性的研究做出了杰出贡献。他子1 9 7 3 年提出了分形几何学，为探索描绘种种不规则的、回转曲折的相空间轨道提供了 理想的工具。7 0 年代，美国物理学家m j f e i g e n b a u r m 发现了著名的f e i g e n b a u r m 常数，还把相变临界态理论中的苫适性、标度性、重正化群方法引入混沌研究， 建立了关于一维映射混沌现象的苫适理论，把混沌学研究从定性分析推进到了定 量计算的阶段，成为混沌研究的一个重要的里程碑。自1 9 7 5 年开始，“混沌”作 2 西北工业大学硕士学位论文第一章 为一个新的科学名词在文献中出现。到8 0 年代初，混沌学已经脱离古代混沌观而 发展成为一门具有明确的研究对象、独特的概念体系和方法论框架的新学科。 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制就 成为混沌研究和应用的关键环节。1 9 8 8 年，美国工业和应用数学协会( s i a m ) 发 表了一份题为“控制理论未来的发展方向”的指导性文献，特别将“混沌控制” 作为了一个新的研究方向【1 2 】。1 9 8 9 年，a h u b b l e 1 3 1 在他发表的一篇文章中首次提 出混沌可以被控制的现象，但真正引起人们关注混沌控制的足2 0 世纪9 0 年代初 以美国数学家e o n ，c g r e b o g i 和j y o r k e h 】为代表的里程碑式论文。很快他们提 出的参数小微扰混沌控制的思想( o g y 方法) 被w l d i t t o t 、s 1 等人在力学实验中 证实，稍后被r r o y l l 6 等人在一个激光系统中加以利用和拓展。随后的1 0 多年中， 有关混沌控制的研究得到了蓬勃发展。这期间人们提出了各式各样控制混沌的方 法及其理论，并在自然科学的众多实际领域内的实验和应用中得到证实。几乎与 研究控制混沌工作起步的同时，2 0 世纪9 0 年代，t m c a r r o l l 和l m p e e o r a 提出 在混沌信号驱动下，两条不同初值的混沌轨道可以同步化【1 7 】，并在电子电路上首次 观察到混沌同步现象。同年，d i t t o 及其同事很快利用o g y 控制混沌的思想首次在 一个物理系统上，即对磁弹性体混沌系统实现了周期1 的稳定控制。他们的工作 和o g y 控制混沌的工作。极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究，拉开了 利用混沌的序幕。 在自然界和工程系统中还存在一大类非线性现象，如近地面大气湍流的运动、 地震地面运动、强震强风作用下建筑物和桥梁的振动等等，这类现象的共同特点 是系统受到随机噪声的扰动，即随机振动【6 。7 】。随机振动是机械振动和结构力学与 概率论相结合的产物，与通常所说的确定性振动不同，其振动历程既不能预测， 也不能重复，此时确定性的数学处理方法已经失效，系统动力学特性必须通过概 率密度函数或统计特征量来描述。非线性随机动力学源于2 0 世纪初e i n s t e i n 首先对 布朗运动作了理论解释，是自然现象随机模型化的开端。1 9 4 0 年至1 9 6 0 年相继发 展了随机噪声理论、随机振动及随机结构动力学o 】，以满足通信、航空航天、机 械、土木及海洋工程的需要。2 0 世纪5 0 年代初，由于航空工程发展的需要，机械 振动开拓了一个新的研究领域一一随机振动。1 9 6 2 年美国声学学会的一次讨论会有 效的促进了非线性随机振动理论的研究，扩散过程方法和随机微分方程理论也相 继引入随机振动分析，发展了多种预测非线性系统随机响应的方法。与此同时， 西北工业大学硕七学位论文 第一章 随机系统的稳定性与参激随机振动理论也有较大的发展，还发展了结构对宽带随 机激励的响应的近似方法，在随机激励下结构的振动计算、隔振设计、可靠性与 疲劳寿命估计等方面也提出了多种近似方法。 工程中大量的随机振动问题属于确定性系统在随机激励下的响应问题，以往 的理论研究中，绝大多数随机激励模型为白噪声或者经过滤波器产生的有色噪声。 但在某些情形下，随机激励并非g a l l s s 过程，有界噪声激励模型是一个更为合理 的模型。s t r a t o n o v i c h 8 】首先讨论了这个随机过程， 后d i m e m t b e r g ”】对此进行了 进一步研究，而l i n 和l i 【1 0 j 在研究大跨桥梁的稳定性时，使用有界噪声模型表示湍 流。使随机激励的研究与应用有了一个大的跨越，具有更广泛的应用前景。总之， 非线性科学的发展经历了从认识了解、深化研究到工程应用的不同阶段。当前， 如何把非线性科学发展为应用技术并将其研究成果为人类服务已经成为2 1 世纪非 线性科学发展所面临的新的重要课题。 1 3 非线性科学的研究现状 1 3 1 非线性随机动力系统响应的研究 目前，线性系统的随机振动理论已相当成熟，相关的结论可参见a r n o l d 的专著 【1 引。在非线性随机振动方面，非线性随机动力系统响应的研究是非线性系统研究 的一个中心问题。由于绝大多数描述非线性随机系统的微分方程没有求得精确解 的有效方法，自2 0 世纪以来，人们发展了各种近似分析方法，大致可分为两类： ( 1 ) 将确定性非线性系统的渐近分析方法推广到随机振动领域，如摄动法、多 尺度法、等效线性化方法，等效非线性化方法和随机平均法等。摄动法的基本思 想是p o i s s o n 在1 8 3 0 年研究单摆振动时提出的，随后l i n d s t e d t 在1 8 8 3 年解决了摄动 法的久期项问题，现今摄动法是非线性确定与随机动力学研究中极为重要的近似 解析方法。等效线性化方法 t 9 - 2 0 1 使用一个具有精确解的线性系统代替给定的非线 性系统，使两方程之差在统计意义上为最小，详见s p a n o s ，r 0 b e r t s 和s p a n q s 的专著。 在等效线性化方法的基础上还发展了二阶线性化、广义等效线性化和等效非线性 化等各种响应预测的方法。在处理多自由度非线性系统的随机响应和可靠性问题 时，等效非线性化方法仍是最为简单可行的方法。随机平均法是一类方法的总称， 西北工业大学硕士学位论文第一章 这种方法在随机振动中获得的应用有三种：标准随机平均法、能量包线平均法以 及f p k 方程系数平均法。随机平均法由确定性系统的平均法发展而来，至今己成为 随机振动分析中应用最为广泛的一种方法，它的理论由s t r o t o n o v i t c h k h a m i n s k i i 定 理【2 0 捌保证。x u 及其合作者【2 3 五5 】用改进的多尺度法分析了强非线性系统在谐和力 与窄带噪声共同激励下的随机响应与稳定性，考察了窄带随机激励下d u f f i n g 系统 响应的双峰p d f ，补充了以前关于非线性情形所得的结果。结合同伦理论和参数展 开技术提出了p e h a m 法，这种方法不依赖于系统参数，克服了经典摄动法对系统 小参数的依赖，因此可以求解强非线性动力系统的系统响应。这些由确定性系统 发展而来的研究随机系统的近似分析方法虽然在工程实际中有着广泛的应用，但 其严格的数学基础和适用范围尚待进一步研究。 ( 2 ) 将概率论、随机过程以及随机微分方程运用到非线性系统的振动分析中， 如f p k 方法、矩闭合法、函数级数法和随机数字模拟法等。f p k 方程是由2 0 世纪 6 0 年代初随着扩散过程方法和随机微分方程方法相继引入而发展起来，是以求解 非线性系统的随机响应过程的概率密度函数为目标而建立起来的一种计算方法。 但能求得精确解的f p k 方程只有少数几类【，不能满足随机振动的求解的需要。 于是发展了许多f p k 方程近似解析解与数值求解方法。常用的近似解法 2 m 9 】主要有 随机平均法、正交函数展开等等。数值方法主要有有限元法、有限差分法、指数 多项式闭合法，路径积分法等等。有限差分法是最早用于求解偏微分方程的数值 方法之- - 1 3 0 - 3 i ：路径积分法的基本思想是在空间和时间上分别离散化，以路径和 代替积分，即通过连接短时转移概率密度形成全局转概率密度，得到状态矢量的 联合概率密度函数m 3 3 】。矩方程法是求解非线性系统随机响应的一种近似方法， 分为g a u s s 矩法和非g a u s s 矩法。g a u s s 矩法适用于响应为g a u s s 过程的系统，可利用 g a u s s 矩之间的关系来截断矩方程，以求出响应的各阶矩；非g a u s s 矩法适用于一类 非线性系统，虽然其激励为g a u s s 过程，但响应不是g a u s s 过程，从而求出的矩方程 是不封闭的。函数级数法是将系统输入与输出按某类函数级数展开，将随机系统 转换为确定性系统再进行研究。选取的函数级数不同会有相应的方法来处理，其 中w i e n e r h e r m i t e 随机多项式展开【排3 5 】是一种常用的方法，它可以处理非g a u s s 或 非平稳噪声激励的随机系统的响应。随机数字模拟法是对随机非线性动力学系统 研究中另一种有效的方法，目前已广泛应用到的是由h s u 3 6 】在1 9 9 2 年将简单胞映 射与m a r k o v 链理论相向结合，提出的广义胞映射法。广义胞映射法本质是改进的 西北工业大学硕十学位论文第一章 蒙特卡洛方法，这些改进极大地提高了计算效率，在随机系统的研究中占有明显 的优势。此后。相继发展出各种形式的胞映射方法，如插值胞映射，点映剁胞参 考等。1 9 9 5 年，h s b l 3 7 1 将广义胞映射法进一步与图论及偏序结合起来，提出广义 胞映射的图论方法，使得动力系统的某些特性( 稳定流形，不稳定流形) 的计算 变得比较方便。h o n g 等口s 】利用广义胞映射图方法，研究了一类非线性系统的激变 行为，x u 等【3 9 利用广义胞映射图方法，研究 t d u f f i n g ，d u f f i n g v a nd e rp o l 在噪声 作用下系统的随机激变行为，揭示了这些系统的全局随机分岔现象。 以上这些关于非线性随机振动系统响应的研究成果，绝大多数都是在g a u s s 随 机( 宽带) 噪声激励( 包括外激与参激) 下对弱( 拟) 非线性系统与单自由度强 非线性系统得到的，在g a u s s 窄带随机噪声激励或非g a u s s 随机噪声激励或有色噪声 激励下的单自由度( 强) 非线性系统或多自由度( 强) 非线性系统的响应研究， 所取得的结果主要是钳对一些特定的系统【2 3 - 2 5 。对于一般的随机系统至今还没有 有效的方法，有待进一步研究。 1 3 2 非线性动力系统随机分岔与混沌的研究 随机分岔是指由随机扰动引起系统的定性性质的变化。随机分岔主要有两类： 动态分岔或d 一分岔和静态分岔或p 一分岔。d 一分岔是指不变测度的稳定性随参数发 生变化，可用l y a p u n o v 指数正负号的变化作为随机分岔的标准。p 一分岔是指平稳 概率密度函数的形状随参数发生变化，如从单峰变为双峰或变为火山口峰。1 9 8 7 年，l a r n o l d 用l y a p u n o v 指数给随机分岔下了一个定量的定义，b o x i e r 在a r n o l d 工 作的基础上，证明了随机中心流形的存在性和随机中心流形定理。n a m a e h c h i v a y a 等用随机平均法分别研究了有色噪声参激以及参激和外激联合作用的h o p f 分岔 系统的不变测度，a r i a r a t n a m 和x i e 使用k h a s m i n s k i i 方法计算了白噪声参激的 p i t c h f o r k 分岔和h o p 盼岔系统的最大t y a p u n o v 指数。 1 9 9 8 年，c r a u e l 和f l a n d o l i 讨论了一个临界的p i t c h f o r k 分岔系统，揭示了随机分岔与确定性分岔的不同行 为。1 9 9 8 年，s p r i n g e r 出版了l a r n o l d 的专著随机动力学系统m 】。总结了此 前随机动力学系统的主要理论戌果。 2 0 0 0 年。b u t k o v s k i i 等【4 l 】通过对平方随机映射系统的吸引域的结构分析，研 究了该系统的随机分岔行为。2 0 0 3 年，k o n n a 等【4 2 】从理论方面研究了系统的随机分 西北工业大学硕士学位论文第一章 岔。借助于随机系统的m a r k o v 算子，s h i l ld o i t 4 3 】通过分析随机动力系统的平均周 期，从系统的锁相意义上定义了系统的随机分岔。x u 等】利用广义胞映射方法， 研究了在噪声作用下系统的随机全局分岔行为，从拓扑的意义指出随机分岔可看 作是随机吸引予和鞍特性的突变。2 0 0 6 年，x i o n g 【4 5 】研究了混沌的随机分岔行为， 发现高斯噪声能系统的分岔点发生偏移。目前随机分岔的研究仅局限于在几个简 单的低维随机系统的跨l 临界分岔、叉形分岔和h o p 份岔，最大l y a p u n o v 指数的计 算也大多局限于k h a s m i n s k i i 方法，对于高维系统的随机分岔的研究还比较少。因 此发展处理高维非线性系统的研究方法是非常迫切和重要的问题。 随机混沌主要是研究确定性混沌系统在随机微扰下的动力学行为，研究方法 主要依靠解析方法和数值方法。数值方法主要有：分频采样法、l y a p u n o v 指数法、 p o i n c a r 截面、功率谱分析法等。解析方法主要有：离散映射法、平均法和多尺 度法、三级数法和广义谐波平衡法以及研究动力系统的全局混沌动力学行为的规 范型理论和m e l n i k o v 方法，其q b m e l n i k o v 6 3 1 方法是预测系统出现混沌运动的一种有 效的解析方法。1 9 9 0 年，b u l s a r a 等m 1 利用m e l n i k o v 方法研究了弱g a u s s i 刍噪声作用 对非线性耗散系统的同宿轨道阈值的影响。1 9 9 3 年，f r e y 薷q s i m i u l 4 7 将m e l n i k o v 方法推广到随机情形并提出随机m e l n i k o v 方法，从而用解析方法得出：针对一类系 统，随机力和谐和力的作用机理相同，两者都能促进通过鞍点的稳定流形和不稳 定流形横截相交，进而产生混沌。1 9 9 7 年，j gw e i 和gl e n g 4 8 】用数值方法讨论 了随机微扰对混沌系统l y a p u n o v 指数的影响，发现随机扰动能使系统稳定化。1 9 9 8 年，h k a n t z 讨论了从确定性混沌到随机过程的变化过程。2 0 0 2 年，s i m i u 4 9 1 版 了关于随机m e l n i k o v 过程方法的专著，为随机m e l n i k o v 过程的分析奠定了理论基 础。 总之随机分岔和混沌的根源来自非线性，在最近几次相关的国际非线性随机 动力学会议上，国内外学者对非混沌运动，确定系统混沌和由随机分岔导致的随 机混沌的概念、联系与区别的研究以及这些问题在力学、物理、化学、生物、医 学以及金融领域的应用研究表现出极大的兴趣。因此这一研究领域是当前国际上 非线性动力系统的前沿课题，不但具有重要的科学意义，而且具有理论的指导意 义。 西北工业大学硕士学位论文第一章 1 3 3 混沌控制与同步的研究 在许多实际问题中，混沌是一种有害的运动形式，因此抑制混沌成为混沌控 制的一个重要任务近2 0 年来，随着非线性科学的蓬勃发展，混沌控制在工程中 的应用日益受到重视，并成为国内外科学工作者的一个研究热点。迄今关于确定 性非线性动力系统的混沌控制与同步已有不少成果【5 0 】，针对不同的任务目标，提 出了不同的控制与同步方法【5 3 1 。其中以o g y 反馈控制方法为先导，此后学者们 对该方法进一步加以改进和推广，并提出了许多有效的反馈控制方法。与此同时， 另一类非反馈控制法相继被提出。1 9 9 5 年，q u 和h u 等人发现相位角在弱谐和 周期力控制混沌中具有重要的作用。1 9 9 9 年，r a m e s h 和n a r a y a n a n 口4 】针对各种非 反馈控制方法，研究了服从均匀分布的噪声在控制系统中的稳健性。2 0 0 2 年， c r i s t e s c u ”】研究了随机噪声可将两个耦合的v a nd e rp o l 振子的混沌系统行为转 变为周期行为。2 0 0 4 年，j a n s o n i ”1 提出利用时间时滞反馈控制方法可控制一致共 振( c o h e r e n c er e s o n a n c e ) 系统中噪声污导的运动，通过选择适当的时间时滞，可 增强或减弱系统的规则行为。 抑制混沌的研究显示，周期驱动信号的可使一个混沌系统产生周期输出，这 实际上可以看作是一种同步现象。通俗的说，混沌同步就是指两个或多个混沌系 统在耦合作用或外力作用下调整某个动态性质以达到一个共同行为的过程。随着 同步研究的深入，各种混沌同步想象不断被发现口”。同步现象可分为相同混沌系 统同步与不同混沌系统同步。相同混沌系统同步主要是完全同步( c s ) ；不同混沌 系统同步既包括完全同步也包括相同步( p s ) ，广义同步( g p s ) ，滞后同步( l s ) ， 阵发滞后同步( i l s ) 及广义同步( g s ) 等。众所周知，噪声对系统的稳定性在某 种程度上有一定的破坏作用，但噪声侄混沌系统的同步方面有着积极的作用。1 9 9 4 年，m a f i t a n 5 8 】提出噪声能使两个完全相同的未耦合的系统达到完全同步。2 0 0 1 年， h w a n g 等以随秽l z a s l a v s k y 映射为例，分析了随机动力系统随机同步的机理，同年， p i k o v s k y 研究了系统的相同步与系统的随机性之间的关系。2 0 0 2 年，z h o u l 5 9 1 等对 噪声诱导同步这一机理做了很好的解释，并提出噪声可以诱导系统的相同步。2 0 0 6 年，b a l a k r i s h n a n l 6 0 1 从几何观点进一步分析了耦合的随机动力系统相同步，这为实 验观察和数值模拟得到的噪声诱导的相同步提供了很好的解释。 西北工业大学硕士学位论文第一章 1 4 本文的主要工作 本文基于最小能量的混沌控制理论，研究了有界阻尼和低通滤波函数联合作 用下混沌系统的控制问题。利用r o u t h h u r w i t z 准则和l a s a l l e 不变原理，结合数 值模拟对一类非线性混沌系统及其控制进行了探索与研究。论文共分为五章，主 要内容安排如下： 第一章论述了本文选题的背景和概况，在此基础上介绍了非线性动力学 的发展历史和研究现状。通过大量的参考文献对非线性随机动力系统响应、分岔、 混沌及控制与同步近几年国内外的发展趋势进行了探讨，最后概述了本文所要进 行的主要工作。 第二章介绍了非线性科学中混沌与混沌控制的基本理论，并对混沌与混 沌控制的定义、基本特征及研究方法进行了阐述。给出本文用到的理论知识，包 括r o u t h - h u r w i t z 准则、l y a p u n o v 稳定性定理、l a s a u e 不变原理以及随机噪声模 型，为第三、四章的应用研究提供了理论依据。 第三章从能量角度研究一类非线性系统的控制问题。研究并改进了变量 反馈控制方法，提出了有界阻尼反馈控制策略，通过减少系统能量函数实现混沌 控制。在反馈控制器的设计过程中，利用低通滤波器作为阻尼变量的估计，结合 有界函数，设计出仅依赖于可测信号的阻尼反馈控制策略。我们以典型自治c h e n 系统和非自治d u f f i n g v a nd e rp o l 系统为例对该方法进行验证，稳定性理论和数值 模拟相互论证，表明了所提出的方法的合理性和有效性。 第四章结合第三章设计的有界阻尼反馈控制方法，研究了对称陀螺系统 的复杂动力学行为及其控制问题。首先理论上利用l a s a l l e 不变原理对受控系统进 行了稳定性分析，在反馈阻尼的估计中将一阶和二阶低通滤波函数的控制效果进 行比较。数值模拟结果表明二阶b u t t e r w o r t h 低通滤波器控制方法能够更快更有效 的将混沌陀螺系统稳定到稳定态。此外还讨论了控制参数及噪声对控制效果的影 响，结果表明该控制方法不仅操作简单，易于实现，而且在弱噪声干扰下具有较 强的鲁棒性。 最后，在第五章概括和总结了论文的工作和创新之处，并对今后有待进一步研 究的相关内容和方向进行了展望。 西北工业大学硕士学位论文 第二章 第二章混沌与混沌控制的理论及方法 2 1 混沌的基本理论 2 1 1 混沌的定义及基本特征 混沌是确定性系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的现象。由于混沌系 统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，时至今日，科学上仍没有能给混 沌下一个完全统一的定义。目前，已有的定义是从不同的侧面反应了混沌运动的 性质，常用的包括：离散动力系统( 映射) 的l i y o r k e 意义下的混沌定义、d e v a n e y 意义下的混沌和k a p i t a n i a l 利用转移概率密度给出的随机混沌的定义。 定义2 1 ：( l i y o r k e 的混沌定义f 5 】) l i ，y o r k e 定义是迄今为止关于混沌公认的最为 系统和严密的数学定义，该定义可描述为：区间，上的连续自映射f ( x ) ，如果满 足下面的条件，便可确定它有混沌现象： ( 1 ) f 的周期点的周期无上界： ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足： ( i ) 对任意x ，) ，s ，当x y 时，有l i ms u p l f “( x ) 一f ”o ) l 0 i ( i i ) 对任意x ，y s ，有l i r a i n f l f ”( x ) - f ”( y ) | 0 ； ( i i i ) 对任意x s 和f 的任一周期点y ，有l i m s u p i ，”o ) 一，”0 4 0 ； 该定义准确地刻画了混沌运动地几个重要特征：存在可数无穷多个稳定的周期轨 道；存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；至少存在一个不稳定的非周期轨道。 定义2 2 ：( d e v a n e y 瓶沌定义闱) 1 9 8 9 年，r l d e v n e y 绘出了混沌的又一种定 义：设v 是一度量空间，映射f ：v 寸矿，如果满足下面3 个条件，便称，在y 上 是混沌的。 ( i ) 初值敏感依赖性；存在万 0 ，对任意的s 0 和任意的x 矿，在x 的，邻域内 存在y 和自然数h ，使得d ( f ”( x ) ，f ”o ) ) j ； 西北工业大学硕士学位论文第二章 ( i i ) 拓扑传递性；对矿上的任意对开集x ，y ，存在k 0 ，f ( x ) n y 由。 ( i i i ) ，的周期点集在矿中稠密。 定义2 3 ：( 随机混沌的定义m 1 ) x ( t ，w ) ；“( ，w ) ，x 2 ( t ，们，( ，们) 7 是一个随机 过程，p ( x ( t ，w ) l x ( o ，1 ，) 为其转移概率密度，如果 ( i ) 存在x c r ”，使得，y ，p ( x ( t ，访) i x ( o ，w ) = 0 ； 州，v 堆z ( i i ) 边缘密度e ( x 。( t , w ) l x ，( o ，w ) ( ，= l ，2 ) 有多个极值； ( i i i ) 要p o