（理论物理专业论文）两体连续变量纠缠态的一维势垒散射.pdf

摘要 连续变量纠缠态是连续变量量子通信中的重要资源。连续变量量子信息的特点是可以 在量子光学实验中使用线性光学器件来较高精度的产生和操作连续变量态，因此，通过较 为成熟的量子光学手段可以为连续变量量子通信提供各种可行性操作。 随着对连续变量量子通信的深入研究，两体连续变量隐形传态、密钥通信，多体连续 变量隐形传态等一大批工作都成为了人们近几年来研究的焦点。然而，在通信过程中，连 续变量纠缠态会不可避免的遇到各种障碍，那么，态透过障碍后会发生怎样的变化就必须 是人们要面对的问题。 本文主要是以两种连续变量纠缠态双模压缩真空态和纠缠相干态为例，先将最简 单的障碍维势垒等价成分束器，然后讨论连续变量纠缠态通过一个一维势垒散射后 的变化。主要内容包括： 将势垒看成一个分束器后，发现双模压缩真空态经过散射后，其纠缠度随势垒透射系 数呈类抛物线变化，随入射压缩因子也呈类抛物线变化：其保真度随透射系数的增大而增 大，随入射压缩因子的增大而减小。纠缠相干态经过散射后，其纠缠度随透射系数呈类抛 物线函数变化，随入射纠缠度呈线性递增关系变化；其保真度随透射系数的增大而增大， 随入射相干态的模的增大而减小。最后，我们还讨论了势垒透射系数大于o 5 的条件，指 出散射后纠缠能否随透射系数的增加而增加要取决于入射光场能量、势垒的高度和宽度三 个条件。当入射光场能量大于势垒高度时，对势垒宽度的限制可以小一些：当入射光场能 量接近或小于势垒高度时对势垒宽度的限制就会大一些。 关键词：双模压缩真空态；纠缠相干态；势垒；散射 a b s t r a c t c o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e ds t a t e sa r et h em a i n l yr e s o u r c e so fc o n t i n u o u sv a r i a b l e q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n t h ec h a r a c t e r i s t i co fc o n t i n u o u sv a r i a b l eq u a n t u mi n f o r m a t i o ni st h a t w ec a r lp r o d u c ea n dm a n i p u l a t et h ec o n t i n u o u sv a r i a b l es t a t ei nh i g ha c c u r a c yt h r o u g hl i n e a r o p t i c a ld e v i c e s ；t h e r e f o r e ，w ec a l lp r o v i d ek i n d so ff e a s i b l em a n i p u l a t i o n sf o rc o n t i n u o u s v a r i a b l eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o nu s i n gr e l a t i v ep e r f e c tq u a n t u mo p t i c sm e a n s a sp e o p l es t u d yt h ec o n t i n u o u sv a r i a b l eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o nm o r ea n dm o r ed e e p l y ， t h ew o r kl i k e t e l e p o r t a t i o n o fb i p a r t i t ec o n t i n u o u sv a r i a b l e s 、d e n s ec o m m u n i c a t i o n ，t h e t e l e p o r t a t i o no fm u l t i p a r t i t ec o n t i n u o u sv a r i a b l e se ta lh a sb e e nt h ef o c u si nr e c e n ty e a r s h o w e v e r , d u r i n gt h ec o m m u n i c a t i o n ，t h e r ew i l lb ei n e v i t a b l eo b s t a c l e s ，t h e n ，w h a tw i l lt h es t a t e b el i k ew o u l db et h ep r o b l e mp e o p l eh a v et of a c e t i l i sp a p e rs e t st w ok i n d so fc o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e ds t a t e s - - t w o 。m o d es q u e e z e d v a c u u n ls t a t ea n d e n t a n g l e d c o h e r e n ts t a t e a s e x a m p l e s ，f i r s t l y t a k et h e s i m p l e s t o b s t a c l e - - b a r r i e ra sb e a ms p l i t t e r , a n dt h e nd i s c u s s e st h ec h a n g e so ft h ec o n t i n u o u sv a r i a b l e e n t a n g l e ds t a t ea f t e rb a r r i e rs c a t t e r i n g n l em a i n l yc o n t e x ti n c l u d e st w op a r t sa sf o l l o w i n g ： t a k et h eb a r r i e r 嬲o n eb e a ms p l i t t e r w ef i n dt h a ta f t e rt h eb a r r i e r s c a t t e r i n g t h et w o m o d e s q u e e z e dv a c u b ms t a t ee n t a n g l e m e n tw i l lc h a n g el i k eas i m i l a rp a r a b o l aa st h et r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t ，a n da l s ol i k eas i m i l a rp a r a b o l aa st h ei n c i d e n ts q u e e z e df a c t o r ；f i d e l i t yw i l li n c r e a s e a st r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n ti n c r e a s e s ，a n dd e c r e a s ea st h ei n c i d e n ts q u e e z e df a c t o ri n c r e a s e s a f t e rs c a t t e r i n g ，t h ee n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t ee n t a n g l e m e n tw i l lc h a n g el i k ea s i m i l a rp a r a b o l i c f u n c t i o na st r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t ，a n di n c r e a s el i n e a r l ya si n c i d e n te n t a n g l e m e n ti n c r e a s e s ； f i d e l i t yw i l lr i s ea st r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n ti n c r e a s e s ，a n dg od o w na st h em o d u l eo ft h ei n c i d e n t c o h e r e n ts t a t e i n c r e a s e s f i n a l l y , w ed i s c u s su n d e rw h a tc i r c u m s t a n c et h et r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n tw o u l db eb i g g e rt h a n0 5 ，a n dw es h o wt h a tw h e t h e rt h ee n t a n g l e m e n tc a l li n c r e a s ea s t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n ti n c r e a s e sa f t e rs c a t t e r i n gd e p e n d so nt h ei n c i d e n te n e r g yo f t h el i g h t 、t h e h e i g h to ft h eb a r r i e ra n dt h ew i d t ho ft h eb a r r i e r w h e nt h ei n c i d e n te n e r g yi s b i g g e rt h a nt h e h e i g h to ft h eb a r r i e r , t h el i m i t a t i o no nt h ew i d t ho ft h eb a r r i e rc a nb er e l a x e dal i t t l e a n dw h e n t h ei n c i d e n te n e r g ya p p r o a c h e st h eh e i g h to ft h eb a r r i e ro re v e ns m a l l e rt h a ni tt h el i m i t a t i o no n t h ew i d t ho ft h eb a r r i e rw i l lb em o r ea n dm o r es e v e l k e y w o r d s ：t w o _ m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t e ；e n t a n g l e dc o h e r e n ts t a t e ；b a r r i e r ； s c a t t e r i n g u 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士团论文两体连续 变量纠缠态的一维势垒散射，是本人在导师指导下，在曲阜师范大 学攻读博士口硕士日学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论 文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的 研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：豫星 日期： 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 两体连续变量纠缠态的一维势垒散射系本人在曲阜师范大学攻读 博士口硕士留学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士留学位 论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不 得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容。 作者签名：豫里日期： 翱签名：m 匕 吼 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章前言 连续变量态一种严格区别于分立变量态的量子态自提出之日起就备受量子信息 界青睐。所谓连续变量态就是指表征体系状态的基矢具有连续可变化的参量。比如坐标算 符的本征态、动量算符的本征态，相干态( 粒子数湮灭算符的本征态) 等等。而分立变量 态则是指某些具有分立本征值的力学量的本征态。例如，电子自旋态，光子偏振态等等。 分立变量纠缠态l l 】就是两个或两个以上分立变量态的不可写成直积形式的纯态，表现为各 个子体系之间相互依赖，当某一体量子态确定后，其它各体的量子态也随之立即确定。例 如b e l l 态1 2 j ，w 态【3 】， g h z 4 】态等。分立变量纠缠态已经成为现代量子通信的基本单元。 连续变量纠缠态【5 】【6 】【7 】则是两个或两个以上连续变量态的不可写成直积形式的纯态。例如 e p r 态【8 】f 9 1 ，双模压缩真空态【1 0 1 ，纠缠相干态【l l 】【1 2 】等。随着对连续变量纠缠态研究的深入 1 3 1 ，利用连续变量纠缠态实现量子通信【1 4 1 【1 5 】【1 6 1 越来越受到人们的关注。而研究连续变量纠 缠态在传播过程中与环境相互作用以及作用后是否退相干就将不可避免的成为实验和理 论界所要直接面对的问题。 1 1 连续变量量子通信简介 量子通信可分为量子密钥通信【1 7 1 8 】和量子隐形传态【1 9 】( q t ) 两种。 对于连续变量量子密钥通信1 2 0 i ，因其绝对安全性还有待于证实，故自提出后，并没有 得到迅速普及与发展，这点不及分立变量。所以目前在连续变量量子通信领域里，人们主 要还是把目光放在了q t 2 l 】上。 实现q t 可分为两地三系统，其过程如下： 首先，让系统l 和系统2 处于它们的连续变量纠缠态，这里，我们以位置差毫一毫和 动量和a + a 的共同本征态为例： l x l 2 p l ：) 。：= p 啪i 而：) 。ol a ：) ： ( 1 - 1 ) 其中，i 五z ) 。是系统i 和2 的位置差毫一之的本征态，本征值为_ ：，而i a ：) 是系统i 和2 的动量和a + 磊的本征态，本征值为1 ) i ：。把i 和2 分别送至a 地和b 地，则建立一个由 最大纠缠态( e p r 态) 构成的量子信道。现在，假设在a 地有一个系统3 处于一个未知 量子态l y ) ，上，我们接下来的任务就是把l y ) ，传递给b 地的2 。为实现这一目的，我们先 对1 和3 施用一个正则测量使它们纠缠起来： l 五，a ，) ，= p 一晚毛l 一，) 。ola，)，0-2) 这里i 五，) 。是本征值为，的系统l 和3 的位置差毫一是的本征态，l 岛，) ，是系统l 和3 的动 曲阜师范大学硕士学位论父 一二。一 量和p i + a 的本征态，对应本征值为a 3 。对l 和3 测量后，2 将处于 ( “，a ，| 1 3 ) | 而：p l ：) ，：ol 杪) ， = ( ( 而。l 。o ( a ，3e l p l x 3 ) e 啪l 墨：) 。圆l a ：) ：。 d x m x l | c ，) ， = 去毋砘p 嘞编：蝎，肛姒恕啊如( x 俐对2 2 万 j “ = 去沙如p 响“2 b p 州加咱dl y ) 2 ( 1 3 ) 2 万 “ 即系统2 的状态为u l j | f ，) ，与未知状态差个幺正变换u 。所以，在从经典通道获知a 地 的测量结果( 1 2 ) 后，对b 地的2 做相应的幺正变换p 一如q ：嘞毋a ：一砌，即可使b 地的系统 2 获得原先系统3 所处的状态，从而完成连续变量量子隐形传态的任务( 如图1 所示) 。 图1 两地三系统的q t 示意图。 除两地三体系统实现q t 外，还可以使用纠缠交换阎来实现纠缠态的超空间转移。其 原理如下( 如图2 所示) ： 开始时让系统1 、3 处于最大纠缠态l 薯，a ，) ，；系统2 、4 处于最大纠缠态l 屯仍。) m 。 把3 、4 放在a 地，l 、2 发送到b 地，这样，在a 、b 之间就建立了两条量子通道：1 3 以及2 - 4 之间的最大量子纠缠态。整个系统的初态为 l 鼍，a ，) ，l 屯。仍。) m = e - z p t 南e 一也l x a 3 ) 。l 恐。) ：i p , ，) ，i 欺) 。 ( 1 4 ) 接下来，a 对手中的3 、4 做最大纠缠测量，整个系统将按如下方式产生纠缠分解和塌缩： 1 ) 。：n = l 少( 五) ) ，。l 缈( 一) ) ，：+ 少( 屯) ) ，。l ( 而) ) ，：+ ( 1 5 ) 经a 对手中的3 、4 测量后，( 1 5 ) 这个态将随机的塌缩至连续无穷项中的任意一项。比如， 2 b ：；y 忪 2 u 曲阜师范大学硕士学位论文 a 测量的结果是l i ；f ，( 五) ) 弘= t x 3 。p 3 。) 弘，则系统1 、2 将处于如下状态 l y ( x 。) ) ，：= ( 纵1 3 4 ) l 五，p t ，) ，l h 如) m = ( 而。i ，( 见。l 。p 触p 一訾口嘞& i 五，) 。x 2 4 ) ： p l ，) 。皿m 石ip ：。) 。 = 去e 砌g 矧轧+ e 州巾一氏e 一懒i j ) 2 4 ) 。l 屯。) ： = 寺口一舶p 吖辄+ 段h p k 一如j 1i 仍，) 。i 而。) ： = 去p 。扛1 3 加p 嗄+ 蹦炳3 + i j c 2 l 见1 ) 一( 1 - 6 ) 1 2 _ l “7 即1 、2 之间并没有直接的相互作用，而是当a 对3 、4 施以最大纠缠测量后以间接的 方式纠缠起来。进而实现了纠缠态的超空间传送。 1一一r一一f：0 ， b 图2 由纠缠交换实现纠缠态的超空间传送 在真实的连续变量量子通信中，通常采用调制边带的形式完成信息编码与发送，即利 用电磁场量子起伏所形成的边带模作为携带和传送信恕的量子态。因此，对边带模的分析， 即量子噪声的分析，就成为连续变量量子通信的基本手段。一般而言，把传递过来的光信 号经由零差探测器将信息从光频范围变换到射频范围，在用电子谱仪对光电流进行傅里叶 变换，分析和提取边带模噪声信号从而获得信息。 1 2 信息在传递过程中可能存在的散射 由上述分析可见，连续变量纠缠态( c v e s ) 在量子信息处理中是一个关键的资源，它 承载着“信息通道”作用。只有a 、b 两地系统l 、2 ( 或在纠缠交换时的l 、3 ：2 、4 ) 之 间的纠缠在整个信息传递过程中( 包括把l 、2 分别发送至a 、b 和纠缠测量两个过程) 保 持完好，才能保证传态( 信息传递) 的成功。而在真实的环境中，系统l 、2 ( 或l 、3 ：2 、 4 ) 会不可避免的与其环境发生作用，那么，与环境作用之后，连续变量纠缠态会有哪些 3 曲阜师范大学硕士学位论文 一一一一_ _ 一 改变，以至于它们所传递的信息会不会遭到破坏就成为量子通信过程必须要考虑的问题。 1 3c v e s 的纠缠度和保真度的计算 在利用c v e s 进行量子通信时，对传递过程中或传递前后其纠缠度和保真度的测量是 衡量其对信息保存是否完好的重要指标。纠缠度反应各模式之间纠缠的强弱，是量子通信 能够实现的根本。而保真度则反映两个态之间的差别有多大，如果两个态无差别，则保真 度为1 ，若两个态相互正交( 差别最大) ，则保真度为0 。因此，使用纠缠态进行量子通信 时，检测其在通信过程中纠缠度和保真度的变化也是判断通信进行的顺利与否的重要依 据。 1 3 1c v e s 纠缠度的计算 关于c v e s 的纠缠度的测量问题，现已有很多方法，包括c m 矩阵法【2 3 1 、双量子比特近 似法【2 4 1 、量子变换法【2 5 】、共生法t 2 6 1 ，负本征值、法【2 7 1 【2 8 1 和v o nn e u m a n n 熵法 2 9 1 等。依据所 研究问题的不同而选择不同的方法。因我们将着重讨论双模压缩真空态和纠缠相干态的散 射问题，因而我们选择使用y o nn e u m a n n 熵法、共生法，负本征值法和双量子比特近似法 较为方便，所以我们下面依次对这四种纠缠度的计算方法做以介绍。 ( 1 ) y o nn e u m a n n 熵法 当两体处于纠缠纯态l ) 一。时，两体的y o nn e u m a n n 熵纠缠度定义为 e = s ( 成) = s ( 几) = 一什( 几l 0 9 2 成) = 一丹( 如l 0 9 2 胁) ( 1 7 ) 其中岛、风为a 、b 的约化密度矩阵，且岛= 玑p ，p = l i c ，) 缈i 。 ( 2 ) 共生法 此法适用于两体双态的纯态系统或可化归为两体双态的纯态系统。即每个系统只能有 两种可能的状态，由这样的两个系统所构成的纠缠纯态的共生度定义为 c = m q 。哆眇) l 0 - 8 ) 其中q 为泡利算符的第二分量，l y 。) 为两体纯态l ) 的复共轭。共生度c 和纠缠度e 之间 有如下关系： 4 一 塑圭堑垫奎堂塑主堂垒笙查 一一 - - - _ _ _ - - - - l _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ - - - _ - - _ - - - _ _ _ _ _ - - _ _ _ 一。 蝴( 牢 m 9 ， 厅( x ) = 一x l 0 9 2x - ( 1 - x ) l 0 9 2 ( 1 - x ) ( 1 - 1 0 ) 即纠缠度e 是共生的平方c 2 的单调增函数，而共生度本身又一定为正值( 见定义式( 1 8 ) ) ， 所以我们可以把c 看成是纠缠度的反应：c 增大，则纠缠度增大了；c 减小，则纠缠度减小 了。 ( 3 ) 负本征值法 这种方法可以不局限于双态系统，它可适用于多态甚至是连续变量态。而且计算方法 简便，尤其是这种方法既可以计算纯态纠缠度又可以计算混态纠缠度，所以自提出后被大 量采用。 它的定义如下： ( p ) ：哔 ( 1 1 1 ) 其中反是系统的密度矩阵，力是成关于子体系a 的部分转置矩阵。8 力8 是力的本征值 的绝对值的和： 陟| | 一 = 丑+ 2 = l + 2 五是力的本征值，乃是众多磊中的负值部分。而五= 乃( 力) ，故为l 。所以，( p ) 就 为毋中负本征值的绝对值之和 ( p ) = 对于完全混态，( p ) 显然为0 ，所以纠缠为o 。 ( 4 ) 双量子比特近似法 ( 1 1 2 ) 双量子比特近似是l i n 等于2 0 0 7 年提出的专门针对两体连续变量纠缠态纠缠度的一 种计算方法。它指的是：当我们有一个c v e s v ( q 彳，) 时( q a 为a 体系的坐标变量，如为 b 体系的坐标变量) ，对a 和b 同时做一个位置初始测量，若a 、b 的位置分别局限于 g 一：玩一口吼s 瓦+ 口) 、 q 8 ：瓦- b 瓦+ 6 ) ，则由a 和b 构成的系统就可以约化为 一个双量子比特系统，它的新的展开基分别为： 曲阜师范大学硕士学位论文 l 。) _ = 九如) = 去；1 1 ) 4 = “五) = 专而 i 。) 8 = “吃) ；层；1 1 ) 口= “屯) = 岳屯 于是，对于两体纯态情形，经展开基变换后，y ( 吼，q b ) 一缈( 五，x 2 ) ，而后者已经是两体双 态系统。这时纠缠度可以计算得 f = 故南 2 降c 懒一，j 2 m 其中，= 景嚣缈( 吼，) l 吨铅。蟊，已经换回原来的坐标空间。所以，利用双量子比 特近似法计算纠缠度很重要的一点就是要知道a 、b 的初始测量后的位置变化范围。 1 3 2c v e s 保真度的计算 保真度3 【3 1 1 是用来衡量两个量子状态之间距离的一种度量方法。它所反应的是两个态 之间的接近程度。对于一个纯态i y ) 和任意状态p 之间的保真度定义如下： f ( i ) ，p ) = 4 t p l v ) ( 1 1 4 ) 很明显，若p 代表一个纯态眵) ( i ，则上述( 1 1 4 ) 可化为 f ( 1 ) ，l ) ) = l = v l k ) ) 或者两个粒子遇到一个双一艿势 ( u i 沙 加- - ( 厶，q ，7 叱+ r c r y r r 】1 2 吐f 1 屯，2 + t a ，】1 2 吮，l 吃，2 ) o ，o ) 3 3 1 进一步讲，在远 距离传态的多数情况下，我们无法避免带有缺陷的光学材料的出现，这些缺陷通常都会是 一些突起。而突起源自光学材料，因此能被自然的看成是光学势垒。 我们知道，能够无损耗的反射和透射入射态的最简单的光学器件【3 7 1 就是b s 。并且，入 射光的透射系数可以根据电磁波方程来推导： v 2 e = 一七2 e ( 2 2 0 ) 接下来，利用电磁波对某种介质的边值关系和边界条件( 以电场方向垂直于入射面得 偏振光为例) ， 疗( 丘一丘) = 0 ( 2 2 1 ) 元( 凰一凰) - - 0 ( 2 2 2 ) 我们就可以获得t 作为介质折射率疗和介质宽度口的函数。 扛莲矿( 2 - 2 3 ) 1 + 型 。 t g e “ 其中，9 为入射角，矿为折射角。考虑光线垂直入射，则矿和9 都趋于0 ，再由折射 率，l 与折射角、入射角之间的关系r - - 罢凳可得： s 1 1 1 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 2 f = 1 + , 然而，由自由粒子的薛定谔方程： 一笪2 m v 2 y = 印 取e ：墨生，我们可以把上式改写为： z 历 v 2 矿= - k 2 y 当粒子遇到一个高为圪宽为口的势垒后，可以利用薛定谔方程的边界条件我们最终又 可获得t c 作为势垒高度和宽度口的函数： t2 ( 2 - 2 7 ) 其中e 为入射粒子能量，为粒子质量。如果入射粒子能量确定，则t c 显然只是关于虼和 口的函数。 比较( 2 - 2 0 ) 和( 2 2 6 ) ，我们可以清楚的看到这两个入射方程是一样的，区别仅在于我们 采取了两种方法来解决同一问题。但在本质上，它们是一样的。 即，某种介质疗对应着解薛定谔方程时的某个高度为圪、宽度为口的势垒，也即每找出 一个给定高度和宽度的势垒，就有一个某种折射率的介质与之对应。这意味着光透过b s 和粒子通过势垒在物理上和数学上都是等价的。在实际应用中，由于我们考虑的是两体连 续变量输入，它有两个输入模，因此这两个模可被看成是从b s 的两个输入臂输入。图3 示意了态被散射时b s 与势垒的等价。 蟛 a e 一 一 占 82 入，入 含 - 一 a - 一 图3 势垒与b s 的等价。 因此，在真实的量子通信中，当一个态被一个光学势垒散射的时候，我们可以首先解 薛定谔方程来获得，关于和口的函数，然后再用b s 算符来计算散射。 4 5 6 2 2 2 2 2 2 曲阜师范大学硕士学位论文 所以，不失一般地，我们把散射过程中的势垒看作b s ，而幺正变换就是b s 算符。因 此，我们的问题就转化成了研究c v e s 的b s 散射。 2 2c v e s 的势垒散射计算 ( 1 ) t m s v s 散射 t m s v s 是最常见的一种c v e s ，因其比较容易的由线性光学器件产生和操控，故经常被 用于q t 中。实验室中，通常使用非简并光学参数放大器来产生双模压缩光，因此，实验 室中的t m s v s 通常是两束纠缠着的压缩光场态。它在强压缩极限下将转化为归一化的e p r 态。证明如下： 经过非简并参数放大器后，输出态为： i 沙) = p 巾+ 6 + 训i o ，0 ) ( 2 2 8 ) 利用算符关系 训矿山( 志) 矿叶m 州口们一 p 2 9 ， 上式可化为 协志善鼬嘶珂) ( 2 - 3 0 ) 这即为标准的双模压缩真空态。现在证明，在强压缩极限下它将转化为e p r 态。在得到的 t m s v s 中插入两个坐标空间的完备性条件： 协志荟鼬”s 胁胁l q , q ) ( 矧 ) ( 2 - 3 1 ) 其中，( 9 k ) ；( 2 一 ! 孑) 风( g 弦一譬，而致( g ) 为厄米多项式。再由求和关系式 g l + q , z _ 2 3 q q , 丢名”( g i 胛) ( 门1 9 ) 2 ：丐丽1 p 2 1 一五2 ( 2 3 2 ) 可将上式化为 ， q 2 + q , z - 2 q q t m l h $ i 杪) 。去似如7 p 2 1 。劬2 l q , g ) ( 2 - 3 3 ) 在强压缩极限下( s 专q o ) ，e 函数将变成万函数：6 ( g q 7 ) 。于是，强压缩极限下，t m s v s 可化为： 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 l y ) ，一= 胁1 9 ，g ) ( 2 3 4 ) 即经典e p r 态。 现在，让一个t m s v s 进入一个势垒，并且它的两个模从两个输入臂进入。那么它的出 射态根据( 2 1 ) 和( 2 2 ) 可写为； ly ) 伽，= e 争护舻一静一争- o 上c o s h s 鼬”j ( 2 3 5 ) 其中j 为s f 。去直接计算( 2 3 5 ) ，我们可能首先想到的是“叠加原理 方法。即，先计算叠 加元l 胛，刀 的散射，然后，再把各个叠加元用各自的叠加系数叠加。对于i ，l ，珂) ，它是两个 f o c k 态，我们可以借助f o c k 态从两个输入端入射的理论f 3 2 】来计算，这里仅仅把i 、2 换 做刀、，l ，把取作万即可： b l 刀，刀，= 砉言c 一，”。“i3 丛竺号三罢兰冬群 ，o ，t o ：v l 一。“j ；“一l ，3 ，2 ”一一广+ 。i n + k 一，r l k + j ( 2 3 6 ) 然后，用各自叠加系数e = t a n h ”s 叠加，得到最终的散射结果： 羔g b 旧，z ，= 羔n = o 窆k = o 芝i = 0g r 2 n - k - l t k + l n = o 丛等爱筹妄群 ：，i 一厅，：；，二 ( 一1 ) ”“1ln + k - i ，n - k + 1 )( 2 3 7 ) 程序很清楚，但最终结果却很复杂。我们很难从这个表达式中获得其纠缠度和保真度 等我们所关注的信息。因此，我们需要找寻其它方法来获得一个简洁的、可分析的结果。 我们在海森堡绘景下讨论该问题。其基本思路是通过计算力学量的改变而间接得到态 矢量的改变。需要做的事情就是对所讨论的力学量做一个相似变换。回到我们的问题中， 就要求我们先要写出t m s v s 的原始形式算符作用于真空态上的形式： 加5 丢志鼬 = e s ( a t b t - a b ) lo ，0 ( 2 3 8 ) 利用代数变换，可以对上式进一步化简： p 5 ( 口t 6 t 一曲io ，o 矿蛐( 志) 山飞”p l o ，。， 曲阜师范大学硕士学位论文 = p 洲鼬5io ，o ( 2 3 9 ) = 一p lu u 7l z - j y l ， 以下的讨论都将基于( 2 3 9 ) ，因为它等于( 2 3 8 ) ，但要比它简单的多。那么，当一个t m s v s 遇到一个势垒时，对这个t m s v s 的幺正变换就可归功于对 p 如鼬的相似变换。由于 这里我们已经把势垒看作b s ，所以幺正变换算符就是b s 算符占，所以相似变换为： & 一矿蛐5 b = e o a t b * 矿1 伽h 5 ( 2 4 0 ) 由算符变换公式 e a b e 一彳= 口+ 【彳，b 】+ 击【彳， 么，曰】+ ( 2 4 1 ) 并取4 ：一昙( 口t 6 一曲) ，b = a t b t ( 暂时忽略，因为它不影响变换) ，贝1 ( 2 - 4 0 ) 可化为： 二 c o s h s 占e a * b tt a n h ，b = p ( t a n “j 瞄彬+ j i 蛐枷胪口+ 2 1 ( 2 4 2 ) ( 2 4 2 ) 的正确性可以由( 2 3 ) ，( 2 - 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 和对易关系 k ，纠= ，b 】= k ，b 】= 口，6 】= 0 ( 2 4 3 ) 【口，矿】= 6 ，b 】= l ( 2 4 4 ) 来证明。 从相似变换( 2 4 2 ) 我们可以最终得到t m s v s 的散射态： i 矿熹鼬枷w “扣枷即“- 口+ 2 、io ，o ( 2 - 4 5 ) e 0i | 伽，= 2 。，o c o s l l j f l i 又t = r = q _ 2 ，即采用5 0 5 0b s ，那么c o s 秒：0 ，s i n 口：1 ，出态就转化为两个标准的 单模压缩态：击p ；山“+ 2 、i o ，o ，恰好是f 3 2 】的相反情况。这又一次证明了用相似变c o s hs 。 。”“ 换所计算出来的散射结果的正确性。因此，利用第二种方案，我们成功的得到了简洁的散 射结果。对结果的分析将在第三章和第四章详细介绍。 ( 2 ) e o s 散射 e c s 也是进来备受理论界和实验界所关注的一种c v e s ，它的承载者是两束纠缠着的相 干光场态，每一束都是相干光。考虑如下形式的e c s d s ： 志( x 如) + y l 叫，一口) ) ( 2 - 4 6 ) 其中l ：是归化因子，x ，y 是未知的复系数，代表着信息。让这个e c s 入射到图3 所示 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 为了计算散射，我们首先对这个e c s 写成算符作用于真空态的形式： 志( 淝i 口) + y h 一口) ) 2 志( 蜊口) d 2 ( 删0 0 ) + ) 口( 口) 砬( 一岱) l0 0 )( 2 4 7 ) 计算( 2 - 4 7 ) 的散射我们同样是在海森堡绘景下, , - o f 真空态前面的算符做一个相似变换来 得到散射结果： 雪志( 凇圳叫卅) 2 志( 潮( 咖。1 衄( 咖- l l o o ) + ) 施( 一口) 雪一l 波( 一口) 台一1lo o )( 2 4 8 ) 这里，注意到秀一1 作用于真空态等于真空态。所以，我们可以把上述方程化简为： 1 b 两鸩( 口) 砬( 口) 1 0 0 ) + 鸠( 一口) d 2 ( 一口) i o o ) ) 2 志( 鸩( 尬批屹心地- - r e - i d c t ) f o 。) + y d i ( 也一陀肇a ) d 2 ( - t a + r e 一口) f0 0 ) ) 2 志( 引t a - r a , t o t + r a ) + yi t o t + p o g ，一t o t - r a ) ) ( 2 - 4 9 ) 令= t a + r a ，= t o t 一，口，则最终的散射结果可写为： 训圳加2 志( 小，阱y h 呐 ( 2 5 。) 从( 2 5 0 ) 式我们可以初步的看到，信息的承载者相干态改变了，但信息的存储者 叠加系数没有改变。然而，这并不意味纠缠度和保真度就不变，对( 2 5 0 ) 的进一步分 析烙存篦= 叩音屠耳 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3 小结 通过解粒子势垒散射薛定谔方程和求电磁场波动方程的边值解，我们发现了势垒与b s 的等价，并证明了某种介质玎的b s 对应某种高、宽的势垒。之后对t m s v s 和e c s 的散射进 行了求解。我们利用海森堡绘景下相似变换理论求得了t m s v s 的简洁的散射态( 2 4 5 ) 和e c s 的散射态( 2 5 0 ) 。以下，我们就着重对这些散射结果进行分析，主要计算它们的纠缠度和 保真度，来看看：它们的纠缠度是否有下降，如果有，有怎样的规律? 散射态与入射态相 比是否失真，如果有，失真到什么程度? 与哪些因素有关? 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 3 1 散射前纠缠度 第三章散射态的纠缠度 3 1 1t m s v s 散射前纠缠度 对于入射t m s v s , 司以利用其在f o c k 态中的形式( 2 - 3 8 ) ： i o ，o ，孝) = 赤荟蛐中 并使用v o nn e u m a n n 熵澍2 9 1 来计算它的纠缠度。 首先，把( 2 3 8 ) 写成密度矩阵形式，并对其任意一模求迹，带入( 1 7 ) ： e = s ( 成) = s ( 岛) = 一丹( 一l 0 9 2 成) = 一乃( 风l 0 9 2p b ) 我们可以很容易的得到t m s v s 散射前的纠缠度为： 瓦= 一喜 士时j 1 0 9 2 士舯钼 p t ， ( 3 1 ) 的图表形式已在3 9 1 中有详细的讨论。并被证明，只有当j 在( o ，1 6 ) 之间变化时， 纠缠度毛才随之线性增加；而当1 6 + y i 一口，一口 ) 、，1 2 1 7 曲阜师范大学硕士学位论文 于是， 定义： = 志知庇p 旷毋( 旷毋桫锄把”批 ( 3 2 ) = 志即( 纩2 - ( 彬) 2 + - - - - - y e - c q a * = + 口) 2 + 1 2 h 铀” ：导导( q a , q b 弘( q a , q b ) l q 嘶勃 2 可可 咖而 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 其中n ，m 取0 或1 。接下来，和3 m ( 1 - 1 3 ) f = 文击 2 降c 嘶叫2 注意到模a 和模b 的区间宽度时刻一致，t t 可取a = b - c ，令玩= 磊= 0 我们可以计算得 到入射e c s 的t a n g l e - = 1 10 2 4 丽c 4 c t 4 x 2 y 2 ( 3 - 5 ) 。1 面丽r 3 2 散射后的纠缠度 3 2 1t m s v s 散射后纠缠度 现在我们来研究散射态( 2 - 4 5 ) 。我们还是使用v o nn e u m a n n 熵法计算其纠缠度。但先 要对它进行一下变换。首先，我们注意到算符a + b + 和b + 2 一a + 2 是对易的，那么根据算符运 算规则，当算符么和召相互对易时，有如下关系式成立： e + 矗= e 。+ = e a e 君= e b e 一 ( 3 - 6 ) 故我们可以对( 2 - 4 5 ) 作如下变换： j 一( t = n h s c o s a ) a + b + + ( 1 岫蒯x n 一io e u ，u 一 一 ) c o s h s 7 1 ( ；扭吐“n a ) b 垃t , ，it a n h m ，口 = - - 一e e c o s h s 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 p “。”1 0 ，0 ) 0 - 7 ) 观察( 3 7 ) 式，我们可以发现，它可以分为两大部分。即双模压缩算符岫州9 州作用 于真空态部分和两个单模压缩算符8 哇山5 ”州和e 。峙m 一各自作用在自己的所属模式 部分。双模压缩算符决定着输出态的纠缠，单模压缩算符对纠缠没有贡献，因为只有双模 压缩算符对两体系统的两个模式有联合作用。所以，计算散射态纠缠度我们只考虑双模压 缩部分即可。这时，应用y o nn e u m a n n 熵法，略去( 3 7 ) 中两个单模压缩算符部分，我们可 以得到它的纠缠度为： 肚一善l 赤一岫叫 m s ， 士协一1 即散射态的纠缠度由t c 和s f 共同决定。前者由b s 或势垒来决定，后者由原始的入 射态来决定。它们对e 的影响可以从图4 中看到( 利用关系式c o s o = 丑2 1 ，可将c o s o 用 t 来代替) 。 图4 t m s v s 散射态纠缠度e 作为t c f 和s f s 的函数。散射引起占关于，呈类抛物线变化， 其谷底在，= 孚处；关于j 也呈类抛物线变化，其峰值在j = l 。附近a 图4 表明散射态纠缠度对s 和t 有一定的规律性。当，改变的时候，无论s 取何值， 对，都有一个谷底，即，：墨(