（概率论与数理统计专业论文）树半序约束下多指数总体均值的估计.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 约束条件下的统计推断已经成为当今统计分析中的一个重要领域，在史宁中的论文 保序回归和极大似然估计中指出了对于指数分布利用p a v a 算法进行极大似然估计 的保序回归效果并不是很理想。但是对于正态分布保序回归做的很好，并且指出了对于 正态分布简单半序约束下极大似然估计( r 儿e ) ，有着比样本均值更小的均方误差。其 中特别指出了在l e e ( 1 9 8 1 ) 的论文中讨论了在简单半序( y y ：s sy 。) 中正态分布 的约束极大似然估计均方误差要小于通常的极大似然估计均方误差。关于指数分布在树 约束条件下多个指数总体均值的约束极大似然估计问题并没有人讨论过。 本文第二部分：样本容量不同时，给出在树约束条件下多个指数总体均值的约束极 大似然估计。在这个部分首先讨论了样本容量不同时，树约束条件下两个和三个指数总 体均值的约束极大似然估计问题。通过对他们的讨论，归纳分析了样本容量不同时，在 树半序约束( a 。sa ，其中，( f = 1 ，2 ，3 ) ) 下多个指数总体均值的约束极大似然估计形式 问题。 本文第三部分：讨论样本容量相同时，在树约束下( a 。sm i n ( 2 ：五，) ) 三个指数总体 均值的约束极大似然估计( r m l e ) 与样本均值均方误差比较问题。讨论结果： la ，= a ，时：约束极大似然估计均方误差要比均值均方误差要小。 2 a 2 a 3 时： 1 ) j ，m i n ( ) 7 ，i ，) 时：约束极大似然估计均方误差与比均值均方误差相等。 2 ) 丘ci 时：约束极大似然估计均方误差要比均值均方误差要小。 3 ) 五tj ，时：约束极大似然估计均方误差要比均值均方误差要小。 4 ) ma x ( 正，豆) si 时：a a ，时积分结果不能明确显示与0 的关系，利用数值实 验进行分析。数值实验结果没有显示出约束极大似然估计与均方误差比均值均方误差更 好( 积分结果给出) 。 关键词：树半序约束；约束极大似然估计；均方误差 丝兰曼垫塞! 兰塑墼璺笪塑堡塑笪生 e s t i m a t i o no fs e v e r a ls a m p l e se x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s u n d e rs i m p l et r e eo r d e r a b s t r a c t t h ep r e s e n tp a p e rd e a l sw i t ht h ee s t i m a t i o no f t h em e a n so f s e v e r a ls a m p l e se x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n s ，w i t ht h ed i f f e r e n ts a m p l es i z eb n d e rs i m p l et r e eo r d e r i nc h a r t e r2 ，t h en l a x i l n u mb k e l i h o o de s t i m a t o ri sg i v e ni nt h i sp a p e rw i t ht h ed i f f e r e n t s a m p l es i z eu n d e rs i m p l et r e eo r d e r ( 。s ，( j = l ，2 3n ) ) i nc h a r t e r3 ，l e t x , ，i = l ，2 ，3 h e t h e o b s e r v a t i o n s f r o m t h r e ee x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n s w i t h u n k n o w nm 或i n s a ，f r o me x p e r i e n c e ，w em a yn s b - n 1 m et h a tt h e r ea r es o m eo r d e rr e s t r i c t i o n s a m o n gt h em e a n s ，f o re x a m p l e ，s i m p l et r e eo r d e rr e s t r i c t i o n s ( 1sm i n ( a 2 a ，) ) w ed i s c u s st h e m 髓1 l so ft h r e es a m p l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s ，w i t ht h es a m es a m p l es i z e ，u n d e rs i m p l e t r e eo r d e r i ts h o w st h a t ： 1 2 j = ，：t h e r e s t r i c t e dm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( r m l e ) h a v el e s s m e a l ls q u a r ee 玎o r st h a nt h eu s u a ls a m p l ei n , a s s 2 九a ，： d x lsm i n ( x 2 x ，) ：t h er e s t r i a e dm a x i r m l l l ll i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( r 见e ) h a v ee q u a l m e a ls q u a r ef f l t o r sw i t ht h eu s u a ls a m p l em e a n s 2 ) x2 工l ：t h e r e s t r i c t e dm a x i m b n ll i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( r m l e ) h a v el e s s m e a ns q u a r ee r r o r st h a nt h eu s u a ls a m p l em e a n s 3 ) x ， x i ：t h e r e s t r i c t e dm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( r v i l e ) h a v el e s s n c a l as q u a r e r r o r st h a nt h eu s u a ls a m p l em e a n s 4 ) m a x ( x 一，i 3 ) i i ：丑2 菩丑3 豫t h er e s u l tw i t he x p e r i m e n tw ec a l l tt e l lw h i c ho f t h e r e s t r i c t e dm a x i l b b n ll i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( r m l e ) a n du s u a ls a m p l em e 黜h a v el e s sm e a n s q u a r ee 1 t 0 1 s k e yw o r d s ：s i m p l et r e eo r d e r ：m e a ns q u a r ee l i o r r e s t r i c t e dm a x i l l l u l l ll i k e l i h o o d e s t i m a t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， e e r i e 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对右+ - j o f 究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：二址日期：旦盟 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名蒸望 导师签名：嬲 卫年月互日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 ，1 极大似然法 极大似然的思想早1 8 世纪就为高斯和贝努里所使用，但极大似然方法的一些性质 2 0 世纪初才由费歇所研究，因此人们常常把这种方法的建立归功于费歇，极大似然估计 这一名称也是费歇给的。由于极大似然估计在理论上具有很多优良性质，因此至今仍然 是参数点估计中最重要的方法之一。 极大似然法最早是由c fg a u s s 提出的，后来raf i s h e r 在1 9 1 2 年的一篇文章中 重新提出，并证明了这个方法的一些性质，极大似然估计这一名称也是由f i s h e r ( 费歇) 给出的，这是目前仍得到广泛应用的一种求估计之方法，它建立在极大似然原理的基础 上，即：一个随机试验下有若干个可能的结果abc ，等，如在一次试验中，结果 a 出现了，那么可以认为p ( a ) 较大。 般地，设母体的概率函数族为 ，( z ：口x pee 其中p 一( 口，口：，口。) 是k 维的待 估参数向量，又设( ：l ”，。) = ，是子样( f 。，f 。) = 善的一个观察值，则子 样落在点，。的领域内的概率是n ，( 一，p h 一，可见这个概率会受口变化的影响，( 即 是口的函数) 最大似然法原理就是要选取使得子样落在观察值( xl ，一，x 。) 邻域里的 概率兀，g ，口皿达最大的参数值每作为o 的估计，即对固定的( z “，。) 选取万： j l i n ，b ，；箩) = 涩兀巾，；f ) 定义1 1 ：设母体具有概率函数族 ，( x ：0 ) ，口e ) ，f = ( 。，；。，。) 为抽取 的一个子样，记l ( x ；o ) = f i ，( ，。； ( 口可为向量) ( 1 1 ) ，l l ：口) 作为口的函数称为口的似然函数。若能选取占使得 工忸；占) = s u pl ( x ；o ) 成立 ( 1 z ) 则称占；e 似x ，t ) ) 为疗的极大( 最大) 似然估计。且将占，b 。) 中，换成 f ，即箩，( 。，) 称为口。的极大似然估计量，极大似然估计简记为m l e 或占，。 求极大似然估计常用如下方法： 对( 1 1 ) 所示的似然函数取对数 树半序约束下多指数总体均值的估计 以似；口) = e , c ( x ，； ( 1 3 ) 因i n , 是l 的增函数，故i n 上与l 有相同的极大值点 令丝划；o 凡z - k( 1 4 ) a f - 称( 1 4 ) 为似然方程。解之并验证是否为最大值点可得否= ( 反。以) 为8 = 口。p 。) 的最大似然估计。 1 2 极大似然估计一些优良性质 极大似然估计( m l e ) 的优良性质主要体现在大样本场合，在大样本理论中m l e 扮演了一个中心角色，下面几个定理给出了m l e 的大样本性质。 定理1 1 假设e 为开区间，概率密度函数p ( z ；占) ，一eo 满足： ( 1 ) 在参数真值吼的邻域内，a 1 “，扩h 形：，矿1 n 幺，对所有的x 都存 在5 ( 2 ) 在参数真值疗。的邻域内，e h ( x ) m ； ( 3 ) 在参数真值口。处， 引黜 t 嬲州吲黜 记瓦为n m 时似然方程的相合解，则 ( 以一吼) - j v ( o ，r 1 ( 巳) ) 定理表明在，c r a m e r r a o 正则族场合，定理条件一般是满足的，从而m l e 是渐近 正态的，当然，在非正则族场合，m l e 也可能是渐近正态的，正则条件并非必要条件。 通常，m l e 被认为是渐近正态的，但是也有反例。 1 3 保序回归与极大似然估计 通过一个医学的例子来引出统计模型，假定给实验对象，比如某种动物，服用一种 药剂，观察是否有阳性反应。计量分别为口。， 一ls 一2 一。( 1 5 ) 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 即剂量是逐渐增加的，对应于剂量口。试验了 个动物，用，来表示这一个动物中第 个的反应，= l ，一其中 一f l ，有反应； 一10 ，无反应； 用尸表示剂量口，时有反应的比例，则，= ( p l ，只) 是刻化总体背景的参数，通常是 用样本比例 1_ _ 亏= 二 ( 1 6 ) jj - l 来估计只，但是在很多实际的应用中，我们应该考虑到( ) 信息，既考虑参数只也 满足一个顺序关系，一个自然的想法是与( ) 保持相同的关系： 只sp 2s s 只 ( 1 7 ) 因为吼声服从二项式分布，则似然函数为： i n 只“。( 1 一只) “q ( 1 8 ) ，- l 这个时候p 的极大似然估计( m l e ) ，恰为在约束v ( 1 7 ) ，使得( 1 8 ) 式取得最大值， 可以看到约束条件( 1 5 ) 式与0 s 鼻s 户2s s t 主1 是等价的 这方面应用最广的是p a v a ( p o o la d je c l e mv i o l a t o r sa l g o r i t h m ) 算法，是 a y e r e t a l ( 1 9 5 5 ) 提出的。到了六十年代，约束下的统计推断得到广泛的重视，以后成为 热门课题，至今方兴未艾，并且由每年的国际会议召开，其原因在这个理论研究的背后 有着广泛的应用背景。 在史宁中的论文 中指出了对于指数分布利用p a v a 算 法进行极大似然估计的保序回归效果并不是很理想。但是对于正态分布保序回归做的很 好，并且指出了对于正态分布简单半序约束下极大似然估计( p 瑚l e ) ，有着比样本均值 更小的均方误差。其中特别指出了在l e e ( 1 9 8 1 ) 的论文中讨论了在简单半序 ( y 。y ：s s ，。) 中正态分布的约束极大似然估计均方误差要小于通常的极大似然估 计均方误差。但是这个结论在树半序约束( 。sa ，其中( f _ l ，2 ，3 一) ) 条件下，这个结 论并不成立。 关于指数分布在树约束条件下的指数总体均值的约束极大似然估计闯题并没有人 讨论过。在文献 1 中已经讨论了样本容量相同时，在a 。sa ：约束下两个指数总体均值 估计问题约束极大似然估计均方误差要比样本均方误差要小，本文给出了不同方法 树半序约束下多指数总体均值的估计 的证明公式，并给出了在样本容量不同时的两个判断公式，在样本容量相同时只是其中 的一个特例，并在论文中补充了文献 1 的一些证明。 定义1 2 半序关系，其中：令e ：碱a 9 + ) 为一个有限集合，其上定义了一个半序 关系“g ”，最常见的有下面几种形式 简单半序( s i m p l eo r d e r ) ：口。s 口：s s e 。： 伞形半f 事( u m b r e l l ao r d e r ) ：口ls 8 2 8 i2 28 22 0 l ； 简单树半序( s i m p l et r e eo r d e r ) ：e 。58 ，f = 2 , 3 ，k ； 简单环半序( s i m p l el o o po r d e r ) ：口is 口，se i ，；2 ，3 ，j 一1 ： 定义1 3 定义于。上的函数y = ( ) ，。) ，其中y ，zy t e ，) ，被称为对于。s ”的保 序函数，如果对于o t , 口，e e ，口，s 口，那么有y ，y ， 大连理工大学硕士学位论文 2 树半序约束下多指数总体的极大似然估计形式 2 1 五。a ：序约束下两指数总体的极大似然估计 首先我们讨论在样本容量不同的情况下两个指数分布在简单序约束下的极大似然 估计。设x 。，f = l ，2 3 ) ，x ：，( ，= l ，2 3 ) 与是分别来自于均值为 和z ：的指数分 布的样本，其中，这里指数分布的密度为 ，( x ) = l - e “ x 0 ( 2 1 ) f c x ) = 0 7 0 下面求在 s2 ，条件下的，a ，约束极大似然估计( r 儿e ) i ) ：当样本的均值满足i 。sj ：，易知其极大似然函数的极大值点就是全局极大值 点， 。极大似然估计值为 豆。：三童工_ 2 ：三童工：， ( 2 2 ) 1 w t - l l i l 2 ) ：当样本的均值满足互，i ：，易知在五。a ：约束下，其极大值点在椎边界上取 到，即只需考虑参数空间( ( z ，z ：) ：卫。= a ：) 上的点，这相当于在在约束条件。= ：下 求函数： 刚圳= - - m ，g 1 i - - 竿- n l g 妒粤 ( 2 3 ) i 2 的极大值点，即约束极大似然估计( r 虬e ) 。得到a ，和z ：的极大似然估计为： 。生竺堕，a ：些型生 ( 2 4 ) 2 1 的结论： 即在样本容量不同的情况下，在 a ：约束下，综合( 2 2 ) 。( 2 4 ) 我们解得的 a 。和a ：得极大似然估计为： 五。( 竺立堕) 羹疸，+ i ，眈i ， ( 2 5 ) 2 ( _ 了：= 上) 置，置，+ j 一7 r t t 元 ( 2 5 ) 2 h x + 研x 一 t = ：_ ：上) j t z ，+ z ：置s 五) 树半序约束下多指数总体均值的估计 2 2 sm i n ( a ：如) 序约束下三指数总体的极大似然估计 我们讨论在样本容量不同的情况下三个指数分布在序约束下 。smi n ( a ：五，) 的极大 似然估计。设工，( f = l ，2 。3 m ) ，z ：，( j = l ，2 ，3 ) ，x ，( f = l ，2 ，3 i ) 是分别来自均值 为 。， ：和 ，的指数分布的样本，这里指数分布的密度为 ，( x ) 毒五p 4 一 耳0 ，( ，) t0 x 0 其中丑ism i n ( 五2 a ，) ， 下面求在a ，sm i n ( a ：a ，) 序约束下，五，的约束极大似然估计 1 ) 当i m i n ( x z ，五) 时，易知其极大似然函数的极大值点就是全局极大值点，a 极 大似然估计值为： i = 霉卫，i ：= 毫x ：，只= 孝x ， c z 6 ， 2 ) 当i 五。但是e ，i ：时，其极大值点在椎边界上取到，即只需考虑参数空间 ( ， ：， ，) ：2 = ：，j ； 上的点，这相当于在在约束条件 。= ， 下求函数： g ( ，一一竽- n l g , t - 孚- k l g 小竽 的极大值点： 小等警 = 堕r # l 芋一= 五= 缸 ( 2 ，) 所+ n+ n 露一 3 ) 当zs 丘，但是互，只时，其极大值点在椎边界上取到，即只需考虑参数空间 ( a 。，a ：， ，) ：a ，= ，z ：) 上的点，这相当于在在约束条件a ，= a ，a ：下求函数： 酬以) = - m l g a t - 等- n l g a z - 等- k l g a ，- 鲁 ，l 。 的极大值点： ”警，a 2 = 丘；三童工：， ：掣 ( 2 8 ) 研+ 牟 h ，。i 肿十七 4 ) 当m a x ( 丘。只) t i 时，其极大值点在椎边界上取到，即只需考虑参数空间 ( 1 。， a ：， ，) ：五，= ：= a ， 上的点，这相当于在在约束条件 ，= a ：= a ，下求函数： 一6 一 g 五 ，) = 驯g ，一t r e x , 趴一i n x2 - k l g 且3 - k x - - l 的极大值点： 。 ：m i x ! i + n x 一2 + k x3 ，z ，：竺! 兰l 二兰二些，a ，：! ! ! l 毕( 2 9 ) 1 肼+ 月- i - k 所+ n 4 - k m + 月+ 2 ，2 结论： 综合( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) ：我们可以求得在且。s m i n ( a ：五，) 序约束下，a ，的 约束极大似然估计： 五= 互五；。只，+ ! ! ! ：警，。元。置；盂，+ ! ! ： ，。t 。量；丘， = x ，五t - - “只l + _ ：。：j i i t 元c 置：盂，+ _ ：_ j - 二。t t t 量；丘， + 竺兰1 ；三：! 兰专兰量，。t 五。矗， m + 月+ 七 。牡。，。) i l = 叉t | i e l 。i 。i i ；。+ ：! _ ? ! ：，：j ! - 。l t i i 。i ；i 。+ 孓1 l t i ；。i 、。i 。 1 1 2x t | i i 。t i - i i 。i 。n 。：。：i i t t i t i 。 + x2 i i t i 产i t + 些旦譬堡i 鸸鄹锄 r - i - r l 上i c 。 i 3 = i ，l t 。j 。i 。；。+ i i l 。t i 。i j 。z + j 竺? ! ! ：；! j 。i 。t i 。t 。 + 竺兰! ! ! 兰21 竺2 ，一一一 ( m s s ( x 2 t j ，j 2 3 m a x ：且，) a 序约束下三指数总体的极大似然估计 ( 2 i o ) 我们讨论在样本容量不同的情况下三个指数分布在序约束下m a x ( 五：a ，) s 五。的极大 似然估计。设j ，( f ；l ，2 3 m ) ，x ：( = l ，2 ，3 月) ，x ，( f = l ，2 ，3 女) 是分别来自均值 为 ，a ：和a ，的指数分布的样本a 2 3 结论： 类似于对于a 。s m i n ( a ：a ，) 分析，我们可以求得在m a x ( ：，丑，) sa ，序约束下 ，的约束 极大似然估计： 互= i ，。t ，五，。z ，+ ! ! ：! ：i ；生五。盂。丘，+ ! ! ：! ：；- 生，。五。暑；f a ，2x l ，“一t ，五，t z ，+ _ ：_ i 1 五c 盂t 丘，+ _ ：。：f 五t 暑t f + 竺兰! ! 兰；! 竺2 ，一 一一 肌+ 月+ 七 - 。i 。，” 一7 树半序约束下多指数总体均值的估计 ? 一 埘x + h 工 一 3 1 。x 2 i _ u t i 。i ，、t i 。+ 。：。：i - 。l i 。t i t i 。1 + x 2 jl i ：t i i p + 竺兰! ! 查2 竺j ，一一一 删+ 以+ k 。，州。2 。，i 一 m x + k x 一 3 3 2x l - i t f ：f ，t f 。1 + 。：i 。l i ：t f t i + x3 l t i t i - i j + 竺兰! ：! 茎z 坚i ，一 一一 + 月+ k 。( x j 。m m ( x = 。， ， 2 4 丑。sr a i n ( 2 。， ：， ) 序约束下多指数总体的极大似然估计 引理2 1 ：在树半序约束下( a 。a 。) ，如果有五，i ，那么极值点在z 。= 2 ，取到 f ( x o 。叉1 叉。1 ； f ( x o 工i ， + m i f 。l 】 ( 2 1 2 ) x ( f = l ，2 ，m ；j = o ，1 2 ) ，其中 为孑j 样本容量 2 4 结论： 我们讨论在样本容量不同的情况下一+ 1 个指数分布在序约束下 。s m i n ( , , t ，z ：，a ) 的极大似然估计。设x ( f = l ，2 。；j = o ，1 2 h ) 是来自均值为 ， 的指数分布的样本。似然方程： i g ， 。，a ，。a ) = ( 一m_ ， j o o 7 0 o 其中九s 。i n ( 扎幻，以) ，e ：上至x , j 册 - l 我们可以求得在a 。m i n ( 2 ，a ：，z 。) 序约束下2 ，的约束极大似然估计： 五。= 工。，盂；珥互盂，t ) + ( f ( x 。j 1 爿) f - l ，f i 五 a j2z j ，f 五。，+ f ( x 。x l ，j ) ，f t 。 一8 一 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 一o ，一r h 所 + 一ko 册 【 = ) 一r 大连理工大学硕士学位论文 2 5 m a x ( a 。，五：一，五。) s 。序约束下多指数总体的极大似然估计 引理2 2 ：在树半序约束下( a 。 ) ，如果有ec z ，那么极值点在 。= 一上取到。 定义函数g ( 元置，五) ； 一一一 【mo x 。+ m j , x j ，l 盂 窖工口石i ，x ) = ”o 。 ( 2 1 5 ) + m ，。，。盂。? ，i 】 x ，( f = l ，2 ，”o ，= o ，1 ，2 一) ，其中m 。为置样本容量 2 5 结论： 我们讨论在样本容量不同的情况下一+ 1 个指数分布在序约束下 m a x ( ，丑，2 。) sa 。的极大似然估计。设x ( f = 1 ，2 ，m ；，= o ，i ，2 月) 是来自均值为a ， 的指数分布的样本，类似的我们可以得到 我们可以求得在 。m i n ( ，z ，a 。) 序约束下a ，的约束极大似然估计： 互。只j 。五；。置盂”+ g _ 【- f o 互，j 。) ，毛。置t t ，) ( 2 1 6 ) 五= x j ，五。f ，+ g ( x 。，z 。，x 。) ) ，( 五。f ， 树半序约束下多指数总体均值的估计 3 sm i n ( a ： ) 约束下，约束极大似然估计均方误差与均值均方误差 的比较 3 1 样本容量不同时，a 。sa ：约束下极大似然估计与均值均方误差的比较 3 1 1 样本容量不同时，约束条件a ：下的极大似然估计 首先给出在样本容量不同时，在约束条件五。s 五：下，两个指数总体均值a ，( i = 1 ，2 ) 的估计量，并给出在这种情况下约束极大似然估计均方误差与通常极大似然估计均方误 差比较表达式，m ，n 分别为分布指数为 ，如的样本容量，由前面讨论，我们知道 ， ：的 约束极大似然估计为： 五；( 竺堕) ，厦癌，+ 互，庇i ， ( 3 1 ) 五- 。( _ ：。：j i l ) 7 t 五，+ x ，7 晡t 丘l ( 3 1 ) ：n x ，+ m x 一 a ：。( _ ：_ 了l t 置，t ，+ 工，t 置t t ， 3 1 2 样本容量不同时，约束条件丑s 五：下均方误差的比较公式 记足( 互，) = e 【( 互j 一卫j ) 2 】，r ( z ) = 研( i ，一五，) 2 】，容易看出矗( 互j ) ，胄( j ，) 分别为j ， e 的均方误差，也是他们在各自平方损失下的风险。我们需要比较露( j ，) 与足( e ) 的大 小，首先给出： 公式( 3 2 ) ： 盂c 五m ( 互) = 高击a ? 半庐( i - t ) - t s - - h ( t v t 协五， ( 3 2 ) 其中：m ，一分别为分布指数为五，如的样本容量 h ( o 暑j ( y i 2 + 占i ( y l ”+ c l j ，i ) ，y l = 三l ，n = 历+ 一，l y i l 削y 1 ) ：( | + 1 ) 1 y ? 一2 ) 。+ 错 b i y 1 ) - ( + 0 ( 2 y i 一2 掣) + r ( 2 2 一n 一2 c 、( 】，1 ) = ( + 1 ) 公式( 3 2 ) 证明： 脚2 一2+ ( 2 旦一2 ) m 1 ) - 熹j = ：t t - i c x p 【_ l - i t 冲 r “2 而l 其中并，【j = l ，2 ) 服从r ( n ，町) 分布： z 。r 月，1 1 - 1 ) x ：j r ，五i 1 ) 矗( 工) 一矗( 互) = e 【( 互。一a 。) 2 一( i 一五。) 2 】豆，五， ：厨f 三班+ 上匦州一( 珏- t , ) z 】 。胁+ n脚m + 月 r 册 ：e 【( 进+ 匦w 一进刮】 胁+ 研+ 一 m 由工工：，相互独立知道： ( 3 3 ) ( 3 4 ) 础“卜( 互- 1 0 2 】= 志而1j f ( 未+ 南_ 卜( r 5 五j 。“五：。，pe x p ( 一矸1 ，) e x p ( 一百x ：) a x ，血，j 置，五 其中n = m + ” c 4 j t t 寺一僻+ 上n 2 ，：2 + 万2v ：+ c 导一2 争r 2 寺划 a s - x - - 丑j ”，：ie x p ( 一百1 ) e x p ( 一t - z ，z ) 出- 出： 矿和= 掣5 詈艨龇锄： t 警4 n ，掣t 以生n 知 加 a ，五， 志志j 寿唧c 一杂c “舭：k 丙而而莉牙懿烈一z 乏叫1 2 讲“2 如办 积分换序有并利用关系+ 。f m ”d ”e x p ( - a “f l = ( n + t 1 ) l a 一1 1 k 警 三旷 禹 上矿紫 上：m上旷 百。 树半序约束下多指数总体均值的估计 其中： 若y g ( f ) ；! 生：半【( ! ! ：二，( 1 - 2 t + t z ) 五，：+ ；t 2 + 1 a 2 t 2 t t 2 , t ( 1 一f ) 】 g ( f ) = 二。i 二二一【( - ；一，( ) 五，+ ；( 1 一f ) 】 n t n 。 名2 五j + 旦【( 型一2 , l ，肛f ) ，一2 a , a ：f 】 nm 。 ：上j r 坐型 一 。一 r ( h ) r ( ) 1 n 其中： r + “( 1 一t ) - i f ”一。h c t ) d t 居( ，) = j ( y i ) f 2 + 丑j ) ，1 ) f + c l ( y i ) ， 1sy l ( j ，。) ：( r + 1 ) 【，? 一2 ，。+ 弩 n l b i ( y 1 ) - ( + 1 ) ( 2 ) ，一2 生：譬) + ( 2 2 旦一2 ) ，) 埘r a c t ( j ，。川+ 1 ) 立 + ( 2 旦- 2 ) 肼埘 公式( 3 9 ) ： r 屯) - r c x = ) 2 而1 而丑； 一 1 ( 一1 ) 且 p o - 圹1 ，“”1 l u ) d tl ( e m ，五 其中：t n ，一分别为分布指数为 ， ：的样本容量 t ( o = 一2 ( y 2 ) f 2 + b 1 ( y 2 ) f + c 2 ( ，2 ) ，n 葚历+ 疗，y 2 暑；l ，o o , 所以单调递增，又因为 再i i s 。 所以 ) 在区间( 。，j ) 上小于o ( 2 ) 证明球) = ( 夕：- 2 7 ：- + 4 y ：+ l - 2 y ：) f + _ ，；一2 y ：s o 由- 4 2 ( j ，jso , c 2 ( j ，j o ，0 y 2 s l ，又因为彳2 ( y ) s0 且，( o ) s0 ，t 专h 小z 圹詈，t 考2 州”1 2 铂t 专m 一，： 2 五_ = ；寿【( ，；- ：2 y 2 - 詈) ) ，：+ ( 4 y ：+ l 一2 y ；) ( 1 + y ，) + ( y ：一2 ( i + y ：) 2 1 2 南c d s0 ，因为0 y 2 1 所以，( 善 】所以函数“”在区间( o ，暑1 塔。( o ，暑y 上小于o l + y十， j t 2 综上所述：詹d ) 一尺( 孑) 0 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 j 1 9 ) 3 2 1 的结论7 综合( 1 ) ，( 2 ) 在约束条件下a 。sa ：样本容量分别为t z , 2 一极大似然估计均方误差 比比均值均方误差小。 3 2 2 当a ，且，时在约束条件下均方误差的比较 ( 1 ) 样本容量相同时，在约束条件a ，r a i n ( 3 ： ，) 下的极大似然估计。 样本容量相同时，在约束条件a 。sm i n ( ) l ： ，) 下，三个指数总体均值a 。( f = l ，2 ，3 ) 的估计量，由前面分析得出，在样本容量都为n ( n ，1 ) 时的a ，的约束极大似然估计： 一1 5 i 。：趸1 j 。i7 。i l i 。+ j ! 挚i t i i 。i ? 。i + j ! - ：- ：j ! ：l l j 。i 。；7 。i 。五，= z i ，( 五枷五盂，+ 上。：l ，l 瓦。五五，+ 。o 五t 盂五) ( 3 2 0 ) x l + x2 + x3t 1l “j ，j ，) f i ) i 2 ：i1 ij i j 。i i j 。+ ：j ! ! ：；二兰土lt i i 。i ? 。i + il jl i 。i i s i 。 a 2 = x t i 舯m 【i l i n + 二_ l 【i i i i i l + x1 l i i i i i i 。 + 型告二生k 。稿瞄， 1 ：x 一3 l t e ? 。i j i ，。+ 受3 l j i l 。j ? i i + ：j ! 1 ：i ! l l t i j 。i ? 。e a 3 = i | i 。【覃。i n + x 一j ；。j 芦i ，+ ：i i 。i 一 + 兰! 墨! 兰，一 ，佃j l t j ，i a r ，, ( 2 ) 极大似然估计均方误差与均值均方误差的比较： 记足 t ) = 研( t t ) 2 】，矗( j ，) = 研( 曩一五】，容易看出r ( j ，) ，异( 夏，) 分别为j ， 孑的均方误差，也是他们在各自平方损失下的风险。 考虑矗( 互。) 一r ( j ，) ： r ( 互，) 一是i ，) ；( 华_ ) 2 卜e r x 一, 一 i ) 2 1 ，。珏昏t ，r ( 丑1 ) 一是x i ) 声 e 【( 。：三一丑- ) 卜一 i ) 1 j ( 孑，。j t t ， 郴【( 半- a , 门叫( 互吲2 西槭， 十 e 【( 兰l - = _ ：! ；5 。= 二生- a , ) 2 卜五【( 互- a , ) 2 】) ，。t 毛) z ， 足( 互：) 一胄( 五) e 【( 毕一五：) 2 卜e 【( 置一五：) 2 】 ，。丘。丘。五)足( 丑2 ) 一胄( z 2 ) e 【( 1 ：。己一五2 ) 卜e 【( j2 一五2 ) 】 j 丘。丘。五) + e 【( 2 玉：! ；2 二二生一 ：) 2 】一占【( i ：一a ：) 2 】 ，。；元五。互) r ( 毛) 一，) ：毕一 ，2 1 r ( x ( e r1 一e 【( i ，一且，) 2 1 j 。毛；五。五， r ( 丑，) 一 ，) 互上：三一五j 一e 【( 工，一且3 ) 1 j 毛；五五， 嗍互鼍丛_ n 卅( e - a , ) 2 】h “锄 足，= 昱【( 兰上专兰二- a , ) 2 卜e 【( i 。一 ) 2 1 ，。毛。互；置， 一1 6 一 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 垡堡三奎兰堡主堂堡笙苎 舻( 半1 ) 2 】叫( i - 2 , ) 2 】) ，【驰函 x ，= e i ( 兰学一 ) 2 卜e i ( 互一 ) 2 1 i m 。( 元五。置， 耻( 半- 2 2 ) 2 】叫( 丘吐) 2 1 聪霸 弘( 互鼍凸吐n _ e 【( 五- 2 2 ) 2 】h 嘁锄 即例( 半) 2 】卅( 丘n ) ，l 聪鳓 墨，= e 【( 2 1 1 二：! ；2 二互一五) 2 卜e 【( 互- a , ) 2 】 ，。t 五。丘， 要对x 。( f = l 2 7 ) 分别讨论，并且由于对称性，我们只要计算其中4 个积分就可以 了，我们不妨计算k ，k ，k ，k ，。 我们知道： r