（应用数学专业论文）年龄相关的随机种群系统数值解的收敛性.pdf

宁夏大学硕士学位论文中文摘要 摘要 随机微分方程理论诞生于6 0 年前，复杂的有限维随机模型已经随着肠随机公式和半鞅理论 的成熟而建立起来随机微分方程现在在经济金融，环境科学，工程设计，信号处理，化学，物理，人 口统计，制药等多个领域得到应用利用随机微分方程，人们可以成功地构造带有随机扰动参数的 系统模型，并将其应用于现代控制理论，并取得了较好的研究结果近年来，随着数值方法的发展， 随机微分方程数值解的研究已取得了一定的成果，这意味着某些随机模型可以借助于计算机进行 研究本文将对与年龄相关的随机种群系统的数值解进行深入研究本文研究内容有以下两个方 面： l 、过构造局部截断误差和全局截断误差，给出与年龄相关的随机种群系统显式的e u l e r 法和 m i l s t e i n 数值方法的表达式，利用连续鞅的性质，i t 5 公式等证明了数值解均方收敛到精确解 2 、分别提出了随机种群系统的两种半隐式和隐式的数值方法，并通过局部截断误差和全局误 差，利用连续鞅的性质，r 6 公式证明数值解收敛到精确解，并给出收敛阶 关键词：与年龄相关，随机种群系统，数值解，显式，隐式，收敛性 一i 一 宁夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t 1 r i 圮t h e o r yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s d e s ) h a v eb e e ni ne x i s t e n c ef o rn e a r l ys i x t yy e a r s c o m - p l i c a t e df i n i t ed i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cd y n a m i c sc a l ln o wb em o d e l e da n du n d e r s t o o dt h e o r e t i c a l l yt h r o u g h t h ei t 6s t o c h a s t i cc a l c u l u sa n dt h em o r eg e n e r a lt h e o r yo fs e m i - m a r t i n g a l e s s d e sa r ea p p l i e di nd i v e r s e s p h e r es u c ha si ne c o n o m i c sa n df i n a n c e ，c i v i la n dm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g ，e n v i r o n m e n t a ls c i e n c e ，s i g n a l p r o c e s s i n ga n df i l t e r i n g ，c h e m i s t r ya n dp h y s i c s ，p o p u l a t i o nd y n a m i c sa n dp s y c h o l o g y , p h a r m a c o l o g ya n d m e d i c i n e b yu s i n gs d e s ，w ec a ns u c c e s s f u l l yc o n s t r u c tm o d e ls y s t e mt h a to w n sr a n d o mp e r t u r b a t i o n s ， p u ti ti n t om o d e lc o n t r o lt h e o r ya n do b t a i ng o o dr e s u l t r e c e n t l y , t h e r eh a v eb e e ns o m er e s u l t si nd e v e l o p - i n gn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fs d e s a n dt h i sh a sm e a n tt h a tm o i r er e a l i s t i cm o d e l s a r ec a p a b l eo f b e i n gs o l v e db yc o m p u t e r i nt h i st h e s i s ，w em a k eas y s t e m a t i ca n dd e e p i n v e s t i g a t i o no nt h e c o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a ls o l u t i o n st os t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n s t i l i st h e s i sc o n s i s t s o ft w om a i nc o n t e n t s 1 、w eg i v ee x p l i c i te u l e ra n dm i l s t e i nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a - t i o ne q u a t i o n sb yc o n s t r u c t i n gal o c a lt r u n c a t i o ne 啪ra n dg l o b a lt r u n c a t i o ne r r o r , a n dp r o v et h ec o n v e r - g e n c eo fn u m e r i c a ls o l u t i o nw i t l lm e a ns q u a r eu s i n gc o n t i n u o u sm a r t i n g a l ea n dn 6c a l c u l u s 2 、w eg i v et w os e m i - i m p l i c i ta n di m p l i c tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a - t i o ne q u a t i o n ss e p a r a t e l y , a n dp r o v et h ec o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a ls o l u t i o nw i t hm e a ns q u a r eu s i n gt h e c o n t i n u o u sm a r t i n g a l e s ，i 仍c a l c u l u sa n ds oo n k e yw o r d s ：s t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n s ，n u m e r i c a ls o l u t i o n ，e x p l i c i t , i m p l i c i t ，c o n - v e r g e n e e 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 研究生签名：时间： 多月e t 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名：厶加 牛黄、 问 问 时 时 宁夏大学硕士学位论文 第一牵引言 1 1 随机微分方程 1 1 1 起源与发展 第一章引言 随机微分方程起始于k o l m o g o r l v 的分析方法与f e l l e r d e 的半群方法，它的研究是随着随机过 程理论与微分方程理论的发展而迅速发展起来的1 8 2 7 年，英国生物学家布朗( b r o w n ) 首先注意 到侵入液体中的胶体微粒受到周围液体分子不平衡的碰撞，由于分子极微小，因此粒子每秒钟所 受到的碰撞次数很多，达到1 0 2 1 次，碰撞又极不规则，故而微粒的精确路径不能详细得到，但 能进行统计描述，故而认为粒子是因为受到很多微小的随机力的作用而作的随机运动 布朗运动的发现带动了后续一系列关于这方面的课题研究，但所给出的研究之中缺少确切的 数学描述直到1 9 1 8 年美国数学家维纳( w i e n e r ) 对这一现象在理论上作出了精确的数学描述，并 进一步研究了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分这些工作使对布 朗运动及其泛函的研究得到迅速而深入的发展，并逐渐渗透到概率论及数学分析的各个领域当 中，使之成为现代概率论的重要部分 1 9 4 2 年i ti t o 引入随机微分方程，它的一般形式为： ( 。) = ，( ，x ( 。) ) d t + 夕( 。，x ( 。) ) d ( 。) ，( o ，卅， ( 1 1 ) ix ( o ) = x o 其中称，：j 矿j p j 妒为漂移系数，9 ：岔r “_ r “。m 为扩散系数w ( t ) 是有独立增量 的m 维标准维纳过程，x o 是一随机变量( 1 1 ) 可表示为等价的随机积分方程 r t，t x ( t ) = x b + ，( s ，x o ) ) d s + 9 ( s ，x ( s ) ) d w ( s ) ( 1 ，2 ) 与常微分方程的本质区别在于随机积分e 9 ( s ，x o ) ) a w o ) ，它不能理解为普通篚j l e b e s g u e - s t i e l t j e s b q 分，原因在于对几乎所有的，维纳过程的轨迹( t ，) 是不可微的且在t 的任意小区间 内没有界变差而对随机积分的定义也有很多种，但在理论和应用上广为接受的只有，坊积分 和s a 1 0 n o v i c h 积分，分别记为名9 ( s ，x ( s ) ) d ( s ) 和后9 ( 8 ，x ( s ) ) 。d w ( s ) ，二者的关系是： 厶蛳) ) o 州泸办棚m 帅) + 三z 。塞班 二十世纪四十年代m 和j r ，g i h m a n 分别独立研究了随机微分方程的基本理论，之后在电子 工程学的控制问题，生物学的人口动力问题等实际需要的推动下，随机微分方程的基本理论得到不 断完善和发展，越来越广泛地应用于系统科学、工程控制、生态学等各个方面l l 一2 引，因而对方程 本身及解形态的研究就显得十分重要 宁夏大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 2 数值解的研究现状 微分方程数值解是一个内容广泛的研究领域，以常微分方程为代表的确定性系统数值解已经 开展了深入研究，发展到现在很多数学软件都可以用来求方程的数值解但是，在一些方程系统模型 所描述的实际问题当中往往存在一些不确定的扰动因素，这些随机因素对其系统演化及其稳定性 等有很大的影响因此，随机因素在数学模型中的作用日趋重要，甚至成为求解数学模型的首要问 题这些模型的自然表现形式是带有时间、空间变量的随机微分方程 由于随机因素所带来的复杂性，在缺乏有效数值算法和计算工具的情况下，大多数随机微分方 程解的表达式是无法给出的，于是数值方法的构造显得特别重要近些年，已有大量的学者投入到随 机微分方程数值解的研究当中并取得了一系列的成果【2 4 - 5 剐 p e k l o e d e n 和e p l a t e n 在著作【2 5 】和文献 3 0 1 中用m 公式给出了( 1 1 ) 解析解在某一点处 的随机t a l y o r 展开式，并且系统讨论了求解随机微分方程数值方法的构造及其稳定性、收敛性 等m i l s t e i n 在著作【2 4 1 中证明了数值方法局部收敛和全局收敛的关系1 9 9 7 年，他又在文献 2 7 1 中 证明了数值方法的均方收敛性u 磁础l e r 和e p l a t e n 分别给出了随机微分方程数值解的强收敛 性c 3 6 l 和弱收敛性【3 7 1 x r m a o 等在文献【3 l 一3 2 】中介绍了随机微分方程的e u e r 法和强方法，通过将 数值解连续化，证明了数值方法的均方收敛性2 0 0 3 年，x r m a o 又在文献【4 9 冲证明了数值解在局 部l i p s e h i t z 条件下的收敛性z h a n g 等给出了随机泛函微分方程的e u l e r 型数值解i4 6 1 ，证明了数值 解的均方收敛和依概率收敛l i 等在文献【4 7 】中证明了带跳的随机时滞微分方程的e u l e r 型数值解 的收敛性 上面所提到的大部分是关于随机微分方程数值解得收敛性，其实我们可以通过随机t a l y o r 展开式构造更高阶的随机微分方程数值解并通过均方或依概率等方法证明数值解收敛到解析 解 3 0 ，3 5 ，3 9 】关于数值解的另一性贡稳定性的研究也有很多 y s a i t o 和t m i t s u i 在文献【5 l 冲证明了随机微分方程数值解的2 _ 璃定性1 9 9 6 年，他们又在文 献【5 2 】中分析了数值方法的稳定性h n o r b e r t 名e 文献【5 5 】中证明了随机微分方程弱数值方法的收 敛性。d 。j h i g h a m 在文献【3 3 】证明了随机微分方程0 法的渐进稳定性x 。r m a o 等在文献1 5 3 1 中给出 在l i p s c h i t z 条件下，随机微分方程e u l e r 法的收敛性与稳定性的等价条件l i u 等在文献【5 6 ，5 7 冲 分别证明了线性的随机时滞微分方程的显示e u l e r 法与半隐式e u l e r 法的的稳定性w a n g 等在文 献f 5 8 】中证明了线性的随机时滞微分方程m i l s t e i n 法的稳定性 求随机微分方程的数值解的研究还有很多，最有效和应用最广泛的方法是在计算机上模拟离 散化的随机微分方程解的轨道。考虑一时间段【0 ，卅并将之离散化设分化为： 7 r ：0 = 3 0 饥 协= z 记l 万j - 。m a x 一1 ( 蕊+ l 一) ，然后构造一数值方法，逐步计算离散点上精确解x ( 讯) 的近似 值硫，= 0 ，1 ，n 最后用统计学方法确定解析解和近似解的近似程度 一2 一 宁夏大学硕士学位论文第一章引言 1 2 种群系统的研究现状 1 2 1 确定性人口方程的研究现状 由于全球生态环境的恶化趋势愈来愈严重，人们对种群的发展问题给出了很多研究多年来 国内外很多学者从不同形式探讨了种群系统解的存在性、唯一性、稳定性和最优控制问题等性 质【5 口一7 1 1 宋健，子景元在文献 5 9 ，6 0 中系统的分析了人口方程并将其应用到我国人口状况的分析陈任 昭【6 1 ，6 2 l 讨论了非定常的人口方程正则解的存在唯一性和弱解的性质冯德兴【鼹】讨论了非线性人 口方程解得稳定性张升海等在文献 6 5 。6 6 e ：分析了定常非线性人口方程的解的渐进性质及其非 线性人1 2 1 方程m i l d | 醉和w e a k 解的等价性许跟起【6 7 l ，龚代华i 删，刘若慧1 7 0 】等分别讨论了不同形式 的人口方程解的存在唯一性武玉英，赵丽霞在文献1 6 9 中讨论了人口方程解的波动性 而对于人口方程数值解的研究，王济平在文献【7 1 冲给出了人口方程的一个差分格式，并证明 了它的收敛性及其稳定性 1 2 2 随机种群系统的研究现状 由于全球生态环境突然变化，引起人们对随机种群系统的极大兴趣，吸引了一些生态学者和 数学工作者对其进行研究然而对随机种群模型的研究却比较少z h a n g 在文献【1 4 】中首先在确定性 系统上，考虑死亡及环境等因素的随机干扰，给出了与年龄相关的随机种群系统，证明了解的适定 性，并在文献1 1 6 中讨论了随机种群系统的指数稳定性。在文献【1 5 】中张讨论了带扩散的与年龄相 关的随机种群系统的解的适定性z l l 柚9 1 4 5 1 根据m 公式和b a r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 不等式，讨论了 与年龄相关的随机种群系统数值解的收敛性 1 。3 本文主要研究内容及创新点 本文研究的内容有以下两个方面： 1 、给出了如下与年龄相关的随机种群系统 f 笨+ 舞+ 弘i o ，a ) p i = ( t ，p ) + 9 l ( t ，p ) 罾， i nq a = ( o ，a ) ( o ，t ) ， v ( t ，0 ) = r 胁( t ，a ) p ( t ，口) 如，i n ( o ，? ) ， ip ( o ，口) = p o ( o ) ， i n ( 0 ，a ) ， l - 爹( p = 厅p ( ，8 ) 如， i n ( 0 ，? ) ， 的两种显式的数值方法，并通过局部截断误差和全局误差，利用连续鞅的性质，i t 6 公式等证明了数 值解均方收敛到精确解 2 ，分别提出了上述随机种群系统的两种半隐式和隐式的数值方法，并通过局部截断误差和全 局误差，利用连续鞅的性质，i t 6 公式等讨论了这四种数值方法的均方收敛性 一3 一 宁夏大学硕士学位论文 第一章引言 本文创新的创新点有以下两个方面： 1 、提出了更高阶的数值方法求解随机种群系统： 2 、证明数值解收敛时用的局部截断误差和全局误差的方法更加适用于以后的高阶方法 一4 一 宁夏大学硕士学位论文第一二章预备知识 2 1 引言 第二章预备知识 随机微分方程的一般形式可写为 y 他) = ，( y ( t ) ，( t ) ，t ) ，t t o ，t i ，y ( t o ) = y o ， ( 2 1 ) 其中y ( t ) = ( 1 1 ( t ) ，i 2 ( t ) ，k ( t ) ) 是分量为k ( t ) ，i = 1 ，2 ，佗的n 维矢量，( t ) = ( 1 ( t ) ，9 2 ( t ) ，n ( t ) 是n 维矢量，和是n 维矢量，且( t ) ，歹= 1 ，2 ，m 和 k ，i = 1 ，2 ，礼是随机的 我们研究更特殊地，随机过程n ( t ) 只含白噪声分量情形的一类随机微分方程是方程 d y ( t ) = ，( y ( t ) ，t ) d t + 9 ( 耖( t ) ，t ) d w c t ) ， ( 2 2 ) y ( t o ) = y o ，t t o ，刁，w ( t ) = ( w l ( t ) ，蚍( t ) ，加。( t ) ) t ，ey o1 2 o o ，；r a 【t o ，t i 一 ，夕：r d 【t o ，卅一础， 9 均为【t o ，卅上b o r e l 可测函数 这种模型在控制论和滤波理论中很普遍，其主要原因有两方面首先是数学表达式上的简单， 它是经典的最优控制理论中行之有效的状态空间方法的随机推广，而且方程( 2 2 ) 的解过程是马尔 可夫的，对于它存在有效的研究方法其次，虽然白噪声是数学上人为的，但它十分近似电子系统 中许多重要噪声过程的性质由于这些优点，方程( 2 2 ) 在工程与其他应用科学中起着突出作用 2 2 布朗运动与随机积分 2 2 - 1 布朗运动 我们都知道布朗运动是布朗1 8 2 7 年根据花粉微粒在液体表面上做”无规则运动”的物理现象 提出的，1 9 1 8 年维纳作了精确的数学描述，即维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 是一个连续时间高斯( 正态过 程) 其具有独立增量的性质 定义2 1 对于一族随机变量 x ( t ) ，t o 满足： ( i ) 对于任意的0 t o t 1 t n , 随机变量x ( t k ) 一x ( t k 1 ) ，( 0 k , ) 相互独立； ( i i ) x ( o ) = 0 ； ( i i i ) 如果0 8 t ，贝u x ( t ) 一x ( s ) 成正态分布并且 e c x ( t ) 一x ( s ) ) = ( t s ) u ，e ( x ( t ) 一x ( s ) ) n = ( t s ) 盯n ， 这里p ，盯均为实常数，仃0 ( 这里p 称为对流，而仃q 称为方差) ； ( j i i i l x ( t ) 是关于f 的连续函数； 则称 x ( t ) ，t o 】是布朗运动( 简记b m 或维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ” 一5 一 宁夏大学硕士学位论文第二章预备知识 2 2 2 随机积分及微分法则 且 随机微分方程( 2 2 ) 的积分形式为 鲋) = 蜘) + 触( s ) s ) d s + ( 咖( s ) s ) 州s ) 例2 1 求值f ：w ( t ) d w ( t ) 解：设n = t o t l 1 ，1 p + 1 q = 1 ( 2 ) b u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 不等式 对于一切0 0 ，使得每一个连续局部鞅 m 和任意的停时7 - ，有 勺e 【( m ，m ) ；】se ( is u p 尬i p ) g e ( m ，m ) ；1 ， 特别的。有 当0 0 是一鞅，且有 s u pi i 舰0 工， 0 u p m t i i l ， 此处0 i i t ，= ( eifi p ) 1 p ( 4 ) 常用引理 引理2 2 ( g r o n w a l l 引理)设一元函数g ( t ) 与妒( t ) 均在区间 t o ，t l 】上连续，9 ( t ) o ，常数 入0 ，r 0 若 ， 妒( t ) 入+ b ( r ) 妒( r ) + r 】d r , ，t o 则 ，t 妒( t ) ( a + r t ) e x p ( g ( r ) d r ) ，t o t t l , t = t l t o j t o 引理2 3 对于随机微分方程( 2 2 ) 的数值解 锄+ l = 讥+ ( 危，孔，+ 1 ) ，n = 0 ，一1 定义局部截断误差“+ 1 ：= y ( t n + 1 ) 一雪( k + 1 ) 和全局误差：= y ( t n ) 一蟊 若存在常数p 2 互1 ，p l 之p 2 + ，且有 嘶m a x ie ( 矗+ 1 ) l schpl 1 0 n 一 、。 和 m a x ( e ( 矗+ 1 ) 2 ) 考c h p o n n - 1 2 、。， 则有 m a x ( e ( s n ) 2 ) js c h p l n o j ( t ，) ：v v 是在t 上在关于五几乎处处可测的非线性算子g ( t ，) ：v _ c ( k ，日) 是 在t 上在关于五几乎处处可测的非线性算子 方程( 3 6 ) 的积分形式为： !，(t)=yo一厂(p(s)一p(8)!，(8)ds+厂。，(s，可(s)ds+厂。夕(s，y(s)dwsjoj oj o ( 3 7 ) ! ，( t ) =一( p ( s ) 一p ( 8 ) ) ! ，0 ) d s + ，( s ，可( s ) ) d s + 夕( s ， ( 3 7 ) 令a t = 斋，对于t = o ，a t ，2 a t ，n a t ，我们给出如下两种显式的数值方法： ( 1 ) 显式e u l e r - m a r u y a m a 方法： y n + l = y n 一( p ( k ) 一a ( t 。) ) 耖。t + f ( t n ，y ) a t + 9 ( t 住，可。) w ( 3 8 ) ( 2 ) 显式m i l s t c i n 方法： 弧+ - 2 警_ 答：! 一篡麓誓篡+ j ：( 鼽) a t + 9 ( k ，) w n ( 3 9 ) + ( ( w k ) 2 一幻乩9 】( t n ，) 、7 1 0 宁夏大学硕士学位论文第三章与年龄相关的随机种群系统显式数值方法的收敛性 初始值3 ，( 0 ) = v o ，n 1 这儿，z n + 1 是v c t n + 1 ) 的近似值，t 。+ l = + d h t ，时间增量a t 1 ， b r o w n i a n 运动的增量：= w ( t n + 1 ) 一w c t 。) 是独立平稳的服从n ( o ， ) 的高斯随机过程 【9 v 9 1 ( t 。，鼽) = g y ( t 。，) g ( t 。，鼽) ，其中现( t ，可) 是9 ( t ，y ) 关于的一阶倒数 本章的主要目的就是在给定条件下与年龄相关的随机种群系统的近似解+ 1 ( 等式( 3 8 ) 和( 3 9 ) ) 收敛到精确解可( t 。+ 1 ) 首先。我们定义如下的局部截断误差： 对于显式e u l e r - m a r u y a m a 方法： 如+ 1 = v ( t 。+ 1 ) 一【v ( t ”) 一( p ( k ) 一p ( 。) ) 3 f ( k ) a t + f ( t 。，u ( t 忭) ) t + 夕( k ，u ( t 。) ) w 捌， ( 3 1 0 ) 对于显式m i l s t e i n 方法： “l 2 蟹曩毫_ 、吁) 一( p ( 如) 一拿犍删+ 作舢( 如) ) 。+ g ( k ，蚓) ( 3 1 1 ) + ( ( ) 2 一a t ) g v g ( t 。，3 ，( k ) ) 】 、7 并且定义全局误差： “= v ( t 。) 一鼽 接下来，我们给出与年龄相关的随机种群系统的一些假设 ( i ) f ( t ，o ) = 0 ，g c t ，0 ) = 0 ； ( i i ) ( l i p s e h i t z 条件) 存在着一个正常数忌1 ，对于耖1 ，轨c 有 i f ( t x ，y 1 ) 一f ( t 2 ，v 2 ) lvi i g ( h ，y 1 ) 一g ( t l ，y 2 ) 1 1 2 k l l y l 一抛i ，o 。e t ( i i i ) ( 线形增长条件) 存在着一个正常数乜，对于c 有 l f ( t ，可) ivi i g ( t ，v ) 1 1 2sk 2 1 v l ，n e t ( i v ) p ( t ) ，a ( t ) 在囝上是连续的，且有 0 犀p ) 0 0 ，0 p ( t ) 厅 o o ( v ) g t ( t ，( ) ) ，现( t ，( ) ) ，g u v ( t ，秒( t ) ) 是有界的即存在着一个正常数有 g t ( t ，v c t ) ) v 跏( t ，( t ) ) v 跏v ( t ，( t ) ) n 其r g g t ( t ，妙( 亡) ) 是9 ( t ，) 关于t 的一阶导数“掣( t ，( t ) ) 是夕( t ，妙) 关于3 ，的二阶导数 通过上面的假设及文献【1 4 】我们有 eiv ( t ) f m t ( 0 ， 一1 1 一 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 宁夏大学硕士学位论文 第三章与年龄相关的随机种群系统显式数值方法的收敛性 3 3 显式e u l e r m a r u y a m a 数值法的收敛性 和 定理3 1 由显式e u l e r - m a m y a m a 方法数值解( 3 8 ) 的局部截断误差( 3 1 0 ) 满足： o m n a x li e ( 矗+ 1 ) i a t 2 0 , 8 a t 一0 o n m a x l ( e ( 矗+ 1 ) 2 ) 考s0 2 h t a t 一0 其中q ，岛独立于t 的正常数 证明：根据( 3 1 0 ) ，我们可以得到 矗+ l = 可( t 。+ 1 ) 一 y c t 。) 一似( k ) 一p ( k ) ) 可( t 。) a t + ，( t 。，耖( t n ) ) t + 9 ( k ，y c t 。) ) w k 】 = ( 可( t 。+ 1 ) 一y ( t n ) ) 一它+ 1 ( p ( k ) 一a ( t 竹) 挎( n ) d t + 佬+ 1 弛们耖( t t i ) ) 出+ 它+ 19 ( t 。，y ( t 。) ) d w n = ( 口+ 1 一# ( t ) y c t ) + p ( t ) 可( t ) + f ( t ，y ( t ) ) d t + 它+ 1g ( t ，y ( t ) ) d w t ) ( 3 1 7 ) 一心+ 1 ( p ( t n ) 一a ( t n ) ) 耖( t n ) d 抖髓+ 1f ( t n ，y ( t n ) ) 如+ 它+ 1g ( t ，t ，y ( t n ) ) d = f t t n + 1 ( 一p ( t ) 可( t ) + p ( t 。) y ( t n ) ) d t + 正+ 1 ( p ) ( t ) 一p ( t n ) ( t 。) ) d t + 髓+ 1 ( ，0 ，可( t ) ) 一，( t n ，掣( t n ) ) ) d t + j 翟+ 10 ( ，y c t ) ) 一夕( t n ，y ( t n ) ) ) d w ， 由假设条件( 3 1 2 ) ( 3 1 4 ) 及鞅的性质，我们有 e ( 以+ 1 ) i ie 口+ 1 ( t ) - y ( t 。) ) 班+ 声它+ 1 ( s ( t ) 一耖o 。) ) 出 + 七lj 乏+ 1 ( t ) - y ( t 。) ) 蹴) + e ( j 翟+ 1 ( 9 ( t ，暑( ) ) - g ( t n ，y ( t n ) ) ) d i 砚) ( 口+ 口+ 七1 ) ie ( 它+ 1 ) - y ( t 。) ) d t ) i 因为有 绯) 一绯n ) = 一( p ( s ) 一p ( s ) ) 小) d s + f ，( s ，小) ) 幽+ ( 9 ( s ，小) ) d 矾， ( 3 1 8 ) 和 e ( 1 夕( 8 洲s ) ) d 职= 。 因此，我们有 ie ( 晶+ 1 ) 1 5 ( 届+ 声+ 七1 ) ie ( 它+ 1 ( 一tp ( 8 ) ! ，( 8 ) d s ) d t + 它+ 1j 乏f l ( s ) y ( s ) d s d t + 髓+ 1 正i ( 8 ，y ( s ) ) d s d t ) + e ( 髓+ 1 疋9 ( s ，y ( s ) ) d w 。d t ) i s ( 豇+ 声+ 七1 ) ( 乒+ 口+ 如) ( 它+ 1 疋e | 可( 3 ) id s d t ) ( 豇+ 口+ 詹1 ) ( 豇+ 声+ 如) m ( 它+ 1 疋d s d t ) = ( 届+ 万+ 七1 ) ( 豇+ 矽+ k 2 ：) m 韭掣 一1 2 一 宁夏大学硕士学位论文 第三章与年龄相关的随机种群系统显式数值方法的收敛性 所以 下面，让我们来证明 m ，a xie ( h + 1 ) i a t 2 o n n 一1 、 。 m 。 a | x 一1 ( e ( “+ 1 ) 2 ) 仍t 由( 3 1 7 ) 及( o + b + c + d ) 2 4 a 2 + 4 b 2 + 4 c 2 + 4 d 2 ，我f 门可以有 ( 氏+ 1 ) 2 = 它+ 1 ( 一p ( t ) 可( t ) + 卢( t 竹) 秒( k ) ) 砒+ j 乏+ 1 ( t ) 可( t ) 一p ( ) 可( k ) ) 班 + 它+ 1 ( ，( t ，秒( t ) ) 一f ( t 。，秒( k ) ) ) 出+ - 0 + 1 ( 9 ( 厶可( t ) ) - g ( t 。，v ( t 。) ) ) d w 钉2 s 4 1 9 ：+ 1 ( 一肛( t ) 毫，( t ) + p ( 如) ( “) ) d 司2 + 4 它+ 1 ( p ( t ) ( t ) - a ( t 。) 可( 如) ) 疵】2 + 4 店+ 1 ( 巾，! ，( t ) ) 一，( k ，u c t n ) ) ) 刎2 + 4 1 帔f t + 1 ( g ( t ，! ，( t ) ) - g ( t 。，v ( t n ) ) ) d 毗】2 ， 从而，根据c a u c h y s c h w a r z 不等式及假设有 e ( 以+ 1 ) 2 蛆陋它+ 1 ( 耖( t ) - y ( t 。) ) 删2 + 蛆晦口+ 1 ( 可( t ) - v ( t 。) ) 矧2 + 4 e k l 髓+ 1 ( ! ( t ) - y ( t n ) ) 叫2 + 蛆【南l 髓+ 1 ( 可( t ) 一y ( t 。) ) d 眠1 2 4 p 2 e a t 它+ 1 ( 可( t ) - v ( t n ) ) 2 d t + 卵2 e a t 它+ 1 ( 可( t ) - y ( t 。) ) 2 a t 一+ 4 k e a t 它+ 1 ( 可( t ) - v ( t n ) ) 2 d t + 4 庇 e 眩+ 1 ( 可( t ) 一v ( t 。) ) 2 d t = 【( 4 豇2 + 4 矽2 + 4 研) t + 4 七 】【职+ 1e ( t ) - v ( t 。) ) 2 疵】 由( 3 1 8 ) ，我1 门有 ( 酢) 叫w = ( 一( 小) 州s ) ) 小) d s + ( ，( s ，小) ) d s + ( g ( s ，y ( s ) ) d w s ) d 2 ， ( t ) 一可( t 。) ) 2 = ( 一( p ( s ) 一p ( s ) ) ! ，( s ) d s + ，( s ，y ( s ) ) d s + ，2 ， ，t n - ，t nt f l 因此 e ( t ) 一( k ) ) 2 e c c p + 声+ ) 疋可( 8 ) 如+ j 乏g ( s ，y ( s ) ) d w s ) 2 52 ( 口+ 口+ k 2 ) 2 e ( 疋y ( s ) d s ) 2 + e ( 疋k 2 y ( s ) d w s ) 2 2 ( 西+ 厣+ 也) 2 e ( 疋m d s ) 2 + e ( 疋( k 2 m ) 2 d s ) = 2 ( p + 声+ 也) 2 m 2 一t 。) 2 + ( k 2 m ) 2 ( t t n ) 从而，我们可以得到 e ( 氏+ 1 ) 2 【( 4 皿2 + 4 f 1 2 + 4 砖) t + 4 研】【髓+ 12 忙+ 厅+ 后2 ) 2 m 2 ( t - k ) 2 d t + 髓+ 1 ( k 2 m ) 2 ( 一t n ) 捌 = ( 4 p “z + 4 声2 + 4 尼 ) t + 4 墙】【型型生生字垒竺垒兰三+ 堡学l = 【( 4 口2 + 4 3 z + 4 七 ) 亡+ 4 七 】p 坦堡譬学+ 华】亡2 因此，我们有 。s m 。a x 一1 ( e ( “1 ) 2 ) 吾 c z a t ， 一1 3 宁夏大学硕士学位论文第三章与年龄相关的随机种群系统显式数值方法的收敛性 其中c 毫= 【( 4 矿+ 4 伊+ 4 七 ) t + 4 砰】【氢型生 烨+ 堡雩堡】 定理3 2 在假设条件及定理( 3 1 ) 下，显式e u l e r - m a r u y a m a 方法数值解( 3 8 ) 收敛到精确解( 3 7 ) ，其 中收敛阶为即有 1 。m 。a 。x “( g ( n ) 2 ) 墨 c a t 墨 a t - - - , 0 其中c 是独立于a t 的正常数 证明：由引理2 3 我们可以得到结论成立 3 4 显式m i l s t e i n 数值法的收敛性 和 定理3 3 显式m i l s t e i n 方法数值解( 3 9 ) 的局部截断误差( 3 11 ) 满足： 。s m 。a x l ie ( 晶十1 ) i d 1 t 2 n sa t _ 0 。 n m a x li e ( “1 ) 2p d z a t g n 8 a t _ o ， 其中d 1 ，d 2 是独立于t 的正常数 证明：根据( 3 1 1 ) ，我们可以得到 矗+ l = y ( t 。+ 1 ) 一【y ( t 竹) 一( p n ) 一a ( t 。) ) y c t n ) a t + f ( t n ，y ( t n ) ) t + g ( t 。，y ( t n ) ) + ( ( w k ) 2 一a t ) 帆引( ，( k ) ) 】 = f l t n + 1 ( 一p ( f ) y ( ) + p ( t n ) 可( k ) ) d t + 露+ 1 ( p ) 可 ) 一卢( t n ) 可( t n ) ) d t ( 3 1 9 ) + 眨+ 1 ( ， ，可( ) ) 一，( t 竹，! ，( t n ) ) ) d t + 正：= l + 1 ( 9 ，耖( t ) ) 一g ( t n ，y ( t n ) ) ) d w t 一( ( ) 2 一) b v z l ( t 竹，y ( t 竹) ) ， 由假设条件( 3 1 分( 3 1 4 ) 及鞅的性质，我们有 e ( 如+ 1 ) i 1e ( p 口+ 1 ( 耖( t ) - y ( t 。) ) 疵+ 声j 2 + 1 ( 可( t ) - y ( t n ) ) 出 + 后l 髓+ 1 ( t ) 一y ( t 。) ) 出) + e ( 髓+ 1 ( 9 ( t ，3 ，( t ) ) - g ( t 。，y ( t 。) ) ) d m ) 一 e ( ( ( ) 2 一t ) 帆9 】( t 。，y ( t n ) ) ) i ( 豇+ 声+ 七1 ) ie ( j 2 + 1 ( t ) 一y ( t n ) ) d t ) 1 因此，类似与定理3 1 的证明，我们有 。m n a x 一1 ie ( “+ 1 ) i d 1 t 2 其中d l = q = 姬! 塾生萼乒业 下面。让我们来证明 。辫一l ie ( “1 ) 2p d 2 a t ，1 4 宁夏大学硕士学位论文第三章与年龄相关的随机种群系统显式数值方法的收敛性 因此 根据( 3 1 9 ) ，我们可以得到 ( 晶+ 1 ) 2 = f + 1 ( 一p ( t ) 矽( t ) + u ( t 。) 可( t 。) ) 出+ 正| ：i + 1 ( p ( t ) 可( t ) 一p ( t n ) y ( t 。) ) d t + j 0 + 1 ( f ( t ，可( ) ) 一，( t 。，y ( t n ) ) ) 毗+ - 0 + 1 ( 9 ( t ，u c t ) ) 9 ( 如，y ( t 。) ) ) d m 一 ( ( ) 2 一t ) 吼9 j ( k ，u ( t 。) ) 】2 s 2 i f g ? + 1 ( 一p ( t ) 9 ( t ) + u ( t 。) 可( t n ) ) d t + 0 + 1 ( p ( t ) ( t ) 一p ( t 。) y ( t n ) ) 班 + 髓+ 1 ( ，( t ，! ，( t ) ) 一f ( t n ，矽) ) ) 酬2 + 2 f 层+ 1 ( 9 ( t ，”( t ) ) 一9 ( t 。，耖( t 。) ) ) d w ；一( ( w 么) 2 一t ) 觇引( t 。，