（凝聚态物理专业论文）loop代数上的推广toda力学系统研究.pdf

摘要 多体力学系统相互作用是继两体问题之后理论力学领域的又一热点问题。因为它 与诸如长程相关、非线性波的传播以及反散射方法等多个领域的问题相关，所以长期 以来一直为理论物理学家和数学家所关注，并有着突破性的进展：大量一维精确可解多 体系统被发现，其中著名的有t o d a 链，c a l o g e r o - m o s e r 模型和r u i j s e n a a r s - s c h n e i d e r 模型。 t o d a 模型由开始只考虑多体间的近邻相互作用，后经候伯字和赵柳等人研究了 次近邻相互作用，得到了不断的推广。刘王云等又以经典李代数为背景，对一维对称 t o d a 链进行研究。他们在总结原始t o d a 晶格l a x 矩阵的数学性质的基础上，在对 称的工矩阵中引入更多的非对角变量，将t o d a 晶格推广至准长程相互作用的情形， 给出精确求解的办法，而与经典李代数情形相比，以l o o p 代数为基础的多体力学系 统更具现实意义。这是因为以l o o p 代数为基础的t o d a 理论的l a x 矩阵谱曲线与 s e i b e r g - w i t t e n 理论中四维超对称规范理论的模参数所生成的椭圆曲线相一致，从而 为我们从可积系统中得到四维超对称规范理论的模参数和预势提供了一种方法。基于 这一点，我们构造l o o p 代数上的t o d a 力学系统就具有很重要的物理意义。 本文第一章为引言。第二章为基础知识部分。第三章对l o o p 代数l ( d ，) 上具有长 程相互作用的t o d a 力学系统进行推广，用一组有序整数对( x 、y ) 来表示t o d a 链，构 造出l o o p 代数c ( d ，) 的l a x p a i r 工和且彳，其中，l = l o + l + + l 一，m = l + 一l 一l o 是卡当部分，l 一是正根部分，一是负报部分。并给出了系统在x ，y 3 情况下的 运动方程，哈密顿结构及泊松括号。其中，同l o o p 代数c ( d ，) 上的( 尥，k ) t o d a 链可由( x l ，y 【) t o d a 链( 溉 x l ，硷 k ) 通过n e s t e d 约化的方式得到。在此模型 中。标准的t o d a 变量之间和附加的坐标变量之间的泊松括号都非零，部分附加的坐标 变量之间的泊松结构构成李代数。由于本文的泊松括号是根据哈密顿方程直接设定的， 所以我们还验证了这些设定的泊松括号和用i 矩阵经过 厶飘l ) = p ，l 0 1 + 1 0 l 导出的结果一致。第四章给出l o o p 代数的另一种t o d a 系统其中，我们限定m 是反对称矩阵，而l = l + + m ，l + 是准上三角矩阵( 包括对角部分) ，在这种系统 中我们可以将l a x 方程l = f m ，l 1 的求解问题转化为一个正则r i e m a r m - h i l b e r t 问 题，在特定的初值条件下系统是可积的，我们给出一个实例求解这一问题，得到了精 确解。 关键词：t o d a 多体力学系统，l a xp a i r ， 运动方程，泊松括号，f 矩阵 p d e m a n n - h i l b e r t 问题。 l l a b s t r a c t m a n yb o d ym e c h a n i c ss y s t e m sh a v er e c e i v e dp a r t i c u l a ra t t e n t i o na f t e rt w ob o d y s y s t e m sw e r ee x a c t l ys o l v e d b e c a u s ei ti sc o n n e c t e dw i t hm a n yf i e l d ss u c h8 8l o n g - r a n g ec o r r e l a t i o n ，n o n l i n e a rw a v ep r o p a g a t i o na n di n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，t h e o r e t i c a lp h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n sh a v ep a y e dm u c ha t t e n t i o nt oi tf o ral o n gt i m e a n dm a k es o m ei m p o r t a n tb r e a k t h r o u g h s i n c et h el a t e1 9 6 0 sa n dt h ee a r l y1 9 7 0 1 s ， w h e nan u m b e ro fe x a c t l ys o l v a b l em a n yb o d ys y s t e m si no n ed i m e n s i o nw e r ed i s c o v - e r e da n ds o l v e db ym e a n so ft h ei n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，a m o n gw h i c ht h ec l a s s i c a l t o d ac h a i n s ，t h ec a l o g e r o - m o s e rs y s t e m sa n dt h er u i j s e n a a r s s c h n e i d e rm o d e l sa r e t h em o s tf a m o u sa n di m p o r t a n te x a m p l e s i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h eg e n e r a l i z a t i o no ft o d ac h a i nb a s e do nt h el o o pa l g e b r a t h em a n yb o d ym e c h a n i c ss y s t e m sb a s e do nt h el o o pa l g e b r a sa r ec o n s i d e r e dt ob e m o r er e a l i s t i ct h a nt h ec a s ef o rc l a s s i c a ll i ea l g e b r a sb e c a u s et h es p e c t r a lc u r v e so f t h el a xm a t r i c e so ft h et o d at h e o r yo nl o o pa l g e b r a sa x ei d e n t i f i e dw i t ht h ee l l i p t i c c u r v e sg e n e r a t e db yt h em o d u l ip a r a m e t e r so ft h ef o u rd i m e n s i o n a ls u p e r s y m m e t r y g a u g et h e o r yi nt h ec o n t e x to fs e i b e r g - w i t t e nt h e o r y , a n dt h e nam e t h o dw a sg i v e nt o g e tt h em o d u l ip a r a m e t e r so ft h ef o u rd i m e n s i o n a ls u p e r s y m m e t r yg a u g et h e o r ya n d t h ep r e - p o w e r t h i si st h er e a s o nw eg e n e r a h z et o d ac h a i n sb a s e do nl o o pa l g e b r ai n o u rp a p e r t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e ro n ei st h ei n t r o d u c t i o n c h a p t e rt w o i st h eb a s i ck n o w l e d g e i nc h a p t e rt h r e e ，w eg e n e r a l i z et h et o d am e c h a n i c ss y s t e m w i t hl o n gr a n g ei n t e r a c t i o nt ot h ec a s eo fl o o pa l g e b r a e ( d r ) b yu s i n gap a i ro f o r d e r e dp o s i t i v ei n t e g e r ( x ，y ) t od e s c r i b et o d ac h a i n s ，w ee x t r a c tt h ee q u a t i o no f m o t i o na n dt h eh a m i l t o n i a ns t r u c t u r eo ft h i ss y s t e mf o r x ，y 3 i tt u r n so u tt h a t b o t he x t r ac o o r d i n a t e sa n ds t a n d a r dt o d av a r i a b l e sa r ep o i s s o nn o n c o m m u t a t i v ei n t h ec a s eo fn o n t r i v i a lg e n e r a l i z a t i o n ，a n df o rs o m ec a s e ，e x t r av a r i a b l e sa p p e a rl i n e a r l y o nt h er i g h tb a n ds i d eo ft h ep o i s s o nb r a c k e t s t h e nw ec h e c kt h ef a c tt h a tt h ep o i s s o n b r a c k e t sa s s u m e df r o mh a m i l t o n i a ne q u a t i o n sa r ei d e n t i f i e dw i t ht h er e s u l tr e c e i v e d 1 l l f r o mfm a t r i c e si n o ，l = e l o l + 1 0 明， a n dt h ea b o v ep o i s s o nb r a c k e t sa x es a t i s f i e dw i t ht h ej a c o b ii d e n t i f i c a t i o n ，t o o ，i n c h a p t e rf o u r ，w ep r o v et h el a xe q u a t i o n 三= 【l ，m 】 i se x a c t l ys o l v a b l ei fw et r a n s f o r mt h i sp r o b l e mt oa r e g u l a rr i e m a n n - h i l b e r tp r o b l e m b ym e - 2 so fl e t t i n gm i nl a xp a i ri sa na n t i s y m m e t r i c a lm a t r i x i no r d e rt op r o v e o t l r r e s u l t ，w ee x a c t l ys o l v ear - hp r o b l e mu n d e rag i v e ni n i t i a lc o n d i t i o n k e yw o r d s ：t o d am a n yb o d ym e c h a n i c ss y s t e m ，l a xp a i r ，e q u a t i 0 1 2o fm o t i o n 、 p o i s s o nb r a c k e t s ，im a t r i c e s ，r i e m a n n h i l b e r tp r o b l e m ， i v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 茎差蓑妻羹萎薹茎菱指导教师签名：邀 学位论文作者签名：差毖指导教师签名：么! 之! 翌竺丛：! 埘年z - a 日 刀西，年矿月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：算榭 k ，年岁月。曰 莱镪帮零 l 勿全义2 s 裂：“譬 第一章引言 人们在得到两体问题的精确解之后，开始了对多体问题的进一步研究，并于2 0 世纪6 0 年代末7 0 年代初发现了可以用逆散射方法进行精确求解的一维多体系统， 如t o d a 链【1 ，2 ，c a l o g e r o - m o s e r 模型【3 ，4 】和r u i j s e n a s - s c h n e i d e r 模型【5 ，6 】等。随 后，d o n a g i 和w i t t e n 等人发现这些可积模型与= 2 超对称规范理论存在密切 联系【7 9 】，而d i j k g r a a f 和v a f a 等人在用非微扰论方法研究超对称规范理论的模空 间结构方面也取得重大进步f 1 0 一1 3 1 。近几十年来，可积多体系统问题依然为许多理 论物理学家和数学家所关注，这是因为它既与长程相关、非线性波的传播1 4 1 、霍尔效 应 1 s t 、孤子理论【1 6 1 8 】等物理问题相联系，又和反散射方法i l9 、非线性李对称1 2 】、 量子群r e i m a n i a a 表面的代数几何特性等代数问题有关。 t o d a 模型在初始时是一个只考虑近邻相互作用的一维质点系统，这些质点间的 相互作用是非线性的指数形式。随后提出的一系列推广的t o d a 理论也仅考虑到高维 情形、与某些超物质耦合或非阿贝尔推广【2 0 】等特殊情形。我们可以将任意经典李代 数的t o d a 链用一组有序整数对( x ，y ) 来表示，x ，y 分别代表正负根的级数，这种 方法对于l o o p 代数同样适用。与经典李代数情形1 2 i 相比，以l o o p 代数为基础的多 体力学系统更具现实意义。这是因为以l o o p 代数为基础的t o d a 理论的l a x 矩阵谱 曲线 2 2 1 与s e i b e r g - w i t t e n 理论中四维超对称规范理论的模参数所生成的椭圆曲线有 紧密联系 7 】，从而为得到四维超对称规范理论的模参数和预势提供了一种方法。为此， 我们构造了l o o p 代数上的推广t o d a 力学系统。 杨战营等讨论了t o d a 模型在l o o p 代数c ( g ) 背景下的情况，对( d ，) 代数 的( 3 ，3 ) 链也有所提及1 2 3 】。本文以此为出发点，讨论l o o p 代数( d ，) 上其它t 0 d a 链的情形。仍用一组有序整数对( x ，y ) 来表示t o d a 链，给出x ，y 3t o d a 链的 l a xp a i r ，运动方程和啥密顿结构。标准的t o d a 变量和附加的坐标变量间都是泊松非 对易的，部分附加的坐标变量之间的泊松结构构成李代数。由哈密顿方程给出泊松括 号，并验证它们与由f 矩阵经 上 ，l ) = 矿，lo1 + 1 纠， 所得的结果一致。 为了讨论l o o p 代数下的t o d a 模型的可积性，我们将其与正则r i e m a n n h i l b e r t 问题 2 4 2 7 1 联系起来。r i e m a n n h i l b e r t 问题( 简称r - h 问题) 原是1 9 0 0 年d h i l b e r t 】 在巴黎国际数学家会议上提出的2 3 个问题之2 1 我们用下面的方法来定义r i e m a n n 闯题。假设在复变量入的平面上给定一个闭合回路i 、，它可能通过无穷远点，同时还假 设在此回路上给定一个矩阵( 耳阶) 函数g ( a ) 要求构造一个在回路r 内部解析的矩 阵函数妒l ( a ) 和一个在回路外部解析的矩阵函数锄( 入) ，并且要求。( 如和忱( 砷在 此回路上满足下面条件： 妒l ( a ) 妒2 ( 入) = g ( a ) 当d e t 饥( a ) 0 ，d e t 妒2 ( a ) 0 时，这就是正则r - h 问题。我们证明了当l a xp a i r 中 的m 是反对称矩阵时，l a x 方程 l = l ，m 的求解阔题可转化为个正则p , s e m a n n h i t b e r t 阅题，这样的系统是一个可积系统。 为说明这一问题，我们在特定初值条件下对所提r - h 问题进行求解，并得到了精确 解。 0 第二章l o o p 代数简述 l o o p 代数c ( d ，) 的卡当( c a r t a n ) 矩阵为 k = 2 0 1 o 0 2 1 0 o0 00 00 1 1 2 一l 0 0 一i 2 00 00 o0 00 o0 00 oo 2 一l l l 2 0 1 0 2 在本文的推广中，采用舍瓦累( c h e v a l l e y ) 基 趣，如， 0 = 0 ，r ) ，有以下对 易关系 h 3 】= 0 ，e j j _ 憋，e ， 陋t ，j = 一岛以，【e ，】= 5 1 j h i 和s e r r e 关系 ( a d e 0 1 一k ：1 e 3 = 0 ，( a d f 0 1 一k i tf = 0 其中是嘉当矩阵的矩阵元= 等身。生成元的内积满足： ( 趣，心) = q ( 哼) 。，( e 。，f j ) = 如q ( 哼) 以l o o p 代数l ( d ，) 为基。我们定义a ；和o ? 是满足下式的最小正整数 巧峨= o 定义基林一嘉当( k i l l i n g - c a r t a n ) 型 有以下恒等性质： 哼：= 0 b ) i t r ( a b ) ( 。，【b ，c 】) = ( 陋，6 】c ) 3 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) f 2 6 1 ( 2 7 ) 根据半单李代数的舍瓦累基的生成元，相应的l o o p 代数在i 0 时的矩阵表示为 e i 镩1o 及。， 错10f - 。；，趣斜1 巩i ， ( 2 8 ) i = 0 时的矩阵表示为： e o 甘aon 口，矗钳a o 风 ( 2 9 ) 其中讪表示相应李代数的最高根。 4 第三章l o o p 代数c ( d ，) 上的推广t o d a 模型 根据l o o p 代数( d ，) 的c a f t a n 矩阵和根系特点来构造具有长程相互作用的推 广t o d a 力学系统，研究对象是非周期、有限的t o d a 链。与经典李代数情形相比， 以l o o p 代数为基础的多体力学系统更具现实意义。这是因为以l o o p 代数为基础的 t o d a 理论的l a x 矩阵谱曲线与s e i b e r g - w i t t e n 理论中四维超对称规范理论的模参数 所生成的椭圆曲线相一致，从而为我们从可积系统中得到四维超对称规范理论的模参 数和预势提供了一种方法。基于这一点，我们构造l o o p 代数上的t o d a 力学系统就 具有很重要的物理意义。这一章将给出l o o p 代数( 研) 上x ，y 3 的各种t o d a 链的运动方程，哈密顿结构及泊松括号。 3 1 ( 3 ，3 ) t o d a 链情况 同一l o o p 代数c ( 研) 上的( 恐，k ) t o d a 链可由( x l ，h ) t o d a 链( 蜀 x l ，k y 1 ) 通过n e s t e d 约化的方式得到。因此，我们先对( 3 ，3 ) t o d a 链进行研究。 首先给出l o o p 代数c ( d ，) 上推广的( 3 ，3 ) t o d a 链的l a x p a i r r - 3 + ce r - 2 1 岛 一a 厶，五 一n ，r 一2 ， 】+ ( m 。【6 i + 1 岛+ ：】 + n i 限，i f , + ， + z 】) ；= l + m e 3 【6 r - 2 ，6 r 】 + 几 ，r 一3 ，【 一2 ，r 】 + f 岛一1 ， e r - 2 e ，玎+ 七f ，r 一1 ， 一2 ，二 】 + e o ，【6 2 ，e 3 】 + k f o ，【五，3 + r h e l ， 6 2 ，e o + 而f ，1 ， a ，f o 】 = o + l + + l 一，( 3 1 ) rr 一2 m = ( “e 一也 ) + ( c i e i l6 i + 1 1 + 啦 ，五+ ) + c 6 0 ，e 2 + i ，0 ，2 】 i = 0；= l f 一3 + c e r - - 2 岛】+ n 一。，r 】+ 芝二( 仇； 岛，e i + 1q + 。】 n ， + 。， + 2 】) t = l + m e 3 e ，一2 ，e r 】一n f ，r 一3 ，f 一2 ，r + l e r 一1 ， 鼻一2 ，e r 】 一女 ，r l ， 一2 ，二】 + l e o 6 2 ，e 3 】一k a ，瞻，3 + r h e l ，( 6 2 ，6 0 一剐 ， ，2 ，如1 = l 一l 一 5 ( 3 2 ) 包0 ec+ + o 一 十 ee 臼 心 + d+e ，铷 + 吼 ， = l 其中，l o 是卡当部分，l + 是正根部分，l 一是负根部分。系统所满足的l a x 方程 l = l l ，m 】， ( 3 3 ) 描述了矩阵l 的时间演化规律，力学量上的点代表对其进行时间微商，【，j 是定义在 l o o p 代数( d ，) 上的李括号。由以上所给的厶m 知： 【二，m 】= l o ，l + 一l j 一2 5 + ，l 一】， 因此在三级根范围内，l a x 方程自己就可以封闭( 对一般t o d a 系统应考虑所有根) 。 比较l a x 方程两边的系数，通过积分直接给出相对于最远根( 这里是三级根) 的 系数与l 中卡当部分系数之间的关系，令纯= 密，得到： f = a l e 三哦“怫甜v ：， m ：a 3 e 量眠“+ h p 批r j ：n ， 叻：强e 到h 小p 1 + “：n j 而：a 2 e 地1 蝴+ h “：宄， ( 3 4 ) f ：a 4 e 窜h m m “：岳， ( 3 5 ) f 3 6 ) 其中，a 。与t 无关，为简单起见，取其值为l 。对其余根的系数设其形式为 b ：。量峨， c j = e 刭h 小”1 p a ：e 到”撕1 c ：e 量地m r 2 0 2 ) d j ：e 孽” q ：e 驯h 小l i ：e 刖“恻 。：。 4 t “r + 2 t _ r 一2 、- 。， ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 i 0 ) q i 和p 。都是依赖于时间的力学变量。在写出运动方程之前，我们作如下规定： 中骘2 = 5 2 = 田垆2 ) = 皿r - 蚋i = 屯堡“= 堡”：中嬖：皿导：0 ，( 3 1 1 ) 尬，= 0 ( j ，j r ) ( 3 1 2 ) 这些规定对本文i 寸论到的所有x ，y 3 的情形都有效。定义毗：e 2 量q i k i , d ，j ： 0 ，r 。由l a x 方程得到l o o p 代数c ( d r ) 上推广的( 3 ，3 ) t o d a 力学系统的考虑次 6 近邻相互作用的运动方程的分量式，j = 1 ，r 一2 每 2 = 一2 c + ”w 1 2 m 3 + 1 山3 ， ( 3 1 3 ) 亩管2 = 一2 皿i 一”w 1 2 l _ 1 u b ， ( 3 t 4 ) 击 2 )= 2 2 ，一l + 2 皿2 p t 脚一3 ， ( 3 1 5 ) 亩 2 = 2 皿? 叫，一- + 2 ! 二p t 脚一3 ， ( 3 1 6 ) 亩；一2 ) = 一2 0 ( r 一3 一j ) ；：札+ 2 + 2 p ( r 一2 一j ) 皿；：j 一1 2 而，一3 p 1 t + 2 如，一2 皿p 1 ) 训，一2 而，l 皿扩1 咖+ 2 岛2 皿扩2 1 1 0 ， ( 3 1 7 ) 亩；+ 2 1 = 一2 日( r 一3 一j ) 皿5 ；t 吩+ 2 + 2 目( r 一2 一j ) 皿；二j l w j 一- 一2 毋，一3 田i 一“w ， + 2 国，一2 皿卜1 ) 叫，一2 岛，l 皿5 - t ) w 0 + 2 国，2 皿3 1 ) 撕， ( 3 1 8 ) 其中，目( c ) 为阶跃函数：日( t ) = ( ：i ：。 考虑近邻相互作用的分量方程，j = 0 ，一，” 由：删= 一2 0 ( r 一2 一j ) 田；+ 2 叫嚣屿+ l + 2 p ( r l - - ：、j 。s - 2 1 ；二j 哟一1 2 0 ( r 一3 一j ) 皿；t 吩+ 1 w j + 2 + 2 0 ( r 一1 一j ) 田；三w j l t 蜘一2 2 国，一2 i 一1 ) 2 叫，+ 2 屯，皿；二皿 卦w 卜2 + 2 屯r ，( - 一2 3 w ，一3 叫，一2 2 如，皿：习嘶一2 训，一l 一2 易，一3 电 2 叫，一2 山，一2 s a ，一t 中譬2 叫，一2 ， + 2 如，2 皿r 1 譬扪w o + 2 母1 皿譬2 叫。叫2 + 2 毛，3 1 玉r 2 w o w 2 + 2 如，o ( 一2 皿5 1 皿寸孙w 2 2 m ! 一2 训2 圳3 + 2 i 一引w 1 山2 ) ， ( 3 1 9 ) 也；一1 ) = 一2 0 ( r 一2 一j ) 皿；- 2 母j h + ”lw ，+ + 2 8 ( r 一1 一j ) 面；j 田# ￥叫，t 一2 0 ( r 一3 一j ) 田；：；“o + 1 w j 十2 + 2 0 ( r 一1 一j ) 皿；二掣w j 一1 w j 一2 2 毛，一2 皿p 1 ) 中 2 山，+ 2 毛，q ：卜( + 2 t ) 、。t g a - 2 ，一2 + 2 西r 中笠挈叫卜3 叫，一2 2 岛，皿甚碧叫r 一2 ，一1 2 6 j , r - a 寸2 叫，一2 ，一2 屯，。譬2 叫，一2 叫， + 2 屯，2 皿扩1 皿 勤w o + 2 屯，1 母彗2 甜。凹2 + 2 电，3 譬2 t 蜘 + 2 而，。( 一2 田纩1 勤w 2 2 皿圹2 w 2 t u a + 2 r w l w 2 ) ( 3 2 0 ) 7 l a x 方程的对角元( 卡当部分) 给出q ，( j = 1 ，r ) 的相关方程 岛= 当= 一2 ”，田p 1 母；一1 j 一2 e ( r 一2 一j ) t u ，+ 1 皿r 2 皿；一2 一2 0 ( r 一1 一j ) w y j l m j + 2 - t 蟛二；一2 0 ( r 一3 一j ) 码+ i 嘶+ 2 2 4 ，一2 皿譬2 皿 w ，似，一2 2 0 ( r 一2 一j ) 2 一1 2 乱+ 1 2 目( r 一1 一j ) w i 一2 w j 1 w j + 2 ( 埘。雪扩1 扩1 + 铲2 皿 2 w o w 2 ) o ”j 一2 如，皿岔2 2 t 训，一2 2 屯，一3 叫，一3 叫，一2 叫，一2 屯，一2 t 一3 t 如一2 训， 一2 8 j r w 3 w 一2 w r 一2 0 ，r 一1 铷r 训r 一2 l l j r l 一2 岛r * 2 w 2 w r l w r 一2 国，t 一2 ，一l t 一2 4 。2 w o w 2 皿 2 1 皿 一2 屯，1 w o w l w 2 2 4 , 2 w o w l w 2 + 2 w o w l w 2 a ，+ 2 w o w 2 w 3 a j 一2 如2 w o w 2 w 3 ( 3 2 1 ) 阻上我们给出了l o o p 代数c ( d ，) 上推广的( 3 ，3 ) t o d a 力学系统的l a xp a i r 和 运动方程。这是一个动力学系统，可以认为是质点受力的牛顿方程。本文通过计算给 出这个系统的哈密顿形式，也即找出了这个系统的哈密顿量以及各力学量之间的泊松 括号，使得l a x 方程的分量方程可以用哈密顿方程来描述： 如= 2 。，日) 这里我们令l = k t 。，其中t 4 是( 3 1 ) 式中的李代数生成元。我们设定的哈密顿量为 日= t r ( l 2 ) = ( 厶) 日= ；匮，阢p j + 屿j “母：- 1 + 屿+ l m r 2 皿：- 2 i j = 1j = o ，= l 十“+ 1 “。+ 2 + 圣铲2 毋占2 “，0 叻+ 中，2 2 u ，一2 “耳 + u r _ 3 “r 一2 坼+ “- 一1 叫r 一2 坼+ 岫u l u 2 + 0 3 0 t j 2 0 3 3 ( 3 2 3 ) 当设定下面的泊松关系时，这样的哈密顿系统满足 = l 日) 8 ( 3 2 4 ) 它与l a x 方程给出的是同一个系统。泊松关系为 协，毋 ”，皿5 - 1 ) ) 田 ”，皿) ；二孕，粤p ) 皿! 。) ，皿p ) 硝q ，母掣) 皿凹，雪p ) 皿，皿 中，皿) 州。1 ，皿 皿凹，田) ( m ：二? ， 纩”， ) 零，零 一1 ) ( 中扩“，1 ) ( 皿p ”皿p 1 ) 一( “) j “ 皿譬”， + 1 = 一2 盈，l 一2 最m 皿 ”，雪：+ 1 ) = 2 盈，一l + 2 盈，一3 ， ( 挈，皿 + 1 ) = 一2 以，一l + 2 以，一4 + 嬲， 1 i r i + ，中 + 1 ) = 一2 6 1 母p ”，霍 + 1 = 一2 6 。+ 。口妒一3 一j ) + 2 五 日(r一一7)，,j-1 2 皿曼拿，田：+ 1 ) = 2 也，一3 + 2 函。 皿，皿p 1 = 一2 蠡，4 + 2 蠡，1 + 2 文m 一2 盈，j + 1 日( r 一2 一j ) ；+ 2 + 2 文。一1 0 ( r 一1 一j ) 皿j ：1 - 2 j , j + l 口( r 一2 一j ) 皿；一2 + 2 文j 1 日( r 一1 一j ) 屯；二； 一2 医，一- 皿孕+ 2 d i ，3 田笠挈一2 文，皿，“， 一2 文，一 ：二碧+ 2 6 v 一3 皿；，1 - 一2 3 ) 一2 盈，屯 勤， 一2 以，3 皿r 2 + 2 氓，1 皿r 2 + 2 文，。皿 蚋， 一2 6 啪中 2 ) + 2 & ，l l 一2 + 2 盈，o 皿譬舶， 一2 文，： 扪， g - ”，i 1 ) = 一2 蠡，2 皿 ， 2 文，一2 ，引， ：，皿5 1 ) = 2 文，r 一2 m f 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) f 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 ，3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 ，3 8 ) ( 3 3 9 ) f 3 ，4 0 1 其余泊松括号为零。关于( 3 ，3 ) t o d a 链的情况，杨战营等曾作过粗略讨论，但没有 写出具体的运动方程。以下几节，我们将在( 3 ，3 ) t o d a 链的基础上，对这一系统进行 n e s t e d 约化，详细讨论x ，y 3 的情况。 3 2 ( 3 ，2 ) t o d a 链情况 现在讨论l o o p 代数c ( d r ) 上( 3 ，2 ) t o d a 力学系统。如果我们不考虑l a xp a i r 中的三级负根，即令n j = n = 元= 七= i ，就可将其约化为( 3 ，2 ) t o d a 链，得到( 3 ，2 ) 9 t o d a 链模型的l a xp a i r 和 l = 区+ t = l 乏：( 魄e ；+ 也 ) + ( q 【臣，e ”z 】一。t i f , ， + 】) + 【e 。，e ：】 r 一3 + c f e ，一2 ，e ，】一a o ，h i n 【，r 一。， 】+ m i 【( q + - ，岛+ ：i 】 i = 1 + m 【e 3 e r - 2 ，e r 】+ z e r l ，【e r - 2 ，岛】j + f l e o ，【e 2 1e 3 】+ r h e l ，【e 2 e o 】 l o + l + + 工 m = ( b i e i d d d i = o r - 3 + i 【，0 ，2 + ce r - - 2 ，e r 】+ 。 z ，二】+ m t e ；，f e 件t ，白+ 。】 z = 1 + m i e r 一3 ，i e r - 2 ，e r 】+ 2 【e “，f e r - 2 ，e r 】 + j 1 【e 2 ，e 3 】 + 痂【e 1 1 阮e o = l - 一工一 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 与( 3 ，3 ) 情况相比较，( 3 ，2 ) t o d a 力学系统的l a xp a i r 不再涉及l o o p 代数c ( d ，) 的i 极负根。这将使得该情况下的t o d a 模型具有更为简化的性质，因为这时的物质 场m j _ 2 = 2 = 皿 2 = 1 。比较l a x 方程两边的系数，通过积分直接给出相对 于最远根( 这里是三级正根和二级负根) 的系数与l 中卡当部分系数之间的关系， 令a = 也，得到： 。，：批删水”， o ：a 3 e 量池r + ，“， q i ( k l p a + k 一2 + k 1 r m = a s e , = 1 r ：a ，e 量啡k 。蛳+ h ”， i ：a 2 e 量嘏。1 ，( 3 4 3 ) ：批删q 慨肘+ “， ( 3 4 4 ) 1 0 k a 6 e 争。+ h 一2 + h 7 佩：a 8 e 量“h 1 咖蜥 ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 2 e 0 ec+ +五 吼+ 十 8 陋q m l + 其中，九与无关，为简单起见，我们取其值为1 ，之后的讨论都遵守这一约定- 对 其余根的系数我们设其形式为： ：。量帆 畦删， c j ：e 吾眠舳_ 皿p c ：e 量讹地“皿譬2 ) 如：。量诚 ：e 量“h 肿，2 2 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) 相应地，【3 ，2 ) t o d a 力学系统的考虑次近邻相互作用的分量方程，j = 1 ，r 一2 亩铲2 亩，2 哆2 一2 i 一”w l 一2 c , 5 - ”1 0 3 ， 2 ；二p t “一l + 2 皿j 二 叫，一3 ， 一2 0 ( r 一3 一j ) 皿# t 吩+ 2 + 2 8 ( r 一2 一j ) 皿；二 t 吩一- 一2 毛 r 一3 皿卜1 ) w r + 2 曲，一2 卜1 ) 叫，一2 岛1 皿5 - 1 。 + 2 如2 皿r w o 考虑近邻相互作用的分量方程，j = 0 ，r 一2 0 ( ，一2 一j ) 皿5 + 2 皿：；? + 。+ 2 p p 一1 一j ) 皿；： ：，c - 一t 。) 。, ，一- + 2 0 ( r 一3 一j ) j + l 】+ 2 + 2 0 ( r 一1 一j ) w j t w j 一2 2 如，一2 皿；一1 ) 皿，”w ，+ 2 如，：二屯 2 ，一2 + 2 国，r 山r 一3 训r 一2 ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) 一2 南，一3 ，一2 w ，一2 国，一l w ，一。，+ 2 岛，2 3 - 1 中寸“7 1 ) 。+ 2 岛，- w o w 2 + 2 屯，3 铆锄+ 2 5 s ，。( 一尘l 一1 母譬w 2 一w 2 让j 3 + 叫l 铆2 ) ， ( 3 s 3 ) 哆) ：一2 口( r 一2 一j q t d ( + + t 。u 。+ 1 + 2 口( r l j ) 啦一1 + 2 6 j r 笠一2 2 毛，一2 p 1 ) 叫，一2 吗，o 扩1 叫2 + 2 屯，2 扩1 o ( 35 4 ) ( j = 1 ，r ) 的分量方程 岛：西= 一2 皿；+ 1 皿f 。叻一2 p ( r 一2 一j ) 皿；+ 2 屿+ l 一2 0 ( r 一1 一j ) ；：2 ) 西屿一。+ 2 皿3 + 1 5 _ “w o o z j 一2 以，一。皿，”w r 一。札- 一2 毛， 2 ) ，一2 w ，一2 如，2 ”w 。w 2 + 2 1 i r 亨w o w 2 。， ( 3 5 5 ) 1 1 我们给出此时系统的哈密顿量 肚z 1 葛 k s j p i p j + j = o 屿5 + l j + l ，j = i r - 2 屿“+ l 皿；+ 2 + 皿 2 u o u 2 + 皿，2 u ，一2 u ， j = l ( 3 5 6 ) 由变量的哈密顿方程f n = 1 。，日) ，可设定以下泊松关系： f a ，o = 譬蚋， + 1 ) = ( 雪，引，皿 = 删+ 2 ，) = 笠孕，皿r 1 ) = 皿纩”，皿) = 皿 皿 凹 中 皿卜，p ) 霍r ，町1 ) 雪，皿p ) 毋纩”，皿 l t 。r - o ，皿：。 埘，皿) 一似“) m 一2 文，1 2 5 1 3 ， 2 盈，一1 + 2 文，一3 ， 一2 盈d + 2 日( r 一3 一j ) + 2 盈一1 日( r 一2 一j ) 一2 文，一l + 2 区，一4 + 2 也。 一2 盈，4 + 2 盈，l + 2 6 i o ， ( 3 1 5 7 ) ( 3 5 8 ) ( 3 5 9 ) ( 3 6 0 ) ( 36 1 ) ( 3 6 2 ) = 一2 文j + l 口( r 一2 一j ) r 2 + 2 民j 1 日( r 一1 一扎m = j + - i ，( 3 6 3 ) 一2 况，j + l 目( r 一2 一j ) + 2 文，j 一1 口( r l j ) ， 2 4 r _ 3 + 2 最